经济数学(导数与微分习题及答案)

导数与微分练习题及解析在微积分学中，导数和微分是最基本的概念之一。

它们可以帮助我们研究函数的变化率和性质，广泛应用于物理、经济、工程等各个领域。

为了帮助你更好地理解导数和微分的概念，以下是一些练习题及其解析。

练习题1：求函数f(x) = x^2 + 3x + 2在x = 2处的导数和切线方程。

解析：首先，我们求函数f(x)的导数。

使用求导法则，对于多项式函数来说，可以将每一项的指数与系数相乘，并将指数减一，得到函数的导数。

f'(x) = 2x + 3接下来，我们计算x = 2处的导数值。

f'(2) = 2(2) + 3 = 7切线方程的一般形式为y = mx + b，其中m代表斜率，b代表截距。

根据导数的定义，导数即为切线的斜率。

所以切线的斜率为m = 7。

将切点的坐标代入切线方程，我们可以得到b的值。

2 = 7(2) + b2 = 14 + bb = -12最终的切线方程为y = 7x - 12。

练习题2：求函数f(x) = e^x * sin(x)的导数。

解析：考虑到函数f(x) = e^x * sin(x)是两个函数的乘积，我们可以使用乘积法则来求导。

乘积法则的公式为：(uv)' = u'v + uv'对于e^x和sin(x)两个函数，它们的导数分别为e^x和cos(x)。

根据乘积法则，我们可以将这两个导数与原函数进行组合，得到最终的导数为：f'(x) = (e^x * cos(x)) + (e^x * sin(x))练习题3：求函数f(x) = ln(x^2 + 1)的导数和微分。

解析：首先，我们求函数f(x)的导数。

根据链式法则，可以分别计算外函数和内函数的导数。

设内函数为u = x^2 + 1，则内函数的导数为du/dx = 2x。

外函数为f(u) = ln(u)，则外函数的导数为df/du = 1/u。

根据链式法则，函数f(x)的导数为：f'(x) = df/du * du/dx= (1/u) * (2x)= 2x / (x^2 + 1)接下来，我们计算函数f(x)的微分。

