三角函数的最值

三角函数中的最值问题（4种方法）基本方法1、直接法：形如f (x )＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b ),值域为[－|a |＋b ，|a |＋b ]，形如y＝asinx＋bcsinx＋c 的函数可反解出sinx，利用|sinx|≤1求解，或分离常数法.2、化一法：形如f (x )＝a sin x ＋b cos x ，f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ＋c sin x cos x 的函数可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，利用正弦函数的有界性求解，给定x 范围时要注意讨论ωx ＋φ的范围，注意利用单位圆或函数图象．3、换元法：形如f (x )＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a cos 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a (sin x ±cos x )＋b sin x ·cos x 的函数可通过换元转化为二次函数在某区间上的值域求解．4、几何法（数形结合）：形如dx c bx a y ++=cos sin 转化为斜率问题，或用反解法.典型例题例1已知函数f (x )=(sin x+cos x )2+cos 2x ,求f (x )在区间.解：（化一法）因为f (x )=sin 2x+cos 2x+2sin x cos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=2sin 2 +1,当x ∈0,2 ∈由正弦函数y=sin x 当2x+π4π2,即x=π8时,f (x )取最大值2+1;当2x+π45π4,即x=π2时,f (x )取最小值0.综上,f (x )在0,上的最大值为2+1,最小值为0.例2求函数y ＝2＋sin x ＋cos x 的最大值.解：（化一法）y ＝2＋2sin(x ＋π4)，当x ＝π4＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝2＋2例3求函数f (x )＝cos2x ＋6cos(π2－x )的最大值.解：（换元法）f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2(sin x －32)2＋112.令sin x ＝t ，则t ∈[－1,1]，函数y ＝－2(t －32)2＋112在[－1,1]上递增，∴当t ＝1时，y 最大＝5，即f (x )max ＝5，例4已知x 是三角形的最小内角，求函数y ＝sin x ＋cos x －sin x cos x 的最小值.解：（换元法）由0≤x ≤π3，令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，又0<x ≤π3，∴π4<x ＋π4≤712π，得1<t ≤2；又t 2＝1＋2sin x cos x ，得sin x cos x ＝t 2－12，得y ＝t －t 2－12＝－12(t －1)2＋1，例5已知sin α＋sin β＝22，求cos α＋cos β的取值范围.解：（换元法）令cos α＋cos β＝t ，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝t 2＋12，即2＋2cos(α－β)＝t 2＋12⇒2cos(α－β)＝t 2－32，∴－2≤t 2－32≤2⇒－12≤t 2≤72，∴－142≤t ≤142，即－142≤cos α＋cos β≤142.例6求函数y ＝1＋sin x3＋cos x的值域解法一：（几何法）1＋sin x3＋cos x可理解为点P (－cos x ，－sin x )与点C (3,1)连线的斜率，点P (－cos x ，－sin x )在单位圆上，如图所示．故t ＝1＋sin x3＋cos x满足k CA ≤t ≤k CB ，设过点C (3,1)的直线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由原点到直线的距离不大于半径1，得|1－3k |k 2＋1≤1，解得0≤k ≤34.从而值域为[0，34]．解法二：（反解法）由y ＝1＋sin x3＋cos x 得sin x －y cos x ＝3y －1，∴sin(x ＋φ)＝3y －11＋y2其中sin φ＝－y 1＋y 2，cos φ＝11＋y 2.∴|3y －11＋y2|≤1，解得0≤y ≤34.例7求函数y ＝2sin x ＋1sin x －2的值域解法一：（分离常数法）y ＝2sin x ＋1sin x －2＝2＋5sin x －2，由于－1≤sin x ≤1，所以－5≤5sin x －2≤－53，∴函数的值域为[－3，13]．解法二：（反解法）由y ＝2sin x ＋1sin x －2，解得sin x ＝2y ＋1y －2，∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤2y ＋1y －2≤1，解得－3≤y ≤13，∴函数的值域为[－3，13]．针对训练1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为____.此时x ＝____.2.函数xxy cos -3sin -4的最大值为.3.函数f (x )=sin 2x+3cos ∈的最大值是.4.函数y ＝12＋sin x ＋cos x的最大值是【解析】1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∈Z )，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．2.解析式表示过A (cos x ,sin x ),B (3,4)的直线的斜率,则过定点(3,4)与单位圆相切时的切线斜率为最值,所以设切线的斜率为k ,则直线方程为y-4=k (x-3),即kx-y-3k+4=+11,∴k max3.由题意可知f (x )=1-cos 2x+3cos x-34=-cos 2x+3cos x+14=-cos -+1.因为x ∈0,cos x ∈[0,1].所以当cos f (x )取得最大值1.4.∵y ＝12＋2sin (x ＋π4)，又2－2≤2＋2sin(x ＋π4)≤2＋2∴y ≤12－2＝1＋22，含参问题一、单选题1．已知函数()sin cos (0,0)62af x x x a πωωω⎛⎫=++>> ⎪⎝⎭，对任意x ∈R ，都有()f x ≤，若()f x 在[0,]π上的值域为3[2，则ω的取值范围是（）A．11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．12,33⎡⎤⎢⎣⎦C．1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()sin cos 62af x x x πωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos 2a x x ωω++max ()f x =02a a >∴= ，())3f x x πω∴=+0,0x πω≤≤> ，333x πππωωπ∴≤+≤+，3()2f x ≤ 2233πππωπ∴≤+≤，1163ω∴≤≤.故选：A2．已知函数()()cos 0f x x x ωωω=+>，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，关于函数()g x ，下列说法正确的是（）A．在,42ππ⎡⎤⎢⎣⎦上是增函数B．其图像关于直线6x π=对称C．在区间,1224ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,1--D．函数()g x 是奇函数【解析】因()()cos 2sin 06f x x x x πωωωω⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，则()f x 的最小正周期为22T ππω==，即4ω=，所以()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得()2sin 42sin 42cos 46662f x g x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=，所以，()g x 为偶函数，故D 选项不正确；由4,k x k k Z πππ≤≤+∈，即,44k k x k Z πππ+≤≤∈，故()g x 在区间(),44k k k Z πππ+⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以()g x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故A选项不正确；由4,2x k k Z ππ=+∈，即,48k x k Z ππ=+∈，所以()g x 图像关于,48k x k Z ππ=+∈对称，故B选项不正确；当,1224x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，4,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，则()21g x -≤≤-，所以C 选项正确.故选：C.3．已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围是（）A．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．73,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．57,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为0>ω，所以当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[,]4424x ππωππω-∈--因为函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以52244πωπππ≤-≤，解得332ω≤≤，故选：B．4．已知函数()(2)f x x ϕ=+22ππϕ-≤≤，若()0f x >在5(0,)12π上恒成立，则3(4f π的最大值为（）B．0C．D．2-【解析】因为5(0,)12x π∈,故52(,)6x πϕϕϕ+∈+；由()0f x >，即1sin(2)2x ϕ+>-，得722266k x k πππϕπ-+<+<+，k Z ∈，故57(,)(2,2)666k k πππϕϕππ+⊆-++，k Z ∈，故2657266k k πϕπππϕπ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得2263k k πππϕπ-+≤≤+，k Z ∈；又22ππϕ-≤≤，故63ππϕ-≤≤，5．已知曲线()sin cos f x x m x ωω=+，()m R ∈相邻对称轴之间的距离为2π，且函数()f x 在0x x =处取得最大值，则下列命题正确的个数为（）①当0,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，m的取值范围是⎣；②将()f x 的图象向左平移04x 个单位后所对应的函数为偶函数；③函数()()y f x f x =+的最小正周期为π；④函数()()y f x f x =+在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点．故33()()42f ππϕϕ⎡⎤+++-⎢⎥⎣⎦，故3()4f π的最大值为0．故选：BA．1B．2C．3D．4【解析】函数()f x 的相邻对称轴之间的距离为2π，则周期为22T ππ=⨯=，∴22πωπ==，()sin 2cos 2f x x m x =+)x ϕ=+，其中cos ϕ=，sin ϕ=[0,2)ϕπ∈，()f x 在0x 处取最大值，则022,2x k k Z πϕπ+=+∈，0222k x πϕπ=+-，k Z ∈，①若0[,]126x ππ∈，则[2,2]63k k ππϕππ∈++，1sin 2ϕ≤≤，12解m ≤正确．②如()sin(28f x x π=+，0316x π=时函数取最大值，将()f x 的图象向左平移04x 个单位后得313()sin[2(4)sin(2)1688g x x x πππ=+⨯+=+，不是偶函数，错；③()()y f x f x =+中，()y f x =是最小正周期是π，()y f x =的最小正周期是2π，但()()y f x f x =+的最小正周期还是π，正确；④003[,44x x x ππ∈++时，()()0y f x f x =+=，因此在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有无数个零点，错；∴正确的命题有2个．故选：B．6．已知函数()cos 4cos 12=+-xf x x 在区间[0,]π的最小值是（）A．-2B．-4C．2D．4【解析】22()cos 4cos 12cos 14cos 12(cos 1)42222x x x x f x x =+-=-+-=+-，由[0,]x π∈知，[0,]22x π∈，cos [0,1]2x ∈，则当x π=时，函数()f x 有最小值min ()2f x =-.故选：A.7．已知()cos31cos xf x x=+,将()f x 的图象向左平移6π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的12得到()g x 的图象，下列关于函数()g x 的说法中正确的个数为（）①函数()g x 的周期为2π;②函数()g x 的值域为[]22-,;③函数()g x 的图象关于12x π=-对称;④函数()g x 的图象关于,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称.A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】()()cos 2cos311cos cos x x xf x x x+=+=+cos 2cos sin 2sin 12cos 2cos x x x x x x -=+=.即：()2cos 2f x x =且,2x k k Z ππ≠+∈.()2cos(4)3g x x π=+且,62k x k Z ππ≠+∈.①因为函数()g x 的周期为2π，因此①正确.②因为,62k x k Z ππ≠+∈，故() 2.g x ≠-因此②错误.③令4,3x k k Z ππ+=∈，得,124k x k Z ππ=-+∈.故③正确k ππ二、填空题8．函数()2sin()sin()2sin cos 66f x x x x x ππ=-++在区间[0,2π上的值域为__________．【解析】由11(x)sinx cosx)(sinx cosx)sin 2x2222f =-++22312(sin x cos x)sin 2x 44=-+2231sin cos sin 222x x x=-+11cos 2sin 22x x =--+1x )24π=-当[0,]2x π∈时，2[,]444x ππ3π-∈-，则sin(2)[42x π-∈-，所以11(x)[,22f ∈-.故答案为：11[,22-9．若函数()()2cos 2cos 202f x x x πθθ⎛⎫=++<< ⎪⎝⎭的图象过点()0,1M ，则()f x 的值域为__________.【解析】由题意可得()02cos 2cos 02cos 211f θθ=+=+=，得cos 20θ=，02πθ<<，02θπ∴<<，22πθ∴=，则4πθ=，()22cos cos 2cos 22sin 2sin 2sin 12f x x x x x x x π⎛⎫∴=++=-=--+ ⎪⎝⎭2132sin 22x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，令[]sin 1,1t x =∈-，则213222y t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.当12t =-时，该函数取最大值，即max 32y =，当1t =时，该函数取最小值，即min 3y =-.因此，函数()y f x =的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.10．函数32()sin 3cos ,32f x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值域为_________．【解析】由题意，可得()3232ππf x sin x 3cos x sin x 3sin x 3,x ,,32⎡⎤=+=-+∈-⎢⎥⎣⎦，令t sinx =，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()32g t t 3t 3=-+，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()2g't 3t 6t 3t t 2=-=-，当t 0<<时，()g't 0>，当0t 1<<时，()g't 0>，即()y g t =在⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，在[]0,1为减函数，又g ⎛=⎝⎭()g 03=，()g 11=，故函数的值域为：⎤⎥⎣⎦．11．（2019·广东高三月考（文））函数()cos 2|sin |f x x x =+的值域为______．【解析】2219()cos 2|sin |12|sin ||sin |2|sin |48f x x x x x x ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭,所以当1sin 4x =时,()f x 取到最大值98,当sin 1x =时,()f x 取到最小值0,所以()f x 的值域为90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

