八年级数学培优辅导讲义竞赛训练导学案 分式的运算 分式的化简与求值 含答案解析

专题8 分式的运算技巧知识引入一天，数学家觉得自己受够了数学，于是他跑到消防队去宣布他想当消防员。

消防队长说：“您看上去不错，可是我得先给您一个测试.”消防队长带数学家到消防队后院小巷，巷子里有一个货栈，一只消防栓和一卷软管.消防队长问：“假设货栈起火，您怎么办？”数学家回答：“我把消防栓接到软管上，打开水龙，把火浇灭.”消防队长说：“完全正确！最后一个问题：假设您走进小巷，而货栈没有起火，您怎么办？”数学家疑惑地思索了半天，终于答道：“我就把货栈点着.”消防队长大叫起来：“什么？太可怕了！您为什么要把货栈点着？”数学家回答：“这样我就把问题化简为一个我已经解决过的问题了。

”这则笑话看起来很荒谬，但却道出了解决数学问题的重要思想，那就是转化思想，转化思想在数学中有着广泛的应用，比如在进行分式除法运算的时候，首先要运用除法法则，将除法运算转化为乘法运算，然后再解决。

知识解读1.分式乘除法运算的一般步骤：（1）利用除法法则，先将除法运算转化为乘法运算；（2）运用分式的乘法法则，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母；（3）把分式的分子、分母分别写成它们的公因式与另一因式的积的形式，如果分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解；（4）约分，得到最后的结果.2.异分母分式加减法的步骤：（1）正确地找出各分式的最简公分母；（2）准确地得出各分式的分子、分母应乘的因式；（3）通分后，进行同分母分式的加减运算；（4）公分母保持积的形式，将各分子展开；（5）将得到的结果化成最简分式。

3.正确进行分式的混合运算，需弄清以下各要点：（1）分清运算级别，按照“从高到低，从左到右，括号从小到大”的运算顺序进行；（2）将各分式的分子、分母分解因式后再进行运算；（3）遇到除法运算时，可以先化成乘法运算；（4）注意处理好每一步运算中遇到的符号；（5）最后结果要注意化简；（6）在运算过程中，每进行一步都要检验一下，不要到最后才检验。

第五讲 有条件的分式的化简与求值给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值．而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化筒后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略．解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标．又要抓住条件，既要根据目标变换条件．又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧:1．恰当引入参数；2．取倒数或利用倒数关系； 3．拆项变形或拆分变形； 4．整体代入；5．利用比例性质等． 例题求解 【例1】若a d d c cb b a ===，则dc b a dc b a +-+-+-的值是 ． (第12届“希望杯”邀请赛试题)思路点拨 引入参数，利用参数寻找a 、b 、c 、d 的关系． 注：解数学题是运用巳知条件去探求未知结论的一个过程．如何运用已知条件是解题顺畅的重要前提，对巳知条件的运用有下列途径： (1)直接运用条件； (2) 变形运用条件； (3) 综合运用条件； (4)挖掘隐含条件．在解某些含多个字母的代数式问题时，如果已知与未知之间的联系不明显，为了沟通已知与未知之间的联系，则可考虑引入一个参数，参数的引入，可起到沟通变元、消元的功能．【例2】如果11=+b a ，12=+c b ，那么ac 2+等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(2002年全国初中数学联赛武汉选拔赛) 思路点拨 把c 、a 用b 的代效式表示．【例3】已知1=xyz ，2=++z y x ，16222=++z y x ，求代数式yzx x yz z xy 212121+++++的值． (2003年北京市竞赛题)思路点拨 直接通分，显然较繁，由x+y+z=2，得z=2－x －y ，x=2－y －z ，z ＝2－x －y ，从变形分母入手．【例4】不等于0的三个数a 、b 、c 满足cb ac b a ++=++1111，求证a 、b 、c 中至少有两个互为相反数．(天津市竞赛题)思路点拨 要证a 、b 、c 中至少有两个互为相反数，即要证明(a+b)(b+c)(c+a)＝0，使证明的目标更加明确．【例5】 (1)已知实数a 满足a 2－a －1=0，求487-+a a 的值．(2003年河北省竞赛题) (2)汜知1325))()(())()((=+++---a c c b b a a c c b b a ，求ac cc b b b a a +++++的值． (“北京数学科普日”攻擂赛试题) 思路点拨 (1)由条件得a 2=a+1，11=-aa ，通过不断平方，把原式用较低的多项式表示是解题的关键．(2)已知条件是b a b a +-、cb c b +-、a c ac +-三个数的乘积，探求这三个数的和与这三个数的积之间的关系，从而求出b a b a +-+c b c b +-+ac ac +-的值是解本例的关键．学历训练1．已知032=-+x x ，那么1332---x x x = ． (2003年淄博市中考题)2．已知712=+-x x x ，则1242++x x x = ．3．若a 、b 、c 满足a+b +c=0，abc>0，且c c b b a a x ++=，y=)11()11()11(ba c a cbc b a +++++，则xy y x 32++= ． (“祖冲之杯”邀请赛试题) 4．已知43322a c c b b a -=-=+，则ba cb a 98765+-+= ．(第12届“五羊杯”竞赛题) 5．已知a 、b 、c 、d 都是正数，且d c b a <，给出下列4个不等式：①d c c b a a +>+；②dc cb a a +<+；③d c d b a b +>+；④ dc db a b +<+，其中正确的是( ) (2002年山东省竞赛题) A ．①③ B ．①④ C ．②④ D ．②③ 6．设a 、b 、c 是三个互不相同的正数，如果abb ac b c a =+=-，那么( ) A ． 3b=2c B ．3a=2b C ．2b=c D ．2a=b. (“祖冲之杯”邀请赛试题) 7．若4x —3y 一6z=0，x+2y －7z=0(xyz ≠0)，则代数式222222103225z y x z y x ---+的值等于( )．A ． 21-219- C ．－15 D ． －13. (2003年全国初中数学竞赛题) 8．设轮船在静水中速度为v ，该船在流水(速度为u <v )中从上游A 驶往下游B ，再返回A ，所用时间为T ，假设u =0，即河流改为静水，该船从A 至B 再返回B ，所用时间为t ， 则( )A ．T=tB ．T<tC ．T>tD ．不能确定T 、t 的大小关系9．(1)化简，求值：24)44122(22+-÷++--+-a a a a a a a a ，其中a 满足0122=-+a a ； (2002年山西省中考题)(2)设0=++c b a ，求abc c ac b b bc a a +++++222222222的值．10．已知xz z y y x 111+=+=+，其中x 、y 、z 互不相等，求证：x 2y 2z 2=1．11．若0≠abc ，且b ac a c b c b a +=+=+，则abca c cb b a ))()((+++= ． 12．已知a 、b 、c 满足1222=++c b a ，3)11()11()11(-=+++++ba c c abc b a ，那么 a+b+c 的值为 ． 13．已知1=+y x xy ，2=+z y yz ，3=+xz zx，则x 的值为 ． 14．已知x 、y 、z 满足41=+y x ，11=+z y ，371=+x z ，则xyz 的值为 ． (2003年全国初中数学竞赛题)15．设a 、b 、c 满足abc ≠0，且c b a =+，则abc b a ca b a c bc a c b 222222222222-++-++-+的值为A ．－1B ．1C ．2D ．3 (2003年南通市中考题) 16．已知abc=1，a+b+c=2，3222=++c b a ，则111111-++-++-+b ca a bc c ab 的值为( ) A ．－1 B ．21-C ．2D ．32- (大原市竞赛题) 17．已知—列数1a 、2a 、3a 、4a 、5a 、6a 、7a ，且1a =8，7a =5832，766554433221a a a a a a a a a a a a =====，则5a 为（ ） A ．648 B ． 832 C ．1168 D ．194418．已知0199152=--x x ，则代数式)2)(1(1)1()2(24----+-x x x x 的值为( )A ．1996B ．1997C ．1998D ．1999 19．（1）已知ac b =2，求)111(333333222cbacb ac b a ++⋅++的值；(2)已知x 、y 、z 满足1=+++++y x z x z y z y x ，求代数式yx z x z y z y x +++++222的值． (2002年北京市竞赛题)20．设a 、b 、c 满足c b a c b a ++=++1111，求证：当n 为奇数时，n n n n n n cb ac b a 1111++=++ (波兰竞赛题)21．已知012=--a a ，且1129322322324-=-++-axa a xa a ，求x 的值． (2000年上海市高中理科班招生试题)22．某企业有9个生产车间，现在每个车间原有的成品一样多，每个车间每天生产的成品也一样多，有A，B两组检验员，其中A组有8名检验员，他们先用2天将第一、第二两个车间的所有成品(指原有的和后来生产的)检验完毕后，再检验第三、四两个车间的所有成品，又用去了3天时间，同时，用这5天时间，B组检验员也检验完余下的5个车间的所有成品．如果每个检验员的检验速度一样快，每个车间原有的成品为a件，每个车间每天生产b件成品．(1)试用a、b表示B组检验员检验的成品总数；(2)求B组检验员的人数．(2001年天津市中考题) 答案：。

