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几个常用函数的导数优秀课件

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几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式 课件

几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式 课件
k1＝y |xx0 cos x0 , k2＝y |xx0 sin x0.
若使两条切线互相垂直，必须cos x0·(－sin x0)＝－1， 即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的， 所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相 垂直.
【互动探究】若把题1中的函数改为y＝sin x,请求出在点
【解题探究】1.如何求函数 y 的x导数?已知直线的方程如 何求直线与x轴交点的坐标？ 2.如何确定三角形面积最大？题目中隐含的P点所满足的条件 是什么？
探究提示： 1.(1)由(xα)′=αxα-1求导数. (2)令直线方程中的y=0,求得的x就是交点的横坐标. 2.(1)|AB|是定值，若使三角形ABP面积最大，只需P到AB的 距离最大. (2)点P是与AB平行的抛物线的切线的切点.
【解析】1.依题意，y
|x x1
2
1 x1
，
因为n与m垂直，所以n的斜率为2 x1，
所以直线n的方程为：y y1 2 x1 (x x1)，
令y=0，则 x1 2 x1 (xQ x1)，
所以
xQ
1 2
容x易1，知道：xR=x1，
于是，|RQ|=|xQ-xR|=1 .
2
答案：1
2
2.因为|AB|为定值，
所以三角形面积最大，只需P到AB的距离最大，
所以点P是与AB平行的抛物线的切线的切点.
设点P(x0,y0)，由题意知点P在x轴上方的图象上，
即P在 y 上x ，所以 y 1 .
2x
又因为
k AB
所1 以,
2
1得x0=11, .
2 x0 2
由 y0 得x0y, 0=1,所以P(1,1).

几个常用函数的导数 课件

几个常用函数的导数 课件
本文详细阐述了几个常用函数的导数形式。首先，给出了常数函数、幂函数、对数函数以及三角函数的导数表达式，如f(x)=c的导数为0，f(x)=x的导数为1，f(x)=x^2的导数为2x等。此外，还通过具体例题，展示了如何运用这些导数公式求解复杂函数的导数，如(sinx)'=cosx，(lnx)'=1/x等。进一步，文档探讨了利用导数求切线方程的方法，包括在给定点处的切线方程以及过某点的切线方程。通过实例分析，详细说明了如何确定切点、计算斜率并最终得出切线方程。最后，加深了读者对切线方程求解过程的理解。

几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件

几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件

【微思考】 (1)y=sinx在x=x0处的导数是多少?其几何意义是什么? 提示：y′=cosx，x=x0，f′(x0)=cosx0，几何意义是曲线 y=sinx在点(x0，y0)处的切线的斜率. (2)y=x3在(0，0)点存在切线吗?若存在，切线方程是什么? 提示：存在，y′=3x2，y′|x=0=3×02=0，所以过(0，0)点的 切线为y=0.
【解题探究】1.题(1)中抛物线x2=2y上两点P，Q的切线的斜率 等于多少? 2.题(2)中两条直线互相垂直的条件是什么? 【探究提示】1.kP=y′|x=4=4，kQ=y′|x=-2=-2. 2.两直线互相垂直的条件是斜率的乘积等于-1.
【自主解答】(1)由于P，Q为抛物线x2=2y(即y1= x2)上的点，
x3
数的导数公式？ 2.在题(2)中能否直接对②应用导数公式求导，如果不能，应 该如何处理？ 【探究提示】1.应用幂函数的导数公式求导，可先将原函数变 形为幂函数，再求导数. 2.不能直接用公式求导，应对函数进行变形，可变形为cos x.
【自主解答】(1)选D.因为f′(x)=(x-3)′=-3x-4，
类型二 导数的几何意义的应用 【典例2】(1)(辽宁高考)已知P，Q为抛物线x2=2y上两点，点P， Q的横坐标分别为4，-2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线 交于点A，则点A的纵坐标为__________. (2)已知两条曲线y=sinx，y=cosx，是否存在这两条曲线的一 个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直?并说明 理由.
【微思考】
(1)若函数f(x)=x3，那么f′(m)的含义是什么?
提示：f′(m)的含义是函数f(x)=x3在x=m时所对应的导数值. (2)没有公式能直接求函数f(x)= 1 的导数，是不是其导数就