三角函数最值的特征解法三角函数是高中数学中非常重要的内容之一，涉及到三角函数的最值问题是解析几何中非常经典的问题，也是数学中的一个重要研究方向之一、三角函数的最值问题可以用几何方法解决，也可以通过数学分析的方法解决。

几何方法解决三角函数最值问题：一、用三角形的面积求解：对于给定的三角形ABC，若要求最大值或最小值，则把三角形的三个顶点坐标x,y表示成已知直角边x与角度的函数形式（坐标x=af(θ),坐标y=bg(θ)），作直角坐标中的参数方程，然后求它的面积。

一般地，对于三角形的最大或最小面积问题，以到形如y=af(x)与y=bg(x)的直线为直角边的直角三角形的面积最小或最大。

这只是抛物线和双曲线的纵坐标当作已知直角边进行求解的特例。

二、利用三角形的性质求解：对于给定的三角形ABC，已知ΔABC正弦的值，即sinA, sinB, sinC,则根据三角形的面积公式Δ=1/2ABSinc，我们可以求出最大或最小的三角形的面积，进而求出三角形的最值。

通过数学分析的方法解决三角函数最值问题：一、利用函数导数的零点求解：对于给定的三角函数f(x)，我们可以通过求f(x)的导数，然后求导数的零点来求解函数的极值点。

对于一个周期函数，我们只需关注一个周期内的导数的零点。

通过求解导数的零点，可以找到函数的极值点。

二、利用函数的变化趋势求解：通过观察函数的图像或者利用函数的性质，可以确定函数的最值点。

例如，对于周期函数，我们只需关注一个周期内的函数变化趋势即可。

通过观察函数的周期、周期内的对称性等特点，可以推测出函数的最值点。

三、利用辅助角的方法求解：对于给定的三角函数f(x)，复杂的问题可以通过引入辅助角来简化。

通过引入辅助角，可以将原问题转化为一个更简单的三角函数问题，从而求解函数的最值。

四、利用三角函数的周期性求解：对于三角函数的最值问题，我们可以利用函数的周期性来求解。

通过观察函数的周期，可以确定函数的最值点。

初中数学如何求解三角函数的最值问题在三角函数中，最值问题是一个常见的问题，需要我们通过一些方法来求解。

下面将介绍如何求解三角函数的最值问题。

1. 求取最大值和最小值的方法-方法一：求导数对于一个连续可导的函数f(x)，其最大值和最小值必定出现在导数为零的点或者在导数不存在的点处。

因此，我们可以通过求取导数来求取最大值和最小值。

-方法二：区间分析法对于一个周期函数f(x)，其最大值和最小值必然出现在一个周期内的某个点上。

因此，我们可以通过区间分析法来求取最大值和最小值。

-方法三：三角函数的性质对于一些特殊的三角函数，我们可以通过观察函数图像或者利用其性质来求取最大值和最小值。

2. 求解最大值和最小值的步骤-步骤一：确定函数的定义域。

-步骤二：求导数或者利用区间分析法，找出导数为零的点或者周期内的最值点。

-步骤三：判断导数为零的点是否为局部最值点，并确定最大值和最小值。

-步骤四：检验求出的最值是否为全局最值。

3. 例题分析例1：求函数f(x)=2sin(x)-cos(x)在区间[0,2π]内的最大值和最小值。

解：首先，求出函数的导数：f'(x)=2cos(x)+sin(x)令导数为零，得到2cos(x)+sin(x)=0cos(x)=-sin(x)因此，最值点为x=π/4和5π/4。

然后，我们可以通过判断二阶导数来确定这两个点是否为函数的最值点。

f''(x)=-2sin(x)+cos(x)当x=π/4时，f''(π/4)<0，因此x=π/4为函数的最大值点；当x=5π/4时，f''(5π/4)>0，因此x=5π/4为函数的最小值点。

最终，得到f(x)在区间[0,2π]内的最大值为3，最小值为-1。

例2：求函数f(x)=cos2x+sin2x在区间[0,π/2]内的最大值和最小值。

解：由三角恒等式，cos2x+sin2x=1，因此f(x)=1。

求最大值和最小值的公式三角函数在数学中，我们经常需要找出函数的最大值和最小值，特别是在三角函数中。

通过对三角函数的分析和观察，我们可以找到一些公式和方法来求解函数的最大值和最小值。

正弦函数（Sine Function）正弦函数是一种常见的三角函数，通常用符号sin表示。

正弦函数的最大值和最小值是固定的，分别为1和-1。

具体而言，正弦函数的最大值出现在角度为90度或π/2弧度时，即sin(90°) = sin(π/2) = 1；最小值出现在角度为270度或3π/2弧度时，即sin(270°) = sin(3π/2) = -1。

余弦函数（Cosine Function）余弦函数是另一种常见的三角函数，通常用符号cos表示。

余弦函数的最大值和最小值也是固定的，同样为1和-1。

最大值出现在角度为0度或0弧度时，即cos(0°) = cos(0) = 1；最小值出现在角度为180度或π弧度时，即cos(180°) =cos(π) = -1。

