2020年广西南宁市高考数学一模试卷(理科)
一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合A={?1,0，1，2}，B={x|x2+x?2<0}.则A∩B=()
A. {?1,0}
B. {0,1}
C. {1,2}
D. {?1,2}
2.若复数z满足(1?i)z=?1+2i，则|z?|=()
A. √2
2B. 3
2
C. √10
2
D. 1
2
3.在某次测量中得到A样本数据如下：43，50，45，55，60，若B样本数据恰好是A样本每个数
都增加3得到，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是()
A. 众数
B. 中位数
C. 方差
D. 平均数
4.若(x2+1
ax )6的二项展开式中x3的系数为5
2
，则a=()
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5.设等比数列{a n}的前n项和为S n，且a4=2a2，则S8
S4
=()
A. 4
B. 5
C. 8
D. 9
6.已知函数f(x)=a
2
x2+bln?x图象在点(1,f(1))处的切线方程是2x?y?1=0，则ab等于()
A. 2
B. 1
C. 0
D. ?2
7.函数f(x)=x(e?x?e x)
4x2?1
的部分图象大致是()
A. B.
C. D.
8.在三棱柱ABC?A1B1C1中，△ABC是等边三角形，AA1⊥平面ABC，
AA1=AB=2，D，E，F分别是BB1，AA1，A1C1的中点，则直
线EF与CD所成角的余弦值为()
A. √2
2
B. 1
2
C. 0
D. ?1
2
9.如图所示的程序框图，输出的结果是S=2017，则输入A的值为()
A. 2018
B. 2016
C. 1009
D. 1008
10.设过双曲线x2
a2?y2
b2
=1(a>0,b>0)的右焦点且与x轴垂直的直线与渐近线交于
A，B两点，若△OAB的面积为√13bc
3
，则双曲线的离心率为()
A. √5
2B. √5
3
C. √13
2
D. √13
3
11.设函数f(x)=log1
2(x2+1)+8
3x2+1
，则不等式f(log2x)+f(log1
2
x)≥2的解集为()
A. (0,2]
B. [1
2,2] C. [2,+∞) D. (0,1
2
]∪[2,+∞)
12.已知函数f(x)=√3sinωx+cosωx(ω>0)的最小正周期为π，将f(x)的图象向右平移π
6
个单位长度得到函数g(x)的图象，有下列四个结论：
p1：g(x)在(?π
6,π
3
)单调递增；
p2：g(x)为奇函数；
p3：y=g(x)的图象关于直线x=5π
6
对称；
p4：g(x)在[0,π
2
]的值域为[?1,1]．
其中正确的结论是()
A. p1，p3
B. p1，p4
C. p2，p3
D. p3，p4
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.向量a?=(3,1)与向量b? =(?1,2)的夹角余弦值是______．
14.{a n}是公差不为0的等差数列，满足a172+a182?a192?a202=d，则该数列的前36项和
S36=__________．
15.设椭圆C：x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=
30°，则C的离心率为______．
16.如图，在四棱锥P?ABCD中，底面四边形ABCD是矩形，BC=2，△PAD是等边三角形，平面
PAD⊥平面ABCD，点E，F分别在线段PA，CD上，若EF//平面PBC，且DF=2FC，则点E 到平面ABCD的距离为______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了50名乘客，统计其乘车等待时间
(指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过40分钟).将统计数据按[5,10),[10,15)，
[15,20),…,[35,40]分组，制成频率分布直方图：
(Ⅰ)求a的值；
(Ⅱ)记A表示事件“在上班高峰时段某乘客在甲站乘车等待时间少于20分钟“，试估计A的概率；
(Ⅲ)假设同组中的每个数据用该组区间左端点值来估计，记在上班高峰时段甲、乙两站各抽取的50名乘客乘车的平均等待时间分别为X1?，X2?，求X1?的值，并直接写出X1?与X2?的大小关系．
18.如图所示的几何体中，ABC?A1B1C1为正三棱柱，点D在底面ABC中，且DA=
DC=AC=2，AA1=3，E为棱A1C1的中点．
(Ⅰ)证明：平面A1C1D⊥平面BDE；
(Ⅱ)求二面角C?DE?C1的余弦值．
19.已知△ABC外接圆面积为4π
3，内角A，B，C所对边的边长分别是a，b，c，且C=π
3
．
(1)若ab=4，求b；
(2)若sinC+sin(B?A)=2sin2A，求△ABC的面积．
20.已知函数f(x)=x3?ax2?x(a∈R)．
(1)当a=1时，求f(x)在区间(0,+∞)上的最小值；
(2)若f(x)在区间[1,2]上是单调递减函数，求实数a的取值范围．
21.已知抛物线E：y=x2的焦点为F，过点F的直线l的斜率为k，与抛物线E交于A，B两点，
抛物线在点A，B处的切线分别为l1，l2，两条切线的交点为D．
(1)证明：∠ADB=90°；
(2)若△ABD的外接圆Γ与抛物线E有四个不同的交点，求直线l的斜率的取值范围．
22.在直角坐标系xOy中，A(0,?1)，B(?√3,0)，以AB为直径的圆记为圆C，圆C过原点O的切
线记为l，若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)若过点P(0,1)，且与直线l垂直的直线l′与圆C交于M，N两点，求|MN|．
23.设a，b为正实数，且1
a +1
b
=4．
(Ⅰ)求a3+b3的最小值；
(Ⅱ)若(a?b)2≥16(ab)3，求ab的值．
【答案与解析】
1.答案：A
解析：解：B={x|?2 ∴A∩B={?1,0}． 故选：A． 可解出集合B，然后进行交集的运算即可． 考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算． 2.答案：C 解析： 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题． 把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．解：由(1?i)z=?1+2i，得 z=?1+2i 1?i =(?1+2i)(1+i) (1?i)(1+i) =?3 2 +1 2 i， ∴|z?|=|z|=√(?3 2)2+(1 2 )2=√10 2 ． 故选：C． 3.答案：C 解析：解：根据题意知，A样本数据一定时，B样本数据恰好是A样本每个数都增加3得到的， 则A样本的众数比B样本的众数小3； A样本的中位数比B样本的中位数小3； A样本的方差等于B样本的方差； A样本的平均数比B样本的平均数小3． 故选：C． 根据众数、中位数、平均数和方差的定义知，A样本数据一定时，B样本数据是A样本每个数都增加3得到的，则两样本的方差不变． 本题考查了众数、中位数、平均数和方差的定义与应用问题，是基础题． 解析：解：(x 2+1 ax )6的二项展开式的通项公式为T r+1=C 6r ?x 12?2r ?(ax)?r ，=a ?r ?C 6r ?x 12?3r ， 令12?3r =3，解得r =3， 展开式中x 3的系数为a ?3?C 6 3 =5 2，a =2， 故选：B ． 在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于3，求出r 的值，再根据展开式中x 3的系数为5 2，求得a 的值． 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题． 5.答案：B 解析：解：a 4=2a 2?a 1q 3=2a 1q ?q 2=2． S 8S 4 =1?q 8 1?q 4=1+q 4=1+22=5． 故选：B ． 根据等比数列的通项公式求得公比q 的值，然后由等比数列的前n 项和公式求S 8 S 4 的值． 本题主要考查等比数列的应用，根据等差数列建立条件关系求出公比是解决本题的关键． 6.