应用留数定理计算实变函数定积分

应用留数定理计算实变函数定积分留数定理是复变函数中的一个重要定理，用于计算围道中的奇点处的留数（residue），并应用于计算复变函数的积分。

但是，在实变函数中，我们也可以将留数定理应用于特定的情况下，来计算实变函数的定积分。

留数定理的基本思想是将实变函数扩展为复变函数，然后计算复变函数在久里斯曼圆中的奇点处的留数，最后应用留数定理将奇点的贡献转化为整个久里斯曼圆的贡献，从而得到实变函数的定积分。

下面我们将介绍如何应用留数定理计算实变函数的定积分。

首先，我们考虑一个一元实变函数f(x)，我们希望计算其在[x_1,x_2]区间上的定积分∫[x_1,x_2] f(x) dx。

为了将实变函数扩展为复变函数，我们可以将f(x)视为复变函数在实轴上的取值，即f(z) = f(x)，其中z = x+iy为复平面上的复数，x为实数，y为虚数。

接下来，我们将实变函数扩展为复变函数的方法是引入一个收敛的复函数F(z)，并构造一个包含[x_1,x_2]区间的有限大小圆C的闭合曲线Γ，该圆C不包含[x_1,x_2]区间上的任何奇点。

然后，我们计算复变函数F(z)在久里斯曼圆C中的奇点处的留数。

根据留数定理，F(z)在C中的奇点处的留数之和等于C中的奇点数目与围道曲线Γ绕过奇点的次数的乘积。

由于圆C的半径是有限的，其包含的奇点数量是有限的。

因此，F(z)在C中的奇点处的留数之和是有限的。

然后，我们利用留数定理的一个推论，即围道曲线Γ上的积分等于复变函数F(z)在久里斯曼圆C中的奇点处的留数之和。

具体而言，我们有∫Γ F(z) dz = 2πi * (围道圆C中的奇点处的留数之和)。

最后，我们将上述等式中的围道曲线Γ替换为两条直线的组合，一条是[x_1,x_2]区间上的水平线段，另一条是连接x_1和x_2的垂直线段。

这样，我们得到了实变函数f(x)在[x_1,x_2]区间上的定积分∫[x_1,x_2] f(x) dx = 2πi * (围道圆C中的奇点处的留数之和)。

应用留数定理计算实变函数定积分应用留数定理计算物理学中实变函数定积分1问题在物理学中，研究阻尼振动时计算积分0sin xdx x∞，研究光的衍射时计算菲涅耳积分20sin()x dx ∞?，在热学中遇到积分cos (0,ax e bxdx b a ∞->?为任意实数)如果用实函数分析中的方法计算这些积分几乎不可能。

而在复变函数的积分计算中，依据留数定理，我们可以将实变函数定积分跟复变函数回路积分联系起来。

2应用留数定理求解实变函数定积分的类型将实变函数定积分联系于复变函数回路积分的要点如下：1）利用自变数变换把1l 变换为某个新的复数平面上的回路；2）另外补上一段曲线2l ，使1l 和2l 合成回路l ，l 包围着区域B ，则1l 上的()f x 延拓为B 上的()f z ，并将它沿l 积分，有12()()()ll l f z dz f x dx f z dz =+??；3）()lf z dz ??可以应用留数定理，1()l f x dx ?就是所求的定积分。

