矩阵可逆的一个充分必要条件的几种讲法
不论是在线性代数的教学中还是高等代数的教学中，矩阵的相关内容都是十分重要的。而其中矩阵可逆的部分又是要重点讲授的，因为逆矩阵在讨论研究矩阵问题时有重要作用。在矩阵可逆的这部分内容中，矩阵可逆及逆矩阵的定义是必然要介绍的，而矩阵可逆的条件中有一个充分必要条件即一个方阵可逆的充分必要条件是它的行列式不等于零是一定会讲授的，也是应用较多的，因此要求同学们一定理解掌握。
而就这一个充分必要条件不同的教师有不同的讲法，本文根据自己的体会，介绍了这一个充分必要条件的三种讲法并进行了一定的对比分析。
第一种讲法是非常常见的，很多教师都采用，特别是刚开始
教线性代数的新教师。我在第一次教这部分时也用的是这种讲法。首先介绍了矩阵可逆的定义[1]，即设A为n阶方阵，如果存在n阶方阵B,使得AB=BA=E（E是n阶单位矩阵），则称方阵A是可逆的，而B称为A的逆矩阵。在同学们知道理解了矩阵可逆及逆矩阵概念后，就引入介绍矩阵可逆的条件，我们主要介绍矩阵可逆的一个常用的充分必要条件。而为了介绍这个充分必要条件，首先需要介绍一个相关的内容，那就是伴随矩阵的相关概念[2] 。对于伴随矩阵首先介绍伴随矩阵的定义：
设矩阵A，则称矩阵为A的伴随矩阵，其中Aij是矩阵A中元素
aij 的代数余子式。
接着介绍伴随矩阵的一个重要性质：同时给出其证明：事实
上，由代数余子式的性质同理可得，所以。
这样准备工作已做好，就来讲最重要的矩阵可逆的充分必要条件。
定理（矩阵可逆的充分必要条件）矩阵 A 可逆的充分必要条
件是，且。
证明：（必要性）若，且，则，故 A 可逆且。
（充分性）若 A 可逆，，那么，因此。
以上是第一种讲法的基本过程，当然这其中还有很多教师的引导讲解，这里未体现。但这种讲法的讲授思路和顺序基本按照教材中给出的顺序来讲，其实就是直接教授给学生们概念和结论，让学生们去理解应用，缺乏探究这些结论的过程。而第二种讲法恰恰是由矩阵可逆的定义出发按照正常的推理过程得到了矩阵可逆的充分必要条件。
第二种讲法首先仍是介绍矩阵可逆的定义，接着就探究矩阵可逆的充分必要条件。探究过程如下：
由矩阵可逆的定义，要想方阵 A 可逆，首先得找出同阶方阵B,使得AB=E再看BA是否也等于E。那么我们假设A=, B=, 那么由矩阵乘法，AB的第i行第j列（i , j=1 , 2,…，n）元素应该是（1）
此时引导学生从已有知识中寻找与该问题类似或相关的内容来
解决现在的问题。
（1）式与我们之前学过的
（2）
（其中Aij 是矩阵 A 中元素aij 的代数余子式）类似。对照上两式可发现它们相差无几，那么由矩阵乘法，（2）式也可看成是矩阵 A 与另一个矩阵乘积的第i 行第j 列元素。
若令该矩阵为D,则易知D是这样的一个矩阵
那么由（2）式易得还可验证（学生计算验证），即
（3）
该式与定义中AB=BA=甘目差不多，只是单位矩阵前多了detA 这样一个数。
那么若，由（3）式及矩阵的数乘运算可得。
因此由矩阵可逆的定义，A可逆，是A的逆矩阵，即，贝V
AB=BA=E。
这样我们知道当矩阵A可逆时，它的逆矩阵可由矩阵D表示，那么把由矩阵A的元素的代数余子式按一定顺序排成的矩阵D称为A 的伴随矩阵，记为，即，且。
这样伴随矩阵的概念及性质很自然的就引出来了。下面就继续讨论。
由上可知，若，则 A 可逆且其逆矩阵是。
反过来，若A可逆，A的行列式如何？
若 A 可逆，，那么，因此。
那么由上面的一系列探讨可得矩阵可逆的充分必要条件：矩阵
A 可逆的充分必要条件是，且。
这样矩阵可逆的充分必要条件由此就推导出来，而伴随矩阵的相关概念也在其中自然的得到，学生也能知道为什么会有伴随矩阵、伴随矩阵为什么是那样组成。整个过程重在引导学生自主探究，不是直接就把知识摆在学生面前，这对学生能力的培养更符合现在教育的要求。
下面介绍第三种讲法[3] 。第三种讲法不是直接得出这个矩阵可逆的充分必要条件，而是由另外的一些充分必要条件推导得出它的。这种讲法首先是在同学们知道矩阵的初等变换的基础上，接着介绍初等矩阵及初等变换与初等矩阵的关系后，开始讨论矩阵可逆的充分必要条件。首先要介绍两个引理。
引理1：设对矩阵施行一个初等变换后得到矩阵，则可逆的充分必要条件是可逆。
引理2：一个矩阵总可以通过初等变换化为以下形式的一个矩阵，，其中是r 阶单位矩阵，表示的零矩阵，r 是的秩。
这两个引理在介绍时也要讲解其证明，这里省略了。
由引理2，当是一个n 阶矩阵时，是一个对角矩阵。那么由这
两个引理，n 阶矩阵是否可逆决定于对角矩阵是否可逆。然而
对角矩阵是否可逆是容易看出的。当（是n 阶单位矩阵）时，可逆；当时，不可逆。
由此得到矩阵可逆的充分必要条件1：n 阶矩阵可逆的充分必要条件是可通过初等变换化为单位矩阵。
由充分必要条件 1 可得到充分必要条件2。
矩阵可逆的充分必要条件2：n 阶矩阵可逆的充分必要条件是可写成初等矩阵的乘积。
这里可以证明充分必要条件2。
事实上，由充分必要条件1，n 阶矩阵可逆的充分必要条件是可通过初等变换化为单位矩阵。而可通过初等变换化为单位矩阵的充分必要条件是存在初等矩阵，使得。因为初等矩阵都可逆且其逆矩阵仍是初等矩阵，那么上式可写为
这样证明了矩阵可逆的充分必要条件2
由矩阵可逆的充分必要条件 1 和初等变换不改变矩阵的秩可得矩阵可逆的充分必要条件3。
矩阵可逆的充分必要条件3：n 阶矩阵可逆的充分必要条件是矩阵的秩等于n。
由秩的定义我们知道n阶矩阵的秩等于n的充分必要条件是的行列式不等于零即。所以由此立刻可得矩阵可逆的充分必要条件4。
矩阵可逆的充分必要条件4：n 阶矩阵可逆的充分必要条件
以上是第三种讲法，不是直接就讨论我们所说的这个充分必要条件，而是通过前面几个充分必要条件自然推导出的。
综上，这三种讲法各有裨益。第一种讲法知识结构清晰，有利于知识的的掌握，但缺乏对知识的探究过程。相比较，第二种讲法更注重对知识学习过程的探究，应用旧知识探究新知识，且更易知整个推理过程的来龙去脉，有助于学生探究能力的培养和学习兴趣的