第15章分式的计算与化简求值 人教版八年级上册数学讲义一、内容复习1、最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．2、通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．通分的关键是确定最简公分母．①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积．通分：，．二、知识点一 分式的乘、除法法则【知识梳理】1. 分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，用式子表示为b a ·d c =bdac . 2. 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子表示为b a ÷d c =b a ·c d =bcad . 【提醒】1. 分式与分式相乘，若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简分式；若分子、分母是多项式，先把分子、分母分解因式，看能否约分，然后再相乘.2.当整式与分式相乘时，要把整式(看做是分母为1的式子)与分式的分子相乘作为积的分子，分式的分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，看能否约分，然后再相乘.3.分式的除法运算可以转化为分式的乘法运算，若除式(或被除式)是整式时，可以看做是分母是1的式子，然后按照分式除法法则计算.4.分式的乘除运算结果要通过约分化为最简分式(分式的分子、分母没有公因式)或整式的形式.5.分式的乘除混合运算，如果没有其他附加条件(如括号等)，则应按照由左到右的顺序进行计算.【例题精讲】例1、计算2x 3÷的结果是（ ）A ．2x 2B ．2x 4C ．2xD ．4【分析】原式利用除法法则变形，计算即可得到结果．【解答】解：原式=2x 3•x=2x 4，故选：B ．【强化练习】1、（1）x m 86·m x 32 （2）3ab 2÷ab 62、化简的结果是（ ）A ．B ．C ．D ．知识点二 分式的乘方法则【知识梳理】分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。

八年级数学培优（一）分式的运算及分式方程班级姓名【知识精读】1. 分式的乘除法法则a bcdacbd ⋅=；a bcdabdcadbc ÷=⋅=当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。

2. 分式的加减法（1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。

求最简公分母是通分的关键，它的法则是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。

（2）同分母的分式加减法法则a cbca bc ±=±（3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。

3. 分式乘方的法则()a babnnn=（n为正整数）4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。

学习时应注意以下几个问题：（1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；（2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式；（3）运算中及时约分、化简；（4）注意运算律的正确使用；（5）结果应为最简分式或整式。

5.关于分式方程（1）分式方程的定义；（2）解分式方程的基本思想方法；（3）解分式方程的一般方法和步骤；（4）分式方程的增根问题：a.产生增根的原因是 。

验根的方法是 。

（5）列分式方程解应用题的步骤： 。

下面我们一起来学习分式的四则运算。

【分类解析】例1：计算： 12442222+--÷--+n m m n m n m mn n解：原式=---⋅-+-1222m n m n m n m n m n ()()()4 =--+=+-++=+1223m nm nm n m n m nn m n 说明：分式运算时，若分子或分母是多项式，应先因式分解。

例2：（分式通分的六大技巧）（1）逐步通分：（2）整体通分:（3）分组通分（4）分解简化通分:（5）列项相消：（6）活用乘法公式：例3、已知：M x y xy y x yx y x y 222222-=--+-+，则M =_________。

