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2019-2020学年北京市海淀区高一(下)期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共32.0分）1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a=5bsinC，且cosA=5cosBcosC，则tan A的值为()A. 5B. 6C. −4D. −62.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2√2，b=4，B=45°，则A=()A. 30°B. 60°C. 30°或150°D. 60°或120°3.方程√3sin2x+cos2x=2k−1，x∈[0,π]有两个不等根，则实数k的取值范围为()A. (−12,32) B. (−12,1)∪(1,32) C. [−12,32] D. [−12,1)∪(1,32]4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和虚线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为()A. 2B. 23C. 4D. 435.如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB=50m，BC=120m，于A处测得水深AD=80m，于B处测得水深BE=200m，于C处测得水深CF=110m，则∠DEF的余弦值为()A. 1665B. 1965C. 1657D. 17576.已知α，β是不同的平面，m，n是不同的直线，给出下列命题：①m⊥n，m//α，α//β⇒n⊥β；②m⊥n，m⊥α，α//β⇒n⊥β；③m ⊥α，n//β，α//β⇒m ⊥n ；④m ⊥α，m//n ，α//β⇒n ⊥β．其中正确的是( )A. ①②B. ②③C. ①④D. ③④ 7. 若0<x ，y <π2，且sinx =xcosy ，则( ) A. y <x 4B. x 4<y <x 2C. x 2<y <xD. x <y8. 已知△ABC 的面积为，则角C 的度数为( ) A. B. C. D.二、单空题（本大题共5小题，共20.0分）9. 已知3sin 2θ=5cosθ+1，则cos(π+2θ)=______．10. α是第二象限角，，则tanα=________．11. 在平行四边形ABCD 中，AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，沿BD 将四边形折起成直二面角A −BD −C ，且|√2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则三棱锥A −BCD 的外接球的表面积为______． 12. 已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a =1，c =√3，A +B =2C ，则sinB =______．13. 已知函数f(x)=asinx +cosx 的一条对称轴为x =π3，则a =______．三、多空题（本大题共1小题，共4.0分）14. 如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°，若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，线段BC 上的点Q ，满足PD =DA ，PB =BA ，则四面体P −BCD 的体积的最大值是 (1) ；当P −BCD 体积取最大值时，|PQ|min = (2) ．四、解答题（本大题共4小题，共44.0分）15. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间[−π2,0]上的最大值和最小值．16.已知a、b、c分别为△ABC的三个内角A、B、C的对边，2sinAcos2C2+2sinC⋅cos2A2=3sinB(1)证明a、b、c成等差数列；(2)若∠B为锐角，且a=btanA，求a：b：c的值．17.如图所示，直三棱柱ABC−A′B′C中，∠ABC=90°，AB=BC=BB′=2，D为底棱AC的中点．(1)求证：A′B⊥平面AB′C′；(2)过B′C′以及点D的平面与AB交于点E，求证：E为AB中点；(3)求三棱锥D−AB′C′的体积．18.已知函数．(1)求函f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)将函数f(x)的图象向右平移π个单位后得到函数y=g(x)的图象，求函数y=g(x)在区间4[0,π]上的值域．2【答案与解析】1.答案：B解析：本题主要考查解三角形中的正弦定理及应用，同时考查两角和差的余弦公式，诱导公式，以及同角三角函数的关系式，这些都是三角中的基本公式，务必要掌握，注意公式的逆用．运用正弦定理，把边化成角得到sinA=5sinBsinC，再与条件cosA=5cosBcosC相减，运用两角和的余弦公式，再用诱导公式转化为cos A，由同角公式，即可求出tan A．解：∵a=5bsinC，由正弦定理得：sinA=5sinBsinC①，又cosA=5cosBcosC②，②−①得，cosA−sinA=5(cosBcosC−sinBsinC)，=5cos(B+C)=−5cosA，∴sinA=6cosA，∴tanA=sinAcosA=6．故选B．2.答案：A解析：解：∵a=2√2，b=4，B=45°，∴由正弦定理asinA =bsinB，可得：2√2sinA=4sin45∘，∴解得sinA=12，∵a<b，∴A<B，∴A=30°．故选：A．由已知及正弦定理解得sinA=12，结合大边对大角可求A为锐角，进而由特殊角的三角函数值可求A 的值．本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值等知识在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．3.答案：B解析：解：cos2x+√3sin2x=2k−1，得2(12cos2x+√32sin2x)=2k−1，即2sin(2x+π6)=2k−1，可得：sin(2x+π6)=2k−12=k−12，由0≤x≤π，得π6≤2x+π6≤13π6，∵y=sin(2x+π6)在x∈[0,π]上的图象形状如图，∴当12<k−12<1和−1<k−12<12时，方程有两个不同的根，解得：1<k<32，−12<k<1．故选：B．利用辅助角公式化简，由x的范围求出这个角的范围，画出此时正弦函数的图象，根据函数值y对应的x有两个不同的值，由图象得出满足题意的正弦函数的值域，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的取值范围．本题考查了辅助角公式，正弦函数的图象与性质，以及正弦函数的定义域与值域，利用了数形结合的思想，属于中档题．4.答案：D解析：本题考查由三视图还原几何体，锥体体积的有关计算，还原几何体是解决问题的关键，属于基础题．由已知三视图还原几何体，代入四棱锥的体积公式计算可得．解：构造棱长为2的正方体如图所示，由三视图知该几何体是图中的四棱锥P−ABCD，其中B，D分别为棱的中点，则其体积V=13×[2×2−2×(12×2×1)]×2=43．故选D．5.答案：A解析：解：如图所示，作DM//AC交BE于N，交CF于M．DF=√MF2+DM2=√302+1702=10√298(m)，DE=√DN2+EN2=√502+1202=130(m)，EF=√(BE−FC)2+BC2=√902+1202=150(m)．在△DEF中，由余弦定理，得cos∠DEF=DE2+EF2−DF22DF×EF =1302+1502−102×2982×130×150=1665．故选A分别在Rt△DMF中和Rt△DNE中利用勾股定理，求得DF，DE再算出EF=150m，在△DEF中利用余弦定理，可算出cos∠DEF的值．本题给出实际应用问题，求∠DEF的余弦值．主要考查了运用解三角形知识解决实际应用问题，考查了三角形问题中勾股定理、余弦定理的灵活运用，属于中档题．6.答案：D解析：解：①应该是n⊥β或n//β或n⊂β，即①错误；②应该是n//β或n⊂β，即②错误；③由线面垂直、线面平行和面面平行的性质定理可知③正确；④∵m⊥α，m//n，∴n⊥α，∵α//β，∴n⊥β，即④正确；故选：D．根据空间中线面的位置关系、平行与垂直的判定定理和性质定理，即可得解．本题考查了空间中线线、线面和面面的位置关系，需要熟记其判定定理和性质定理，考查了学生的空间立体感，属于基础题．7.答案：C解析：解：∵0<x，y<π2，∴0<sinx<x<tanx，又∵sinx=xcosy，∴cosy=sinxx >sinxtanx=cosx，故y<x，又∵sinx=xcosy，即12sinx=12xcosy，∴sin x2⋅cos x2=12xcosy，即cosy=sin x2⋅cos x212x<cos x2，故y>x2，综上所述，x2<y<x，故选：C．根据已知中0<x，y<π2，可得0<sinx<x<tanx，进而可将已知sinx=xcosy变形为cosy=sinxx>sinx tanx =cosx和12sinx=12xcosy，即cosy=sinx2⋅cos x212x<cos x2，进而结合余弦函数的单调性，得到答案．本题考查的知识点是三角函数线，余弦函数的单调性，本题的变形思路比较难，特别是对已知两个式子的变形．8.答案：D解析：试题分析：解：∵ab sin C，∴absinC=即.又根据余弦定理得，∴−2absinC=−2abcosC，即sinC=cosC.∴C=.故选D．考点：解三角形点评：关键是对于已知中的面积关系式的表示，再结合余弦定理来求解得到角的值，属于基础题。
海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 （理科） 2019.4选择题 （共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1、已知集合{}30<<∈=x x A R ，{}42≥∈=x x B R ，则=B AA. {}32<<x xB. {}32<≤x xC. {}322<≤-≤x x x 或D. R2．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是它的前n 项和.若21=a ，123=S ，则=4S A ．10 B ．16 C ．20 D ．243. 在极坐标系下，已知圆C 的方程为2cos ρθ=，则下列各点在圆C 上的是 A ．1,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ． 1,6π⎛⎫⎪⎝⎭C．34π⎫⎪⎭D ．54π⎫⎪⎭4．执行如图所示的程序框图，若输出x 的值为23，则输入的x 值为A ．0 B．1 C ．2 D ．11 5．已知平面l =αβ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误．．的是 A ．若β//m ，则l m // B ．若l m //，则β//m C ．若β⊥m ，则l m ⊥ D ．若l m ⊥，则β⊥m6. 已知非零向量,,a b c 满足++=a b c ０，向量,a b 的夹角为120，且||2||=b a ，则向量a 与c 的夹角为 A ．︒60 B ．︒90 C ．︒120D ． ︒1507.如果存在正整数ω和实数ϕ使得函数)(cos )(2ϕω+=x x f （ω，ϕ为常数）的图象如图所示（图象经过点（1,0）），那么ω的值为A ．1B ．2C ． 3 D. 48．已知抛物线M ：24y x =，圆N ：222)1(r y x =+-（其中r 为常数，0>r ）.过点（1，0）的直线l交圆N 于C 、D 两点，交抛物线M 于A 、B 两点，且满足BD AC =的直线l 只有三条的必要条件是 A ．(0,1]r ∈ B ．(1,2]r ∈ C ．3(,4)2r ∈ D ．3[,)2r ∈+∞非选择题（共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9．复数3i1i-+= . 10.为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s ，2s ，3s ，则它们的大小关系为 . （用“>”连接）11．