一般矩阵可逆的判定
一般矩阵可逆的判定 Good （11统计数学与统计学院 1111060231） 摘要：作为一张表，矩阵的运算规则具有特殊性。在运算的过程中，逆矩阵则是作为矩阵乘法的逆运算而存在的。由于矩阵乘法的逆运算仅限于方阵，故而逆矩阵又作为一项特殊的矩阵除法运算而存在。对于矩阵的运算来说，逆矩阵是不可缺少的一部分。在以线性代数为基础的研究中，逆矩阵是解决实际问题的一个最直观，最实用的工具。然而在实际研究中，并不是所有方阵都存在逆矩阵，那么对于矩阵可逆的判定就显得极其重要了。 关键字：阶方阵；；；； 0 引言 逆矩阵是矩阵乘法逆运算的结果。这个逆运算的过程被作为矩阵运算的一部分而不可或缺。对于所有矩阵而言，只有方阵中可逆的那部分才存在逆矩阵；就好像四边形一样，只有当矩形的四边相等才能被叫做正方形。然而也就是这很特殊的一小部分，它的运用却充斥着所有与线性代数相关的领域。比如：物理学，经济学，统计学，数学，社会管理学等等。对于矩阵的运算来说，逆矩阵的运算至关重要。由于矩阵在实际运用中具有的重要作用，而逆矩阵对于矩阵来说又具有重要的作用。在以矩阵为研究对象的研究过程中，研究逆矩阵也就有了很重要的意义。 对于研究逆矩阵的过程中，“什么样的矩阵才可逆？”是值得深讨的问题。就像求四边形中的正方形一样，要求正方形，最基本的前提就是：四边形必须是矩形。只有四边形满足四个内角都是90度的时候，四边形才称的上是矩形。而对于矩形来说，只有满足矩形的四条边都相等时，这样的矩形才能被称为正方形。对于矩阵可逆来说，一个矩阵要可逆，最基本的前提：必须满足矩阵的行列相等，矩阵必须是一个方阵才行。研究方阵的可逆，对于实际
2 矩阵 矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单! 知识要点解析 2.1.1 矩阵的概念 1．矩阵的定义 由m×n 个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ==组成的m 行n 列的矩形数表 ?? ?? ? ? ? ??=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 称为m×n 矩阵，记为n m ij a A ?=)( 2．特殊矩阵 （1）方阵：行数与列数相等的矩阵； } （2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下） 三角阵； （3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵； （4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵； （5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E ； （6）零矩阵：元素全为零的矩阵。 3．矩阵的相等 设mn ij mn ij b B a A )(; )(== 若 ),,2,1;,,2,1(n j m i b a ij ij ===，则称A 与B 相等，记为A=B 。
2.1.2 矩阵的运算 1．加法 ~ （1）定义：设mn ij mn ij b B A A )(,)(==，则mn ij ij b a B A C )(+=+= （2）运算规律 ① A+B=B+A ； ②（A+B ）+C =A +（B+C ） ③ A+O=A ④ A +（-A ）=0， –A 是A 的负矩阵 2．数与矩阵的乘法 （1）定义：设,)(mn ij a A =k 为常数，则mn ij ka kA )(= （2）运算规律 ① K (A+B ) =KA+KB , ② (K+L )A =KA+LA , ③ (KL ) A = K (LA ) 3．矩阵的乘法 （1）定义：设.)(,)(np ij mn ij b B a A ==则 ,)(mp ij C C AB ==其中∑== n k kj ik ij b a C 1 . （2）运算规律 ①)()(BC A C AB =；②AC AB C B A +=+)( ③CA BA A C B +=+)( （3）方阵的幂 ①定义：A n ij a )(=，则K k A A A = ②运算规律：n m n m A A A +=?；mn n m A A =)( （4）矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。 ①BA AB ≠ ②;00,0===B A AB 或不能推出 ③k k k B A AB ?≠)( 4．矩阵的转置 ~ （1）定义：设矩阵A =mn ij a )(，将A 的行与列的元素位置交换，称为矩阵A 的转置，记为nm a A ji T )(=， （2）运算规律 ①;)(A A T T = ②T T T B A B A +=+)(；
一般矩阵可逆的判定 Good （11统计数学与统计学院 1111060231） 摘要：作为一张表，矩阵的运算规则具有特殊性。在运算的过程中，逆矩阵则是作为矩阵乘法的逆运算而存在的。由于矩阵乘法的逆运算仅限于方阵，故而逆矩阵又作为一项特殊的矩阵除法运算而存在。对于矩阵的运算来说，逆矩阵是不可缺少的一部分。在以线性代数为基础的研究中，逆矩阵是解决实际问题的一个最直观，最实用的工具。然而在实际研究中，并不是所有方阵都存在逆矩阵，那么对于矩阵可逆的判定就显得极其重要了。 关键字：n阶方阵A；A≠0；r A=n；?λn≠0；AB=BA=I n 0 引言 逆矩阵是矩阵乘法逆运算的结果。这个逆运算的过程被作为矩阵运算的一部分而不可或缺。对于所有矩阵而言，只有方阵中可逆的那部分才存在逆矩阵；就好像四边形一样，只有当矩形的四边相等才能被叫做正方形。然而也就是这很特殊的一小部分，它的运用却充斥着所有与线性代数相关的领域。比如：物理学，经济学，统计学，数学，社会管理学等等。