无穷积分的敛散判别法

关于无穷积分收敛的判断课本中关于无穷积分收敛的判断主要是基于定理7与其推论（课本下册p.270）。

由这一推论可以看出：推论是根据 +∞→x 时无穷小量 ()x f 相对于x1的阶来判断。

因为：()d x f x x =∞+→λlim 等价于 ()d x x f x =∞+→λ1lim，当 +∞<<d 0 时，无穷小量 ()x f 与无穷小量 λx1 是同阶无穷小量（ 即：相对于无穷小量 x 1，无穷小量 ()x f 的阶是λ ），由于例3 （课本下册p.263），相对于无穷小量 x1，无穷小量 ()x f 的阶 1>λ时无穷积分()⎰∞+ax d x f 收敛，1≤λ 时无穷积分()⎰∞+ax d x f 发散。

当然，由于存在不可比较的无穷小量，这一判断收敛的方法也不是万能的。

习题例解：例1． 判别无穷积分⎰∞+121sinx d x的敛散性（课本下册p.277：2（5）） 解：由于 111sinlim22=∞+→x x x ，相对于无穷小量 x 1 ，无穷小量 21sin x 的阶为2 ，故：这一无穷积分收敛。

（ 若直接用推论，判定收敛的理由是 11sinlim 22=∞+→xx x 。

） 例2． 判别无穷积分⎰∞+0xex d 的敛散性（课本下册p.277：2（7））解：由于 011lim2=∞+→x e x x（注1），当 +∞→x ，无穷小量xe 1 是比无穷小量21x 更高阶的无穷小量，因而无穷积分⎰∞+0xex d 收敛。

注1．由洛必达法则（课本上册pp.250-254）有 0lim 4=∞+→x x ex ，故0lim 11lim 42==∞+→∞+→x x x x ex x e 。

无穷积分的性质:⑴在区间上可积 , — Const , 则函数在区间上可积 ,且.⑵和在区间上可积 , 在区间上可积 , 且.⑶无穷积分收敛的Cauchy准则: ( 翻译)定理积分收敛.⑷绝对收敛与条件收敛: 定义概念.绝对收敛收敛, ( 证 ) 但反之不确. 绝对型积分与非绝对型积分无穷积分收敛判别法非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数,有↗. 非负函数无穷积分敛散性记法.⑴比较判敛法: 设在区间上函数和非负且，又对任何>, 和在区间上可积 . 则< , < ；, . ( 证 )例1 判断积分的敛散性.比较原则的极限形式 : 设在区间上函数,. 则ⅰ> < < , 与共敛散 :ⅱ> , < 时, < ；ⅲ> , 时,. ( 证 )⑵Cauchy判敛法: ( 以为比较对象, 即取.以下> 0 )对任何>, , 且, < ；且, .Cauchy判敛法的极限形式 : 设是在任何有限区间上可积的正值函数.且. 则ⅰ> < ；ⅱ>. ( 证 )例2 讨论以下无穷积分的敛散性 :ⅰ> ⅱ> [1]P 324 E6⑶其他判敛法:Abel判敛法: 若在区间上可积 , 单调有界 , 则积分收敛.Dirichlet判敛法: 设在区间上有界，在上单调，且当时，. 则积分收敛.例6 讨论无穷积分与的敛散性. [1]P325 E7例7 证明下列无穷积分收敛 , 且为条件收敛 :, ,. [1]P326 E8例8 ( 乘积不可积的例 ) 设, . 由例6的结果,积分收敛 . 但积分却发散.( 参阅例6 )。

无穷积分敛散性的一个新的判别法摘要：本文在分析无穷积分敛散性的基础上，提出了一种新的判定敛散性的准则，即采用谱函数法来判别它，这种方法将有力地推进数学分析研究，能够提供准确的敛散性判定结果。

本文首先介绍了无穷积分敛散性问题，探讨了无限积分敛散性的几种基本概念，并指出了常数微分方程在讨论无穷积分敛散性时的一些共性。

接着，介绍了一种新的判定敛散性的准则谱函数法，该方法更简单，更为精确，还改善积分出现无限值的问题。

接下来，本文介绍了谱函数法在计算无穷积分时的特殊情况，分析了函数的谱函数解析展开，说明了如何判断整个函数的散度。

最后，结合实例，给出了一个具体的应用场景，同时也指出了谱函数法的缺点，为今后继续深入研究提供了参考。

关键词：无穷积分，敛散性，谱函数法1.言无穷积分的敛散性问题是数学分析中一个重要的问题，从古典数学研究到现代数学研究，都受到广泛的关注。

本文探讨了一种新的判定敛散性的准则谱函数法，它更能精确地得出敛散性结果。

2.穷积分敛散性2.1念无穷积分敛散性是一种比较常见的概念，是指当某个函数对无穷范围内的某一函数进行无限次积分后，积分值是收敛的，还是散度的。

如果该函数的积分值在无穷的范围内收敛，则称该函数具有敛散性。

2.2数微分方程在讨论无穷积分敛散性问题时，常数微分方程在研究中也有很大的作用。

例如，求解积分的结果就可以转化为求解常数微分方程的任务，并从而分析其是否具有敛散性。

3.函数法3.1 介绍谱函数法是一种比较新的判断敛散性的准则，它采用数学函数的谱函数解析展开，进而判断整个函数的散度，从而更为精确地判断无穷积分敛散性。

3.2殊情况当函数只有一个有限的频率项时，可以利用谱函数法来计算无穷积分，从而判断敛散性。

当函数具有更多的频率项时，则需要将其全部解析开，进而分析其是否具有散度。

3.3用谱函数法在实际应用中也受到了广泛的欢迎，其优点在于准确性更高，而且可以解决传统方法在积分出现无限值时无法解决的问题。

广义积分敛散性判别法的应用主要的广义积分敛散性证明方法如下：套定义验证比较判别法、等价无穷小Cauchy准则Dirichlet判别法Abel判别法另外本文还有用Cauchy准则来处理广义积分有关的证明题的例题总结.1 广义积分的定义定义1.1[无穷积分]如果 f(x) 在任意有限区间 [a,A] 都是Riemann可积, 且极限 limA→+∞∫aAf(x)dx 存在, 则把无穷积分定义为∫a+∞f(x)dx=limA→+∞∫aAf(x)dx.否则称无穷积分是发散的.此外,∫−∞+∞f(x)dx=∫a+∞f(x)dx+∫−∞af(x)dx.这与Cauchy主值积分不同:(V.P.)∫−∞+∞f(x)dx=limA→+∞∫−AAf(x)dx.广义积分与Riemann积分有类似性质, 运算法则（分部积分、变量替换等）可以推广过来.定义1.2 [瑕积分]如果 f(x) 在任意有限区间 [a′,b],(a<a′<b) 都是Riemann可积, 且极限 lima′→a+∫a′bf(x)dx 存在, 则把瑕积分定义为∫abf(x)dx=lima′→a+∫a′bf(x)dx.否则称无穷积分发散.例1.1 无穷积分∫1+∞1xpdx 当 p>1 时, 该无穷积分收敛;当 p≤1 时, 该无穷积分发散.例1.2 瑕积分∫011xpdx. 当 p<1 时, 该瑕积分收敛; 当 p≥1 时, 该瑕积分发散.例1.3 ∫−∞+∞11+x2dx=arctan⁡x|−∞0+arctan⁡x|0+∞=π例1.4 ∫−1111−x2dx=arcsin⁡x|−10+arcsin⁡x|01=π.如果被积函数 f(x) 恒大于0, 我们有如下结论.定理1.5 设 f≥0, 则无穷积分∫a+∞f(x)dx 收敛当且仅当 F(A)=∫aAf(x)dx 是 A∈[a,+∞) 的有界函数.2 比较判别法与等价无穷小定理2.1 设 0≤f≤Mg,M>0 为常数,(这个不等式对充分大的x都成立就行了). 则当无穷积分∫a+∞g(x)dx 收敛时, 无穷积分∫a+∞fdx 也收敛. 当无穷积分∫a+∞fdx 发散时, 无穷积分∫a+∞g(x)dx 发散. 瑕积分的结果类似.在比较判别法中, M的寻找可以用极限去找. 如果极限 l=limx→∞f(x)g(x) 存在, 则(1) 当 0<l<∞时, 积分∫a+∞f(x)dx 与∫a+∞g(x)dx 同敛散.(2) 当 l=0 时, 如果∫a+∞g(x)dx 收敛, 则∫a+∞f(x)dx 也收敛.(3) 当 l=+∞时, 如果∫a+∞g(x)dx 发散, 则∫a+∞f(x)dx 也发散.注：对瑕积分有类似结论..例2.2 判断积分∫0+∞dxexx 的敛散性.提示：无. \QED例2.3 积分∫01dxln⁡x 是发散的.证明：注意到 limx→0+1ln⁡x=0, 于是0不是瑕点, 1是瑕点. 我们只需要考虑∫1/21dxln⁡x. 由于∫1/21dxln⁡x=∫01/2dtln⁡(1−t),且 ln⁡(1−t)∼−t(t→0), 则积分∫1/21dxln⁡x 与−∫01/2dtt 同敛散. 则原积分是发散的. \QED例2.4 积分∫01ln⁡x1−xdx 是收敛的.证明： 0,1 都是瑕点. 把积分区间拆成 (0,1/2) 与 (1/2,1). (在 (0,1/2) 区间内, 出现瑕点的地方是 ln⁡x, 而在 (1/2,1) 区间内, 出现瑕点的地方是 11−x, 没出现瑕点的地方可以视作有限数)注意0>∫01/2ln⁡x1−xdx>2∫01/2ln⁡xdx,而∫01/2ln⁡xdx=xln⁡x|01/2−∫01/2dx=12(ln⁡12−1),则∫01/2ln⁡x1−xdx 收敛. 另一方面,∫1/21ln⁡x1−xdx=∫01/2ln⁡(1−t)tdt,并注意到 limt→0+ln⁡(1−t)t=−1, 则∫1/21ln⁡x1−xdx 收敛. \QED3 用Cauchy准则验证收敛性定理3.1 [Cauchy准则] f(x) 在 [a,+∞) 上的积分收敛的充分必要条件是: ∀ε>0,∃M=M(ε),当 B>A>M 时, |∫abf(x)dx|<ε.例3.2 积分∫0+∞cos⁡x2dx 是收敛的.证明：我们只需要看被积函数在 [1,+∞) 的积分即可. 作变量代换 x=t, 则∫1+∞cos⁡x2dx=12∫1+∞cos⁡ttdt.则|∫ABcos⁡ttdt|=|sin⁡tt|AB+12sin⁡tt3/2dt|≤1A+1B+12∫ABt −3/2dt=2A→0(B>A→+∞).因此积分是收敛的. \QED注：f在 [a,+∞) 积分存在不能推出 f(x)→0(x→+∞). 需要添加条件. 详见第6小节.例3.3 积分∫0+∞|cos⁡x2|dx 是发散的.证明：【方法一】只需要考虑 cos⁡t 的一个周期. 由于∫(mπ)2(mπ+π)2|cos⁡x2|dx=12∫mπ(m+1)π|cos⁡t|tdt>12(m+1)π∫mπ(m+1)π|cos⁡t|dt=22(m+1)π>2π1m+1+m+2=2π(m+2−m+1).固定m, 取 n>m, 则∫(mπ)2(nπ)2|cos⁡x2|dx>2π(n+1−m+1)→∞(n→∞).因此原积分是发散的. \QED【方法二】(比较判别法). 由于 |cos⁡x2|≥cos2⁡x2=12(1+cos⁡2x2), 由例3.2, 积分∫1+∞cos⁡(2x2)dx 是收敛的, 但是积分 \int_1^{+\infty}1dx 发散, 则原积分发散. \QED注：方法二的技巧在例4.3、例6.5也用到了. 也就是说当 |x|≤1 时, 根据幂函数 y=xα的性质, 必有 x2≤|x|≤1. 利用这个技巧可以去掉绝对值.。