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，BE 切⊙O 于点B ， D 是CE 与⊙O 的交点.若︒=∠70BAC ，则=∠CBE ______；若2=BE ，4=CE ， 则=CD .12.已知平面区域}11,11|),{(≤≤-≤≤-=y x y x D ，在区域D 内任取一点，则取到的点位于直线y kx =（k R ∈）下方的概率为____________ .13.若直线l 被圆22:2C x y +=所截的弦长不小于2，则在下列曲线中：乙丙甲①22-=x y ② 22(1)1x y -+= ③ 2212x y += ④ 221x y -=与直线l 一定有公共点的曲线的序号是 . （写出你认为正确的所有序号） 14．如图，线段AB =8，点C 在线段AB 上，且AC =2，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设CP =x ， △CPD 的面积为()f x .则()f x 的定义域为 ； '()f x 的零点是 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，已知1tan 2B =，1tan 3C =，且1c =. (Ⅰ)求tan A ；(Ⅱ)求ABC ∆的面积.16. （本小题共14分）在如图的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE EB ⊥,//AD EF ，//EF BC ，24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==， G 是BC 的中点．(Ⅰ) 求证：//AB 平面DEG ； (Ⅱ) 求证：BD EG ⊥；(Ⅲ) 求二面角C DF E --的余弦值.17. （本小题共13分）某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的CBD A DFEB G C概率为23.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品. (Ⅰ) 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；(Ⅱ)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列； (Ⅲ) 随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.18. （本小题共13分）已知函数()ln f x x a x =-，1(), (R).ag x a x+=-∈ （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；(Ⅲ)若在[]1,e （e 2.718...=）上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，求a 的取值范围.19. （本小题共14分）已知椭圆2222:1x y C a b += (0)a b >>经过点3(1,),2M 其离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线1:(||)2l y kx m k =+≤与椭圆C 相交于A 、B 两点，以线段,OA OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点.求OP 的取值范围.20. （本小题共13分）已知每项均是正整数的数列A ：123,,,,n a a a a ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i =⋅⋅⋅，设j j k k k b +++= 21 (1,2,3)j =，12()m g m b b b nm =+++-(1,2,3)m =⋅⋅⋅.（Ⅰ）设数列:1,2,1,4A ，求(1),(2),(3),(4),(5)g g g g g ； （Ⅱ）若数列A 满足12100n a a a n +++-=，求函数)(m g 的最小值.海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（理）答案及评分参考 2019．4选择题 （共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9.12i - 10. s 1>s 2>s 3 11. 70； 3 12.1213. ① ③ 14. (2,4); 3 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.（共13分） 解：（I ）因为1tan 2B =，1tan 3C =,tan tan tan()1tan tan B CB C B C ++=-, …………………1分代入得到，1123tan()111123B C ++==-⨯ . …………………3分 因为180A B C =-- , …………………4分所以tan tan(180())tan()1A B C B C =-+=-+=-. …………………5分 （II ）因为0180A <<，由（I ）结论可得：135A = . …………………7分 因为11tan tan 023B C =>=>，所以090C B <<< . …………8分所以sin B=sin C =. …………9分由sin sin a cA C=得a =， …………………11分 所以ABC ∆的面积为：11sin 22ac B =. ………………13分16. （共14分）解：(Ⅰ)证明：∵//,//AD EF EF BC ，∴//AD BC .又∵2BC AD =,G 是BC 的中点， ∴//AD BG ，∴四边形ADGB 是平行四边形，∴ //AB DG . ……………2分 ∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ，∴//AB 平面DEG . …………………4分 (Ⅱ) 解法1证明：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ， ∴EF AE ⊥， 又,AE EB EBEF E ⊥=，,EB EF ⊂平面BCFE ，∴AE ⊥平面BCFE . ………………………5分过D 作//DH AE 交EF 于H ，则DH ⊥平面BCFE .∵EG ⊂平面BCFE ， ∴DH EG ⊥. ………………………6分 ∵//,//AD EF DH AE ，∴四边形AEHD 平行四边形， ∴2EH AD ==，∴2EH BG ==，又//,EH BG EH BE ⊥， ∴四边形BGHE 为正方形，∴BH EG ⊥， ………………………7分又,BHDH H BH =⊂平面BHD ，DH ⊂平面BHD ,∴EG ⊥平面BHD . ………………………8分 ∵BD ⊂平面BHD ,HADFEBGC∴BD EG ⊥. ………………………9分 解法2∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ，∴EF AE ⊥，EF BE ⊥，又AE EB ⊥,∴,,EB EF EA 两两垂直. ……………………5分 以点E 为坐标原点，,,EB EF EA 分别为,,x y z 轴建立如图的空间直角坐标系.由已知得，A （0，0，2），B （2，0，0）， C （2，4，0），F （0，3，0），D （0，2，2）， G （2，2，0）. …………………………6分∴(2,2,0)EG =，(2,2,2)BD =-，………7分 ∴22220BD EG ⋅=-⨯+⨯=, ………8分 ∴BD EG ⊥. …………………………9分(Ⅲ)由已知得(2,0,0)EB =是平面EFDA 的法向量. …………………………10分 设平面DCF 的法向量为(,,)x y z =n ，∵(0,1,2),(2,1,0)FD FC =-=， ∴00FD n FC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y z x y -+=⎧⎨+=⎩，令1z =,得(1,2,1)=-n . …………………………12分设二面角C DF E --的大小为θ， 则cos cos ,EB =<>==θn …………………………13分 ∴二面角C DF E --的余弦值为6- …………………………14分 17. （共13分）解：(Ⅰ)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A …………………………1分事件A 等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ……………2分151332104106)(=⨯+=A p …………………………4分 (Ⅱ) 由题可知X 可能取值为0,1,2,3.30463101(0)30C C P X C ===,21463103(1)10C C P X C ===, 12463101(2)2C C P X C ===,03463101(3)6C C P X C ===. ………………8分(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B ……………10分 事件B 等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测” 所以，3111()()303810P B =⋅=. ……………13分18. （共13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞， ………………………1分 当1a =时，()ln f xx x =-，11()1x f x x x-'=-=， ………………………2分………………………3分所以()f x 在1x =处取得极小值1. ………………………4分 （Ⅱ）1()ln ah x x a x x+=+-， 22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=--==………………………6分 ①当10a +>时，即1a >-时，在(0,1)a +上()0h x '<，在(1,)a ++∞上()0h x '>， 所以()h x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增； ………………………7分 ②当10a +≤，即1a ≤-时，在(0,)+∞上()0h x '>，所以，函数()h x 在(0,)+∞上单调递增. ………………………8分 （III ）在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，即 在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()0h x <，即 函数1()ln ah x x a x x+=+-在[]1,e 上的最小值小于零. ………………………9分 由（Ⅱ）可知①即1e a +≥，即e 1a ≥-时， ()h x 在[]1,e 上单调递减，所以()h x 的最小值为(e)h ，由1(e)e 0eah a +=+-<可得2e 1e 1a +>-，因为2e 1e 1e 1+>--，所以2e 1e 1a +>-； ………………………10分 ②当11a +≤，即0a ≤时， ()h x 在[]1,e 上单调递增，所以()h x 最小值为(1)h ，由(1)110h a =++<可得2a <-； ………………………11分 ③当11e a <+<，即0e 1a <<-时， 可得()h x 最小值为(1)h a +， 因为0ln(1)1a <+<，所以，0ln(1)a a a <+< 故(1)2ln(1)2h a a a a +=+-+>此时，(1)0h a +<不成立. ………………………12分综上讨论可得所求a 的范围是：2e 1e 1a +>-或2a <-. ………………………13分19. （共14分）解：（Ⅰ）由已知可得222214a b e a -==，所以2234a b = ① ……………1分 又点3(1,)2M 在椭圆C 上，所以221914a b+= ② ……………2分 由①②解之，得224,3a b ==.故椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分 (Ⅱ) 当0k =时，(0,2)P m 在椭圆C上，解得2m =±，所以||OP =……6分 当0k ≠时，则由22,1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 化简整理得：222(34)84120k x kmx m +++-=，222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ∆=-+-=+-> ③ ……………8分 设,,A B P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则 012012122286,()23434km m x x x y y y k x x m k k=+=-=+=++=++. ……………9分 由于点P 在椭圆C 上，所以 2200143x y +=. ……………10分 从而222222216121(34)(34)k m m k k +=++，化简得22434m k =+，经检验满足③式. ………11分又||OP =====………………………12分因为12k<≤，得23434k<+≤，有2331443k≤<+，2OP<≤. ………………………13分综上，所求OP的取值范围是. ………………………14分(Ⅱ)另解：设,,A B P点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y、、，由,A B在椭圆上，可得2211222234123412x yx y⎧+=⎨+=⎩①②………………………6分①—②整理得121212123()()4()()0x x x x y y y y-++-+=③………………………7分由已知可得OP OA OB=+，所以120120x x xy y y+=⎧⎨+=⎩④⑤……………………8分由已知当1212y ykx x-=-,即1212()y y k x x-=-⑥………………………9分把④⑤⑥代入③整理得0034x ky=-………………………10分与22003412x y+=联立消x整理得202943yk=+……………………11分由22003412x y+=得2200443x y=-，所以222222000002413||4443343OP x y y y yk=+=-+=-=-+……………………12分因为12k≤，得23434k≤+≤，有2331443k≤≤+，2OP≤≤. ………………………13分所求OP的取值范围是2. ………………………14分20. （共13分）解：（1）根据题设中有关字母的定义，12342,1,0,1,0(5,6,7)jk k k k k j======12342,213,2103,4,4(5,6,7,)mb b b b b m==+==++====// 112123123412345(1)412(2)423,(3)434,(4)444,(5)45 4.g b g b b g b b b g b b b b g b b b b b =-⨯=-=+-⨯=-=++-⨯=-=+++-⨯=-=++++-⨯=-（2）一方面，1(1)()m g m g m b n ++-=-，根据“数列A 含有n 项”及j b 的含义知1m b n +≤， 故0)()1(≤-+m g m g ，即)1()(+≥m g m g ① …………………7分 另一方面，设整数{}12max ,,,n M a a a =，则当m M ≥时必有m b n =， 所以(1)(2)(1)()(1)g g g M g M g M ≥≥≥-==+=所以()g m 的最小值为(1)g M -. …………………9分 下面计算(1)g M -的值：1231(1)(1)M g M b b b b n M --=++++--1231()()()()M b n b n b n b n -=-+-+-++- 233445()()()()M M M M k k k k k k k k k k =----+----+----++- 23[2(1)]M k k M k =-+++-12312(23)()M M k k k Mk k k k =-++++++++123()n M a a a a b =-+++++ 123()n a a a a n =-+++++ …………………12分 ∵123100n a a a a n ++++-= ， ∴(1)100,g M -=-∴()g m 最小值为100-. …………………13分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。
海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 （文科） 2019.4选择题 （共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1、已知集合{}30<<∈=x x A R ，{}42≥∈=x x B R ，则=B AA. {}2 23x x x ≤-≤<或 B. {}32<<x x C. {}32<≤x x D. R2. 设0.5323, log 2, cos 3a b c π===，则A. c b a <<B. c a b <<C. a b c <<D. b c a << 3．函数1()x f x x+=图象的对称中心为 A ．(0,0) B.(0,1)C. (1,0)D. (1,1)4. 执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为2，则输出的x 值为A. 25 B ．24 C. 23 D ．225.从集合{1,1,2}A =-中随机选取一个数记为k ，从集合{2,1,2}B =-中随机选取一个数记为b ，则直线y kx b =+不经过第三象限的概率为A ． 29 B. 13 C. 49D. 596. 在同一个坐标系中画出函数,sin x y a y ax ==的部分图象，其中01a a >≠且，则下列所给图象中可能正确的是7.2a -≤≤A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8.若直线l 被圆22:2C x y +=所截的弦长不小于2，则l 与下列曲线一定有公共点的是A ．22(1)1x y -+= B ．．2212x y += C. 2y x = D ．221x y -=非选择题（共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9. 计算21i=+__________________. 10. 为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s ，2s ，3,s 则它们的大小关系为 . （用“>”连接）11. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是上底面1111A B C D 内一动点，则三棱锥P ABC -的主视图与左视图的面积的比值为_________.12. 已知函数()x f x xe =，则'()f x =________;函数()f x 图象在点(0,(0))f 处的切线方程为_______13. 已知向量(,2),(1,)a x b y ==，其中,0x y ≥.若4≤a b ，则y x -的取值范围为 .14．如图，线段AB =8，点C 在线段AB 上，且AC =2，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设CP =x ， △CPD 的面积为()f x .则()f x 的PDCBA1A 1D 1B 1C 左视主视乙丙甲定义域为________；()f x 的最大值为 ________.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、，已知1tan 2B =，1tan 3C =,且1c =. (Ⅰ) 求tan()B C +； (Ⅱ) 求a 的值.16. （本小题共13分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =且12n n S S n -=+（2n ≥，*n ∈N ）.( I )求n S ；( II ) 是否存在等比数列{}n b 满足112339, b a b a b a ===，？若存在，则求出数列{}n b 的通项公式；若不存在，则说明理由.17. （本小题共13分）如图：梯形ABCD 和正△PAB 所在平面互相垂直，其中//,AB DC 12AD CD AB ==，且O 为AB 中点.( I ) 求证：//BC 平面POD ； ( II ) 求证：AC ⊥PD .18. （本小题共14分）已知函数1()ln (0,)f x a x a a x=+≠∈ R （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值和单调区间；(II) 若在区间[1,e]上至少存在一点0x ，使得0()0f x <成立，求实数a 的取值范围.BACDOP19. （本小题共14分）已知椭圆2222:1x y C a b+= (0)a b >>经过点3(1,),2M 其离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，以线段,OA OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点. 求O 到直线距离的l 最小值.20. （本小题共13分）已知每项均是正整数的数列123100,,,,a a a a ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i =，设j j k k k b +++= 21(1,2,3)j =，12()100m g m b b b m =+++-(1,2,3).m =（Ⅰ）设数列1240,30,k k ==34510020,10,...0k k k k =====，求(1),(2),(3),(4)g g g g ； (II) 若123100,,,,a a a a 中最大的项为50， 比较(),(1)g m g m +的大小； （Ⅲ）若12100200a a a +++=，求函数)(m g 的最小值.海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（文）答案及评分参考 2019．4选择题 （共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9.1i - 10. s 1>s 2>s 3 11. 1 12. (1)x x e +， y x = 13. [4,2]- 14. (2,4)，三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15. （共13分） 解：（I ）因为1tan 2B =，1tan 3C =,tan tan tan()1tan tan B CB C B C ++=- …………………3分 代入得到，1123tan()111123B C ++==-⨯. …………………6分 （II ）因为180A B C =-- …………………7分 所以tan tan[180()]tan()1A B C B C =-+=-+=- …………………9分又0180A <<，所以135A =. …………………10分 因为1tan 03C =>，且0180C <<，所以sin C = ， …………………11分 由sin sin a c A C=，得a = …………………13分16. （共13分）解：（I ）因为12n n S S n -=+，所以有12n n S S n --=对2n ≥，*N n ∈成立 ………2分 即2n a n =对2n ≥成立，又1121a S ==⋅, 所以2n a n =对*N n ∈成立 …………………3分 所以12n n a a +-=对*N n ∈成立 ，所以{}n a 是等差数列， …………………4分 所以有212nn a a S n n n +=⋅=+ ，*N n ∈ …………………6分 （II ）存在. …………………7分 由（I ），2n a n =，*N n ∈对成立所以有396,18a a ==，又12a =， ………………9分 所以由 112339, b a b a b a ===，，则23123b b b b == …………………11分 所以存在以12b =为首项，公比为3的等比数列{}n b ， 其通项公式为123n n b -=⋅ . ………………13分17. （共13分）证明: (I) 因为O 为AB 中点， 所以1,2BO AB =…………………1分 又//,AB CD 12CD AB =， 所以有,//,CD BO CD BO = …………………2分所以ODCB 为平行四边形,所以//,BC OD …………………3分又DO ⊂平面,POD BC ⊄平面,POD所以//BC 平面POD . …………………5分BAC DOP(II)连接OC .