对于矩阵的运算来说，逆矩阵的运算至关重要。由于矩阵在实际运用中具有的重要作用，而逆矩阵对于矩阵来说又具有重要的作用。在以矩阵为研究对象的研究过程中，研究逆矩阵也就有了很重要的意义。 对于研究逆矩阵的过程中，“什么样的矩阵才可逆？”是值得深讨的问题。就像求四边形中的正方形一样，要求正方形，最基本的前提就是：四边形必须是矩形。只有四边形满足四个内角都是90度的时候，四边形才称的上是矩形。而对于矩形来说，只有满足矩形的四条边都相等时，这样的矩形才能被称为正方形。对于矩阵可逆来说，一个矩阵要可逆，最基本的前提：必须满足矩阵的行列相等，矩阵必须是一个方阵才行。研究方阵的可逆，对于实际应用才存在实际意义。那么对于方阵来说，又需要满足什么样的条件，方阵才可逆呢？本文也就是从可逆矩阵的判定条件入手，着重分析可逆判定的充要条件。最后介绍几种常用的求解逆矩阵的方法。 1 矩阵的概念 1.0矩阵的定义 定义1：令F是一个数域，用F上的m×n个数a ij(i=1,2,?,m;j=1,2,?,n)排成m行n列的矩阵列，则称为m×n阵，也称为一个F上的矩阵，简记为A mn。 A=a11a12 a21a22 ?a1n ?a2n ?? a m1a m2 ?? ?a mn 1.1逆矩阵的定义 定义2：设A是数域F上的n阶方阵，若数域F上同时存在一个n阶方阵B,使得 AB=BA=I n 则称B是A的逆矩阵，记作：B=A?1。
§1.4 可逆矩阵 ★教学内容： 1.可逆矩阵的概念； 2.可逆矩阵的判定； 3.利用转置伴随矩阵求矩阵的逆； 4.可逆矩阵的性质。 ★教学课时：100分钟/2课时。 ★教学目的： 通过本节的学习，使学生 1. 理解可逆矩阵的概念； 2. 掌握利用行列式判定矩阵可逆以及利用转置伴随矩阵求矩阵的逆的方法； 3. 熟悉可逆矩阵的有关性质。 ★教学重点和难点： 本节重点在于使学生了解什么是可逆矩阵、如何判定可逆矩阵及利用转置伴随矩阵求逆的方法；难点在于转置伴随矩阵概念的理解。 ★教学设计： 一可逆矩阵的概念。 1.引入：利用数字乘法中的倒数引入矩阵的逆的概念。 2.定义1.4.1（可逆矩阵）对于矩阵A，如果存在矩阵B，使得AB BA E ==则称A为可逆矩阵，简称A可逆，并称B为A的逆矩阵，或A的逆，记为1 A-。 3.可逆矩阵的例子： （1）例1 单位矩阵是可逆矩阵； （2）例2 10 11 A ?? = ? ?? ， 10 11 B ?? = ? - ?? ，则A可逆； （3）例3 对角矩阵 100 020 003 A ?? ? = ? ? ?? 可逆； （4）例4 111 011 001 A ?? ? = ? ? ?? ， 110 011 001 B - ?? ? =- ? ? ?? ，则A可逆。 4.可逆矩阵的特点： （1）可逆矩阵A都是方阵； （2）可逆矩阵A的逆唯一，且1 A-和A是同阶方阵；
（3）可逆矩阵A 的逆1A -也是可逆矩阵，并且A 和1A -互为逆矩阵； （4）若A 、B 为方阵，则1 AB E A B -=?=。 二 可逆矩阵的判定及转置伴随矩阵求逆 1.方阵不可逆的例子： 例5 1100A ?? = ??? 不可逆； 例6 1224A ?? = ??? 不可逆； 2.利用定义判定矩阵可逆及求逆的方法： （1）说明利用定义判定及求逆的方法， （2）说明这种方法的缺陷； 3.转置伴随矩阵求逆 （1）引入转置伴随矩阵 1）回顾行列式按一行一列展开公式及推论 1122,0,i s i s in sn D i s a A a A a A i s =?+++=?≠?L (1,2,,)i n =L ， 1122,0,j t j t nj nt D j t a A a A a A j t =?+++=? ≠?L (1,2,,)j n =L ； 2）写成矩阵乘法的形式有： 111211121 1212221222212 120 00000n n n n n n nn n n nn a a a A A A A a a a A A A A A E a a a A A A A ?????? ? ?? ? ? ???== ? ??? ? ?? ? ?????? ? L L L L L L M M O M M M O M M M O M L L L 3）定义1.4.2（转置伴随矩阵）设ij A 式是()ij n n A a ?=的行列式中ij a 的代数余 子式，则 1121 112 22 2* 12n n n n nn A A A A A A A A A A ?? ? ? = ? ??? L L M M O M L 称为A 的转置伴随矩阵。 （2）转置伴随矩阵求逆： 1）* AA A E =； 2）定理1.4.1 A 可逆的充分必要条件是0A ≠（或A 非奇异），且
线性代数 第一章 行列式 典型例题 一、利用行列式性质计算行列式 二、按行（列）展开公式求代数余子式 已知行列式412343 344 615671 12 2 D = =-，试求4142A A +与4344A A +. 三、利用多项式分解因式计算行列式 1．计算221 1231223131 5 1319x D x -= -. 2．设()x b c d b x c d f x b c x d b c d x = ，则方程()0f x =有根_______.x = 四、抽象行列式的计算或证明 1.设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==，其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量，且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B + 2.设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且1 ||2 A = ，试计算行列式1*(3)22.A A O O A -??-??? ?