分式的化简 求值 与证明考点•方法•破译1. 分式的化简、求值先化简，后代入求值是代数式化简求值问题的基本策略，有条件的化简求值题，条件可直接使用，变形使用，或综合使用，要与目标紧紧结合起来；无条件的化简求值题，要注意挖掘隐含条件，或通过分式巧妙变形，使得分子为0或分子与分母构成倍分关系特殊情况，课直接求出结果.2. 分式的证明证明恒等式，没有统一的方法，具体问题还要具体分析，一般分式的恒等式证明分为两类：一类是有附加条件的，另一类是没有附加条件的，对于前者，更要善于利用条件，使证明简化.经典•考题•赏析【例1】先化简代数式(11x x -+＋221x x -)÷211x -,然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值.【解法指导】本题化简并不难，关键是x 所取的值的选择，因为原式的分母为：x ＋1，x 2－1，要是原式有意义，则x ＋1≠0且x 2－1≠0故x ≠1，因而x 可取的值很多，但不能取x ≠1解：(11x x -+＋221x x -)÷211x - ＝[2(1)(1)(1)x x x -+-＋2(1)(1)x x x +-]·(x ＋1)(x －1)＝(x －1)2＋2x ＝x 2＋1 当x ＝0时，原式＝1． 【变式题组】01．先化简，再求值222366510252106a a a a a a a a--+÷•++++，其中a ＝.02．已知x ＝2,y ＝22211x y x y x y x y xy ⎛⎫⎛⎫+--•- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭的值03．先化简：222a b a ab --÷(a ＋22ab b a+)，当b ＝－1时，请你为a 任选一个适当的数代入求值.04.先将代数式(x －1x x +)÷(1＋211x -)化简，再从－3＜x ＜3的范围内选取一个合适的整数x 代入求值.【例2】已知1x＋1y ＝5，求2322x xy y x xy y -+++的值.【解法指导】解法1：由已知条件115x y+=，知xy ≠0.将所求分式分子、分母同除以xy ，用整体代入法求解.解法2：由已知条件1x＋1y ＝5，求得x ＋y ＝5xy ，代入求值. 解：方法1：∵1x＋1y ＝5，，∴x ≠0,y ≠0，xy ≠0将待求分式的分子、分母同除以xy . 原式＝(232)(2)x xy y xy x xy y xy -+÷++÷＝112()311()2x y x y+-++＝2552⨯+＝1．方法2：由1x＋1y ＝5知x ≠0,y ≠0，两边同乘以xy ，得x ＋y ＝5xy 故2322x xy y x xy y -+++＝2()()2x y x y xy +++＝25352xy xy xy xy ⨯-⨯+＝77xy xy＝1．【变式题组】 01．（天津）已知1a －1b ＝4，则2227a ab ba b ab---+的值等于（ ） A ．6 B ．－6 C ． 215 D ． 27-02．若x ＋y ＝12，xy ＝9,求的22232x xy yx y xy+++值.03．若4x －3y －6z ＝0,x ＋2y －7z ＝0,求22222223657x y z x y z ++++的值.【例3】（广东竞赛）已知231xx x -+＝1，求24291x x x -+的值. 【解法指导】利用倒数有时会收到意外的效果.解：∵2131x x x =-+∴231x x x -+＝1∴x －3＋1x ＝1∴x ＋1x ＝4. 又∵42291x x x -+＝x 2－9＋21x ＝(x －1x )2－11＝16－11＝5. ∴24291x x x -+＝15. 【变式题目】01．若x ＋1x＝4，求2421x x x ++的值.02．若a 2＋4a ＋1＝0，且4232133a ma a ma a++++＝5求m .【例4】已知ab a b +＝13，bc b c +＝14，ac a c +＝15，求abcab ac bc++的值. 【解法指导】将已知条件取倒数可得a b ab +＝3，b c bc +＝4，a cac+＝5，进而可求111a b c++的值，将所求代数式也取倒数即可求值. 解：由已知可知ac 、bc 、ab 均不为零，将已知条件分别取倒数，得345a babb c bca cac+⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩，即113114115a b c b a c ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ 三式相加可得1a ＋1b ＋1c ＝6，将所求代数式取倒数得ab ac bc abc ++＝1a ＋1b ＋1c ＝6，∴abc ab ac bc ++＝16.【变式题组】 01．实数a 、b 、c 满足：ab a b +＝13，bc b c +＝14，ac a c +＝15，则ab ＋bc ＋ac ＝ . 02．已知xy x y +＝2，xzx z+＝3，yz y z +＝4，求7x ＋5y －2z 的值.【例5】若a b c +＝c b a +＝a c b +，求()()()a b c b a c abc+++的值. 【解法指导】观察题目易于发现，条件式和所求代数式中都有a ＋b ,c ＋b ,a ＋c 这些比较复杂的式子，若设a b c +＝c b a +＝a cb+＝k ，用含k 的式子表示a ＋b ,c ＋b ,a ＋c 可使计算简化. 解：设a b c +＝c b a +＝a c b+＝k ，则a ＋b ＝ck ,c ＋b ＝ak ,a ＋c ＝bk ，三式相加，得2(a＋b ＋c )＝(a ＋c ＋b )k .当a ＋b ＋c ≠0时，k ＝2；当a ＋b ＋c ＝0时，a ＋b ＝－c ，1a bc+=-，∴k ＝－1．∴当k ＝2时，()()()a b c b a c abc +++＝k 3＝8；当k ＝－1时，()()()a b c b a c abc+++＝k3＝－1．【变式题组】01．已知x 、y 、z 满足2x＝3y z -＝5z x +，则52x y y z -+的值为（ ） A ．1 B ． 13 C ． 13- D ． 1202．已知a 、b 、c 为非零实数，且a ＋b ＋c ≠0，若a b c c +-＝a b c b -+＝a b ca-++，求()()()a b b c c a abc+++的值.【例6】已知abc ＝1，求证：1a ab a ++＋1b bc b ++＋1cac c ++＝1【解法指导】反复整体利用，选取其中一个的分母不变，将另外两个的分母化为与它的分母相同再相加.证明：∵1a ab a ++＝a ab a abc ++＝11b bc ++1c ac c ++＝c ac c abc ++＝11a ab ++＝abc a abc ab ++＝1cbbc b++∵1a ab a ++＋1b bc b ++＋1c ac c ++＝11bc b ++＋1b bc b ++＋1bc bc b ++＝1 【变式题组】01．已知1a b +＝1b c +＝1c a+,a ≠b ≠c 则a 2＋b 2＋c 2＝（ ） A ．5 B ． 72 C ．1 D ． 1202．已知不等于零的三个数a b c 、、满足1111a b c a b c++=++.求证：a 、b 、c 中至少有两个数互为相反数.03．若：a 、b 、c 都不为0，且a ＋b ＋c ＝0，求222222222111b c a c a b a b c+++-+-+-的值.演练巩固 反馈提高01．已知x －1x＝3，那么多项式x 3－x 2－7x ＋5的值是（ ） A ．11 B ．9 C ．7 D ． 5 02．若M ＝a ＋b ,N ＝a －b ,则式子M N M N +-－M NM N-+的值是（ ）A ． 22a b ab -B ． 222a b ab -C ． 22a b ab+ D ． 003．已知5x 2－3x －5＝0，则5x 2－2x －21525x x --＝ . 04.设a ＞b ＞0,a 2＋b 2－6ab ＝0，则a b b a+-＝ .05.已知a ＝1＋2n ,b ＝1＋12n ，则用含a 的式子表示b 是 .06. a ＋b ＝2,ab ＝－5,则b aa b+＝ .07.若a ＝534-⎛⎫- ⎪⎝⎭,b ＝－534⎛⎫ ⎪⎝⎭,c ＝534-⎛⎫⎪⎝⎭，试把a 、b 、c 用“＜”连接起来为 .08.已知1n m -⎛⎫⎪⎝⎭＝53，求的222m m n m n m n m n +-+--值为 . 09.若2x ＝132,13y⎛⎫⎪⎝⎭＝81，则x y 的值为 .10.化简24322242c b c b a b a ca -⎛⎫⎛⎫⎛⎫•-÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为 .11．先化简，再求值：221122x y x y x x y x +⎛⎫--+ ⎪+⎝⎭，其中x,y ＝3．12．求代数式的值：222222144x x x x x x -++÷--，其中x ＝2.13．先化简，再求值：22121124x x x x ++⎛⎫-÷⎪+-⎝⎭，其中x ＝－3．14.已知：2352331x A Bx x x x -=+---+，求常数A 、B 的值. 15.若a ＋1a ＝3,求2a 3－5a 2－3＋231a +的值.培优升级 奥赛检测01．若a b ＝20,b c ＝10，则a b b c++的值为（ ） A ． 1121 B ． 2111C ． 11021D ． 2101102．已知x ＋y ＝x －1＋y －1≠0，则xy 的值为（ ）A ． －1B ． 0C ． 1D ． 203．已知x ＋1x ＝7(0＜x ＜1)的值为（ ） A ． －7 B ．－5 C ． 7 D ． 5 04.已知正实数a 、b 满足ab ＝a ＋b ，则b aab a b+-=（ ） A ． －2 B ．12 C ． 12- D ． 2 05.已知1a －a ＝1，则1a＋a 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．1 06.已知abc ≠0，并且a ＋b ＋c ＝0，则a (1b ＋1c )＋b (1a ＋1c )＋c (1b ＋1a)的值为（ ） A ． 0 B ． 1 C ． －1 D ．－3 07.设x 、y 、z 均为正实数，且满足z x y x y y z z x<<+++，则x 、y 、z 三个数的大小关系是（ ）A ． z ＜x ＜yB ． y ＜z ＜xC ． x ＜y ＜zD ． z ＜y ＜x08.如果a 是方程x 2－3x ＋1＝0的根，那么分式543226213a a a a a-+--的值是 .09.甲乙两个机器人同时按匀速进行100米速度测试，自动记录表表明：当甲距离终点差1米，乙距离终点2米；当甲到达终点时，乙距离终点1．01米，经过计算，这条跑道长度不标准，则这条跑道比100米多 . 10.若a ＋1b ＝1,b ＋1a ＝1，求c ＋1a的值.11．已知a 、b 、c 、x 、y 均为实数，且满足ab +a b ＝341-x y ,+bc b c ＝31x ,+cac a＝341+x y ,++abc ab bc ca ＝112(y )（其中）求x 的值.12．当x 分别取值12009,12008,12007, (1)2，1,2，……2007,2008,2009时，分别计算代数式221-1+x x的值，将所得的结果相加，其和是多少？13．在一列数x 1,x 2,x 3…中，已知x 1＝1，且当k ≥2时，x k ＝x k －1＋1－4([14k -－24k -])（取整符号[a ]表示不超过实a 数的最大整数，例如[2．6]＝2,[0.2]＝0）求x 2010的值.14. 已知对于任意正整数n ，都有a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 3，求211a -＋311a -＋…＋10011a -的值.。

分式培优训练含答案专训一：分式求值的方法分式的求值是数学方法运用的考查，既要突出式子的化简计算，又要灵活选用方法。

常见的分式求值方法有设参数求值、活用公式求值、整体代入法求值、巧变形法求值等。

直接代入法求值需要先化简，再代入参数求值，例如题目a＋2a÷(a＋1)(a－1)+2/(a－1)，其中a＝5.活用公式求值需要熟悉公式，例如题目x2－5x＋1＝(x2＋3xy＋y2)/(2xy)，求x4＋(x4)/(x2＋3xy＋y2)的值。