因为,//,CD BO AO CD AO ==所以ADCO 为 平行四边形， …………………6分 又AD CD =,所以ADCO 为菱形，所以 AC DO ⊥， …………………7分 因为正三角形PAB ,O 为AB 中点，所以PO AB ⊥ ， …………………8 分又因为平面A B C D ⊥平面PAB ,平面A B C D平面P A B A B= ， 所以PO ⊥平面ABCD ， …………………10分 而AC ⊂平面ABCD ，所以 PO AC ⊥， 又PODO O =，所以AC ⊥平面POD . …………………12分又PD ⊂平面POD ，所以AC ⊥PD . …………………13分18. （共14分） 解：（I ）因为2211'()a ax f x x x x -=-+= ， …………………2分 当1a =， 21'()x f x x-=， 令'()0f x =，得 1x =，…………………3分又()f x 的定义域为(0,)+∞， ()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：所以时，的极小值为5分()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(0,1)； …………………6分（II ）解法一： 因为2211'()a ax f x x x x-=-+= ，且0a ≠， 令'()0f x =，得到1x a=， 若在区间(0,]e 上存在一点0x ，使得0()0f x <成立，其充要条件是()f x 在区间(0,]e 上的最小值小于0即可. …………………7分BACDOP（1）当10x a=<，即0a <时，'()0f x <对(0,)x ∈+∞成立， 所以，()f x 在区间(0,]e 上单调递减， 故()f x 在区间(0,]e 上的最小值为11()ln f e a e a e e=+=+， 由10a e +<，得1a e <-，即1(,)a e∈-∞- …………………9分 （2）当10x a=>，即0a >时， ① 若1e a≤，则'()0f x ≤对(0,]x e ∈成立，所以()f x 在区间(0,]e 上单调递减， 所以，()f x 在区间(0,]e 上的最小值为11()ln 0f e a e a e e=+=+>， 显然，()f x 在区间(0,]e 上的最小值小于0不成立 …………………11分 ② 若10e a <<，即1a e>时，则有所以()f x 在区间(0,]e 上的最小值为()lnf a a a a=+， 由11()ln(1ln )0f a a a a a a=+=-<， 得 1ln 0a -<，解得a e >，即(,)a e ∈+∞. …………………13分 综上，由(1)（2）可知：1(,)(,)a e e∈-∞-+∞符合题意. …………………14分解法二：若在区间(0,]e 上存在一点0x ，使得0()0f x <成立， 即001ln 0a x x +<， 因为00x >, 所以，只需001ln 0ax x +< …………………7分 令()1ln g x ax x =+，只要()1ln g x ax x =+在区间(0,]e 上的最小值小于0即可因为'()ln (ln 1)g x a x a a x =+=+， 令'()(ln 1)0g x a x =+=，得1x e= …………………9分 （1）当0a <时：因为(0,)x e∈时，()1ln 0g x ax x =+>，而()1ln 1g e ae e ae =+=+， 只要10ae +<，得1a e <-，即1(,)a e∈-∞- …………………11分 （2）当0a >时：所以，当 (0,]x e ∈时，()g x 极小值即最小值为1()1ln1a g a e e e e=+⋅=-， 由10ae-<， 得 a e >，即(,)a e ∈+∞. …………………13分 综上，由(1)（2）可知，有1(,)(,)a e e∈-∞-+∞ . …………………14分19. （共14分）解：（Ⅰ）由已知，222214a b e a -==，所以2234a b =， ① …………………1分 又点3(1,)2M 在椭圆C 上，所以221914a b += ， ② …………………2分 由①②解之，得224,3a b ==.故椭圆C 的方程为22143x y +=. …………………5分 (Ⅱ) 当直线l 有斜率时，设y kx m =+时，则由22,1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得，222(34)84120k x kmx m +++-=， …………………6分222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ∆=-+-=+->， ③…………7分设A 、B 、P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则：012012122286,()23434km mx x x y y y k x x m k k =+=-=+=++=++，…………8分 由于点P 在椭圆C 上，所以2200143x y +=. ……… 9分 从而222222216121(34)(34)k m m k k +=++，化简得22434m k =+，经检验满足③式. ………10分 又点O 到直线l 的距离为：d ===≥= ………11分 当且仅当0k =时等号成立 …………12分当直线l 无斜率时，由对称性知，点P 一定在x 轴上，从而P 点为(2,0),(2,0)-，直线l 为1x =±，所以点O 到直线l 的距离为1 ……13分所以点O 到直线l……14分20. （共13分）解: (I) 因为数列1240,30,k k ==320,k =410k =， 所以123440,70,90,100b b b b ====，所以(1)60,(2)90,(3)100,(4)100g g g g =-=-=-=-. …………………3分 (II) 一方面，1(1)()100m g m g m b ++-=-，根据j b 的含义知1100m b +≤，故0)()1(≤-+m g m g ，即 )1()(+≥m g m g ， ① …………………5分 当且仅当1100m b +=时取等号. 因为123100,,,,a a a a 中最大的项为50，所以当50m ≥时必有100m b =，所以(1)(2)(49)(50)(51)g g g g g >>>===即当149m <<时，有()(1)g m g m >+； 当49m ≥时，有()(1)g m g m =+ . …………………7分（III ）设M 为{}12100,,,a a a 中的最大值.由（II ）可以知道，()g m 的最小值为()g M . 下面计算()g M 的值.123()100M g M b b b b M =++++-1231(100)(100)(100)(100)M b b b b -=-+-+-++-.......... 233445()()()()M M M M k k k k k k k k k k =----+----+----++- 23[2(1)]M k k M k =-+++- 12312(23)()M M k k k Mk k k k =-++++++++ 123100()M a a a a b =-+++++ 123100()100a a a a =-+++++， ∵123100200a a a a ++++= ， ∴()100g M =-， ∴()g m 最小值为100-.…………………13分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。
北京一零一中学2019-2020学年度第二学期高三数学统练（二）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知全集U R =，{|1}M x x =<-，(){|20}N x x x =+<，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{|10}x x -≤<B ．{|10}x x -<<C ．{|21}x x -<<-D ．{|1}x x <-2．若0a b <<,则下列不等式恒成立的是 A ．11a b> B ．a b -> C ．22a b > D ．33a b <3．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A ．若//l α，//l β，则//αβ B ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ C ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥4． 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是 （ ）A ．46，45，56B ．46，45，53C ．47，45，56D ．45，47，535．“2p <”是“关于x 的实系数方程210x px ++=有虚数根”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A =3B ，则ab 的取值范围是( ) A ．(0,3)B ．(1,3)C ．(0,1]D ．(1,2]7．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若方程()35f x =的解为1x ，2x （120x x π<<<），则()12sin x x -=（ ）A ．35B ．45-C ．3-D ．8．已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且222a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（ ） A ．a b ⋅B ．b c ⋅C ．a c ⋅D ．不能确定9．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为e ，过点1F 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，若20AB BF ⋅=，且12150F AF ∠=，则2e =( )A ．7-B ．7C ．7D ．7+10．对于平面上点P 和曲线C ，任取C 上一点Q ，若线段PQ 的长度存在最小值，则称该值为点P 到曲线C 的距离，记作(),d P C ，若曲线C 是边长为6的等边三角形，则点集(){|,1}D P d P C =≤所表示的图形的面积为（ ）第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题11．62x x ⎛- ⎪⎝⎭展开式的常数项为 ．（用数字作答）12．过点(4,0)-作直线L 与圆2224200x y x y ++--=交于A 、B 两点，如果8AB =，则L 的方程为_____.13．已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为________14．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题 ．若函数2()3log f x x =+的图象与()g x 的图象关于 对称，则函数()g x = ．（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）15．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n a 的各项按如下规律排列：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，1n ，2n ，…，1n n -，…有如下运算和结论：①2438a =；②数列1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，…是等比数列；③数列1a ，23a a +，456a a a ++，78910a a a a +++，…的前n 项和为24n n nT +=；④若存在正整数k ，使10k S <，110k S +≥，则57k a =.