如果2()l f z dz ?较易求出（往往是证明为零）或可用第一个积分表示出，问题就解决了.类型一20(cos ,sin )R x x dx π.被积函数是三角函数的有理式；积分区间为[0,2π].求解方法：因为被积函数是以正弦和余弦函数为自变量，积分上下限之差为2π，可以当作定积分x 从0变到2π，对应的复变函数积分正好沿比曲线绕行一周，实变积分化为复变回路积分就可以应用留数定理.可以设ixz e =,则d z izdx =∴dzdx iz=而11cos ()22ix ix e e x z z --+==+，11sin ()22ix ix e e x z z i i ---==- 则原积分化为111(,)2()22k z kz z z z dzI R i Resf z i iz π--=+-==∑?? 图1类型二-()f x dx ∞∞.积分区间为（-∞,+∞）；复变函数()f z 在实轴上有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当z 在上半平面及实轴上→∞时,()zf z 一致地→0.求解方法：如果f(x)是有理分式()/()x x ?ψ，上述条件意味着()x ψ没有实的零点，()x ψ的次数至少高于()x ?两次. 如图2，计算积分lim()RRR I f x dx -→∞=?()()()RRlRC f z dz f x dx f z dz -=+根据留数定理，2{()}=()()RRRC i f z l f x dx f z dz π-+??在所围半圆内各奇点的留数之和令R →∞，有2{()}=()()RC i f z l f x d x f z dz π∞-∞+??在所围半圆内各奇点的留数之和而()()()max ()max ()0RRRC C C dz dz Rf z dz zf z zf z zf z zf z zzR≤≤=?→?所以()=2{()}f x dx i f z l π∞-∞在所围半圆内各奇点的留数之和类型三()cos F x mxdx ∞,0()sin G x mxdx ∞?.积分区间是[0,+∞];偶函数()F x 和奇函数()G x 在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当z 在上半平面或实轴上→∞时，()F x 及()G x 一致地→0.约当引理如m 为正数，R C 是以原点为圆心而位于上半平面的半圆周，又设当z 在上半平面及实轴上→∞时()F x 一致地→0，则lim ()0Rimz C R F z e dz →∞=?求解方法：00111()cos ()()()()222imx imx imximx F x mxdx F x e e dx F x e dx F x e dx ∞∞∞∞--=+=+?经自变量代换，上式变为000111()cos ()()()222imx imximx F x mxdx F x e dx F x e dx F x e dx ∞∞∞-∞-∞=+=?同理1()sin ()2imxG x mxdx G x e dx i∞∞-∞=由类型二可知2{()}=()()Rimx imz C i f z l F x e dx F z e dz π∞-∞+??在所围半圆内各奇点的留数之和由约当定理2{()}=()imx imx i F x e l F x e dx π∞-∞在所围半圆内各奇点的留数之和同理2{()}=()imx imx i G x e l G x e dx π∞-∞在所围半圆内各奇点的留数之和所以0()cos {()}imz F x mxdx i F z e π∞=?在上半平面所有奇点的留数之和 0 ()sin {()}imx G x mxdx G x e π∞在上半平面所有奇点的留数之和实轴上有单极点的情形考虑积分-()f x dx ∞∞，被积函数()f x 在实轴上有单极点z α=，除此之外，()f x 满足类型二或类型三的条件.求解方法：由于存在这个奇点，我们以z α=为圆心，以充分小的正数ε为半径作半圆弧绕过奇点α构成如图3所示积分回路.于是()()()()()RRlRC C f z dz f x dx f x dx f z dz f z dz εαεαε--+=+++??取极限R →∞，0ε→，上式左边积分值等于2()iResf z π∑上半平面.右边第一、第二项之和即为所求积分.按类型二或类型三的条件，第三项为零. 对于第四项，计算如下：将()f z 在z α=的领域展为洛朗级数，有图3()a f z P z z αα-=+-- 其中()P z α-为级数的解析部分，它在C ε上连续且有界，因此()()()max max C C P z dz P z dz P z εεααπεα-≤-=?-??所以()0lim 0C P z dz εεα→-=?而()()01111i i C C a a a dz d z e id ia iResf z z e εε??παε?ππαααε----=-==-=---?于是()-()2()f x dx iResf z iResf ππα∞∞=+∑上半平面若实轴上有有限个单极点，则()-()2()f x dx iResf z iResf z ππ∞∞=+∑∑上半平面实轴上3应用留数定理求解物理学中实变函数的定积分（1）计算阻尼振动的狄利克雷型积分0sin xdx x∞解：由类型三，将原积分改写sin 12ixx e dx dx x i x∞∞-∞=?这个积分的被积函数ixe x除了在实轴上有单极点0x =外，满足类型三的条件.由于被积函数在上半平面无奇点，有10=1=2222ix ix e e dx z i x x πππ∞-∞??==被积函数在单极点的留数即sin =2x dx x π∞推论：对于正的m ，0sin sin ()2mx mx dx d mx x mx π∞∞==?(m ＞0)对于负的m ，0sin sin 2m x mx dx dx x x π∞∞=-=-?(m ＜0)（2）计算在研究光的衍射时菲涅耳积分2sin()x dx ∞和20cos()x dx ∞解：∵2222sin()Im ,cos()Re ix ix x e x e ==∴2210ix I iI e dx ∞+=取图4所示回路l .由于2ix e 没有有限远奇点，所以根据留数定理得20izle dz =?? 即22/42()/40()0i RRix iz i ei C Re dx e dz e d e πρπρ++=?令R →∞.222()/4/4/40lim lim()i i i i i RRR R e e d e e d e e d ρππρπρρρρ∞--→∞→∞=-=-/4(1)8i e i πππ=-=-+/4222222i R Riz ReizizC C z Re dz e dz e iziz π==+??2Riz C e dz ?而222/4102222R iR R i e e e iRe iR R R π---≤+→ （于R →∞）图4。