正切函数（Tangent Function）正切函数是三角函数中的另一种重要函数，用符号tan表示。

正切函数在某些角度下可能没有最大值或最小值，但在一些特定情况下有最大值或最小值。

在正切函数的图像中，我们可以观察到周期性的最大值和最小值。

具体计算最大值和最小值的方法需要通过导数等方法来求解。

总结通过对正弦函数、余弦函数和正切函数的分析，我们可以得出它们的最大值和最小值的规律。

这些规律不仅有助于我们求解函数的最值，也有助于更深入地理解三角函数的特性和性质。

在实际问题中，我们可以利用这些公式和规律来简化计算，提高求解效率。

通过以上分析，我们可以看到三角函数中求最大值和最小值的公式都具有一定的规律和特点，掌握这些规律将有助于我们更好地理解和利用三角函数。

希望这些内容对您有所帮助！希望本文对你有所启发，谢谢阅读！。

三角函数专题：三角函数最值（值域）的5种常见考法1、形如sin y a x = (或cos y a x =)型可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a 正负的讨论 2、形如sin()y a x b ωϕ=++ (或cos()y a x b ωϕ=++型 （1）先由定义域求得x ωϕ+的范围（2）求得sin()x ωϕ+ (或cos()x ωϕ+)的范围，最后求得最值 3、形如sin cos y a x b x =+型引入辅助角转化为22)y a b x ϕ=++，其中tan baϕ=，再利用三角函数的单调性求最值。

4、形如2sin sin (0)y a x b x c a =++≠或2cos cos (0)y a x b x c a =++≠型， 可利用换元思想，设sin y x =或cos y x =，转化为二次函数2y at bt c =++求最值，t 的范围需要根据定义域来确定． 5、形如sin cos (sin cos )y x x x x =⋅±±型利用sin cos x x ±和sin cos x x ⋅的关系，通过换元法转换成二次函数求值域 6、分式型三角函数值域（1）分离常数法：通过分离常数法进行变形，再结合三角函数有界性求值域； （2）判别式法题型一 借助辅助角公式求值域【例1】该函数sin 3y x x =的最大值是（ ） A ．1 B 6 C ．2 D ．2- 【答案】C【解析】因为πsin 32sin 3y x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，又[]πsin 1,13x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以函数sin 3y x x =的最大值是2.故选：C.【变式1-1】已知()()sin 3cos 0f x A x x A =->的最大值是2，则()3sin 3cos g x x A x +在π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦中的最大值是（ ）A ．32B ．3C 326+ D ．23【答案】C【解析】根据辅助角公式可得：()2223sin 3=333f x A x x A x x A A ⎫=+⎪⎪++⎭()2=3A x ϕ+-，其中3tan ϕ=. 由()f x 的最大值为2()2320A A +>,解得1A =.∴()1333cos 23sin 2g x x x x x ⎫=+=⎪⎪⎭π233x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.∵π3π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴π7π13π,31212x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦. ∴当π7π312x +=，即π4x =时，()g x 取得最大值. 故()max ππ343g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭231326232⎫+==⎪⎪⎝⎭故选:C.【变式1-2】已知函数()()3cos sin 3cos 0,2f x x x x x π⎫⎡⎤=∈⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，则函数()f x 的值域为（ ） A ．33⎡⎢⎣⎦ B ．3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【答案】B【解析】()23sin cos 3x x f x x =+)133sin 21cos 22x x =+sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以3sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 的值域为3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：B【变式1-3】函数2()sin 3cos f x x x x =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（ ）A ．1B ．2C ．32D ．3 【答案】C【解析】因为2()sin 3cos f x x x x =，所以1cos 231()2sin(2)226x f x x x π-==+-，42ππx ≤≤，52366x πππ∴≤-≤，1sin 2126x π⎛⎫∴≤-≤ ⎪⎝⎭，∴13()122max f x =+=．故选：C ．【变式1-4】己知函数()3sin 4cos ,R f x x x x =+∈，则()()12f x f x -的最小值是_________. 【答案】10-【解析】由题意可得()()343sin 4cos 5sin cos 5sin 55f x x x x x x ϕ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，其中4sin 5ϕ=，3cos 5ϕ=，且0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．因为12,R x x ∈,所以min max ()5,()5f x f x =-=.所以()()12f x f x -的最小值是min max ()()10f x f x -=-.题型二 借助二次函数求值域【例2】求函数22sin 2sin 1y x x =-++的值域.【答案】3[3,]2-【解析】y =−2sin 2x +2sinx +1=−2(sinx −12)2+32，−1≤sinx ≤1，根据二次函数性质知，当1sin 2x =时，max 32y =；当sin 1x =-时，min 3y =-， 故值域为3[3,]2-.【变式2-1】函数2cos sin 1y x x =+-的值域为（ ）A ．11[,]44-B ．1[0,]4C ．1[2,]4-D ．1[1,]4- 【答案】C【解析】函数222cos sin 11sin sin 1sin sin y x x x x x x =+-=-+-=-+，设sin t x =，11t -≤≤，则()2f t t t =-+， 由二次函数的图像及性质可知2124t t -≤-+≤，所以cos 2sin 1y x x =+-的值域为1[2,]4-，故选：C.【变式2-2】函数2tan 4tan 1y x x =+-的值域为____________【答案】[)5,-+∞【解析】因为2tan 4tan 1y x x =+-令tan t x =，则t R ∈所以()()224125f t t t t =+-=+-，所以()[)5,f t ∈-+∞，故函数的值域为[)5,-+∞【变式2-3】函数()193sin cos 2R 24y x x x =+-∈的最小值是（ ） A ．14B ．12 C ．234- D ．414-【答案】C【解析】22197313sin cos 2sin 3sin sin 24422y x x x x x ⎛⎫=+-=-+-=--+ ⎪⎝⎭，令sin x t =，则11t -≤≤．因为23122t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭在[]1,1-上单增，所以当1t =-时，2min31231224y ⎛⎫=---+=- ⎪⎝⎭．故选：C ．题型三 借助换元法求值域【例】已知函数()，则（）A ．()f x 的最大值为3，最小值为1 B ．()f x 的最大值为3，最小值为-1 C ．()f x 的最大值为32，最小值为34D ．()f x 的最大值为32，最小值为32 【答案】C【解析】因为函数()sin cos 2sin cos 2f x x x x x =+++，设sin cos 24x x x t π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，2,2t ⎡∈-⎣， 则22sin cos 1x x t =-，所以2213124y t t t ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，2,2t ⎡∈-⎣，当12t =-时，()min 34f t =；当2t =时，()max 32f t =故选：C【变式3-1】函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域为________． 【答案】[－1,1]【解析】设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，即sin x cos x ＝1－t 22，且－1≤t ≤ 2. ∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1. 当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－1时，y min ＝－1. ∴函数的值域为[－1,1]．【变式3-2】函数()sin cos sin 2f x x x x =++的最大值为（ ） A ．1 B ．12 C ．12 D ．3 【答案】C【解析】()sin cos sin 2sin cos 2sin cos f x x x x x x x x =++=++，令sin cos 24t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以[2,2]t ∈-，则22(sin cos )12sin cos t x x x x =+=+， 所以22sin cos 1x x t =-，所以原函数可化为21y t t =+-，[2,2]t ∈，对称轴为12t =-，所以当2t 时，21y t t =+-取得最大值，所以函数的最大值为222121=，即()sin cos sin 2f x x x x =++的最大值为12C【变式3-3】函数f (x )=sinxcosx +√2sin (x −π4)的值域为________． 【答案】[−12−√2,1]【解析】由于f (x )=sinxcosx +√2sin (x −π4)=sinxcosx +sinx −cosx ，令sinx −cosx =t ，则sinxcosx =1−t 22，于是函数化为y =1−t 22+t =−12(t −1)2+1，而t =sinx −cosx =√2sin (x −π4)∈[−√2,√2] ， 所以当1t =时，函数取最大值1，当t =−√2时，函数取最小值−12−√2，故值域为[−12−√2,1].题型四 分式型三角函数的值域【例4】函数cos 12cos 1x y x +=-的值域是（ ）A ．][(),04,∞∞-⋃+B ．][(),02,∞∞-⋃+ C ．[]0,4 D ．[]0,2 【答案】B【解析】令11cos ,1,,122x t t ⎡⎫⎛⎤=∈-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦，13(21)11322212122211t t y t t t -++===+⋅---，可得[)(]213,00,1t -∈-⋃，[)11,1,213t ⎛⎤∈-∞-⋃+∞ ⎥-⎝⎦，3113,,22122t ⎛⎤⎡⎫⋅∈-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢-⎝⎦⎣⎭，故(][),02,y ∈-∞⋃+∞.故选：B.【变式4-1】函数sin 3sin 2x y x +=+的值域为___________. 【答案】4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】解：sin 31sin 2sin 21x y x x +==+++， 因为1sin 1x -≤≤，所以1sin 23x ≤+≤，所以1113sin 2x ≤≤+，所以411+23sin 2x ≤≤+， 所以sin 3sin 2x y x +=+的值域是4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【变式4-2】函数sin cos ()1sin cos =++x xf x x x的值域为_____________．【答案】212111,2⎡⎫⎛-----⎪ ⎢⎪⎣⎭⎝⎦【解析】令sin cos 24t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，[2,1)(1,2]t ∈---，则212sin cos t x x =+，即21sin cos 2t x x -=，所以2112()12t t f t t --==+，又因为[2,1)(1,2]t ∈---，所以()212111,2f t ⎫⎛---∈--⎪ ⎪ ⎣⎭⎝⎦， 即函数sin cos ()1sin cos =++x xf x x x 的值域为212111,2⎡⎫⎛-----⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦．【变式4-3】当04x π<<时，函数221sin ()cos sin sin xf x x x x-=⋅-的最小值是________.【答案】4【解析】22cos ()sin cos sin xf x x x x=-21tan tan x x =-， 当04x π<<时，tan (0,1)x ∈，所以21110tan tan 244<-≤-=x x ，()4f x ∴≥，即221sin ()cos sin sin xf x x x x-=⋅-的最小值为4.含绝对值的三角函数值域A ．[－1,0] B ．[0,1] C ．[－1,1] D ．[－2,0] 【答案】D【解析】当0sin 1x ≤≤ 时，sin sin 0y x x =-= ，所以，当1sin 0x -≤<，2sin y x =，又22sin 0x -≤< ，所以函数的值域为[]2,0-，故选：D.【变式5-1】函数()2sin 3cos f x x x =+的值域是（ ）A ．[]2,5B ．[]3,5C ．13⎡⎤⎣⎦D ．13⎡⎣【答案】C【解析】()sin()2cos()2sin 3cos 2sin 3cos f x x x x x x x +=+++=-+-=+πππ，∴()f x 为周期函数，其中一个周期为T π=，故只需考虑()f x 在[0,]π上的值域即可，当[0,]2x π∈时，()2sin 3cos 13)f x x x x =+=+α，其中cos 13α，sin 13α=, ∴max ()()132f x f =-παmin ()()22f x f ==π，当[,]2x ππ∈时，()2sin 3cos 13)f x x x x =-=+β，其中，cos 13β=sin 13=β， ∴max ()()132f x f =-πβmin ()()22f x f ==π，∴()f x 的值域为13].故选：C【变式5-2】设函数2()|sin |2cos 1f x x x =+-，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的最小值是______． 【答案】0【解析】∵2()|sin |2cos 1f x x x =+-|sin |cos 2x x =+为偶函数，∴只需求函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最小值，此时2()sin cos22sin sin 1f x x x x x =+=-++，令[]sin 0,1t x =∈，则221y t t =-++，函数的对称轴为[]10,14t =∈，∴当1t =时，min 2110y =-++=.【变式5-3】若不等式sin tan tan sin 0x x x x k -++-≤在3,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则k 的取值范围是______. 【答案】[)2,∞+ 【解析】∵ ()sin 1cos sin tan sin sin cos cos x x xx x x x x++=+=，3,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴ sin 0,1cos 0,cos 0x x x >+><，∴ tan sin 0x x +<，∴sin tan tan sin sin tan tan sin 2tan x x x x x x x x x -++=---=-， ∵ 不等式sin tan tan sin 0x x x x k -++-≤在3,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立 ∴ 2tan k x ≥-，3,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()max 2tan 2k x ≥-=. 故k 的取值范围是[)2,∞+.。