其中正确的结论是_____.（将你认为正确的结论序号都填上）三、双空题16．已知函数()22,1ln ,1x ax x f x a x x x⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩.①当1x <时，若函数()f x 有且只有一个极值点，见实数a 的取值范围是______； ②若函数()f x 的最大值为1，则a =______.四、解答题17．在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c，且3cos 2sin()102A A π+-+=． (1)求角A 的大小；(2)若ABC ∆的面积S =3b =,求sin C 的值．18．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形，平面ADE ⊥平面CDEF ，∠ADE ＝60°，DE ∥CF ，CD ⊥DE ，AD ＝2，DE ＝DC ＝3，CF ＝4，点G 是棱CF 上的动点．（Ⅰ）当CG ＝3时，求证EG ∥平面ABF ； （Ⅱ）求直线BE 与平面ABCD 所成角的正弦值； （Ⅲ）若二面角G ﹣AE ﹣D 所成角的余弦值为11，求线段CG 的长．19．某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，……，8，其中X≥5为标准A ，X≥3为标准B ，已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准（I ）已知甲厂产品的等级系数X 1的概率分布列如下所示：且X 1的数字期望EX 1=6，求a ，b 的值；（II ）为分析乙厂产品的等级系数X 2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X 2的数学期望. 在（I ）、（II ）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.注：（1）产品的“性价比”=；（2）“性价比”大的产品更具可购买性. 20．已知函数()(2)xaf x e x x=--，其定义域为 (0,)+∞.（其中常数 2.718 28e =，是自然对数的底数）（1）求函数 () f x 的递增区间； （2）若函数 () f x 为定义域上的增函数，且12()()4f x f x e +=-，证明: 122x x +≥ . 21．已知点(1,0)F ，点A 是直线1 : =-1l x 上的动点，过A 作直线2l ，12l l ⊥，线段AF 的垂直平分线与2l 交于点P . （1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）若点M ，N 是直线1l 上两个不同的点，且PMN 的内切圆方程为221x y +=，直线PF 的斜率为k ，求k MN的取值范围.22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2a a =. （1）若数列{}n a 是等差数列，且815a =，求实数a 的值；（2）若数列{}n a 满足22n n a a +-=*()n N ∈，且191019S a =，求证：数列{}n a 是等差数列；（3）设数列{}n a 是等比数列，试探究当正实数a 满足什么条件时，数列{}n a 具有如下性质M ：对于任意的2n ≥*()n N ∈，都存在*m N ∈使得1()()0m n m n S a S a +--<，写出你的探求过程，并求出满足条件的正实数a 的集合.参考答案1．A 【解析】 【分析】通过韦恩图，可知所求集合为()U N C M ，求解出集合N ，利用集合运算知识求解即可．【详解】由()2020x x x +<⇒-<<，即{}20N x x =-<< 图中阴影部分表示的集合为：()U N C M又{}1U C M x x =≥-(){}10U N C M x x ∴⋂=-≤<本题正确选项：A 【点睛】本题关键在于通过韦恩图确定所求集合，属于基础题． 2．D 【解析】 ∵0a b << ∴设1,1a b =-= 代入可知,,A B C 均不正确对于D ，根据幂函数的性质即可判断正确 故选D 3．B 【解析】A 中，,αβ也可能相交；B 中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C 中，,αβ也可能相交；D 中，l 也可能在平面β内. 【考点定位】点线面的位置关系 4．A 【解析】由概念知中位数是中间两数的平均数，即45+47=462，众数是45，极差为68-12=56.所以选A.点评：此题主要考察样本数据特征的概念，要正确地理解样本数据特征的概念以及正确地用来估计总体. 5．B 【解析】 【分析】先求出关于x 的实系数方程210x px ++=有虚数根的充要条件为：240p =-<，即22p -<<，再由“2p <”与“22p -<<”的关系得解．【详解】解：关于x 的实系数方程210x px ++=有虚数根的充要条件为：240p =-<，即22p -<<，又“2p <”不能推出“22p -<<”， “22p -<<”能推出“2p <”，即“2p <”是“关于x 的实系数方程210x px ++=有虚数根”的必要不充分条件，故选B ． 【点睛】本题考查了充分条件、必要条件、充要条件及简易逻辑知识，属简单题 6．B 【解析】 【分析】通过正弦定理可得ab 的范围即为sinAsinB 的范围，通过整理可求得ab =2cos2B +1，再利用2B 的范围求得cos2B 的取值范围，得到最终结果。
海淀区高三年级第二学期期末 二模 数学 2020.6第一部分（选择题共40 分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若全集{}{},1,1,U R A x x B x x ==<=>-则（A ）A B ⊆ （B ）B A ⊆ （C ）U B A ⊆ð （D ）U A B ⊆ð （2）下列函数中，值域为[0,)+∞且为偶函数的是（A ）2y x = （B ）1y x =- （C ）cos y x = （D ）ln y x =（3）若抛物线212y x =的焦点为F ，且点P 在此抛物线上且横坐标为3，则PF 等于（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）10（4）已知三条不同的直线,,l m n αβ和两个不同的平面，，下面四个命题中正确的是（A ）//,//,//m n m n αα若则 （B ）//,//m l m l αα⊂若，则（C ）//,//,//l l αβαβ若则 （D ）//,,l l αβαβ⊥⊥若则（5） 在17,8,cosB ,7ABC a b A ∆===-∠=中，若则（A ）6π （B ）4π （C ）3π （D ）2π（6）()sin(2)()63f x xg x ππ=-将函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则g(x)=（A ）sin(2)6x π+ （B ）2sin(2)3x π+（C ）cos2x （D ）cos2x -（7）某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上的小正方形边长为1，则三棱锥的体积为（A ）23 （B ）43（C ）2 （D ） 4（8）对于非零向量2,,)2a b a b a a a b +⋅==r r rr r r r r 则( 是“”的 （A ）充分而不必要条件 （B ） 必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（9）1111P ABCD A B C D O ABCD -如图，正方体的棱长为2,点为底面的中心，点在侧面11111,BB C C D O OP D C P ⊥∆的边界及其内部运动。
海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 （理科） 2019.4选择题 （共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1、已知集合{}30<<∈=x x A R ，{}42≥∈=x x B R ，则=B AA. {}32<<x xB. {}32<≤x xC. {}322<≤-≤x x x 或D. R2．已知数列{}n a 为等差数列，n S 是它的前n 项和.若21=a ，123=S ，则=4S A ．10 B ．16 C ．20 D ．243. 在极坐标系下，已知圆C 的方程为2cos ρθ=，则下列各点在圆C 上的是 A ．1,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ． 1,6π⎛⎫⎪⎝⎭C．34π⎫⎪⎭D ．54π⎫⎪⎭4．执行如图所示的程序框图，若输出x 的值为23，则输入的x 值为A ．0 B．1 C ．2 D ．11 5．已知平面l =αβ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误．．的是 A ．若β//m ，则l m // B ．若l m //，则β//m C ．若β⊥m ，则l m ⊥ D ．若l m ⊥，则β⊥m 6. 已知非零向量,,a b c 满足++=a b c ０，向量,a b 的夹角为120，且||2||=b a ，则向量a 与c 的夹角为A ．︒60B ．︒90C ．︒120D ． ︒1507.如果存在正整数ω和实数ϕ使得函数)(cos )(2ϕω+=x x f （ω，ϕ为常数）的图象如图所示（图象经过点（1,0）），那么ω的值为A ．1B ．2C ． 3 D. 48．已知抛物线M ：24y x =，圆N ：222)1(r y x =+-（其中r 为常数，0>r ）.过点（1，0）的直线l 交圆N 于C 、D 两点，交抛物线M 于A 、B 两点，且满足BD AC =的直线l 只有三条的必要条件是A ．(0,1]r ∈B ．(1,2]r ∈C ．3(,4)2r ∈D ．3[,)2r ∈+∞非选择题（共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9．复数3i1i-+= . 10.为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s ，2s ，3s ，则它们的大小关系为 . （用“>”连接）11．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，BE 切⊙O 于点B ，D 是CE 与⊙O 的交点.若︒=∠70BAC ，则=∠CBE ______；若2=BE ，4=CE ， 则=CD .12.已知平面区域}11,11|),{(≤≤-≤≤-=y x y x D ，在区域D 内任取一点，则取到的点位于直线y kx =（k R ∈）下方的概率为____________ .13.若直线l 被圆22:2C x y +=所截的弦长不小于2，则在下列曲线中：乙丙0.0002甲①22-=x y ② 22(1)1x y -+= ③ 2212x y += ④ 221x y -=与直线l 一定有公共点的曲线的序号是 . （写出你认为正确的所有序号）14．如图，线段AB =8，点C 在线段AB 上，且AC =2，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设CP =x ， △CPD 的面积为()f x .则()f x 的定义域为 ； '()f x 的零点是 .三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，已知1tan 2B =，1tan 3C =，且1c =. (Ⅰ)求tan A ；(Ⅱ)求ABC ∆的面积.16. （本小题共14分）在如图的多面体中，EF ⊥平面AEB ，AE EB ⊥,//AD EF ，//EF BC ，24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==，G 是BC 的中点．(Ⅰ) 求证：//AB 平面DEG ； (Ⅱ) 求证：BD EG ⊥；(Ⅲ) 求二面角C DF E --的余弦值.17. （本小题共13分）某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为23.