2014届高考数学一轮复习精品学案：第11讲 空间中的垂直关系

又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1。
∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D 平面A1B1C1，
∴AA1⊥C1D，∴C1D⊥平面AA1B1B。
（2）解：作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连结C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F即为所求。
事实上，∵C1D⊥平面AA1BB，AB1 平面AA1B1B，
预测2013年高考将以多面体为载体直接考察线面位置关系：
（1）考题将会出现一个选择题、一个填空题和一个解答题；
（2）在考题上的特点为：热点问题为平面的基本性质，考察线线、线面和面面关系的论证，此类题目将以客观题和解答题的第一步为主。
（3）解答题多采用一题多问的方式，这样既降低了起点又分散了难点。
三．要点精讲
证明：如图2，作GQ⊥B1C1于Q，连接FQ，则GQ⊥平面A1B1C1D1，且Q为B1C1的中点。
在正方形A1B1C1D1中，由E、F、Q分别为A1D1、A1B1、B1C1的中点可证明EF⊥FQ，由三垂线定理得EF⊥GF。
点评：以垂直为背景，加强空间想象能力的考查，体现了立体几何从考查、论证思想。
例2．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC，D、E分别为BB1、AC1的中点，证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线。
注意：⑴三垂线指PA，PO，AO都垂直α内的直线a其实质是：斜线和平面内一条直源自文库垂直的判定和性质定理⑵要考虑a的位置，并注意两定理交替使用。
2．线面垂直
定义：如果一条直线l和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相垂直其中直线l叫做平面的垂线，平面α叫做直线l的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。直线l与平面α垂直记作：l⊥α。
分析：（1）由于C1D所在平面A1B1C1垂直平面A1B，只要证明C1D垂直交线A1B1，由直线与平面垂直判定定理可得C1D⊥平面A1B。
（2）由（1）得C1D⊥AB1，只要过D作AB1的垂线，它与BB1的交点即为所求的F点位置。
（1）证明：如图，∵ABC—A1B1C1是直三棱柱，
∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°。
证明：设O为AC中点，连接EO，BO，则EO C1C，又C1C B1B，所以EO DB，EOBD为平行四边形，ED∥OB。
∵AB＝BC，∴BO⊥AC，
又平面ABC⊥平面ACC1A1，BO面ABC，故BO⊥平面ACC1A1，
∴ED⊥平面ACC1A1，BD⊥AC1，ED⊥CC1，
∴ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线。
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
3．面面垂直
两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理：（线面垂直 面面垂直）
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
点评：该题考点多，具有一定深度，但入手不难，逐渐加深，逻辑推理增强。
题型2：线面垂直问题
例3．（1）如图，ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，求证：BD⊥平面ACC1A1。
（2）如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱 。
（I）证明 平面 ；
（II）设 证明 平面。
又 平面CDE，且 平面CDE，
平面CDE。
（II）连结FM。
由（I）和已知条件，在等边 中，
且
因此平行四边形EFOM为菱形，从而 。
平面EOM，从而
而 所以 平面
点评：本题考查直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力。
例4．如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝ ，D是A1B1中点．（1）求证C1D⊥平面A1B；（2）当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论。
◆一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。
通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：
◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。
二．命题走向
近年来，立体几何高考命题形式比较稳定，题目难易适中，常常立足于棱柱、棱锥和正方体，复习是要以多面体为依托，始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质和判定作为考察重点。在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，示知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重。
两平面垂直的性质定理：（面面垂直 线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。
四．典例解析
题型1：线线垂直问题
例1．如图1所示，已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H、L、M、N分别为A1D1，A1B1，BC，CD，DA，DE，CL的中点，求证：EF⊥GF。
1．线线垂直
判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直。
推理模式： 。
2014年普通高考数学科一轮复习精品学案
第11讲空间中的垂直关系
一．课标要求：
以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定。
通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：
◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。
证明：（1）∵ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，
∴CC1⊥平面ADCD,
∴BD⊥CC1
∵ABCD是正方形
∴BD⊥AC
又∵AC，CC1 平面ACC1A1,
且AC∩CC1=C,
∴BD⊥平面ACC1A1。
（2）证明：
（I）取CD中点M，连结OM。
在矩形ABCD中， 又
则 连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形。