第一章 函数x y sin =，x y cos =的值域许多三角函数的值域都是利用函数x y sin =，x y cos =的图象和性质，主要有无限制条件和有限制条件两类．一．无限制条件的函数x y sin =，x y cos =的值域若R x ∈, 则函数x y sin =，x y cos =的值域为]1,1[-．例1.1.1 分别求下列函数的值域：（1）3sin 2-=x y ；（2）2sin 4+-=x y ． 解：（1）2sin 22,1sin 1≤≤-∴≤≤-x x ，得15-≤≤-y ， 所以函数的值域为]1,5[--．（2）4sin 44,1sin 1≤-≤-∴≤≤-x x ，得62≤≤-y ， 所以函数的值域为]6,2[-．例1.1.2 分别求下列函数的值域：（1）2cos +-=x y ；（2）1cos 2+=x y ． 解：（1）1cos 1,1cos 1≤-≤-∴≤≤-x x ，得31≤≤y ， 所以函数的值域为]3,1[．（2）2cos 22,1cos 1≤≤-∴≤≤-x x ，得31≤≤-y ， 所以函数的值域为]3,1[-．例1.1.3 （1）若函数b x a y +=sin 的值域为]5,2[-，求b a ,的值； （2）若函数b x a y +-=cos )23(的值域为]4,2[，求b a ,的值．解：（1）当0>a 时，⎩⎨⎧-=+-=+,2,5b a b a 得23,27==b a ；当0<a 时，⎩⎨⎧-=+=+-,2,5b a b a 得23,27=-=b a ；所以23,27=±=b a ．（2）⎩⎨⎧=+--=+-,223,423b a b a 得3,123==-b a ，所以⎩⎨⎧==3,1b a 或⎩⎨⎧==3,2b a ．例1.1.4 （1）求函数5sin 2-=x y 的值域；（2）若函数b x a y +=cos 的值域为]5,1[，求b a ,的值． 解：（1）2sin 20,1sin 0≤≤∴≤≤x x ，得35-≤≤-y ， 所以函数的值域为]3,5[--．（2）1cos 0≤≤x ，⎩⎨⎧==+∴,1,5b b a 得1,4==b a ．练习：练习1.1.1 分别求下列函数的值域：（1）1sin 5-=x y ；（2）4sin +-=x y ． 练习1.1.2 分别求下列函数的值域：（1）1cos 4+-=x y ；（2）4cos 3+=x y ． 练习1.1.3 （1）若函数b x a y ++=sin )2(的值域为]2,6[-，求b a ,的值； （2）若函数12cos -+-=b x a y 的值域为]4,0[，求b a ,的值． 练习1.1.4 （1）求函数2sin 3+-=x y 的值域；（2）若函数b x a y +-=cos )21(的值域为]4,1[-，求b a ,的值．二．有限制条件的函数x y sin =，x y cos =的值域有限制条件的函数x y sin =，x y cos =的值域一般应利用函数的图象，通过图象去分析函数的值域．例1.2.1 分别求下列函数的值域：（1）]65,3[,sin ππ-∈=x x y ； （2）]67,6[,1sin 3ππ∈+-=x x y ． 解：（1）如图，画出正弦函数在限制区间内的图象，从图中可知，函数的值域是]1,23[-．（2）如图，画出正弦函数在限制区间内的图象，从图中可知，当]67,6[ππ∈x 时，1sin 21≤≤-x ， 所以函数的值域是]25,2[-．例1.2.2 分别求下列函数的值域：（1）]32,3[,cos ππ-∈=x x y ； （2）]34,4[,3cos 4ππ∈+-=x x y ．解：（1）如图，画出余弦函数在限制区间内的图象，从图中可知，函数的值域是]1,21[-．（2）如图，画出余弦函数在限制区间内的图象，从图中可知，当]34,4[ππ∈x 时，22cos 1≤≤-x ， 所以函数的值域是]7,223[-．例1.2.3 分别求下列函数的值域：（1）]2,6[),62sin(πππ-∈-=x x y ； （2）],[,)321cos(πππ-∈+=x x y ．解：（1）]2,6[ππ-∈x ，65622πππ≤-≤-∴x ，根据正弦函数在限制区间内的图象可知，1)62sin(1≤-≤-πx ，所以函数的值域是]1,1[-．（2）],[ππ-∈x ，653216πππ≤+≤-∴x ，根据余弦函数在限制区间内的图象可知，1)321cos(23≤+≤-πx ，所以函数的值域是]1,23[-． 例1.2.4 （1）若函数]2,6[,sin ππ-∈+=x b x a y 的值域为]6,2[-，求b a ,的值；（2）若函数b x a y +=cos ，]2,32[ππ-∈x 的值域为]1,2[-，求b a ,的值． 解：]2,6[ππ-∈x ，1sin 21≤≤-∴x ，当0>a 时，⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+,221,6b a b a 得32,316==b a ； 当0<a 时，⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+-,2,621b a b a 得310,316=-=b a ；所以⎪⎩⎪⎨⎧==32,316b a 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=310,316b a ． 例1.2.5 若函数]3,0[,)62sin(ππ∈++=x n x m y 的值域是]6,1[-，求n m ,的值．解：当]3,0[π∈x 时，65626πππ≤+≤x ，1)62sin(21≤+≤πx ，当0>m 时，⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+,121,6n m n m 得8,14-==n m ；当0<m 时，⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+,1,621n m n m 得13,14=-=n m ；所以⎩⎨⎧-==8,14n m 或⎩⎨⎧=-=13,14n m ．练习：练习1.2.1 分别求下列函数的值域：（1）]32,6[,1sin 2ππ-∈-=x x y ； （2）)65,6(,sin 3ππ∈-=x x y ． 练习1.2.2 分别求下列函数的值域：（1）]3,3[,2cos 3ππ-∈+=x x y ； （2）)35,3(,cos 62ππ∈-=x x y ． 练习1.2.3 分别求下列函数的值域：（1）]3,0[),63sin(ππ∈-=x x y ； （2）],0[,3)321cos(2ππ∈--=x x y ．练习1.2.4 （1）若函数]6,6[,sin ππ-∈+=x b x a y 的值域为]4,0[，求b a ,的值；（2）若函数b x a y +-=cos )12(，]32,32[ππ-∈x 的值域为]4,2[-，求b a ,的值． 练习 1.2.5 若函数]6,0[,)32cos(ππ∈+-=x n x m y 的值域是]4,4[-，求n m ,的值．第二章 函数x b x a y cos sin +=的值域一．收缩公式x b x a cos sin +=)sin(22ϕ++x b a 的应用先化x b x a cos sin +=)sin(22ϕ++x b a ，其中ab=ϕtan ，且角ϕ的象限与点),(b a 的象限相同，再求函数x b x a y cos sin +=的值域． 例2.1.1 求函数x x y cos 3sin +=的值域．解：)3sin(2)cos 23sin 21(2π+=+=x x x y ，所以函数的值域是]2,2[-．例2.1.2 求函数x x y cos 4sin 3-=的值域．解：)sin(5)cos 54sin 53(5ϕ-=-=x x x y ，其中34tan =ϕ，ϕ为锐角，所以函数的值域是]5,5[-．例2.1.3 求函数],0[(cos 3sin 3π∈-=x x x y 的值域． 解：)6sin(32)cos 21sin 23(32π-=-=x x x y ， 当],0[π∈x 时，6566πππ≤-≤-x ，1)6sin(21≤-≤-πx ， 所以函数的值域是]32,3[-． 例2.1.4 求函数)2,0((cos 3sin 2π∈+=x x x y 的值域．解：)sin(13)cos 133sin 132(13ϕ+=+=x x x y ，其中23tan =ϕ，ϕ为锐角，且24πϕπ<<，当20π<<x 时，ϕπϕϕπ+<+<<24x ，根据正弦函数在限制区间内的图象可知，1)sin()2sin(≤+<+ϕϕπx ，而132cos )2sin(==+ϕϕπ，即有1)sin(132≤+<ϕx ，所以函数的值域是]13,2[．练习：练习2.1.1 求函数x x y cos 3sin 3-=的值域． 练习2.1.2 求函数x x y cos 6sin 13+=的值域．练习2.1.3 求函数],0[(cos 3sin 3π∈--=x x x y 的值域． 练习2.1.4 求函数),2((cos sin 4ππ∈+-=x x x y 的值域．二．通过化简转化为x b x a y cos sin +=的值域 例2.2.1 求函数)3cos(sin 3π++=x x y 的值域．解：)sin 23cos 21(sin 3x x x y -+=)6sin(sin 23cos 21π+=+=x x x ，所以函数的值域是]1,1[-．例2.2.2 求函数)50cos(5)20sin(300+++=x x y 的值域． 解：设ϕ=+020x ，则)30cos(5sin 30++=ϕϕy )sin 21cos 23(5sin 3ϕϕϕ-+= ϕϕcos 235sin 21-=)sin(19θϕ+=，其中35tan -=θ，角θ在第四象限， 所以函数的值域是]19,19[-． 练习：练习2.2.1 求函数)62cos(3)62sin(ππ++-=x x y 的值域．练习2.2.2 求函数)23sin(4)37sin(200++-=x x y 的值域．第三章 函数c x b x a y ++=sin sin 2与c x b x a y ++=cos cos 2型的值域 一．利用代换x t sin =，或x t cos =转化为一元二次函数的值域 例3.1.1 分别求下列函数的值域：（1）3sin sin 2-+=x x y ； （2）1sin cos 22--=x x y ．解：（1）令x t sin =，则413)21(322-+=-+=t t t y ，其中11≤≤-t ，根据二次函数在限定区间内的函数值域求法可知，函数的值域是]1,413[--．（2）令x t sin =，则89)41(2121sin sin 2222++-=+--=+--=t t t x x y ，其中11≤≤-t ，根据二次函数在限定区间内的函数值域求法可知，函数的值域是]89,2[-．例3.1.2 分别求下列函数的值域：（1）x x y cos cos 2+-=； （2）1cos 3sin 2++=x x y ．解：（1）令x t cos =，则41)21(22+--=+-=t t t y ，其中11≤≤-t ，根据二次函数在限定区间内的函数值域求法可知，函数的值域是]41,2[-．（2）令x t cos =，则232cos 3cos 22++-=++-=t t x x y ，其中11≤≤-t ，由于二次函数232++-=t t y 的对称轴是23=t ，根据二次函数在限定区间内的函数值域求法可知，函数的值域是]4,2[-．例3.1.3 分别求下列函数的值域：（1）]2,6[,sin sin 22ππ-∈+=x x x y ； （2）]2,2[,1cos cos 22ππ-∈-+=x x x y ．解：（1）令x t sin =，则81)41(2222-+=+=t t t y ，其中121≤≤-t ，根据二次函数在限定区间内的函数值域求法可知，函数的值域是]3,81[-．（2）令x t cos =，则122-+=t t y ，其中10≤≤t ，由于二次函数122-+=t t y 的对称轴是41-=t ，根据二次函数在限定区间内的函数值域求法可知，函数的值域是]2,1[-．例3.1.4 求函数1sin 2sin 2--=x a x y 的值域．解：令x t sin =，则1)(12222---=--=a a t at t y ，其中11≤≤-t ， 根据二次函数在限定区间内的函数值域求法可知，当1>a 时，函数的值域是]2,2[a a -；当10≤≤a 时，函数的值域是]2,1[2a a --；当01<≤-a 时，函数的值域是]2,1[2a a ---；当1-<a 时，函数的值域是]2,2[a a -．例3.1.5 求函数)20(2cos )42(sin 2π≤≤+-+=x x a x y 的值域．解：令x t cos =，则3)21(23cos )21(2cos 22+-+-=+-+-=t a t x a x y)1(4)]21([22+-+---=a a a t ，其中10≤≤t ，由于二次函数3)21(22+-+-=t a t y 的对称轴是a t 21-=，开口方向向下， 根据二次函数在限定区间内的函数值域求法可知， 当121>-a ，即0<a 时，函数的值域是]44,3[a -；当12121≤-≤a ，即410≤≤a 时，函数的值域是]444,3[2++a a ； 当21210<-≤a ，即2141≤<a 时，函数的值域是]444,44[2++-a a a ；当021<-a ，即21>a 时，函数的值域是]3,44[a -．练习：练习3.1.1 分别求下列函数的值域：（1）1sin 2sin 32-+=x x y ； （2）x x y sin 3cos 212-= ．练习3.1.2 分别求下列函数的值域：（1）2cos 3cos 22+--=x x y ； （2）1cos 5sin 22-+-=x x y ． 练习3.1.3 分别求下列函数的值域：（1）]32,6[,sin sin 2ππ∈+-=x x x y ； （2）]32,6[,4cos 3cos 2ππ-∈--=x x x y ．练习3.1.4 求函数x a x y sin 2sin 2+-=，],0[π∈x 的值域． 练习3.1.5 求函数1cos cos 212+-=x a x y 的值域．二．利用公式x x x 22sin 211cos 22cos -=-=转化 例3.2.1 分别求下列函数的值域：（1）2sin 2cos -+=x x y ； （2）x x y cos 32cos -=．解：（1）87)41(sin 21sin sin 222---=-+-=x x x y ，函数的值域是]87,4[--．（2）817)43(cos 21cos 3cos 222--=--=x x x y ，函数的值域是]6,817[-．例3.2.2 求函数))32,0((1sin 32cos 2π∈-+=x x x y 的值域． 解：1625)83(sin 41sin 3sin 422+--=++-=x x x y ，其中1sin 0≤<x ，所以函数的值域是]1625,0[ 例3.2.3 求函数x a x y cos 42cos -=的值域．解：12)(cos 21cos 4cos 2222---=--=a a x x a x y ， 根据二次函数在限定区间内的函数值域求法可知，当1>a 时，函数的值域是]41,41[a a +-；当10≤≤a 时，函数的值域是]41,12[2a a +--；当01<≤-a 时，函数的值域是]41,12[2a a ---；当1-<a 时，函数的值域是]41,41[a a -+． 例3.2.4 求函数))67,3((1sin 2cos ππ∈-+=x x a x y 的值域．解：8)4(sin 2sin sin 2222a a x x a x y +--=+-=，其中1sin 21≤<-x当14>a ，即4>a 时，函数的值域是]2,21(-+-a a ； 当1441≤<a ，即41≤<a 时，函数的值域是]8,21(2a a +-； 当41421<<-a ，即121<<-a 时，函数的值域是]8,2[2a a -； 当214-≤a ，即2-≤a 时，函数的值域是)21,2[a a +--． 练习：练习3.2.1 求1sin 52cos ++-=x x y 的值域． 练习3.2.2 求4cos 22cos +-=x x y 的值域．练习3.2.3 求))32,2((1cos 2cos ππ∈+-=x x a x y 的值域． 练习3.2.4 求3sin )48(2cos 2+-+-=x a x y 的值域．