整体代入法求值需要将分式整体代入，/(x2y2z2)+4/(x+y+z)＝1，且x＋y＋z≠0，求(x+y)/(z+x)+y/(z+y)的值。

巧变形法求值需要巧妙变形，例如题目4x2－4x＋1＝1/(2x)，求2x＋(2x)/(4x2－4x＋1)的值。

设参数求值需要设定参数，例如题目x2－y2＋/(xy＋yz＋xz)＝2/3，y＋z/x＋z＋x＋y＝4/3，求x/y的值。

专训二：六种常见的高频考点本章主要考查分式的概念、分式有意义的条件、分式的性质及运算，考试中题型以选择题、填空题为主，分式的化简求值主要以解答题的形式出现。

分式方程是中考必考内容之一，一般考查解分式方程，并要求会用增根的意义解题。

考题常以解答题的形式出现，有时也会出现在选择题和填空题中。

分式的概念是指由两个整式相除得到的表达式，分式有意义的条件是分母不能为0.选择题和填空题常考查分式的有、无意义条件。

分式的基本性质包括分式的加减乘除和约分，考试中常以选择题和填空题的形式出现。

1.4x^2 - 2x + 12.分式的有关运算3.下列运算中，正确的个数是(2)4.m^4n^4m^2/n^3 = mnx-y/11 ÷(y-x)/22 = -2mn/(m-n) = n/(m-n)a-b)/(a-2) = 1/25.a-21/2 + 34/a-16.10.计算：(a+1)/(a-2) ÷ 1/(a-1) 的结果是 (B) a-1/a+111.计算：-1/(a+2) + 2/(a^2+2a+2) = -a^2+1/a^2+2a+212.化简：1/(m+1) - 1/(m+2) = -1/(m^2+3m+2)13.(1) (2a^2+2a)/(a-1)^2 + (a-4a^4)/(a-1+a) = (2a^2-2a)/(a-1)2) x^2+2x(1-1/x)/(x-1) = (x+1)/(x-1)选x=3，原式的值为 10/314.先化简：(x^2-1)/(x-1) = x+1整数指数幂15.下列计算正确的是 (B) x^2/x^6 = x^-416.下列说法正确的是 (A) -1/2 + 2 = 3/217.计算(π-3) + (-2)^3 = -1+8 = 718.由2×10^5个直径为5×10^-5cm的圆球体细胞排成的细胞链的长是 5cm19.分式方程 (x+2a)/(x-13) = x-3/(x-3)20.若关于x的方程 (x-1)/(x-2) = 1/a+1 的解为x=3，则a 等于 (C) -221.解分式方程：(x-2)/(x-1) + 1/(x-2) = 1/x，得到 x=322.2x+1/x-3 = 1，得到 x=11.解：原式 = [a/(a+1) + 2/(a-1) - 12/(a+1)(a-1)]，化简后得到 (3a+1)/(a+1)，再代入a=5，得到原式的值为 2/3.2.解：由 x^2 - 5x + 1 = 0，解出x = (5 + √21)/2，代入 x + 1/x = 5，得到 x^2 + 1/x^2 = 23，代入原式，化简得到 (x^2 + 3)/(x^4 + 1) - 2 = 527/4.3.解：将分子化简得到 xy(x+y)/(x+y)^3，代入 x+y=12，xy=9，得到原式的值为 1/8.4.解：将等式两边同时乘以 (x+y+z)，化简得到(xy+yz+zx)/(xyz) + 1 = (x+y+z)/(x+y)(y+z)(z+x)，代入已知条件，化简得到 (x+y+z)/(xy+yz+zx) = 0，所以原式的值为 0.5.解：将等式移项得到 4x^2 - 4x + 1 = 0，化简得到 (2x-1)^2 = 0，解得 x = 1/2，代入原式得到 2.6.解：设k ≠ 0，代入已知条件，解出 x = 2k，y = 3k，z = 4k，代入原式化简得到 2.1.B2.A3.A4.B2.(答案不唯一) a+1/(x+y+z) + y(x+y+z)/(z+x) =(a(x+y+z)+y(x+y+z))/(z+x) = (ax+ay+yz+y^2+z^2)/(z+x)3.26.D4.删除此段落5.解：(1) 原式 = (a+2)(a-2)a+2/[(a-2)(2a-2)] = (a+2)/2(a-2) - 1/(a-2) = (a^2-2)/2(a-2) = -3/2 (a=0) (2) 原式 = (x-11)/[(x-1)(2x-1)] = -1/(2x-1) + 3/(x-1) = (4x-3)/(2x-1)(x-1)6.删除此段落7.解：(1) 最简公分母是15m^2n^2.840n/39m * 2/5mn^2 = -8/13m^2n (2) 最简公分母是(a+1)^2(a-1)。

人教版初二数学培优和竞赛二合一讲炼教程12、分式方程及其应用【知识精读】1. 解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程。

2. 解分式方程的一般步骤：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。

3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得的解是否为原方程的根，以及是否符合题意。

下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。

【分类解析】例1. 解方程：x x x 1211 分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根解：方程两边都乘以()()x x 11，得x x x x x x x x x 22221112123232 ()()()，即，经检验：是原方程的根。

例2. 解方程x x x x x x x x 12672356 分析：直接去分母，可能出现高次方程，给求解造成困难，观察四个分式的分母发现()()()()x x x x 6723与、与的值相差1，而分子也有这个特点，因此，可将分母的值相差1的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式的等值性质求值。

解：原方程变形为：x x x x x x x x 67562312 方程两边通分，得167123672383692()()()()()()()()x x x x x x x x x x 所以即 经检验：原方程的根是x 92。

例3. 解方程：121043323489242387161945x x x x x x x x 分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。