答案：C 解析： 本题考查利用导数求曲线在某点处的切线方程的应用，属于基础题． 对f(x)求导，由导数的几何意义即可求解． 解：由题意可得f′(x)=ax +b x ， 所以f′(1)=a +b =2，且f(1)=a 2=1， 所以a =2，b =0， 所以ab =0． 7.答案：B 解析： 本题主要考查函数图象的识别与应用，根据函数奇偶性及特殊点的函数值作出判断即可，属于中档题． 解：因为函数f(x)=x(e ?x?e x) 4x2?1的定义域为{x|x≠±1 2 }， 所以函数f(?x)=?x(e x?e?x) 4x2?1 =f(x)， 所以函数是偶函数，图象关于y轴对称，故排除A； 当x>1 2时，结合指数的运算，可知f(x)=x(e ?x?e x) 4x2?1 <0恒成立，故排除C，D； 故选B． 8.答案：C 解析： 本题考查了异面直线所成的角，属于简单题． 平移EF与CD，成GH，B1G，则∠B1GH即为异面直线所成角． 解：如图，取AC中点H，CC1中点G，连接GH，B1G，B1H， 因为EF//GH，B1G//CD，所以∠B1GH即为异面直线所成角． 在△B1GH中B1G=CD=√5，GH=√2，连接BH，在△B1BH中，B1H=√7，所以由余弦定理知cos∠B1GH=0． 故选：C． 解析：解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=2A+1的值，由题意，可得：2017=2A+1，解得：A=1008． 故选：D． 根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出正的确答案． 本题主要考查了程序框图的应用，属于基础题． 10.答案：D 解析： 本题考查双曲线的对称性、考查双曲线的离心率和渐近线方程，属于中档题． 令x=c，则代入y=±b a x可得y=±bc a ，根据△OAB的面积为√13bc 3 ，求出双曲线的离心率即可． 解：F为右焦点，设其坐标为(c,0)， 令x=c，则代入y=±b a x可得y=±bc a ， ∵△OAB的面积为√13bc 3，∴1 2 ×2bc a ×c=√13bc 3 ， ∴c a =√13 3 ，∴e=√13 3 故选：D．11.答案：B 解析：∵f(x)的定义域为R，f(?x)=log1 2(x2+1)+8 3x2+1 =f(x)， ∴f(x)为R上的偶函数． 易知其在区间[0,+∞)上单调递减，令t=log2x， 所以log1 2 x=?t， 则不等式f(log2x)+f(log1 2 x)≥2可化为f(t)+f(?t)≥2，即2f(t)≥2，所以f(t)≥1， 又∵f(1)=log1 22+8 3+1 =1，f(x)在[0,+∞)上单调递减，在R上为偶函数， ∴?1≤t≤1，即log2x∈[?1,1]， ∴x∈[1 2 ,2]，故选B． 12.答案：A 解析： 本题考查三角函数的图象变换和解析式的求法，同时考查三角函数的奇偶性和单调性、对称性、值域的求法，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题． 由两角和的正弦公式和周期公式可得f(x)的解析式，由图象平移可得g(x)的解析式，由正弦函数的单调性可判断p1；由奇偶性的定义可判断p2；由正弦函数的对称性可判断p3；由正弦函数的值域可判断p4． 解：函数f(x)=√3sinωx+cosωx(ω>0)的最小正周期为π， 可得f(x)=2sin(ωx+π 6)的周期为T=2π ω =π，即ω=2， 即有f(x)=2sin(2x+π 6 )， 将f(x)的图象向右平移π 6 个单位长度得到函数g(x)的图象， 可得g(x)=2sin(2x?π 3+π 6 )=2sin(2x?π 6 )， 由x∈(?π 6,π 3 )，可得2x?π 6 ∈(?π 2 ,π 2 )， 可得g(x)在(?π 6,π 3 )单调递增，故p1正确； g(x)的图象不关于原点对称，不为奇函数，故p2错误； 由g(5π 6)=2sin3π 2 =?2，为最小值，y=g(x)的图象关于直线x=5π 6 对称，故p3正确； 由x∈[0,π 2]，可得2x?π 6 ∈[?π 6 ,5π 6 ]，即有g(x)在[0,π 2 ]的值域为[?1,2]，故p4错误． 故选：A． 13.答案：?√2 10 解析：解：cos √10√5=?√2 10 ． 故答案为：?√2 10 ． 根据向量夹角公式计算可得． 本题考查了数量积表示两个向量的夹角，属基础题． 14.答案：?9 2 解析： 本题考查了等差数列通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 根据题意由等差数列的性质得到a17+a20=?1 4 ，即可得解． 解：由题意有，a172?a202+a182?a192=d， 故(a17?a20)(a17+a20)+(a18?a19)(a18+a19)=d， ?3d(a17+a20)?d(a18+a19)=d， ?3(a17+a20)?(a18+a19)=1， 又a17+a20=a18+a19， 所以?4(a17+a20)=1，a17+a20=?1 4 ， S36=36(a1+a36) 2=36(a17+a20) 2 =?9 2 ． 故答案为?9 2 ． 15.答案：√3 3 解析：解：设|PF2|=λ， ∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°， ∴|PF1|=2λ，|F1F2|=√3λ， 又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c，∴2a=3λ，2c=√3λ， ∴C 的离心率为：e =c a =√3 3 ， 故答案为：√3 3． 设|PF 2|=λ，在直角三角形PF 1F 2中，依题意可求得|PF 1|与|F 1F 2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案． 本题考查椭圆的简单性质，求得|PF 1|与|PF 2|及|F 1F 2|是关键，考查理解与应用能力，属于基础题． 16.答案：2√33 解析： 本题考查点到平面的距离的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查等价转化思想、数形结合思想，是中档题． 连接AF 并延长AF 交线段BC 的延长线于G ，连接PG ，因为EF//平面PBC ， 平面PAF ∩平面PBC =PG ，EF ?平面PAF ，所以EF//PG ， 又DF =2FC ，由平面几何知识可得GC BC =GF FA =PE EA =1 2， 过E 作EH ⊥AD 于H ，由平面PAD ⊥平面ABCD 可得，EH ⊥平面ABCD ， 直角三角形AEH 中，， 即点E 到平面ABCD 的距离为2√3 3 ． 故答案为： 2√3 3 ． 17.答案：解：(Ⅰ)∵0.012×5×3+0.040×5×2+0.048×5+a ×5=1， ∴a =0.036． (Ⅱ)由题意知该乘客在甲站平均等待时间少于20分钟的频率为： (0.012+0.040+0.048)×5=0.5， ∴估计A 的概率P(A)=0.5． (Ⅲ)X 1? =(0.012×5+0.040×10+0.048×15+0.040×20+0.036×25+0.012×30+ 0.012×35)×5=18.3． 由频率分布直方图得X 1? ． 解析：(Ⅰ)由频率分布直方图的性质能求出a ． (Ⅱ)由频率分布直方图求出该乘客在甲站平均等待时间少于20分钟的频率，由此能估计A 的概率． (Ⅲ)由频率分布直方图的性质能求出X 1? ，由频率分布直方图得X 1? ． 本题考查实数值的求法，考查概率、平均数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 18.答案：(Ⅰ)证明：由题意可知，△ACD 与△ABC 为全等的等边三角形．以A 为坐标原点， AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，z 轴，建立空间直角坐标系．如图所示， D(2,0，0)，A 1(0,0，3)，C 1(1,√3,1)，C(1,√3,0)，B(?1,√3,0)，E(12 ,√3 2 ,0) DB ?????? =(?3,√3,0)，A 1C 1????????? =(1,√3,0)，DE ?????? =(?32,√32 ,3)， ∵DB ?????? ?A 1C 1????????? =?3+3=0，DE ? ????? ?A 1C 1????????? =?32+3 2=0， ∴A 1C 1⊥DB ，A 1C 1⊥DE ，又DB ∩DE =D ，DB ，DE ?