42留用留数定理计算实变函数定积分假设我们要计算实变函数f(x)的定积分∫abf(x)dx，我们可以将其表示为复变函数在实轴上的延拓。

具体来说，我们将f(x)定义为实轴上的复变函数f(z)，其中z=x+0i。

这样，我们就可以将实变函数的定积分转化为复变函数的积分。

然后，我们需要确定函数f(z)的奇点及其类型。

对于实变函数来说，奇点一般包括不连续点（包括可去奇点、跳跃奇点和极性奇点）以及无穷远点。

我们只需要关注有限个奇点，因为无穷远点的留数为零。

对于可去奇点，我们可以将其用幂级数展开，并去除它的主部。

这样，我们得到的复变函数在该奇点周围的展开式与原函数f(z)相同，但是去除了主部项。

对于跳跃奇点，我们可以将其用Laurent级数展开。

Laurent级数包括正幂级数和负幂级数两部分。

我们可以将原函数f(z)分解为这两部分，然后计算每一部分的积分。

对于极性奇点，我们可以将其用Laurent级数展开，并利用留数定理计算主要项的留数。

主要项是Laurent级数中的负幂级数部分，它的系数就是该奇点的留数。

我们将主要项的负幂级数部分的系数与2πi相乘，就得到了该奇点的留数。

最后，我们利用留数定理，将函数f(z)在所有有限奇点上的留数相加，再加上无穷远点的留数，就得到了定积分的值。

留数定理可以表示为以下公式：∮f(z)dz = 2πi(Res[f,a1] + Res[f,a2] + ... + Res[f,an] +Res[f,∞])其中An是函数f(z)在复平面上的所有奇点，Res[f,ai]表示函数f(z)在ai处的留数。

综上所述，利用留数定理可以计算实变函数的定积分。

只需要将实变函数表示为复变函数的形式，并确定复变函数的奇点类型，然后根据所得的展开式计算留数，最后将留数相加即可得到定积分的值。

应用留数定理计算物理学中实变函数定积分1问题在物理学中，研究阻尼振动时计算积分0sin xdx x∞⎰，研究光的衍射时计算菲涅耳积分20sin()x dx ∞⎰，在热学中遇到积分cos (0,ax e bxdx b a ∞->⎰为任意实数)如果用实函数分析中的方法计算这些积分几乎不可能。

而在复变函数的积分计算中，依据留数定理，我们可以将实变函数定积分跟复变函数回路积分联系起来。

2应用留数定理求解实变函数定积分的类型将实变函数定积分联系于复变函数回路积分的要点如下： 1）利用自变数变换把1l 变换为某个新的复数平面上的回路； 2）另外补上一段曲线2l ，使1l 和2l 合成回路l ，l 包围着区域B ，则1l 上的()f x 延拓为B 上的()f z ，并将它沿l 积分，有12()()()ll l f z dz f x dx f z dz =+⎰⎰⎰Ñ；3）()l f z dz ⎰Ñ可以应用留数定理，1()l f x dx ⎰就是所求的定积分。