习题9-1（A ）1．求下列各函数的表达式： （1）设函数22),(y x y x f -=，求(,)f y x --，),(x x f -．解：(,)f y x --22)()(x y -+-=22x y -=，0)(),(22=--=-x x x x f ．（2）设函数)1(3-+=x f y z ，已知1=y 时，x z =，求)(x f 及z 的表达式．解：由1=y 时，x z =，有)1(13-+=x f x ，即，所以1)1()(3-+=x x f ；而1)1(3-+=-+=x y x f y z ．（3）设函数y y x y x f +-=1)1(),(2，求),(xy y x f +．解：2222))(()()(/1)/1()(),(y x y x y x yx y x y x x y x y y x x y y x f -=-+=+-+=+-+=+． （4）设函数xy y x y x f =+-),(，求),(y x f 的表达式． 解：（方法1）因为4)()(4)2(244),(222222y x y x y xy x y xy x xy y x y x f --+=+--++==+-，所以),(y x f 422x y -=．（方法2）令v y x u y x =+=-、，则22uv y v u x -=+=、，于是 422),()(22u v u v u v xy y x y x f v u f -=-+==+-=，，所以),(y x f 422x y -=．2．求下列各函数的定义域，并作定义域草图： （1）)ln(x y z -=； （2）221arcsin xy y z -+=；（3）221arcsin yx x x y z --+=； （4）41)16ln(2222-++--=y x y x z ．1]1)1[(1)1(333-+-=-=-x x x f解：（1）由0>-x y 且0≥x ，得定义域}0,),{(≥>=x x y y x D ．（2）由022>-x y 及1≤y ，有1≤<y x ，得定义域}1),{(≤<=y x y x D ．（3）由0100122>--≥≠≤y x x x xy、、、，有0122>≤<+x x y y x 、、，得定义域}0,,1),{(22≠≤<+=x x y y x y x D ．（4）由040162222≥-+>--y x y x 、，有16422<+≤y x ，或4222<+≤y x ，得定义域}42),{(22<+≤=y x y x D ．3．求下列极限：（1）(,)(1,1)2lim2x y x yx y →-+； （2）xxy a y x sin lim ),0(),(→；（3）22)0,0(),(1sinlim y x x y x +→； （4）2)1,0(),(2tan limxy xyy x →；（5）22(,)(1,1)sin()lim x y x y x y →--； （6）231lim )1,1(),(-+-→xy xy y x .解：（1）(,)(1,1)2121lim2213x y x y x y →--==-++．（2）(,)(0,)(,)(0,)sin limlim x y a x y a xy xya x x →→==．（3）因为221sinyx +有界，而0lim )0,0(),(=→x y x ，所以=+→22)0,0(),(1sinlim yx x y x 0．（4）2111211lim tan lim 212tan lim)1,0(),()1,0(),(2)1,0(),(=⨯⨯==→→→y xy xy xy xy y x y x y x ．（5）222222(,)(1,1)(,)(1,1)sin()()sin()limlim 21 2.x y x y x y x y x y x y x y →→-+-==⨯=-- （6）=++=-++-=-+-→→→)23(lim 1)23)(1(lim231lim)1,1(),()1,1(),()1,1(),(xy xy xy xy xy xy y x y x y x 4．4．证明下列极限不存在：（1）(,)(0,0)lim x y x yx y →-+； （2）242)0,0(),(lim y x y x y x +→．证明：（1）沿)1(-≠=k kx y 取极限，则k kkx x kx x y x y x x x kx y +-=+-=+-→→=11lim lim00，当k 取不同值时，该极限值不同，所以极限(,)(0,0)limx y x yx y →-+不存在．（2）沿0=y 取极限，00lim lim 024200==+→→=x x y y x yx ； 沿2x y =取极限，212lim lim 44024202==+→→=x x y x y x x x x y ． 由于2420242002lim lim y x y x y x y x x x y x y +≠+→=→=，所以极限242)0,0(),(lim y x yx y x +→不存在．习题9-1（B ）1．某厂家生产的一种产品在甲、乙两个市场销售，销售价格分别为y x 、（单位：元），两个市场的销售量21Q Q 、各自是销售价格的均匀递减函数，当售价为10元时，销售量分别为2400、850件，当售价为12元时，销售量分别为2000、700件．如果生产该产品的成本函数是(2012000+=C )21Q Q +，试用y x 、表示该厂生产此产品的利润L ． 解：根据已知，设y a b Q x a b Q 222111-=-=、，由10=x 时，24001=Q ；12=x 时，20001=Q ，有⎩⎨⎧=-=-，，2000122400101111a b a b 得、2001=a44001=b ，于是x Q 20044001-=．由10=y 时，8502=Q ；12=y 时，7002=Q ，有⎩⎨⎧=-=-，，70012850102222a b a b 得、752=a16002=b ，于是y Q 7516002-=．两个市场销售该产品的收入为22217516002004400y y x x yQ xQ R -+-=+=， 该产品的成本(2012000+=C y x Q Q 15003200040008800012000)21-+-+=+y x 15004000132000--=． 根据利润等于收入减去成本，得)15004000132000(751600200440022y x y y x x L ----+-= 132000752003100840022---+=y x y x ．2．求下列极限：（1）y y x xy )11(lim ),2(),(++∞→； （2）22)0,0(),(1e lim 22yx y x y x +-+→； （3）4422),(),(lim y x y x y x ++∞∞→； （4）(,)lim x y →解：（1）==+=++∞→+∞→211),2(),(),2(),(e ])11[(lim )11(lim x xy y x y y x xyxy e ． （2）法1： 令t y x =+22，则当)00()(，，→y x 时，+→0t ，所以 =-=+-+→+→t y x t t y x y x 1e lim 1e lim 022)0,0(),(221． 法2：因为)00()(，，→y x 时，1e 22-+y x 与22y x +是等价无穷小，所以1lim 1e lim 2222)0,0(),(22)0,0(),(22=++=+-→+→y x y x y x y x y x y x ． （3）因为224424424422110yx y x y y x x y x y x +≤+++=++≤， 而00lim ),(),(=∞∞→y x ， 0)11(lim 22),(),(=+∞∞→y x y x ，根据“夹逼准则”得0lim 4422),(),(=++∞∞→yx y x y x ． （4）令θρθρsin cos ==y x 、，则当)00()(，，→y x 时，0→ρ（其中θ在区间)20[π，内任意变化），所以==+<≤→→θθρπθρsin cos lim lim20022)0,0(),(yx xy y x 0．3．证明极限22222)0,0(),()(lim x y y x y x y x -+→不存在．证明：沿0=y 取极限，00lim )(lim 202222200==-+→→=x x y y x y x x x y ；沿x y =取极限，11lim )(lim 0222220==-+→→=x x x y x y y x y x ．因此，极限22222)0,0(),()(lim x y y x y x y x -+→不存在．4．讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0002)(222222y x y x yx xy y x f ，，，，在点），（00处的连续性． 解：沿x y =取极限，由)00(11lim 2lim)(lim 0220，，f yx xyy x f x x x y x x y ≠==+=→→=→=，有 )00()(lim )0,0(),(，，f y x f y x ≠→，所以函数)(y x f ，在点），（00处不连续．习题9-2（A ）1. 求下列函数的偏导数：（1）2z xy =； （2）2cos sin()z xy x y =++；（3）z = （4）2ln(ln )z x y =+；（5）yz x=（0>x ）； （6）z = （7）22y x xyz +=； （8）arctanx yz x y+=-； （9）yx z u =； （10）zy x u )tan(22-=．解：（1）2z y x ∂=+∂2z xy y ∂=∂． （2）2sin cos cos()sin 2cos()zxy xy y x y y xy x y x∂=-⋅++=-++∂， 2sin cos cos()sin 2cos()zxy xy x x y x xy x y y∂=-⋅++=-++∂． （3）12z x x y ∂==∂+ 122z y x y ∂=⋅=∂+． （4）22122ln ln z x x x x y x y ∂=⋅=∂++，22111ln (ln )z y y x y y x y ∂=⋅=∂++． （5）x yxy xyx y xy x y xy x y xy y x z sin cos 21)(sin cos 2332+=-⋅-=∂∂， xyx y x yy x x x y xy x y xy x y z sin cos 211sin cos 2-=⋅-=∂∂． （6）)1(212)1(11xy xy yxy y xy x z --=--⋅--=∂∂，)1(212)1(11xy xy x xy x xy y z --=--⋅--=∂∂． （7）2/3223222222)(y x y y x y x x xy y x y xz+=++⋅-+=∂∂， 由变量y x 、的对称性，得2/3223)(y x x y z +==∂∂． （8）222211()1()()1()z x y x y yx y x x y x yx y∂⋅--⋅+-==+∂-++-， ()22221()1()1()1()x y x y z xx y y x y x y x y⋅---⋅+∂==+∂-++-． （9）z z yy z z x u y x y x ln 11ln =⋅=∂∂，z z y x y x z z y u y xy x ln )(ln 22-=-⋅=∂∂， yyx y xz yxz y x z u --==∂∂1．（10）zy x x z x y x x u )(sec 22)(sec 222222-=⋅-=∂∂， z y x y z y y x y u )(sec 2)2()(sec 222222--=-⋅-=∂∂，222)tan(z y x z u --=∂∂． 2. 求曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+++=1,2122x y x z 在点)3,1,1(M 处的切线与x 轴正向的夹角．解：z x ∂=∂，111112x x y y z x ====∂==∂， 用α表示曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+++=1,2122x y x z 在点)3,1,1(M 处的切线与y 轴正向的夹角，则21tan =α，所以432621arctan '≈=α． 3. 设xy x y x z xsec)1(e 2-++=，求)0,1(x z 及)0,1(y z ．解：因为1e )0(-+=x x z x ，，所以=11d (1,0)(e 1)(e 1)d xx x x x z x x-=+-=+=e 1+，因为e )1(+=y y z ，，所以1)e (d d)0,1(0=+==y y y yz ．4. 求下列函数的高阶导数：（1）设13323+--=xy xy y x z ，求22223223,,,,z z z z zy x x y x y x∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂.解：xz ∂∂ ,33322y y y x --= y z ∂∂ ;9223x xy y x --=22x z ∂∂ ,62xy = 33xz ∂∂ ,62y = 22y z ∂∂ ;1823xy x -= y x z ∂∂∂2 ,19622--=y y x xy z ∂∂∂2 .19622--=y y x （2）设xy x z ln =，求22x z ∂∂，22y z ∂∂和23yx z ∂∂∂； 解：1ln ln +=⋅+=∂∂xy xy y x xy x z ，yxxy x x y z =⋅=∂∂， x xy y x z 122==∂∂，222y x y z -=∂∂，y xy x y x z 12==∂∂∂，2231yy x z -=∂∂∂． 5. 验证：（1）设函数x yz u arctan =，证明0222222=∂∂+∂∂+∂∂zu y u x u ．证：因为2222)()/(1y x yzx y x y z x u +-=-⋅+=∂∂，22222)(y x xyz x u +=∂∂， 2221)/(1y x xzx x y z y u +=⋅+=∂∂，22222)(y x xyz y u +-=∂∂，x y z u arctan =∂∂，022=∂∂zu， 所以，00)()(222222222222=++-+=∂∂+∂∂+∂∂y x xyzy x xyz z u y u x u ． （2）设y x z =)1,0(≠>x x ，求证z yzx x z y x 2ln 1=∂∂+∂∂.证明：=∂∂xz ,1-y yx =∂∂y z ,ln x x yy z x x z y x ∂∂+∂∂ln 1 x x xyx y x yy ln ln 11+=-y y x x += .2z =原结论成立．习题9-2（B ）1．设一种商品的需求量Q 是其价格1p 及某相关商品价格2p 的函数，如果该函数存在偏导数，称Q p p Q E 111∂∂-=为需求对价格1p 的弹性、Qp p Q E 222∂∂-=为需求对价格2p 的交叉弹性．如果某种数码相机的销售量Q 与其价格1p 及彩色喷墨打印机的价格2p 有关，为 222110250120p p p Q --+=， 当501=p ，52=p 时，求需求对价格1p 的弹性、需求对价格2p 的交叉弹性． 解：由211250p p Q -=∂∂，22210p p Q--=∂∂， 有1111250Qp Q p p Q E =∂∂-=，Qp p Q p p Q E 222222210+=∂∂-=，当501=p ，52=p 时，50255050250120=--+=Q 需求对价格1p 的弹性：1.0250505015501121======Q p p p Qp E 、、，需求对价格2p 的交叉弹性：=+=====5052225502221210Q p p p Qp p E 、、2．2. 设22arcsiny x x z +=，求x z ∂∂，yz ∂∂.解： =∂∂xz '⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+-xy x x y x x 2222211322222)(||y x y y y x +⋅+=.||22y x y += =∂∂yz'⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+-yy x x y x x 2222211=y y x x 1sgn 22+-=. 3. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=，，，，，x y x y y x yx y x f 0)(证明在)00(，点处),(y x f 的两个偏导数都不存在．证：因为极限x xf x f x x ∆=∆-∆→∆→∆1lim )00()0(lim00，，不存在，极限yf y f y ∆-∆→∆)00()0(lim0，，xx ∆-=→∆1lim0不存在，所以在)00(，点处),(y x f 的两个偏导数都不存在． 4. 设y x yx z -+=arctan ，求22x z ∂∂，22y z ∂∂和y x z ∂∂∂2．解：2222)()()()(11y x yy x y x y x y x y x xz+-=-+---++=∂∂，22222)(2y x xy x z +=∂∂， 2222)()()()(11y x xy x y x y x yx y x yz +=-++--++=∂∂，22222)(2y x xy y z +-=∂∂， 22222222222(2)()()z x y y y y x x y x y x y ∂+--=-=∂∂++．5. 设函数222ln z y x u ++=，证明2222222221z y x z u y u x u ++=∂∂+∂∂+∂∂．证明：将函数改写为)ln(21222z y x u ++=，则 222z y x xx u ++=∂∂，2222222222222222)()(2z y x x z y z y x x x z y x x u ++-+=++⋅-++=∂∂， 由变量的对称性，有222222222)(z y x y z x y u ++-+=∂∂，222222222)(z y x z y x z u ++-+=∂∂，所以2222222222222222222)()()()(z y x z y x y z x x z y z u y u x u ++-++-++-+=∂∂+∂∂+∂∂ 22222222221)(zy x z y x z y x ++=++++=． 习题9-3（A ）1．求下列函数的全微分：（1）1sin()z x y=+； （2）22z x y =+； （3）xyz e =； （4）yxz tanln =； （5）22y x z u +=； （6）ln(32)u x y z =-+.解：（1）因为1cos()z x x y ∂=+∂，221111cos()()cos()z x x y y y y y ∂=+⋅-=-+∂，所以2211111d cos()d cos()d cos()(d d )z x x x y x x y y y y y y=+-+=+⋅-．（2）因为2z xyx ∂=+∂，2z x y ∂=+∂22(dz xydx x dy =++． （3）因为x yx yx z e 2-=∂∂，x yxy z e 1=∂∂，所以 )d d (e 1d e 1d e d 22x y y x xy x x x y z x yx yx y-=+-=．（4）因为2122cot sec cs c z x x x x y y y y y ∂=⋅=∂，22222cot sec ()csc z x x x x x y y y y y y ∂=⋅-=-∂， 所以)d d (2csc 2d 2csc 2d 2csc 2d 22y x x y y xyy y x y x x y x y z -⋅=-=（5）因为z xz x u y x ln 222+=∂∂，z yz y u y x ln 222+=∂∂，12222)(-++=∂∂y x z y x zu ，所以z z y x y z yz x z xz u y xy xy xd )(d ln 2d ln 2d 122222222-+++++⋅+⋅=]d )d d (ln 2[2222z zy x y y x x z zy x +++⋅=+．（6）因为132u x x y z ∂=∂-+，332u y x y z ∂-=∂-+，232u z x y z∂=∂-+，所以 d 3d 2d d 3d 2d d 32323232x y z x y zu x y z x y z x y z x y z--+=++=-+-+-+-+．2.求函数zxyu )(=在点)1,2,1(-处的全微分．解:).ln()( ,1)( ),()(121x y x y y u x x y z y u xy x y z x u z z z ⋅=∂∂⋅=∂∂-⋅=∂∂-- 在点)1,2,1(-处，分别有.2ln 21,41 ,21)1,2,1()1,2,1()1,2,1(=∂∂-=∂∂=∂∂---zuyu xu因此，我们有.2ln 21d 41 21dz y dx dz +-=3.求函数)41ln(22y x z -+=当1=x ，2=y 时的全微分．解 因为22418y x x x z -+=∂∂，22412y x yy z -+-=∂∂，821=∂∂==y x xz ，421-=∂∂==y x yz ，所以y x z d 4d 8d )2,1(-=，4.求函数xy e z =在点()2,1处当2.0,1.0=∆=∆y x 时的全微分．解 由于,2,,,212212e yz e xz xe y z ye x z y x y x xy xy =∂∂=∂∂=∂∂=∂∂====所以，当2.0,1.0=∆=∆y x 时，函数xye z =在点（2，1）处的全微分为.5.02.021.0222e e e dz =⋅+⋅=习题9-3（B ）1. 计算()2.021.04的近似值．解： 设函数(,)yz f x y x ==．显然，要计算的值是函数在 1.04, 2.02x y ==时的函数值()1.04,2.02.f取1,2,0.04,0.02.x y x y ==∆=∆=因为 ,),(1-=y x yx y x f ,ln ),(x x y x f y y =(1,2)1,f =(1,2)2,x f =(1,2)0,y f =所以 由公式得 2.02(1.04)120.0400.02 1.08≈+⨯+⨯=． 2．计算3397.102.1+的近似值． 解：考虑函数33y x z +=，取03.002.02100-=∆=∆==y x y x 、、、，而33223yx x z x +='，33223yx y z y +='，3)21(=，z 、2/1)21(='，x z 、2)21(='，y z ，则)(97.102.10033y y x x z ∆+∆+=+，y y x z x y x z y x z y x ∆'+∆'+≈)()()(000000，，，95.206.001.03)03.0(202.05.03=-+=-⨯+⨯+=．3. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=,0,0,0,),(2222222y x y x y x y x y x f 在点)0,0(O 点处讨论偏导数的存在性、偏导数的连续性以及函数),(y x f 的可微性．解：因为00lim )00()0(lim==∆-∆→∆→∆x x xf x f ，，，00lim )00()0(lim==∆-∆→∆→∆x y yf y f ，，，所以在)0,0(O 点处函数)(y x f ，的两个偏导数都存在，且0)10(0)00(==，、，y x f f ．再讨论可微性，函数在)0,0(O 处的全增量用z ∆表示，则222)()()()00()00(y x yx z y f x f z y x ∆+∆∆⋅∆=∆=∆-∆-∆，，，记22)()(y x ∆+∆=ρ，则2/3222)0,0(),(0])()[()(lim )00()00(limy x yx yf x f z y x y x ∆+∆∆∆=∆-∆-∆→∆∆→ρρ，，不存在（沿0=∆x 取极限，其值为0；沿x y ∆=∆取极限，其值为22/1），所以函数)(y x f ，在)0,0(O 点处不可微．进而得偏导（函）数在)0,0(O 点处不连续（若偏导（函）数在)0,0(O 点处连续，根据可微的充分条件，则函数在点)0,0(O 可微，与函数不可微矛盾）．习题9-4（A ）1.求下列函数的全导数： （1）设函数 32,sin ,t v t u ez vu ===-，求dtdz ； （2）设函数t uv z sin +=，而t e u =，t v cos =，求全导数dtdz ； （3）设函数y x z cos 2=而)(x y y =是x 的可微函数，求xzd d ． 解：（1）dtdv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂==)6(cos 3)2(cos 22sin 2223t t e t e t e t t v u vu -=⋅-+---. （2）tzdt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=t t u ve t cos sin +-= t t e t e t t cos sin cos +-=.cos )sin (cos t t t e t+-= （3）=⋅-=∂∂+∂∂=xy y x y x x y y z x z x z d d sin cos 2d d d d 222cos sin ().x y x y y x '-⋅ 2.求下列函数的一阶偏导数：（1）设函数v uz e =，而y x u +=，y x v -=，求x z ∂∂和yz∂∂； （2）设函数122)(++=xy y x z ，求x z ∂∂和yz ∂∂． 解：（1）1e 1e 12⋅-⋅=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂v uv uvu v x v v z x u u z x z =-=v uv u v e 2yx yx y x y -+--e )(22， 21e 1e (1)u uv vz z u z v u y u y v y vv ∂∂∂∂∂=+=⋅-⋅-∂∂∂∂∂2+e u v v u v ==22e ()x yx y x x y +--， （2）这是幂指函数求导，为方便求导，将它写作复合函数，为此令122+=+=xy v y x u 、，则vu z ==⋅+=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂-y u u x vu xv v z x u u z x z v v ln 21)]ln()1(2[)(2222122y x y y x xy x y x xy ++++++，=⋅+=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂-x u u y vu y v v z y u u z y z v v ln 21)]ln()1(2[)(2222122y x x yx xy y y x xy ++++++． 3. 求下列函数的一阶偏导数（其中函数f 具有一阶连续的偏导数或导数）：（1）(e )xyx z f y=，； （2）)(22y x xy f z -=，；（3）)(22y x xf z +=； （4）(,,)u f x xy xyz =． 解：（1）121e xy z f f y x y ∂''=⋅+⋅=∂121e xyf y f y''+， 122()e xy z x f f x y y ∂''=⋅-+⋅=∂122e xy xf x f y''-+． （2）212122f x f y x f y f xz '+'=⋅'+⋅'=∂∂，21212)2(f y f x y f x f y z'-'=-⋅'+⋅'=∂∂．（3）=+⋅'+=∂∂2222yx xf x f x z f y x x f '++222，12y z xf y ⨯∂'==∂f yx xy '+22．（4）1231231uf f y f yz f yf yzf x∂''''''=⋅+⋅+⋅=++∂， 123230uf f x f xz xf xzf y∂'''''=⋅+⋅+⋅=+∂， 123300uf f f xy xyf z∂''''=⋅+⋅+⋅=∂． 4. 设函数)(22y x f y z -=，其中)(u f 是可微函数，证明211y zy z y x z x =∂∂+∂∂． 证：因为)()(22)()(2222222222y x f y x f xy x y x f y x f y x z --'-=⋅--'-=∂∂， )()(2)(1)()2()()(222222222222222y x f y x f y y x f y x f y y x f y y x f y z --'+-=--⋅-'--=∂∂， 所以222222222222112()12().()()()z z yf x y yf x y x x y y f x y yf x y f x y ''∂∂--+=-++∂∂---2222)(yzy x f y y =-=． 5.设函数)(x y xyf z =，其中)(u f 是可微函数，证明z yz y x z x2=∂∂+∂∂． 证：因为)()()()()(22x yf x y x y yf xy x y f xy x y yf x z '-=-⋅'+=∂∂，)()(1)()(xyf y x y xf x x y f xy x y xf y z '+=⋅'+=∂∂，所以 z xy xyf x y f y x y xyf x y f y x y xyf y z y x z x2)(2)()()()(22=='++'-=∂∂+∂∂． 6.利用全微分形式的不变性求函数)cos(222z y x eu zy +++=+ 的全微分．解 令=+=w z y v ,222z y x ++，由一阶全微分形式的不变性，我们有dw w dv e dw wudv v u du v )sin (-+=∂∂+∂∂=， 注意到w v ,又都是z y x ,,的函数，并且,v vdv dy dz dy dz y z∂∂=+=+∂∂ 222.w w w dw dx dy dz xdx ydy zdz x y z∂∂∂=++=++∂∂∂ 将它们带入上式，得.)]sin(2[ )]sin(2[)sin(2 )(2)sin()( )sin (222222222222dz z y x z e dyz y x y edx z y x x zdz ydy xdx z y x dz dy e dww dv e du z y zy z y v ++-+++-+++-=++⋅++-+=-+=+++习题9-4（B ）1.求下列函数的二阶偏导数（其中函数f 具有二阶连续偏导数）： （1）),(y x xy f z +=； （2）)(22y x x f z +=，；解：（1）21f f y xz '+'=∂∂，21f f x y z'+'=∂∂，221211222211211222)()(f f y f y f f y f f y y xz ''+''+''=''+''+''+''=∂∂， 221211222211211222)()(f f x f x f f x f f x x yz''+''+''=''+''+''+''=∂∂， 221211122211211122)()()(f f y x f xy f f f x f f x y f xy zy x z ''+''++''+'=''+''+''+''+'=∂∂∂=∂∂∂． （2）212f x f xz '+'=∂∂，221220f y f y f y z'='+⋅'=∂∂，2221211222212121122442)2(22)2(f x f x f f f x f x f f x f xz''+''+''+'=''+''+'+''+''=∂∂， 2222222122242)20(22f y f f y f y f yz''+'=''+⋅''+'=∂∂， 221222212242)2(2f xy f y f x f y xy zy x z ''+''=''+''=∂∂∂=∂∂∂． 2. 设函数)(3x yxy f x z ，=，其中函数)(v u f ，有二阶连续偏导数，求yx z y z y z ∂∂∂∂∂∂∂222、、．解：2214213)1(f x f x f xf x x y z '+'='+'=∂∂， 24253111221*********11()()2z x xf f x xf f x f x f xf y x x∂''''''''''''''=+++=++∂， )(2)(422221221221141322f x yf y x f x f x y f y x f x x y z y x z ''-''+'+''-''+'=∂∂∂=∂∂∂ 2211421324f y f y x f x f x ''-''+'+'=． 3.设),(y x f z =有连续的一阶偏导数，且θθsin ,cos r y r x ==.求θ∂∂∂∂zr z ,，并证明 .)()()(1)(22222y z x z z r r z ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂θ解 由链式法则，得cos sin ,sin cos .z z x z y z z r x r y r x yz z x z y z z r r x y x yθθθθθθθ∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=-⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂于是有222)(1)(θ∂∂+∂∂z r r z 222)cos sin (1)sin (cos y zr x z r r y z x z ∂∂⋅+∂∂⋅-+∂∂⋅+∂∂⋅=θθθθ.)()(22yz x z ∂∂+∂∂=习题9-5（A ）1.若函数)(x y y =分别由下列方程确定，分别求xy d d ： （1）1cos y x y =+； （2）yx y e 2+=； （3）xyy x arctan ln22=+；解 （1）法1：设()1cos F x y y x y =--，，则cos 1sin x y F y F x y =-=+、， 所以d cos .d 1sin x y F y y x F x y=-=+ 法2：方程1cos y x y =+两边同时对x 求导，有d d cos sin d d y yy x y x x=-，解得d cos d 1sin y yx x y=+． （2）方程yx y e 2+=两边同时对x 求导，有xy x y yy d d e 1d d 2+=，解得yy x y e 21d d -=． （3）令()221(,)arctanln arctan ,2y yF x y x y x x==+- 则 ,),(22y x y x y x F x ++=,),(22yx xy y x F y +-= y x F F dx dy -= .xy yx -+-= 2. 设()y y x =由方程 1yy xe =+所确定的隐函数，求 202.x d ydx=解 令 (.)1; 1yyy dy e F x y xe y dx xe =+-=--， 当0x =时01y =+，此时x dy e dx==，所以222(1)()(1)yy y y y y dy dy e xe e e xe d ydx dx dx xe --+=--，222022(01)(0)2(01)x d y e e e e dx =--+=-=-. 3.设函数y x z =，而函数)(x y y =由方程yy x e +=确定，求全导数xz d d ． 解：方程yy x e +=两边同时对x 求导，有x y x y y d d e d d 1+=，得yx y e 11d d +=， =+=∂∂+∂∂=-x y x x yx x y y z x z x z yy d d ln d d d d 1y y y x x yx e1ln 1++-． 4. 若函数),(y x z z =分别由下列方程确定，求x z ∂∂及yz∂∂． （1）21z y xz -=； （2）xyz z y x 2222=-+； （3）22)sin(xyz xyz =； （4）yz z x ln =． 解：（1）法1：设1)(2--=xz y z z y x F ，，，则x yz F z F z F z y x -==-=22、、，所以xyz z F F y z x yz z F F x z z y z x --=-=∂∂-=-=∂∂222，． 法2：方程21z y xz -=两边对x 求导，有20z zyzz x x x∂∂--=∂∂，得x yz z x z -=∂∂2， 方程21z y xz -=两边对y 求导，有022=∂∂-+∂∂y z x z y z yz ，得xyz z y z --=∂∂22．（以下都按方法2作）（2）方程xyz z y x 2222=-+两边同时对x 求导，有xzxy yz x z zx ∂∂+=∂∂-2222，得 xyz yzx x z +-=∂∂， 方程xyz z y x 2222=-+两边同时对y 求导，有yzxy xz y z zy ∂∂+=∂∂-2222，得 xy z xz y y z +-=∂∂（或由变量y x 、的对称性，得xyz xzy y z +-=∂∂）．（3）方程22)sin(xyz xyz =两边对x 求导，有xz xyz yz x z xyz yz xyz ∂∂+=∂∂+⋅2)2()cos(222， 即0)2](1)[cos(22=∂∂+-x z xyzyz xyz ，而01)cos(2≠-xyz ，所以022=∂∂+xzxyz yz ，得x z xyz yz x z 222-=-=∂∂，由变量y x 、对称性有yzy z 2-=∂∂． （4）方程yzz x ln =改写为)ln (ln y z z x -=， 方程)ln (ln y z z x -=两边对x 求导，有x zz x x z z z y z x z ∂∂+=∂∂+∂∂=)1(1ln 1，得zx z x z +=∂∂，方程)ln (ln y z z x -=两边对y 求导，有)11(ln 0y y z z z y z y z -∂∂+∂∂=，得)(2z x y z y z +=∂∂． 5.设04222=-++z z y x ，求22xz∂∂.解： 令,4),,(222z z y x z y x F -++=则 ,2x F x = ,42-=z F z,2zx F F x z z x -=-=∂∂222(2)(2)z z xz x x z ∂-+∂∂=∂- 2)2(2)2(z z xx z --⋅+-=.)2()2(322z x z -+-=6.若函数),(z y x x =，),(z x y y =，),(y x z z =都是由方程0),,(=z y x F 确定的隐函数，其中),,(z y x F 有一阶连续非零的偏导数，证明1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂xzz y y x ． 证：因为zx y z x y F F x zF F z y F F y x -=∂∂-=∂∂-=∂∂、、，所以1)()()(-=-⋅-⋅-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂zx y z x y F F F F F F x z z y y x ． 7.若z 是,x y 的函数，并由 222()zx y z yf y ++=确定，求,z z x y∂∂∂∂.解：令 222(,,)()z F x y z x y z yf y =++-22()+()12()2()x y z F x z z zF y f f y y y z zF z yf z f y y y='=-''=-=-，，，因此，2212()()2x zF z x x z z x F z yf f zy y y∂=-=-=∂''-⋅-，2()()()2()().1()()2y zz z z z z zy f yf y f f F z y y y y y y z z y F z yf f zy y y ''----+∂=-=-=∂''-22-习题9-5（B ）1.设函数xyz u e =，而函数)(x y y =、)(x z z =分别由方程xyy e =及z xz e =确定，求全导数xud d ． 解：方程xyy e =两边同时对x 求导，有)d d ()d d (e d d xy x y y x y x y x y xy+=+=，得xy y x y -=1d d 2， 方程z xz e =两边同时对x 求导，有x z xz x z x z xz z d d d d e d d ==+，得xxz zx z -=d d ，所以 xxz z xy xy y xz yz x z z u x y y u x u x u xyz xyzxyz -+-+=∂∂+∂∂+∂∂=e 1e e d d d d d d 2 )11(e2-+-+=z yzxy z xy yz xyz．2．设函数32yz x u =，而),(y x z z =由方程xyz z y x 3222=++确定，求)1,1,1(xu ∂∂．解：方程xyz z y x 3222=++两边同时对x 求导，有)(322xzxy yz x z zx ∂∂+=∂∂+，用1=x 、11==z y 、代入，有 (1,1,1)(1,1,1)223(1)zz xx∂∂+=+∂∂，得1)1,1,1(-=∂∂xz ．于是x z yz x xyz x u ∂∂+=∂∂22232，所以13232)1,1,1()1,1,1(-=-=∂∂+=∂∂xzxu ．3．设),(xyz z y x f z ++=，求x z ∂∂，y x ∂∂，zy ∂∂. 解： 令,z y x u ++= ,xyz v = 则 ),,(v u f z = 把z 看成y x ,的函数对x 求偏导数得xz∂∂ )1(x z f u ∂∂+⋅= ),(x z xy yz f v ∂∂+⋅+整理得xz ∂∂ ,1v u vu xyf f yzf f --+=把x 看成y z ,的函数对y 求偏导数得)1(0+∂∂⋅=yx f u ),(y xyz xz f v ∂∂+⋅+整理得yx ∂∂ ,v u vuyzf f xzf f ++-= 把y 看成z x ,的函数对z 求偏导数得)1(1+∂∂⋅=z y f u ),(zyxz xy f v ∂∂+⋅+ 整理得zy ∂∂ .1v u vu xzf f xyf f +--=4.若函数),(y x z z =由方程133=-xyz z 确定，求yx z∂∂∂2．解：方程133=-xyz z 两边对x 求导，有0)(332=∂∂+-∂∂xz xy yz x z z，得xy z yz x z -=∂∂2，由变量y x 、的对称性，得xyz xzy z -=∂∂2．法１：等式0)(2=∂∂+-∂∂xzxy yz x z z两边同时对y 求导，有 0)(2222=∂∂∂+∂∂+∂∂+-∂∂∂+∂∂∂∂yx z xy x z x y z y z y x z z x z y z z， 即2222242222222)()2()(2)(xy z y x xyz z z xy z xyz z xy z yz x xy z xz y z y x z xy z ---=---+-+=∂∂∂- 所以=∂∂∂y x z 2322224)()2(xy z y x xyz z z ---． 法２：)(22xyz yz y y x z -∂∂=∂∂∂ 322224222)()2()()2())((xy z y x xyz z z xy z x yz z yz xy z y z y z ---=--∂∂--∂∂+=．5.设 (,)F u v 具有连续的偏导数，方程 [(),()]0F a x z b y z --=（其中,a b 是非零常数）确定z 是,x y 的隐函数，且0aFu bFv +≠，求z zx y∂∂+∂∂. 解：令 (),()u a x z v b y z =-=-因此,x u u z u v u vF aF aF zx F aF bF aF bF ∂=-=-=∂--+y v v z u v u vF bF bF zy F aF bF aF bF ∂=-=-=∂--+，1u v u v u vaF bF z z x y aF bF aF bF ∂∂+=+=∂∂++. 6. 求由下列方程组所确定函数的导数或偏导数： （1）⎩⎨⎧=++=++，，41222z y x z y x 求x y d d 和xzd d ． （2）⎩⎨⎧-=+=，，v u y v u x uu cos e sin e 求x v y u x u ∂∂∂∂∂∂、、及y v∂∂．解：（1）方程组⎩⎨⎧=++=++41222z y x z y x ，两边同时对x 求导，有⎪⎩⎪⎨⎧=++=++，，0d d 2d d 220d d d d 1x z z x y y x x zx y 消去xz d d ，有0)d d 1(d d =+-+x y z x y y x ，得z y x z x y --=d d ，而z y yx x y x z --=--=d d 1d d ．（2）方程组⎩⎨⎧-=+=vu y v u x uu cos e sin e ，两边同时对x 求导， 有⎪⎩⎪⎨⎧∂∂+∂∂-∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=)2(.sin cos e 0)1(cos sin e 1x vv u v x u x u x v v u v x u x u u u ，（1）sin v ⨯-（2）cos v ⨯，有xux u v v v u∂∂+∂∂-=)cos (sin e sin ， 得)cos (sin e 1sin v v vx u u -+=∂∂，再代入到（2）之中得)]cos (sin e 1[e cos v v u v x v uu -+-=∂∂． 方程组⎩⎨⎧-=+=v u y v u x u u cos e sin e ，两边同时对y 求导，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂-∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=.sin cos e 1cos sin e 0y vv u v y u y u y v v u v y u y u u u ， 与前面解法类似，得)cos (sin e 1cos v v vy u u -+-=∂∂，)]cos (sin e 1[e in v v u v s y v u u -++=∂∂．习题9-6（A ）1.求下列函数的极值：（1）222),(y x x y x f --=； （2）x y x y x y x f 936),(2233+++-=； （3）)2(e ),(2y y x y x f x++=； （4）2/322)(1),(y x y x f +-=．解：（1）定义域为全平面，并且函数处处可微．由⎩⎨⎧=-==-=，，，，02)(022)(y y x f x y x f y x 得唯一驻点)01(，．2)01(0)01(02)01(-====<-==，、，、，yy xy xx f C f B f A ，042>=-B AC ，根据二元函数极值的充分条件，点)01(，是函数的极大值点，极大值为1)0,1(=f ，该函数无极小值．（2）定义域为全平面，并且函数处处可微．由⎪⎩⎪⎨⎧=+-==++=，，，，063)(09123)(22y y y x f x x y x f y x 即⎩⎨⎧=-=++，，0)2(0)3)(1(y y x x 得函数的所有驻点是)23()03()21()01(4321，、，、，、，----P P P P ． 66)(0)(126)(+-====+==y y x f C y x f B x y x f A yy xy xx ，、，、，，对上述诸点列表判定：所以函数的极大值为4)2,3(=-f ，极小值为4)0,1(-=-f ．（3）定义域为全平面，并且函数处处可微．由⎪⎩⎪⎨⎧=+==+++=，，，，0)22(e )(0)21(e )(2y y x f y y x y x f xyx x 得唯一驻点(01)-，．x yy x xy x xx y x f y y x f y y x y x f e 2)()22(e )()22(e )(2=+=+++=，、，、，， 01>=A 、0=B 、2=C ，022>=-B AC ，根据二元函数极值的充分条件，点)10(-，是函数的极小值点，极小值1)1,0(-=-f ，该函数无极大值．（4）定义域为全平面，函数处处可微．由⎪⎩⎪⎨⎧=+-==+-=，，，，03)(03)(2222y x y y x f y x x y x f y x 得唯一驻点)00(，．由于在)00(，点处函数的二阶偏导数不存在，不能用定理8.2判定，为此根据极值的定义，当022≠+y x （即非)00(，点）时)00(1)(1),(2/322，f y x y x f =<+-=，所以点)00(，是该函数的极大值点，极大值为1)0,0(=f ，该函数无极小值． 2.求函数 5020(0,0)z xy x y x y=++>> 的极值． 解： 由 22500200z y xx z x yy ∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-=∂⎪⎩，解出 52.x y ⎧⎨=⎩＝，222232310040, 1, z z z x y x x y y∂∂∂===∂∂∂∂ 在点(5,2)处，233100404130, 0552AC B A -=⋅-=>=>所以函数在(5,2)处由极小值 (5.2)30z=.3.求曲面 21 (0)z xy z -=>上到原点距离最近的点．解：设 222F,,,(1)x y z x y z z xy λλ+++--2()=，则 2202022010Fx y x F y x y F z z z z xy λλλ∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎪∂⎨⎪∂=+=⎪∂⎪⎪--=⎩，解出 0011.x y z λ=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=-⎩，，， 因为(0,0,1)是 2222d x y z =++在0z >时的唯一驻点，由题意可知在0z >的曲面上存在与原点距离最小的点，所以(0,0,1)即为所求的点． 4. 将正数12分成三个正数z y x ,,之和 使得z y x u 23=为最大. 解 令 )12(),,(23-+++=z y x z y x z y x F λ,则223323020012x y z F x y z F x yz F x y x y z λλλ'⎧=+=⎪'=+=⎪⎨'=+=⎪⎪++=⎩，，，，解得唯一驻点)2,4,6(， 故最大值为.691224623max =⋅⋅=u5. 用面积为12（m 2）铁板做一个长方体无盖水箱，问如何设计容积最大？解 设水箱的长、宽、高分别为z y x 、、，体积为V ，则目标函数为xyz V =（，0>x ，0>y 0>z ），附加条件是1222=++yz xz xy ． 设)1222()(-+++=yz xz xy xyz z y x L λ，，（000>>>z y x ，，），由(2)0(2)02()02212x yz L yz y z L xz x z L xy x y xy xz yz λλλ=++=⎧⎪=++=⎪⎨=++=⎪⎪++=⎩，，，，得唯一可能极值点12===z y x 、， 根据实际意义，当长方体表面积一定是其体积有最大值，所以当长、宽都为2（m ），高为1（m ）时无盖长方体水箱容积最大(此时体积为4（m 3）)． 6.在斜边长为l 的直角三角形中，求周长最大的三角形及其周长．解：设两直角边长分别为y x 、，三角形周长为L ，则目标函数是l y x L ++=（00>>y x ，），附加条件为222l y x =+．设)()(222l y x l y x y x F -++++=λ，，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==+=，，，222021021l y x y F x F y x λλ在00>>y x ，时得唯一可能极值点2l y x ==，由实际意义，斜边长为一定的直角三角形中，周长有最大值，所以当两直角边长都为2l （即等腰直角三角形）时，其周长最大，且最大周长为l )21(+．7.有一宽为24cm 的长方形铁板，把它折起来做成一断面为等腰梯形的水槽．问怎么折才能使断面的面积最大．解 设折起来的边长为xcm ，倾角为α（图8-17），那么梯形的下底长为242x -，上底长为2422cos x x α-+，高为sin x α，所以断面的面积为1[(2422cos )242]sin 2=-++-⋅A x x x x αα，即2224sin 2sin cos sin (012,0)2A x x x x πααααα=-+<<<≤.为求其最大值，我们先来解方程组222224sin 4sin 2sin cos 0,24cos 2cos +(sin cos )0.x A x x A x x x ααααααααα=-+=⎧⎨=--=⎩ 由于sin 0,0x α≠≠，将上述方程组两边约分，得122cos 0,24cos 2cos cos 20.=-+=⎧⎨=-+=⎩x A x x A x x ααααα 解这个方程组，得,8().3x cm πα==根据题意，断面面积的最大值一定存在，又由A 的定义，0,12;0.x α≠≠因此最大值点只可能在区域的内部或开边界2πα=上取到．但当2πα=时，2242A x x =-的最大值为72．因此，该函数的最大值只能在区域的内点处取得，而它只有一个稳定点，因此可以断定(8,)=483723A π>是其最大值．即将铁板折起8cm ，并使其与水平线成3π角时所得断面面积最大．24242x-ax a。