平面BDE l ， ∴A 1C 1⊥平面BDE ，又A 1C 1?平面AC 1D ，∴平面A 1C 1D ⊥平面BDE ； (Ⅱ)解：EC 1??????? =(1 2,√3 2,0)，DC ????? =(?1,√3,0) 设平面C 1DE 的一个法向量为m ??? =(x,y ，z)，则 {m ??? ?DE ?????? =?32x +√32 y +3z =0m ??? ?EC 1??????? =12x +√32y =0，令x =√3，m ??? =(√3,?1,2√33)， 同理可得平面CDE 的法向量n ? =(√3,1，√33 )， ∴cos |m ??? |?|n ? | = 3?1+2 3√4+13?√4+4 3 = 2√13 13 ∵二面角为锐角二面角，∴二面角C ?DE ?C 1的余弦值为 2√1313 ． 解析：(Ⅰ)以A 为坐标原点，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系．求出D ，A 1，C 1，C ，B ，E 的坐标，以及向量DE ，A 1C 1，DE 的坐标，证明它们垂直，再运用面面垂直的判定定理，即可得证； (Ⅱ)求出EC 1??????? ，DC ????? 的坐标，设平面C 1DE 的一个法向量为m ??? =(x,y ，z)，运用向量垂直的条件，求出法向量m ，同理可得平面CDE 的法向量n ? ，再由两向量的夹角公式，即可得到所求的余弦值． 本题考查空间直线与平面的位置关系，考查线面、面面垂直的判定和性质，同时考查二面角的平面角的求法，考查运用空间向量，证明线面垂直，以及应用法向量求二面角的平面角，考查运算能力，属于中档题． 19.答案：解：(1)∵设三角形△ABC 外接圆的半径为R ，由面积为4π 3=πR 2，可求R =2√3 3 ， 又∵C =π 3． ∴由正弦定理c sinC =2R ，可得：c =2R ?sinC =4√33×√3 2 =2， ∵ab =4， ∴由余弦定理可得：22=a 2+b 2?ab =(a +b)2?3ab =(a +b)2?12，解得：a +b =4， ∴由{ab =4a +b =4，解得：b =2． (2)∵sinC +sin(B ?A)=2sin2A ， ∴sinC +sin(B ?A)=sin(A +B)+sin(B ?A)， 整理得：sinBcosA =2sinAcosA ， 所以：cosA =0，或sinB =2sinA ． 1°、当cosA =0时，A =π 2，c =2，C =π 3，则：b =2√3 3 ， 所以：S △ABC =1 2bc =12 ? 2√3 3 ?2= 2√3 3 ． 2°、当sinB =2sinA 时，可得：b =2a ， 利用余弦定理得：cosC =a 2+4a 2?42a?2a =1 2， 解得：a 2=4 3， 所以：S △ABC =1 2?2a ?a ?√3 2= 2√3 3 ． 所以：S △ABC = 2√3 3． 解析：(1)直接利用正弦定理可求c ，利用余弦定理即可解得b 的值． (2)利用三角函数的关系式的变换，利用分类讨论思想求出三角形的面积． 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用，三角形面积公式的应用． 20.答案：解：(1)当a =1时，f(x)=x 3?x 2?x ， 所以f′(x)=3x 2?2x ?1=(3x +1)(x ?1)， 当x ∈(0,+∞)时，由f′(x)<0得0 所以，当x =1时，f(x)取得最小值为f(1)=?1． (2)由已知f′(x)=3x 2?2ax ?1， 因为f(x)在区间[1,2]上是单调减函数， 所以对任意x ∈[1,2]，f′(x)=3x 2?2ax ?1≤0恒成立，且无连续区间使f′(x)恒为0． 而y =3x 2?2ax ?1是开口向上的抛物线， 所以，只需{f′(1)≤0f′(2)≤0即可.即{3?2a ?1≤0 12?4a ?1≤0,解得{ a ≥1,a ≥114. 综上，当a ≥ 114 时，f(x)在区间[1,2]上是单调减函数． 解析：本题主要考查利用导数研究函数的单调性及其最值，属于中档题， (1)直接由导数分析即可； (2)题意可转化为对任意x ∈[1,2]，f′(x)=3x 2?2ax ?1≤0恒成立，且无连续区间使f′(x)恒为0，利用二次函数的性质求解即可 21.答案：(1)证明：依题意有F (0, 14)，直线l ：y =kx +1 4， 设A(x 1, y 1), B(x 2, y 2)，直线l 与抛物线E 相交， 联立方程{ y =x 2, y =kx +1 4, 消去y ，化简得x 2?kx ?1 4=0， 所以x 1+x 2=k, x 1x 2=?1 4， 又因为y′=2x ，所以直线l 1的斜率k 1=2x 1， 同理，直线l 2的斜率k 2=2x 2， 所以， 所以，直线l 1⊥l 2，即∠ADB =90 ° ． (2)解：由(1)可知，圆Γ是以AB 为直径的圆， 设P(x, y)是圆Γ上的一点，则PA ????? ? PB ????? =0， 所以，圆Γ的方程为 又因为x 1+x 2=k, x 1x 2=?1 4 ， y 1+y 2=kx 1+1 4+kx 2+1 4=k 2+1 2 ， y 1y 2=x 12x 22 =116， 所以，圆Γ的方程可化简为 联立圆Γ与抛物线E 得{ x 2+y 2?kx ?(k 2+1 2)y ?3 16=0, y =x 2 , 消去y 得x 4?(k 2?1 2)x 2?kx ?316=0， 即(x 2 +14)2 ?(kx +12)2 =0， 即 若方程x 2?kx ?1 4=0与方程x 2+kx +3 4=0有相同的实数根x 0， 则矛盾， 所以，方程x 2?kx ?14=0与方程x 2+kx +3 4=0没有相同的实数根， 所以，圆Γ与抛物线E 有四个不同的交点等价于{k 2 +1>0k 2?3>0 , 解得k >√3或k √3或k 解析：本题考查抛物线简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，导数的几何意义，定值问题，曲线的交点个数问题，参数的范围问题，考查计算能力，属于难题． (1)由直线l 与抛物线E 相交，联立方程消去y ，由导数的几何意义，结合韦达定理可得l 1⊥l 2，故可得答案 (2)先求得圆Γ的方程联立圆Γ与抛物线E 消去y 得 通过外接圆Γ与抛物线E 有四个不同的交点可得答案． 22.答案：解：(1)由题意，知圆C 的直径|AB|=2， 圆心C 的坐标为(?√3 2 ,?1 2)， ∴圆C 的直角坐标为(x +√32)2+(y +1 2)2=1， 即x 2+y 2+√3x +y =0， 将x =ρcosθ，y =ρsinθ代入上式， 得到圆C 的极坐标方程为ρ+√3cosθ+sinθ=0． (2)因为直线l′与圆C 过原点O 的切线l 垂直， 所以直线l′的倾斜角为π 6，斜率为√3 3 ， 又直线l′过点P(0,1)， 故直线l′的普通方程为y =√3 3x +1， 即√3x ?3y +3=0， 圆心C(?√3 2 ,?1 2)到直线l′的距离d = 2 √3 = √3 2 ， 所以|MN|=2√1?3 4 =1． 解析：(1)直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换． (2)首先利用垂直关系确定直线的斜率，进一步确定直线的方程，再利用点到直线的距离公式求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，直线方程的求法及应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 23.答案：解：(Ⅰ)∵a 、b 为正实数，且1a +1 b =4． ∴a 、b 为正实数，且1 a +1 b =4≥2√1 ab (a =b 时等号成立)． 即ab ≥1 4(a =b =12时等号成立) ∵a 3+b 3≥2√(ab)3≥1 4(a =b =1 2时等号成立)． ∴a3+b3的最小值为1 4 ， (Ⅱ)∵(a?b)2≥16(ab)3，∴(1 a ?1 b )2≥16ab， 则(1 a +1 b )2?4 ab ≥16ab?4ab+1 ab ≤4， 又∵4ab+1 ab ≥4，∴4ab+1 ab =4 ∴当且仅当ab=1 2 时“=”成立． ∴ab=1 2 ． 