Fourier分析在偏微分方程中的应用
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是Calderon, Zygmund 所建立的奇异积分算子理 论。
微局部分析－拟微分算子
• 拟微分算子的形式定义：
其中
称为象征(symbol)。若
则其为通常的微分算子。但一般地可推广为有条件限制 的光滑函数。例如算子 就不是微分算子，其象征是
微局部分析－拟微分算子
• 有了拟微分算子的定义，可以回答上面的问题：
金，但未发表在当时科学院《报告》；
• 1922年Fourier发表了他的名著《热的解析理论
》；
• 两年后Fourier成为科学院秘书，把1811年修改
过的论文，发表在科学院《报告》。
从Fourier分析谈起
• Fourier在他的《热的解析理论》里研究了有限长
杆上的热传导方程的混合初边值问题的解，并用 今天熟知的分离变量法将解写成级数。
• Fourier在他的《热的解析理论》的最后一部分讨
论半无限长杆上的温度分布，得到Fourier积分， 也就是我们后面讲到的Fourier变换。
• Fourier的工作是偏微分方程及其重要的一大步。 • Fourier的工作迫使对函数概念作一修改，即函数
可以分段表示。
从Fourier分析谈起
Fourier级数：
在[-π，π]是连续函数，那么
或者用复形式
其中 ，这里 交基 。
， 称为 的Fourier系数
和
分别形成一个正
从Fourier分析谈起
Fourier定理告诉我们：一个周期函数总可被正 弦函数和余弦函数表出：
从Fourier分析谈起
四个不同频率 的基本波复合 成一个波； 高频，低频；
示波器
从Fourier分析谈起从Fourier分析源自起Fourier变换的性质：
即函数的微分与乘法对偶。具体说：一个函 数的微分对其Fourier变换而言是一个乘法。
为方便，以后常用
从Fourier分析谈起
• 基于Fourier变换的这一性质，将微分方程变为代
数方程；将函数的光滑性变成其Fourier变换的有
界性等； …...
正因为有对声音的数学研究，即Fourier 分析的研究，人声辨识、电子音乐等等才 成为可能。
从Fourier分析谈起
Fourier变换：
与Fourier 级数相对应的是Fourier变换，它是 时—频分析的重要技术，通常记
这里 相当于Fourier级数的 是频率变量。一 个信号函数，既可以在时域内以给出，亦可以在 频域内以给出，而且通过时—频之间的变换与分 析，可以得到很多有用的信息。
调和分析是数学中一百 多年来为数不多地充满活 力向前发展并对科学产生 重大影响的数学分支。
从Fourier分析谈起
• Fourier在1807年就提交了第一篇关于热传导的
论文。当时Laplace（1749－1827）和Lagrange （1736－1813）等人是评阅人；
• Fourier在1811年呈上修改过的论文，并得到奖
微局部分析－拟微分算子
问题的提出： • 一维空间的波算子的分解:
多维空间的波算子
的分解如何进行？
• 椭圆算子的逆算子如何定义？
微局部分析－拟微分算子
• 拟微分算子成为一种
系统理论是20世纪60年代 中期的事, 集大成者当数 瑞典数学家, 菲尔兹奖得主 Hormander.
• 拟微分算子的直接前身
Fourier分析在偏微分方 程中的应用
2020年4月21日星期二
偏微分方程的研究对象是作为偏微分方程 解的函数，什么是“知道”一个函数似乎是一个显 而易见的问题，但事实上这是一个非常深刻并 革命性地推动偏微分方程发展的重要问题。
• 从时空域 “知道”一个函数（经典分析）； • 从试验函数“知道”一个函数（广义函数）； • 从频谱域“知道”一个函数（Fourier分析）; • 更一般地，通过一个基底“知道”一个函数。
微局部分析－拟微分算子
• 以拟微分算子为代表的
微局部分析是一个很大 的理论体系，反映出微 局部分析已超出偏微分 方程的领域，成为现代 分析的重要思想。
• 这方面最完整的概括是
Hormander的四卷本巨 著。
微局部分析－仿微分算子
• 问题的提出： 在研究非线性偏微分方程解的正则性时,会讨论
• Fourier变换成为一种十分具“诱惑力”的办法 • 但问题也接踵而来：
由一个函数的Fourier变换写不出原来的函数； 变系数的方程无法作Fourier变换；
…...