第二章 导数与微分练习题及习题详细解答练习题2.11．已知质点作直线运动的方程为23s t =+，求该质点在5t =时的瞬时速度．解 由引例2.1可知，质点在任意时刻的瞬时速度d 2d sv t t==．代入5t =，得10v =． 2．求曲线cos y x =在点π(6处的切线方程和法线方程． 解 由导数的几何意义知，曲线cos y x =在π(6点切线的斜率 ππ661(cos )(sin )2x x k x x =='==-=-，所以，切线方程为1π()226y x -=--，即612π=0x y +-．法线方程为π2()6y x =-，即1262π=0x y -+． 3．讨论函数32,0()31,013,1x f x x x x x ⎧≤⎪=+<≤⎨⎪+>⎩在0x =和1=x 处的连续性与可导性．解 在0x =处，0lim ()lim 22x x f x --→→==，0lim ()lim (31)1x x f x x ++→→=+=， 由于0lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠，所以不连续，根据可导与连续的关系知，也不可导． 在1x =处，11lim ()lim(31)4x x f x x --→→=+=，311lim ()lim(3)4x x f x x ++→→=+=，(1)4f =， 所以连续．又00(1)(1)3(1)lim lim 3x x f x f xf x x---∆→∆→+∆-∆'===∆∆， 2300(1)(1)33()()(1)lim lim 3x x f x f x x x f x x+++∆→∆→+∆-∆+∆+∆'===∆∆，所以可导．4．已知函数()f x 在点0x 处可导，且0()f x A '=，求下列极限：000(5)()(1)limx f x x f x x ∆→-∆-∆； 000(2)()(2)lim h f x h f x h →+-解 （1）000000(5)()(5)()55()55limlim x x f x x f x f x x f x f x A x x ∆→∆→-∆--∆-'=-=-=-∆-∆;(2)000000(2)()(2)()22()22limlim h h f x h f x f x h f x f x A h h →→+-+-'===．5．求抛物线2y x =上平行于直线43y x =-+的切线方程．解 由于切线平行于43y x =-+，所以斜率为4k =-．又2k y x '==，所以2x =-．对应于抛物线上的点为(2,4)-，所以切线方程为44(2)y x -=-+，即440x y ++=．练习题2.21．求下列函数的导数：（1）100(21)y x =-； （2）22e xxy +=；（3）sin(3π)y x =+； （4）2cos y x =； （5）2e sin x y x =； （6）2ln(1)y x =+； （7）tan 2y x =； （8）cot 3y x =； （9）arctan(31)y x =+； （10）arcsin(41)y x =+． 解 （1）9999100(21)(21)200(21)y x x x ''=--=-； （2）22222e (2)e (41)xxxxy x x x ++''=+=+；（3）cos(3π)(3π)3cos(3π)y x x x ''=+⋅+=+； （4）2cos (cos )2sin cos sin 2y x x x x x ''=⋅=-=-；（5）22222(e )sin e (sin )2e sin e cos e (2sin cos )xxxxxy x x x x x x '''=+=+=+； （6）22212(1)11x y x x x''=⋅+=++； （7）22sec 2(2)2sec 2y x x x ''=⋅=； （8）22csc 3(3)3csc 3y x x x ''=-⋅=-；（9）2213(31)1(31)1(31)y x x x ''=⋅+=++++；（10）(41)y x ''=+=2．设y =d d y x ．解对于y =[]1ln ln(1)ln(2)ln(3)ln(4)3y x x x x =+++-+-+ 两边对x 求导，得111111()31234y y x x x x '=+--++++ 所以1111()1234y x x x x '=+--++++ 3．求曲线31x ty t =+⎧⎨=⎩上，点(1,0)处的切线方程． 解 点(1,0)对应参数t 的值为0． 设k 为曲线上对应(1,0)点的切线斜率，则32000d ()30d (1)1t t t y t t k x t ==='===='+，于是，所求切线方程为0y =，即x 轴．4．求由方程3330y x xy --=所确定的隐函数的导数d d y x． 解 方程两边对x 求导，可得22333()0y y x y xy ''--+=由上式解出y '，便得隐函数的导数为22x yy y x+'=-（20y x -≠）． 练习题2.31．求下列函数的微分：（1）22sin 34y x x x =+-+； （2）2ln y x x x =-； （3）2(arccos )1y x =-； （4）arctan y x x =； （5）ln tan 2x y =； （6）sin ln 57xy x x x x=++-； （7）1cos 2xy -=； （8）3(e e )x x y -=+．解 （1）22d (sin 34)d (2sin 23)d y x x x x x x x '=+-+=+-； （2）2d (ln )d (ln 12)d y x x x x x x x '=-=+-； （3）2d ((arccos )1)d y x x x '=-=；（4）2d (arctan )d (arctan )d 1xy x x x x x x '==++； （5）2111d (ln tan )d sec d d csc d 222sin tan 2x x y x x x x x x x '==⋅⋅==；（6）2sin cos sin d (ln 57)d (ln 6)d x x x xy x x x x x x x x-'=++-=++； （7）11cos cos d (2)d 2ln 2sec tan d xxy x x x x --'==-⋅；（8）32d (e e )d 3(e e )(e e )d x x x x x xy x x ---'⎡⎤=+=+-⎣⎦． 2．填空． （1）23d d()x x =（2）21d d()1x x =+ （3）2cos2d d()x x = （4）21d d()x x= 解 （1）3x C +； （2）arctan x C +； （3）sin 2x C +； （4）1C x-+． 3解=()f x =064x =，1x ∆=．因为000()()()f x x f x f x x '+∆≈+∆，()f x ''==所以1188.062516=≈=+=．4．半径为10m 的圆盘，当半径改变1cm 时，其面积大约改变多少？解 圆盘面积函数为2S πR =，并取0R 10m =，R 1cm 0.01m ∆==．因为 S 2πR '= 所以面积改变量2S dS 2πR R 2π100.010.2π0.628m ∆≈=⋅∆=⨯⨯=≈．习题二1．如果函数()f x 在点0x 可导，求：（1）000()()limh f x h f x h →--； （2）000()()lim h f x h f x h hαβ→+--．解 （1）0000000()()()()limlim ()h h f x h f x f x h f x f x h h →-→----'=-=--； （2）00000000()()()()()()lim lim h h f x h f x h f x h f x f x f x h h hαβαβ→→+--+-+--=0000000()()()()limlim ()()h h f x h f x f x h f x f x h hαβαβαβαβ→→+---'=+=+-2．求函数3y x =在点(2,8)处的切线方程和法线方程． 解 由导数的几何意义，得3222()312x x k x x =='===切，112k =-法． 所以，切线方程为812(2)y x -=-即12160x y --=．法线方程为18(2)12y x -=--即12980x y +-=．3．设2, 1(), 1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩，试确定,a b 的值，使()f x 在1x =处可导．解 若()f x 在1x =处可导，则必在1x =处连续．1lim ()1x f x -→=，1lim ()x f x a b +→=+， 11lim ()lim ()x x f x f x -+→→=，即1a b +=． 又2111()(1)1(1)limlim lim(1)211x x x f x f x f x x x ----→→→--'===+=--， 111()(1)1(1)(1)lim lim lim 111x x x f x f ax b a x f a x x x ++-+→→→-+--'====--- 所以 2a =，1b =-． 4．求下列各函数的导数：（1）231251y x x x =-++； （2）2sin y x x =； （3）1cos y x x =+； （4）1ln 1ln xy x-=+．解 （1）23413(251)45y x x x x x''=-++=++；（2）22(sin )2sin cos y x x x x x x ''==+； （3）221(cos )sin 1()cos (cos )(cos )x x x y x x x x x x '+-''==-=+++；（4）21ln (1ln )(1ln )(1ln )(1ln )()1ln (1ln )x x x x x y x x ''--+--+''==++ 2211(1ln )(1ln )2(1ln )(1ln )x x x x x x x -+--==-++ ． 5．求下列函数的导数：（1）36()y x x =-； （2）y =；（3）2sin (21)y x =-； （4）21sin y x x=； （5）ln1xy x=-； （6）[]ln ln(ln )y x =； （7）ln(y x =； （8）arcsin 2x y x =+解 （1）3533526()()6()(31)y x x x x x x x ''=--=--；（2）322(1)y x -'==-； （3）2sin(21)cos(21)(21)2sin(42)y x x x x ''=-⋅-⋅-=-； （4）22221111111()sin(sin )2sin cos ()2sin cos y x x x x x x x x x x x x'''=+=+⋅-=-； （5）lnln ln(1)1x y x x x ==---，∴1111(1)y x x x x -'=-=--； （6）[]{}[]1ln ln(ln )ln(ln )(ln )ln ln(ln )y x x x x x x ''''=⋅⋅=；（7）((1y x ''==+=;（8）1arcsin22x y '=++arcsin arcsin 22x x=+=．6．若以310cm /s 的速率给一个球形气球充气，那么当气球半径为2cm 时，它的表面积增加的有多快？解 设气球的体积为V ,半径为R ，表面积为S ，则34π3V R =，24πS R =． d d d d d d V V R t R t =⋅，d d d d d d S S Rt R t =⋅， 2d d d d dV 12d 8πd d d d dt 4πd S S V R V R t R t V R R t ∴=⋅⋅=⋅⋅=, 将3d 10cm /s d V t =，2cm R =代入得，2d 10cm /s d St=．7．求下列函数的高阶导数：（1）2sin 2y x x =，求y '''； （2）y =5x y =''． 解 （1）Q 22sin 22cos2y x x x x '=+，22sin 24cos24cos24sin 2y x x x x x x x ''=++-22sin 28cos 24sin 2x x x x x =+-，∴24cos28cos216sin 28sin 28cos2y x x x x x x x x '''=+---212cos 224sin 28cos 2x x x x x =--．（2）Q 2y '==y ''==23222(24)(16)x x x -=-，∴5x y =''1027=． 8．求由下列方程所确定的隐函数的导数： （1）3330y x xy +-=； （2）arctan ln yx=． 解 （1）方程两边对x 求导，得22333()0y y x y xy ''+-+=，从中解出y '，得22y x y y x-'=-． （2）方程两边对x 求导，得2222112221()xy y x yy y x x y x''-+⋅=⋅++， 从中解出y '，得x yy x y+'=-． 9．用对数求导法求下列各函数的导数：（1）y =； （2）cos (sin )x y x = (s i n 0)x >．解 （1）方程两边取对数，得11ln ln(23)ln(6)ln(1)43y x x x =++--+，两边对x 求导，得1211234(6)3(1)y y x x x '=+-+-+， 即211[234(6)3(1)y x x x '=+-+-+ （2）方程两边取对数，得cos ln ln(sin )cos lnsin x y x x x ==⋅两边对x 求导，得11sin ln sin cos cos sin y x x x x y x'=-⋅+⋅⋅ sin lnsin cos cot x x x x =-⋅+⋅，即cos (sin )(sin lnsin cos cot )x y x x x x x '=-⋅+⋅．10．求由下列各参数方程所确定的函数()y y x =的导数：（1）33cos sin x a t y b t ⎧=⎪⎨=⎪⎩； （2）e cos e sin tt x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，求π2d d t y x =． 解 （1）22d d 3sin cos d tan d d 3cos sin d yy b t t bt t x x a t t a t===--；（2）Q d d e (sin cos )sin cos d d d e (cos sin )cos sin d t t yy t t t tt x x t t t t t++===--， ∴π2d d t y x =π2sin cos 101cos sin 01t t tt t=++===---． 11．求下列函数的微分： （1）ln sin2x y =； （2）1arctan 1x y x+=-； （3）e 0x yxy -=； （4）24ln y y x +=．解 （1）111d (lnsin )d (cos )d cot d 22222sin 2x x xy x x x x '==⋅⋅=； （2）2221(1)(1)1d d d 1(1)11()1x x y x x x x x x-++=⋅=+-++- （3）方程两边同时取微分，得d(e )d()0x yxy -=，2d de (d d )0x yy x x yy x x y y-⋅-+=， 整理得22d d xy y y x x xy-=+．（4）方程两边同时取微分，得312d d 4d y y y x x y+=， 整理得324d d 21x yy x y =+．12．利用微分求近似值：（1）sin3030︒'； （2解 （1）设()sin f x x =，则0π306x ︒==，π30360x '∆==，()cos f x x '=．11 / 11 000sin3030()()()f x x f x f x x ︒''=+∆≈+∆πππsincos 0.507666360=+⋅≈ （2）设()f x =064x =，1x ∆=，561()6f x x -'=．000()()()f x x f x f x x '=+∆≈+∆5611(64)12 2.00526192-⋅=+≈ 13．已知单摆的振动周期2T =2980cm/s g =，l 为摆长（单位为cm ），设原摆长为20cm ，为使周期T 增大0.05s ，摆长约需加长多少？解由2T =224πgT l =，02T =0.05s T ∆=，22πgT l '=． 所以027d 0.050.050.05 2.23cm 2ππgT l l l T '∆≈=⋅∆=⋅===≈， 即摆长约需加长2.23cm ．。