如果2()l f z dz ⎰较易求出（往往是证明为零）或可用第一个积分表示出，问题就解决了.类型一20(cos ,sin )R x x dx π⎰.被积函数是三角函数的有理式；积分区间为[0,2π].求解方法：因为被积函数是以正弦和余弦函数为自变量，积分上下限之差为2π，可以当作定积分x 从0变到2π，对应的复变函数积分正好沿比曲线绕行一周，实变积分化为复变回路积分就可以应用留数定理.可以设ixz e =,则dz izdx =∴dz dx iz=而11cos ()22ix ix e e x z z --+==+，11sin ()22ix ix e e x z z i i ---==- 则原积分化为111(,)2()22k z kz z z z dzI R i Resf z i iz π--=+-==∑⎰Ñ 类型二-()f x dx ∞∞⎰.积分区间为（-∞,+∞）；复变函数()f z 在实轴上有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当z 在上半平面及实轴上→∞时,()zf z 一致地→0.求解方法：如果f(x)是有理分式()/()x x ϕψ，上述条件意味着()x ψ没有实的零点，()x ψ的次数至少高于()x ϕ两次. 如图2，计算积分lim()RRR I f x dx -→∞=⎰图1()()()RRlRC f z dz f x dx f z dz -=+⎰⎰⎰Ñ根据留数定理，2{()}=()()RRRC i f z l f x dx f z dz π-+⎰⎰在所围半圆内各奇点的留数之和令R →∞，有2{()}=()()RC i f z l f x dx f z dz π∞-∞+⎰⎰在所围半圆内各奇点的留数之和而()()()max ()max ()0RRRC C C dz dzRf z dz zf z zf z zf z zf z zzRππ=≤≤=⋅→⎰⎰⎰所以()=2{()}f x dx i f z l π∞-∞⎰在所围半圆内各奇点的留数之和类型三()cos F x mxdx ∞⎰,0()sin G x mxdx ∞⎰.积分区间是[0,+∞];偶函数()F x 和奇函数()G x 在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当z 在上半平面或实轴上→∞时，()F x 及()G x 一致地→0.约当引理 如m 为正数，R C 是以原点为圆心而位于上半平面的半圆周，又设当z 在上半平面及实轴上→∞时()F x 一致地→0，则lim ()0Rimz C R F z e dz →∞=⎰求解方法：000111()cos ()()()()222imx imx imx imx F x mxdx F x e e dx F x e dx F x e dx ∞∞∞∞--=+=+⎰⎰⎰⎰经自变量代换，上式变为000111()cos ()()()222imx imximx F x mxdx F x e dx F x e dx F x e dx ∞∞∞-∞-∞=+=⎰⎰⎰⎰同理1()sin ()2imxG x mxdx G x e dx i∞∞-∞=⎰⎰ 由类型二可知2{()}=()()Rimx imz C i f z l F x e dx F z e dz π∞-∞+⎰⎰在所围半圆内各奇点的留数之和由约当定理2{()}=()imx imx i F x e l F x e dx π∞-∞⎰在所围半圆内各奇点的留数之和同理2{()}=()imx imx i G x e l G x e dx π∞-∞⎰在所围半圆内各奇点的留数之和所以()cos {()}imz F x mxdx i F z e π∞=⎰在上半平面所有奇点的留数之和()sin {()}imx G x mxdx G x e π∞=⎰在上半平面所有奇点的留数之和实轴上有单极点的情形 考虑积分-()f x dx ∞∞⎰，被积函数()f x 在实轴上有单极点z α=，除此之外，()f x 满足类型二或类型三的条件.求解方法：由于存在这个奇点，我们以z α=为圆心，以充分小的正数ε为半径作半圆弧绕过奇点α构成如图3所示积分回路. 于是()()()()()RRlRC C f z dz f x dx f x dx f z dz f z dz εαεαε--+=+++⎰⎰⎰⎰⎰Ñ取极限R →∞，0ε→，上式左边积分值等于2()iResf z π∑上半平面.