解析：本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题． (Ⅰ)由条件利用基本不等式求得ab≥1 4 ，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值． (Ⅱ)根据∵(a?b)2≥16(ab)3，∴(1 a ?1 b )2≥16ab，化简得4ab+1 ab =4从而可得ab=1 2 ． 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取 高考理科数学试题及答案 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目 要 求 的 。 1. 31i i +=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 2. 设集合{}1,2,4A =，{} 2 40x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百 八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某 几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部 分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π 5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤?? -+≥??+≥? ，则2z x y =+的 最小 值是（） A ．15- B ．9- C ．1 D ．9 6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共 有（） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种 7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀， 2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（） 黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是 （ ） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p 绝密★启用前 全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的。 1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，, 则M N I = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2．设复数z 满足=1i z -, z 在复平面内对应的点为(x , y ), 则 A ．22 +11()x y += B ．221(1)x y +=- C ．22(1)1y x +-= D ．2 2(+1)1y x += 3．已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，, 则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 4．古希腊时期, 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 512-（ 51 2 -≈0.618, 称为黄金分割比例), 著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外, 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 -．若某人满足上述两个黄金分割比例, 且腿长为105 cm, 头顶至脖子下端的长度为26 cm, 则其身高可能是 A ．165 cm B ．175 cm C ．185 cm D ．190 cm 5．函数f (x )= 2 sin cos ++x x x x 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个 爻组成, 爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”, 如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦, 则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A ． 516 B ． 1132 C ． 2132 D ． 1116 7．已知非零向量a , b 满足||2||=a b , 且()-a b ⊥b , 则a 与b 的夹角为 A ． π6 B ． π3 C ． 2π3 D ． 5π6 8．如图是求 112122 + +的程序框图, 图中空白框中应填入 F D C B A 2019年高考数学模拟试题（理科） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。 一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 1．已知集合}032{2>--=x x x A ，}4,3,2{=B ，则B A C R ?)(= A ．}3,2{ B ．}4,3,2{ C ．}2{ D ．φ 2．已知i 是虚数单位，i z += 31 ，则z z ?= A ．5 B ．10 C ． 10 1 D ． 5 1 3．执行如图所示的程序框图，若输入的点为(1,1)P ，则输出的n 值为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 （第3题） （第4题） 4．如图，ABCD 是边长为8的正方形，若1 3 DE EC =，且F 为BC 的中点，则EA EF ?= A ．10 B ．12 C ．16 D ．20 5．若实数y x ,满足?? ???≥≤-≤+012y x y y x ，则y x z 82?=的最大值是 A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 6.一个棱锥的三视图如右图，则该棱锥的表面积为 A ．3228516++ B ．32532+ C ．32216+ D ．32216516++ 7. 5张卡片上分别写有0，1，2，3，4，若从这5张卡片中随机取出2张，则取出的2张卡片上的数字之和大于5的概率是 A ． 101 B ．51 C ．103 D ．5 4 8．设n S 是数列}{n a 的前n 项和，且11-=a ，11++?=n n n S S a ，则5a = A ． 301 B ．031- C ．021 D ．20 1 - 9. 函数()1ln 1x f x x -=+的大致图像为 10. 底面为矩形的四棱锥ABCD P -的体积为8，若⊥PA 平面ABCD ,且3=PA ，则四棱锥 ABCD P -的外接球体积最小值是 2017年普通高等学校招生全国统一考试（xx卷）数学（理科） 第Ⅰ卷（共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2017年xx，理1，5分】设函数的定义域为，函数的定义域为，则（）（A）（B）（C）（D） 【答案】D 【解析】由得，由得，，故选D． （2）【2017年xx，理2，5分】已知，是虚数单位，若，，则（）（A）1或（B）或（C）（D） 【答案】A 【解析】由得，所以，故选A． （3）【2017年xx，理3，5分】已知命题：，；命题：若，则，下列命题为真命题的是（） （A）（B）（C）（D） 【答案】B 【解析】由时有意义，知是真命题，由可知是假命题， 即，均是真命题，故选B． （4）【2017年xx，理4，5分】已知、满足约束条件，则的最大值是（）（A）0（B）2（C）5（D）6 【答案】C 【解析】由画出可行域及直线如图所示，平移发现， 当其经过直线与的交点时，最大为 ，故选C． （5）【2017年xx，理5，5分】为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为，已知，，，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（） （A）160（B）163（C）166（D）170 【答案】C 【解析】，故选C． （6）【2017年xx，理6，5分】执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的值为7，第 二次输入的值为9，则第一次、第二次输出的值分别为（）（A）0，0（B）1，1（C）0，1（D）1，0 【答案】D 【解析】第一次；第二次，故选D． （7）【2017年xx，理7，5分】若，且，则下列不等式成立的是（）（A）（B）（C）（D） 【答案】B 【解析】，故选B． （8）【2017年xx，理8，5分】从分别标有1，2，…，9的9xx卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1xx，则抽到在2xx卡片上的数奇偶性不同的概率是（） （A）（B）（C）（D） 高考理科数学数学导数专题复习 高考数学导数专题复习 考试内容 导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数． 