《泛函分析》教学大纲
Functional Analysis
课程编号：
适用专业：数学与应用数学
总学时数：学分：
一、本课程简介
《泛函分析》是现代数学中的的主要数学分支之一,它综合地运用分析、代数和拓扑的观点、方法,来研究数学中的许多问题,它在抽象空间上研究类似于实数上的分析问题,形成了综合运用代数和拓扑来分析处理问题的方法.通过这一课程,能使学生了解泛函分析的基本思想、原理及在各门学科中的应用,掌握泛函分析中主要的基本概念和重要的基本理论,学会用代数、分析和拓扑综合处理问题的新方法,弄清有限维空间与无穷维空间的差别,学会无穷维空间中处理线性问题的分析方法,该课程是学习其他数学分支与科研工作的重要基础.
二、本课程与其他课程的关系
《泛函分析》、《抽象代数》、《拓扑学》是现代数学的重要课程,它综合了分析、代数和拓扑的研究方法,因此学生最好有数学分析、线性代数、空间解析几何及点集拓扑学的基础.
三、教学内容、学时安排和基本要求
本课程主要是线性泛函分析的基本理论,重点介绍距离空间和赋范空间的基础,Banach空间最重要的定理,如Hahn-Banach保范延拓定理、逆算子定理、一致有界原理和Riesz表示定理等.
本课程学时为54学时.
(一)度量空间(12学时)
1、具体内容
度量空间的基本概念,度量空间中开集、闭集、完备性与可分性、连续映照的概念、距离空间中列紧集、紧集上连续映照的性质、不动点定理.
2、基本要求
(1)正确理解度量空间基本概念、度量空间点列收敛等概念.
(2)理解并掌握度量空间中的内点,极限点,开集闭集,闭包等.
(3)理解并掌握列紧集及紧集的概念,紧集、列紧集上的连续映射的性质.
(5)熟练掌握压缩映照原理及其应用.
3、重点、难点
重点：度量空间的紧性、不动点定理.
难点：具体度量空间上紧性的判别、压缩映射的构造及不动点定理的具体应用.
(二)赋范线性空间(10学时)
1、具体内容
赋范空间的定义,范数的等价性,有限维赋范空间, Schauder基等.
2、基本要求
(1)理解线性空间和范数的概念以及相关的例子.
(2)掌握范数的等价性及判别方法.
(3)掌握具有基的Banach空间、有限维赋范线性空间的性质.
(4)线性连续泛函与Hahn-Banach保范延扩定理.
3、重点、难点
重点：有限维赋范空间的性质和Hahn-Banach保范延扩定理.
难点：Hahn-Banach保范延扩定理及其推论的应用.
(三) 有界线性算子(10学时)
1、具体内容
有界线性算子基本性质、一致有界原理、开映射定理、闭图像定理、逆算子定理以及应用.
2、基本要求
(1) 熟练掌握线性算子范数的计算.
(2) 熟练掌握一致有界原理.
(3) 熟练掌握开映射定理、闭图像定理、逆算子定理以及应用.
3、重点、难点
重点：Banach空间中的一致有界原理、开映射定理、闭图像定理、逆算子定理.
难点：点点有界与一致有界的区别,闭图像定理、逆算子定理以及应用.这些是泛函分析的核心内容,因此必须重点讲述.
(四)共轭空间(10学时)
1、具体内容
具体空间的共轭空间,自反Banach空间的性质,弱收敛,共轭算子的性质.
2、基本要求
(1)掌握求序列空间的共轭空间的基本方法,具体空间上的有界线性泛函的表示.
(2)理解并掌握共轭算子以及性质.
(3)理解J映射和自反Banach空间的定义和性质.
(4)理解并掌握弱收敛.
3、重点、难点
重点：求序列空间的共轭空间的方法,自反Banach空间的判别.
难点：J映射的理解,自反Banach空间的性质和判别.
(五) Hilbert空间(12学时)
1、具体内容
内积空间的定义,投影定理,Hilbert空间的正交集,Riesz表示定理.
2、基本要求
(1)掌握内积的定义,内积中的一些不等式.
(2)理解并掌握内积空间的正交集以及性质.
(3)理解投影定理.
(4)理解并掌握Riesz表示定理.
3、重点、难点
重点：正交的性质,Riesz表示定理.
难点：投影定理的理解,Riesz表示定理的掌握和应用.
四、考核方法
本课程考核的形式采用闭卷笔试.
各教学环节占总分比例：作业及平时测验：30%,期末考试：70%.
五、教学和学习的参考书
1、黎永锦编,《泛函分析讲义》,科学出版社.
2、张恭庆等编,《泛函分析讲义》(第一册),北京大学出版社.
3、鲁丁著,刘培德译,《泛函分析》,机械工业出版社.
