应用留数定理计算物理学中实变函数定积分
1问题
在物理学中，研究阻尼振动时计算积分0
sin x
dx x
∞
⎰
，研究光的衍射时计算菲涅耳积分20sin()x dx ∞⎰，
在热学中遇到积分
cos (0,ax e bxdx b a ∞
->⎰
为任意实数)如果用实函数分析中的方法计算这些积分几乎不
可能。而在复变函数的积分计算中，依据留数定理，我们可以将实变函数定积分跟复变函数回路积分联系
起来。
2应用留数定理求解实变函数定积分的类型
将实变函数定积分联系于复变函数回路积分的要点如下： 1）利用自变数变换把1l 变换为某个新的复数平面上的回路； 2）另外补上一段曲线2l ，使1l 和2l 合成回路l ，l 包围着区域B ，则1l 上的()f x 延拓为B 上的()f z ，并将它沿l 积分，有
1
2
()()()l
l l f z dz f x dx f z dz =+⎰⎰
⎰ ；
3）
()l f z dz ⎰ 可以应用留数定理，1
()l f x dx ⎰
就是所求的定积分。如果2
()l f z dz ⎰较易求出（往往是证
明为零）或可用第一个积分表示出，问题就解决了.
类型一
20
(cos ,sin )R x x dx π
⎰
.被积函数是三角函数的有理式；积分区间为[0,2π].
求解方法：因为被积函数是以正弦和余弦函数为自变量，积分上下限之差为2π，可以当作定积分x 从
0变到2π，对应的复变函数积分正好沿比曲线绕行一周，实变积分化为复变回路积分就可以应用留数定理.
可以设ix
z e =,则dz izdx =∴dz dx iz
=
而1
1cos ()22ix ix e e x z z --+=
=+，11sin ()22ix ix e e x z z i i
---==- 则原积分化为111(,)2()22k z k
z z z z dz
I R i Resf z i iz π--=+-==∑⎰ 类型二
-()f x dx ∞
∞
⎰
.积分区间为（-∞,+∞）
；复变函数()f z 在实轴上有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当z 在上半平面及实轴上→∞时,()zf z 一致地→0.
求解方法：如果f(x)是有理分式()/()x x ϕψ，上述条件意味着()x ψ没有实的零点，()x ψ的次数至少
高于()x ϕ两次.
图1
如图2，计算积分lim
()R
R
R I f x dx -→∞=⎰
()()()R
R
l
R
C f z dz f x dx f z dz -=+⎰⎰
⎰
根据留数定理，
2{()}=()()R
R
R
C i f z l f x dx f z dz π-+⎰⎰在所围半圆内各奇点的留数之和
令R →∞，有
2{()}=()()R
C i f z l f x dx f z dz π∞
-∞
+⎰⎰在所围半圆内各奇点的留数之和
而
()()
()
max ()
max ()0R
R
R
C C C dz dz
R
f z dz zf z zf z zf z zf z z
z
R
ππ=
≤≤=⋅→⎰⎰
⎰
所以
()=2{()}f x dx i f z l π∞-∞
⎰
在所围半圆内各奇点的留数之和
类型三
()cos F x mxdx ∞
⎰
,
()sin G x mxdx ∞
⎰
.积分区间是[0,+∞];偶函数()F x 和奇函数()G x 在实轴
上没有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当z 在上半平面或实轴上→∞时，()F x 及()G x 一致地→0.
约当引理如m 为正数，R C 是以原点为圆心而位于上半平面的半圆周，又设当z 在上半平面及实轴上→
∞时()F x 一致地→0，则
lim ()0R
imz C R F z e dz →∞=⎰
求解方法：
00
111()cos ()()()()222imx imx imx
imx F x mxdx F x e e dx F x e dx F x e dx ∞
∞
∞∞--=+=+⎰
⎰⎰⎰
经自变量代换，上式变为
00
0111()cos ()()()222
imx imx imx F x mxdx F x e dx F x e dx F x e dx ∞
∞∞-∞-∞=
+=⎰⎰⎰⎰ 同理
1()sin ()2imx G x mxdx G x e dx i ∞∞
-∞
=⎰
⎰
由类型二可知
2{()}=()()R
imx imz C i f z l F x e dx F z e dz π∞
-∞
+⎰⎰在所围半圆内各奇点的留数之和
由约当定理
2{()}=()imx imx i F x e l F x e dx π∞
-∞
⎰在所围半圆内各奇点的留数之和
同理
2{()}=()imx
imx i G x e l G x e dx π∞
-∞
⎰在所围半圆内各奇点的留数之和
所以