利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．证明不等式恒成立 考试要求： （1）了解导数概念的某些实际背景． （2）理解导数的几何意义． （3）掌握常用函数导数公式，会求多项式函数的导数． （4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值． （5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值． （6）会利用导数证明不等式恒成立问题及相关问题 知识要点 导数导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 导数的运算法则 1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值 x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即 )(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注： ①x ?是增量，我们也称为“改变量”，因为x ?可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ?. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系： ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ?+=0，则0x x →相当于0→?x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→ ). ()(0)()(lim lim ) ()(lim )]()()([ lim 000'0000000000 x f x f x f x f x x f x x f x f x x x f x x f x x x x =+?=+??-?+=+???-?+=→?→?→?→?⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的. 例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为x x x y ??= ??| |，当x ?＞0时，1=??x y ；当x ?＜0时，1-=??x y ，故x y x ??→?0lim 不存在. 注： ①可导的奇函数函数其导函数为偶函数. ②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义和物理意义： 六大注意 1 考生需自己粘贴答题卡的条形码 考生需在监考老师的指导下，自己贴本人的试卷条形码。粘贴前，注意核对一下条形码上的姓名、考生号、考场号和座位号是否有误，如果有误，立即举手报告。如果无误，请将条形码粘贴在答题卡的对应位置。万一粘贴不理想，也不要撕下来重贴。只要条形码信息无误，正确填写了本人的考生号、考场号及座位号，评卷分数不受影响。 2 拿到试卷后先检查有无缺张、漏印等 拿到试卷后先检查试卷有无缺张、漏印、破损或字迹不清等情况，尽管这种可能性非常小。如果有，及时举手报告；如无异常情况，请用签字笔在试卷的相应位置写上姓名、考生号、考场号、座位号。写好后，放下笔，等开考信号发出后再答题，如提前抢答，将按违纪处理。 3 注意保持答题卡的平整 填涂答题卡时，要注意保持答题卡的平整，不要折叠、弄脏或撕破，以免影响机器评阅。 若在考试时无意中污损答题卡确需换卡的，及时报告监考老师用备用卡解决，但耽误时间由本人负责。不管是哪种情况需启用新答题卡，新答题卡都不再粘贴条形码，但要在新答题卡上填涂姓名、考生号、考场号和座位号。 4 不能提前交卷离场 按照规定，在考试结束前，不允许考生交卷离场。如考生确因患病等原因无法坚持到考试结束，由监考老师报告主考，由主考根据情况按有关规定处理。 5 不要把文具带出考场 考试结束，停止答题，把试卷整理好。然后将答题卡放在最上面，接着是试卷、草稿纸。不得把答题卡、试卷、草稿纸带出考场，试卷全部收齐后才能离场。请把文具整理好，放在座次标签旁以便后面考试使用，不得把文具带走。 6 外语听力有试听环 外语考试14:40入场完毕，听力采用CD播放。14：50开始听力试听，试听结束时，会有“试听到此结束”的提示。听力部分考试结束时，将会有“听力部分到此结束”的提示。听力部分结束后，考生可以 开始做其他部分试题。 高考数学模拟试题 (一) 1997年全国统一高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共15小题，1-10每小题4分,11-15每小题5分，满分65分）1．（4分）设集合M={x|0≤x＜2}，集合N={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合M∩N=（） A ．{x|0≤x＜ 1} B ． {x|0≤x＜ 2} C ． {x|0≤x≤1}D ． {x|0≤x≤2} 考点：交集及其运算． 分析：解出集合N中二次不等式，再求交集． 解答：解：N={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，∴M∩N={x|0≤x＜2}，故选B 点评：本题考查二次不等式的解集和集合的交集问题，注意等号，较简单．2．（4分）如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，那么实数a等于（） A ．﹣6 B ． ﹣3 C ． D ． 考点：直线的一般式方程与直线的平行关系． 专题：计算题． 分析： 根据它们的斜率相等，可得=3，解方程求a的值．解答：解：∵直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行， ∴它们的斜率相等，∴=3，∴a=﹣6． 故选A． 点评：本题考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等．3．（4分）函数y=tan（）在一个周期内的图象是（） A ．B ． C ． D ． 考点：正切函数的图象． 专题：综合题． 分析：先令tan（）=0求得函数的图象的中心，排除C，D；再根据函数y=tan（） 的最小正周期为2π，排除B． 解答：解：令tan（）=0，解得x=kπ+，可知函数y=tan（）与x轴的一个交点不是，排除C，D ∵y=tan（）的周期T==2π，故排除B 故选A 点评：本题主要考查了正切函数的图象．要熟练掌握正切函数的周期，单调性，对称中心等性质．4．（4分）已知三棱锥P﹣ABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=，BC=2．则二面角P﹣BC ﹣A的大小为（） A ．B ． C ． D ． 考点：平面与平面之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题． 专题：计算题． 分析：要求二面角P﹣BC﹣A的大小，我们关键是要找出二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角，将空间问题转化为平面问题，然后再分析二面角P﹣BC﹣A的大小的平面角所在的三角形的 其它边与角的关系，解三角形进行求解． 