解直角三角形方位角、坡度角

65° A P
C
34°
B
例4.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁， 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏 东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东 航行，有没有触礁的危险？
A
60°
B 12
30°
DF
解：由点A作BD的垂线
h l
= tan a.
显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.
铅垂 高度
h
i h:l
i 坡度或坡比
坡角
l
l水平长度
化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题 的策略
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根
据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测 量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰角a和大坝 的坡面长度l，就能算出h=lsina，但是，当我们要测 量如图所示的山高h时，问题就不那么简单了，这 是由于不能很方便地得到仰角a和山坡长度l
解直角三角形（3）
方位角
• 指南或指北的方向线与目标方向线构成小于 900的角,叫做方位角.
• 如图：点A在O的北偏东30° • 点B在点O的南偏西45°（西南方向）
北
A
30°
西
东
O
45°
B
南
例1. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距 离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后， 到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海 轮所在的B处距离灯塔P有多远？ （精确到0.01海里）
α
在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面 的方法分别算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再 “积零为整”，把h1,h2,…,hn相加，于是得到山高h.
以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化 曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的 基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中， 你会更多地了解这方面的内容．
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角 形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
l
h
α
l
h
α
与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直” 的，而山坡是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？
我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把 山坡“化整为零”地划分为一些小段，图表示其中一 部分小段，划分小段时，注意使每一小段上的山坡近 似是“直”的，可以量出这段坡长l1，测出相应的仰 角a1，这样就可以算出这段山坡的高度h1=l1sina1l. h
例5. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中 i=1:3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的 比），根据图中数据求：（1）坡角a和β;
（2）坝顶宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）
解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90°
tan AF i 1：1.5
BF
i=1:1. 5
α B
33.7
在Rt△CDE中，∠CED=90°
tan DE i 1: 3
CE
18.4
AD 6m FE
i=1:3 β C
1.在解直角三角形及应用时经常接触到 的一些概念(方位角;坡度、坡角等)
2.实际问题向数学模型的转化 (解直角三角形)
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角 三角形的问题）；
AF 6x 6 3 10.4
10.4 > 8没有触礁危险
修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注 明斜坡的倾斜程度.
坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做 坡面坡度（或坡比）. 记作i , 即 i = h .
l
坡度通常写成1∶m的形式，如 i=1∶6.坡面与水平
面的夹角叫做坡角，记作a，有i＝
交BD的延长线于点F，垂足为F， ∠AFD=90wk.baidu.com 由题意图示可知∠DAF=30°
设DF= x , AD=2x 则在Rt△ADF中，根据勾股定理
AF AD2 DF 2 2x2 x2 3x
60° B
A DF
在Rt△ABF中，
30°
tan ABF AF tan 30 3x
BF
12 x
解得x=6