解：由原方程得：3143428932874145x x x x 即2892862810287x x x x于是，所以解得：经检验：是原方程的根。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！专题01运算能力课之分式的化简求值综合专练（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．（2021·山西八年级期末）先化简：221a a +-÷（a ＋1）＋22121a a a --+，然后让a 在－1、1、5三个数中选一个合适的数代入求值．【答案】31a a +-；当a ＝5时，原式值为2【分析】先化除法为乘法，然后利用提取公因式、完全平方公式、平方差公式进行因式分解，通过约分对已知分式进行化简，最后代入求值．【详解】解：原式()()()()221111213111111a a a a a a a a a a a ++-++=´+=+=-+----由题意可知：21010210a a a a -¹ìï+¹íï-+¹î解得a ≠±1． 所以当a ＝5时，原式＝5325-1+=．【点睛】本题考查了分式的化简求值．分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．就本节内容而言，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．2．（2021·辽宁阜新市·八年级期末）（1）因式分解：22()9()a x y b y x -+-．（2）解不等式组10213(1)x x x ì-<ïíï-£+î．（3）先化简，再求值：2244111x x x x x x -+æö+¸ç÷---èø，其中5x =．【答案】（1）()(3)(3)x y a b a b --+；（2）22x -£<；（3）11,23x -【分析】（1）先提公因式，再用公式法因式分解；（2）分别解不等式①②，再求不等式组的解集；（3）先化简分式，再将x 的值代入求解【详解】（1）原式()2222()9()()9a x y b x y x y a b =---=--()(3)(3)x y a b a b =--+（2）10213(1)x x x ì-<ïíï-£+î①②由①得，2x <，由②得，2x ³-，∴原不等式组解集为22x -£<．（3）原式2211(2)x x x x --æö=´ç÷--èø2(2)(1)1(2)x x x x ----=´--12x =-当5x =时，原式11523==-．【点睛】本题考查了多项式的因式分解，解一元一次不等式组，分式的化简求值，熟练运用以上知识是解题的关键．3．（2021·甘肃）先化简，再求值：22242244x x x x x -æö-¸ç÷--+èø，请在2-、0、2中选择一个适合的x 的值，代入求值．【答案】42x -+；-2【分析】把括号内通分，把除法转化为乘法约分化简，然后取一个使原分式有意义的数代入计算．【详解】解：原式2224244224x x x x x x x --+æö=-×ç÷---èø2242(2)2(2)(2)x x x x x x ---æö=×ç÷-+-èø24(2)(2)(2)(2)x x x x --=×-+-42x =-+，∵当x =2或-2时原分式无意义，∴x =0，∴原式4202=-=-+．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．4．（2021·安徽七年级期末）先化简，再求值：25(3)(222x x x x +--¸++，其中x ＝4．【答案】33x x -+，17【分析】先算括号内的减法，同时把除法变成乘法，再算乘法，最后代入求出答案即可．【详解】解：25(3)(222x x x x +--¸++＝2(2)(2)522(3)x x x x x -+-+++g 2292=2(3)x x x x -+++g ()()2332=2(3)x x x x x +-+++g 3=3x x -+，当x ＝4时，原式＝4343-+＝17．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则，正确进行化简是解题关键．5．（2021·安徽七年级期末）先化简，再求值：21(1)11x x x x --¸++，其中x 是16的算术平方根．【答案】11x --，1-3．【分析】先求出x 的值，再运用分式的四则混合运算法则进行化简，将x 的值代入计算即可．【详解】解：4，∴x ＝4．21(1)11x x x x --¸++＝111()11(1)x x x x x x ++-×++-＝11(1)x x x x x +-×+-＝11x --．当x =4时，原式＝11x --＝11413-=--．【点睛】本题主要考查了算术平方根、分式的化简求值，正确的运用分式的四则混合运算法则进行化简是解答本题的关键．6．（2021·安徽七年级期末）观察以下等式：①111112212-==´；②111123623-==´；③1111341234-==´…，按以上规律解决下列问题：（1）第⑤个等式是 ．（2）探究：111122334++´´´…+1(1)n n ´+＝ （用含的等式表示）；（3）计算：若111133557++´´´+…1(21)(21)n n -´+＝1633，求n 的值．【答案】（1）1115656-=´；（2）1n n +；（3）16【分析】（1）根据规律写出第5个等式即可；（2）根据规律裂项相消即可；（3）根据（2）的规律整理出n 的方程，解出n 值即可．【详解】解：（1）根据规律可知，第⑤个等式是1115656-=´故答案为：1115656-=´；（2）由规律可得，()1111111111111223341223341n n n n ++=-+-+-++-´´´´++L L 111n =-+1nn =+故答案为：1n n +；（3）∵11111323æö=-ç÷´èø，111135235æö=-ç÷´èø，111157257æö=-ç÷´èø∴可以得到()()1111212122121n n n n æö=-ç÷-´+-+èø∴()()11111335572121n n ++´´´-´+1111111112335572121n n æö=-+-+-++-ç÷-+èøL 111221n æö=-ç÷+èø21n n =+∵()()111116133557212133n n ++=´´´-´+∴162133n n =+解得n ＝16，经检验n ＝16，是该分式方程的解，故n 的值为16．【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，利用规律化简分式是解题的关键.7．（2021·山东八年级期末）先化简再求值：2222a b ab b b a ab æö+--¸ç÷èø，已知4a b =-．【答案】2a b -，-2【分析】先将括号内两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把4a b =-代入计算即可就求出值．【详解】解：原式222=()22()a b ab ab a a b a b +-×-2()2a b a a a b-=×-2a b -=． ∵4a b =-，∴a -b =-4．∴原式=-2．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．8．（2021·无锡市天一实验学校八年级期中）先化简再求值：23331111x x x x x -¸--++，其中2x =-．【答案】()11x x +，12【分析】先把除法化为乘法，再进行约分，然后算分式的减法，再代入求值，即可求解．【详解】解：原式=()3(1)111(1)31x x x x x x -+×-+-+=111x x -+=()()111x x x x x x +-++=()11x x +，当x =-2时，原式=()1221-´-+=12．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的约分和通分是解题的关键．9．（2021·安徽）先化简，再求值（1﹣22221m m m +++）÷（11m -），其中m ＝2．【答案】1m m +，23【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把m 的值代入计算即可．【详解】解：22211121m m m m +æöæö-¸-ç÷ç÷++èøèø222122121m m m m m m m æö++---æö=¸ç÷ç÷++èøèø221121m m m m m æö--=¸ç÷++èø()()()21111m m mm m +-=-+g 1mm =+把2m =代入上式中原式221213m m ===++【点睛】本题考查分式的化简求值．注意运算顺序和约分法则．还需注意分式的分母不能为0．10．（2021·云南）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．229216926x x x x x -+-+++ 2(3)(3)21(3)2(3)x x x x x +-+=-++ 第一步32132(3)x x x x -+=-++ 第二步2(3)212(3)2(3)x x x x -+=-++ 第三步26(21)2(3)x x x --+=+ 第四步26212(3)x x x --+=+ 第五步526x =-+ 第六步任务一 填空 在以上化简步骤中，其中有一步是根据分式的基本性质：“分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，”对分式进行通分．这是第__________步；任务二 订正 请写出该分式化简的正确过程；任务三 求值 当114x -æö=ç÷èø时，求该分式的值．【答案】任务一：三；任务二：见解析；任务三：12-【分析】任务一：根据分式的基本性质即可判断；任务二：依据分式的加减运算法则计算可得；任务三：将x 的值化简代入计算即可．【详解】解：任务一：以上化简步骤中，第三步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质，故答案为：三；任务二：解：原式2(3)(3)21(3)2(3)x x x x x +-+=-++32132(3)x x x x -+=-++2(3)212(3)2(3)x x x x -+=-++26(21)2(3)x x x --+=+ 26212(3)x x x ---=+ 726x =-+．任务三：解：当11()44x -==时，原式71=2462=--´+．【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式的基本性质．11．（2021·苏州市景范中学校九年级二模）先化简，再求值：2222(1)32111x x x x x x x x ++-¸--+--，其中1x =+．【答案】31x -【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将x 的值代入原式即可求出答案．【详解】解：原式=22(1)(1)3(1)(1)(1)1x x x x x x x x ++-¸--+--=22(1)(1)(1)3(1)(1)1x x x x x x x x ++--´--+-=311x x x x ----=31x x x -+-=31x -；当1x =时，原式=【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．12．（2021·山东）化简和化简求值（1）21(11a a a a+¸--；（2）先化简2221(21)11x x x x x x -+¸++-+，再从-1，0，1中选择合适的x 值代入求值．【答案】（1）a -（2）11x -；当0x =时，原式1=-【分析】（1）先将括号里通分计算，再算除法；（2）先运用通分法则计算括号内部分，然后将除法转换为乘法计算化简后，挑一个使分式有意义的值代入计算即可．【详解】解：（1）原式11=(+)11(1)a a a a a a -¸---1(1)1a a a ´--=a =-；（2）原式2221(1)()11(1)(1)x x x x x x x -+=-+++-g 1111x x x +=+-g ，11x =-，由分式可知：1x ¹±，当0x =时，原式1=-．【点睛】本题主要考查分式的化简求值以及分式有意义的条件，熟练掌握分式的混合运算法则是解答本题的关键．13．（2021·江苏八年级期末）化简或解方程：（1）化简：21442a a a+--；（2）先化简再求值：222()111a a a a a ++¸+--，其中a 1．（3）解分式方程：11322x x x -=---．【答案】（1）124a +；（2）31a +；（3）原方程无解．【分析】（1）先把分式的分母分解因式，再通分，最后根据同分母的分式相加的法则求出答案即可；（2）先算括号内的加法，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可；（3）方程两边都乘以x ﹣2得出方程1＝x ﹣1﹣3（x ﹣2），求出方程的解，再进行检验即可．【详解】解：（1）解：原式＝()()()12222a a a a -+--，＝()()()22222a a a a -++-，＝()()2222a a a -+-，＝()122a +，＝124a +；（2）222()111a a a a a ++¸+--解：原式＝()()221111a a a a a a éù+-+×êú++-êúëû，＝()()()()()21211111a a a a a a a a éù-+-+×êú+-+-êúëû，＝()()3111a a a a a -×+-，＝31a + ，当a 1- （3）11322x x x -=---，解：方程两边都乘以x ﹣2，得1＝x ﹣1﹣3（x ﹣2），解得：x ＝2，检验：当x ＝2时，x ﹣2＝0，所以x ＝2是增根，即原方程无解．【点睛】本题主要考查分式化简求值和解分式方程，解决本题的关键是要熟练掌握分式化简求值和解分式方程的方法.14．（2021·湖北八年级期末）先化简，再求值：2222b b a a b a b ab bæö-¸ç÷--+èø，其中a ＝，b1．【答案】2,3b a b-【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a 、b 的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：2222b b a a b a b ab bæö-¸ç÷--+èø=()()()()2b a b b b a b a b a b a +-+´+-=ab a b b a -´=2b a b-当a时，3===．【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键，代值计算要仔细．15．（2021·福建莆田二中）先化简，再求值：（1﹣2a a a +）÷22121a a a -++，其中2a =．【答案】1a a -，2【分析】利用通分,因式分解,运算法则细心计算即可．【详解】解：原式=()()()222111a a a a a a a a +-+-¸++=()()()()221·111a a a a a a +++-=1a a -，当2a =时，原式2221==-．