无穷积分敛散性的一个新的判别法无穷积分敛散性是一个重要的数学概念，它涉及到许多重要的数学理论和应用计算，其应用广泛，从实际应用到数学建模等。

因此，研究无穷积分敛散性有着重要的意义，也是数学研究的一个重要部分。

本文将介绍一种新的识别无穷积分敛散性的方法，以及它的一些书面推导和实际应用。

首先，我们回顾一下无穷积分敛散性的基本原理。

无穷积分敛散性是指，存在一个无穷级数$sum_{k=0}^n a_k$，若它具有收敛性，则被称为无穷积分敛散性。

其收敛性的条件是，当$ k rightarrow infty $时，$a_k$晕于某一限值。

基于无穷积分敛散性的基本原理，我们可以建立一种新的识别无穷积分敛散性的方法。

此方法的首要步骤是，根据上述定义，使用微积分等法计算$sum_{k=0}^n a_k$的积分。

接下来，利用微积分的反变换公式，求解无穷积分敛散性的条件。

最后，根据实际应用，使用一系列试验，确定无穷积分敛散性是否满足本文定义的条件。

当确定问题满足无穷积分敛散性的条件后，就可以把它归类到无穷积分敛散性的范畴中，从而更好地研究此问题。

此外，该方法还可以协助我们用图形来分析某一问题的无穷积分敛散性以及其它连续情况，绘制出函数图像，更好地把握问题特征。

在实际应用中，无穷积分敛散性是一个重要的考虑因素。

比如，在经济领域，可以利用本文提出的方法来识别投资者在投入市场时可能遇到的无穷积分敛散性情况，并根据实际情况更好地做出投资决策。

此外，本文所提出的方法还可以应用到信号处理、数值分析等领域，可以指导更好的数学建模和算法设计。

综上所述，本文提出了一种新的识别无穷积分敛散性的方法，它不仅可以更好地研究无穷积分敛散性，而且可以为一些实际应用提供技术支持。

未来，本文所提出的方法还可以进一步发展和改进，希望能够为解决更多实际问题提供解决方案。

综上所述，本文介绍了一种新的识别无穷积分敛散性的方法，它可以更好地研究无穷积分敛散性。

无穷限反常积分敛散性及审敛法则一、教学目标分析在开始本节课程学习之前，学生已经对定积分有所了解，并初步掌握定积分的基本知识，本节通过介绍反常积分，加深学生对积分的了解，使同学对积分的了解更加系统化，并通过讲解让同学们减轻对积分的迷惑。

让学生反常积分在一些实际问题中的应运。

二、学情/学习者特征分析学生通过对前面课程的学习，对积分已经有了初步的了解。

但对于一些特殊积分或者有关实际问题的积分还是存在着一定的迷惑。

由于本节内容有点枯燥，所以要积极调动学生的兴趣，培养好课堂气氛，使学生充分掌握本节课的内容。

三、学习内容分析1.本节的作用和地位通过对本节的学习来解决一些不属于定积分的问题，这些问题通常是一些实际问题。

例如：常会遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的积分等问题。

2．本节主要内容1. 无穷限反常积分的定义与计算方法2. 无穷限反常积分的性质3. 无穷限反常积分的比较审敛法则4. 条件收敛与绝对收敛 3.重点难点分析教学重点：无穷限反常积分计算，无穷限反常积分的比较审敛法则； 教学难点：无穷限反常积分的比较审敛法则。