几个常用函数的导数 课件

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几个常用函数的导数
几个常用函数的导数
思维导航
1．你会用导数的定义求①f(x)＝c ②f(x)＝x(c为常数)的
导数吗？你能用导数的物理意义和几何意义解释上述结论吗？
2．依据导数的定义求y＝x2，y＝
1 x
，y＝
x ，y＝x3的导
数，观察分析得到的结果，你发现了什么？
原函数
导函数
f(x)＝x2
f ′(x)＝2x
②设曲线y＝
1 x
过点P(1,0)的切线与曲线相切于点A(x0，
x10)，则切线的斜率k＝－x102， ∴切线方程为y－x10＝－x120(x－x0)， ∵点P(1,0)在切线上，
∴－x10＝－x102(1－x0)，解得x0＝12.
故所求的切线方程为4x＋y－4＝0. [方法规律总结] 符合常用函数特点的函数求导数可依据
[正解] (1)易知P点在曲线y＝x3上，当P点为切点时，由 上面解法知切线方程为12x－y－16＝0.
当P点不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切 线的斜率为k＝3x20.
∵A在曲线上，∴y0＝x30，∴xx300－－82＝3x20，
∴x30－3x20＋4＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0， ∴x0＝－1或x0＝2(舍去)，∴y0＝－1，k＝3， 此时切线方程y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0. 故经过点P的曲线的切线有两条，方程为12x－y－16＝0和 3x－y＋2＝0. [警示] 求曲线过点P的切线时，应注意检验点P是否在曲 线上，若点P在曲线上，应分P为切点和P不是切点讨论．
牛刀小试
1．下列结论不正确的是( )
A．若y＝0，则y′＝0
B．若y＝5x，则y′＝5
C．若y＝x－1，则y′＝－x－2

《几个常用函数的导数》ppt课件

《几个常用函数的导数》ppt课件

THANKS
详细描述
导数具有连续性、可加性、可乘性和链式法则等重要 性质。连续性指函数在某点的导数等于该点切线的斜 率；可加性指两个函数的和或差的导数等于两个函数 导数的和或差；可乘性指常数与函数的乘积的导数等 于该常数与函数导数的乘积；链式法则指复合函数的 导数等于复合函数内部函数的导数乘以外部函数的导 数。这些性质是导数计算的基础，有助于理解和掌握 导数的应用。
详细描述
函数的极值点是导数为零的点。在极值点处，函数的行为会发生显著变化。通过求导并找出导数为零 的点，我们可以确定函数的极值。此外，我们还可以使用二阶导数测试来确定极值是极大值还是极小 值。
04
导数的计算方法
定义法求导
总结词
通过极限定义来推导导数的计算方法 。
详细描述
定义法求导是导数的基本计算方法， 它基于极限的定义，通过求极限来得 到函数的导数。对于可导的函数，其 导数可以通过定义法直接计算。
02
常见函数的导数
一次函数的导数
1 2
3
一次函数形式
$y = ax + b$
导数公式
$f'(x) = a$
举例
$y = 2x + 3$，导数为$f'(x) = 2$
指数函数的导数
指数函数形式 导数公式 举例
$y = a^x$ $f'(x) = a^x ln a$ $y = e^x$，导数为$f'(x) = e^x$
03
导数的应用
利用导数求切线斜率
总结词
切线斜率是函数在某一点的导数值，它描述了函数在该点的变化率。
详细描述
在数学和物理中，切线斜率是函数图像在某一点的切线的斜率，它等于该点的导 数值。通过求导，我们可以找到切线的斜率，从而更好地理解函数在该点的行为 。