【点睛】本题考查了分式的化简，熟练运用分式的通分，因式分解，约分进行化简是解题的关键．16．（2021·河南八年级期末）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务：22112221x x x x x ---+++＝2(1)(1)12(1)(1)x x x x x +---++…第一步＝1112(1)x x x x ---++…第二步＝2(1)12(1)2(1)x x x x ---++…第三步＝2(1)(1)2(1)x x x ---+…第四步＝2212(1)x x x ---+…第五步＝322x x -+…第六步任务一：填空：（1）以上化简步骤中，第一步进行的运算是 ．A ．整式乘法B ．因式分解（2）以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依据： ．（3）第 步开始出现错误，这一步错误的原因： ．任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果，并从不等式组211102x x +³ìïí-+>ïî的解集中选择一个合适的整数作为x 的值，代入求值；任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．【答案】任务一：（1）B ；（2）四，分式的基本性质；（3）五，去括号没有变号；任务二：122x x -+，12-或0；任务三：分式化简时需要注意分母的取值不为零．【分析】任务一：分式化简的要先因式分解，再通分；任务二：解不等式组，求得解集，选取合适的值，代入计算即可；任务三：在运算时，去括号要注意变号，代入求值时，注意分母的取值．【详解】解：（1）第一步进行因式分解，故选：B ；（2）第四步分式通分，通分根据分式的基本性质，故答案为：四，分式的基本性质；（3）第五步出现错误，原式2(1)(1)2(1)x x x ---=+2212(1)x x x --+=+，在去括号时符号错误，故答案为：五，去括号没有变号；任务二：22112221x x x x x ---+++2(1)(1)1(1)2(1)x x x x x +--=-++1112(1)x x x x --=-++2(1)12(1)2(1)x x x x --=-++2(1)(1)2(1)x x x ---=+2212(1)x x x --+=+122x x -=+，解不等式组2 1 110 2x x +³ìïí-+>ïî①②，由①得，x ≥﹣1，由②得，x ＜2，∴不等式组的解集为﹣1≤x ≤2，∵x ≠﹣1，∴x 可以取0，1，当x =0时，原式=12-，当x =1时，原式=0；任务三：分式化简时需要注意分母的取值不为零．【点睛】本题考查了分式的化简，解不等式组，熟练掌握分式化简的方法，掌握分式的基本性质，注意分母的取值不为零的情况是解题的关键．17．（2021·贵州八年级期末）先化简，再求值：（x ﹣2122x -+）42x x -¸+，其中x ＝5．【答案】﹣x ﹣4，﹣9．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x 的值代入计算即可．【详解】解：(x ﹣2122x -+)42x x -¸+()()22122x x x -+-=+•24x x +-2162x x -=+•24x x +- ()()442x x x +-=+•()24x x +-- ＝﹣(x +4)＝﹣x ﹣4，当x ＝5时，原式＝﹣5﹣4＝﹣9．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．18．（2021·湖南师大附中博才实验中学八年级期末）先化简，再求值：（1﹣31x +）÷2441x x x -++，其中x ＝3．【答案】1,12x -．【分析】先将括号里的分式通分，然后按照分式减法法则计算，再根据分式除法法则进行运算即可将分式化简，最后代入字母取值进行计算即可求解.【详解】解：原式＝()2213111x x x x x -+æö-¸ç÷+++èø，=()22112x x x x -+×+-，＝12x -，当x ＝3时，原式＝1132=-．【点睛】本题主要考查分式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握分式的通分和分式的运算法则.19．（2021·浙江七年级期末）先化简，再求值：x y xy -÷（x y y x-），其中x ＝12，y ＝﹣13．【答案】1x y+，6【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将x 与y 的值代入原式即可求出答案．【详解】解：原式＝22x y x y xy xy--¸＝22x y xy xy x y --g ＝()()x y xy xy x y x y -+-g ＝1x y+，当x ＝12，y ＝﹣13时，原式＝116＝6．【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则进行计算，本题属于基础题型．20．（2021·辽宁八年级期末）先化简，再求值：2211121x x x x x---¸++，其中3x =．【答案】11x +，14【分析】根据分式的运算法则及运算顺序进行化简，再代入求值即可．【详解】解：2211121x x x x x---¸++()()()211111x x xx x +-=-×-+11=-+x x 11+-=+x x x 11x =+，当3x =时，原式131=+14=．【点睛】此题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．21．（2021·四川成都市·九年级期末）先化简，再求值：232a a a --÷（a +2﹣52a -），其中a 2+3a ﹣1＝0．【答案】213a a +，1【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．【详解】解：原式＝()()()225322a a a a a a +---¸--＝()()()()23233a a a a a a --´-+-＝()13a a +＝213a a +，∵a 2+3a ﹣1＝0，∴a 2+3a ＝1，则原式＝1．【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22．（2021·山西临汾市·八年级期中）计算：（1）101(1)12p -æö--+-ç÷èø（2）2241611a a a a a æö--+¸ç÷--èø，其中2a =-．【答案】（1（2）14a -+，12-【分析】（1）利用零指数幂，负正数指数幂，绝对值的性质化简计算即可；（2）先将括号内的分式通分计算，同时将除法转化为乘法，约分化简计算即可；【详解】解：（1）原式211=-+-=（2）原式24(1)(4)(4)111a a a a a a a a æö--+-=+¸ç÷---èø411(4)(4)a a a a a --=×-+-14a =-+．当2a =-时，原式11242=-=--+．【点睛】本题主要考查实数的混合运算及分式的混合运算，熟练运用零指数幂，负整数指数幂及绝对值的运算性质和分式的混合运算法则计算是解题的关键．23．（2021·重庆实验外国语学校八年级期末）化简求值：232228323y x x y x x y x y x xy y x yæö+-+¸×ç÷+++-èø，其中x y =【答案】x y x +-，﹣1【分析】先利用完全平方公式和提取公因式法和平方差公式分解因式，然后根据分式的运算法则进行化简，然后将x 与y 的值代入原式即可求出答案．【详解】解：2322283·23y x x y x x y x y x xy y x yæöæö+-+¸ç÷ç÷+++-èøèø()()22222383x x y y x y x x y x yx y éù+æö-+=¸êç÷+-+èøêúëûg ()()2222933x y y x x x y x x y x y +-=++-g g ()()()()223333y x y x x y x x y x x y x y+-+=++-g g x yx +=-把x =，y =原式＝﹣1﹣y x ＝﹣1【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握分式的混合运算的相关方法.24．（2021·辽宁鞍山市·八年级期中）已知2m =2121m m m -+-的值．【答案】3【分析】结合m 值先化简分式，再将m 的值代入化简后的式子求解即可．【详解】2121m m m -+-2(1)1m m -=-11(1)m m m m -=---．Q 2m =110m \-=<，\原式1121123m m =-+===．【点睛】本题考查了分式的化简，二次根式的性质，分母有理化，正确的计算是解题的关键．25．（2021·辽宁葫芦岛市·八年级期中）给出以下式子：224114422x x x x x x æö-+-¸ç÷-+-+èø，先简化，然后从1-，2，2+【答案】22x x +-，2x =+1【分析】先根据分式的运算法则及运算顺序进行化简，再将使原式有意义的未知数的值代入计算即可．【详解】解：原式()()()22212212x x x x x x éù+-+=-×êú-+-êúëû212221x x x x x ++æö=-×ç÷--+èø1221x x x x ++=×-+x 2x 2+=-，由题意得，20x -¹，20x +¹，10x +¹，∴2x ¹，2x ¹-，1x ¹-，∴当2x =+原式==1=【点睛】本题考查了分式的化简求值和二次根式的化简求值，熟练掌握分式和二次根式的运算法则是解决本题的关键．26．（2021·河南南阳市·八年级期中）已知a 2+a ＝1，求代数式221312442a a a a a a a +---¸++++的值．【答案】222a a +-，-2【分析】先根据分式的运算法则进行化简，然后整体代入21a a +=即可求解．【详解】解：原式＝()22122123a a a a a a +-+-´+-+＝()()213221a a a a a +--++-＝()()221321a a a a --++-222a a =+-21a a +=Q \原式2212==--【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握整体代入思想是解题的关键．27．（2021·胶州市初级实验中学九年级一模）（1）计算：212111a a a a a +æö-+¸ç÷++èø（2）解不等式组：235123x x x -³-ìïí+<ïî（3）关于x 的方程()21310m x x ++-=有两个实数根，求m 的取值范围【答案】（1）2a a +；（2）不等式组的解集为3x >；（3）m 的取值范围为134m £且1m ¹-．【分析】（1）由分式的加减乘除混合运算进行化简，即可得到答案；（2）分别求出每个不等式的解集，然后取公共部分，即可得到答案；（3）根据根的判别式0D ³，即可求出m 的取值范围．【详解】解：（1）212111a a a a a +æö-+¸ç÷++èø=211111(2)a a a a a a æö-++´ç÷+++èø=211(2)a a a a a +´++=2a a +；（2）235123x x x -³-ìïí+<ïî①②解不等式①，得1x ³-；解不等式②，得3x >；∴不等式组的解集为3x >；（3）∵关于x 的方程()21310m x x ++-=有两个实数根，∴()()234110m D =-´+´-³，∴134m £；当10m +=，即1m =-时，原方程是一元一次方程，只有一个解，不符合题意；∴1m ¹-；∴m 的取值范围为134m £且1m ¹-．【点睛】本题考查了分式的加减乘除混合运算，分式的化简，解不等式组，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行计算．28．（2021·浙江七年级期末）按条件求值：①若分式52x +的值是整数，求非负整数x 的值．②已知分式321x x -+可以写成531x -+，利用上述结论解决；若分式234x x--表示一个整数，求整数x 的值．③化简：235222x x x x x x -æö¸+-¸ç÷--èø，再从0，2±，3±五个数中，选择一个你最喜欢的数代入并求值．【答案】①3；②3或5或9或-1；③13x +，1【分析】①根据分式的值是整数可得x +2=±5，从而求出x ；②将分式变形为524x ---，参照①中方法即可求出x ；③首先通分，计算括号里面分式的减法，然后再计算括号外的除法，化简后，再根据分式有意义的条件确定x 的值，然后代入x 的值即可．【详解】解：①分式52x +的值是整数，∴x +2=±5，∴x =3或x =-7，∵x 为非负整数，∴x =3；②234x x--=()42384x x --+--=524x ---，∴x -4=±1或±5，∴x =3或5或9或-1；③235222x x x x x x -æö¸+-¸ç÷--èø=()2345222x x x x x x x -æö-¸-¸ç÷---èø=()23922x x x x x x --¸¸--=()()()321233x x x x x x x--´´-+-=13x +∵x 不能取0，3，2，-3，∴x =-2时，原式=123-+=1．【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，关键是掌握分式的除法和减法计算法则，正确把分式进行化简．29．（2021·山西八年级期中）阅读材料，完成任务．一道习题引发的思考小明在学习第16章《分式》时，遇到了一道习題，并对有关内容进行了研究：习题再现：己知12a a +=，求221a a+的值；解题过程：解：2112,4,a a a a æö+=\+=ç÷èøQ 221124a a a a \+×+=，即22124a a++=，2212a a \+=．通过以上的解题思路，小明可以总结出论：已知形如n mx a x ±=（m ，n 为常数，我们可以利用完全平方公式计算求出2222n m x x +的值．任务：（1）请你帮小明计算2222n m x x+的值；（2）①若131(0)2b b b -=>，求22194b b +的值；②在①的基础上，求132b b+的值．【答案】（1）22a mn -；（2）①4；．【分析】（1）根据阅读材料中的方法配成完全平方式即可求解；（2）①根据阅读材料中的方法将多项式变形，求出值即可；②对132b b +两边平方后，利用①的结论计算即可．【详解】解：（1）∵n mx a x +=（m ，n 为常数，0mn ¹），∴2222222222n n m n n m x m x x x x mx x x+=+-+××2()2n mx mn x=-+22a mn =-；（2）①∵131(0)2b b b -=>，∴222211211993232244b b b bb b b b -´×´+×+=+21(3)32b b=-+13=+4=；②222111(3)923224b b b b b b+=+´´+221934b b=++43=+7=，∵0b >，∴132b b+=．本题考查了配方法的应用，分式的化简求值，利用完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2配方是解题关键．。