3.设A 是n 阶(2)n ≥非零实矩阵，元素ij a 与其代数余子式ij A 相等，求行列式||.A 4.设矩阵210120001A ?? ??=?? ????,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5.设123,,ααα均为3维列向量，记矩阵 123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++ 如果||1A =，那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算 六、利用特征值计算行列式 1.若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为 1111 ,,,2345 ，则行列式1||________.B E --= 2.设A 为四阶矩阵，且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-，试计算行列式*|23|.A E + 第二章 矩阵 典型例题 一、求逆矩阵 1.设,,A B A B +都是可逆矩阵，求：111().A B ---+
矩阵可逆的条件： 1 秩等于行数 2 行列式不为0，即|A|≠0 3 行向量(或列向量)是线性无关组 4 存在一个矩阵,与它的乘积是单位阵 5 齐次线性方程组AX=0 仅有零解 6 非齐次线性方程组AX=b 有唯一解 7 可以经过初等行变换化为单位矩阵，即该矩阵等价于n阶单位矩阵 8 它去左(右)乘另一个矩阵,秩不变 特征值、特征向量与可对角化条件： 定义：设A 是数域F 上n 阶矩阵，如果存在可逆阵P ，使P －１AP 为对角阵，那么A 称为可对角化矩阵。 并不是所有的n 阶矩阵都可对角化，例如，A= 就一定不可对角化，所以我们要首先讨论可对角化的条件。 数域F 上n 阶矩阵A 可对角化的充分必要条件为存在n 个数λ1 , λ2 , ... , λn F 及n 个线性无关的向量p1,p2,...，pn, 使APi = λiPi i=1,2, ...,n. 。 数域F 上n 阶矩阵A 可对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量。
特征值与特征向量的性质： （1 ）相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值、相同的迹和相同的行列式。 （2 ）如果λ是矩阵A 的一个特征值，是一个多项式，那么是矩阵多项式的一个特征值 . （3 ）如果A 是一个可逆阵，λ是A 的一个特征值，那么， 1 /λ 是A -1 的一个特征值 . （4 ）属于不同特征值的特征向量线性无关。 （5 ）对矩阵A 的每个特征值，它的几何重数一定不超过代数重数。（6 ）如果A 是一个是对称矩阵，那么它的每个特征值的几何重数与代数重数相等，从而它有个线性无关的特征向量，他一定可以对角化。
2 矩阵 矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单! 2.1 知识要点解析 2.1.1 矩阵的概念 1．矩阵的定义 由m×n 个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij 组成的m 行n 列的矩形数表 mn m m n n a a a a a a a a a A 21 22221 11211 称为m×n 矩阵，记为n m ij a A )( 2．特殊矩阵 （1）方阵：行数与列数相等的矩阵； （2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下） 三角阵； （3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵； （4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵； （5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E ； （6）零矩阵：元素全为零的矩阵。 3．矩阵的相等 设mn ij mn ij b B a A )(; )( 若 ),,2,1;,,2,1(n j m i b a ij ij ，则称A 与B 相等，记为A=B 。 2.1.2 矩阵的运算
1．加法 （1）定义：设mn ij mn ij b B A A )(,)( ，则mn ij ij b a B A C )( （2）运算规律 ① A+B=B+A ； ②（A+B ）+C =A +（B+C ） ③ A+O=A ④ A +（-A ）=0， –A 是A 的负矩阵 2．数与矩阵的乘法 （1）定义：设,)(mn ij a A k 为常数，则mn ij ka kA )( （2）运算规律 ① K (A+B ) =KA+KB , ② (K+L )A =KA+LA , ③ (KL ) A = K (LA ) 3．矩阵的乘法 （1）定义：设.)(,)(np ij mn ij b B a A 则 ,)(mp ij C C AB 其中 n k kj ik ij b a C 1 （2）运算规律 ①)()(BC A C AB ；②AC AB C B A )( ③CA BA A C B )( （3）方阵的幂 ①定义：A n ij a )( ，则K k A A A ②运算规律：n m n m A A A ；mn n m A A )( （4）矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。 ①BA AB ②;00,0 B A AB 或不能推出 ③k k k B A AB )( 4．矩阵的转置 （1）定义：设矩阵A =mn ij a )(，将A 的行与列的元素位置交换，称为矩阵A 的转置，记为nm a A ji T )( ， （2）运算规律 ①;)(A A T T ②T T T B A B A )(； ③;)(T T KA kA ④T T T A B AB )(。