4.课时要求：2课时四、教学理念学生在之前就已经掌握了一定的知识，通过本节对学生的教学使学生进一步了解反常积分，尤其是其在一些实际问题中的应运。

五、教学策略在教学中主要讲清反常积分的定义及其性质，并适时举例讲解，引导学生互动，相互讨论解决问题。

六.教学环境网络环境下的多媒体教室与课堂互动。

七、教学过程一、无穷限反常积分的定义定义1 设函数／定义在无穷区间[+∞,a )上，且在任何有限区间[u a ,]上可积．如果存在极限 则称此极限J 为函数f 在[+∞,a )上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作dx x f J a⎰+∞=)(，并称dxx f a ⎰+∞)(收敛．如果极限J dx x f uau =⎰+∞→)(lim不存在，亦称dx x f a ⎰+∞)(发散．类似地，可定义f 在(b ,∞-]上的无穷积分：.)(lim )(dx x f dx x f buu b⎰⎰-∞→∞-=对于f 在(+∞∞-,)上的无穷积分，它用前面两种无穷积分来定义：,)()()(dx x f dx x f dx x f a a ⎰⎰⎰+∞∞-∞-+∞+=其中a 为任一实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的．注： dx x f a⎰+∞)(收敛的几何意义是：若f 在],[+∞a 上为非负连续函数，则介于曲线)(x f y =，直线ax =以及x 轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积J ．例1 讨论无穷积分.1)102⎰+∞+x dx ，.1)22⎰∞+∞-+xdx ，.)302⎰+∞-dx xe x 的收敛性． 例2 讨论下列无穷积分的收敛性：⎰+∞1)1p xdx， ;)(ln )22⎰+∞p x x dx 二、无穷积分的性质由定义知道，无穷积分⎰+∞adx x f )(收敛与否，取决于积分上限函数=)(u F ⎰uadx x f )(在+∞→u 时是否存在极限．因此可由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则． 定理11.1 无穷积分⎰+∞adx x f )(收敛的充要条件是：任给ε>0，存在G ≥a ，只要G u u >21,，便有ε<=-⎰⎰⎰2121)()()(u u u au adx x f dx x f dx x f ．此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质．性质1 若dx x f a)(1⎰+∞与dx x f a)(2⎰+∞都收敛，1k ,2k 为任意常数，则[]dx x f k x f k a⎰+∞+)()(2211也收敛，且[]dx x f k dx x f k dx x f k x f k aaa )()()()(22112211⎰⎰⎰+∞+∞+∞+=+．性 质 2 若f 在任何有限区间[u a ,)上可积，且有⎰+∞adx x f )(收敛，则⎰+∞adx x f )(亦必收敛，并有⎰⎰+∞+∞≤aadx x f dx x f )()(．证：⎰+∞adx x f )( 由收敛，根据柯西准则(必要性)，任给0>ε，存在G ≥a ，当G u u >>12时，总有⎰⎰≤2121)()(u u u u dx x f dx x f . 利用定积分的绝对值不等式，又有⎰21)(u u dx x f ≤ε<⎰21)(u u dx x f .再由柯西准则(充分性)，证得⎰+∞adx x f )(收敛又因⎰uadx x f )(≤⎰uadx x f )(，令+∞→u 取极限，立刻得到不等式.当⎰+∞adx x f )(收敛时，称⎰+∞adx x f )(为绝对收敛．性质3指出：绝对收敛的无穷积分，它自身也一定收敛．但是它的逆命题不成立，称收敛而不绝对收敛的无穷积分为条件收敛．性质3 若f 在任何有限区间[u a ,]上可积，b a <，则⎰+∞adx x f )(与⎰+∞bdx x f )(同敛态(即同时收敛或同时发散)，且有⎰+∞adx x f )(=⎰b adx x f )(+⎰+∞bdx x f )(,性质2相当于定积分的积分区间可加性，由它又可导出⎰+∞adx x f )(收敛的另一充要条件：任给ε>0，存在0≥G ，当u >G 时，总有.)(ε<⎰+∞adx x f ．事实上，这可由⎰⎰⎰+∞+∞+=uaudx x f dx x f dx x f )()()(结合无穷积分的收敛定义而得．三、比较判别法首先给出无穷积分的绝对收敛判别法．由于⎰uadx x f )(关于上限u 是单调递增的，因此⎰+∞adx x f )(收敛的充要条件是⎰uadx x f )(存在上界．根据这一分析，便立即导出下述比较判别法：定理11.2 (比较法则) 设定义在[+∞,a )上的两个函数f 和g 都在任何有限区间[u a ,]上可积，且满足 则当⎰+∞adx x g )(收敛时dx x f a⎰+∞)(必收敛(或当dx x f a⎰+∞)(发散时，⎰+∞adx x g )(必发散)．例3 讨论dx x x⎰+∞+021sin 的收敛性． 解：由于],0[,111sin 22+∞∈+≤+x x x x ，而2102π=+⎰+∞x dx 为收敛，故dx xx ⎰+∞+021sin 为绝对收敛． 当选用⎰+∞1p xdx作为比较对象⎰+∞a dx x g )(时，比较判别法有如下两个推论(称为柯西判别法)． 推论1 设f 定义于[+∞,a ] (0>a )，且在任何有限区间[u a ,]上可积，则有：(i)当 ),[,1)(+∞∈≤a x xx f p ,且1>p 时, dx x f a ⎰+∞)(收敛; (ii)当),[,1)(+∞∈≥a x xx f p 且1≥p 时, dx x f a ⎰+∞)(发散.推论2 设定义于[+∞,a )，在任何有限区间[u a ,.]上可积，且λ=+∞→)(lim x f xpx ．则有：(i)当 +∞<≤>λ0,1p 时, dx x f a⎰+∞)(收敛; (ii)当 +∞≤<≤λ0,1p 时,dx x f a⎰+∞)(发散.推论3 若f 和g 都在任何[u a ,)上可积，0)(>x g ，且,)()(lim c x g x f x =+∞→则有(i)当+∞<≤c 0时，由⎰+∞adx x g )(收敛可推知dx x f a ⎰+∞)(也收敛； (ii)当+∞≤<c 0时，由⎰+∞adx x g )(发散可推知dx x f a⎰+∞)(也发散.四、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法． 定理11.3 (狄利克雷判别法) 若⎰=uadx x f u F )()(在[+∞,a )上有界，)(x g 在[+∞,a )上当+∞→x 时单调趋于0，则无穷积分⎰+∞adx x g x f )()(收敛．定理11.4 (阿贝尔(Abel)判别法) 若⎰+∞adx x f )(收敛，)(x g 在[+∞,a )上单调有界，则无穷积分⎰+∞adx x g x f )()(收敛．用积分第二中值定理来证明狄利克雷判别法与阿贝尔判别法． 例5 讨论dx x xp ⎰+∞1sin 与)0(cos 1>⎰+∞p dx xx p 的收敛性． 解：这里只讨论前一个无穷积分，后者有完全相同的结论．下面分两种情形来讨论： (i)当p >1时dx x xp ⎰+∞1sin 绝对收敛．这是因为),,[,1sin +∞∈≤a x x x x p p 而⎰+∞1p xdx 当p >1时收敛，故由比较法则推知dx x xp⎰∞+1sin 收敛. (ii)当10≤<p 时dx x x p ⎰+∞1sin 条件收敛．这是因为对任意u ≥1，有2co s 1co s si n 1≤-=⎰u x d x u ，而p x 1当0>p 时单调趋于)(0+∞→x ，故由狄利克雷判别法推知dx x xp ⎰+∞1sin 工当0>p 时总是收敛的． 另一方面，由于),1[,22cos 21sin sin 2+∞∈-=≥x x x x x x x x p ，其中dt ttdx x x ⎰⎰+∞+∞=21cos 2122cos 是收敛的，而⎰+∞12xdx是发散的，因此当10≤<p 时该无穷积分不是绝对收敛的．所以它是条件收敛的． 例6 证明下列无穷积分都是条件收敛的．,sin 12⎰+∞dx x ,cos 12⎰+∞dx xdx x x ⎰+∞14sin证：前两个无穷积分经换元2x t =得到,2sin sin 112dt tt dx x ⎰⎰+∞+∞=.2cos cos 112dt tt dx x ⎰⎰+∞+∞=由例5知它们是条件收敛的．对于第三个无穷积分，经换元2x t =而得⎰⎰+∞+∞=1214sin 21sin dt t dx x x ，它也是条件收敛的．从例6中三个无穷积分的收敛性可以看到，当+∞→x 时被积函数即使不趋于零，甚至是无界的，无穷积分仍有可能收敛．八、学习评价本节成功向学生讲解了两种定积分的推广即反常积分，尤其对无穷反常积分进行介绍，并对其敛散性及审敛性附带介绍。