解答：解：如图所示，由三棱锥的三个侧面与底面全等， 且AB=AC=， 得PB=PC=，PA=BC=2， 取BC的中点E，连接AE，PE， 则∠AEP即为所求二面角的平面角． 且AE=EP=， ∵AP2=AE2+PE2， ∴∠AEP=， 故选C． 点评：求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．此题是利用二面角的平面角的定义作出∠AEP为二面角P﹣BC﹣A的平面角，通过解∠AEP所在的三角形求得∠AEP．其解题过 程为：作∠AEP→证∠AEP是二面角的平面角→计算∠AEP，简记为“作、证、算”．5．（4分）函数y=sin（）+cos2x的最小正周期是（） A ．B ． πC ． 2πD ． 4π 考点：三角函数的周期性及其求法． 分析：先将函数化简为：y=sin（2x+θ），即可得到答案． 解答： 解：∵f（x）=sin（）+cos2x=cos2x﹣sin2x+cos2x=（+1）cos2x﹣sin2x =sin（2x+θ） ∴T==π 2018年高考数学理科试卷（江苏卷） 数学Ⅰ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．． ． 1．已知集合{}8,2,1,0=A ，{}8,6,1,1-=B ，那么=?B A ． 2．若复数z 满足i z i 21+=?，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ． 3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ． 4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ． 5．函数()1log 2-=x x f 的定义域为 ． 6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ． 7．已知函数()??? ??<<-+=22 2sin ππ ?x x y 的图象关于直线3π=x 对称，则?的值 是 ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()0,0122 22>>=-b a b y a x 的右焦点()0,c F 到一条 渐近线的距离为 c 2 3 ，则其离心率的值是 ． 9．函数()x f 满足()()()R x x f x f ∈=+4，且在区间]2,2(-上，()??? ? ???≤<-+≤<=02,2120,2cos x x x x x f π， 则()()15f f 的值为 ． 10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ． 11．若函数()()R a ax x x f ∈+-=122 3 在()+∞,0内有且只有一个零点，则()x f 在[]1,1-上 的最大值与最小值的和为 ． 2020年高考模拟试题 理科数学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1、若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为 A.5 B.4 C.3 D.2 2、复数在复平面上对应的点位于 A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 3、小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点 到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为 A. 14 17B.13 16 C.15 16 D. 9 13 4、函数的部分图象 如图示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为 A. B. C. D. 5、已知，，，则 A. B. C. D. 6、函数的最小正周期是 A.π B. π 2C. π 4 D.2π 7、函数y=的图象大致是A．B．C．D． 8、已知数列为等比数列，是是它的前n项和,若，且与2的等差中 项为，则 A.35 B.33 C.31 D.29 9、某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有 A.24种 B.18种 C.48种 D.36种 10如图，在矩形OABC中，点E、F分别在线段AB、BC 上，且满足，，若 （），则 A.2 3 B . 3 2 C. 1 2 D.3 4 11、如图，F1，F2分别是双曲线C：(a，b＞0)的左右 焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交 于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，若 |MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是 A. B. C. D. 12、函数f（x）＝2x|log0.5x|－1的零点个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上 13、设θ为第二象限角，若，则sin θ＋cos θ＝__________ 14、(a+x）4的展开式中x3的系数等于8，则实数a=_________ 15、已知曲线在点处的切线与曲线相切,则a= ln y x x =+()1,1() 221 y ax a x =+++ 1992年全国统一高考数学试卷（理科） 一、选择题（共18小题，每小题3分，满分54分） 1．（3分） 的值是（ ） A ． B ． 1 C ． D ． 2 2．（3分）如果函数y=sin （ωx ）cos （ωx ）的最小正周期是4π，那么常数ω为（ ） A ． 4 B ． 2 C ． D ． 3．（3分）极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是（ ） A ． 2 B ． C ． 1 D ． 4．（3分）方程sin4xcos5x=﹣cos4xsin5x 的一个解是（ ） A ． 10° B ． 20° C ． 50° D ． 70° 5．（3分）已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是（ ） A ． 6：5 B ． 5：4 C ． 4：3 D ． 3：2 6．（3分）图中曲线是幂函数y=x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±四个值，则相应于曲线c 1、c 2、c 3、c 4的n 依次为（ ） A ． ﹣2，﹣，，2 B ． 2，，﹣，﹣2 C ． ﹣，﹣2，2， D ． 2 ，，﹣2，﹣ 7．（3分）若log a 2＜log b 2＜0，则（ ） A ． 0＜a ＜b ＜1 B ． 0＜b ＜a ＜1 C ． a ＞ b ＞1 D ． b ＞a ＞1 8．（3分）直线（t 为参数）的倾斜角是（ ） A ． 20° B ． 70° C ． 45° D ． 135° 9．（3分）在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 10．（3分）圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ） A ． x 2+y 2﹣x ﹣2y ﹣=0 B ． x 2+y 2+x ﹣2y+1=0 C ． x 2+y 2﹣x ﹣2y+1=0 D ． x 2+y 2﹣x ﹣ 2y+=0 11．（3分）在（x 2+3x+2）5的展开式中x 的系数为（ ） A ． 160 B ． 240 C ． 360 D ． 800 12．（3分）若0＜a ＜1，在[0，2π]上满足sinx≥a 的x 的范围是（ ） A ． [0，arcsina ] B ． [arcsina ，π﹣arcsina ] C ． [π﹣arcsina ，π] D ． [arcsina ，+arcsina ] 13．（3分）已知直线l 1和l 2的夹角平分线为y=x ，如果l 1的方程是ax+by+c=0，那么直线l 2的方程为（ ） A ． b x+ay+c=0 B ． a x ﹣by+c=0 C ． b x+ay ﹣c=0 D ． b x ﹣ay+c=0 14．