课几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件(人教A选修

课几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件(人教A选修
*h'(x)
应用：在计算 复杂函数的导 数时，可以通 过链式法则将 复杂函数分解 为简单函数， 从而简化计算
过程
注意事项：在 使用链式法则 时，需要注意 函数的定义域 和值域，以及 函数的连续性
和可导性
乘积法则和商的导数法则
乘积法则：导数等于导数的乘积 商的导数法则：导数等于导数的商 复合函数的导数法则：导数等于导数的复合 反函数的导数法则：导数等于原函数的导数的倒数
04
导数的运算法则
导数的四则运算法则
加法法则：导数 相加等于导数之 和
减法法则：导数 相减等于导数之 差
乘法法则：导数 相乘等于导数之 积
除法法则：导数 相除等于导数之 商
链式法则
定义：链式法 则是导数的运 算法则之一， 用于计算复合
函数的导数
公式：若 f(x)=g(h(x))，
则 f'(x)=g'(h(x))
导数是函数在某一点的局 部线性逼近的斜率极限
02
常用函数的导数
一次函数、二次函数、幂函数的导数
一次函数：y=ax+b，导数为a
二次函数：y=ax^2+bx+c， 导数为2ax+b
幂函数：y=x^n，导数为 nx^(n-1)
指数函数和对数函数的导数
指数函数： y=a^x，其导 数为y'=a^x * ln(a)
导数的几何意义
导数是函数在某一点的切线斜率 导数是函数在某一点的瞬时变化率 导数是函数在某一点的切线斜率 导数是函数在某一点的瞬时变化率
导数的基本性质
导数是函数在某一点的切 线斜率
导数是函数在某一点的瞬 时变化率
导数是函数在某一点的局 部线性近似

导数公式大全(最具说服力的)省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件

导数公式大全(最具说服力的)省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件

(cot x) = - csc2x .
(sec x) = sec x tan x . (csc x) = - csc x cot x .
另外还有反三角函数旳导数公式：
(arcsin x) 1 , 1- x2
-1
(arccos x)
,
1- x2
(arctan
x)
1 1 x2
,
(arc
cot
x)
1
dx 4
dx n
f (x) 称为 f (x) 旳一阶导数.
而把
例3 求下列函数旳二阶导数
(1) y x cos x (2) y arctan x
解：
(1) y ' cos x x(- sin x) cos x - x sin x
y" - sin x - (sin x x cos x) -2sin x - x cos x
x) x)
u( x)v( x) - u( x)v( x)
[u( x)]2
.
推论 1 (cu(x)) = cu(x) (c 为常数).
推论 2
1 u( x)
u( x) - u2(x) .
乘法法则旳推广：
(uvw) ' u 'vw uv ' w uvw '
补充例题： 求下列函数旳导数：
例 1 设 f (x) = 3x4 – ex + 5cos x - 1， 求 f (x) 及 f (0).
解 根据推论 1 可得 (3x4) = 3(x4)， (5cos x) = 5(cos x)，又(x4) = 4x3，(cos x) = - sin x， (ex) = ex， (1) = 0，
故

几个常用函数的导数 同步课件

几个常用函数的导数 同步课件
答 函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的图 象如图所示，导数分别为y′＝2， y′＝3，y′＝4.
(1)从图象上看，函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的导数分别表示 这三条直线的斜率． (2)在这三个函数中，y＝4x增加得最快，y＝2x增加得最慢．
(3)函数y＝kx(k>0)增加的快慢与k有关系，即与函数的导数 有关系，k越大，函数增加得越快，k越小，函数增加得越 慢． 函数y＝kx(k<0)减少的快慢与|k|有关系，即与函数导数的绝 对值有关系，|k|越大，函数减少得越快，|k|越小，函数减少 得越慢．
原函数
导函数
f(x)＝c f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝___0___ f′(x)＝__α_x_α_－_1
f(x)＝sin x
f′(x)＝__c_o_s_x___
f(x)＝cos x f(x)＝ax f(x)＝ex
f(x)＝logax f(x)＝ln x
f′(x)＝___－__s_in__x__
因此点P是抛物线上平行于直线AB的切线的切点，
由图知点P在x轴上方，y＝
x，y′＝21
， x
由题意知kAB＝12.
∴kl＝2 1x0＝12，即x0＝1，
∴y0＝1.∴P(1,1)．
小结 利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义 可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题．解题时 可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何 意义准确计算．
探究点三 导数公式的综合应用 例3 已知直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A、B两
点，O是坐标原点，试在抛物线的弧 上求一点P，使 △ABP的面积最大． 解 设P(x0，y0)，过点P与AB平行的直 线为l，如图． 由于直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交 于A、B两点， 所以|AB|为定值，要使△ABP的面积最大， 只要P到AB的距离最大，而P点是抛物线的弧 上的一 点，