第四章 导数的应用习题 4－11. 验证下列各函数在所给区间上是否满足罗尔定理，如果满足，试求出定理中的ξ．(1)()f x =3x x -，[-1，1] (2)()f x =321x - [-1，1]解 (1) 因为函数3()f x x x =-是多项式函数，所以()f x 在[-1，1]上连续,在(-1,1)内可导, 且 (1)(1)0,f f -==故该函数在[-1，1]上满足罗尔定理条件,则至少存在一点(1,1)ξ∈-,使得2'()310 f ξξ=-=即ξ=(2)不满足.因为'()f x =,所以()f x 在x =0处不可导,故函数在[-1,1]上不满足罗尔定理的条件.2．验证下列各函数在所给区间上是否满足拉格朗日中值定理．如果满足，试求出定理中的ξ．(1) 311)(-+=x x f [2，9]（2）101()[0,3]113x x f x x x -+≤≤⎧=⎨-<≤⎩，，解 (1)因为函数()1f x =+()f x 在[2,9]上连续,在(2,9)内可导, 满足拉格朗日中值定理的条件, 则至少存在一点(2,9)ξ∈, 使得(9)(2)'()(92)f f f ξ-=-即1ξ=+ (负值舍去).(2) 因为()11f x x x =-=在处不可导,故不满足拉格朗日中值定理.3. 验证柯西中值定理对函数3()2f x x x =++及2()1g x x =+在区间[0，1]上的正确性，并求出相应的ξ值．解 因为3()2f x x x =++及2()1g x x =+是多项式函数，所以()f x 与 ()g x 在区间[0，1]上连续,在(0,1)内可导,且在(0,1)内,02)('≠=x x g 故满足柯西中值定理条件,则至少存在一点(0,1)ξ∈,使得(1)(0)'()(1)(0)'()1(13f f fg g g ξξξξ-=-==即舍去）.4. 证明方程51030x x ++=有且只有一个实根.证 设5()103f x x x =++ 先证方程()f x = 0根的存在性. 因为lim (),lim ()()x x f x f x f x →-∞→+∞=-∞=+∞，而在区间（-∞，+∞）上连续，所以)(x f 在R 上满足零值定理条件,于是方程)(x f = 0在R 内至少有一个根.再证方程)(x f =0根的唯一性.假设方程)(x f =0至少有两个根βα,,即.0)()(==βαf f 则)(x f 在],[βα上满足罗尔定理条件,所以至少存在一点,0)('),,(=∈ξβαξf 使得即50104=+ξ显然这样的ξ是不存在的,故假设不成立.所以方程51030x x ++=有且只有一个实根.5. 证明不等式：(1)ln(1) (0)(2)1,x x x x x e ex>+>>>当时有证 (1)设)1ln()(t t f +=,不难验证在)(t f 在[0,x ] 上满足拉格朗日中值定理条件,则至少存在一点ξ( 0<ξ<x ),使得1ln(1)1x x x ξ+=⋅<+即 ln(1)x x >+.(2)设()tf t e =,显然()f t 在[1,x ] 上满足拉格朗日中值定理条件, 则至少存在一点ξ(1x ξ<<),使得(1)x e e e x ξ-=-又因为te tf =)(是单调增函数,且1<ξ<x ,所以不等式xe e e <<ξ于是有不等式(1) .x x e e e x e ex ->->即6. 证明恒等式:222arctan arcsin1xx x π+=+(x ≥1).证 令22()2arctan arcsin(1)1xf x x x x =+≥+则222'()1f x x=++因为当1x >时，2(1)0,x -<2(1)x =-- 所以当1x >时，222'()01f x x ==+由拉格朗日中值定理推论1可知，()f x ≡c(x ≥1),取x =1,有(1)f =2arctan1+arcsin1=π且函数()f x 在x =1处连续,所以1lim ()(1)x f x c f π+→===即当x ≥1时,222arctan arcsin1xx x π+=+.7. 不求导数判断函数()(1)(2)(3)f x x x x =---的导数'()0f x = 有几个实根及根的范围.解 不难验证，函数()f x 在区间[1，2]，[2，3]上都满足罗尔定理条件， 故方程'()f x =0至少有两个实根，它们分别在区间（1，2），（2，3）内.8.设()f x 在(a ，b )内二阶可导，且1()f x =2()f x =3()f x ，而a <1x <2x <3x <b ，则在(1x ，3x )内至少存在一点ξ，使得"()0f ξ=.证 因为 a <1x <2x <3x <b , 1()f x =2()f x =3()f x , 所以在区间[1x ,2x ]、[2x ,3x ]上分别满足罗尔中值定理条件。

第三章 导数与微分一、判断题1. 若函数)(x f 在0x 点可导，则00()[()]f x f x ''=；（ ）2. 若)(x f 在0x 处可导，则 )(lim 0x f x x → 一定存在；（ ）3. 函数 x x x f =)( 是定义区间上的可导函数；（ ）4. 函数 x x f =)( 在其定义域内可导；（ ）5. 若 )(x f 在 [,]a b 上连续，则 )(x f 在 (,)a b 内一定可导；（ ）6. 若 ()f x 在 0x 点不可导，则 ()f x 在 0x 不连续；（ ）7. 函数 22,1()ln ,014x x f x x x ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩ 在 1x = 点可导；（ ）8. ()(),()f x f x y e y e f x ''''==已知则；（ ）9. 若 (),n f x x = 则 ()(0)!n f n = ；（ ）10. 2()2d ax b ax += ；（ ）二、填空题1. 设 )(x f 在 0x 处可导，且 A x f =')(0，则 hh x f h x f h )3()2(lim000--+→用A 的代数式表示为_______ ；2.()f x = ，则 (0)f '= _________ ；3. 设 ln e x e y x e x e =+++，则 y '= ______ ；4. ()x x ' = _______；5. 曲线 3y x = 在点 (1,1) 处的切线方程是 ________ ；6. 曲线 x e x y += 在点 (0,1) 的处的切线方程是_______；7. 函数 32sin(1)y x x =+ 的微分 dy =__________ ；8. sin(1)x y e =+ ，dy =_______ ；9. dy y -∆ 的近似值是 _________ ；10. 设 e x y n += ，则 ()n y = ________ ；三、选择题1. 设)(x f 在点0x 处可导，则下列命题中正确的是 ( ) (A) 000()()lim x x f x f x x x →-- 存在 (B) 000()()limx x f x f x x x →--不存在 (C) 00()()lim x x f x f x x →+-存在 (D) 00()()lim x f x f x x ∆→-∆不存在2. 设)(x f 在点0x 处可导且0001lim (2)()4x xf x x f x →=--，则0()f x '等于 () (A) 4 (B) –4 (C) 2 (D) –23. 设 ()y f x = 可导，则 (2)()f x h f x -- = ( )(A) ()()f x h o h '+ (B) 2()()f x h o h '-+(C) ()()f x h o h '-+ (D) 2()()f x h o h '+4. 设 (0)0f = ，且 0()lim x f x x → 存在，则 0()lim x f xx →＝ ( )(A) ()f x ' (B) (0)f ' (C) (0)f (D) 1(0)2f '5. 设 1(2)1f x x +=+ ，则 ()f x '= ( )(A) 21(1)x -- (B) 21(1)x -+ (C) 11x + (D) 11x --6. 函数 x x x f )1()(-=的导数为 ( )(A)x x x )1(- (B)1)1(--x x (C)x x x ln (D))]1ln(1[)1(-+--x x xx x7. 设 21,10()1,02x x f x x ⎧+-<≤=⎨<≤⎩ ，则)(x f 在点x = 0 处 ( )(A) 可导 (B) 连续但不可导 (C) 不连续 (D) 无定义8. 函数)(x f 在 0x x =处连续，是 )(x f 在 0x 处可导的 ( )(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件9. 函数 x xx f =)( 在 0=x 处 ( )(A) 连续但不可导 (B) 连续且可导(C) 极限存在但不连续 (D) 不连续也不可导10.函数 0,0()1,0x f x x x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ ，在点 0x = 不连续是因为 ( )(A) (00)(0)f f +≠ (B) (00)(0)f f -≠(C) (00)f +不存在 (D) (00)f -不存在11.设 21cos ,0()0,01tan ,0x x x f x x x x x⎧<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩ ，则 ()f x 在 0x =处（ ）(A) 极限不存在 (B) 极限存在，但不连续(C) 连续但不可导 (D) 可导12. 函数 )(x f e y =，则 ="y ( )(A) )(x f e (B) )(")(x f e x f (C) 2)()]('[x f e x f (D) )}(")]('{[2)(x f x f e x f +13. 设 x x y e e -=+ ，则 y ''=( )(A) x x e e -+ (B) x x e e -- (C) x x e e --- (D) x x e e --+14. 已知 ln y x x = ，则 (10)y = ( )(A) 91x - (B) 91x (C) 98!x (D) 98!x- 15. 已知 sin y x = ，则 (10)y = ( )(A) sin x (B) cos x (C) sin x - (D) cos x -四、计算与应用题1.设 x y e y ln = 确定 y 是 x 的函数，求dxdy2.方程 0y x e e xy -+= 确定 y 是 x 的函数，求 y '3.方程 2cos 0y y x e += 确定 y 是 x 的函数，求 y '4.设 21(1)arctan cos 2y x x x =++，求 y '5.ln tan 2x y = ，求 'y 及 dy6.221cos 5ln x x y -+= ，求 y ' 及 dy7.y e = ，求 y ' 及 dy8.xy e y x -= ，求 y ' 及 dy 9.已知 2cos 3y x =，求 y '10.设 ln(y x x =+，求 y ' 11.设 22arctan()1x y x =- ，求 y '12.设 x y x = ，求 y ' 13.求 13cos x y e x -= 的微分14.求 2xe y x = 的微分 15.设 )ln(ln x y =，求 dy16.设 xx y 1cos 1ln+= ，求 dy 17.设 cos 2x y e = ，求 dy18.3cos cos x y x x e =+ ，求 dy 19.ln y x x = ，求 y ''20.已知 ()sin3f x x = ，求 ()2f π''。

第二章 导数与微分(A)1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，相应函数的改变量=∆y ( )A ．()x x f ∆+0B ．()x x f ∆+0C ．()()00x f x x f -∆+D ．()x x f ∆0 2．设()x f 在0x 处可，则()()=∆-∆-→∆xx f x x f x 000lim( )A ．()0x f '-B ．()0x f -'C ．()0x f 'D ．()02x f ' 3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dxdy( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x 5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( )A ．左导数存在；B ．右导数存在；C ．左右导数都存在D ．有定义 6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( ) A ．1 B ．0 C ．-1 D ．不存在7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( ) A ．8 B ．12 C ．-6 D ．68．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( )A ．()x f e B ．()()x f e x f '' C ．()()()[]x f x f e x f ''' D ．()()[](){}x f x f e x f ''+'29．若()⎩⎨⎧≥+<=0,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( )A ．2=a ，1=bB ． 1=a ，2=bC ．2-=a ，1=bD ．2=a ，1-=b10．若函数()x f 在点0x 处有导数，而函数()x g 在点0x 处没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．恰有一个有导数D ．至少一个有导数11．函数()x f 与()x g 在0x 处都没有导数，则()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )A ．一定都没有导数B ．一定都有导数C ．至少一个有导数D ．至多一个有导数 12．已知()()[]x g f x F =，在0x x =处可导，则( ) A ．()x f ，()x g 都必须可导 B ．()x f 必须可导C ．()x g 必须可导D ．()x f 和()x g 都不一定可导13．xarctg y 1=，则='y ( )A ．211x +-B ．211x + C ．221x x +- D ． 221x x +14．设()x f 在点a x =处为二阶可导，则()()=-+→hh a f h a f h 0lim ( )A ．()2a f '' B ．()a f '' C ．()a f ''2 D ．()a f ''- 15．设()x f 在()b a ,内连续，且()b a x ,0∈，则在点0x 处( )A ．()x f 的极限存在，且可导B ．()x f 的极限存在，但不一定可导C ．()x f 的极限不存在D ．()x f 的极限不一定存在 16．设()x f 在点a x =处可导，则()()=--→hh a f a f n 0lim。

第三章导数与微分这一章和下一章两章是关于一元函数的微分学部分。

本章主要讨论导数的概念、性质、运算。

对于函数的微分，在理论上和系统上都是更主要的概念，但却用的篇幅不多，似乎有点宣宾夺主。

若注意到函数的可微性和可导性等价，函数微分性的许多内容都是基于导数的。

第一节导数的概念一、问题的提出历史上，建立微积分的两个重要人物；英国的Newton和德国的Leibniz，他们虽然地处两地没有来往，分别从不同的物理和几何的角度提出了同一个问题，就是函数的导数的概念。

1、英国的Newton从物理的角度提出质点运动的瞬时速度。

运动学中质点位移S是时间t的函数)(t S。

在匀速运动时，],t[t0时段上的平均速度0t t t S t S v --=)()(。

而在变速运动时，显然速度v 也是时间t 的函数)(t v 。

那么0t 时点的瞬时速度该如何刻划呢？Newton 用极限的思想将其定义为：0000t t t S t S t v t t --=→)()(lim )( 2、德国的Leibniz 从几何的角度提出平面曲线的切线的问题。

平面几何曲线)(x f y =在一点))(,(00x f x P 处 切线该如何刻划？切线是条直线，在一点处只要知道其斜率就可确定。

可见这个问题的关键是定义切线的斜率。

在曲线上任意取一个动点))(,(x f x M ，则M 、P 两点确定了原曲线的一条割线。

它的斜率为：00x x x f x f k --=)()(。

当动点M 沿曲线向P 点逼近的极限位置就是P 点处的切线，它的斜率应为：000x x x f x f x x --→)()(lim 。

二、导数的概念1、函数)(x f y =在一点处导数的定义。

对于)(x f y =在其定义域内一点0x处0x x x -=∆ 对应得到函数增量)()(00x f x x f y -∆+=∆,若在0→∆x 下y ∆与x ∆之比的极限存在，则称此极限值为)(x f 在0x 点导数值，称)(x f 在0x 点可导， 记为：)()()(lim lim 00000x f xx f x x f x y x x '=∆-∆+=∆∆→∆→∆。

经济数学一元微积分第四章导数及应用第一节微分中值定理本次练习有4题，你已做4题，已提交4题，其中答对4题。

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1.不用求出函数的导数，分析方程有几个实根？()A．0B．1C．2D．3答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：D问题解析：2.=？（）A．0B．1C．-1D．2答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：B问题解析：3.=？，（）A．0B．1C．-1D．2答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：A问题解析：4.求不能使用洛必塔法则。

（）答题：对.错.（已提交）参考答案：√问题解析：元微积分·第四章导数的应用·第二节函数单调性、极值和渐近线本次练习有4题，你已做4题，已提交4题，其中答对4题。

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1.下面关于函数的描述，那两句话是正确的？（）上单调递减上单调递增上单调递减上单调递增A．函数在B．函数在C．函数在D．函数在答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：AC问题解析：2.在上是单调递增的。

（）答题：对.错.（已提交）参考答案：√问题解析：3.函数的极大值就是函数的最大值。

（）答题：对.错.（已提交）参考答案：某问题解析：4.如果函数在点。

（）处二阶可导，且=0，若，则在点处取得极小值答题：对.错.（已提交）参考答案：√问题解析：一元微积分·第四章导数的应用·第三节经济中的优化模型本次练习有2题，你已做2题，已提交2题，其中答对2题。

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1.某厂生产某产品，每批生产台得费用为，得到的收入为，则利润为？（）A．B．C．D．答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：A问题解析：2.在上题中，请问生产多少台才能使得利润最大？（）A．220B．230C．240D．250答题：A.B.C.D.（已提交）参考答案：D问题解析：一元微积分·第四章导数的应用·第四节函数的作图本次练习有1题，你已做1题，已提交1题，其中答对1题。

经济数学配套习题第二章 导数及应用一、选择题1.某商品的需求弹性(0)P E bp b =->，那么，当价格p 提高1%时，需求量会（ ）.A .增加bpB .减少bpC . 减少%bpD .增加 %bp2.若n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)( ，则=')]0([f =（ ）.A .0B .!0n aC .1-n aD .n a3．函数()f x 在0x x =处可导是()f x 在0x x =处可微的( )． A .必要但非充分条件 B .充分但非必要条件C .充分必要条件D .既非充分又非必要条件4．函数342--=x x y 的单调减少区间是（ ）．.(1,).(1,4).(,2).(4,)A B C D -+∞--∞+∞．二、填空题1.某厂每批生产某种产品q 个单位的总成本为()7200()C q q =+千元，获得的收入为201.012)(q q q R -=（千元）．那么，生产这种产品的边际成本为 ，边际收入为 ，边际利润为 ，使边际利润为0的产量q ＝ 个单位． 2.函数kxy e =的弹性E = . 3.设x x x f ln sin )(+=，则=)1(''f . 4.d ( )dx x 23=.5.如果函数)(x f 在点0x 可导，且在该取得极值，则=)(0'x f .三、解答题1.利用导数定义计算x x f =)(的导数．2.求下列各函数的导数（其中a ，n 为常量）（1）x x y 3sin sin 3-=； （2）x x y 5cos 4sin =；（3）xxy cos 1sin +=； （4）y =（5）2log (1)a y x =+； （6）y =（7）ln(y x =； (8)21siny x x=⋅． 3.求下列函数的二阶导数（1）3129223-+-=x x x y ； （2）xx y 12+=； （3）x y 5sin =； （4）1)1(32+-=x y ； （5）2)(x x e e y --=； （6）x x y arctan )1(2+=．4.计算（1）)53sin(-=x y ,求dy ； （2）2x xe y =,求dy ； 5.求下列函数在给定区间上的最大值和最小值（1）4]y x =+ （2）246,[3,10]y x x =-+-6．某工厂生产某种产品x 吨，所需要的成本为()5200C x x =+（单位万元）．将每吨产品投放市场后所得的总收入为2()100.01R x x x =-（单位万元）．问该产品生产多少吨时获利最大？7.求下列函数的极值点和极值(1)22y x x =+- (2)xy x e =- 8.讨论函数()x f x ex -=2的单调区间和极值．9.的近似值.参考答案一、选择题1.C2.A3.C4.C 二、填空题1.'()7C q =，'()120.02R q q =-，'()50.02L q q =-，250q =；2.E kx =．3.11sin --．4.3x ； 5.0 三、解答题 1.x21；2． （1）x x x y 3cos 3cos sin 32'-=； （2）x x x x y 5sin 4sin 55cos 4cos 4'-=； （3）xy cos 11'+=； （4）'y =； （5）xx xy ln )1(22'+=； （6）1'2y x =+； （7）'y =； （8）11'2sincos y x x x=-．3.（1）1812-x ；（2）322x+；（3）)sin 5cos 20(sin 223x x x -；（4）)15)(1(622--x x ； （5）)(422x xe e--；（6）212tan 2x xx aec ++．4（1）．dx x dy )53cos(3-=；（2）．dx x e dy x )21(22+=； 5.（1）min max 0,8y y ==；（2）min max 2,66y y ==． 6．250x =吨.7.（1）函数有极大值1294x y ==，（2）函数有极大值01x y ==-； 8.单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(,0)-∞、(2,)+∞，(0)0y f ==极小，2(2)4y f e -==极大．9. 设()f x =01x =，0.01x ∆=，由()()()()000f x f x f x x x '≈+-()()()()1.0111 1.011f f f'=≈+-()110.01 1.0033=+=。

导数微分考试题目及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2的导数为：A. 3x^2 - 6xB. 3x^2 - 6x + 2C. 3x^2 - 6x + 1D. 3x^2 - 6x + 3答案：A2. 若函数f(x)的导数为f'(x) = 2x + 1，则f'(1)的值为：A. 3B. 4C. 5D. 6答案：A3. 函数f(x) = sin(x)的导数为：A. cos(x)B. -sin(x)C. sin(x) + cos(x)D. -cos(x)答案：A4. 函数f(x) = e^x的导数为：A. e^xB. e^(-x)C. 1/e^xD. x * e^x答案：A5. 函数f(x) = ln(x)的导数为：A. 1/xB. -1/xC. xD. -x答案：A6. 函数f(x) = x^2的二阶导数为：A. 2xB. 2C. 4xD. 4答案：B7. 若函数f(x)的导数为f'(x) = 3x^2 - 6x + 5，则f'(0)的值为：A. 5B. 3C. -6D. 0答案：A8. 函数f(x) = 1/x的导数为：A. -1/x^2B. 1/x^2C. -1/x^3D. 1/x^3答案：A9. 函数f(x) = sqrt(x)的导数为：A. 1/(2*sqrt(x))B. 1/(2*x)C. 1/(2*x^(1/2))D. 1/(2*x^2)答案：A10. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x的导数为：A. 3x^2 - 12x + 9B. 3x^2 - 12x + 6C. 3x^2 - 12x + 3D. 3x^2 - 12x + 12答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2的导数为________。

