麦克斯韦玻尔兹曼分布

•在气体动理论方面，他还提出气体 分子按速率分布的统计规律。
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一、测定气体分子速率的实验 1、实验装置
O——蒸汽源 S ——分子束射出方向孔 R ——长为 l 、刻有螺旋形细槽的铝钢滚筒 D ——检测器，测定通过细槽的分子射线强度
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2、实验原理
当圆盘以角速度ω转动时，每转动一周，分子射线
m
2kT
2
e m
v
2 x
v
2 y
v
2 z
2kT dv xdv ydvz
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三、三种统计速率
1、最可几速率
•定义：与 f(v)极大值相对应的速率，称为最 概然速率。
•物理意义：若把整个速率范围划分为许多相等 的小区间，则分布在vP所在区间的分子数比率 最大。
• vP的值： df v 0
dv
2kT 2RT
RT
vp
m
1.41
M
M
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2、平均速率
•定义：
大量气体分子速率的算术平均值叫做平均速率。
•计算：
v＝ Nivi Nivi
Ni
N
v vdN
N
dN Nf (v)dv
v
vdN N
＝
vNf (v)dv N
vf
(v)dv
v 8kT 8RT 1.60 RT
m M
M
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3、方均根速率
•定义：
大量气体分子速率的平方平均值的平方根叫做方均根速率。
•都含有统计的平均意义，反映 大量分子作热运动的统计规律。
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说明下列各量的物理意义：
1. f (v)dv
2.Nf (v)dv
3.nf (v)dv
4. v2 f (v )dv v1
5. v2 Nf (v)dv v1
6.0 f (v)dv
7. v 2 f (v)dv 0 第15页/共25页
T2 T1
T2
T1
f (v)
m
1
m1 m2
o vP1 vP2
v
m2
o vP1 vP2
v
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•三种速率的大小顺序为
v p v vrms
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•三种速率的意义 •讨论速率分布时——用最 概然速率 •讨论分子碰撞时——用平 均速率 •讨论分子平均平动动能 时——用方均根速率
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二、麦克斯韦气体分子速率分布律
1、速率分布函数
速率分布函数的定义： 一定量的气体分子总数为N，dN表示速率分布在 某区间 v~v+dv内的分子数， dN/N表示分布在此 区间内的分子数占总分子数的比率。
实验规律：
•dN/N 是 v 的函数； •当速率区间足够小时（宏观小，微观大）， dN/N还应与区间大小成正比。
解：
f (v) d N
N dv
1. f (v)dv dN N
—— 分布在速率 v 附近 v ~ v + d v 速率区间内的分子数
占总分子数的比率。
2.Nf (v)dv dN
—— 分布在速率 v 附近 v ~ v + d v速率区间内的分子数。
3.nf (v)dv N dN dN VN V
—— 单位体积内分子速率分布在速率 v 附近 v ~ v + d v 速率区间内的分子数。
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4. v2 f (v)dv N (v2 ) dN
v1
N N (v1 )
—— 分布在有限速率区间 v1 ~ v2 内的分子数占总分 子数的比率。
5. v2 Nf (v)dv N (v2 ) dN —— 分布在有限速率区间
2kT
m ——分子的质量 T ——热力学温度 k ——玻耳兹曼常量
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3
f v 4 m 2 e mv 2 2kT v 2
2kT
麦克斯韦速 率分布曲线
f (v)
面积= dN/N
f (v)
o dv
v
曲线下面宽度为 dv 的小窄条面积等于分布在此速 率区间内的分子数占总分子数的概率dN/N 。
•计算：
v2
N ivi2
N ivi2
Ni
N
v2dN v2 Nf (v)dv
v2
v2 f (v)dv
N
N
vrms
v2
3kT m
3RT 1.73 RT
M
M
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4、讨论
2kT 2RT
RT
vp
m
1.41
M
M
•vp 随 T 升高而增大， 随m 增大而减小。
f (v)
dN f (v)dv N
速率分布函数
f (v) dN Ndv
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物理意义： 速率在 v 附近，单位速率区间的分子数占总 分子数的概率，或概率密度。
f (v)dv dN N
N ＝ v2 f (v)dv N
v1
表示速率分布在v→v+dv内的 分子数占总分子数的概率
表示速率分布在v1→v2内的分 子数占总分子数的概率
N
0
dN N
0
f vdv
1
归一化条件
速率分布曲线
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2、麦克斯韦速率分布律
在平衡态下，当气体分子间的相互作用可以忽略时，
分布在任一速率区间 v~v+dv 的分子数占总分子数
的比率为
3
dN v 4 m 2 e mv 2 2kT v 2dv
N
2kT
麦克斯韦速率分布函数
3
f v 4 m 2 e wk.baidu.comv 2 2kT v 2
v1
N (v1 )
v1 ~ v2 内的分子数。
6.0 f (v)dv 1 7. v2 f (v)dv v2
0
—— 分布在 0 ～ ∞ 速率区间 内的分子数占总分子数的比率。 （ 归一化条件）
—— v2 的平均值。
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四、玻尔兹曼能量分布律
麦克斯韦速度分布函数
3
dN v xv yvz N
通过圆盘一次，由于分子的速率不一样，分子通过
圆盘的时间不一样，只有速率满足下式的分子才能
通过S达到D
l v
v l
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3、实验结果
•分子数在总分子数中所占 的比率与速率和速率间隔的 大小有关； •速率特别大和特别小的分 子数的比率非常小； •在某一速率附近的分子数 的比率最大； •改变气体的种类或气体的 温度时，上述分布情况有所 差别，但都具有上述特点。
麦克斯韦（James Clerk Maxwell 1831——1879)
19世纪伟大的英 国物理学家、数 学家。经典电磁 理论的奠基人， 气体动理论的创 始人之一。
•他提出了有旋电场和位移电流概念， 建立了经典电磁理论，预言了以光 速传播的电磁波的存在。
•1873年，他的《电磁学通论》问世， 这是一本划时代巨著，它与牛顿时 代的《自然哲学的数学原理》并驾 齐驱，它是人类探索电磁规律的一 个里程碑。