第四章 函数d x c bx a y ++=sin sin 与dx c b x a y ++=cos cos 型的值域一．利用变形分析法求它的值域利用变形)sin (sin )()sin (sin sin d x c c ad bc c a d x c c adb d xc c ad x c b x a +-+=+-++=++， 再根据x y sin =的值域求解．例4.1.1分别求下列函数的值域：（1）1sin 3sin 2++=x x y ； （2）1cos 43cos 2+-=x x y ．解：（1）1sin 12++=x y ，1sin 1≤<-x ，21sin 0≤+<x ，211sin 1≥+∴x ， 即25≥y ，所以函数值域是),25[∞+．（2）)1cos 4(27211cos 427)1cos 4(21+-=+-+=x x x y ，1cos 1≤≤-x 且41cos -≠x ，51cos 43≤+≤-x 且01cos 4≠+x ，511cos 41≥+∴x 或311cos 41-≤+x ，107)1cos 4(27≥+∴x 或67)1cos 4(27-≤+x ，即51-≤y 或35≥y ，所以函数值域是]51,(),35[--∞∞+ ．例4.1.2 求函数]0,2[,3sin 25sin 3π-∈++=x x x y 的值域． 解：)3sin 2(21233sin 221)3sin 2(23++=+++=x x x y ，02≤≤-x π，0sin 1≤≤-∴x ， 33sin 21≤+≤x ， 313sin 211≥+≥∴x ，61)3sin 2(2121≥+≥∴x ，即235≤≤y ，所以函数值域是]2,35[． 例4.1.3 求函数)32,3(,1cos 23cos 2ππ∈++=x x x y 的值域．解：1cos 221++=x y ，323ππ<<x 21cos 21<<-∴x ，21cos 20<+<x ， 211cos 21>+∴x ，即2>y ，所以函数值域是),2(∞+．练习：练习4.1.1分别求下列函数的值域：（1）x x y sin 231sin 2-+=； （2）3cos 5cos 3+-=x x y ．练习4.1.2 求函数]32,6[,1sin 35sin 3ππ∈++=x x x y 的值域． 练习4.1.3 求函数)2,3(,cos 341cos 2ππ-∈--=x x x y 的值域．二．利用反解法求值域由d x c b x a y ++=sin sin 得a yc yd b x --=sin ，利用1sin ≤x 得1≤--ayc yd b ，再求它的值域．例4.2.1分别求下列函数的值域：（1）1sin sin 2+=x x y ； （2）2cos cos 3+-=x xy ．解：（1）由1sin sin 2+=x x y ，得y y x -=2sin ，所以12≤-yy，即y y -≤2，平方得0)2(22≤--y y ，044≤-y ，1≤y ，所以函数值域是]1,(-∞． （2）由2cos cos 3+-=x x y ，得123cos +-=y y x ，所以1123≤+-y y，即123+≤-y y ，平方得0)1()23(22≤+--y y ，0)4)(23(≤--y y ，432≤≤y ， 所以函数值域是]4,32[． 例4.2.2 分别求下列函数的值域：（1）]2,6[,sin 342sin ππ-∈-+=x x x y ； （2）]2,3[,3cos 21cos ππ-∈-+=x x x y ．解：（1）由x x y sin 342sin -+=，得1324sin +-=y y x ，]2,6[ππ-∈x 1sin 21≤≤-∴x所以1132421≤+-≤-y y ，也就是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥++-≤-+-,0211324,011324y y y y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+-≤+-,0)13(2311,0133y y y y 即⎪⎩⎪⎨⎧-<≥≤<-,31113,331y y y 或可得3113≤≤y ，所以函数值域是]3,113[． （2）由3cos 21cos -+=x x y ，得1213cos -+=y y x ，23ππ≤≤-x ，1cos 0≤≤∴x ，所以112130≤-+≤y y ，也就是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-+=--+≥-+,012211213,01213y y y y y y 即⎪⎩⎪⎨⎧<≤->-≤,212,2131y y y 或得312-≤≤-y ，所以函数值域是]31,2[--．练习：练习4.2.1分别求下列函数的值域：（1）x x y sin 541sin -+=； （2）2cos 3cos 1+-=x xy ．练习4.2.2 分别求下列函数的值域： （1）)6,65(,sin 321sin 3ππ--∈-+=x x x y ； （2）)3,6(,2cos 54cos ππ-∈--=x x x y ．第五章 函数dx c bx a y ++=cos sin 型的值域利用变形b yd x yc x a -=-cos sin ，即b yd x c y a -=++)sin(222ϕ，可由于1)sin(≤+ϕx ，得不等式1222≤+-c y a b yd ，即2222)(b yd c y a -≥+，再求它的值域．例5.1.1分别求下列函数的值域：（1）2cos 3sin 2-+=x x y ； （2）4sin 31cos 2+-=x x y ．解：（1）由2c o s 3s i n 2-+=x x y ，得32c os s i n 2--=-y x y x ，所以22)32(4--≥+y y ，即051232≤++y y ，得32163216--≤≤+-y ， 所以函数值域是]3216,3216[--+-． （2）由4sin 31cos 2+-=x x y ，得y x x y 41cos 2sin 3--=-，所以22)14(49--≥+y y ，即03872≤-+y y ，得73747374+-≤≤+-y ， 所以函数值域是]7374,7374[+-+-．练习：练习5.1.1分别求下列函数的值域：（1）x x y cos 231sin 4--=； （2）3sin 21cos -+=x x y ．第六章 函数x c x x b x a y 22cos cos sin sin ++=的值域 一．倍角公式的应用利用公式22cos 1sin 2x x -=，22cos 1cos 2x x +=，x x x 2sin 21cos sin =转化． 例6.1.1求函数x x x x y 22cos 7cos sin 4sin 3+-=的值域． 解：2)2cos 1(72sin 22)2cos 1(3x x x y ++--=x x 2cos 22sin 25+-= )42sin(225π--=x ，所以函数的值域是]225,225[+-．例6.1.2求函数x x x x y 22cos cos sin 32sin ++-=的最值及相应的x 集合． 解：x x y 2sin 32cos -=)32cos(2π+=x ，当)(232Z k k x ∈=+ππ，即⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,6ππ时，函数有最大值2max =y ； 当)(232Z k k x ∈+=+πππ，即⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,3ππ时，函数有最小值2min -=y ． 练习：练习6.1.1求函数x x x x y 22cos cos sin 6sin 3++-=的值域．练习6.1.2求函数x x x x y 22cos cos sin 3sin 4+-=的最值及相应的x 集合． 二．转化为正切求解xx x c x x b x a x c x x b x a 222222cos sin cos cos sin sin cos cos sin sin +++=++1tan tan tan 22+++=x c x b x a ，设x t tan =，则转化为二次分式函数122+++=t cbt at y 的值域求解． 例6.2.1求函数x x x x y 22cos 2cos sin sin 3++=的值域．解：=+++=x x x x x x y 2222cos sin cos 2cos sin sin 31tan 2tan tan 322+++x x x ， 设x t tan =，则12322+++=t t t y ，0)2()3(2=-+--y t t y ， 当3=y 时，1=t ，适合；当3≠y 时，0)2)(3(41≥---=∆y y ，即0232042≤+-y y ， 得225225+≤≤-y ； 综上所述，函数的值域是]225,225[+-． 练习：练习6.2.1求函数x x x x y 22cos 6cos sin 3sin 2+-=的值域． 第七章 函数x x y cos sin ±=、x x y cos sin =的值域 一．利用收缩公式求值域利用x x y cos sin ±==)4sin(2π±x 和x x y cos sin ==22sin x求值域 例7.1.1 分别求下列函数的值域：（1）x x y cos sin += （),0(π∈x ）；（2）x x y cos sin -=（),2(ππ∈x ）．解：（1）)4sin(2π+=x y ，当π<<x 0时，4544πππ<+<x ，1)4sin(22≤+<-πx ，所以函数的值域是]2,1(-．（2）)4sin(2π-=x y ，当ππ<<x 2时，4344πππ<-<x ，1)4sin(22≤+<πx ，所以函数的值域是]2,1(． 例7.1.2 分别求下列函数的值域：（1）x x y cos sin =； （2）x x x x y cos sin cos sin 22+=．解：（1）22sin x y =，由于12sin ≤x ，所以函数的值域是]21,21[-． （2）设x x t cos sin =，则2121≤≤-t ，41)21(22-+=+=t t t y ，根据二次函数在限定区间内的最值求法可知，函数的值域是]43,41[-．练习：练习7.1.1 分别求下列函数的值域：（1）x x y cos sin += （)0,2(π-∈x ）；（2）x x y cos sin -=（)2,0(π∈x ）．练习7.1.2 分别求下列函数的值域：（1）x x y cos sin =（)0,2(π-∈x ）； （2）x x x x y cos sin cos sin 222-=．二．利用x x cos sin ±与x x cos sin 的关系求值域x x cos sin ±与x x cos sin 有关系式x x x x cos sin 21)cos (sin 2±=±，设t x x =+cos sin ，则21c os s i n 2-=t x x ，其中]2,2[-∈t ，转化为一元二次函数的值域．例7.2.1 求函数)21)(cos 21(sin ++=x x y 的值域．解：41)cos (sin 21cos sin +++=x x x x y ，设t x x =+cos sin ，则21cos sin 2-=t x x ，其中]2,2[-∈t ，83)21(2141212122-+=-+=t t t y ， 根据二次函数在限定区间内的最值求法可知，函数的值域是]4223,83[+-．例7.2.2 求函数))(cos (sin a x a x y ++=的值域． 解：2)cos (sin cos sin a x x a x x y +++=，设t x x =+cos sin ，则21cos sin 2-=t x x ，其中]2,2[-∈t ，21)(2121212222-++=-++=a a t a at t y ，根据二次函数在限定区间内的最值求法可知，当2-<a 时，函数的值域是]212,212[22+-++a a a a ；当02≤≤-a 时，函数的值域是]212,21[22+--a a a ； 当20≤<a 时，函数的值域是]212,21[22++-a a a ； 当2>a 时，函数的值域是]212,212[22+++-a a a a ．练习：练习7.2.1 求函数)2)(cos 2(sin --=x x y 的值域． 练习7.2.2 求函数))(cos (sin a x a x y --=（)2,0(π∈x ）的值域．第八章 三角函数的最值与值域求法的综合应用 一．利用正余弦函数的值域求范围例8.1.1 若不等式0cos 3sin 2>++m x x 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：)sin(13cos 3sin 2ϕ+-=-->x x x m ，可知实数m 的取值范围是13>m ． 例8.1.2 若31cos sin =+βα，求βαsin cos +的取值范围． 解：设t =+βαsin cos ，则2)sin (cos βα++31)cos (sin 22+=+t βα，431)sin(222≤+=++t βα，得3112≤t ，即333333≤≤-t ，所以333sin cos 333≤+≤-βα． 练习：练习8.1.1 若不等式0)6cos(4sin 3>-+-m x x π恒成立，求实数m 的取值范围．练习8.1.2 若1cos 2sin =+βα，求βαsin 2cos -的取值范围．二．利用三角函数解决三角形等几何图形的最值（或值域）问题 例8.2.1 在ABC ∆中，若角B=060，求C A 22cos sin +的取值范围． 解：060=B ，0120=+∴C A ，且001200<<A ，C A 22cos sin +=)120(cos sin 022A A -+=2)2240cos(122cos 10A A -++- =)2sin 432cos 43(1A A +-=1)602sin(230+-A ，由上可知00030060260<+<A ，1)602sin(10≤+≤-A ， 所以C A 22cos sin +的值域是]231,231[+-． 例8.2.2 在ABC ∆中，若角B=060，外接圆的半径为2，角A 、B 、C 所对的边分别为c b a ,,，求22c a +的取值范围．解：060=B ，0120=+∴C A ，且001200<<A ，由正弦定理4sin sin ==CcA a ， 从而22c a +=16（)sin sin 22C A +=16（)120(sin sin 022A A -+）=16（2)2240cos(122cos 10A A --+-）=16（1A A 2sin 432cos 41+-） =16+8)302sin(0-A ，由上可知00021030230<-<-A ，1)602sin(210≤+<-A ， 所以22c a +的值域是]24,8(．例8.2.3 在半径为4, 圆心角为060的扇形OMN 中有一个内接矩形ABCD, 其中点A 在半径ON 上，点B 、C 在半径OM 上，点D 在圆弧MN 上，如图，求它的内接矩形ABCD 的周长L 和面积S 的最大值．解：设θ=∠COD ，则θ-=∠060AOD ，0120=∠OAD ，θsin 4=CD ，由正弦定理0120sin 4)60sin(=-θAD ， 得)60sin(380θ-=AD ，周长]sin )60sin(32[8)(20θθ+-=+=CD AD L =8[θθsin )311(cos ++]所以，周长的最大值是3237)311(12+=++=L ； 面积)60sin(sin 3320θθ-=⋅=CD AD S =)sin 21cos 23(sin 332θθθ- ]42c o s 12s i n 43[332θθ--==]21)302[sin(3160-+θ 所以，当030=θ时，面积有最大值338=S ．练习：练习8.2.1 在锐角ABC ∆中，若角B=060，求C A 22sin sin +的取值范围． 练习8.2.2 在锐角ABC ∆中，若角B=060，角A 、B 、C 所对的边分别为c b a ,,，且34=b ，求22c a +的取值范围．练习8.2.3 在半径为2, 圆心角为090的扇形OMN中有一个内接矩形ABCD, 其中点A在半径OM上，点D在半径ON上，点B、C在圆弧MN上，如图，求它的内接矩形ABCD的周长L和面积S的最大值．。