《几个常用函数的导数》PPT课件

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1从图象上看, 它们的导数分别表示什么? 2这三个函数中,哪一个减小得最快?哪一
个减小得最慢 ?
3函数 y kx k 0增 减的快慢与什么
有关 ?
练一练1：
函数y f (x) x2的导数
练一练2：
函数y f (x) 1 的导数 x
练一练1：
y
函数y f (x) x2的导数
f '(x) 2x
复习回顾：
1.导数的概念
lim lim f '(x)
y
f (x x) f (x)
x x0
x0
x
2.导数的几何意义
切线的斜率
3.导数的物理意义
瞬时速度
4.求函数的导数的方法是: （三步法）
步骤: (1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
(2) 算比值 y f ( x x) f ( x) ;
O
x
几何意义：
图1.2 3
f (x) x2在点(x, f (x))处的切线的斜率为2x
物理意义：
f (x) x2在时刻x的瞬时速度为2x
练一练2： 函数9;
(
x)
1 x2
探究三： 求函数y f (x) 1 在点（1，1）出的切线方程
x
x y20
练一练3： 函数y f (x) x的导数
f
'
(x)
1 x2
f '(x) 1 2x
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be

导数的运算ppt课件

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解：(1) y x2 sin x sin x x2
2x sin x x2 cosx
(2) y x ln x xln x 3 cos x 3cos x
ln x 1 3sin x
新课讲授
法则2：
uv uv vu
同理：
c 0
cu cu
【例4】求函数的导数 y 2x3 4x2 3x 5
法则1：u v u v
新课讲授
法则1：
u v u v
【例1】求函数的导数
y x3 sin x
解：y x3 sin x
3x2 cosx
新课讲授
法则1：
u v u v
同理：
u v w u v w
【例2】求函数的导数
y 1 sin ln x
x4解：yFra bibliotek1复习回顾
1、常用的基本求导公式
（1）xa axa1
（2）ex e x
（3）ln x
1 x
（4）sin x cosx
（5）cos x sin x
复习回顾
2、求下列函数的导数
（1）y x3
（2）设
f x cosx，求 f 和
6
f
3
新课讲授
u v 假设 和 分别为两个可导函数
sin
ln
x
x 4
x2 0 1 x
1 x2
1 x
课堂练习
P 课本 45,练习题
新课讲授
u v 假设 和 分别为两个可导函数
法则1：u v u v 法则2：uv uv vu
新课讲授
法则2：
uv uv vu
【例3】求下列函数导数
(1) y x2 sin x