（3分）在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ） A ． B ． C ． D ． 15．（3分）已知复数z 的模为2，则|z ﹣i|的最大值为（ ） A ． 1 B ． 2 C ． D ． 3 16．（3分）函数y=的反函数（ ） A ． 是奇函数，它在（0，+∞） 上是减函数 B ． 是偶函数，它在（0，+∞）上是减函数 C ． 是奇函数，它在（0，+∞） 上是增函数 D ． 是偶函数，它在（0，+∞）上是增函数 17．（3分）如果函数f （x ）=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f （2+t ）=f （2﹣t ），那么（ ） A ． f （2）＜f （1） B ． f （1）＜f （2） C ． f （2）＜f （4） D ． f （4）＜f （2） 创难度之最的1984年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题 （这份试题共八道大题，满分120分 第九题是附加题，满分10分，不计入总分） 一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题选对的得3分;不选，选错或多选得负1分1．数集X = {（2n +1）π，n 是整数}与数集Y = {（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ C ） （A ）X ?Y （B ）X ?Y （C ）X =Y （D ）X ≠Y 2．如果圆x 2+y 2+Gx +Ey +F =0与x 轴相切于原点，那么（ C ） （A ）F =0，G ≠0，E ≠0. （B ）E =0，F =0，G ≠0. （C ）G =0，F =0，E ≠0. （D ）G =0，E =0，F ≠0. 3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[8 1 2---n n 的值 （ B ） （A ）一定是零 （B ）一定是偶数 （C ）是整数但不一定是偶数 （D ）不一定是整数 4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ A ） （A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x （C ）]1,0[∈x （D ）]2 ,0[π∈x 5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos θ-=θ-θ那么2 θ （ B ） （A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角 （C ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角 （D ）是第二象限角 二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分 1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积 答：.84π π或 2.函数)44(log 25.0++x x 在什么区间上是增函数？ 答：x ＜-2. 3．求方程2 1 )cos (sin 2=+x x 的解集 答：},12|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π -=?∈π+π= 4．求3)2| |1 |(|-+x x 的展开式中的常数项 答：-205．求1 321lim +-∞→n n n 的值 答：0 6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算） 答：!647?P 三．（本题满分12分）本题只要求画出图形 1．设???>≤=, 0,1,0,0)(x x x H 当当画出函数y =H (x -1)的图象 2．画出极坐标方程)0(0)4 )(2(>ρ=π -θ-ρ的曲线 解（1） （2） 2020年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．设集合A=若A B,则实数a,b 必满足 A. B. C. D. 2．设(1+i )x =1+yi ,其中x ,y 实数,则i =x y + A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 3．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n ＝ ( ) A ．9 B ．10 C ．12 D ．13 4．等差数列{}n a 的前m 项和为30，前m 2项和为100，则它的前m 3项和为（ ） A. 130 B. 170 C. 210 D. 260 5．设，则（ ） A. B. C. D. 6．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O ，E 是线段OD 的中点， AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( ) A. 14a ＋12b B. 23a ＋13b C. 12a ＋14b D. 13a ＋2 3b 7．已知p:21 x x - <1,q:(x-a)(x-3)>0,若?p 是?q 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是( ) {}{}|||1,,|||2,.x x a x R B x x b x R -<∈=->∈?||3a b +≤||3a b +≥||3a b -≤||3a b -≥32 3log ,log 3,log 2a b c π===a b c >>a c b >>b a c >> ·江西卷(理科数学) 1.[2019·江西卷] z 是z 的共轭复数， 若z ＋z ＝2， (z －z )i ＝2(i 为虚数单位)， 则z ＝( ) A.1＋i B.－1－i C.－1＋i D.1－i 【测量目标】复数的基本运算 【考查方式】给出共轭复数和复数的运算， 求出z 【参考答案】D 【难易程度】容易 【试题解析】 设z ＝a ＋b i(a ， b ∈R )， 则z ＝a －b i ， 所以2a ＝2， －2b ＝2， 得a ＝1， b ＝－1， 故z ＝1－i. 2.[2019·江西卷] 函数f (x )＝ln(2 x －x )的定义域为( ) A.(0， 1] B.[0， 1] C.(－∞， 0)∪(1， ＋∞) D.(－∞， 0]∪[1， ＋∞) 【测量目标】定义域 【考查方式】根据对数函数的性质， 求其定义域 【参考答案】C 【难易程度】容易 【试题解析】由2 x －x >0， 得x >1或x <0. 3.[2019·江西卷] 已知函数f (x )＝|| 5x ， g (x )＝2 ax －x (a ∈R ).若f [g (1)]＝1， 则a ＝( ) A.1 B.2 C.3 D.－1 【测量目标】复合函数 【考查方式】给出两个函数， 求其复合函数 【参考答案】A 【难易程度】容易 【试题解析】由g (1)＝a －1， 由()1f g ????＝1， 得|1| 5 a －＝1， 所以|a －1|＝0， 故a ＝1. 4.[2019·江西卷] 在△ABC 中， 内角A ， B ， C 所对的边分别是a ， b ， c .若2 2 ()c a b ＝－＋6， C ＝π 3 ， 则△ABC 的面积是( ) A.3 D.【测量目标】余弦定理， 面积 【考查方式】先利用余弦定理求角， 求面积 【参考答案】C 【难易程度】容易 【试题解析】由余弦定理得， 222cos =2a b c C ab +-＝262ab ab -＝12， 所以ab ＝6， 所以ABC S V ＝1 sin 2 ab C . 5.[2019·江西卷] 一几何体的直观图如图所示， 下列给出的四个俯视图中正确的是( ) 专题八 直线 与圆 1.【2015高考重庆，理8】已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆C ：2 2 4210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |= （ ） A 、2 B 、 C 、6 D 、 【答案】C 【解析】圆C 标准方程为2 2 (2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此 2110a +?