第十一章 反常积分 2 无穷积分的性质与收敛判别定理：无穷积分⎰+∞a f(x )dx 收敛的充要条件是：任给ε>0，存在 G ≥a ，只要u 1,u 2>G ，便有|⎰2u a f(x )dx-⎰1u a f(x )dx |=|⎰21u u f(x)dx |<ε.性质1：若⎰+∞a 1(x )f dx 与⎰+∞a 2(x )f dx 都收敛，则⎰++∞a2211(x )]f k (x )f [k dx 也收敛(k 1,k 2为任意常数)，且 ⎰++∞a2211(x )]f k (x )f [k dx=k 1⎰+∞a1(x )f dx+k 2⎰+∞a2(x )f dx.性质2：若f 在任何有限区间[a,u]上可积，a<b ，则⎰+∞a f(x )dx 与⎰+∞b f(x )dx 同敛态(即同时收敛或同时发散)，且有⎰+∞a f(x )dx=⎰b a f(x )dx+⎰+∞b f(x )dx.注：性质2相当于定积分区间可加性，由它又可导出⎰+∞a f(x )dx 收敛的另一充要条件：任给ε>0，存在G ≥a ，只要u>G ，总有|⎰+∞a f(x )dx|<ε. 又可由⎰+∞a f(x )dx=⎰ua f(x )dx+⎰+∞u f(x )dx 结合无穷积分的收敛定义而得.性质3：若f 在任何有限区间[a,u]上可积，且有⎰+∞a |f(x )|dx 收敛，则⎰+∞af(x )dx 亦必收敛，并有|⎰+∞af(x )dx |≤⎰+∞a|f(x )|dx.证：由⎰+∞a |f(x )|dx 收敛，根据柯西准则的必要性，任给ε>0， 存在G ≥a ，当u 2>u 1>G 时，总有|⎰21u u |f(x)|dx |=⎰21u u |f(x)|dx <ε.利用定积分的绝对值不等式，又有|⎰21u u f(x)dx |≤⎰21u u |f(x)|dx<ε.又根据柯西准则的充分性，证得⎰+∞a f(x )dx 收敛.对|⎰u a f(x )dx |≤⎰ua |f(x )|dx(u>a)两边令u →+∞取极限，可得 |⎰+∞a f(x )dx |≤⎰+∞a |f(x )|dx.注：当⎰+∞a |f(x )|dx 收敛时，称⎰+∞a f(x )dx 为绝对收敛. 性质3指出：绝对收敛的无穷积分，它自身也一定收敛. 但逆命题一般不成立. 收敛而不绝对收敛的反常积分又称为条件收敛.二、比较判别法定理：(比较法则)设定义在[a,+∞)上的两个函数f 和g 都在任何有限区间[a,u]上可积，且满足|f(x)|≤g(x), x ∈[a,+∞)，则当⎰+∞ag(x )dx 收敛时⎰+∞a|f(x )|dx 必收敛(或者当⎰+∞a|f(x )|dx 发散时，⎰+∞ag(x )dx 必发散).证：若⎰+∞a g(x )dx 收敛，则任给ε>0，存在G ≥a ，只要u 2>u 1>G ， 总有|⎰21u u g(x)dx|<ε. 又|f(x)|≤g(x), x ∈[a,+∞)，∴|⎰21u u |f(x)|dx |=⎰21u u |f(x)|dx ≤⎰21u u g(x)dx ≤|⎰21u u g(x)dx|<ε，∴⎰+∞a |f(x )|dx 收敛.若⎰+∞a |f(x )|dx 发散，则存在ε0>0，对任何G ≥a ，只要u 2>u 1>G ， 总有|⎰21u u |f(x)|dx |>ε0. 又|f(x)|≤g(x), x ∈[a,+∞)，∴|⎰21u u g(x)dx|≥⎰21u u g(x)dx ≥⎰21u u |f(x)|dx =|⎰21u u |f(x)|dx|>ε0.∴⎰+∞a g(x )dx 发散.例1：讨论⎰++∞2x1sinxdx 的收敛性.解：∵2x 1sinx +≤2x11+, x ∈[0,+∞)；又⎰++∞02x 11dx=∞u lim +→arctanu=2π, 收敛.根据比较法则知：⎰++∞02x1sinxdx 绝对收敛.推论1：若f 和g 都在[a,u]上可积，g(x)>0，且)x (g |)x (f |lim∞x +→=c ，则有： (1)当0<c<+∞时，⎰+∞a |f(x )|dx 与⎰+∞a g(x )dx 同敛态；(2)当c=0时，由⎰+∞a g(x )dx 收敛可推知⎰+∞a |f(x )|dx 也收敛； (3)当c=+∞时，由⎰+∞a g(x )dx 发散可推知⎰+∞a |f(x )|dx 也发散. 证：∵)x (g |)x (f |lim∞x +→=c ，∴任给ε>0，存在N ，当x>N 时，有|)x (g |)x (f |-c|<ε， 即有(c-ε)g(x)<|f(x)|<(c+ε)g(x).(1)由比较原则得⎰+∞a |f(x )|dx 与⎰+∞a g(x )dx 同敛态；(2)由|f(x)|<εg(x)知，若⎰+∞a g(x )dx 收敛，则⎰+∞a |f(x )|dx 也收敛； (3)当x=+∞时，)x (g |)x (f |lim∞x +→=+∞，任给M>0，存在G ，当x>G 时，就有 )x (g |)x (f |>M ，即|f(x)|>Mg(x)，∴当⎰+∞a g(x )dx 发散，⎰+∞a |f(x )|dx 也发散.推论2：设f 定义于[a,+∞)(a>0)，且在任何有限区间[a,u]上可积，则有：(1)当|f(x)|≤p x1, x ∈[a,+∞), 且p>1时，⎰+∞a |f(x )|dx 收敛；(2)当|f(x)|≥p x1, x ∈[a,+∞), 且p ≤1时，⎰+∞a |f(x )|dx 发散.推论3：设f 定义于[a,+∞)，在任何[a,u]上可积，且∞x lim +→x p |f(x)|=λ.则有：(1)当p>1, 0≤λ<+∞时，⎰+∞a |f(x )|dx 收敛； (2)当p ≤1, 0<λ≤+∞时，⎰+∞a |f(x )|dx 发散.注：推论2、3又称为柯西判别法.例2：讨论下列无穷限积分的收敛性： (1)⎰+∞1x-ae x dx ；(2)⎰++∞521x x dx.解：(1)∵对任意实数a ，有-xa 2∞x e x x lim⋅+→=x 2a ∞x e x lim ++→=0， 由推论3(p=2, λ=0)可知， 对任何实数a, ⎰+∞1x -a e x dx 收敛.(2)∵有1x x x lim5221∞x ++→=1，由推论3(p=21, λ=1)可知，⎰++∞0521x x dx 发散.三、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法定理：(狄利克雷判别法)若F(u)=⎰ua f(x )dx 在[a,+∞)上有界，g(x)在[a,+∞)上当x →+∞时单调趋于0，则⎰+∞a f(x )g(x )dx 收敛.证：由条件设|⎰ua f(x )dx |≤M, u ∈[a,+∞), 任给ε>0，∵∞x lim +→g(x)=0,∴存在G ≥a, 当x>G 时，有|g(x)|<M4ε. 又g 为单调函数， 利用积分第二中值定理，对任何u 2>u 1>G, 存在ξ∈[u 1,u 2], 使得⎰21u u f(x)g(x)dx=g(u 1)⎰ξu 1f(x)dx+g(u 2)⎰2u ξf(x)dx. 于是有|⎰21u u f(x)g(x)dx |≤|g(u 1)|·|⎰ξu 1f(x)dx|+|g(u 2)|·|⎰2u ξf(x)dx|=|g(u 1)|·|⎰ξa f(x )dx-⎰1u af(x )dx|+|g(u 2)|·|⎰2u af(x )dx -⎰ξaf(x )dx|=M 4ε·2M+M4ε·2M=ε. 由柯西准则可知：⎰+∞a f(x )g(x )dx 收敛.定理：(阿贝尔(Abel)判别法)若⎰+∞a f(x )dx 收敛，g(x)在[a,+∞)上单调有界，则⎰+∞a f(x )g(x )dx 收敛.证：记F(u)=⎰ua f(x )dx, ∵⎰+∞a f(x )dx 收敛，∴⎰+→ua∞u f(x )lim dx 存在，记为J ， 取ε=1，存在A ，当n>A 时，有|F(u)-J|<1，∴|F(u)|<|J|+1. 又F(u)在[a,+∞)上连续，从而有界.又g(x)在[a,+∞)上单调有界，∴∞x lim +→g(x)存在，记为B ，令g 1(x)=g(x)-B ，则有∞x lim +→g 1(x)= ∞x lim +→g(x)-B=0，∴g 1(x)单调趋于0，由狄利克雷判别法知：⎰+∞a 1(x )f(x )g dx=⎰+∞a B]-f(x )[g(x )dx 收敛. ∴⎰+∞a f(x )g(x )dx=⎰+∞a B]-f(x )[g(x )dx+B ⎰+∞a f(x )dx 收敛.例3：讨论⎰+∞1p x sinxdx 与⎰+∞1p xcosx dx (p>0)的收敛性. 解：当p>1时，p x sinx ≤p x 1, x ∈[1,+∞)，而⎰+∞1p xdx 当p>1时收敛，由比较法则推知：⎰+∞1p x sinxdx 收敛，即⎰+∞1p xsinx dx 绝对收敛. 同理，可证当p>1时，⎰+∞1p xcosxdx 绝对收敛. 当0<p ≤1时，对任意u ≥1, 有|⎰u1px sinxdx|=|cos1-cosu|<2, 当p>0时，p ∞x x 1lim+→=0，且p x1在[1,+∞)单调减， 根据狄利克雷判别法知：⎰+∞1p xsinxdx (p>0)收敛. 又由p x sinx≥x x sin 2=2x 1-2xcos2x , x ∈[1,+∞)，其中⎰+∞12x cos2x dx =⎰+∞1tcost 21dt 满足狄利克雷判别条件而收敛， 而⎰+∞12x dx发散，∴当0<p ≤1时，⎰+∞1px cosx dx 条件收敛. 同理，可证当0<p ≤1时，⎰+∞1p xcosxdx 条件收敛.例4：证明下列无穷积分都是条件收敛的：⎰+∞12x sin dx; ⎰+∞12cosx dx; ⎰+∞14x cosx dx.证：⎰+∞12x sin dx=⎰+∞1t2t sin dt; ⎰+∞12cosx dx=⎰+∞1t2cost dt;由例3可知⎰+∞12x sin dx 和⎰+∞12cosx dx 都是条件收敛.