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品. (Ⅰ) 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；ACP BD A DFEB G C(Ⅱ)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列； (Ⅲ) 随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.18. （本小题共13分）已知函数()ln f x x a x =-，1(), (R).ag x a x+=-∈ （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；(Ⅲ)若在[]1,e （e 2.718...=）上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，求a 的取值范围.19. （本小题共14分）已知椭圆2222:1x y C a b += (0)a b >>经过点3(1,),2M 其离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线1:(||)2l y kx m k =+≤与椭圆C 相交于A 、B 两点，以线段,OA OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点.求OP 的取值范围.20. （本小题共13分）已知每项均是正整数的数列A ：123,,,,n a a a a ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i =⋅⋅⋅，设j j k k k b +++= 21 (1,2,3)j =，12()m g m b b b nm =+++-(1,2,3)m =⋅⋅⋅.（Ⅰ）设数列:1,2,1,4A ，求(1),(2),(3),(4),(5)g g g g g ； （Ⅱ）若数列A 满足12100n a a a n +++-=，求函数)(m g 的最小值.海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（理）答案及评分参考 2019．4选择题 （共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9.12i - 10. s 1>s 2>s 3 11. 70； 3 12.1213. ① ③ 14. (2,4); 3 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15.（共13分） 解：（I ）因为1tan 2B =，1tan 3C =,tan tan tan()1tan tan B CB C B C ++=-, …………………1分代入得到，1123tan()111123B C ++==-⨯ . …………………3分 因为180A B C =-- , …………………4分所以tan tan(180())tan()1A B C B C =-+=-+=-. …………………5分 （II ）因为0180A <<，由（I ）结论可得：135A = . …………………7分 因为11tan tan 023B C =>=>，所以090C B <<< . …………8分所以sin B=sin C =. …………9分由sin sin a cA C=得a =， …………………11分 所以ABC ∆的面积为：11sin 22ac B =. ………………13分16. （共14分）解：(Ⅰ)证明：∵//,//AD EF EF BC ，∴//AD BC .又∵2BC AD =,G 是BC 的中点， ∴//AD BG ，∴四边形ADGB 是平行四边形，∴ //AB DG . ……………2分 ∵AB ⊄平面DEG ，DG ⊂平面DEG ，∴//AB 平面DEG . …………………4分 (Ⅱ) 解法1证明：∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ， ∴EF AE ⊥， 又,AE EB EBEF E ⊥=，,EB EF ⊂平面BCFE ，∴AE ⊥平面BCFE . ………………………5分过D 作//DH AE 交EF 于H ，则DH ⊥平面BCFE .∵EG ⊂平面BCFE ， ∴DH EG ⊥. ………………………6分 ∵//,//AD EF DH AE ，∴四边形AEHD 平行四边形， ∴2EH AD ==，∴2EH BG ==，又//,EH BG EH BE ⊥， ∴四边形BGHE 为正方形，∴BH EG ⊥， ………………………7分H ADFEBGC又,BH DH H BH =⊂平面BHD ，DH ⊂平面BHD ,∴EG ⊥平面BHD . ………………………8分 ∵BD ⊂平面BHD ,∴BD EG ⊥. ………………………9分 解法2∵EF ⊥平面AEB ，AE ⊂平面AEB ，BE ⊂平面AEB ，∴EF AE ⊥，EF BE ⊥，又AE EB ⊥,∴,,EB EF EA 两两垂直. ……………………5分 以点E 为坐标原点，,,EB EF EA 分别为,,x y z 轴建立如图的空间直角坐标系.由已知得，A （0，0，2），B （2，0，0）， C （2，4，0），F （0，3，0），D （0，2，2）， G （2，2，0）. …………………………6分∴(2,2,0)EG =，(2,2,2)BD =-，………7分 ∴22220BD EG ⋅=-⨯+⨯=, ………8分 ∴BD EG ⊥. …………………………9分(Ⅲ)由已知得(2,0,0)EB =是平面EFDA 的法向量. …………………………10分 设平面DCF 的法向量为(,,)x y z =n ，∵(0,1,2),(2,1,0)FD FC =-=，∴00FD n FC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020y z x y -+=⎧⎨+=⎩，令1z =,得(1,2,1)=-n . …………………………12分设二面角C DF E --的大小为θ，则cos cos ,6EB =<>==-θn ， …………………………13分 ∴二面角C DF E --的余弦值为 …………………………14分 17. （共13分）解：(Ⅰ)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A …………………………1分事件A 等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ……………2分151332104106)(=⨯+=A p …………………………4分 (Ⅱ) 由题可知X 可能取值为0,1,2,3.30463101(0)30C C P X C ===,21463103(1)10C C P X C ===, 12463101(2)2C C P X C ===,03463101(3)6C C P X C ===. ………………8分……………9分(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B ……………10分 事件B 等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测” 所以，3111()()303810P B =⋅=. ……………13分18. （共13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞， ………………………1分 当1a =时，()ln f x x x =-，11()1x f x x x-'=-=， ………………………2分………………………3分所以()f x 在1x =处取得极小值1. ………………………4分 （Ⅱ）1()ln ah x x a x x+=+-， 22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=--==………………………6分 ①当10a +>时，即1a >-时，在(0,1)a +上()0h x '<，在(1,)a ++∞上()0h x '>， 所以()h x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增； ………………………7分 ②当10a +≤，即1a ≤-时，在(0,)+∞上()0h x '>，所以，函数()h x 在(0,)+∞上单调递增. ………………………8分 （III ）在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()f x <0()g x 成立，即 在[]1,e 上存在一点0x ，使得0()0h x <，即函数1()ln ah x x a x x+=+-在[]1,e 上的最小值小于零. ………………………9分 由（Ⅱ）可知①即1e a +≥，即e 1a ≥-时， ()h x 在[]1,e 上单调递减，所以()h x 的最小值为(e)h ，由1(e)e 0eah a +=+-<可得2e 1e 1a +>-， 因为2e 1e 1e 1+>--，所以2e 1e 1a +>-； ………………………10分 ②当11a +≤，即0a ≤时， ()h x 在[]1,e 上单调递增，所以()h x 最小值为(1)h ，由(1)110h a =++<可得2a <-； ………………………11分 ③当11e a <+<，即0e 1a <<-时， 可得()h x 最小值为(1)h a +， 因为0ln(1)1a <+<，所以，0ln(1)a a a <+< 故(1)2ln(1)2h a a a a +=+-+>此时，(1)0h a +<不成立. ………………………12分综上讨论可得所求a 的范围是：2e 1e 1a +>-或2a <-. ………………………13分19. （共14分）解：（Ⅰ）由已知可得222214a b e a -==，所以2234a b = ① ……………1分 又点3(1,)2M 在椭圆C 上，所以221914a b+= ② ……………2分 由①②解之，得224,3a b ==.故椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………5分 (Ⅱ) 当0k =时，(0,2)P m 在椭圆C上，解得2m =±，所以||OP = ……6分 当0k ≠时，则由22,1.43y kx m x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 化简整理得：222(34)84120k x kmx m +++-=，222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ∆=-+-=+-> ③ ……………8分 设,,A B P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则012012122286,()23434km mx x x y y y k x x m k k =+=-=+=++=++. ……………9分 由于点P 在椭圆C 上，所以 2200143x y +=. ……………10分 从而222222216121(34)(34)k m m k k +=++，化简得22434m k =+，经检验满足③式. ………11分又||OP ===== ………………………12分因为102k <≤，得23434k <+≤，有2331443k ≤<+，2OP <≤. ………………………13分 综上，所求OP的取值范围是. ………………………14分 (Ⅱ)另解：设,,A B P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、， 由,A B 在椭圆上，可得2211222234123412x y x y ⎧+=⎨+=⎩①② ………………………6分 ①—②整理得121212123()()4()()0x x x x y y y y -++-+=③ ………………………7分 由已知可得OP OA OB =+，所以120120x x x y y y +=⎧⎨+=⎩④⑤……………………8分由已知当1212y y k x x -=- ,即1212()y y k x x -=- ⑥ ………………………9分把④⑤⑥代入③整理得0034x ky =- ………………………10分与22003412x y +=联立消0x 整理得202943y k =+ ……………………11分由22003412x y +=得2200443x y =-， 所以222222000002413||4443343OP x y y y y k =+=-+=-=-+ ……………………12分因为12k≤，得23434k≤+≤，有2331443k≤≤+，2OP≤≤. ………………………13分所求OP的取值范围是. ………………………14分20. （共13分）解：（1）根据题设中有关字母的定义，12342,1,0,1,0(5,6,7)jk k k k k j======12342,213,2103,4,4(5,6,7,)mb b b b b m==+==++====112123123412345(1)412(2)423,(3)434,(4)444,(5)45 4.g bg b bg b b bg b b b bg b b b b b=-⨯=-=+-⨯=-=++-⨯=-=+++-⨯=-=++++-⨯=-（2）一方面，1(1)()mg m g m b n++-=-，根据“数列A含有n项”及jb的含义知1mb n+≤，故0)()1(≤-+mgmg，即)1()(+≥mgmg①…………………7分另一方面，设整数{}12max,,,nM a a a=，则当m M≥时必有mb n=，所以(1)(2)(1)()(1)g g g M g M g M≥≥≥-==+=所以()g m的最小值为(1)g M-. …………………9分下面计算(1)g M-的值：1231(1)(1)Mg M b b b b n M--=++++--1231()()()()Mb n b n b n b n-=-+-+-++-233445()()()()M M M M k k k k k k k k k k =----+----+----++-23[2(1)]Mk k M k=-+++-12312(23)()M Mk k k Mk k k k=-++++++++123()n Ma a a a b=-+++++123()na a a a n=-+++++…………………12分∵123100na a a a n++++-=，∴(1)100,g M-=-∴()g m最小值为100-. …………………13分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。
海淀区2019年高三年级第二学期期中练习数 学 （文科）选择题 （共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1、已知集合{}30<<∈=x x A R ，{}42≥∈=x x B R ，则=B AA. {}2 23x x x ≤-≤<或 B. {}32<<x x C. {}32<≤x x D. R2. 设0.5323, log 2, cos 3a b c π===，则A. c b a <<B. c a b <<C. a b c <<D. b c a << 3．函数1()x f x x+=图象的对称中心为 A ．(0,0) B.(0,1)C. (1,0)D. (1,1)4. 执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为2，则输出的x 值为A. 25 B ．24 C. 23 D ．225.从集合{1,1,2}A =-中随机选取一个数记为k ，从集合{2,1,2}B =-中随机选取一个数记为b ，则直线y kx b =+不经过第三象限的概率为A ． 29 B. 13 C. 49D. 596. 在同一个坐标系中画出函数,sin xy a y ax ==的部分图象，其中01a a >≠且，则下列所给图象中可能正确的是7. 已知函数221, 1,()1, 1,x ax x f x ax x x ⎧++≥⎪=⎨++<⎪⎩ 则“20a -≤≤”是“()f x 在R 上单调递增”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8.若直线l 被圆22:2C x y +=所截的弦长不小于2，则l 与下列曲线一定有公共点的是A ．22(1)1x y -+= B ．．2212x y += C. 2y x = D ．221x y -=非选择题（共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9. 计算21i=+__________________.10. 为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s ，2s ，3,s 则它们的大小关系为 . （用“>”连接）11. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是上底面1111A B C D 内一动点，则三棱锥P ABC -的主视图与左视图的面积的比值为_________.12. 已知函数()x f x xe =，则'()f x =________;函数()f x 图象在点(0,(0))f 处的切线方程为_______ 13. 已知向量(,2),(1,)a x b y ==，其中,0x y ≥.若4≤a b ，则y x -的取值范围为 .PDCBA1A 1D 1B 1C 左视主视乙丙甲14．如图，线段AB =8，点C 在线段AB 上，且AC =2，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设CP =x ， △CPD 的面积为()f x .则()f x 的定义域为________；()f x 的最大值为 ________.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、，已知1tan 2B =，1tan 3C =,且1c =. (Ⅰ) 求tan()B C +； (Ⅱ) 求a 的值.16. （本小题共13分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =且12n n S S n -=+（2n ≥，*n ∈N ）.( I )求n S ；( II ) 是否存在等比数列{}n b 满足112339, b a b a b a ===，？若存在，则求出数列{}n b 的通项公式；若不存在，则说明理由.17. （本小题共13分）如图：梯形ABCD 和正△PAB 所在平面互相垂直，其中//,AB DC 12AD CD AB ==，且O 为AB 中点.( I ) 求证：//BC 平面POD ； ( II ) 求证：AC ⊥PD .CBDBACDOP18. （本小题共14分）已知函数1()ln (0,)f x a x a a x=+≠∈ R （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值和单调区间；(II) 若在区间[1,e]上至少存在一点0x ，使得0()0f x <成立，求实数a 的取值范围.19. （本小题共14分）已知椭圆2222:1x y C a b += (0)a b >>经过点3(1,),2M 其离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，以线段,OA OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点. 求O 到直线距离的l 最小值.20. （本小题共13分）已知每项均是正整数的数列123100,,,,a a a a ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i =，设j j k k k b +++= 21(1,2,3)j =，12()100m g m b b b m =+++-(1,2,3).m =（Ⅰ）设数列1240,30,k k ==34510020,10,...0k k k k =====，求(1),(2),(3),(4)g g g g ； (II) 若123100,,,,a a a a 中最大的项为50， 比较(),(1)g m g m +的大小； （Ⅲ）若12100200a a a +++=，求函数)(m g 的最小值.。
海淀区高三年级第一学期期中练习数 学(理科) 2013.11本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合{1,1,2}A =-，{|10}B x x =+≥，则A B =( A )A. {1,1,2}-B. {1,2}C. {1,2}-D. {2}2. 下列函数中，值域为(0,)+∞的函数是( C )A. ()f x =B. ()ln f x x =C. ()2x f x =D. ()tan f x x =3. 在ABC ∆中，若tan 2A =-，则cos A =( B )B.D. 4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0),(0,1),(1,2),(,0)O A B C m -，若//OB AC ，则实数m 的值为( C )A. 2-B. 12-C. 12D. 25.若a ∈R ，则“2a a >”是“1a >”的（ B ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知数列{}n a 的通项公式2(313)nn a n =-，则数列的前n 项和n S 的最小值是（ B ） A. 3SB. 4SC. 5SD. 6S7. 已知0a >，函数2πsin ,[1,0),()21,[0,),x x f x ax ax x ⎧∈-⎪=⎨⎪++∈+∞⎩若11()32f t ->-，则实数t 的取值范围为（ D ） A. 2[,0)3- B. [1,0)- C. [2,3) D. (0,)+∞8. 已知函数sin cos ()sin cos x xf x x x+=，在下列给出结论中：① π是()f x 的一个周期；② ()f x 的图象关于直线x 4π=对称； ③ ()f x 在(,0)2π-上单调递减. 其中，正确结论的个数为（ C ） A. 0个B.1个C. 2个D. 3个二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2019-2020学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 设集合A ={x|−5≤x <1}，B ={x|x ≤2}，则A ∪B =( )A. {x|x ≤2}B. {x|−5≤x <1}C. {x|−5≤x ≤2}D. {x|x <1}2. 下列函数中，在(−∞,0)上单调递减的是( )A. y =xx+1 B. y =1−xC. y =x 2+xD. y =1−x 23. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 10=15，且S 2=S 7，则a 8=( )A. 6B. 7C. 8D. 9 4. 不等式x 2−2x −3<0成立的一个充分不必要条件是 ( )A. (−1,3)B. (−2,0)C. (−12,32)D. (−1,4)5. 设角α的终边与单位圆相交于点P(−35,45)，则sinα−cosα的值是( )A. −75B. −15C. 15 D. 756. 在梯形ABCD 中，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =4PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的值为( )A. 1B. 2C. 52D. 37. 已知函数f(x)={x 2−x +3,x ⩽1x +2x ,x >1，设a ∈R ，若关于x 的方程f(x)=a|x −1|有且仅有一个实数解，则a 的取值范围是( )A. (1,3)B. (2√6−4,3)C. (1,2√3−1)D. (2√6−4,2√3−1)8. 设集合A ={a, b}，集合，若A ∩B ={0}，则A ∪B 等于( )A. {−1,0,3}B. {−2,0,3}C. {0,3,4}D. {1,0,3}二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 若向量a ⃗ =(1,k)，b ⃗ =(−2,6)，且a ⃗ //b ⃗ ，则实数k = ______ ． 10. 已知函数f(x)={x(x +4),x <0,x(x −4),x ≥0,则该函数的零点的个数为________．11. 若数列{a n }的前n 项和为S n =log 3(n +1)，则a 5=_________．12. 已知两个单位向量a ⃗ 和b ⃗ 的夹角为120°，则a ⃗ +b ⃗ 在b ⃗ 方向上的投影为___________．13.若函数f(x)=x+a2x , g(x)=x−lnx，对任意x1∈[1e,1]，存在x2∈[1e,1],使得g(x1)≤f(x2)成立，则实数a的取值范围是________．14.已知ω>0，函数f(x)=cos(ωx−π3)过点(π2,0)，则ω的最小值为________．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知等比数列{a n}的各项均为正数，且6a2，1，4a1成等差数列，3a6，a3，3a2成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)已知b n=log31a n，记c n=a n⋅b n，求数列{c n}的前n项和S n．16.已知函数f(x)=cos4x−2sinxcosx−sin4x.(1)求f(x)的最小正周期。