典型例题（二）方阵可逆的判定 例1 设A 是n 阶方阵, 试证下列各式： （1）若0||≠A , 则T T A A )()(11--=； （2）若A 、B 都是n 阶可逆矩阵, 则* **)(A B AB =； （3）T T A A )()(**=； （4）若0||≠A , 则* 11*)()(--=A A ； （5） * 1*)1()(A A n --=-； （6）若0||≠A , 则l l A A )()(11--=（l 为自然数）； （7） * 1*)(A k kA n -=. 证 （1）因为0||≠A , 故A 是可逆矩阵, 且 E AA =-1 两边同时取转置可得 E E A A AA T T T T ===--)()()(11 故由可逆矩阵的定义可知 T A )(1-是A T 的逆矩阵. 即 1 1)()(--=T T A A （2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有 E AB AB AB ||)()(*= （2-7） 另一方面 B I A B B A A B AB A B )|(|)())((*****== E AB E B A B B A |||| ||||*=== （2-8） 比较式（2-7）、（2-8）可知 ))(()()(***AB A B AB AB = 又因为A 、B 均可逆, 所以(AB )也可逆, 对上式两端右乘1 )(-AB 可得 ***)(A B AB = （3）设n 阶方阵A 为 ?????????? ????=nn n n n n a a a a a a a a a A 2 1 2222111211 于是可得A 的伴随矩阵* A 为 ??????? ??? ????=nn n n n n A A A A A A A A A A 2122212 12111 * 注意到A 的转置矩阵为
矩阵的可逆性 摘要：本文通过由矩阵的除法引出可逆矩阵，介绍了可逆 矩阵的定义，性质，算法及其判定方法等等，之后对可逆矩阵进行了推广，还有关于广义逆的介绍。 关键词：可逆矩阵；伴随矩阵；三角矩阵；广义逆矩阵 正文： 一、逆矩阵的定义： 因为数的除法a ÷b 是：已知两数的乘积b 及其中一个因数a 求另外一个因数x ，也就是解方程ax =b 。只要能求出除数a 的倒数a ?1使aa ?1=1，则除法b ÷a 可以转化为乘法b ×a ?1。而我们联想到矩阵的运算上，对矩阵A , B ,用B “除以”A 也就是要求一矩阵X 使AX =B 。在之前的学习过程中已经了解了矩阵的乘法不满足交换律，还应考虑求另一矩阵Y 满足YA =B 。如果能找到一个A ?1满足条件A ?1A =I ，在矩阵方程AX =B 两边左乘A ?1就得到A ?1AX =A ?1B 从而X =A ?1B 。如果这个A ?1还满足条件AA ?1=I ,则A (A ?1B )=B ,X =A ?1B 就是AX =B 的唯一解。类似地，如果上述A ?1存在，可知YA =B 有唯一解Y =BA ?1。 所以给逆矩阵下一个定义：对于矩阵Ａ，如果存在矩阵Ｂ满足条件ＡＢ＝且ＢＡ＝I （表示单位矩阵），就称Ａ可逆，并且称Ｂ是Ａ的逆。表示成B=A 1- 二、矩阵可逆的等价条件: 1、A 可逆?F ∈?B ,使得I AB =;（定义法） 2、若A 可逆，则A 是方阵且0≠A ; 3、若0≠A ，则方阵A 可逆; 4、n 级矩阵A 可逆?矩阵A 的秩为n,即r(A )=n ； 5、n 级矩阵A 可逆?A 的行向量组线性无关; 6、n 级矩阵A 可逆?A 的列向量组线性无关; 7、n 级矩阵A 可逆?A 可以表示成一系列初等矩阵的乘积； 8、n 级矩阵A 可逆?A 可以经过一系列初等行变换化为I ; 9、n 级矩阵A 可逆?A 可以经过一系列初等列变换化为I ； 10、n 级矩阵A 可逆?齐次线性方程组A x=0只有唯一零解. 三、逆矩阵的性质： 1、 逆的唯一性： 假如A 可逆，那么A 的逆B 是唯一的。
? ? ? ? ? ? ? §1.4 可逆矩阵 ★ 教学内容： 1. 可逆矩阵的概念； 2. 可逆矩阵的判定； 3. 利用转置伴随矩阵求矩阵的逆； 4. 可逆矩阵的性质。 ★ 教学课时：100 分钟/2 课时。 ★ 教学目的： 通过本节的学习，使学生 1. 理解可逆矩阵的概念； 2. 掌握利用行列式判定矩阵可逆以及利用转置伴随矩阵求矩阵的逆的方法； 3. 熟悉可逆矩阵的有关性质。 ★ 教学重点和难点： 本节重点在于使学生了解什么是可逆矩阵、如何判定可逆矩阵及利用转置伴随矩阵 求逆的方法；难点在于转置伴随矩阵概念的理解。 ★ 教学设计： 一 可逆矩阵的概念。 1. 引入：利用数字乘法中的倒数引入矩阵的逆的概念。 2. 定义 1.4.1（可逆矩阵）对于矩阵 A ，如果存在矩阵 B ，使得 AB = BA = E 则称 A 为可逆矩阵，简称 A 可逆，并称 B 为 A 的逆矩阵，或 A 的逆，记为 A -1 。 3. 可逆矩阵的例子： （1） 例 1 单位矩阵是可逆矩阵； ?1 0 ? ? 1 0 ? （2） 例 2 A = 1 1 ? ， B = -1 1 ? ，则 A 可逆； ? ? ? ? ? 1 0 0 ? （3） 例 3 对角矩阵 A = 0 2 0 ? 可逆； 0 0 3 ? ? 1 1 1? ? 1 -1 0 ? （4）例 4 A = 0 1 1? ， B = 0 1 -1? ，则 A 可逆。 ? 0 0 1? 4. 可逆矩阵的特点： （1） 可逆矩阵 A 都是方阵； ? 0 0 1 ? （2） 可逆矩阵 A 的逆唯一，且 A -1 和 A 是同阶方阵；
矩阵可逆的一个充分必要条件的几种讲法 不论是在线性代数的教学中还是高等代数的教学中，矩阵的相关内容都是十分重要的。而其中矩阵可逆的部分又是要重点讲授的，因为逆矩阵在讨论研究矩阵问题时有重要作用。在矩阵可逆的这部分内容中，矩阵可逆及逆矩阵的定义是必然要介绍的，而矩阵可逆的条件中有一个充分必要条件即一个方阵可逆的充分必要条件是它的行列式不等于零是一定会讲授的，也是应用较多的，因此要求同学们一定理解掌握。 而就这一个充分必要条件不同的教师有不同的讲法，本文根据自己的体会，介绍了这一个充分必要条件的三种讲法并进行了一定的对比分析。 第一种讲法是非常常见的，很多教师都采用，特别是刚开始 教线性代数的新教师。我在第一次教这部分时也用的是这种讲法。首先介绍了矩阵可逆的定义[1]，即设A为n阶方阵，如果存在n阶方阵B,使得AB=BA=E（E是n阶单位矩阵），则称方阵A是可逆的，而B称为A的逆矩阵。在同学们知道理解了矩阵可逆及逆矩阵概念后，就引入介绍矩阵可逆的条件，我们主要介绍矩阵可逆的一个常用的充分必要条件。而为了介绍这个充分必要条件，首先需要介绍一个相关的内容，那就是伴随矩阵的相关概念[2] 。对于伴随矩阵首先介绍伴随矩阵的定义： 设矩阵A，则称矩阵为A的伴随矩阵，其中Aij是矩阵A中元素