又⎰+∞14x cosx dx=⎰+∞12cost 21dt ，∴⎰+∞14x cosx dx 条件收敛.习题1、设f 与g 是定义在[a,+∞)上的函数，对任何u>a ，它们在[a,u]上都可积. 证明：若⎰+∞a 2)x (f dx 与⎰+∞a 2)x (g dx 都收敛，则⎰+∞a )x (f(x )g dx与⎰++∞a 2)]x (g [f(x )dx 也都收敛证：∵⎰+∞a 2)x (f dx 与⎰+∞a 2)x (g dx 都收敛，∴)]x (g )x ([f 2∞a 2+⎰+dx 也收敛. 又|2f(x)g(x)|≤f 2(x)+g 2(x)，由比较法则知2⎰+∞a |)x (f(x )g |dx 也收敛. ∴⎰+∞a )x (f(x )g dx 收敛.∴⎰++∞a 2)]x (g [f(x )dx=⎰+∞a 2)x (f dx+2⎰+∞a )x (f(x )g dx+⎰+∞a 2)x (g dx ，也收敛.2、设f,g,h 是定义在[a,+∞)上的三个连续函数，且有h(x)≤f(x)≤g(x).证明：(1)若⎰+∞a )x (h dx 与⎰+∞a )x (g dx 都收敛，则⎰+∞a f(x )dx 也收敛； (2)又若⎰+∞a )x (h dx=⎰+∞a )x (g dx=A ，则⎰+∞a f(x )dx=A. 证：(1)若0≤f(x)≤g(x)，∵⎰+∞a )x (g dx 收敛， 由比较法则知⎰+∞a f(x )dx 也收敛.若h(x)≤f(x)≤0，则|f(x)|≤-h(x)，∵⎰+∞a )x (h -dx=-⎰+∞a )x (h dx 收敛， 由比较法则知⎰+∞a |f(x )|dx 也收敛，∴⎰+∞a f(x )dx 也收敛.(2)由⎰+∞a )x (h dx=⎰+∞a )x (g dx=A 得，⎰+→u a ∞u )x (h limdx=⎰+→ua ∞u )x (g lim dx=A. 又h(x)≤f(x)≤g(x)，由极限的夹逼定理得：⎰+→ua ∞u )x (f limdx=A ， ∴⎰+∞a f(x )dx=A.3、讨论下列无穷积分的收敛性： (1)⎰+∞+0341x dx ；(2)⎰∞+1x e -1xdx ；(3)⎰+∞+0x1dx ；(4)⎰+∞+13x 1xarctanxdx ；(5)⎰+∞+1nxx)ln(1dx ；(6)⎰+∞+0n mx 1x dx (n,m ≥0). 解：(1)∵3434∞x 1x 1x lim +⋅+→=1，p>1，0<λ<+∞，∴⎰+∞+0341x dx 收敛.(2)∵x 2∞x e-1xx lim ⋅+→=0，p=2，λ=0，∴⎰∞+1x e -1x dx 收敛.(3)∵x11x lim∞x +⋅+→=1，p=21，λ=1，∴⎰+∞+0x 1dx dx 发散.(4)∵arctanx x 1xarctanxlim 3∞x ++→=0，且⎰∞+1arctanx dx=2π-arctan1收敛，∴⎰+∞+13x1xarctanxdx 收敛. (5)当n>1时，取p ∈(1,n)，∵n p ∞x xx)ln(1x lim +⋅+→=0，∴⎰+∞+1n x x)ln(1dx 收敛.当n ≤1时，∵n n ∞x xx)ln(1x lim +⋅+→=+∞，∴⎰+∞+1n x x)ln(1dx 发散. (6)∵n mm-n ∞x x1x x lim +⋅+→=1， ∴当n-m>1时，⎰+∞+0n mx 1x dx 收敛; 当n-m ≤1时，⎰+∞+0nmx 1x dx 发散.4、讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛： (1)⎰∞+1x xsin dx ；(2)⎰+∞+02x 1sgn(sinx)dx ；(3)⎰+∞+0x 100cosx x dx ；(4)x sin nx1ln(lnx)∞+e⎰dx. 解：(1)⎰∞+1x x sin dx=2⎰∞+1t sint dt ，∵t1单调趋于0(t →+∞)，|⎰u 1sint dt|<2 (u>1); 由狄利克雷判别法知：⎰∞+1xxsin dx 收敛. 又t sint≥t t sin 2=2t 1-2tcos2t t ∈[1,+∞)，其中⎰∞+12t cos2tdt 收敛，而⎰∞+12tdt 发散，∴⎰∞+1x x sin dx ，即原积分条件收敛.(2)∵⎰+∞+02x 1sgn(sinx )dx =⎰+∞+02x11dx=2π，∴原积分绝对收敛. (3)∵x100x+在[0,+∞)上单调且调趋于0(x →+∞)，|⎰u 0cosx dx|≤1， 由狄利克雷判别法知：⎰+∞+0x100cosxx dx 收敛. 又x100cosxx +≥x 100x cos x 2+=x 2200x ++x 2200x 2cos x +，其中⎰+∞+0x 2200x 2cos x dx 收敛，⎰+∞+0x2200x dx 发散，∴⎰+∞+0x100cosxx dx 发散，即原积分条件收敛.(4)x sin nx 1ln(lnx)∞+e ⎰dx=x sin nx1ln(lnx)e e 0⎰dx +x sin nx 1ln(lnx)∞+e e ⎰dx ， ∵|⎰∞+e ex sin dx|<2 (u>e e)，且在[e e,+∞)上，'⎪⎭⎫ ⎝⎛nx 1ln(lnx)=2nx )1(x ln(lnx )-1+<0， ∴nx1ln(lnx)在[e e ,+∞)上单调减，且nx 1ln(lnx)lim ∞x +→=nx 11lim ∞x +→=0， 由狄利克雷判别法知，x sin nx1ln(lnx)∞+e e⎰dx 收敛，∴原积分收敛. 又x sin nx 1ln(lnx )≥x sin nx 1ln(lnx)2=nx 21ln(lnx)-x 2cos nx21ln(lnx)， 其中⎰∞+eenx 21ln(lnx)dx 发散，⎰∞+e ex 2cos nx21ln(lnx)dx 收敛，∴⎰∞+e ex sin nx1ln(lnx )dx 发散，即原积分条件收敛.5、举例说明：⎰+∞a f(x )dx 收敛时，⎰+∞a 2)x (f dx 不一定收敛；⎰+∞af(x )dx 绝对收敛时，⎰+∞a2)x (f dx 也不一定收敛.解：令f(x) =xsinx，由狄利克雷判别法知⎰+∞1f(x )dx 收敛，但⎰+∞12)x (f dx=⎰+∞12x xsin dx=⎰+∞1dx 2x 1+⎰+∞1dx 2xcos2x ，发散. 又令f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧+<≤++<≤1n x n 1n 0 n 1n x n n 33，，，则⎰+∞1|f(x )|dx=∑∞=1i 2n 1收敛， 但⎰+∞12)x (f dx=∑∞=1i n1发散.6、证明：若⎰+∞a f(x )dx 绝对收敛，且f(x)lim ∞x +→=0，则⎰+∞a 2)x (f dx 必收敛.证法1：∵f(x)lim ∞x +→=0，∴对ε=1，有M ，当x>M 时，|f(x)|<1.⎰+∞af(x )dx=⎰+1M af(x )dx+⎰++∞1M f(x )dx ，∵⎰+∞a f(x )dx 绝对收敛，∴⎰++∞1M f(x )dx 绝对收敛.又当x ∈[M+1,+∞)时，|f(x)|<1，∴|f 2(x)|<|f(x)|，∴⎰++∞1M 2(x )f dx 收敛.∴⎰+∞a 2)x (f dx=⎰+1M a 2(x )f dx+⎰++∞1M 2(x )f dx ，收敛.证法2：∵f(x )(x )f lim 2∞x +→=f(x)lim ∞x +→=0，又⎰+∞a f(x )dx 绝对收敛所以收敛， ∴⎰+∞a 2)x (f dx 收敛.7、证明：若f 是[a,+∞)上的单调函数，且⎰+∞a f(x )dx 收敛，则f(x)lim ∞x +→=0，且f(x)=o (x1), x →+∞.证：不妨设f(x)单调减，若存在x 1∈[a,+∞)，使f(x 1)<0， 则当x>x 1时，有f(x)<f(x 1) <0，即-f(x)>|f(x 1)|. 又⎰+∞a 1|)f(x |dx 发散，∴⎰+∞a f(x )dx 发散，矛盾. ∴f(x 1)≤0. ∵⎰+∞a f(x )dx 收敛，∴任给ε>0，存在M ≥a ，只要x>M ，就有 |⎰2xx f(t)dt |<ε, 即⎰2xx f(t)dt<ε. 当x>2M 时，0≤xf(x)=2⎰x2x f(x)dt ≤2⎰x2x f(t)dt<2ε. ∴xf(x)lim ∞x +→=0, 即有f(x)=o (x1), x →+∞，从而f(x)lim ∞x +→=0.若f(x)单调增，则取g(x)=-f(x)单调减，同理有g(x)=-f(x)= o (x1), x →+∞，从而g(x)lim ∞x +→=-f(x)lim ∞x +→=0. 结论仍成立.8、证明：若f 在[a,+∞)上一致连续，且⎰+∞a f(x )dx 收敛，则f(x)lim ∞x +→=0.证：∵f 在[a,+∞)上一致连续，∴任给ε>0，存在δ>0， 当x 1,x 2∈[a,+∞)，|x 1-x 2|<δ时，有|f(x 1)-f(x 2)|< ε. 又⎰+∞af(x )dx 收敛，∴对ε1=εδ，存在M>a ，当x>M 时，有|⎰+δx xf(t)dt|<εδ.对⎰+δx x f(t)dt ，∵x<t<x+δ，即|x-t|<δ，∴|f(x)-f(t)|< ε，即f(t)- ε<f(x)<f(t)+ε.从而⎰+δx x f(t)dt -εδ<⎰+δx x f(x )dt<⎰+δx x f(t)dt +εδ，即|⎰+δx x f(x )dt -⎰+δx x f(t)dt |<εδ. ∴当x>M 时，|f(x)|= δ1|⎰+δx x f(x )dt |≤δ1(|⎰+δx x f(x )dt-⎰+δx x f(t)dt|+|⎰+δx x f(t)dt|)<2ε. ∴f(x)lim ∞x +→=0.。