八年级数学竞赛讲座分式的概念、性质及运算附答案第四讲：分式的概念、性质及运算分式包括分式的概念、分式的基本性质、分式的运算、简单的分式方程等主要内容。

从整式到分式，我们可以形象地说是从“平房”到了“楼房”。

在脚手架上活动，无疑增加了难点，体现在：解分式问题总是在分式有意义的前提下进行的，因此必须考虑字母取值范围；分式运算中的通分和约分是技巧性较强的工作，需要灵活处理。

分式的运算与分数的运算相似，是以分式的基本性质、运算法则、通分和约分为基础，是以整式的变形、因式分解为工具。

分式的加减运算是分式运算的难点，突破这一难点的关键是能根据问题的特点恰当地通分，常用通分的策略与技巧有：1.化整为零，分组通分；2.步步为营，分步通分；3.减轻负担，先约分再通分；4.裂项相消后通分等。

例题求解例1】要使分式 $\frac{1}{1-x}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是？思路点拨：当分式的分母不为零时，分式有意义，由于分式是繁分式，因此考虑问题应细致周密。

注：在新事物面前，人们往往惯于把它们与原有的、熟知的事物相比，这里蕴涵的思想方法就是类比。

研究分式时，应注意：1) 分式与分数的概念、性质、运算的类比；2) 整数可以看做是分数的特殊情形，但整式却不是分式的特殊情形；3) 分式需要讨论分母的取值范围，这是分式区别于整式的关键所在。

例2】已知 $\frac{3x+4}{x^2-x-2}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+1}$，其中 $A$、$B$ 为常数，则 $4A-B$ 的值为（）。

思路点拨：对等式右边通分，比较分子的对应项系数求出$A$、$B$ 的值。

例3】计算下列各式：1) $\frac{1}{a-b}+\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a^2+b^2}$；2) $\frac{x^2+yz}{x+(y-z)x-yz^2}+\frac{y^2-zx}{y+(z+x)y+zx^2}+\frac{z^2+xy}{z-(x-y)z-xy^2}$；3) $\frac{x^3-1}{32x+2x^2+2x+1x-2x+2x-1x-1}$；4) $\frac{(y-x)(z-x)(z-y)}{(x-y)(x-z)(y-z)}+\frac{x^3+1}{3^2}-\frac{2(x^2+1)}{2}$。

八年级数学下册课后补习班辅导分式的乘除、分式方程讲学案苏科版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学下册课后补习班辅导分式的乘除、分式方程讲学案苏科版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为八年级数学下册课后补习班辅导分式的乘除、分式方程讲学案苏科版的全部内容。

分式的乘除、分式方程【本讲教育信息】一. 教学内容：分式的乘除、分式方程二. 教学目标：1. 使学生理解并掌握分式的乘除法则，运用法则进行运算，能解决一些与分式有关的实际问题.2。