高中数学解题方法系列：三角函数最值问题的10种方法三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高.解决三角函数最值这类问题的基本途径，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题.下面介绍几种常见的求三角函数最值的方法：一．转化一次函数在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法.例1．求函数2cos 1y x =-的值域[分析] 此为cos y a x b =+型的三角函数求最值问题， 设cos t x =，由三角函数的有界性得[1,1]t ∈-，则21[3,1]y t =-∈-二. 转化sin()y A x b ωϕ=++(辅助角法)观察三角函数名和角，先化简，使三角函数的名和角统一.例2．（2017年全国II 卷）求函数()2cos sin f x x x =+的最大值为.[分析] 此为sin cos y a x b x =+型的三角函数求最值问题，通过引入辅助角公式把三角函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式，再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用|sin cos |a x b x +≤求最值.()f x ≤三. 转化二次函数(配方法)若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，且它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理.例3． 求函数3cos 3sin 2+--=x x y 的最小值.[分析]利用22sin cos 1x x +=将原函数转化为2cos 3cos 2+-=x x y ，令cos t x =，则,23,112+-=≤≤-t t y t 配方，得41232-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t y , ∴≤≤-,11t Θ当t=1时,即cosx=1时，0min =y四. 引入参数转化（换元法）对于表达式中同时含有sinx+cosx ，与sinxcosx 的函数，运用关系式(),cos sin 21cos sin 2x x x x ±=± 一般都可采用换元法转化为t 的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围.例4. 求函数sin cos sin .cos y x x x x =++的最大值.[分析]解：令().cos sin 21cos sin 2x x x x +=+，设sin cos .t x x =+则[]()t t y t t x x +-=∴-∈-=21,2,221cos sin 22，其中[]2,2-∈t 当.221,14sin ,2max +=∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y x t π 五. 利用基本不等式法利用基本不等式求函数的最值，要合理的拆添项，凑常数，同时要注意等号成立的条件，否则会陷入误区.例5. 已知()π,0∈x ，求函数1sin 2sin y x x =+的最小值. [分析] 此题为xa x sin sin +型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解.设()1sin ,01,2x t t y t t =<≤=+≥=2t =. 六．利用函数在区间内的单调性 例6.已知()π,0∈x ，求函数x x y sin 2sin +=的最小值. [分析] 此题为xa x sin sin +型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解. 设()t t y t t x 1,10,sin +=≤<=，在（0，1）上为减函数，当t=1时，3min =y .七．转化部分分式例7．求函数1cos 21cos 2-+=x x y 的值域[分析] 此为dx c b x a y -+=cos cos 型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解.或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解. 解法一：原函数变形为1cos ,1cos 221≤-+=x x y Θ，可直接得到：3≥y 或.31≤y 解法一：原函数变形为()()∴≤-+∴≤-+=,1121,1cos ,121cos y y x y y x Θ3≥y 或.31≤y 八． 数形结合由于1cos sin 22=+x x ，所以从图形考虑，点(cosx,sinx)在单位圆上，这样对一类既含有正弦函数，又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何方法求得. 例8． 求函数()π<<--=x xx y 0cos 2sin 的最小值. [分析] 法一：将表达式改写成,cos 2sin 0x x y --=y 可看成连接两点A(2,0)与点(cosx,sinx)的直线的斜率.由于点(cosx,sinx)的轨迹是单位圆的上半圆（如图），所以求y 的最小值就是在这个半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小.设过点A 的切线与半圆相切与点B,则.0<≤y k AB 可求得.3365tan -==πAB k 所以y 的最小值为33-（此时3π=x ）. 法二：该题也可利用关系式asinx+bcosx=()φ++x b a sin 22（即引入辅助角法）和有界性来求解.九． 判别式法例9．求函数22tan tan 1tan tan 1x x y x x -+=++的最值. [分析] 同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和常数分离法.解：()()()()222tan tan 1tan tan 11tan 1tan 101,tan 0,x x y x x y x y x y y x x k k ππ-+=++∴-+++-=∴===∈1≠y 时此时一元二次方程总有实数解()()()().3310313,014122≤≤∴≤--∴≥--+=∆∴y y y y y 由y=3，tanx=-1，()3,4max =∈+=∴y z k k x ππ 由.31,4,1tan ,31min =+=∴==y k x x y ππ 十． 分类讨论法含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论.例10.设()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤--+-=20214sin cos 2πx a x a x x f ，用a 表示f(x)的最大值M(a). 解：().214sin sin 2+-+-=a x a x x f 令sinx=t,则,10≤≤t ()().21442214222+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-+-==a a a t a at t x f t g （1） 当12≥a ，即()t g a ,2≥在[0，1]上递增， ()();21431-==a g a M （2） 当,120≤≤a 即20≤≤a 时，()t g 在[0，1]上先增后减，();214422+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a g a M （3） 当,02≤a 即()t g a ,0≤在[0，1]上递减，()().4210a g a M -== ()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-≤≤+-≥-=∴0,42120,21442,21432a a a a a a a a M以上几种方法中又以配方法和辅助角法及利用三角函数的有界性解题最为常见.解决这类问题最关键的在于对三角函数的灵活应用及抓住题目关键和本质所在.挑战自我：1.求函数y=5sinx+cos2x 的最值2.已知函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 23cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合.3.已知函数())cos (sin sin 2x x x x f +=，求函数f(x)的最小正周期和最大值.参考答案：1.[分 析] ：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一. ()48331612,,221sin 683316812,,22,1sin ,1sin 183345sin 21sin 5sin 2sin 21sin 5max min 222=+⨯-=∈+=∴=-=+⨯-=∈-=-=∴≤≤-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++-=-+=y z k k x x y z k k x x x x x x x x y ππππΘ 2.[分析] 此类问题为x c x x b x a y 22cos cos sin sin +⋅+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为x b x a y cos sin +=型求解.解： ().47,6,2262,4562sin 21452sin 232cos 2121452sin 432cos 41122sin 2322cos 121max =∈+=∴+=+∴+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+⋅++⋅=y z k k x k x x x x x x x x y ππππππ∴ f(x)的最小正周期为π，最大值为21+.3.[分析] 在本题的函数表达式中，既含有正弦函数，又有余弦函数，并且含有它们的二次式，故需设法通过降次化二次为一次式，再化为只含有正弦函数或余弦函数的表达式. 解：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-=+=42212sin 2cos 1cos sin 2sin 22πx sn x x x x x x f。