判断无穷积分收敛的柯西准则虽然很好地刻画了无穷积分的敛散性，但是在实际的运用中并不是很方便。

本文总结了判断无穷积分敛散性的一些常用方法，并给出了相应的例子加以说明。

一、非负无穷积分假设f （x ）是［a ，+∞）上的非负函数，且在任何有限区间［a ，u ］上可积，则根据定积分的性质可知，ua∫f （x ）dx 是关于单调u 递增的，如果它在［a ，+∞）上存在上界，那么+∞a∫f （x ）dx 一定是收敛的。

因此，如果存在定义在［a ，+∞）上的非负函数，使得f （x ）≤g （x ）在［a ，+∞）上恒成立，而且+∞a∫g （x ）dx 是收敛的，那么+∞a∫f（x ）dx 一定也是收敛的。

我们首先讨论一个特殊的非负无穷积分+∞a∫1x pdx （a >0），不难判断，p >1时，+∞a∫1x p dx 收敛；p ≤1时，+∞a ∫1x pdx 发散。

在判断非负无穷积分的收敛性时，经常需要拿被积函数f （x ）与1xp 比较，根据前面的讨论，不难得出下面的结论：如果∀x ∈［a ，+∞）都有0≤f （x ）≤1x p （p >1）成立，则+∞a∫f （x ）dx （a >0）收敛；如果∀x ∈［a ，+∞）都有f （x ）≥1x p （p ≤1）成立，则+∞a∫f （x ）dx（a >0）发散。

在某些情况下，不容易直接比较出被积函数与1x p 的大小，因此还可以对上面的结论加以推广，即如果x →+∞时，f （x ）是1x p（p >1）的同阶、高阶或者是等价无穷小，则+∞a∫f （x ）dx （a >0）收敛；如果x →+∞时，f （x ）是1x p （0<p ≤1）的同阶、低阶或者是等价无穷小，则+∞a∫f （x ）dx （a >0）发散。

例1：判断无穷积分+∞1∫ln （1+x ）xndx （n >1）的敛散性。

解：n >1时，lim x →+∞x 1+1/n ln （1+x ）x n =lim x →+∞ln （1+x ）xn-（1+1/n ）=0，所以x →+∞时，ln （1+x ）xn是x 1+1/n 的高阶无穷小，因此+∞1∫ln （1+x ）xn dx 收敛。