答案：4x^3 - 12x^2 + 12x2. 函数f(x) = cos(x)的导数为________。

大一经济数学习题答案大一经济数学习题答案在大一学习经济数学时，习题是我们巩固知识、提高能力的重要方式之一。

然而，有时候我们可能会遇到一些难题，无法得到正确的答案。

本文将为大一经济数学中一些常见的习题提供答案，并对解题思路进行简要的分析。

一、微积分1. 计算函数 f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 7 的导数。

解答：对于多项式函数 f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 7，我们可以按照幂次逐项求导。

首先，对于 x^n，其导数为 n*x^(n-1)。

因此，我们可以得到 f'(x) = 6x^2 - 10x + 3。

2. 求函数 f(x) = e^x * ln(x) 的导数。

解答：根据指数函数和对数函数的导数公式，我们可以得到 f'(x) = e^x * ln(x) + e^x / x。

3. 求函数f(x) = ∫(0,x) t^2 dt 的导数。

解答：根据牛顿-莱布尼茨公式，我们可以将该函数视为一个定积分的上限函数，即 f(x) = F(x) - F(0)，其中F(x) = ∫(0,x) t^2 dt。

根据定积分的基本性质，我们可以得到 f'(x) = F'(x) - F'(0) = x^2 - 0 = x^2。

二、线性代数1. 求矩阵 A = [1 2; 3 4] 的逆矩阵。

解答：我们可以使用矩阵的伴随矩阵求逆矩阵。

首先，计算矩阵 A 的行列式为|A| = 1*4 - 2*3 = -2。

然后，计算矩阵 A 的伴随矩阵为 A* = [4 -2; -3 1]。

最后，根据逆矩阵的定义，我们可以得到 A 的逆矩阵为 A^-1 = A*/|A| = [4/-2 -2/-2;-3/-2 1/-2] = [-2 1; 3/2 -1/2]。

2. 求向量 v = [1; 2; 3] 在向量空间 span{[1; 0; 0], [0; 1; 0]} 中的投影向量。

习题3-11．设某产品的总成本C是产量q的函数:C=q2+1，求(1) 从q=100到q=102时，自变量的改变量∆q；(2) 从q=100到q=102时，函数的改变量∆C；(3) 从q=100到q=102时，函数的平均变化率；(4) 总成本在q=100处的变化率.解：(1) ∆q=102-100=2,(2) ∆C=C(102)-C(100)=(1022+1)-(1002+1)=404(3) 函数的平均变化率为∆CC(q0+∆q)-C(q0)404∆q=∆q=2=202.(4) 总成本在q=100处的变化率为C(q)-C(100)21002qlim→100q-100=qlimq-→100q-100=qlim→100(q+100)=2002．设f(x)=f'(4). 解f'(4)=limf(x)-f(4)x→4x-4=limx→4x-4=lim1x→4=23．根据函数导数定义，证明(cosx)'=-sinx. 证根据函数导数定义及“和差化积”公式，得h(cosx)'=limcos(x+h)-cosxhsin=-sinx. h→0h=-hlim→0sin(x+2)⋅h24．已知f'(a)=k，求下列极限： (1) limf(a-x)-f(a)x→0x; (2) limf(a+x)-f(a-x)x x→0解 (1) limf(a-x)-f(a)x=-limf(a-x)-f(a)-x=-f'(a)=-k;x→0x→0(2) limf(a+x)-f(a-x)x→0x=limf(a+x)-f(a)+f(a)-f(a-x)x→0x=limf(a+x)-f(a)f(a-x)-f(a)x+limx→0x→0-x=f'(a)+f'(a)=2k5．已知f(0)=0.f'(0)=1，计算极限limf(2x)x→0x.解 limf(2x)f(2x)-f(0)x=2limx→0x→02x=2f'(0)=26．求下列函数的导数：(1) y=x5；(2) y=- 1 -(3) y=e-x； (5) y=lgx；(4) y=2xex; (6) y=sin 34x-π4解(1) (x5)'=5x4；314；(2) '=(x4)'=(3) (e-x)'=e-xlne-1=-e-x；1xln10(4) (2xex)'=[(2e)x]'=(2e)xln(2e)=2xex(ln2+1); (5) (lgx)'= (6) (sin π4；)'=0⎧sinx,⎩x,7．问函数f(x)=⎨x<0x≥0在x=0处是否可导？如可导，求其导数.解考察x=0处的左、右导数f-'(0)=lim-h→0f(0+h)-f(0)f+'(0)=lim+h→0hf(0+h)-f(0)h=lim-h→0sinhhhh=1,=lim+h→0=1,所以，函数在x=0处的可导，且f'(0)=1. 8．讨论函数⎧-x,x≤0⎪f(x)=⎨2x,0<x<1⎪2⎩x+1,x≥1在点x=0和x=1处的连续性与可导性.解 (1)考察x=0处的左、右导数f-'(0)=lim-h→0f(0+h)-f(0)hf(0+h)-f(0)h=lim-h→0-hh2hh=-1, =2,f+'(0)=lim+h→0=lim+h→0所以，函数在x=0处不可导；又limf(x)=limf(x)=0=f(0),所以，函数在x=0处连续. x→0-x→0+(2) 考察x=1处的左、右导数f-'(1)=lim-x→1f(x)-f(1)x-1x-1=lim-x→12x-2x-1=2,f+'(1)=lim+x→1f(x)-f(1)=lim+x→1(x+1)-2x-1=2,所以，函数在x=1处的可导，且f'(1)=2.9．求等边双曲线y=线方程.- 2 -1x在点⎛1⎫,2⎪处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法⎝2⎭解由导数的几何意义，得切线斜率为'1⎛1⎫k=y'x=3= ⎝x⎪⎭x=1/2=-x2x=1/2=-4. 所求切线方程为y-2=-4 ⎛x-1⎫⎝2⎪, 即⎭4x+y-4=0. 法线方程为y-2=1⎛4 x-1⎫⎪, 即⎝2⎭2x-8y+15=0.10．求曲线y=lnx在点(e,1)处的切线与y轴的交点. 解曲线y=lnx在点(e,1)处的切线斜率为k=y'=⎛1x=1 ⎫⎪=1⎝x⎭x=ee故切线方程为y-1=1e(x-e).上式中，令x=0，得y=0.所以，曲线y=lnx在点(e,1)处的切线与y轴的交点为(0,0).习题3-21．求下列函数的导数：(1) y=x2+3x-sinx；(2) y=x(3) s=t+ln2； (4) y=xcosx⋅lnx x(5) y=x+1x-1； (6) y=ex2+1解 (1) y'=2x+3-cosx; (2) y'=(x3)'+2(x-52)'-(x-3)'=3x2+5x-72-3x-4;(3) s'='sint+t)'+0=t;(4) y'=x'cosx⋅lnx+x(cosx)'⋅lnx+xcosx(lnx)'=cosx⋅lnx-xsinx⋅lnx+cosx (5) y'=(x+1)'(x-1)-(x+1)(x-1)'- (x-1)2=2； (x-1)2x(6) y'=eex)'(x2+1)-(x2+1)'exx2+1=((x2+1)2ex(x2+1)-2xex2ex=(x2+1)2=(x-1)(x2+1)2 .2．求下列函数在给定点处的导数：(1) y=xarccosx,求y'；x=12(2) ρ=θtanθ+secθ，求dρdθ;θ=π4- 3 -(3) f(x)=lnf'(0).解 (1) y'=x'arccosx+x(arccosx)'=arccosx-1y'=arccos1πx=122-3- (2) dρ2dθ=tanθ+θsecθ+secθtanθdρdθπ=1+ππθ=44⋅2+1=2 (3) f(x)=3x-122ln(e3x+1)，f'(x)=332-2(e3x+1)故f'(0)f'(0)=32-32(1+1)=33．曲线y=x3-x+2上哪一点的切线与直线2x-y-1=0平行？解 y'=3x2-1,令y'=2，即3x2-1=2，得x=1或x=-1，代入原曲线方程都有：y=2，故所求点为：(1,2)或(-1,2).4．求下列函数的导数：(1) y=lnsinx； (2) y=(x3-1)10；(3) y=(x+cos2x)3；(4) y=ln(5) y=sin2x⋅sinx2； (6) y=tan[ln(1+x2)] ； x(7) y=2sin1x ; (8)y=elnx；(9)y=ln(x+； (10)y=xa2-x22+a22arcsinxa(a>0)解(1) y'=1sinx⋅(sinx)'=cosxsinx=cotx；(2) y'=10(x3-1)9(x3-1)'=30x2(x3-1)9；(3) y'=3(x+cos2x)2(x+cos2x)'=3(x+cos2x)2(1+2cosx⋅(-sinx))=3(x+cos2x)2(1-sin2x)；(4) y=ln=1ln(x-2)-1ln(x2+1)32y'=13(x-2)-1122x2+1(x+1)'=13(x-2)-xx2+1;(5) y'=2sinxcosx⋅sinx2+sin2x⋅cosx2⋅2x=sin2x⋅sinx2+2xsin2x⋅cosx2；- 4 -(6) y'=sec2[ln(1+x2)]⋅[ln(1+x2)]'12x=sec2[ln(1+x2)]⋅2221+x2(1+x)'=1+x2sec[ln(1+x)] ；1(7) y'=2sin11sinxln2⋅(sin1sin xx)'=2ln2⋅cos1x(1 x)'=-2xln2x2 cos1x; xx(8)y'=elnx(x xxx'lnx-x(lnx)' xlnx)' =elnln22eln；x=lnx-1lnx 22 (9)y'= x+'=+'=+(10)y'= 22+2=2+5．已知f(u)可导，求下列函数的的导数：(1) y=f(cscx)； (2) y=f(tanx)+tan[f(x)].解 (1) y'=f'(cscx)⋅(cscx)'=-f'(cscx)⋅cscx⋅cotx (2) y'=f'(tanx)⋅(tanx)'+sec2[f(x)]⋅f'(x) =sec2x⋅f'(tanx)+sec2[f(x)]⋅f'(x).习题3-31．求下列由方程所确定的隐函数y=y(x)的导数dydx：(1) x4-y4=4-4xy； (2)； ysinx+cos(x-y)=0;(3) ex-ey-sinxy=0；(4) arctanyx=ln.解 (1)方程两边同时对自变量x求导，得4x3-4y3dydx=-4y-4xdydx, (y3-x)dy3dx=x+y,故dydx=x3整理得 +yy3-x；(2) ycosx+sinx⋅dydydx-sin(x-y)⋅(1-dx)=0整理求得dy-y)-ycosxdx=sin(xsin(x-y)+sinx(3) ex-eydydydx-cosxy(y+xdx)=0求得dyxdx=e-ycosxyey+xcosxy- 5 -(4) 1.xy'-y111+(y2x2=2x2+y2(2x+2yy') x)整理求得 xy'-yx+yy'x2+y2=x2+y2故 dyydx=x+x-y.2．求曲线x3+3xy+y3=5在点(1,1)处的切线方程和法线方程. 解方程两边同时对自变量x求导，得3x2+3y+3xy'+3y2y'=0解得 dy+x2dx=-y2， y+x在点(1,1)处，y'(1,1)=-1，于是，在点(1,1)处的切线方程为y-1=-1(x-1)，即x+y-2=0,法线方程为 y-1=1(x-1)即y=x.3．用对数求导法求下列各函数的导数dydx:(1) y=xsinx(x>0)； (2) y=xa+ax+xx；(3) y= (4) (sinx)y=(cosy)x. 解 (1)等式两边取对数lny=sinx⋅lnx两边对x求导得1yy'=cosx⋅lnx+sinx⋅1x,故 dydx=xsixn⎛ cosx⋅lnx+sinx⋅1⎫⎝x⎪.⎭(2) y'=axa-1+axlna+(xx)'=axa-1+axlna+xx(x⋅lnx+1) (3) y=12[ln(x-1)+ln(x-2)-ln(x-3)-ln(x-4)] 11⎛1111yy'=2 +-2-x-3-⎫⎝x-1xx-4⎪⎭得y'=11⎫+-1-1x-1x-2x-3x-4⎪.⎭(4) ylnsinx=xlncosyy'lnsinx+ycotx=lncosy-xtany⋅y' dydx=lncosy-ycotxxtany+lnsinx4．求下列参数方程所确定的函数的导数dy dx：- 6 -⎧x=t-t2(1) ⎨； (2) ⎧⎨x=acos3θ⎩y=1-t2⎩y=asin3θ. 解 (1) dyy'(t)-2tdx=x'(t)=1-2t (2) dyy'(θ)asin2θ⋅cosθdx=x'(θ)=33acos2θ⋅(-sinθ)=-tanθ5．求椭圆⎨⎧x=6cost⎩y=4sint在t=π4相应点处的切线方程.解 dy(4sint)'dx=y'(t)4cost2x'(t)==-6sint=-3cott.(6cost)'t=π4时，切线斜率为dyπdxt=π=-243，x(4)=y(π4)=.故所求切线方程为y-=-23(x- .习题3-41．求函数y=x2当x由1改变到1.005的微分. 解因为dy=y'dx=2xdx, 由题设条件知 x=1，dx=∆x=1.005-1=0.005 故所求微分为 dy=2⨯1⨯0.00=50 .2．求函数y=sin2x在x=0处的微分. 解所求微分为dy=(sin2x)'x=0dx=2cos2xx=0dx=2dx3．求下列各微分dy:(1) y=e3xcosx； (2) y=sin2xx2；(3) y=ln(1+e-x2)；(4) y=arctan(5) exy=3x+y2； (6) xy2+x2y=1. 解 (1) dy=cosxd(e3x)+e3xd(cosx)=cosx⋅3e3xdx-e3x⋅sinxdx=e3x(3cosx-sinx)dx；22xdx2(2) dy=xdsin2x-sin2x2cos2xdx-2xsin2xx4=x4dx=2(xcos2x-sin2x)x3dx； -x2(3) dy=1(1+e-x2)=-2xe1+-x2d1+e-x2dx； (4)dy==12) (1+x- 7 -=;(5)方程两边对求微分exy(xdy+ydx)=3dx+2ydy.整理得 (xexy-2y)dy=(3-yexy)dx 解得 dy=3-yexy； xexy-2ydx(6) 方程两边对求微分y2dx+2xydy+2xydx+x2dy=0.整理得 (2xy+x2)dy=-(y2+2xy)dx 解得 dy=-2xy+y2x2+2xydx4．计算下列各数的近似值: (1) e0.03；(2) 解(1) e0.03≈1+0.03=1.03；(2)===≈2(1-15⋅116)=1.975.5．在下列等式的括号中填入适当的函数, 使等式成立.(1) d()=3dx; (2) d()=2xdx;(3) d()=sinωt dt；(4) d(cosx2)=()d. 解(1) 3x+c;(2) x2+c; (3) -1ωcosωt；(4) d(cosx2)=-2xsinx2dxd=即dx=，x故d(cosx2)=-4x2d.习题3-51．求下列函数的二阶导数：(1) y=x3+8x-cosx； (2) y=(1+x2)arctanx；(3) y=xex2； (4) y=xx.解(1) y'=3x2+8+sinx,y''=6x+cosx；(2) y'=2xarctanx+1,y''=2arctanx+2x1+x2；(3) y'=ex2+2x2ex2,y''=2xex2+4xex2+4x2ex2=2xex2(3+2x2)；(4) lny=xlnx,1yy'=lnx+1,y'=xx(lnx+1)y''=(xx)'(lnx+1)+xx(lnx+1)'=xx(1+lnx)2+xx-12. 验证函数y=C2x-3x1e+C2e(其中C1,C2为任意常数)满足方程- 8 -y''+y'-6y=0.证：y'=2C1e2x-3C2e-3x,y''=4C1e2x+9C2e-3x(4C1e2x+9C2e-3x)+(2C1e-3C2e2x-3x)-6(C1e2x+C2e-3x)=0.3．设函数y=f(x)二阶可导，求下列函数的二阶导数： (1) y=f(sinx)； (2) y=x2f(lnx). 解 (1)求导数dydx22dydx=f'(sinx)⋅(sinx)'=cosx⋅f'(sinx)，于是=(cosx)'⋅f'(sinx)+cosx⋅f''(sinx)⋅(sinx)'=cos2x⋅f''(sinx)-sinx⋅f'(sinx) (2) dydx22dydx=2xf(lnx)+xf'(lnx)=2f(lnx)+2f'(lnx)+f'(lnx)+f''(lnx)=2f(lnx)+3f'(lnx)+f''(lnx).dydx224．对下列方程所确定的函数y=y(x)求(1) ey+xy=e2；(2) ln解 (1)方程两边对x求导：yx=arctan.ey'+y+xy'=0y得 y'=-因此求得dydx22ye+xy.=-y'(e+x)-y(e⋅y'+1)(e+x)-yyyyyy2-yy(e+x)-y(e⋅(e+x)y2yy2y+1)=-=2xy+2ye-ye(e+x)y3；(2) 方程两边对x求导1x+y22(x+yy')=11+yx22xy'-yx2得 y'=因此求得dydx22x+yx-y.=(1+y')(x-y)-(x+y)(1-y')(x-y)2(x+y)(x-y)3222=- 9 -5．对下列参数方程所确定的函数y=y(x)求d2y： dx2 (1) ⎧⎪x=t2-2t⎨⎧x=a(t-sint).⎪⎩y=t3-3t(t≠1)； (2) ⎨⎩y=a(1-cost)解(1) dy)t2-33dx=y'(tx'(t)=32t-2=2(t+1).321)'故 dy(t+3； dx2=2t-2=4(t-1)(2) dy'(t)a(1-cost)'dx=yx'(t)==sint1-cost.a(t-sint)'(sint2)'故 dycostdx2=1-a(1-cost)cost(1-cost)-sint⋅sint2=(1-cost)a(1-cost)-1a(1-cost)2(t≠2nπ,n∈Z).6．求下列函数的n阶导数：(1) y=sin2x； (2) y=ln(x+1)； (3) y=1(4) x2； -1y=x(x+1)(x+2) (x+n). 解(1) (sin2x)(n)=(1-cos2xn)2)((1-cos2x)'=-12x)=-122⋅2(-sin2⋅2cos⎛π 2x+⎫⎝2⎪,⎭(1+cos2x2)''=-12⋅22⎡-sin⎛π⎫⎤1⎫⎢2⎛ππ⎣ 2x+⎝2⎪⎭⎥=-⋅2cos⎦2 2x++⎝22⎪,⎭(sin2x)(n)=(1+cos2x(n)nπ2)=-2n-1cos(2x+2)；(2) [ln(x+1)]'=1x+1[ln(x+1)]''=-1(x+1)2 ,[ln(x+1)](3)=2(x+1)3[ln(x+1)](n)=(-1)n-1(n-1)!(x+1)n； (3) y=11x2-1=12(x-1-1x+1), n故y(n)=(-1)n!⎡11⎤2⎢⎣(x-1)n+1-(x+1)n+1⎥;⎦(4) y=x(x+1)(x+2) (x+n)=xn+1+(1+2+ +n)xn+ - 10 -y(n)=(n+1)!x+n(n+1)2n!=(x+n2)(n+1)!复习题3（A）1．已知f'(x0)=k(k为常数)，则 (1) lim=;∆x1(2) limn[f(x0+)-f(x0)]=n→∞n∆x→0f(x0+2∆x)-f(x0)(3) limf(x0+h)-f(x0-2h)hf(x0+2∆x)-f(x0)∆xh→0= .1.解 (1)2k; (2) k; (3) 3k. (1) lim ∆x→0=2limf(x0+2∆x)-f(x0)2∆x∆x→0=2k;(2) limn[f(x0+n→∞1nf(x0+)-f(x0)]=limn→∞1)-f(x0)n=k; 1(3) lim=limf(x0+h)-f(x0-2h)h→0hf(x0+h)-f(x0)h=limnf(x0+h)-f(x0)+f(x0)-f(x0-2h)h-2hh→0h→0+2limh→0f(x0-2h)-f(x0)=3k.2．函数y=f(x)在点x0处的左导数f-'(x0)和右导数f+'(x0)都存在，是f(x)在x0可导的( )A. 充分必要条件；B. 充分但非必要条件；C. 必要但非充分条件；D. 既非充分又非必要条件. 2 ．答C. f(x)在x0可导的充分必要条件是f-'(x0)和f+'(x0)都必须存在且相等；反之，f-'(x0)和f+'(x0)都存在，不能保证f(x)在x0可导.3．函数f(x)=sinx在x=0处 ( A. 可导； C. 不连续；)B. 连续但不可导； D. 极限不存在.3．答B. 函数f(x)=sinx在x=0连续；但f-'(0)=-1≠f+'(0)=1，故f(x)=x在x=0不可导.4．设f(x)对定义域中的任意x均满足f(x+1)=mf(x)，且f'(0)=n则必有 ( )A. f'(1)不存在；B. f'(1)=m；C. f'(1)=n； 4．答D. f'(1)=limh→0D. f'(1)=mn.hf(1+h)-f(1)=mlimf(h)-f(0)hh=mf'(0)=mnh→0=limmf(h)-mf(0)h→05．解答下列各题： (1)设y=ln2，求y'；- 11 -(2) 设y=xa+ax+xx+aa(a>0,a≠1)，求dydx；(3)设y=x2⋅f(e2x)，f(u)可导，求dy；(4) y=，求dy；dx(5) 求曲线xy-sin(x+y)=0在点(π，0)的切线与法线方程;(6) 已知函数y=y(x)由方程⎧⎨x=acos3tdyd2y⎩y=asin3t 确定，求dx，dx2;(7) 设f'(sinx)=cos2x+cscx，求f''(x);(8) 设y=x3，求x+1y(n)(n≥3).25.解(1)y'='=2x2x⋅cot(2) y'=axa-1+axlna+(xx)' 由对数求导法，可求得(xx)'=xx(1+lnx) 故y'=axa-1+axlna+xx(1+lnx)；(3) dy=2xdx⋅f(e2x)+x2⋅f'(e2x)de2x=2xf(e2x)dx+x2⋅f'(e2x)⋅2e2xdx =2x[f(e2x)+xe2x⋅f'(e2x)]dx；(4)取对数 lny=1⎡2⎢xlnb+b(lna-lnx)+a(lnx-lnb)⎤⎣a⎥⎦两边求导 11⎛bbayy'=2 ln-+⎫⎝axx⎪⎭故y'=1⎛ba-b2 ln+⎫⎝ax⎪⎭(5) 两边求导y+xy'-cos(x+y)(1+y')=0 得y'=cos(x+y)-y，故1x-cos(x+y)y'(π，0)=-π+1 因此切线方程为 y=-1π+1(x-π),法线方程为y=(π+1)(x-π); (6) dy)3asin2t⋅costdx=y'(tx'(t)=3acos2t⋅(-sint)=-tant d2y(-tant)'-sec2tsec4tdx2=3acos2t⋅(-sint)=3acos2t⋅(-sint)=3asint；(7) 由f'(sinx)=cos2x+cscx=1-2sin2x+1sinx 知f'(x)=1-2x2+1x故f''(x)=-4x-1x2;- 12 -(8) y=y(n)x3x+1n+1=x-1+1x+13=x-x+1+21x+1=(-1)⋅n!n(x+1)(n≥3).⎧ax+b,x<16．设函数f(x)=⎨2 在x=1处可导，求a,b的值.x≥1⎩x,6．解：因可导必连续，所以lim-(ax+b)=lim+x=1,得a+b=1x→1x→12考察x=1处的左、右导数f-'(1)=lim-x→1f(x)-f(1)x-1f(x)-f(1)x-1=lim-x→1ax+b-1x-1=lim-x→1ax-ax-1=af+'(1)=lim+x→1=lim+x→1x-1x-12=2,所以，得到a=2,b=-1.7. 设函数g(x)在x=a点连续, 且f(x)=(x-a)g(x), 证明f(x)在x=a的可导，并求出f'(a).7.证:因g(x)在x=a点连续,故limg(x)=g(a)，x→a又limf(x)-f(a)x-ax-a故f(x)在x=a的可导，f'(a)=g(a) x→ax→a=lim(x-a)g(x)-0=limg(x)=g(a)x→a8．验证函数y=C11+C2e其中C1,C2为任意常数)满足方程4xy''+2y'-y=0.8．证：因y'=y''=-C1-C2e, (C1C1-C2e+14x+C2e故4xy''+2y'-y=4x⎢- ⎣+2C1(4C1e2x⎡C1-C2e+14x(C1+C2e⎤⎥⎦-C2e⎤⎥-C1⎦(+C2e=02x+9C2e-3x)+(2C1e-3C2e2x-3x)-6(C1e+C2e-3x)=0.（B）1. 设函数f(x)在x=0连续，下列命题错误的是( ) A. 若limB. 若lim f(x)xf(x)xx→0存在，则f(0)=0；存在，则f'(0)存在；x→0C. 若limf(2x)+f(x)xf(x)-f(-x)xx→0存在，则f(0)=0；存在，则f'(0)存在.D. 若limx→01.答：D.- 13 -A.正确，因为limf(0)=x→0f(x)xx→0存在，则limfx()=，0又f(x)在x=0连续，所以x→0limfx()；= 0f(x)B.正确，因为若limC.正确，因若limx→0x→0xf(2x)+f(x)xx→0存在，则f'(0)=limx→0f(x)-f(0)x=limf(x)x存在；x→0存在，x→0x→0则lim［f(2x)+f(x)］=limf(2x)+limf(x)=2f(0)=0,故f(0)=0； D.错，如f(x)=x, lim2. 若f(t)=limt(1+x→∞f(x)-f(-x)xx→02tx=0，但f'(0)不存在.1x)，则f'(t)= .1x)2tx2. (1+2t)e2t，f(t)=limt(1+x→∞=te,所以f'(t)=(te)'=(1+2t)e.f(1)-f(13x-)x=1，则曲线y=f(x)2t2t2t3．设周期函数f(x)在(-∞,∞)周期为3，且lim在点(4,f(4))的切线斜率为 . 3． -3，f'(4)=lim=limf(x+4)-f(4)x=-3limx→0x→0x→0=limf(x+1)-f(1)x=-3,x→0=-limf(1)-f(x+1)xx→0=f(1)-f(1-t)-tf(1)-f(1-x)x→04. 已知f(x)=3x(x-1)(x-2) (x-10)(x+1)(x+2) (x+10)f(x)-f(1)，求f'(1).(x-1)(x-2) (x-10)4. 解：f'(1)=limx-11-1⋅(-2) (-9)=- =lim=x→1(x+1)(x+2) (x+10) 110 2⋅3 9⋅10⋅11 x-1(x-2) (x-10)x→1=lim(x+1)(x+2) (x+10)x→15.设f'(a)存在，求limxf(a)-af(x)x-axf(a)-af(x)xf(a)-af(a)+af(a)-af(x)=lim5. 解：limx→ax→ax-ax-af(x)-f(a)=f(a)-alim=f(a)-af'(a)x→ax-ax→a.6.设f(x)=max{x6.解：f(x)=max{x，在区间(0，2)内求f'(x).0<x≤1, =1<x<2⎪⎩x,f(x)-f(1)x-1考察x=1处的左、右导数f-'(1)=lim-x→1=lim-x→1x-1=lim-x→1=12,- 14 -f+'(1)=lim+x→1f(x)-f(1)x-1=lim+x→1x-1x-1=1,所以，函数在x=1处不可导.故所求导数为：⎧⎪0<x<1' f(x)=⎨1<x<2⎪⎩1,7. 设函数g(x)在x=x0点连续, 且f(x)=x-ag(x), 讨论f(x)在x=x0的可导性. 7. 解：f'(x0)=limf(x)-f(x0)x-x0x→x0x→x0=limx-x0g(x)x-x0x→x0(1)若g(x0)≠0，则g(x0)limx-x0x-x0不存在，此时f(x)在x=x0不可导=0，此时f(x)在x=x0可导.(2)若g(x0)=0，则 f'(x0)=limx-x0g(x)x-x0x→x08. 验证下列命题：(1) 若定义在(-∞,∞)内以周期为T的周期函数f(x)可微，则f'(x)也是以周期为T的周期函数.(2) 若函数f(x)在(-a,a)内是可微奇(偶)函数，则f'(x)(-a,a)内必为偶(奇)函数. 8. 证: (1)因f(x+T)=f(x),又f'(x)=limf(x+h)-f(x)h→0f'(x+T)=limhf(x+T+h)-f(x+T)h,因此h→0=limf(x+h)-f(x)hh→0=f'(x)(2) 若函数f(x)在(-a,a)内是可微奇函数，则有f'(-x)=lim=limf(-x+h)-f(-x)hh→0=lim-f(x-h)+f(x)hh→0f(x-h)-f(x)-hh→0=f'(x),即证得：若函数f(x)在(-a,a)内是可微奇函数，则f'(x)(-a,a)内必为偶函数. 同理可证得：若函数f(x)在(-a,a)内是可微偶函数，则f'(x)(-a,a)内必为奇函数.9. 设函数f(x)可微，且f(x+y)=f(x)+f(y)-2xy，f'(0)=3，求f(x). 9. 解：由f(x+y)=f(x)+f(y)-2xy，令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0)，得f(0)=0f'(x)=lim=limf(y)yf(x+y)-f(x)yy→0=limf(x)+f(y)-2xy-f(x)yy→0y→0-2x=f'(0)-2x=3-2x22因此f(x)=3x-x+C(C为任意常数)，又f(0)=0则C=0，故f(x)=3x-x 10. 设在(-∞,∞)内函数f(x)有定义, 且f(0)=0，f'(0)=C(C≠0)，又g(x)=esinx+x2co, sx对任意x,y有关系式f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)成立，证明f'(x)=C⋅g(x)10. 证：f'(x)=limf(x+y)-f(x)yy→0=limf(x)g(y)+f(y)g(x)-f(x)yy→0- 15 -=f(x)limg(y)-1yyy→0+g(x)limf(y)yf(y)-f(0)y y→0=f(x)limg(y)-g(0)y→0+g(x)limy→0=f(x)g'(0)+g(x)f'(0) 又 g'(x)=exsin2x+exsin2x-sinx，得g'(0)=0 故f'(x)=C⋅g(x).- 16 -。

