第五章频率特性法

d G ( j ) 1 0 r 1 2 2 n 1 2 2 d T 1 M r G ( j ) 0 0.707 2 2 1
5.延迟环节
延迟环节的传递函数： G (s) e s 频率特性是： G ( j ) e j G ( j ) rad 57.3 G ( j ) 1 当 由 0 时，G ( j）由 0 ， 而 G ( j ) 1。 极坐标图是单位圆
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
1
－0 .5
－1
1 /
2 /
3 /
4 /
5 /
－1 .5 0
1 /
2 /
3 /
4 /
5 /
图 5-2 RC电路的幅频和相频特性
系统的频率特性反映了在正弦输入信号作用下 , 系统的 稳态响应与输入正弦信号之间的关系。系统稳态输出信 号与输入正弦信号的幅值比 |G(jω)|称为幅频特性, 系统 稳态输出信号与输入正弦信号的相移φ(ω)称为相频特性。 线性定常系统的传递函数为零初始条件下, 输出和 C ( s) 输入的拉氏变换之比
0
ω 0 1/T ∞
∠G（jω ） 0º -90º -180º
│G(jω │ 1 1/2ζ 0
U(ω ) 1 0 0
V(ω )
-0.5
ζ =0.2— 0.8
0 -1/2ζ 0
-1.5 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1
振荡环节的幅相曲线
: 0 ， G ( j )曲 线 有 单 调 衰 减 和 谐 两 振种形式。
5.2.1极坐标图
1. 惯性 环节 G (s) 1 Ts 1 1
2 2
G (j )
1 jT 1 1
2 2
G ( j ) arct anT V ( ) T T 2 2 1
G ( j )

0 1/ T
T 1 G ( j ) G ( j ) 0
求出ωx值后，代入实部表达式Im[G(j ωx)H(j ωx)]得到实轴的 交点。 c.判断开环幅相曲线的变化范围（象限、单调性）
k 例：5－1概略绘制0型系统幅相曲 G( s) (T1 S 1)(T2 S 1) 线 解：系统由一个比例环节、二个惯性环节组成。
幅频特性： G (s)
U ( ) jV ( )
• 相位 角为
V ( ) arctan ,U ( ) 0 U ( ) ( ) G ( j ) V ( ) arctan ,U ( ) 0 U ( )
正弦输入信号的频率很高时，输出信号的幅值一定很小。 实际系统中传递函数分子阶次低于分母阶次。
例5－2，绘制Ⅰ型系统幅相曲线
G( s)
k S (T1 S 1)(T2 S 1)
系统由比例、积分和二个惯性环节组成
幅频特性： G( j ) 1


1 1 (T1 )
2.确定开环幅相曲线与实轴的交点
G ( j ) k (1 jT1 )(1 jT2 ) k (1 jT1 )(1 jT2 ) (1 jT1 )(1 jT1 )(1 jT2 )(1 jT2 )
k (1 2T1T2 ) j (T1 T2 ) (1 2T1 )(1 2T2 )
j
∠G（jω ） 90º 90º 90º ∠G（jω ）
│G(jω │ 0 1 ∞ │G(jω │
U(ω ) 0 0 0 U(ω )
V(ω ) 0 1 ∞ V(ω )
0

2
1 ∞ ω
jarctan

一阶微分环节
G (s) s 1 G(j ) j 1 1e
教学内容
1、频率特性的概念 2、典型环节频率特性
3、开环幅相曲线绘制方法，重点：开环对数频率特性曲线
4、频域稳定判据，奈奎斯特判据，对数频率稳定判据 5、稳定裕度的概念 6、闭环系统的频域指标
5-1 频率特性

频率特性法：用频率特性作为数学模型来分析和设 计系统的方法。 优点：①具有明确的物理意义； ②计算量很小，采用近似作图法，简单、直 观，易于在工程技术中使用； ③可以采用实验的方法求出系统或元件的频 率特性。
开环幅相曲线的绘制
概略绘制开环幅相曲线有三个要素： a.确定幅相曲线的起点(ω=0)和终点(ω=∞) b.确定幅相曲线与实轴的交点，设ω= ωx时，幅相曲线与实轴 相交，则有：
ImG( j) H ( j) 0 ( x ) G( j x ) H ( j x ) k

j 0
ω

积分环节频率特性的极坐标图是虚轴。
ω 0 1 ∞ ∠G（jω ） -90º -90º -90º │G(jω │ ∞ 1 0 U(ω ) 0 0 0 V(ω ) -∞ -1 0
积分环节的幅相曲线

3纯微分环节和一阶微分环节 ω 纯微分环节
G(s) s G(j ) j e
第五章 频率特性法
教学目的
频域分析法是经典控制理论中针对控制系统频域模型的分析方 法，讨论控制系统的频率特性，反映正弦信号作用下，系统响应的 性能。通过本章学习，使学生们掌握频率特性的基本概念，掌握控 制系统的频域分析方法，频率特性曲线的绘制方法，控制系统频率 稳定判据和频域指标的估算。
教学重点
1、振荡环节的频率特性曲线 2、开环幅相曲线绘制 3、开环对数频率特性曲线 4、频域稳定判据，奈奎斯特判据，对数频率稳定判据 5、稳定裕度的概念
1 1 (T1 )
2
Hale Waihona Puke Baidu

1 1 (T2 )
2
k
相频特性： ( ) tan1 T1 tan1 T2
1.确定开环幅相曲线的起点和终点
0时， G ( j 0) k (0) 0 时， G ( j 0) 0 (0) －180
2 2
0
1/ ∞
0º
45º 90º
1
1
1
0
1 ∞
∞
2
1
j ω 0 ω=0 微分环节幅相曲线
j
ω
0
1
ω=0
一阶微分环节的 (b) 幅相曲线