微局部分析
• 经典的偏微分方程是在
考虑，微局部分
析则在
考虑。或者说在余切丛
考虑。从空间和频域两个侧面了解一个函数。
• 直观地讲，多维空间定义的一个函数，在一个点附 近的形态是局部的，但函数还与这点不同方向有关 。点与方向就是微局部。
• 从Fourier分析谈起； • 微局部分析：
拟微分算子； 仿微分算子；
• 微局部分析的一个应用
从Fourier分析谈起
(Joseph Fourier, 1768~1830)
1822年Fourier发表了他 的名著《热的解析理论》。 自此我们有了Fourier级数、 Fourier积分，总之有了调 和分析。
从Fourier分析谈起
小提琴师演奏的一段声乐是：
勇于开始，才能找到成 功的路
从Fourier分析谈起
• 从频谱域知道一个乐音是远比从时域知道
一个乐音要聪明的办法。
• 乐音是适当的简单的声音（即正弦波）组
合而成，单音称为泛音。泛音中频率最低 的称为基音，次低的称为第二泛音等等。
• 乐音有四要素，即音量、音调、音色和时
值。
从Fourier分析谈起
• 音量：由振幅确定，粗略地说音量与振幅
的平方成正比。
• 音调：（即音的高低）由基音的频率确定
，粗略地说频率增高到二倍，音调提高一 个八度。
• 时值：指振动延续的时间。 • 音色：由声波的形状确定
从Fourier分析谈起
知道一个乐器或者一个人的声音只要知 道相应的Fourier系数即可。
• 同时，分数阶导、无理数阶导、负导数都有了定 义。
微局部分析－拟微分算子
• 经典的偏微分方程是在
考虑，拟微分算
子则要考虑他的对偶变量 ，故是在
上考虑。
• 拟微分算子理论的发展为解决线性偏微分方程的重 大问题做出了重大贡献。例如：Cauchy问题解的唯 一性、椭圆算子的指标问题（Atiyah-Singer指标定 理）。
微局部分析－拟微分算子
• 拟微分算子的形式定义：
其中
称为象征(symbol)。若
则其为通常的微分算子。但一般地可推广为有条件限制 的光滑函数。例如算子 就不是微分算子，其象征是
微局部分析－拟微分算子
• 有了拟微分算子的定义，可以回答上面的问题：
金，但未发表在当时科学院《报告》；
• 1922年Fourier发表了他的名著《热的解析理论
》；
• 两年后Fourier成为科学院秘书，把1811年修改
过的论文，发表在科学院《报告》。
从Fourier分析谈起
• Fourier在他的《热的解析理论》里研究了有限长
杆上的热传导方程的混合初边值问题的解，并用 今天熟知的分离变量法将解写成级数。
• Fourier在他的《热的解析理论》的最后一部分讨
论半无限长杆上的温度分布，得到Fourier积分， 也就是我们后面讲到的Fourier变换。
• Fourier的工作是偏微分方程及其重要的一大步。 • Fourier的工作迫使对函数概念作一修改，即函数
可以分段表示。
从Fourier分析谈起
Fourier级数：
在[-π，π]是连续函数，那么
或者用复形式
其中 ，这里 交基 。
， 称为 的Fourier系数
和
分别形成一个正
从Fourier分析谈起
Fourier定理告诉我们：一个周期函数总可被正 弦函数和余弦函数表出：
从Fourier分析谈起
四个不同频率 的基本波复合 成一个波； 高频，低频；
示波器
从Fourier分析谈起从Fourier分析源自起Fourier变换的性质：
即函数的微分与乘法对偶。具体说：一个函 数的微分对其Fourier变换而言是一个乘法。
为方便，以后常用
从Fourier分析谈起
• 基于Fourier变换的这一性质，将微分方程变为代
数方程；将函数的光滑性变成其Fourier变换的有
界性等； …...