第三章 中值定理与导数的应用(A)1．在下列四个函数中,在[]1,1-上满足罗尔定理条件的函数是( ) A ．18+=x y B ．142+=x y C ．21xy = D ．x y sin = 2．函数()xx f 1=满足拉格朗日中值定理条件的区间是 ( ) A ．[]2,2- B ． []0,2- C ．[]2,1 D ．[]1,0 3．方程0155=+-x x 在()1,1-内根的个数是 ( ) A ．没有实根 B ．有且仅有一个实根 C ．有两个相异的实根 D ．有五个实根 4．若对任意()b a x ,∈，有()()x g x f '='，则 ( ) A ．对任意()b a x ,∈，有()()x g x f = B ．存在()b a x ,0∈，使()()00x g x f =C ．对任意()b a x ,∈，有()()0C x g x f +=(0C 是某个常数)D ．对任意()b a x ,∈，有()()C x g x f +=(C 是任意常数) 5．函数()3553x x x f -=在R 上有 ( )A ．四个极值点；B ．三个极值点C ．二个极值点D ． 一个极值点 6．函数()7186223+--=x x x x f 的极大值是 ( ) A ．17 B ．11 C ．10 D ．97．设()x f 在闭区间[]1,1-上连续，在开区间()1,1-上可导，且()M x f ≤'，()00=f ，则必有 ( )A ．()M x f ≥B ．()M x f >C ．()M x f ≤D ．()M x f < 8．若函数()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,可导，则 ( ) A ．存在()1,0∈θ，有()()()()()a b a b f a f b f --'=-θ B ．存在()1,0∈θ，有()()()()()a b a b a f b f a f --+'=-θC ．存在()b a ,∈θ，有()()()()b a f b f a f -'=-θD ．存在()b a ,∈θ，有()()()()b a f a f b f -'=-θ9．若032<-b a ，则方程()023=+++=c bx ax x x f ( )A ．无实根B ．有唯一的实根C ．有三个实根D ．有重实根10．求极限xx x x sin 1sinlim20→时，下列各种解法正确的是 ( )A ．用洛必塔法则后，求得极限为0B ．因为xx 1lim0→不存在，所以上述极限不存在 C ．原式01sin sin lim 0=⋅=→x x x x xD ．因为不能用洛必塔法则，故极限不存在 11．设函数212x xy +=，在 ( ) A ．()+∞∞-,单调增加 B ．()+∞∞-,单调减少 C ．()1,1-单调增加，其余区间单调减少 D ．()1,1-单调减少，其余区间单调增加12．曲线xe y x+=1 ( )A ．有一个拐点B ．有二个拐点C ．有三个拐点D ． 无拐点 13．指出曲线23x xy -=的渐近线 ( ) A ．没有水平渐近线，也没有斜渐近线 B ．3=x 为其垂直渐近线，但无水平渐近线 C ．即有垂直渐近线，又有水平渐近线 D ． 只有水平渐近线14．函数()()312321--=x x x f 在区间()2,0上最小值为 ( )A ．4729B ．0C ．1D ．无最小值 15．求()201ln lim x x x x +-→16．求()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+→x x x 11ln 1lim 0 17．求x xx 3cos sin 21lim6-→π18．求()xx x1201lim +→19．求xx arctgx ln 12lim ⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→π20．求函数149323+--=x x x y 的单调区间。