-=，1a =-，即(4,1)A --，6AB ===. 选C . 【考点定位】直线与圆的位置关系. 【名师点晴】首先圆是一个对称图形，它关于圆心成中心对称，关于每一条直径所在直线都是它的对称轴，当然其对称轴一定过圆心，其次直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，判断方法可用几何与代数两种方法研究，圆的切线长我们用勾股定理求解，设圆外一点P 到 圆的距离为d ，圆的半径为r ，则由点P 所作切线的长l = ． 2.【2015高考新课标2，理7】过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =( ) A ．26 B ．8 C ．46 D ．10 【答案】C 【解析】由已知得321143AB k -= =--，27 341 CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ?为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为 22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得2y =±-，所以MN =C ． 【考点定位】圆的方程． 【名师点睛】本题考查三角形的外接圆方程，要注意边之间斜率的关系，得出ABC ?是直角三角形，可以简洁快速地求出外接圆方程，进而求弦MN 的长，属于中档题． 3.【2015高考广东，理5】平行于直线012=++y x 且与圆52 2 =+y x 相切的直线的方程是（ ） A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x 高考模拟复习试卷试题模拟卷 【考情解读】 1．理解复数的基本概念． 2.理解复数相等的充要条件． 3.了解复数的代数表示形式及其几何意义． 4.会进行复数代数形式的四则运算． 5.了解复数的代数形式的加、减运算的几何意义． 【重点知识梳理】 1．复数的有关概念 内容 意义 备注 复数的概念 形如a ＋bi(a ∈R ，b ∈R)的数叫复数，其中实部为a ，虚部为b 若b ＝0，则a ＋bi 为实数；若a ＝0且b≠0，则a ＋bi 为纯虚数 复数相等 a ＋bi ＝c ＋di ?a ＝c 且b ＝d 共轭复数 a ＋bi 与c ＋di 共轭?a ＝c 且 b ＝－d(a ，b ， c ， d ∈R) 复平面 建立平面直角坐标系来表示复 数的平面叫做复平面，x 轴叫实轴，y 轴叫虚轴 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数 复数的模 设OZ → 对应的复数为z ＝a ＋bi ， 则向量OZ → 的长度叫做复数z ＝a ＋bi 的模 |z|＝|a ＋bi|＝a2＋b2 2.复数的几何意义 复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C 与复平面内所有以原点O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 (1)复数z ＝a ＋bi 复平面内的点Z(a ，b)(a ，b ∈R)． (2)复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)平面向量OZ → . 3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a ＋bi ，z2＝c ＋di(a ，b ，c ，d ∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a ＋bi)＋(c ＋di)＝(a ＋c)＋(b ＋d)i ； ②减法：z1－z2＝(a ＋bi)－(c ＋di)＝(a －c)＋(b －d)i ； ③乘法：z1·z2＝(a ＋bi)·(c ＋di)＝(ac －bd)＋(ad ＋bc)i ； ④除法：z1z2＝a ＋bi c ＋di ＝（a ＋bi ）（c －di ）（c ＋di ）（c －di ） ＝ ac ＋bd ＋（bc －ad ）i c2＋d2 (c ＋di≠0)． (2)复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C ，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． (3)复数加、减法的几何意义 ①复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量OZ1→，OZ2→不共线，则复数z1＋z2是以OZ1→，OZ2→ 为两邻边的平行四边形的对角线OZ → 所对应的复数． ②复数减法的几何意义：复数z1－z2是OZ1→－OZ2→＝Z2Z1→ 所对应的复数． 【高频考点突破】 考点一 复数的概念 【例1】 (1)设i 是虚数单位．若复数a －10 3－i (a ∈R)是纯虚数，则a 的值为() A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 (2)若3＋bi 1－i ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，则a ＋b ＝________． 规律方法 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理． 【变式探究】 (1)复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z － 为() A ．2＋i B ．2－i C ．5＋i D ．5－i (2)复数z ＝1 2＋i (其中i 为虚数单位)的虚部为________． 考点二 复数的运算 【例2】 (1)(·安徽卷)设i 是虚数单位，z － 表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则z i ＋i·z －＝() A ．－2 B ．－2i C ．2 D ．2i 绝密★启封并使用完毕前 2019年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷） 本试卷共5页, 150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上, 在试卷上作答无效。考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共8小题, 每小题5分, 共40分。在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项。（1）若复数（1–i）(a+i)在复平面内对应的点在第二象限, 则实数a的取值范围是 （A）(–∞, 1) （B）(–∞, –1) （C）(1, +∞) （D）(–1, +∞) （2）若集合A={x|–2x1}, B={x|x–1或x3}, 则AB= （A）{x|–2x–1} （B）{x|–2x3} （C）{x|–1x1} （D）{x|1x3} （3）执行如图所示的程序框图, 输出的s值为 （A）2 （B）3 2 （C ）53 （D ）85 （4）若x, y 满足 , 则x + 2y 的最大值为 （A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）9 （5）已知函数1(x)33x x f ?? =- ??? , 则(x)f （A ）是奇函数, 且在R 上是增函数 （B ）是偶函数, 且在R 上是增函数 （C ）是奇函数, 且在R 上是减函数 （D ）是偶函数, 且在R 上是减函数 （6）设m,n 为非零向量, 则“存在负数λ, 使得m n λ=”是“m n 0?＜”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （7）某四棱锥的三视图如图所示, 则该四棱锥的最长棱的长度为高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案
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