正因为有对声音的数学研究，即Fourier 分析的研究，人声辨识、电子音乐等等才 成为可能。
从Fourier分析谈起
Fourier变换：
与Fourier 级数相对应的是Fourier变换，它是 时—频分析的重要技术，通常记
这里 相当于Fourier级数的 是频率变量。一 个信号函数，既可以在时域内以给出，亦可以在 频域内以给出，而且通过时—频之间的变换与分 析，可以得到很多有用的信息。
调和分析是数学中一百 多年来为数不多地充满活 力向前发展并对科学产生 重大影响的数学分支。
从Fourier分析谈起
• Fourier在1807年就提交了第一篇关于热传导的
论文。当时Laplace（1749－1827）和Lagrange （1736－1813）等人是评阅人；
• Fourier在1811年呈上修改过的论文，并得到奖
微局部分析－拟微分算子
问题的提出： • 一维空间的波算子的分解:
多维空间的波算子
的分解如何进行？
• 椭圆算子的逆算子如何定义？
微局部分析－拟微分算子
• 拟微分算子成为一种
系统理论是20世纪60年代 中期的事, 集大成者当数 瑞典数学家, 菲尔兹奖得主 Hormander.
• 拟微分算子的直接前身
Fourier分析在偏微分方 程中的应用
2020年4月21日星期二
偏微分方程的研究对象是作为偏微分方程 解的函数，什么是“知道”一个函数似乎是一个显 而易见的问题，但事实上这是一个非常深刻并 革命性地推动偏微分方程发展的重要问题。
• 从时空域 “知道”一个函数（经典分析）； • 从试验函数“知道”一个函数（广义函数）； • 从频谱域“知道”一个函数（Fourier分析）; • 更一般地，通过一个基底“知道”一个函数。
微局部分析－拟微分算子
• 以拟微分算子为代表的
微局部分析是一个很大 的理论体系，反映出微 局部分析已超出偏微分 方程的领域，成为现代 分析的重要思想。
• 这方面最完整的概括是
Hormander的四卷本巨 著。
微局部分析－仿微分算子
• 问题的提出： 在研究非线性偏微分方程解的正则性时,会讨论
• Fourier变换成为一种十分具“诱惑力”的办法 • 但问题也接踵而来：
由一个函数的Fourier变换写不出原来的函数； 变系数的方程无法作Fourier变换；
…...
微局部分析
• 经典的偏微分方程是在
考虑，微局部分
析则在
考虑。或者说在余切丛
考虑。从空间和频域两个侧面了解一个函数。
• 直观地讲，多维空间定义的一个函数，在一个点附 近的形态是局部的，但函数还与这点不同方向有关 。点与方向就是微局部。
• 从Fourier分析谈起； • 微局部分析：
拟微分算子； 仿微分算子；
• 微局部分析的一个应用
从Fourier分析谈起
(Joseph Fourier, 1768~1830)
1822年Fourier发表了他 的名著《热的解析理论》。 自此我们有了Fourier级数、 Fourier积分，总之有了调 和分析。
从Fourier分析谈起
小提琴师演奏的一段声乐是：
勇于开始，才能找到成 功的路
从Fourier分析谈起
• 从频谱域知道一个乐音是远比从时域知道
一个乐音要聪明的办法。
• 乐音是适当的简单的声音（即正弦波）组
合而成，单音称为泛音。泛音中频率最低 的称为基音，次低的称为第二泛音等等。
• 乐音有四要素，即音量、音调、音色和时
值。
从Fourier分析谈起
• 音量：由振幅确定，粗略地说音量与振幅
的平方成正比。
• 音调：（即音的高低）由基音的频率确定
，粗略地说频率增高到二倍，音调提高一 个八度。
• 时值：指振动延续的时间。 • 音色：由声波的形状确定
从Fourier分析谈起
知道一个乐器或者一个人的声音只要知 道相应的Fourier系数即可。
• 同时，分数阶导、无理数阶导、负导数都有了定 义。
微局部分析－拟微分算子
• 经典的偏微分方程是在
考虑，拟微分算
子则要考虑他的对偶变量 ，故是在
上考虑。
• 拟微分算子理论的发展为解决线性偏微分方程的重 大问题做出了重大贡献。例如：Cauchy问题解的唯 一性、椭圆算子的指标问题（Atiyah-Singer指标定 理）。