反常积分判敛的方法在数学中，积分是一种非常重要的概念，而对于一些特殊的积分，我们需要进行判敛来确定其是否收敛。

在处理反常积分时，有一些特殊的方法可以帮助我们进行判敛，本文将介绍一些常用的反常积分判敛方法。

一、无穷积分的判敛方法对于形如$\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$的无穷积分，我们可以通过比较判别法来确定其是否收敛。

比较判别法主要包括以下几种情况： 1. 若存在常数$M>0$和$a$，使得对充分大的$x$有$|f(x)|\leqM\cdot g(x)$，其中$\int_{a}^{+\infty}g(x)dx$收敛，则$\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$也收敛。

2. 若存在常数$a$，使得对充分大的$x$有$0\leq f(x)\leqg(x)$，其中$\int_{a}^{+\infty}g(x)dx$发散，则$\int_{a}^{+\infty}f(x)dx$也发散。

通过比较判别法，我们可以对无穷积分的收敛性进行初步的判断。

二、无界函数积分的判敛方法对于形如$\int_{a}^{b}f(x)dx$的积分，如果被积函数在区间$(a,b)$上无界，我们可以通过以下方法进行判敛：1. 若在$(a,b)$上，$f(x)$有无穷间断点，我们可以将积分区间分割成多个小区间，分别处理每个小区间上的积分。

2. 若在$(a,b)$上，$f(x)$有无穷间断点，我们可以通过换元积分的方法将无界函数转化为有界函数，然后再进行积分计算。

通过以上方法，我们可以处理一些在有界区间上无界的函数积分，从而判断其收敛性。

三、奇异点附近积分的判敛方法对于形如$\int_{a}^{b}f(x)dx$的积分，在奇异点附近积分时，我们可以通过留数定理来判断其收敛性。

留数定理是一种处理奇异点的有效方法，可以帮助我们求解一些复杂的积分。

在处理奇异点附近积分时，我们需要注意以下几点：1. 确定奇异点的类型，包括可去奇点、极点和本性奇点。

§2 无穷积分的性质与收敛判别一 无穷积分的性质:⑴ )(x f 在区间 ) , [∞+a 上可积 , k — Const , 则函数k )(x f 在区间) , [∞+a 上可积, 且⎰+∞=ak dx x kf )(⎰+∞adx x f )(.⑵ )(x f 和)(x g 在区间 ) , [∞+a 上可积 , ⇒ )(x f ±)(x g 在区间 ) , [∞+a 上可积 , 且⎰+∞=±ag f )(⎰+∞±af ⎰+∞ag .⑶ 无穷积分收敛的Cauchy 准则: ( 翻译 . ,)(+∞→→A B A F )定理： 无穷 积分⎰+∞adx x f )(收敛 εε<⇒>'''∀∃>∀⇔⎰'''A A dx x f A A A A )( ,, , , 0 .⑷ 绝对收敛与条件收敛: 定义概念.绝对收敛 ⇒ 收敛, ( 证 ) 但反之不真. 绝对型积分与非绝对型积分 .二 无穷积分判敛法:非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数,有)(A F ↗. 非负函数无穷积分敛散性记法.⑴ 比较判别法: 设在区间 ) , [∞+a 上函数)(x f 和)(x g 非负且)(x f ≤)(x g ，又对任何A >a ,)(x f 和)(x g 在区间 ] , [A a 上可积 . 则⎰+∞ag < ∞+, ⇒ ⎰+∞af < ∞+； ⎰+∞af=∞+, ⇒ ⎰+∞ag =∞+. ( 证 )例4 判断积分 ⎰+∞++0225)1sin(dx x x 的敛散性. 比较原则的极限形式 : 设在区间 ) , [∞+a 上函数0 , 0≥>f g ,c gfx =+∞→lim . 则ⅰ> 0< c < ∞+, ⇒⎰+∞af 与 ⎰+∞ag 共敛散 :ⅱ> c =0, ⇒⎰+∞ag < ∞+时, ⎰+∞af < ∞+；ⅲ> c =∞+, ⇒ ⎰+∞ag = ∞+时, ⎰+∞af=∞+. ( 证 )⑵ Cauchy 判敛法:( 以⎰+∞1p xdx为比较对象, 即取)(x g =p x 1.以下a > 0 ) 设对任何A >a , )(x f ∈],[A a C , 0≤)(x f ≤p x1且p 1>, ⇒⎰+∞af < ∞+；若)(x f ≥p x1且p 1≤, ⇒⎰+∞af=∞+.Cauchy 判敛法的极限形式 : 设)(x f 是在任何有限区间] , [A a 上可积的正值函数，且λ=+∞→)(lim x f x p x . 则ⅰ>,0 , 1⇒+∞<≤>λp ⎰+∞a f < ∞+；ⅱ> ⇒+∞≤<≤ , 0 , 1λp⎰+∞af=∞+. ( 证 )例5 讨论以下无穷积分的敛散性 :ⅰ>⎰+∞->0);0( ,ααdx e xxⅱ>⎰+∞+052.1dx x x⑶ 其他判敛法:Abel 判敛法: 若)(x f 在区间 ) , [∞+a 上可积 , )(x g 单调有界 , 则积分 ⎰+∞adx x g x f )()(收敛.Dirichlet 判敛法: 设⎰=Aaf A F )(在区间 ) , [∞+a 上有界 ，)(xg 在) , [∞+a 上单调，且当+∞→x 时，)(x g 0→. 则积分⎰+∞adx x g x f )()(收敛.例6 讨论无穷积分⎰+∞1sin dx xxp 与⎰+∞1cos dx x x p ) 0 (>p 的敛散性.例7 证明下列无穷积分收敛 , 且为条件收敛 :⎰+∞12sin dx x , ⎰+∞12cos dx x , ⎰+∞14sin dx x x .例8 ( 乘积不可积的例 ) 设)(x f xx sin =, ∈x ) , 1 [∞+. 由例6的结果, 积分⎰+∞1)(dx x f 收敛 .但积分⎰+∞1)()(dx x f x f ⎰+∞=12sin dx x x却发散.( 参阅例6 )作业：P275 2， 3， 4(3)(4)(5)(6), 5(1)(4)。

无穷级数积分判别法无穷级数积分判别法是数学中用来判断无穷级数收敛或发散的方法之一。

在数学中，无穷级数是指由无穷多个数相加或相减而得到的数列，它是数学分析中的重要概念之一。

对于一个无穷级数，我们可以使用积分判别法来判断其是否收敛。

积分判别法是基于函数的连续性和单调性来进行判断的。

我们需要将无穷级数的通项表示为一个函数。

然后，我们对该函数进行积分，得到一个新的函数。

接下来，我们观察这个新函数的性质，判断它是否收敛。

如果新函数收敛，则原无穷级数也收敛；如果新函数发散，则原无穷级数也发散。

具体来说，我们可以使用以下三个常用的无穷级数积分判别法：1. 柯西收敛判别法：柯西收敛判别法是指对于一个正项级数，如果它的通项满足a(n+1) / a(n) <= 1，则该级数收敛；如果 a(n+1) / a(n) >= 1，则该级数发散。

2. 比值收敛判别法：比值收敛判别法是指对于一个正项级数，如果它的通项满足lim(n->∞) a(n+1) / a(n) < 1，则该级数收敛；如果 lim(n->∞) a(n+1) / a(n) > 1，则该级数发散。

3. 根值收敛判别法：根值收敛判别法是指对于一个正项级数，如果它的通项满足lim(n->∞) √(a(n)) < 1，则该级数收敛；如果lim(n->∞) √(a(n)) > 1，则该级数发散。

