第6章统计量及其抽样分布
一、单项选择题
1．在抽样推断中，样本统计量是（）。[中央财经大学2015研]
A．未知但确定的量
B．一个已知的量
C．随机变量
D．惟一的
【答案】C
【解析】统计量是用来描述样本特征的概括性数字度量。它是根据样本数据计算出来的一个量，由于抽样是随机的，因此统计量是样本的函数，是随机变量。
2．在一个饭店门口等待出租车的时间是左偏的，均值为12分钟，标准差为3分钟。如果从饭店门口随机抽取100名顾客并记录他们等待出租车的时间，则该样本均值的分布服从（）。[山东大学2015研]
A．正态分布，均值为12分钟，标准差为0.3分钟
B．正态分布，均值为12分钟，标准差为3分钟
C．左偏分布，均值为12分钟，标准差为3分钟
D．左偏分布，均值为12分钟，标准差为0.3分钟
【答案】A
【解析】中心极限定理：设从均值为μ、方差为σ2（有限）的任意一个总体中抽取样本量为n的样本，当n充分大（通常是大于36）时，样本均值X的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布。故即使总体是左偏分布，该样本均值仍服从正态分布，其均值
为12，标准差为3/10＝0.3。
3．设总体()2~2,X N σ，X 1，…，X 16是来自总体X 的样本
161
116i i X X ==∑则48X σ-服从的分布是（）。[对外经济贸易大学2015研]
A ．t(15)
B ．t(16)
C ．χ2（15）
D ．N （0，1）
【答案】D 【解析】由题可知样本均值
2~2,16X N σ⎛⎫ ⎪⎝⎭则2/4X σ-~N(0，1)，即48X σ
-~N(0，1)。4．1000名学生参加某课程的考试，平均成绩是82分，标准差是8分，从学生中随机抽取100个同学作为样本，则样本均值的数学期望和抽样分布的标准差分别为（）。[华
中农业大学2015研]
A ．82，8
B ．82，0.8
C ．82，64
D ．86，1
【答案】B
【解析】由中心极限定理得，在大样本条件下，样本均值X 的抽样分布近似服从均值为μ方差为σ2/n 的正态分布。故该样本均值的数学期望为82，标准差为8/10＝0.8。
5．设126,,,X X X L 是来自()2~,X N μσ的样本，且
()6221
15i i S X X ==-∑则()2D S
＝（）。[浙江工商大学2014研]A ．215
σB ．425
σC ．413
σD ．
225σ【答案】B
【解析】由题，()1,2,,6i X i = 相互独立且服从()2,N m s ，S 2为X 1、X 2、…、X 6的样本方差，由样本方差的性质（n －1）S 2/σ2服从于参数为（n －1）的卡方分布，n ＝6，因此，D （5S 2/σ2）＝2×5＝10，D （S 2）＝10×σ4/25＝2σ4/5即B 项。
6．以下关于统计量的说法中错误的是（
）。[中央财经大学2014研]
A ．总体参数的无偏估计量是唯一的
B ．统计量是随机变量
C ．统计量可以根据样本数据计算
D ．可以使用不同的统计量来估计同一个总体参数
【答案】A
【解析】统计量是直接从样本计算出的，代表样本的特征。当估计量的均值等于被估计总体参数的真值，即为总体参数的无偏估计量。A 项，总体参数的无偏估计量不唯一。
7．设随机变量X 和Y 独立同分布，其分布为正态分布()2,N μσ，则
()()
2
22/X Y X Y μ+--分布为______。（）[中国科学技术大学2013研]
A ．自由度为1，1的F 分布
B ．自由度1，2的F 分布
C ．自由度为2，1的F 分布
D ．自由度2，2的F 分布
【答案】A
【解析】随机变量X 和Y 独立同分布()2~,X N μσ
()
2~,Y N μσ
则有()
22~0,2X Y N μσ+-
()
2~0,2X Y N σ-即
()2
2~12χσ+-⎛⎫ ⎪⎝⎭()2
2~12χσ-⎛⎫ ⎪⎝⎭
因此()()
()222/~1,1X Y X Y F μ+--8．设12,,,n X X X 是从某总体X 中抽取的一个样本，下面哪一个不是统计量（
）。A ．1
1n
i i X X n ==∑B ．2211()n i i S X X n ==-∑C ．()21
n i i X
E X =-⎡⎤⎣⎦∑D ．221
1()1n i i S X X n ==--∑【答案】C
【解析】统计量是从总体中抽取的样本所构造的函数，不依赖于任何未知参数。C 项含有依赖于总体分布的未知参数μ。
9．下列不是次序统计量的是（
）。A ．中位数
B ．均值
C ．四分位数
D ．极差
【答案】B
【解析】设12,,,n X X X L 是从总体X 中抽取的一个样本，()i X 称为第i 个次序统计量，它是样本
()
12,,,n X X X L 满足如下条件的函数：每当样本得到一组观察值12,,,n x x x L 时，其由小到大的排序
()()()()
12i n x x x x ≤≤≤≤≤ 中，第i 个值()i x 就作为次序统计量()i X 的观测值，而
()()()
12,,,n X X X 称为次序统计量。根据定义可知中位数、分位数、四分位数、极差等都是次序统计量。
10．抽样分布是指（）。
A ．一个样本各观测值的分布
B ．总体中各观测值的分布
C ．样本统计量的分布
D ．样本数量的分布
【答案】C