掌握分式方程的概念，掌握分式的乘除运算，能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用。

3. 培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学类比转化的思想培养学生的应用意识。

三. 教学重点与难点：重点：1。

掌握分式的乘除运算2. 分式方程的解法。

3。

将实际问题中的等量关系用分式方程表示难点:1。

分子、分母为多项式的分式乘除法运算。

2。

列分式方程解应用题四。

课堂教学：(一）知识要点知识点1：约分根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去。

约分一定要把公因式约完。

知识点2:最简分式分子与分母没有公因式的分式叫最简分式。

分式运算的结果一定要化为最简因式。

知识点3：分式乘法法则分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母.即B A .DC = 。

知识点4:分式除法法则：分式除以分式把除式的分子.分母颠倒位置后，与被除式相乘。

即B A ÷DC = 。

知识点5：分式的混合运算与分数混合运算类似，分式的加,减,乘，除混合运算的顺序是：先乘除，后加减.如有括号,则先进行括号内的运算。

第一讲 分式的概念•性质与运算培优一、知识要点1：1、 叫分式；2、当 ，分式A B有意义；3、当 ，分式A B值为0.经典例题．．．． 【例．．1．】．1．、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？．．．．．．．．．．．．．．．．．．．⋅----++++-π1;)1(;2;3;3;13;222x x x x y x y x y x x y x y x 【例2】要使式子有意义，x 的取值范围是( )A ．x ≠1B ．x ≠0C ．x ＞—1且x ≠0D ． x ≥—1且x ≠0【变式题组】．．．．．．1、使分式1(1)(2)x x x ---有意义，则x 应满足( )A ．x ≠1B ．x ≠2C ．x ≠1 且x ≠2D ．x ≠1或 x ≠22、若对于分式21x m +，不论x 取何实数，21x m +总有意义，则m 的取值范围是_________． 3、（希望杯）若分式212x x m -+,不论x 取何实数总有意义，则m 的取值范围是_________4、使分式22y 2+x x有意义的条件为___________．【例3】 当x 取何值时，分式392+-x x 的值为0？【变式题组】 1、若式子(8)(1)1x x x -+-的值为0，则x 的值为______________．2、若分式22943x x x --+的值为0，则x 的值为______________．3、2323x x x ---的值为零，则x 的值为______________． 4、若分式1212+-b b 的值是负数，则b 的取值范围是满足______________．5、若分式x--76x 的值为正数，则x 满足的条件为___________．【．例．4．】．当．x ．为何整数时，分式．．．．．．．．124+x 的值为整数？．．．．．．【变式题组】当x 为何整数时，分式121-4x +x 的值为整数？【例5】已知1x＋1y ＝5，求2322x xy y x xy y -+++的值.【变式题组】1、已知：113a b -=，求分式232a ab ba ab b+---的值.2、若a b c +＝c b a +＝a c b +，求()()()a b c b a c abc+++的值.二、知识要点2：1、分式基本性质：=A A M B B M，(0)÷=≠÷A A M M BB M【例】约分：（1）db a cb a 42342135-= （2）23)(4)(2x y y y x x -- = （3）2222)()(z y x z y x -+--= 通分：方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；②最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积。

初二导优班---- 分式专题讲解一、分式运算中的常用技巧 1、约分求值：计算：222264244x x x x x x x +-++++2、分步通分，逐步计算： 计算：2411241111x x x x ++++-++3、合理搭配，分组通分：已知x ＝12111242x x x +-+--二、分式求值中的常用技巧1.采用倒数法（把分子、分母倒过来）求值，例1、已知271x x x =-+，求2421x x x ++的值。

2、活用公式变形求值：例2、已知x 2－5x ＋1＝0，求441x x +的值。

3、设k 求值法（也可叫参数法）： 例3、已知：b c c a a b a b c +++==，求()()()abca b b c c a +++的值。

4、整体代换法： 例4、已知1116a b +=，1119b c +=，11115a c +=，求abc ab ac bc++的值。

例5、已知a+b=－8，ab=6，化简=_________________。

234222+=-+-x x mx x 导优班2-----分式 姓名1、下列分式中最简分式是( )A.a b b a --;B.22a b a b ++;C.222m m a a ++;D.2121a a a --+- 2.对于分式11x + 的变形永远成立的是( )A.1212x x =++; B.21111x x x -=+-; C.2111(1)x x x +=++; D.1111x x -=+-3.已知222,06⎪⎭⎫ ⎝⎛-+>>=+b a b a b a ab b a 则且的值为 （ ）A 、0.25B 、4C 、2D 、0.5 4．若0≠-=y x xy ，则分式=-xy11（ ） A 、xy1B 、x y -C 、1D 、－15.若22237y y ++的值为14，则21461y y +-的值为（ ）A 1B 1-C 17-D 6．若x >y>0,则x+1y+1 － yx的结果是( )(A) 0 (B)正数 (C) 负数 (D) 以上情况都有可能. 7．x 取 时，16-x 的值为整数。

典型培优1.化简（1）4)222(2-÷+--x x x x x x （2）22224421y xy x y x y x y x ++-÷+--（3） x x x x x x x x 4)44122(22-÷+----+ （4） 先化简，再求值： （－）÷，其中x ＝1．2．解下列分式方程．(每题5分，共10分)(1)132x x =-； (2)2133112133119x x x x x-++=+--．(3) 2124111x x x +=+--. （4）11322x x x-+=---3.（2008年山东省临沂市）若不等式组的解集为，则a 的取值范围为（ ）A ． a ＞0 B ． a ＝0 C ． a ＞4 D ． a ＝44、观察下列等式：211211-=⨯；3121321-=⨯；4131431-=⨯；…；111)1(1+-=+n n n n 将以上等式相加得到111)1(1431321211+-=+++⨯+⨯+⨯n n n 。

用上述方法计算101991751531311⨯++⨯+⨯+⨯ ，其结果是（ ）A. 10150B. 10149C. 101100D. 101995、如果不等式组⎩⎨⎧≥<mx x 5有解且均不在－11<<x 内，那么m 的取值范围是…【 】A ．m ＜－1B ．1≤ m ＜5C ．m ≥5D ．－1≤ m ≤56、如果方程3)1(2=-x a 的解是x ＝5，则a ＝ 。

7、若方程 x-3x-2 = m 2-x 无解，则m= .若52=-y y x ，则y x = ____________ ． 8．23m m x=-的根为1，则m=__________． 9．当m=________时，关于x 的分式方程213x m x +=--无解． 10.先化简：111122-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x ，再选一个你喜欢的数代入并求值。

知识点1：分式的概念和性质问题情境1：分式的认识情形1：判定一个代数式是否是分式。

问题模型：已知几个代数式★，能识别其中的分式．求解模型：1． 判断代数式★是否具有BA 的形式， 2．判断A 、B 是否都是整式，3．判断B 中是否含有表示变量的字母．例题：指出下列各式中，哪些是分式？221x x -，45b c +，37，221x -，23a a ，2132a b +． 分析：判断一个式子是否为分式，可从以下方面考虑：（1）式子的形式应当是A B的形式；（2）分母B 中要含有表示变量的字母；（3）式子的分子、分母必须都是整式．只有同时具备了以上三点的式子才可称作是分式．37是一个常数，不是分式；221x -是整式，不满足AB 的形式，不是分式；2132a b +分母中不含字母，不是分式，其余各式均为分式． 解： 分式有：221x x -、45b c +、23a a． 练习：1．判断下列各式中，哪些是整式，哪些是分式？35x +，7x ，512x +，54m -，243x x -，18y - 答案：整式有：35x +、512x +、54m -；分式有：7x 、243x x -、18y -． 2．下列各式11x +，1()5x y +，22a b a b--，23x -中，是分式的有______ _____；是整式的有___ ______． 答案：分式有：11x +、22a b a b--；整式有：1()5x y +、23x -．3．下列各式①3x ，②5x y +，③12a-，④2x π-（此处π为常数）中，是分式的有 （ ） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①②③④答案：C情形2：求分式有意义时，分式中字母的取值情况。

问题模型：已知分式★，求分式★有意义时参数字母满的取值情况。

求解模型：1.根据分式的意义列出方程或不等式2. 解方程或不等式例题：下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ）A ．121x +B ．21x x +C ．231x x +D ．2221x x + 分析：在分式中，决定一个分式有无意义的关键点在于分式分母是否为0．如果分母不为0，则分式有意义；否则，分式无意义．解：D练习：1．当x =_______ ___时，分式x x 2121-+无意义； 答案：12x = 2．当x ______ ____时，分式2134x x +-有意义． 答案：43x ≠ 3．使分式21a a -无意义，a 的取值是（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1答案：D4．当x 取何值时，分式 2132x x +-无意义？ 答案：23x = 5．当x 为何值时，分式21x x x--的有意义？ 答案：0x ≠且1x ≠情形3：根据分式值为零的条件，求分式中参数字母的值。