几个常用函数的导数 课件

几个常用函数的导数 课件
解析：因为 y＝3 x2，所以 y′＝(3 x2)′＝(x32)′＝23x －13.所以 f′(8)＝32× ＝31，即曲线在点 P(8,4)处的切线 的斜率为31.
所以适合条件的直线的斜率为－3.
从而适合条件的直线方程为 y－8＝－3(x－4)， 即 3x＋y－20＝0. 点评：解决曲线的切线问题要灵活利用切点的性 质：①切点在切线上；②切点在曲线上；③切点处的导 数为此点处的切线的斜率．
跟踪 训练
3．若曲线 y＝x－12在点
处的切线与两坐标轴
围成的三角形的面积为 18，则 a＝( )
A．64
B．32
C．16
D．8
分析：本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的 求法和三角形的面积公式，考查考生的计算能力．
跟踪 训练
解析：y′＝
，∴k＝
，切线方程
是 y－ ＝
(x－a)．令 x＝0 得 y＝23a－21；
基本初等函数的导数公式
基础 梳理
1．几个常用函数的导数.
原函数 f(x)＝c f(x)＝x f(x)＝x2 f(x)＝1x f(x)＝ x
导函数
f′(x)＝______0________ f′(x)＝______1________ f′(x)＝______2_x_______ f′(x)＝____－__x_12________
1
y′＝___x___
题型1 直接用导数公式求函数的导数
例1 求下列函数的导数：
(1)y＝x13；
(2)y＝3 x4；
(3)y＝2sinx2cosx2；
(4)y＝4ln x＋ln
1 x3.
解析：(1)y′＝x13′＝(x－3)′＝－3x－4＝－x34.
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c(x)528(840x10)0 100x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： （1）90％ （2）98％
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数
c'(x)(150208x4)'52'8 (14 0 (1 x0 ) 0 5x0 )2 28 (140 x0 )'
0(10( 10x)0 0 5x)22 8( 41)
求它们的导数。
(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？ （2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪 一个增加得最慢？ （3）函数y=kx(k≠0)增（减）的快慢与什么 有关？
练习3、求函数y=f(x)=x2的导数
因为 yf(x x)f(x)(x x)2x2
x
x
x
x2 2xx(x)2 x2 x
例4 求下列函数的导数:
(1 )
y
1 x
2 x2
;
(2)
y
x 1 x2
;
(3) y tan x;
(4) y (2 x2 3) x ;
答案:
(1)
y
1 x2
4 x3
;
(3)
y
c
1 o s2
; x
(2)
y
1 x2 (1 x2)2
;
(4) y 10x2 3; 2x
例5 日常生活中的饮用水通常是经过净化的。随着水 纯净度的提高，所需净化费用不断增加。已知将1吨水 净化到纯净度x%时所需费用（单位：元）为
因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的 速度上涨。
导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的
和(差),即: f(x)g(x)f(x)g(x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f(x)•g (x)f(x)g (x)f(x)g (x)
2xx
所以 ylim yli(m 2x x)2x
x 0 x x 0
你能不能求出函数y=f(x)=x3的导数。 y' =3x2
由函数y=x ，y=x2 ，y=x3的导数为
1，2x，3x2 你猜测 y = x n 导数是什么? y' =nxn-1
练习4、求函数y = f(x) =-1x 的导数
因为 yf(xx)f(x)x 1 x1 x
x
x
x
x(xx) 1 x(xx)x x2xx
所以 y lx i0 m y x lx i0 (m x 2 1 x x) x 1 2
探 究
画出函数
y
1 x
的图象。
根据图象，描述它的变化
？ 情况，并求出曲线在点（1，
1）处的切线方程。
求切线方程的步骤：
y' 3x2 2
练习 求下列函数的导数。
(1) y 2 e x (2) y 2 x5 3x2 5 x 4 (3) y 3 co s x 4 sin x (4 ) y x 3 sin x co s x (5) y 2 sin x co s x 2 x 2 1
22 (6) y (x 1)(x 2)
公 式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ;
公 式 7 .若 f ( x )
log a
x,则 f
'( x )
1 x ln a
(a
0,且 a
1);
公 式 8 .若 f ( x ) ln x , 则 f '( x ) 1 ; x
练习 求下列函数的导数。
(1) y= 5 y 0
公 式 3 .若 f ( x ) s in x , 则 f '( x ) c o s x ;
公 式 4 .若 f ( x ) c o s x , 则 f '( x ) s in x ;
公 式 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a ( a 0 );
法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函
数的平方.即: gf((xx))
解：因为 y(x32x3)
(x3)(2x)(3) 3x2 2 所以，函数y=x3-2x+3的导数是
5284 (100 x)2
(1)因c为 '(9)0(1502 9 0)8 0 2 45.8 24
所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨
(2)因c为 '(9)8(1502098)8241321
所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨
例6 某运动物体自始点起经过t秒后的距离s满足 s1t4 4t3 16t2 4
p(t)p0(15%t)
其中p0为t = 0时的物价。假定某种商品的p0=1,那么在 第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精 确到0.01）?
解：根据基本初等函数导数公式表，有
p'(t)1.05t ln1.05
p '( 1) 0 1 .01l5 0 1 n .0 5 0 .0(元 8 /年 )
几个常用函数的导数优秀课件
练习1、求函数y=f(x)=c的导数。
因为 yf(x x)f(x)cc0
x
x
x
所以 ylimylim 00
x x0
x0
练习2、求函数y=f(x)=x的导数
因为 yf(x x )f(x )x x x 1
x
x
x
所以 ylimylim 11
x x0
x0
探 在同一平面直角坐标系中， 究 画出y=2x,y=3x,y=4x的 ？ 图象，并根据导数定义，
(2) y= x 4 y 4x3
(3) y= x -2 y2x3 2 x3
(4) y= 2 x y 2x ln2
(5) y=log2x
y 1 x ln 2
思考如何求下列函数的导数：
(1) y 1 x4
(2)yx x
例2 假设某国家在20年期间的平均通货膨胀率为5％，物 价p(单位：元)与时间t（单位：年）有如下函数关系
（1）求出函数在点x0处的变化率 f (x0)，得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。
（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
yf(x 0)f(x 0)x (x 0).
基本初等函数的导数公式
公 式 1 .若 f ( x ) c , 则 f '( x ) 0;
公 式 2 .若 f ( x ) x n , 则 f '( x ) n x n 1 ;

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