4振荡环节
1 (0 1) ; G (j ) (1 T 2 2 ) j2T
2 1 n G( s) 2 2 2 T s 2Ts 1 s 2 2 n s n
式中, φ=-arctgωτ。
式(5.3)的等号右边 , 第一项是输出的暂态分量 , 第
二项是输出的稳态分量。 当时间t→∞ 时, 暂态分量趋 于零, 所以上述电路的稳态响应可以表示为
1 1 limuo (t ) sin( t ) U sin t (5.4) 2 2 t 1 j 1 j 1 U
控制系统的三种数学模型：微分方程、传递函 数、频率特性可以相互转换。
5-2 典型环节的频率特性
频率特性G(jω)是复数，使用很不方便。常用
图形表示G(jω)的幅值和相角与频率的关系。
5.2.1 1.
频率特性的表示方法:
幅相频率特性（奈氏图） 2. 对数频率特性（Bode图） 3. 对数幅相特性（尼氏图）
(5.1)
图5-1 RC电路
式中, τ=RC。 则有
1 1 U U o ( s) U i ( s) 2 s 1 s 1 s 2
(5.2)
对式(5.2)进行拉氏反变换（p641-26）, 可得
U t U (5.3) uo (t ) e sin( t ) 1 2 2 1 2 2
若把输出的稳态响应和输入正弦信号用复数表示, 可以得到:
1 j ( ) G( j ) A( )e 1 j
式中,
(5.5)
1 1 A( ) 2 2 1 j 1 1 ( ) arctg 1 j
G(jω)是上述电路的稳态响应与输入正弦信号的复

对于图5-1所示的电路,当ui(t)是正弦信号时, 我们已
知uo(t)也是同频率的正弦信号, 简单推导如下:
设ui(t)=U sinωt, 则其拉氏变换为
U Ui ( s) 2 s 2
＋ ui(t) －
R
＋ C uo(t) －
而RC电路的传递函数为
U o (s) 1 /(Cs ) U i ( s ) R 1(Cs ) 1 s 1
2T 1 arctan 1 1 T 2 2 T G (j ) G (j ) 2 2 2 2 1 (1 T ) (2 T ) 180 arctan 2T 2 2 1 T T 1 T 2 2 2T U ( ) ; V ( ) (1 T 2 2 ) 2 (2T ) 2 (1 T 2 2 ) 2 (2T ) 2j
G( s) R( s)
频率特性：幅频特性：C/ R G(j ) 相频特性： G(j ) 负相角称为相位滞后，正相角称为相位超前。

复量 G ( j ) 可以写成指数式、三角式或实部与虚部相加的代数 式 G( j ) G( j ) e j ( ) G( j ) [cos j sin ]

U ( ) U 1 1/ 2 0
T 1 V 0 1/ 2 0
1 1/ 2 0
2
j ω=∞
45 90
2

0
-45o ω=1/T
ω=0 K
1 1 2 U V 2 2
(b)
极坐标图是半圆。
惯性环节幅相曲线

2.积分环节
1 G (s) s 1 1 1 j2 G (j ) j e j
1.零型系统在ω=0时的幅值恰好是开环传递系统k。
2.本例中是由两个惯性环节组成，因为惯性环节当ω=∞时，幅 相曲线趋于0∠-90°。所以本例中当ω=∞时，幅相曲线趋于 0∠2×(-90°)= 0∠-180°。推而广之，若系统包含n个惯性环节， 则ω=∞时，幅相曲线必然趋向于0∠n×(-90°)。 3.如果系统还包含一阶微分环节(TS＋1)，因为ω→∞时，一阶微 分环节相频特性从0 → 90°，所以，总的相频特性有如下特点： ∠G(j ω)=(m-n) 90°,m：一阶微分环节个数；n：惯性环节个数。
数比, 称为频率特性。对比式(5.1)和式(5.5)可见, 将传
递函数中的s以jω代替, 即得频率特性。A(ω)是输出信
号的幅值与输入信号幅值之比, 称为幅频特性。φ(ω)是
输出信号的相角与输入信号的相角之差, 称为相频特性。
上述RC电路的幅频和相频特性如图5-2所示。
1
0
2 2
－arct g
2 2


令虚部 j(T1+T2)ωx=0 求得： ωx=0 说明系统的开环幅相曲线仅在ωx=0 处与实 轴有交点。
Im 0 ω=∞ k ω ω=0 Re
3.由于惯性环节单调地从0°-90°,因为该系统有二个惯性环 节，所以曲线变化范围为第四、第三象限( -180°)。
综上所述，概略绘制幅相曲线的步骤为：
极坐标图：在复数的直角坐标或极坐标平面上，ω由 0→∞时， G(jω) 的轨迹。又称Nyquist图，奈奎斯特图， 幅相特性图。 波德图 （对数频率特性曲线）：由对数幅频特性和对数 相频特性组成。伯德图的横坐标按lgω分度, 即对数分度, 单位为弧度/秒(rad/s), 对数幅频曲线的纵坐标按线性分度, 单位是分贝(dB)。对数相频曲线的纵坐标按φ(ω)线性分 度, 单位是度(°)。 对数幅相特性（尼氏图）:将对数幅频特性和对数相频 特性绘在一个平面上，以对数幅值作纵坐标（单位为分 贝）、以相位移作横坐标（单位为度）、以频率为参变 量。这种图称为对数幅—相频率特性，也称为尼柯尔斯 图，或尼氏图。