微积分考试复习题一、单项选择题1．函数()1lg +=x xy 的定义域是（ D ）D ．1->x 且0≠x 2．下列各函数对中，D ）中的两个函数相等 D x x x f 22cos sin )(+=，1)(=x g 3．设xx f 1)(=，则=))((x f f （ C ）． C ．x 4．下列函数中为奇函数的是（ C ）．C ．11ln+-=x x y 5．已知1tan )(-=x xx f ，当（ A ）时，)(x f 为无穷小量. A. x →06．当+∞→x 时，下列变量为无穷小量的是（ D ．xxsin 7．函数sin ,0(),0xx f x x k x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在x = 0处连续，则k = ( C )．C ．1 8．曲线11+=x y 在点（0, 1）处的切线斜率为（ A ） A ．21-9．曲线x y sin =在点(0, 0)处的切线方程为（ A ）．A. y = x 10．设y x=l g 2，则d y =（ B ）． B ．1d x x ln1011．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ B ）．B ．e x 12．设需求量q 对价格p 的函数为p p q 23)(-=，则需求弹性为E p =（ B ）B ．--pp32二、填空题1．函数⎩⎨⎧<≤-<≤-+=20,105,2)(2x x x x x f 的定义域[-5，2]2．函数xx x f --+=21)5ln()(的定义域是 (-5, 2 ) ．3．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f 62-x ． 4．设21010)(xx x f -+=，则函数的图形关于y 轴 对称．5．已知生产某种产品的成本函数为C (q ) = 80 + 2q ，则当产量q = 50时，该产品的平均成本为 3.66．已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p ，其中p 为该商品的价格，则该商品的收入函数R (q ) = 45q – 0.25q 2 ．7. =+∞→x x x x sin lim1 8．已知xxx f sin 1)(-=，当 0→x 时，)(x f 为无穷小量． 9. 已知⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=1111)(2x a x x x x f ，若f x ()在),(∞+-∞．内连续，则=a 2 . 10．曲线y =在点)1,1(处的切线斜率是(1)0.5y '=．11．函数y x =-312()的驻点是x =112．需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(pp q -⨯=，则需求弹性为E p =2p - 三、计算题1．已知y xxx cos 2-=，求)(x y ' ．2．已知()2sin ln x f x x x =+，求)(x f ' ． 3．已知2sin 2cos x y x -=，求)(x y ' ．4．已知x x y 53e ln -+=，求)(x y ' ．5．已知x y cos 25=，求)2π(y '；6．设x x y x +=2cos e ，求y d 7．设x y x 5sin cos e +=，求y d ．8．设x x y -+=2tan 3，求y d ．四、应用题1．设生产某种产品x 个单位时的成本函数为：x x x C 625.0100)(2++=（万元）,求：（1）当10=x 时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量x 为多少时，平均成本最小？2．某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为q p=-100010（q 为需求量，p 为价格）试求（1）成本函数，收入函数（2）产量为多少吨时利润最大？3．某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C (q ) = 20+4q +0.01q 2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q （元/件），试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？ （2）最大利润是多少？ 4．某厂每天生产某种产品q 件的成本函数为9800365.0)(2++=q q q C （元）.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？5．已知某厂生产q 件产品的成本为C q q q()=++25020102（万元）．问要使平均成本最少应生产多少件产品？三、计算题1．解： 2cos sin cos ()(2)2ln 2x x x x x x y x x x --''=-=- 2sin cos 2ln 2xx x x x +=+ 2．解 xx x x f x x 1cos 2sin 2ln 2)(++⋅='3．解 )(cos )2(2sin )(22'-'-='x x x y x x 2cos 22ln 2sin 2x x x x --=4．解：)5(e )(ln ln 3)(52'-+'='-x x x x y xx xx525e ln 3--= 5．解：因为 5ln 5sin 2)cos 2(5ln 5)5(cos 2cos 2cos 2x x x x x y -='='='所以 5ln 25ln 52πsin 2)2π(2πcos2-=⋅-='y6．解：因为212cos 23)2sin (e 2x x y x+-=' 所以 x x x y x d ]23)2sin (e 2[d 212cos +-=7．解：因为 )(cos cos 5)(sin e 4sin '+'='x x x y x x x x x sin cos 5cos e 4sin -=所以 x x x x y x d )sin cos 5cos e (d 4sin -= 8解：因为)(2ln 2)(cos 1332'-+'='-x x xy x2ln 2cos 3322x xx --=所以x xx y x d )2ln 2cos 3(d 322--= 四、应用题1．解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为x x x C 625.0100)(2++=625.0100)(++=x xx C ，65.0)(+='x x C 所以，1851061025.0100)10(2=⨯+⨯+=C 5.1861025.010100)10(=+⨯+=C ，116105.0)10(=+⨯='C （2）令 025.0100)(2=+-='xx C ，得20=x （20-=x 舍去）因为20=x 是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当=x 20时，平均成本最小.2．解 （1）成本函数C q ()= 60q +2000． 因为 q p=-100010，即p q =-100110， 所以 收入函数R q ()=p ⨯q =(100110-q )q =1001102q q -．（2）因为利润函数L q ()=R q ()-C q () =1001102q q--(60q +2000) = 40q -1102q -2000 且'L q ()=(40q -1102q -2000')=40- 0.2q 令'L q()= 0，即40- 0.2q = 0，得q = 200，它是L q ()在其定义域内的唯一驻点． 所以，q = 200是利润函数L q ()的最大值点，即当产量为200吨时利润最大．3.（1）由已知201.014)01.014(q q q q qp R -=-==利润函数22202.0201001.042001.014q q q q q q C R L --=----=-= 则q L 04.010-='，令004.010=-='q L ，解出唯一驻点250=q .因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大，（2）最大利润为1230125020250025002.02025010)250(2=--=⨯--⨯=L （元） 4．解 因为 ()9800()0.536C q C q q q q==++ (0)q > 298009800()(0.536)0.5C q q q q''=++=- 令()0C q '=，即0598002.-q =0，得q 1=140，q 2= -140（舍去）.q 1=140是C q ()在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值. 所以q 1=140是平均成本函数C q ()的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140件. 此时的平均成本为 9800(140)0.514036176140C =⨯++= （元/件）5．解 因为 C q ()=C q q ()=2502010q q++ 'C q ()=()2502010qq++'=-+2501102q令'C q ()=0，即-+=25011002q，得150q =，q 2=-50（舍去），q 1=50是C q ()在其定义域内的唯一驻点．所以，q 1=50是C q ()的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50件产品． 积分学一、单项选择题1．在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（ A ．y = x 2 + 32．下列等式不成立的是（ A ．)d(e d e x x x = 3．若c x x f x +-=-⎰2ed )(，则)(x f '=（ D. 2e 41x--4．下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ C ．⎰x x x d 2sin 5. 若c x x f xx+-=⎰11e d e )(，则f (x ) =（ C ．21x6. 若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则下列等式成立的是( B ．)()(d )(a F x F x x f xa -=⎰7．下列定积分中积分值为0的是（ A ．x xx d 2e e 11⎰--- 8．下列定积分计算正确的是（ D ．0d sin =⎰-x x ππ9．下列无穷积分中收敛的是（ C ．⎰∞+12d 1x x 10．无穷限积分 ⎰∞+13d 1x x =（ C ．21二、填空题1．=⎰-x x d ed 2x x d e 2- 2．函数x x f 2sin )(=的原函数是 -21cos2x + c (c 是任意常数)3．若)(x f '存在且连续，则='⎰])(d [x f )(x f '4．若c x x x f ++=⎰2)1(d )(，则=)(x f )1(2+x5．若c x F x x f +=⎰)(d )(，则x f xx)d e (e --⎰=c F x+--)e ( 6．=+⎰e12dx )1ln(d d x x7．积分=+⎰-1122d )1(x x x0 8．无穷积分⎰∞++02d )1(1x x 是收敛的．（判别其敛散性） 9．设边际收入函数为R '(q ) = 2 + 3q ，且R (0) = 0，则平均收入函数为2 + q 23三、计算题1．⎰+-x x x d 242 解 ⎰+-x x x d 242=(2)d x x -⎰=2122x x c -+ 2．计算⎰x x x d 1sin 2 解 c x x x x xx +=-=⎰⎰1cos )1(d 1sin d 1sin23．计算⎰x xx d 2 解 c x xxxx x +==⎰⎰22ln 2)(d 22d 24．计算⎰x x x d sin 解 c x x x x x x x x x x ++-=+-=⎰⎰sin cos d cos cos d sin5．计算⎰+x x x d 1)ln (解 ⎰+x x x d 1)ln (=⎰+-+x xx x x d 1)(21ln 1)(2122=c x x x x x +--+4)ln 2(21226．计算 x x x d e 2121⎰ 解 x x xd e 2121⎰=21211211e e e )1(d e -=-=-⎰x xx7．2e 1x ⎰ 解 x x x d ln 112e 1⎰+=)ln d(1ln 112e 1x x++⎰=2e 1ln 12x +=)13(2- 8．x x x d 2cos 2π⎰ 解：x x x d 2cos 20⎰π=22sin 21πx x -x x d 2sin 2120⎰π=202cos 41πx =21-9．x x d )1ln(1e 0⎰-+ 解法一 x x x x x x x d 1)1ln(d )1ln(1e 01e 01e 0⎰⎰---+-+=+ =x x d )111(1e 1e 0⎰-+--- =1e 0)]1ln([1e -+---x x ＝e ln =1四、应用题1．投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为)(x C '=2x + 40(万元/百台). 试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低.解 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量⎰+=∆64d )402(x x C =642)40(x x +=100（万元） 又xc x x C x C x⎰+'=00d )()(=x x x 36402++ =x x 3640++ 令 0361)(2=-='xx C ， 解得6=x .x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值所以产量为6百台时可使平均成本达到最小.2．已知某产品的边际成本C '(x )=2（元/件），固定成本为0，边际收益R '(x )=12-0.02x ，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？解 因为边际利润)()()(x C x R x L '-'='=12-0.02x –2 = 10-0.02x 令)(x L '= 0，得x = 500 x = 500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 所以，当产量为500件时，利润最大.当产量由500件增加至550件时，利润改变量为5505002550500)01.010(d )02.010(x x x x L -=-=∆⎰ =500 - 525 = - 25 （元）即利润将减少25元.3．生产某产品的边际成本为C '(x )=8x (万元/百台)，边际收入为R '(x )=100-2x （万元/百台），其中x 为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？解 L '(x ) =R '(x ) -C '(x ) = (100 – 2x ) – 8x =100 – 10x 令L '(x )=0, 得 x = 10（百台）又x = 10是L (x )的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10是L (x )的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大. 又 x x x x L L d )10100(d )(12101210⎰⎰-='=20)5100(12102-=-=x x 即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元.4．已知某产品的边际成本为34)(-='q q C (万元/百台)，q 为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本. 解：因为总成本函数为⎰-=q q q C d )34()(=c q q +-322当q = 0时，C (0) = 18，得 c =18 即 C (q )=18322+-q q 又平均成本函数为 qq q q C q A 1832)()(+-== 令 0182)(2=-='q q A ， 解得q = 3 (百台) 该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当q = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为9318332)3(=+-⨯=A (万元/百台)5．设生产某产品的总成本函数为 x x C +=3)((万元)，其中x 为产量，单位：百吨．销售x 百吨时的边际收入为x x R 215)(-='（万元/百吨），求： (1) 利润最大时的产量；(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？解：(1) 因为边际成本为 1)(='x C ，边际利润)()()(x C x R x L '-'=' = 14 – 2x 令0)(='x L ，得x = 7 由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L (x )的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大. (2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为87287)14(d )214(x x x x L -=-=∆⎰ =112 – 64 – 98 + 49 = - 1 （万元）即利润将减少1万元. 线性代数一、单项选择题1．设A 为23⨯矩阵，B 为32⨯矩阵，则下列运算中（ ）可以进行.A ．AB2．设B A ,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ B. T T T )(A B AB = 3．以下结论或等式正确的是（ ）．C ．对角矩阵是对称矩阵4．设A 是可逆矩阵，且A A B I +=，则A -=1（ C. I B + 5．设)21(=A ，)31(-=B ，I 是单位矩阵，则I B A -T ＝（ D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--52326．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=314231003021A ，则r (A ) =（ C ．2 7．设线性方程组b AX =的增广矩阵通过初等行变换化为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--00000120004131062131，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ A ．18．线性方程组⎩⎨⎧=+=+012121x x x x 解的情况是（ A. 无解9．若线性方程组的增广矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01221λA ，则当λ＝（ ）时线性方程组无解B ．1210. 设线性方程组b X A n m =⨯有无穷多解的充分必要条件是（ D ．n A r A r <=)()(11．设线性方程组AX=b 中，若r (A , b ) = 4，r (A ) = 3，则该线性方程组（ B ．无解 正确答案：B12．设线性方程组b AX =有唯一解，则相应的齐次方程组O AX =（ C ．只有零解二、填空题1．若矩阵A = []21-，B = []132-，则A T B= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---264132 2．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=3421A ，I 为单位矩阵，则T)(A I -＝：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2240 3．设B A ,均为n 阶矩阵，则等式2222)(B AB A B A +-=-成立的充分必要条件是B A ,是可交换矩阵4．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=13230201a A ，当a = 0 时，A 是对称矩阵.5．设B A ,均为n 阶矩阵，且)(B I -可逆，则矩阵X BX A =+的解X =A B I 1)(-- 6．设A 为n 阶可逆矩阵，则r (A )= n ．7．若r (A , b ) = 4，r (A ) = 3，则线性方程组AX = b 无解 ． 8．若线性方程组⎩⎨⎧=+=-002121x x x x λ有非零解，则=λ—1 9．设齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A ，且秩(A ) = r < n ，则其一般解中的自由未知量的个数等于n – r10. 已知齐次线性方程组O AX =中A 为53⨯矩阵，且该方程组有非0解，则≤)(A r 3 ．11．齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=000020103211A 则此方程组的一般为为⎩⎨⎧=--=4243122x x x x x (其中43,x x 是自由未知量) 12．设线性方程组b AX =，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-→010********1t A ，则：t 1-≠时，方程组有唯一解. 三、计算题1．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012411210，求逆矩阵1-A ． 解 因为(A I ) =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-120001010830210411100010001012411210⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→123124112200010001123001011200210201⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→21123124112100010001 所以 A -1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----211231241122．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121511311，求逆矩阵1)(-+A I ． 解 因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+021501310A I 且 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-110520001310010501100021010501001310 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→112100001310010501⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→1121003350105610001 所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=+-1123355610)(1A I 3．设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321，计算(BA )-1．解 因为BA =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2435 (BA I )=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1024111110240135 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---→54201111⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--→2521023101 所以 (BA )-1=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--252231 4．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3221,5321B A ，求解矩阵方程B XA =．解：因为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡10530121⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→13100121 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→13102501 即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-132553211所以，X =153213221-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡13253221= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1101 5．设线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+--=+052231232132131x x x x x x x x ，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解的情况.解 因为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=211011101201051223111201A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→300011101201 所以 r (A ) = 2，r (A ) = 3. 又因为r (A ) r (A )，所以方程组无解.6．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+-=-+03520230243214321431x x x x x x x x x x x 的一般解． 解 因为系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=111011101201351223111201A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000011101201 所以一般解为⎩⎨⎧-=+-=4324312x x x x x x （其中3x ，4x 是自由未知量）7．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=+-126142323252321321321x x x x x x x x x 的一般解． 解 因为增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=1881809490312112614231213252A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→0000141019101所以一般解为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=1941913231x x x x （其中3x 是自由未知量）8．设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+-0830352023321321321x x x x x x x x x λ问取何值时方程组有非零解，并求一般解 因为系数矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---61011023183352231λλ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→500110101λ 所以当 = 5时，方程组有非零解. 且一般解为⎩⎨⎧==3231x x xx （其中3x 是自由未知量）9．当λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++1542131321321x x x x x x x x λ 有解？并求一般解. 解 因为增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=26102610111115014121111λλA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→λ00026101501 所以当λ=0时，线性方程组有无穷多解， 且一般解为：⎩⎨⎧+-=-=26153231x x x x (x 3是自由未知量〕经济数学基础11年秋季学期模拟试题一、单项选择题1．B 2. A 3. D4. C5. C1．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ B ）． B ．e x 2．曲线11+=x y 在点（0, 1）处的切线斜率为（ A ）．A ．21-3．下列定积分计算正确的是（ D ）． D ．0d sin =⎰-x x ππ4．设B A ,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ C ）C ．111)(---=A B AB5．设线性方程组b AX =有唯一解，则相应的齐次方程组O AX =（ C ） C ．只有零解 二、填空题6．函数⎩⎨⎧<≤-<≤-+=20,105,2)(2x x x x x f 的定义域是[-5, 2) ． 7．求极限 =+∞→xxx x sin lim1 .8．若)(x f '存在且连续，则='⎰])(d [x f )(x f '．9．设B A ,均为n 阶矩阵，则等式2222)(B AB A B A +-=-成立的充分必要条件是 BA AB =．10．设齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A ，且r (A ) = r < n ，则其一般解中的自由未知量的个数等于n -r三、微积分计算题11．设xx y -+=2tan 3，求y d ． 12．计算积分 x x x d 2cos 20⎰π．四、代数计算题13．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---112401211，计算1)(-+A I ．14．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=+-5532342243214321421x x x x x x x x x x x 的一般解．五、应用题15．某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C (q ) = 20+4q +0.01q 2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q （元/件），试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？（2）最大利润是多少？三、微积分计算题11．解：因)(2ln 2)(cos 1332'-+'='-x x xy x2ln 2cos 3322x x x --=所以x x x y x d )2ln 2cos 3(d 322--=12．解：x x x d 2cos 20⎰π=22sin 21πx x -x x d 2sin 2120⎰π=22cos 41πx =21- 四、线性代数计算题13．解：因为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+012411210A I 且 (I +A I )=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-12000101083021041110001000101241121⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→123124112200010001123001011200210201⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→21123124112100010001 所以 1)(-+A I =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----2112312411214．解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---131101311021011551323412121011 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000001311012101000001311021011 故方程组的一般解为：1342342131x x x x x x =++⎧⎨=+-⎩ (x 3，4x 是自由未知量〕五、应用题15．解：（1）由已知201.014)01.014(q q q q qp R -=-== 利润函数22202.0201001.042001.014q q q q q q C R L --=----=-= 则q L 04.010-='，令004.010=-='q L ，解出唯一驻点250=q .因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大，（2）最大利润为1230125020250025002.02025010)250(2=--=⨯--⨯=L （元） 经济数学基础一、单项选择 1.C 2.D 3.B 4.A 5.D 1.下列函数中为奇函数的是（ C ）．(C) 11ln+-=x x y 2.设需求量q 对价格p 的函数为p p q 23)(-=，则需求弹性为=p E （ (D)pp 23--3.下列无穷积分中收敛的是(B) ⎰∞+12d 1x x4.设A 为23⨯矩阵，B 为32⨯矩阵，则下列运算中（ A ）可以进行．(A) AB5.线性方程组⎩⎨⎧=+=+012121x x x x 解的情况是 D) 无解二、填空题 6.函数24)(2--=x x x f 的定义域是 ),2(]2,(∞+--∞7.函数1()1e xf x =-的间断点是0=x 8.若cx F x x f +=⎰)(d )(，则=⎰--x f xx d )e (e c F x +--)e (．9.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=13230201a A ，当=a 0 时，A 是对称矩阵10.若线性方程组⎩⎨⎧=+=-002121x x x x λ有三、微积分计算题1.设x y x 5cos 3+=，求y d ． 2. 计算定积分⎰e1d ln x x x ．四、线性代数计算题11. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=211010,211001B A ，求1T )(-A B ．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=211010,211001B A ，求1T )(-A B ．12. 求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+-=-+03520230243214321431x x x x x x x x x x x 的一般解．五、应用题15.生产某产品的总成本为x x C +=3)(（万元），其中x 为产量，单位：百吨．边际收入为x x R 215)(-='（万元/百吨），求：(1) 利润最大时的产量； (2) 从利润最大时的产量再生产1百吨，利润有什么变化？三、微积分计算题）11. 解：由微分四则运算法则和微分基本公式)(cos d )3(d )cos 3(d d 55x x y x x +=+=)(cos d cos 5d 3ln 34x x x x +=x x x x x d cos sin 5d 3ln 34-=x x x x d )cos sin 53ln 3(4--= 12. 解：由分部积分法得⎰⎰-=e 12e12e1)d(ln 21ln 2d ln x x x x x x x 414e d 212e 2e 12+=-=⎰x x四、线性代数计算题13. 解：因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3121211001211100T A B 所以由公式⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⨯-⨯-=-11231123)1(23)1(1)(1T A B 14. 解：因为系数矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=111011101201351223111201A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000011101201 所以一般解为⎩⎨⎧-=+-=4324312x x x x x x （其中3x ，4x 是自由未知量） 五、应用题）15.解：（1）因为边际成本1)(='x C ，边际利润 '='-'L x R x C x ()()() x x 2141215-=--=令'=L x ()0 得 7=x （百吨）又7=x 是L x ()的唯一驻点，根据问题的实际意义可知L x ()存在最大值，故7=x 是L x ()的最大值点，即当产量为7（百吨）时，利润最大． （2）x x x x L L d )214(d )(8787⎰⎰-='=1)14(872-=-=x x 即从利润最大时的产量再生产1百吨，利润将减少1万元． 1 经济数学基础09秋模拟试题 一、单项选择题1．函数()1lg +=x xy 的定义域是（ D ）． D ．1->x 且0≠x 2．函数sin ,0(),0xx f x xk x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在x = 0处连续，则k = ( C ．1 3．下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ C ．⎰x x x d 2sin4．设A 为23⨯矩阵，B 为32⨯矩阵，则下列运算中（ A ）可以进行A ．AB5. 设线性方程组b AX =的增广矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------124220621106211041231，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ B ．2 二、填空题（ 6．设函数2)1(2++=+x x x f ，则42+x7．设某商品的需求函数为2e 10)(p p q -=，则需求弹性=p E 2p - 8．积分 =+⎰-1122d )1(x x x0 ． 9．设B A ,均为n 阶矩阵，)(B I -可逆，则矩阵方程X BX A =+的解X = 1)(--B I ． 10. 已知齐次线性方程组O AX =中A 为53⨯矩阵，则≤)(A r 3 ． 三、微积分计算题11．设x x y x +=cos e ，求y d ． 12．计算积分 ⎰x x x d 1sin 2． 四、代数计算题 13．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121511311，计算 1)(-+A I ． 14．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=--1261423623352321321321x x x x x x x x x 的一般解．五、应用题15．已知某产品的边际成本为34)(-='q q C (万元/百台)，q 为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本. 三、微积分计算题11．解：212cos 23cos 23)sin (e)()(cos ex x x x y xx+-='+'='x x x y x d )e sin 23(d 2cos 21-= 12．解： c x x x x xx +=-=⎰⎰1cos )1(d 1sin d 1sin2四、线性代数计算题13．解：因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+021501310A I 且 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1105200013100151100021010501001310 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→112100001310010501⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→1121003350105610001 所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=+-1123355610)(1A I 14．解：因为增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=18181809990362112614236213352A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000011101401所以一般解为 ⎩⎨⎧+=+=1143231x x x x （其中3x 是自由未知量） 五、应用15．解：因为总成本函数为 ⎰-=q q q C d )34()(=c q q +-322 当q = 0时，C (0) = 18，得 c =18，即C (q )=18322+-q q 又平均成本函数为 qq q q C q A 1832)()(+-== 令 0182)(2=-='q q A ， 解得q = 3 (百台) 该问题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为9318332)3(=+-⨯=A (万元/百台) 经济数学基础09秋模拟试题2 一、单项选择题1．下列各函数对中，（ D ）中的两个函数相等． D ．x x x f 22cos sin )(+=，1)(=x g2．当+∞→x 时，下列变量为无穷小量的是（ C ．21e x -3．若c x x f xx+-=⎰11e d e )(，则f (x ) =（ C ．21x4．设A 是可逆矩阵，且A A B I+=，则A -=1（ A ．B 5．设线性方程组b X A n m =⨯有无穷多解的充分必要条件是（ B ．n A r A r <=)()(二、填空题6．已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p ，其中p 为该商品的价格，则该商品的收入函数R (q) =42+x7．曲线y =)1,1(处的切线斜率是 2p-8．=+⎰x x xd )1ln(d d e12 09．设A 为n 阶可逆矩阵，则r (A )=1)(--B I10．设线性方程组b AX =，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-→010********1t A ，则t 3时，方程组有唯一解． 三、微积分计算题11．设x y x 5sin cos e +=，求y d ． 12．计算积分 ⎰e1d ln x x x ．四、代数计算题13．设矩阵 A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--021201，B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡142136，计算(AB )-1． 14．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+-=-+03520230243214321431x x x x x x x x x x x 的一般解．五、应用题15．设生产某种产品q 个单位时的成本函数为：q q q C 625.0100)(2++=（万求：（1）当10=q 时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量q 为多少时，平均成本最小？三、微积分计算题 11．解：212cos 23cos 23)sin (e)()(cos ex x x x y xx+-='+'=' x x x y x d )e sin 23(d 2cos 21-=12．解： c x x x x x x +=-=⎰⎰1cos )1(d 1sin d 1sin2四、线性代数计算题13．解：因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+021501310A I 且 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-110520001310010501100021010501001310 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→112100001310010501⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→1121003350105610001 所以 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=+-1123355610)(1A I 14．解：因为增广矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=18181809990362112614236213352A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000011101401 所以一般解为 ⎩⎨⎧+=+=1143231x x x x （其中3x 是自由未知量） 五、应用题15．解：因为总成本函数为⎰-=q q q C d )34()(=c q q +-322 当q = 0时，C (0) = 18，得 c =18，即 C (q )=18322+-q q 又平均成本函数为q q q q C q A 1832)()(+-==令 0182)(2=-='qq A ， 解得q = 3 (百台)该问题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为 9318332)3(=+-⨯=A (万元/百台) 经济数学基础期末模拟练习（二）一、单项选择题 1.B 2.C 3.D 4.C 5.B 6.A 7.D 8.C 9.B1.下列各对函数中，（ ）中的两个函数相同． (B) 1)(,cos sin )(22=+=x g x x x f2.当1→x 时，下列变量中的无穷小量是 (C) 1122+-x x3.若)(x f 在点0x 有极限，则结论（ ）成立 (D) )(x f 在点0x 可能没有定义4.下列函数中的单调减函数是（ ） (C) x y -=5.下列等式中正确的是（ ） (B) )cos d(d sin x x x -=6.若F x ()是f x ()的一个原函数，则=⎰--x f x x d )e (e （ ）．(A) c F x +--)e (7.设A B ,为随机事件，下列等式成立的是（ ）． (D) )()()(AB P A P B A P -=-8.已知)2,2(~2N X ，若)1,0(~N b aX +，那么（ ）． (C) 1,21-==b a 9.设A 是n s ⨯矩阵，B 是m s ⨯矩阵，则下列运算中有意义的是（ (B) T AB 10.n 元线性方程组A Xb =有解的充分必要条件是（ ）． (A) 秩=A 秩)(A 二、填空题11. 2sin 2+x 12. 减少 13. x cot - 14. 7.1 15. 1 11.若函数2)(2+=x x f x x g sin )(==))((x g f 12.函数x x f ln )(-=在区间),0(∞+内单调 13.=⎰x xd sin 12 ． 14.设随机变量⎥⎦⎤⎢⎣⎡3.01.06.021~X ，则=+)1(X E ． 15.当λ= 时，方程组⎩⎨⎧-=--=+112121x x x x λ有无穷多解．三、极限与微分计算题16.求极限xx x 21sin 1lim-+→．17.由方程x y x y ln sin =+确定y 是x 的隐函数，求y d ．四、积分计算 18.计算积分⎰41d ex xx19.求微分方程xx x y y sin =+'的通解． 五、概率计算题 20.已知5.0)(=A P ，3.0)(=B A P ，求)(B A P +．21.设随机变量)9,3(~N X ，求)120(<≤X P ．（已知ΦΦ().,().108413209772==，Φ().309987=） 六、代数计算题 22.已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=244213001,543322011B A ，求1)(--B A ． 23.求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=+-5532342243214321421x x x x x x x x x x x七、应用题24.厂家生产一种产品的需求函数为p q 80720-=（单位：件）而生产q 件该产品时的成本函数为1604)(+=q q C （单位：元）问生产多少件产品时厂家获得的利润最大？八、证明题25.设A 为矩阵，证明T AA 是对称矩阵．三、极限与微分计算题 16. 解：利用重要极限的结论和极限运算法则得)1sin 1(2)1sin 1)(1sin 1(lim21sin 1lim00++++-+=-+→→x x x x x x x x )1sin 1(2sin lim 0++=→x x x x 41= 17. 解：等式两端同时求微分得 左)sin (d d )sin (d y x y y x y +=+= y y x x y y y x x y y d cos d sin d )(sin d d sin d ++=++= 右x xx d 1)(ln d ==由此得x xy y x x y y d 1d cos d sin d =++ 整理得 x y x yxy d cos 1sin 1d +-= 18. 解：利用积分的性质和凑微分法得⎰⎰=4141)(d 2e d ex x xx x⎰==21212e d 2e uu u )e 2(e 2-=19. 解：方程是一阶线性微分方程，xx P 1)(= ，积分因子为x x x x ==⎰ln d 1e e原方程改为x y y x sin =+' 上式左端为)('xy ，两端同时积分得c x x x xy +-==⎰cosd sin即微分方程的通解为xcx x y +-=cos 其中c 为任意常数． 五、概率计算题 20. 解：由事件的关系得B A A B A +=+且A 与B A 互斥，再由加法公式得)()()(B A P A P B A P +=+8.03.05.0=+=21. 解：对X 做变换得出)1,0(~33N X -，于是 )3331()331233330()120(<-≤-=-<-≤-=<≤X P X P X P)]1(1[)3()1()3(ΦΦΦΦ--=--= 84.018413.09987.0=-+= 六、代数计算题22. 解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-301111010B A 利用初等行变换得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--110210001010010111100301010*********⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→212121100001010010111111200001010010111⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→212121100001010212323001212121100001010212321011即 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=--212121001212323)(1B A 23. 解：将线性方程组的增广矩阵化为行简化阶梯形矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=131101311021011551323412121011A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000001311012101000001311021011 线性方程组的一般解为 ⎩⎨⎧-+=++=1312432431x x x x x x （其中43,x x 是自由未知量）24. 解：由已知条件可得809qp -= 809)(2q q pq q R -== 又由已知条件得1604)(+=q q C进一步得到160805)1604(809)()()(22--=+--=-=q q q q q q C q R q L对利润函数求导得405)(qq L -=' 令'=Lq ()0得200=q ，在定义域内只有一个驻点，故为最值点．即生产200件产品时厂家获得的利润最大． 八、证明题25. 证：由转置的性质得T T T T T T AA A A AA ==)()( 由定义可知T AA 是对称矩阵． 中央广播电视大学2010-2011学年度第二学期 经济数学基础 试题一、单项选择题二、填空题三、微积分计算题四、线性代数计算题五、应用题一、单项选择题（每小题3分．本题共15分）1．D 2．B 3．A 4．C 5．A。