知识导航三角函数是高考考查的重点内容，命题的方式有很多，如化简三角函数式、求三角函数式的值、三角函数图象的变换、求三角函数的最值等，其中求三角函数的最值是一类综合性较强的题目，涉及的知识点较多，解法较为灵活.本文重点介绍一下求三角函数最值的技巧.一、利用三角函数的有界性我们知道三角函数具有有界性，比如x ∈[0,π2],0≤|sin x |≤1、0≤|cos x |≤1.在求三角函数的最值时，我们可以灵活运用三角函数中的基本公式，将三角函数式变形为正弦、余弦、正切函数式，然后利用正弦、余弦、正切函数的有界性来求得最值.例1.求函数y =2-sin x2-cos x 的最值.解:将y =2-sin x2-cos x变形可得sin x -y cos x =2-2y ,由辅助角公式可得y 2+1sin(x +φ)=2-2y ,∴sin(x +φ)=2-2yy 2+1,∵-1≤sin(x +φ)≤1,∴-1≤≤1,解得≤∴y max y min =在解答本题时，首先利用辅助角公式将三角函数式变形为只含有正弦函数的三角函数式，然后利用正弦函数的有界性建立关于y 的不等式，通过解不等式求得y 的范围，便能得出函数的最值.二、配方法配方法一般适用于解答含有二次式的函数问题.在求含有二次式的三角函数最值问题时，也可以运用完全平方公式将三角函数式配方为完全平方式，然后利用二次函数的图象和性质，以及三角函数的图象和性质求得最值.例2.已知函数y =sin 2x +a cos x +58a -32的最大值为1，求a 的值.分析:目标函数式中含有二次式.要解答本题，需要首先将目标函数式中的函数名称统一，然后运用配方法，将目标函数式配方，结合二次函数与三角函数的图象和性质来解题.解:y =sin 2x +a cos x +58a -32=1-cos 2x +a cos x +58a -32=-æèöøcos x -a 22+14a 2+58a -12，因为-1≤cos x ≤1，所以需分三种情况讨论：当-2≤a ≤2时，14a 2+58a -12=1，解得a =32或a =-4（舍去），当a <-2时，-æèöø-1-a 22+14a 2+58a -12=1，解得，当a >2时，-æèöø-1-a 22+14a 2+58a -12=1，解得a =2013（舍去），综上所述，满足条件的a 的值为32,-203.三、换元法若函数式的结构比较复杂或者含有重复出现的式子，可以运用换元法来求解，把其中的一部分看成一个整体，用新的字母代替，通过换元使函数式变得更加简洁，从而简化解题过程.在运用换元法解题的过程中，要注意换元前后定义域的等价性.例3.求函数y ＝sin x ＋cos x ＋3cos x sin x 的最值．解：令t =sin x +cos x ，则t ∈[-2，2]．∵(sin x +cos x )2-2sin x cos x =1，∴sin x cos x =t 2-12，∴y =32t 2+t -32，t ∈[-2，2]，∵对称轴，∴y min =f (-13)=-53，y max =f (2)=32+2.这里由sin x ＋cos x 、cos x sin x 联想到sin 2x ＋cos 2x =1，于是将函数式进行变形，引入新的变量t ，通过换元，将三角函数最值问题转化为二次函数最值问题，利用二次函数的图象和性质求解.求函数最值问题的方法还有很多，如图象法、导数法、化一法等.每种方法的特点和适用范围各不相同.同学们在解题的过程中要注意根据已知条件以及各种方法的特点和适用范围进行选择，提升解题的效率.（作者单位：江西省石城中学）谭鸿宇36。