aij 的代数余子式。 接着介绍伴随矩阵的一个重要性质：同时给出其证明：事实 上，由代数余子式的性质同理可得，所以。 这样准备工作已做好，就来讲最重要的矩阵可逆的充分必要条件。 定理（矩阵可逆的充分必要条件）矩阵 A 可逆的充分必要条 件是，且。 证明：（必要性）若，且，则，故 A 可逆且。 （充分性）若 A 可逆，，那么，因此。 以上是第一种讲法的基本过程，当然这其中还有很多教师的引导讲解，这里未体现。但这种讲法的讲授思路和顺序基本按照教材中给出的顺序来讲，其实就是直接教授给学生们概念和结论，让学生们去理解应用，缺乏探究这些结论的过程。而第二种讲法恰恰是由矩阵可逆的定义出发按照正常的推理过程得到了矩阵可逆的充分必要条件。 第二种讲法首先仍是介绍矩阵可逆的定义，接着就探究矩阵可逆的充分必要条件。探究过程如下： 由矩阵可逆的定义，要想方阵 A 可逆，首先得找出同阶方阵B,使得AB=E再看BA是否也等于E。那么我们假设A=, B=, 那么由矩阵乘法，AB的第i行第j列（i , j=1 , 2,…，n）元素应该是（1） 此时引导学生从已有知识中寻找与该问题类似或相关的内容来
《矩阵理论》第一二章 典型例题 一、 判断题 1．A n 为阶实对称矩阵，n R x 对中的列向量， ||x |A x =定义, ||x ||x 则为向量 的范数. ( ) 2．设A n 为阶Hermite 矩阵，12,,,n λλλ 是矩阵A 的特征值，则22 2 1 ||||n m i i A λ==∑ . ( ) 3. 如果m n A C ?∈，且0A ≠，()H AA AA --=, 则2||||A A n - =. ( ) 4. 若设n x R ∈，则212||||||||||||x x x ≤≤. ( ) 5. 设m n A R ?∈的奇异值为12n σσσ≥≥≥ ，则222 1 ||||n i i A σ==∑. ( ) 6. 设n n A C ?∈，且有某种算子范数||||?，使得||||1A <，则11||()||1|||| E A A --> -, 其中E 为n 阶单位矩阵. ( ) 7. 设2H A E uu =-(其中，E 为n 阶单位矩阵，2||||1n u C u ∈=且)，则2 ||||m A = ( ) 8. 设n n A C ?∈为正规矩阵，则矩阵的谱半径2()||||r A A =. ( ) 9.设n n C A ?∈可逆，n n C B ?∈，若对算子范数有1 ||||||||1A B -?<，则B A +可逆. ( ) 10. 设A 为m n ?矩阵，P 为m 阶酉矩阵, 则PA 与A 有相同的奇异值. ( ) 11. 设n n A C ?∈，且A 的所有列和都相等，则()r A A ∞ =. ( ) 12. 如果12(,,,) T n n x x x x C =∈，则1||||m in i i n x x ≤≤=是向量范数. ( ) 13. 设,n n A C ?∈则矩阵范数 m A ∞ 与向量的1-范数相容. ( ) 14、设n n A C ?∈是不可逆矩阵，则对任一自相容矩阵范数 有1I A -≥, 其中I 为单位矩 阵. ( )
【可逆矩阵判定典型例题】矩阵可逆典型例题（二）方阵可逆的判定 例1 设A是n阶方阵, 试证下列各式： （1）若|A|≠0, 则(AT)-1=(A-1)T ； （2）若A、B都是n阶可逆矩阵, 则 (AB)*=B*A* ；（3） (AT)*=(A*)T；（4）若|A|≠0, 则(A*)-1=(A-1)* ；（5） (-A)*=(-1)n-1A*；（6）若|A|≠0, 则(Al)-1=(A-1)l （l为自然数）；（7） (kA)*=kn-1A*. 证（1）因为|A|≠0,故A是可逆矩阵, 且 AA-1 =E两边同时取转置可得 (AA-1)T=(A-1)TAT=(E)T=E 故由可逆矩阵的定义可知 (A-1)T是AT的逆矩阵. 即 (A-1)T=(AT)-1 （2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有 (AB)*(AB)=|AB|E 另一方面
(B*A*)(AB)=B*(A*A)B=B*(|A|I)B =|A|B*B=|A| |B|E=|AB|E 比较式（2-7）、（2-8）可知 (AB)*(AB)=(B*A*)(AB) 又因为A、B均可逆, 所以(AB)也可逆, 对上式两端右乘(AB)-1 可得 (AB)*=B*A* （3）设 n 阶方阵A为 ?aa12 a?11 1n?A=?a??21a22 a2n?? ? ??aa? ?n1n2 ann? 于是可得A的伴随矩阵A* 为 ?AA?11 21 An1?A*=?A??12A22 An2?? ? ???AA?1n2n Ann注意到?A 的转置矩阵为 2-7）2-8）（ （ T 可推出A的伴随矩阵为 ?a11??a12
逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 1.利用定义求逆矩阵 定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且 （E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K 证明 因为E 与A 可以交换, 所以 (E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K , 因A K = 0 ,于是得 (E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ， 因此E-A 是可逆矩阵,且 (E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K . 同理可以证明(E+ A)也可逆,且 (E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K . 由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵. 例2 设 A =? ? ?? ? ???? ???0000 30000020 0010,求 E-A 的逆矩阵. 分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵. 解 容易验证