这些判别法的基本思想都是通过比较级数通项的性质来判断级数的收敛性。

需要注意的是，这些判别法只能判断正项级数的收敛性，对于一般的级数，我们需要将其拆分为正项级数和负项级数分别判断。

还有一些特殊的级数，如幂级数、调和级数等，它们有自己特定的判别法。

幂级数的判别法涉及到收敛半径和收敛区间的计算，而调和级数的判别法则需要使用积分来进行推导。

总结起来，无穷级数积分判别法是一种重要的数学工具，它能够帮助我们判断无穷级数的收敛性。

通过对级数通项进行积分，并观察积分函数的性质，我们可以得出级数的收敛或发散的结论。

目录摘要........................................................................................... (2)引言........................................................................................... . (3)1无穷积分........................................................................................... .. (5)1.1无穷积分的概念........................................................................................... .. (5)1.2无穷积分敛散性的柯西准则 (5)1.3无穷积分敛散性的比较判别法 (6)1.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法 (7)2瑕积分........................................................................................... .. (8)2.1瑕积分的定义........................................................................................... . (9)2.2瑕积分的敛散性的比较判别法.................................................................... (10)2.3.瑕积分敛散性的柯西判别法 (10)2.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法.................... .. (12)3瑕积分与无穷积分之间的关系............................................................ (13)总结........................................................................................... ......... .. (13)参考文献........................................................................................... ... .. (14)判断反常积分敛散性的方法鹏数学与计算机科学学院摘要：反常积分的收敛性是数学分析中的难点之一，本文介绍了反常积分敛散性的定义和一些重要的反常积分收敛和发散的例子，以及绝对收敛和条件收敛的概念等，让读者能够用反常积分的柯西收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、柯西判别法，以及一般函数反常积分的狄利克雷、阿贝尔判别法判别法判别基本的反常积分敛散性，以便更好的掌握反常积分收敛先判断的方法.关键词：无穷积分；瑕积分；敛散性；判别方法On Convergence of The Method of JudgingAbnormal IntegralName of student, School: XiePeng，School of Mathematics & Computer ScienceAbstract: The convergence of improper integrals is one of the difficulties in mathematical analysis.This article describes the definition of convergence and divergence of improper integrals, examples of some important improper integrals convergence and divergence. What's more, it also describes the concept of absolute convergence and conditional convergence, etc., which allows the reader to use the improper integrals of Cauchy convergence of the improper integral of the principle of non-negative function-comparison T ests, the law of Cauchy distinguish the improper integrals, and general function,Dirichlet, Abel Discriminant discriminant method to distinguish the basic improper integral convergence and divergence, in order to grasp of the improper integrals convergence of the first judgment better .Key words : Infinite ；Integral ；Convergence discriminant ；Method of flawintegral1 引言定积分⎰ba dx )x (f 有两个明显的缺陷：其一,积分区间]b ,a [必须是有限区间；其二,若]b ,a [R f ∈,则0M >∃,使得对于任意的]b ,a [x ∈,M )x (f ≤（即有界是可积的必要条件）.这两个缺陷限制了定积分的应用,因为在许多实际问题和理论问题中涉及到积分区间是无穷区间或被积函数出现无界的情形.也就是在许多和实际中往往不能满足这两个条件.因此，就需要研究无穷区间上或者无界函数的积分问题.而将这两个约束条件取消.便得到定积分的两种形式推广；将函数的积分从积分区间有界扩展到无界的无穷积分和将被积函数有界扩展到无界函数的瑕积分.这两种积分就是通常所说的反常积分.反常积分是伴随者数学的发展而发展起来的近代数学.作为数学的一类基本命题，它是高等数学中的一个重要概念，它的出现为物理学解决许多计算上的难题，也为其他学科的发展起了促进作用，并且在其它学科及科学领域中也有十分广泛的应用.但是，反常积分涉及到一个所谓的收敛性问题.由于反常积分应用的重要性，所以，对反常积分敛散性的判断就显得十分必要了.反常积分的概述：例1（第二宇宙速度问题） 在地球表面垂直发射火箭，要使火箭克服地球引力，无限远离地球，问初速度0v 至少多大？解 设地球半径为R ，火箭质量为m ，地面上的重力加速度为g ，按万有引力定律，在距地心x 处火箭受到的引力为22xmgR )x (F = 于是火箭上升到距地心()R r r >处需作的功为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰r R mgR dx x mgR rR 11222. 当+∞→r 时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功mgR dx x mgR dx x mgR r R r R==⎰⎰+∞→∞+2222lim再由能量守恒定律，可求得初速度0v 至少应使mgR mv =2021 ⇒ ()s km gR v /2.1120≈=. 例2 圆柱形桶的壁高为h ,半径为R ,桶底有一半径为r 的小孔.试问从盛满水开始打开小孔，问需多长时间才能把桶里水全部放完？解 由物理学知识知道，（在不计摩擦情况下），桶里水位高度为x h -时，水从小孔里流出的速度为)(2x h g v -= ,其中g 为重力加速度.设在很短一段时间dt ，桶里水面降低的高度为dx ，则有下面关系：dt r v dx R 22ππ=由此得],0[,)(222h x dx x h g rR dt ∈-=所以流完一桶水所需的时间在形式上亦可写成“积分”：⎰-=hf dx x hg rR t 022)(2.但是，被积函数在),0[h 上是无界函数，所以它的确切含义应该是⎰-=-→uh u f dx x h g rR t 022)(2lim()222222lim rR g h u h h r R g hu =--=-→. 相对于以前学习的定积分（正常积分），我们把这里的积分叫做反常积分.1 无穷积分1.1 无穷积分的概念设函数)x (f 在),a [+∞上有定义 .a A ,R A >∈∀ 且 ])A ,a ([R )x (f ∈ ,记, d )(limd )( ⎰⎰+∞→∞+=AaA ax x f x x f称之为)x (f 在),a [+∞上的无穷积分若式中的极限存在，则称此无穷积分收敛，极限值即为无穷积分值；若式中的极限不存在，则称该无穷积分发散 .类似地，可定义f 在(b ,∞-]上的无穷积分：.)(lim)(dx x f dx x f buu b⎰⎰-∞→∞-=对于f 在(+∞∞-,)上的无穷积分，它用前面两种无穷积分来定义：,)()()(dx x f dx x f dx x f a a ⎰⎰⎰+∞∞-∞-+∞+=其中a 为任一实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的． 注1 无穷积分⎰∞+∞-dx x f )(的收敛性与收敛时的值,都和实数a 的选取无关.注2 由于无穷积分⎰∞+∞-dx x f )(是由⎰∞+adx x f )(,⎰∞-adx x f )(来定义的,因此,)(x f 在任何有限区间),(],[+∞-∞⊂u v 上,首先必须是可积的.注3dx x f a⎰+∞)(收敛的几何意义是：若f 在],[+∞a 上为非负连续函数，则介于曲线)(x f y =，直线a x =以及x 轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积J ．由定义知道，无穷积分⎰+∞adx x f )(收敛与否，取决于积分上限函数=)(u F ⎰uadx x f )(在+∞→u 时是否存在极限．因此可由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则． 1.2 柯西准则 无穷积分⎰+∞adx x f )(收敛的充要条件是：任给ε>0，存在G ≥a ，只要G u u >21,，便有ε<=-⎰⎰⎰2121)()()(u u u au adx x f dx x f dx x f ．此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质； 性质1若dx x f a)(1⎰+∞与dx x f a)(2⎰+∞都收敛，1k ,2k 为任意常数，则[]dx x f k x f ka⎰+∞+)()(2211也收敛，且[]dx x f k dx x f k dx x f k x f k aaa )()()()(22112211⎰⎰⎰+∞+∞+∞+=+．性质 2 若f 在任何有限区间[u a ,)上可积，且有⎰+∞adx x f )(收敛，则⎰+∞adx x f )(亦必收敛，并有⎰⎰+∞+∞≤aadx x f dx x f )()(．证⎰+∞adx x f )( 由收敛，根据柯西准则(必要性)，任给0>ε，存在G ≥a ，当G u u >>12时，总有⎰⎰≤2121)()(u u u u dx x f dx x f .利用定积分的绝对值不等式，又有⎰21)(u u dx x f ≤ε<⎰21)(u u dx x f .再由柯西准则(充分性)，证得⎰+∞adx x f )(收敛又因⎰uadx x f )(≤⎰uadx x f )(，令+∞→u 取极限，立刻得到不等式.当⎰+∞adx x f )(收敛时，称⎰+∞adx x f )(为绝对收敛．性质2指出：绝对收敛的无穷积分，它自身也一定收敛．但是它的逆命题不成立，称收敛而不绝对收敛的无穷积分为条件收敛．1.3比较判别法首先给出无穷积分的绝对收敛判别法．由于⎰ua dx x f )(关于上限u 是单调递增的，因此⎰+∞adx x f )(收敛的充要条件是⎰uadx x f )(存在上界．根据这一分析，便立即导出下述比较判别法：定理1(比较法则) 设定义在[+∞,a )上的两个函数f 和g 都在任何有限区间[u a ,]上可积，且满足),,[),()(+∞∈≤a x x g x f 则当⎰+∞a dx x g )(收敛时dx x f a⎰+∞)(必收敛(或当dx x f a⎰+∞)(发散时，⎰+∞adx x g )(必发散)．例3 讨论dx xx⎰+∞+021sin 的收敛性． 解 由于],0[,111sin 22+∞∈+≤+x x x x ，而2102π=+⎰+∞x dx 为收敛，故dx x x ⎰+∞+021sin 为 绝对收敛． 当选用⎰+∞1p xdx作为比较对象⎰+∞a dx x g )(时，比较判别法有如下两个推论(称为柯西判别法)．推论1 设f 定义于[+∞,a ] (0>a )，且在任何有限区间[u a ,]上可积，则有：(i)当 ),[,1)(+∞∈≤a x xx f p ,且1>p 时, dx x f a ⎰+∞)(收敛; (ii)当),[,1)(+∞∈≥a x xx f p 且1≥p 时, dx x f a ⎰+∞)(发散.推论 2 设定义于[+∞,a )，在任何有限区间[u a ,.]上可积，且λ=+∞→)(lim x f x p x ．则有：(i)当 +∞<≤>λ0,1p 时,dx x f a⎰+∞)(收敛;(ii)当 +∞≤<≤λ0,1p 时,dx x f a⎰+∞)(发散.推论3 若f 和g 都在任何[u a ,)上可积，0)(>x g ，且,)()(lim c x g x f x =+∞→则有(i)当+∞<≤c 0时，由⎰+∞a dx x g )(收敛可推知dx x f a ⎰+∞)(也收敛； (ii)当+∞≤<c 0时，由⎰+∞a dx x g )(发散可推知dx x f a⎰+∞)(也发散.1.4狄利克雷判别法与阿贝尔判别法这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法．定理(狄利克雷判别法) 若⎰=ua dx x f u F )()(在[+∞,a )上有界，)(x g 在[+∞,a )上当+∞→x 时单调趋于0，则无穷积分⎰+∞adx x g x f )()(收敛．定理(阿贝尔(Abel)判别法) 若⎰+∞adx x f )(收敛，)(x g 在[+∞,a )上单调有界，则无穷积分⎰+∞adx x g x f )()(收敛．用积分第二中值定理来证明狄利克雷判别法与阿贝尔判别法． 例4 讨论dx x xp ⎰+∞1sin 与)0(cos 1>⎰+∞p dx xx p 的收敛性． 解 这里只讨论前一个无穷积分，后者有完全相同的结论．下面分两种情形来讨论：(i)当p >1时dx x xp⎰+∞1sin 绝对收敛．这是因为),,[,1sin +∞∈≤a x x x x p p 而⎰+∞1px dx 当p >1时收敛，故由比较法则推知dx x xp⎰∞+1sin 收敛. (ii)当10≤<p 时dx x xp ⎰+∞1sin 条件收敛．这是因为对任意u ≥1，有2cos 1cos sin 1≤-=⎰u xdx u ，而p x1当0>p 时单调趋于)(0+∞→x ，故由狄利克雷判别法推知dx x xp ⎰+∞1sin 工当0>p 时总是收敛的． 另一方面，由于),1[,22cos 21sin sin 2+∞∈-=≥x x xx x x xx p， 其中-dt t tdx x x ⎰⎰+∞+∞=21cos 2122cos 是收敛的，而⎰+∞12xdx 是发散的，因此当10≤<p 时该无穷积分不是绝对收敛的．所以它是条件收敛的． 例5 证明下列无穷积分都是条件收敛的．,sin 12⎰+∞dx x ,cos 12⎰+∞dx xdx x x ⎰+∞14sin证 前两个无穷积分经换元2x t =得到,2sin sin 112dt tt dx x ⎰⎰+∞+∞=.2cos cos 112dt tt dx x ⎰⎰+∞+∞=由例4知它们是条件收敛的．对于第三个无穷积分，经换元2x t =而得⎰⎰+∞+∞=1214sin 21sin dt t dx x x ，它也是条件收敛的．从例5中三个无穷积分的收敛性可以看到，当+∞→x 时被积函数即使不趋于零，甚至是无界的，无穷积分仍 有可能收敛．2 瑕积分2.1 瑕积分的定义定义 设函数)(x f 定义在区间],(b a 上，在点a 的任一右邻域无界，但在任何闭区间],(],[b a b u ⊂上有界且可积.如果存在极限 J dx x f bu au =⎰+→)(lim则称此极限J 为无界函数)(x f 在区间],(b a 上的反常积分，记作 ⎰=ba dx x f J )(.并称反常积分⎰b adx x f )(收敛. 如果极限⎰+→buau dx x f )(lim 不存在,这时亦称反常积分⎰badx x f )(发散.在上述定义中，被积函数)(x f 在点a 的近旁是无界的，这时点a 称为)(x f 的瑕点，而无界函数反常积分⎰ba dx x f )(又称为瑕积分.类似地,可定义瑕点为b 时的瑕积分.⎰badx x f )(⎰-→=uabu dx x f )(lim .其中函数)(x f 定义在区间),[b a 上，在点b 的任一左邻域无界，但在任何闭区间),[],[b a u a ⊂上有界且可积.若函数)(x f 的瑕点),(b a c ∈,则定义瑕积分⎰⎰⎰+=bcc abadx x f dx x f dx x f )()()(⎰-→=uacu dx x f )(lim ⎰+→+bvcv dx x f )(lim .其中函数)(x f 定义在区间],(),[b c c a 上，在点c 的任一邻域无界，但在任何闭区间),[],[c a u a ⊂和],(],[b c b v ⊂上都有界且可积. 当且仅当右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是收敛的.又若b a ,两点都是)(x f 的瑕点,而)(x f 在任何),(],[b a v u ⊂有界且可积,这时定义瑕积分⎰⎰⎰+=bcc abadx x f dx x f dx x f )()()(⎰+→=cuau dx x f )(lim ⎰-→+vcbv dx x f )(lim ,其中c 为),(b a 任一实数.同样地, 当且仅当右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是收敛的. ② 瑕积分的收敛判别 2.2比较判别法定理2 设f (x ), g (x ) 均为[a ,b )上的非负函数，b 为两个函数的奇点，如存在一个正常数k, 使∈∀≤≤x x kg x f ),()(0[a , b ), 则1） 如⎰badx x g )(收敛，则⎰badx a f )(也收敛.2）如⎰badx x f )(发散，则⎰ba dx x g )(也发散．比较判别法在实际应用时，我们常常用下列极限形式 对以b 为唯一瑕点的两个瑕积分⎰ba dx x f )(与⎰ba dxx g )(如果f (x ), g (x )是非负函数，且,)()(lim l x g x f b x =-→ 则（1）当+∞<≤l 0, 且⎰badx x g )(收敛时，则⎰ba dx x f )(也收敛．（2）当+∞≤<l0，且⎰ba dx x g )(发散时，则⎰badx x f )(也发散．2.3 柯西判断法 设x=a 是f (x )在[a ,b )上的唯一奇点，在其任意闭区间上可积,那么（1）如0≤f (x )≤pa x c )(- (c>0), p<1, 则⎰b adx x f )(收敛． （2）如f (x )≥pa x c )(- (c>0), p ≥1, 则⎰b adx x f )(发散． 瑕积分的Cauchy 判断法的极限形式为 定理3 设k)x (f )a x (lim p a x =-+→如0≤k <∞, 1p <, 则⎰ba dx )x (f 收敛如0<k ≤∞, 1p ≥, 那么⎰ba dx )x (f 发散．例6 判别下列瑕积分的敛散性. (1)⎰--1222)x k 1)(x 1(dx)1k (2<(2) ⎰π20qpx cos x sin dx)0q ,p (> 解：（1）1是被积函数的唯一瑕点因为 -→1limx )x k 1)(x 1(dx)x 1(22221--- =+∞<-)k 1(212由21p =知瑕积分收敛． （2）0与2π都是被积函数的瑕点．先讨论,cos sin 40⎰πxx dx q p由+→0lim x 1x cos x sin 1x q p p= 知: 当p<1时, 瑕积分⎰π40q pxcos x sin dx收敛; 当p ≥1时,瑕积分⎰π4q pxcos x sin dx发散． 再讨论 ⎰ππ24qp xcos x sin dx 因-→2lim πx 1xcos x sin 1)x 2(q p p =-π 所以当 q <1时, 瑕积分⎰ππ24qpxcos x sin dx 收敛，当q ≥1时，瑕积分⎰ππ24qp xcos x sin dx发散． 综上所述，当p<1且q<1时, 瑕积分⎰π20q p xcos x sin dx收敛; 其他情况发散．定理4若下列两个条件之一满足，则⎰b a dx x g x f )()(收敛：（b 为唯一瑕点）2.4 （1）（Abel 判别法）⎰ba dx )x (f 收敛, )x (g 在)b ,a [上单调有界(2) (Dirichlet 判别法) )(ηF =⎰η-b adx)x (f 在[a ,b )上有界, g (x ) 在(],0a b -上单调, 且0)(lim =-→x g bx .例7 讨论广义积分⎰+∞1dx xxcos 的敛散性， 解 令f (x )=x1, g (x )=cos x则当x +∞→时，f (x )单调下降且趋于零， F(A)=⎰Axdx 1cos =1sin A sin -在[a ,∞)上有界．由Dirichlet 判别法知⎰∞+1cos dx xx收敛， 另一方面≥x x |cos |=x x 2cos xx22cos 1+ 因⎰∞+121dx x 发散，⎰∞+122cos dx xx 收敛 从而非负函数的广义积分⎰∞+122cos dx xx 发散由比较判别法知⎰∞+1|cos |dx xx 发散，所以⎰∞+1cos dx xx 条件收敛例8 讨论广义积分⎰∞+1arctan cos xdx xx 的敛散性．解 由上一题知，广义积分⎰∞+1cos dx xx 收敛, 而arctan x 在[a , +∞)上单调有界，所以由Abel 判别法知⎰∞+1arctan cos xdx xx 收敛.另一方面, 当),3[∞+∈x 时, 有|arctan cos |x x x ≥|cos |xx前面已证⎰∞+1|cos |dx xx 发散由比较判别法知⎰∞+1|arctan cos |dx x x x 发散, 所以⎰∞+1arctan cos dx x x x 条件收敛.当然判断反常积分是否收敛的方法还有很多在此就不一一例举了.3 瑕积分与无穷积分的关系设函数)(x f 连续 , b 为瑕点. 若 令xb t -=1,则 t b x 1-=, dt tdx 21=,a b t a x -=⇔=1，+∞=⇔=t b x 从而有dt t t b f dx x f ab b a2111)(⎰⎰∞+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=这样瑕积分就化成了无穷积分； 设0>a , 若令xt 1=,则 t x 1=, dt tdx 21-=,总结本文根据对反常积分的定义及其性质的分析， 总结了反常积分敛散性判别的多种方 法与技巧，并且辅以例题使其直观.经过本文的讨论，反常积分敛散性判别法主要有定 义，柯西收敛准则，绝对收敛判别，比较法则及其极限形式，狄利克雷判别法和阿贝尔判别法.适当而准确的运用这些方法，我们可以方便快捷的判别一个具体的反常积分的敛散性，更好的解决我们在反常积分的计算上的问题，帮助我们对微积分有一个更好的认识.然而数学的世界是探索不尽的，反常积分的敛散性的判别方法与技巧也是丰富多彩的，不止这几种，我们还应该加强学习，不断努力，继续深入的探究这些方法，融入到美好的数学世界中去参考文献；[1]数学分析（华东师大编）第三版上册,2005,266-267.[2]数学分析理论方法与技巧（华中科技版）,2008,28(9):143-144.[3]边亚明【12】广义积分的一种敛散性的判断,2000,18(3):95-96.[4]何忆捷《高等数学研究》,2005,18(3):95-96.[5]立清科技大学学报（自然科学版）》,2002,9(2):10-14.[6]黄慧辉《高等数学研究》,2009,11(4):3-7.。