右边第一、第二项之和即为所求积分.按类型二或类型三的条件，第三项为零. 对于第四项，计算如下：将()f z 在z α=的领域展为洛朗级数，有()1()a f z P z z αα-=+-- 其中()P z α-为级数的解析部分，它在C ε上连续且有界，因此()()()max max C C P z dz P z dz P z εεααπεα-≤-=⋅-⎰⎰所以()0lim 0C P z dz εεα→-=⎰而()()01111i i C C a a a dz d z e id ia iResf z z e εεϕϕπαεϕππαααε----=-==-=---⎰⎰⎰ 于是()-()2()f x dx iResf z iResf ππα∞∞=+∑⎰上半平面若实轴上有有限个单极点，则()-()2()f x dx i Resf z iResf z ππ∞∞=+∑∑⎰上半平面实轴上3应用留数定理求解物理学中实变函数的定积分（1）计算阻尼振动的狄利克雷型积分0sin xdx x∞⎰ 解：由类型三，将原积分改写sin 12ixx e dx dx x i x∞∞-∞=⎰⎰这个积分的被积函数ixe x除了在实轴上有单极点0x =外，满足类型三的条件.由于被积函数在上半平面无奇点，有图310=1=2222ix ix e e dx z i x x πππ∞-∞⎧⎫==⋅⎨⎬⎩⎭⎰被积函数在单极点的留数 即sin =2x dx x π∞⎰推论：对于正的m ，0sin sin ()2mx mx dx d mx x mx π∞∞==⎰⎰ (m ＞0)对于负的m ，0sin sin 2m x mx dx dx x x π∞∞=-=-⎰⎰ (m ＜0)（2）计算在研究光的衍射时菲涅耳积分20sin()x dx ∞⎰和20cos()x dx ∞⎰解：∵2222sin()Im ,cos()Re ix ix x e x e ==∴2210ix I iI e dx ∞+=⎰取图4所示回路l .由于2ix e 没有有限远奇点，所以根据留数定理得20izle dz =⎰Ñ 即22/42()/40()0i RRix iz i ei C Re dx e dz e d e πρπρ++=⎰⎰⎰令R →∞.222()/4/4/40lim lim()i i i i i RRR R e e d e e d e e d ρππρπρρρρ∞--→∞→∞=-=-⎰⎰⎰/4(1)28i e i πππ=-=-+/4222222i RRiz Reiz izC C z Redz e dz e iziz π==+⎰⎰2Riz C e dz ⎰而222/4102222R iR R i e e e iRe iR R R π---≤+→ （于R →∞）2222sin 2cos 2sin 22222222R RRiz R iR R i i C C C eeedz Re id Rd iz iR eRϕϕϕϕϕϕϕ-+-=≤⎰⎰⎰2sin 221max 02424R e R R ϕππ-⎛⎫≤=→⎪ ⎪⎝⎭（于R →∞） 图4所以21(1)08I iI iπ+-+=即18Iπ=，28Iπ=（3）计算求解热传导问题的偏微分方程时遇到的积分2co0)s(,axe bx bdx a∞->⎰为任意实数解：由类型三，将原积分改写221cos2ax ax ibxe bxdx e e dx∞∞---∞=⎰⎰取如图所示回路，由于矩形区域内函数2ax ibxe-+无奇点，所以根据留数定理得20az ibzle dz-+=⎰Ñ即2222234N ax ibx az ibz az ibz az ibzN l l le dx e dz e dz e dz-+-+-+-+-+++=⎰⎰⎰⎰当N→∞时，2222234ax ibx az ibz az ibz az ibzl l le dx e dz e dz e dz∞-+-+-+-+-∞=---⎰⎰⎰⎰只要求出上式等号右边的三个积分就可以计算出2ax ibxe dx∞-+-∞⎰所以，2cosaxe bxdx∞-⎰就可以求出.四、结语留数定理是复变函数论具体应用于积分计算中的一个非常有力的工具，把难以求解的定积分和反常积分转化为留数的计算问题，且能推广留数定理在阻尼振动、菲涅耳衍射及热传导等具体物理问题所遇到的反常积分的求解上，简化了计算过程。