A 2 =????????? ???0000000060000200， A 3=? ? ?? ? ? ? ?? ???00000000 00006000 ， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以 (E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3= ? ? ?? ? ???????1000 31006210 6211. 2.初等变换法 求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使 （1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得： （2） s p p p Λ21I= A 1- 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-. 用矩阵表示（A I ）??? →?初等行变换 为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵. 例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=???? ? ?????521310132. 解 [A I]→??????????100521010310001132→???? ? ?????001132010310100521 → ??????????--3/16/16/1100010310100521→???? ??????-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001
哈尔滨师范大学 学年论文 题目浅谈可逆矩阵的判定、求法 学生赵怀志 指导教师高鹤讲师 年级2010级 专业数学与应用数学 系别数学与应用数学系 学院数学科学学院 哈尔滨师范大学 2012年11月
论文提要 在高等代数中矩阵占有很重要的部分,而可逆矩阵又是矩阵比较重要的一类,在多项式理论、线性方程组理论、向量空间、线性变换、二次型理论等相关理论中具有极其重要的地位，为此本文从最基本的矩阵出发阐述了可逆的定义、性质及相关的应用，体现了数学的逻辑性及严密性的特点，从整体把握可逆矩阵的思想方法，希望对大家有所帮助。
浅谈可逆矩阵的判定、求法 赵怀志 摘 要：本文主要介绍了有关可逆矩阵的定义、判定、性质、求法，。对可逆矩阵相关知识做了一个较为详尽的总结。 关键词：可逆 单位矩阵 初等变换。 1 预备知识： 定义1 由 n m ?个实数ij a 排成的一个 m 行n 列的矩形数表 A =11 1212122212 mn n n m m a a a a a a a a a ?? ? ? ? ? ?? ? 称之为 n m ? 矩阵，位置（ i ,j ）上的元素，一般用ij a 表示（强调两个足标的意义）。 矩阵可简记为n m A ?或}{ij a A =或n m ij a A ?=}{ . 特殊矩阵: 方矩阵 若 n m =，称A 为n 阶（方）矩阵，也可记作 n A . （强调矩阵的（主）对角线，） 而nn a a a ,,,2211 称之为对角元素；（反主对角线）。 当 1==n m 时，即 ()11a A =， 此时矩阵退化为一个数11a . 矩阵相等 若同型矩阵n m ij a A ?=}{和n m ij b B ?=}{在对应位置上的元素都相等 即,,,1;,,1, n j m i b a ij ij === 零矩阵 所有元素都为零的矩阵，称之为零矩阵。一般记作O ；或 n m O ? . 注意，不同型的零矩阵是不相等的。 负矩阵 设 n m ij a A ?=}{，称矩阵 }{ij a A -=- 为矩阵A 的负矩阵。 三角矩阵 设}{ij a A =是 n 阶矩阵。 1）若A 的元素满足 j i a ij >?=,0，称A 是上三角矩阵； 2）若A 的元素满足 j i a ij
山西师范大学本科毕业论文 矩阵可逆的若干判别方法 姓名郭晓平 院系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学 班级0701班 学号0751010139 指导教师宋蔷薇 答辩日期 成绩
矩阵可逆的若干判别方法 内容摘要 对线性代数和代数学而言，矩阵是一个主要研究对象和重要工具，其中可逆矩阵又是矩阵运算理论的整体不可或缺的一部分。在矩阵理论，可逆矩阵所占的地位是不可替代的，在坐标轴旋转变换公式的矩阵表示、线性变换、线性方程组等理论研究中，它均有重要意义。而且由于在许多有关数学、物理，经济的实际问题中，常常需要通过建立合适的数学模型化为线性代数和代数学等的问题，因此可逆矩阵也是解决实际问题比较常用的工具之一。鉴于可逆矩阵具有重要的理论和实践意义，研究矩阵可逆的判别方法也就相当有必要了。 本文结合所学知识并查阅相关资料，系统地整理并归纳总结了十一种矩阵可逆的判别方法及其证明过程。其中，可逆矩阵判别方法主要包括定义判别法、伴随矩阵判别法、初等变换判别法、线性方程组法、矩阵向量组的秩判别法等。另外，本文还给出了十种特殊矩阵可逆性的相关结论，最后针对这些判别方法选取了典型的例题，以便我们更好的掌握矩阵可逆的判别方法。 【关键词】矩阵逆矩阵初等变换伴随矩阵线性方程组
Some Methods for Judging Invertible Matrix Abstract The matrix is a main research subject and an important tool in linear algebra and algebra. The invertible matrix, which plays the role of the invertible number in rational numbers, is an essential part of the matrix theory. The very important status ,which the invertible matrix holds in the matrix theory ,can not be replaced. It has the important meaning for solving linear equations, linear transformation theory problems, rotating coordinate transform formula of matrix representation