三角函数最值问题的十种常见解法t=sinx+cosx，则y=t+sinx*cosx，利用关系式sinx*cosx≤1可得y≤t+1，而t的取值范围为[-√2,√2]，当t=√2时，y取得最大值√2+1.五.利用导数法求极值对于一些复杂的三角函数最值问题，可以利用导数法求解.例如对于y=2sinx+3cosx+4sin2x，求其最大值.分析]解：y'=2cosx-3sinx+8cos2x，令y'=0，得cosx=3/10或cosx=-1/2，代入原式可得y的最大值为(7+8√6)/5.六.利用三角函数的周期性对于周期函数，可以利用其周期性来求解最值问题.例如对于y=3sin(2x+π/6)+4cos(2x-π/3)，求其最大值.分析]解：由于sin和cos函数都是周期为2π的函数，因此可以将y化简为y=3sin2x+4cos2x+3√3，利用三角函数的性质可得y的最大值为7+3√3.七.利用三角函数的单调性对于单调函数，可以利用其单调性来求解最值问题.例如对于y=2sinx+3cosx，求其最小值.分析]解：y的导数y'=2cosx-3sinx，y'的符号与sinx和cosx的符号相同，因此y在[π/2,π]上单调递减，在[0,π/2]上单调递增，因此y的最小值为y(π/2)=2.八.利用三角函数的对称性对于一些具有对称性的三角函数，可以利用其对称性来求解最值问题.例如对于y=sin2x+cos2x，求其最大值和最小值.分析]解：y=sin2x+cos2x=1，因此y的最大值为1，最小值也为1.九.利用三角函数的积分性质对于一些三角函数的积分性质，可以利用其求解最值问题.例如对于y=sin2x/x，求其最大值.分析]解：y'=2cos2x/x-sin2x/x²，令y'=0，得x=tanx，代入原式可得y的最大值为2.十.利用三角函数的平均值不等式对于一些三角函数，可以利用其平均值不等式来求解最值问题.例如对于y=sin2x+cos2x，求其最大值和最小值.分析]解：由平均值不等式可得(sin2x+cos2x)/2≥sinx*cosx，因此y的最大值为1，最小值也为1.sin x+\cos x=1+2\sin x\cos x$，设$t=\sin x+\cos x$，则$2\sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}$，$\therefore y=\frac{t+\frac{t^2-1}{2}}{2}=\frac{t^2+t-1}{4}$，其中$t\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$。