解析延拓246224611...(||1)1()1...(||1)||1()b z z z z zf z z z z z z f z -+-+=<+=-+-+<<↓是幂级数，在单位圆内部收敛，其和是解析函数，但在单位圆外级数发散而没有意义。

在一较小的区域上为解析函数21()1b B F z z i =+±↓在除去z=的全平面上是解析函数。

在含区域的一个较大的区域上是解析函数22|z|<1b 1F(z)f(z)1z +...(|z|<1)1z两者在较小的区域（）上等同称＝是＝－的＋解析延拓b ()F(z)Bb ().f z f z ⇒解析延拓：已给某个区域上的解析函数找出另一函数，在含有区域b 的一个较大区域上为解析函数，且在区域上等同于即解析函数定义域的扩大bB4.2 利用留数定理计算实变函数定积分留数定理的一个重要应用是计算某些实变函数的定积分。

实变函数的定义域在实轴上，而运用留数定理时需要寻找一个回路，显然在计算此类积分时需要构造一些回路。

教学重点：介绍三类实变函数定积分的计算().baf x dx a b l →⎰1积分区间[,],可看作复平面上的实轴上的一段xyo l 2121212(1)(2)B ()B (z)()()()ll l l l l l l l l f x f f z dz f x dx f z dz→−−−−→=+⎰⎰⎰ 解析延拓构造回路方法：利用自变数变换将复平面上某个新的回路补一段曲线，使＋＝回路，包围区域，则上的闭上的↓↓↓利用留数待求积分较易算出的积分定理计算 一般为0或用待求 积分表示bal 1B20(co i ,s ,s n )R x x dx ππ⎰类型一：特点：被积函数为三角函数的有理式积分区间[0,2],:0~2,11()ix ix ixixz e x z e z z dz dz d e ie dx dx izπ===−−−−−→===∴=绕原点一周回到方法：作变数代换：令则从xyo2πl 11111||11111cos (),sin ()2222I=(,)2Re (),221()(,)22ix ix ix ixk z e e e e x z z x z z i iz z z z dzR i sf z i iz z z z z f z R iz iπ------=--+-==+==-→+-=+-=⎰ 则实变函数定积分复变函数回路积分则原积分2012||1||1I=(01)1cos ,/()2212ixz z dx x dz z e dx iz dz iz dzI z z i z z πεεεεε-==<<+==∴==++++⎰⎰⎰ 例1：解：令则1122122221,21121122||122(1)()()244111112()111Res '()2222212222Re ()21z z z z z z z z z z z z z z z z f z z z z dz I i sf z i z z i εεεεεεεεεεεεϕψεεεππεεε===++++=---±--±-==-±-=∴===++-∴===++-⎰ 令＝在|z|=1内只有一个奇点，且为单极点()=2212221111|1(1)(1)111111|1z z εεεεεεεεεεεε-+---==---<=---+-==>>且||2022022222002I=(0)cos 2(01)1cos 11122()cos (1cos )1dxa a x dx x dx dx a x a a a x a aππππεεπεεεππεεεε>>+=<<+-∴===+-+-⎰⎰⎰⎰例：解：由可作为公式来用20220222023322222222233220022222I=(1)cos (01)1cos 2cos 1222(cos )2()()221(cos )1cos ()(1)dxa a x dx x dx a a x a dx aa a x a a dxadxa a x x a ππππππεεπεεππεεεππεεεε>+<<+=+--=-=-+--===++--⎰⎰⎰⎰⎰⎰例：例：（）解：在基础上两端对求微分再令，（）2201122||1||1||12||1||11I=(01)12cos 1,,cos ()22/()()122,()(1)()(1),ix ixixz z z z z dxx dz e e z e dx x z z iz dz iz idz idzI z z z z z z z z idz idzz z z z z πεεεεεεεεεεεεεεεε---=====<<-++====+--∴===+--+----+-==----∴=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 例：计算解：令则211212||11||1Res ()lim()()(1)12I=2Res ()()(1)1z z z z z i if z z z z idz i f z z z εεεεεεεεππεεε→====∴==----==---⎰ 是被积函数的两个单极点，但在内只有一个极点。