theory. And In solving practical problems such as mathematics, physics, economic and other fields, it is often need to establish proper mathematical models into linear algebra and algebra issues. Therefore it also is a commonly used tool, which is widely applied in practical problem. In view of the fact that the invertible matrix has important significance in both theory and practice, the study of judging invertible matrix is quite necessary. Through combining with my knowledge, referring to the relevant materials, this paper systematically organizes and summarizes eleven kinds of methods for judging invertible matrix ,which contain definition method, the adjoin matrix method, elementary transformation method, linear equations method and so on ,and the proof process. This paper also gives ten special matrix invertible conclusions. Finally, this paper selects several typical examples aiming at these discriminate methods, so that we know the methods for judging invertible matrix. 【Key Words】matrix inverse matrix elementary transformation adjoin matrix Linear equations
矩阵可逆的若干判别方法 可逆矩阵是高等代数中不可缺少的一部分，也是矩阵运算中的重要组成部分，对解决数数学问题有重大意义，学习可逆矩阵，对我们解决一些代数问题有极大的帮助。 如何判断矩阵可逆，主要有以下十一种方法。 一、 矩阵可逆的基本概念 （1）对于n 阶矩阵A ，若存在n 阶矩阵B ，使得 AB=BA=I 则称矩阵A 为可逆矩阵（或非退化或非奇异或满秩矩阵），或A 可逆，称B 为A 的 逆矩阵，记作B= A -1 。 注：若矩阵可逆，则A 的逆矩阵由A 唯一确定。 （2）矩阵A 的行秩等于列秩。 （3）矩阵A 经过一系列初等变换得到矩阵B ，则A 与B 等价。 （4）记矩阵A 中元素a ij 的代数余子式为A ij ，则A*=（A ij ）T n ×n ，我们就称A*为A 的伴随矩阵。 二、矩阵可逆的性质 （1）若矩阵A 可逆，则A 的逆矩阵A -1也可逆，且（A -1）-1 =A 。 （2）若矩阵A,B 均可逆，则矩阵AB 也可逆，且(AB) -1=B -1A -1 。 （3）若矩阵A 可逆，则A T 也可逆，且（A T ）-1=（A -1）T 。 （4）若矩阵A 可逆，λ≠0，则λA 也可逆，且(A λ)= λ 1A -1 。 （5）若矩阵A 可逆，则|A -1 |= | |1A 。 （6）矩阵A 的逆矩阵A -1 = | |*A A 。 （7）若A 为m ×n 阶矩阵，P 为m 阶矩阵，Q 为n 阶矩阵，A,P,Q 均为可逆矩阵，则有r(PAQ)=r(PA)=r(AQ)=r(A)。 三、矩阵可逆的若干判别方法 （一）定义判别法 对于n 阶方阵A ，若存在n 阶方阵B ，使得AB=BA=I,则A 可逆，且B 为A 的逆， 记为B=A -1 。 例1. 判断矩阵A=??? ? ? ??010100001 是否可逆？ 证 存在矩阵B=????? ??010100001，使得AB=BA=??? ? ? ??100010001 所以矩阵A 可逆。 注：此方法大多适用于简单的矩阵。
线性代数中的若干个充要条件 一、n 阶方阵可逆的充要条件 A 是n 阶可逆方阵 ?E BA AB ==)( ?0det ≠A （非奇异） ?n A =rank （满秩） ?A 的最高阶非零子式的阶数等于n ?E A ~（等价） ?A 的伴随矩阵*A 可逆 ?)rank()rank(B AB = ?存在n 阶可逆矩阵P ,使E AP = ?存在n 阶可逆矩阵Q ,使E QA = ?存在有限个初等方阵s i P i ≤≤1 , ,使s P P P A 21= ?0=Ax 只有零解 ?0=Ax 解空间的维数是零 ?ββ=∈?Ax R n ,总有唯一解 ?A 的行（列）向量组线性无关 ?ββ ,n R ∈?总可以由n ααα,,,21 唯一的线性表示 ?A 的特征值均不为零 实对称 A ?A 的正、负惯性指数的和n q p =+ ?A A T 是正定矩阵
?A 的行（列）向量组是n R 的一组基 ?A 的列向量组与单位向量组?????? ? ??=??????? ??=??????? ??=100,,010,00121 n εεε等价 ?A 是n R 的某两组基之间的过渡矩阵 二、β=?x A n m 有(无)解的充要条件 β=?x A n m 有（无）解 ?),rank(rank βA A = （),rank(rank βA A <） ?向量β可以（不能）被A 的列向量组n ααα,,,21 线性表示 三、β=?x A n m 有唯一（无穷多）解的充要条件 β=?x A n m 有唯一（无穷多）解 ?)(),rank(rank n n A A <==β ?A 的列向量组n ααα,,,21 线性无关，且β可以被n ααα,,,21 唯一线性表示（n ααα,,,21 线性相关，β的表示法不唯一） 四、0=?x A n m 只有零（有非零）解的充要条件 0=?x A n m 只有零（有非零）解 ?n A =rank （n <） ?A 列满秩（列亏秩）