第三章 函数的导数与微分习题 3－11. 根据定义求下列函数的导数: (1)x y 1= (2)x y cos =(3)b ax y +=(a ,b 为常数) (4)x y =解 (1) 因为 00()()'lim lim x x y f x x f x y x x ∆→∆→∆+∆-==∆∆ =x x x x x ∆-∆+→∆11lim 0=01lim ()x x x x ∆→-+∆=21x -所以 21y x '=-.(2) 因为 00cos()cos 'limlim x x y x x x y x x ∆→∆→∆+∆-==∆∆所以 sin y x '=-(3) 因为 00[()][]'lim lim x x y a x x b ax b y x x ∆→∆→∆+∆+-+==∆∆ =x x a x ∆∆→∆0lim =a所以 y a '= (4) 因为00'limlim x x y y x ∆→∆→∆==∆ =)(lim 0x x x x x x +∆+∆∆→∆ 所以y '=. 2. 下列各题中假定)(0'x f 存在, 按照导数的定义观察下列极限, 指出A 表示什么? (1) A x x f x x f x =∆-∆-→∆)()(lim 000 (2) A x x f x =→)(lim 0(其中0)0(=f 且)0('f )存在) (3) A x f tx f x =-→)0()(lim 0(其中)0('f 存在) (4) A h h x f h x f h =--+→)()(lim 000解（1）因为 x x f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim 000 =x x f x x f x ∆--∆--→∆)()(lim 000=)(0'x f -故 )(0'x f A -=.(2) 因为 x x f x )(lim 0→=0)0()(lim 0--→x f x f x =)0('f故 )0('f A =.(3) 因为 x f tx f x )0()(lim 0-→=tx f tx f t x )0()0(lim 0-+→=)0('tf故)0('tf A =. (4) 因为 000()()limh f x h f x h h →+-- =)()(0'0'x f x f +=)(20'x f 故)(20'x f A =. 3.已知2,,x y x ⎧=⎨⎩11≥<x x , 求d d y x 解 由已知易得当1<x 时, x y 2'=, 当1x >时, 1'=y又 1)1()(l i m )1(1'--=+→+x f x f f x =11lim 1--+→x x x =1 1)1()(lim )1(1'--=-→-x f x f f x =11lim 21---→x x x =2即)1('f 不存在.故'2,()1,x f x ⎧=⎨⎩ 11><x x . 4. 如果f (x )为偶函数，且(0)f '存在，证明(0)0f '=.证 由于f (x )为偶函数，所以 f (-x ) = f (x )则 00()(0)()(0)(0)lim lim 00x x f x f f x f f x x →-→---'==----故 (0)0f '=.5.讨论下列函数在0=x 处的连续性和可导性： (1) 21sin ,0,x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩ 00=≠x x (2) cos y x =(3)2,,x y x ⎧=⎨-⎩ 00<≥x x 解 (1) 因为 0()(0)'(0)lim 0x f x f f x →-=-所以函数 21sin ,0,x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩ 00=≠x x 在0=x 处可导，从而也连续.(2) 因为0()(0)'(0)l i m 0x f x f f x →-=- 所以函数cos y x =在x = 0处可导，从而也连续.(3)因为 200lim ()lim 0(0)x x f x x f ++→→===所以函数)(x f 在0=x 处连续.又因为 2'00()(0)0(0)lim lim 000x x f x f x f x x +++→→--===--故'(0)f 不存在, 即函数)(x f 在0=x 不可导. 6. 设函数2, 1(), 1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩，为使函数f (x ) 在x = 1处连续且可导，a ,b 应取什么值？ 解 由题意， 有首先可得 a+b = 1 即 b = 1－a又因为 211(1)lim 21x x f x --→-'==-所以a = 2 ,于是b = －1.故当a = 2, b = －1时，函数f (x ) 在x = 1处连续且可导.7.求曲线2x y =在点（-1，1）处的切线方程.解 因 1'2,'2x y x y =-==-故 曲线2x y =在点（-1，1）处的切线方程为12(1)y x -=-+即 21y x =--.8*.设曲线f (x ) = x n 在点 (1, 1) 处的切线与x 轴的交点为(a n ，0),求lim ()n n f a →∞. 解 因为 1(1)n x f nx n ='==所以曲线()n f x x =在点（1, 1）处的切线方程为y －1 = n ( x －1)切线与x 轴的交点为1(1,0)n -，即11n a n =- 从而1()(1)nn f a n =-习题 3－21 求下列函数的导数：（1）52423+-=x x y （2）x y x ln 2=(3 )x x y sin 23= (4) 4tan 3-=x y(5) )32)(23(x x y -+= (6) x x xy ln 1ln += (7) x x e y x 22+= (8) t t y cos 1sin 1++=解 （1）x x y 4122'-=. (2) x x y x x 2)2)(2(ln ln '+=.(3) x x x x y cos 2sin 632'+=.(4) x y 2'sec 3=.(5) )3)(23()32(2'-++-=x x y =x 125--. (6) x x x x x x y 22'ln 1ln 1-+-==x x x x 22ln 1ln 1--.(7) 2'4222x x e x e x y x x -=-=42222x x xe e x x x --. (8)2')cos 1()sin )(sin 1()cos 1(cos t t t t t y t +-+-+==2cos sin 1(1cos )t t t +++.2. 求下列函数在给定点的导数： （1）x xe y =, 求0'|=x y（2）θθθρcos 21sin +=, 求0'|=θρ（3）553)(2x x x f +-=, 求)0('f 和)2('f . 解 (1) 因为x x xe e y +=', 所以 10|000'=+==e e y x(2) 因为'11sin cos sin sin cos 22θρθθθθθθθ=+-=+ 所以 '211|sin cos 22222θπθπππρ==+=.(3) 因为 x x x x f 52)5()5(3)(2'+---==x x 5253+-所以 53)0('-=f , 51)2('-=f . 3. 求21123(1)n x x nx x -++++≠的和. 解 注意到 1()n n x nx -'=，有4. 求曲线2sin x x y +=上横坐标为0=x 的点处的切线方程和法线方程. 解 当0=x 时，0=y , 且有 x x y 2cos '+=则 00cos |0'+==x y =1 习题 3－31. 求下列函数的导数：（1）223x y -= （2）32x e y = （3）x y arcsin= (4))ln(22x a x y ++= （5）2cos ln x e y -= (6）x y 1arctan =解 (1))4(23212'x x y --==. (2) 33'2222(6)6x x y e x x e ==. (3)x x y 2111'-==)1(21x x -.(4)y '=+=. (5) 22222'1(sin )(2)2tan cos x x x x x y e e x xe e e -----=--=.(6) )1(11122'x x y -+==211x +-. 2. 求下列函数的导数： （1）x e y x2cos 2-= （2）)]ln[ln(ln x x y =（3）nx x y n cos sin = （4）x x y 22ln 2-= 解 （1）'221()cos 2(sin 2)22xx y e x e x --=-+-⋅ ()21cos 24sin 22xe x x -=-+.(2)[]1'ln[ln(ln )]ln(ln )ln y x x x -=+⋅. (3) nx x x n y n cos cos sin 1'-=n nx x n )sin (sin -+ sin cos(1)n n x n x =+. (4) xx y 2'ln 22-=)ln 221(22x x -+x x 1)ln 2(- =x x 2ln 22-x x x 2ln 2ln --.3. 设f 可导，求下列函数的导数d d yx ：（1）)(e x x e f y += （2）)(sin 2cos 2x f x y -= （3）n a x f y )]([2+= （4）)]ln ([x x f f y += （5）)arctan 1(x x f e y +=解 （1）()'1dy ()d x e x e f e x e ex x -=++.（2）'2d 2sin 2(sin )d y x f x x=--x x cos sin 2. =x x f x 2sin )(sin 2sin 22'--2sin 22(sin )x f x '⎡⎤=-+⎣⎦. (3) 212d [()]()2d n y n f x a f x a x x -'=+⋅+⋅1222()()n nx f x a f x a -'⎡⎤=+⋅+⎣⎦. (4) []d 1(1)(ln )(ln )dx y f f x x f x x x ''=+⋅+⋅+. (5) 1(arctan )d d f x x y e x +=)arctan 1('x x f +)111(22x x ++- 1(arctan )2211arctan (1)f x xf x e x x x +⎛⎫'=-+ ⎪+⎝⎭.4设2ln(1), >0()0, 0 , ().sin , 0x x f x x f x x x x ⎧⎪+⎪⎪'==⎨⎪⎪<⎪⎩求解 当x > 0时，[]1()ln(1)1f x x x ''=+=+ 当x < 0时，222sin sin 2sin ()x x x x f x x x '⎛⎫-'== ⎪⎝⎭当x = 0时，由00()(0)ln(1)(0)lim lim 0x x f x f x f x x +++→→-+'==-得(0)1f '=. 故 221, 01()1, 0sin 2sin , 0x x f x x x x x x x ⎧<⎪+⎪⎪'==⎨⎪-⎪<⎪⎩ .5. 设2()1 ()()ln f x y a f x f x a '==且，证明2y y '=. 证 由复合函数的求导法则，得将 1()()ln f x f x a '=代入上式, 可得即 2y y '=.6. 设函数f 可导，且y = f (a + t ) －f (a － t ), 求0d d t yt =.解 因为 d ()()()() d y f a t a t f a t a t t ''''=+⋅+--⋅-故 0d ()()2()d t y f a f a f a t ='''=+=.*7 设()lim x x x t f t t x t →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求()f t '. 解 因为1lim lim 1x x x x t x t x t x t x →∞→∞⎛⎫+ ⎪+⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭ 所以 2()l i m l i m x x t x x x t x t f t t t t e x t x t →∞→∞++⎛⎫⎛⎫==⋅=⋅ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭故22()()(12)t t f t t e e t ''=⋅=+. 习题 3－41. 求下列函数的二阶导数：（1）x xe y 2= （2）)1ln(2x y -=（3）x y arctan = （4）)21(sin 2x y +=（5）)1ln(2x x y ++= （6）2(1)arctan y x x =+ 解 (1)2222(12)x x x y e xe e x '=+=+2222(12)24(1)x x x y e x e e x ''=⋅++⋅=+.(2) 因为)1ln(2x y -==)1ln()1ln(x x ++- 所以 ='y x x --+1111=''y 22222112(1)(1)(1)(1)x x x x -+-=-+--. (3) ='y 211x +, =''y 22)1(2x x +-.(4) ()2sin(12)cos(12)22sin 212)y x x x '=++⋅=+()()2cos21248cos212y x x ''=+⋅=+.(5)='y =()3221x y x ''==-+.(6)='y 2211arctan 2x x x x +++=1arctan 2+x x 2. 已知)(''x f 存在，且0)(≠x f ，求22d d yx .（1）)(2a x f y += （2）)](ln[x f y = 解 (1) '22d ()22()d y f x a x xf x a x '=+⋅=+2222()4()f x a x f x a '''=+++. (2) 'd 1()d ()y f x x f x =2'''''''2222d ()()()()()()[()]d ()()y f x f x f x f x f x f x f x x f x f x --==.3. 设f (x ) 的n 阶导数存在，求 []()()n f ax b +. 解 因 []()()()f ax b f ax b a af ax b '''+=+⋅=+………………………………故 []()()()()n n n f ax b a f ax b +=+. 4. 验证函数x e y xsin =满足关系式022'''=+-y y y . 解 因 x e y x sin '=x e x cos +''sin x y e x =x e x c o s+x e x c o s +x e x s i n -=x e x cos 2 故 '''22y y y -+=x e x cos 2x e x sin (2-)cos x e x +x e x sin 2+=0. 5.求下列函数的n 阶导数的一般表达式：(1)ln y x x = (2) 3x y =解 (1) 因(4)23112ln 1,, , ,y x y y y x x x ''''''=+==-= 故 ()1(1)(2)! (2)n n n n y n x --⋅-=≥.（2）23ln 3,3ln 3, x x y y '''=⋅=⋅ 故 ()3(ln 3)n x n y =⋅.*6 设22411x y x -=-，求y (100). 解2224133114411211x y x x x x -⎛⎫==+=+- ⎪---+⎝⎭ 而 (100)(100)1011011100!1100!, 11(1)(1)x x x x ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭习题 3－51. 求由下列方程确定的隐函数的导数'y ：（1）yx e xy += （2）)arctan(2xy xy x =+ （3）1=-y xe y （4）033=-+a y x （a 为常数）解 （1）方程两边同时对x 求导, 得解方程得 ='y y x y x e x ye ++--.(2) 方程两边同时对x 求导，得解方程得 3222222xy x y y x y ++'=-.(3) 方程两边同时对x 求导, 得解方程得 ='y y yxe e -1.(4) 方程两边同时对x 求导, 得解方程得='y 22y x -. 2. 求曲线2ln ()cot 02y y x x e π-+-=在点（e , 1）处的切线方程。