82019届北京市海淀区高三下学期期中考试数学理试卷【含答案及解析】姓名 ____________ 班级 _______________ 分数 ____________题号-二二三总分得分一、选择题1. 已知集合 J={x|.v （.v + l ）＜0J ，集合 £ = {x|x ）0}，贝V 血曲=（）A.B.h] C.Mx>0}D. : 1 :2.已知复数「二 二蔦+扮](1, .■…），则“为纯虚数”的充分必要条件为 ()A.用+朋H 0B. -，C..-1， .-=1 D.-,i = 0-值为（）3.执行如图所示的程序框图，输出的4.设•■!,：；匚関，右；｛-•；.,则（） A. —— B. 小:C.i ： 「D.n hx = 一一t6. 已知曲线：： _ （，为参数），「一丄）， 丄匚.v=a + — 1声"、、、线：上存在点，：满足玄志 「.，则实数：的取值范围为（ ）A. -芈•芈B. [-1.1]C. ' -77,72]D. [-2.2]7. 甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为（ ）A. 12B. 40C. 60D. 80项目②：打开过程中（如图项目④：打开后（如图 3）,检查 _ -_ - _ - J '；汨“打＞sint5. 已知•：gfta-A关系是（），“n 乩西肓n nn吒冬，若曲项目③：打开过程中（如图 2），检查「.一：.、一：. . - ■：.；8. 某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如图检查项目:项目①：折叠状态下（如图 1） ，检查四条桌腿长相等； 2） ，检查‘：项目⑤：打开后（如图3）检查- -■，: -.■在检查项目的组合中，可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行的是”（A.①②③B. ②③④C. ②④⑤D. ③④⑤二、填空题9. 若等比数列｛dj满足打、口严口片，口& = 8 ,则公比4 = ___________ ，前料项和那二_____________ .10. 已知E(-2.0)，耳(>0)，满足||Pf；|-|P/\|| = 2的动点P的轨迹方程为 .11. 在±4EC中，占二如出•① __________ ;②若smC = |，贝UI ___________ .12. 若非零向量；5 , 匸满足丘-(石-&)二0，平冃了，则向量石,&夹角的大小为___________ .1— y- V > 013. 已知函数• I -「［若关于的方程f L在I」「内COSJTX. X < 0.有唯一实根，则实数a的最小值是_______________ .14. 已知实数",工 + $ - 1 A D {r-2y + 2>0.则.¥$2.二二杠h + yr 的最大值是_________三、解答题15. 已知一是函数/I-.--的一个零点.(I)求实数.■的值；(H)求r : I的单调递增区间.16. 据报道，巴基斯坦由中方投资运营的瓜达尔港目前已通航.这是一个可以停靠810万吨油轮的深水港，通过这一港口，中国船只能够更快到达中东和波斯湾地区，这相当于给中国平添了一条大动脉！在打造中巴经济走廊协议（简称协议）中，能源投资约340亿美元，公路投资约59亿美元，铁路投资约38亿美元，高架铁路投资约16亿美元，瓜达尔港投资约6.6亿美元，光纤通讯投资约为0.4亿美元.有消息称，瓜达尔港的月货物吞吐量将是目前天津、上海两港口月货物吞吐量之和.表格记录了2015年天津、上海两港口的月吞吐量（单位：百万吨）：p17. ly:Calibri; font-size:10.5pt"> 1 月2 月3 月4 月5 月6 月7 月8 月9 月10月11 月12 月天津24 22 26 23 24 26 27 25 28 24 25 26 上海32 27 33 31 30 31 32 33 30 32 30 30中出签畧460亿美元协3（打S3经济圭BS（I）根据协议提供信息，用数据说明本次协议投资重点;（□）从表中12个月任选一个月，求该月天津、上海两港口月吞吐量之和超过55百万吨的概率；（川）将（H）中的计算结果视为瓜达尔港每个月货物吞吐量超过55百万吨的概率，设'为瓜达尔未来12个月的月货物吞吐量超过55百万吨的个数，写出■的数学期望（不需要计算过程）.18. 如图，由直三棱柱和四棱锥D-BB.QC构成的几何体中，(I)求证：，;(H)若「为」的中点，求证：，… 平面，;(川)在线段. 上是否存在点G ,使直线匚厂与平面 ' ; 所成的角为—？若存在，求一—的值，若不存在，说明理由.nr19. 已知函数I..- m 「，其中实数--.(I)判断.= 是否为函数7 ■ I的极值点，并说明理由；(H)若 / I-.在区间[0.1] 上恒成立，求曰的取值范围.20. 已知椭圆「：一一.，，与轴不重合的直线经过左焦点：，且1 B 1与椭圆.一相交于•，.两点，弦 2 的中点为J ，直线」,与椭圆相交于：，,■;两点.(I)若直线的斜率为1，求直线I的斜率；(H)是否存在直线，使得■ |._-j p.'/成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.21. 已知含有-个元素的正整数集- ( ■,.-)具有性质「：对任意不大于：— (其中.)的正整数，存在数集「的一个子集，使得该子集所有元素的和等于(I)写出•，的值；(H)证明：“•，:成等差数列”的充要条件是S(A}=(川)若一…I _|一_ ，求当■取最小值时哉i的最大值.参考答案及解析第1题【答案】A【解析】v J = {v | -1 r 0}, 一*2 B = {t | 工S-1},颉迭儿第2题【答案】D【解析】-=bi)--b (a.beR).m-为纯虛数即f “4“，故选EL第3题【答案】&【解析】由程序框團知I ^=0T.V =9不满足耳乂二历，第一次循环x = Lj = 8 次循环第三次循环r = l,j- = 3，满足三£，输出2玄故选乩7第4题【答案】【解析】顾，若恥异号不威之错误汨项，.厂丁为递増函敎故正确工项，若6^0则无青义,错误□页,函魏」'riiU不单调,故无法判断大勺咲系；综上可知选卫-第5题【答案】C【解析】因为x:rfv= -x'第6题【答案】【解析】_ 曲线厂化为普通方程为；y-x^a,由乔一丽=0 ,可得点尸在叹.仏淘直径的圆”*二=1上，又戸在曲钱Q上即直g垢圆存在公共点,故圆心(0-0)到严X M的5厢小干等于半径1 ,根据点到直^的距画公式有：¥和，解得-运"蛊迈+站L第7题【答案】【解析】 先从五个位羞中选出三个给甲乙丙三人，共有C ；种选^苴中丙在两端,有C ；种逻去,剩余两个位墨乙丙全排,有童种，剩余两个位墨给 丁、戊，有圧种，所決排法种数= 80,故选口第8题【答案】 &【解析】 山鳳项目②和顼目③可推出项目O,所以判断项目②和顼目③，若乙依矽A 乙MON',则临 较低，较高,所法不平行 『错误；即嘉 V Zl = Z2=ZJ = Zxl = 90° .'. ® ABCD f / 面 ? .OA^OC^O^ = OC\\AA 平行底面，*/OM = ON-OM' = OV,/,OdHAAH 面 血NM .所以桌面平行于底面j 故正确4项「由團3的正视图可得j删《=07,加丄曲#'才丄心：曲篇川0.4丁仏创"但G 与O f A 是否相等不确定，所厲 不确定6/与肘 是否平行,又因为W/，必J 所以不确定血 与ACV 是否平行，故错误;DI 页 ,OK=OL-Cf^- OT f :.AA f / IBB!，怛不确走DM 与ONQMlON 的关系「所以无蛙到斷 帰 与底面的关系，错误;综上所述,应选氐I®調富緊间钛t ____ 性》毎?afi 毋不一疋f 寸到』"?第9题【答案】2 2^1【解析】S^2 =«s = = 2 ；Xci]G - = 8珂=8.二碍=1.5^ = ------ — = 2"1 -1，古加 2;2旳 T *合个不虎符-IT法殊素即衆尊元址阿•番方身 1元番段M:夜理鼎丘的S.反■T3TSUB内刖码1.苕郅」旳'_L 严中sc-is驴后元1_矍觀ff isR6^限?•体限匸序•顺第13题【答案】第10题【答案】【解析】根振双曲线的定义可得:长轴长2 \ 2a=2=>a = i ，半焦距匚=2，由广二=/十沪，解得，=3 ［故方程为v ; -^—=1 ［应填r := 133第11题【答案】904【解析】由正弦定理得：S]nC = si (L^cos£，又 彳十 E 亠 C 二斤, suiC = sin(.4* 5)= suiicosS + casui&in^ - siiL4cai5，即co&Xsinfi »0// sinB >0./.cos^ ■ 0.>4 ■ $0* ,故埴 90® :(T + B)= -COS ^ = cos + C )= cosj 寸+ C ； = -SJII C =-^ T故填, 第12题【答案】120【解析】因币八（石+卩）二0,所以=1关系畫（4幷一 •⑸证明一征明所可题，厲干基础题目+ 斜率公時爲負械为;;eg 点執迹万程”-■— C7 ■方iflP 1曲―因此8呎口时=萌=菊司=・厂又荷》》皂（°"儿所S夹甬为J故5123°第15题【答案】第15题【答案】【解析】r>0时’令1-^=0，解得zl 或・】（舍）帛足在（0.皿）內：v<0时，令co8^ = 0^Tr = ^ + -（ieZh 解得； 工二疋且里C0很卩在〕轴左边距离F 轴最近的零点为“冷帛关于工的万程在（0,-MO ）内有唯一实根，即團象最多注右平移+个单位，故填-*第14题【答案】2占抿關意画出可行域如團所示:根据柯西不等式可得：（临+中）飞（加+⑴X"*［）= F 因为x —丁：表示三角形可行域內 的点与原点距离的平方，所以当经过（12）时甌离的平方最大，最穴值为&又【解析】第15题【答案】（?a+iy ）2签什 +存）0^ +J 2） = A : + .V ：占 h” 宓+ KV £2血，当目仅当 v = i = 2j/ = y= 时等号咸立，故壇2运•SE n 蛊在可&^i :即利遽3SM•嘉胆⑵变>用^<点睛&!r第16题【答案】磚甲试题分析：（I ）由题資/= o ,可得個 （n ）利用二倍角公式和两甬和与差的正弦公式对画数解析式化简整理 ,i2M--<2_r + —, MZ ,玻得X 的范围，进而确定函数的单调递増M2 6 2所IX /（巧的单调递壇区间为M 一子L」C I ）因为能源投资九珈忆，占总投资血亿的5珈 次上，所占比重大；〔II 〕戸⑴二汁迂 I（ill ） X 的数学期望= 8 ■【解析】 试题分析：（I ）因为能源投资为3加亿，占总投资禎0亿的50%以，上，所占比重大；（U 〉根摒提供的数据信息，可以得到 天津、上海两港口的冃呑吐量N 和超过閃百万吨的月份个数，根疇古典概型计算出概率； 「〔【II ）根据数学期望的公式乗曲即可.试题解析巳C I ）由题竜可知/名3 +1 = 0，+1 = 0 •解彳寻血=-Q(II )由〔I 〉可得/(x)= 2coi\ iii2r+l = cos2r sin2x+2 ■■■■ 2sui函y s siax 的14増区间为；卅x—,2k ST H —22jteZ -k eZ •tez -第17题【答案】试題解析：（1）本坎协仪的投资重点为能源，因为能源投资为3丸亿，占总投资4旳亿的丸％以上.所占比重大.CU ）设事件直:从12个月中任选一个月皿冃超过閃百万吨.根据提棋的魏据信息；可以得到天津、上海两港口的月呑吐量之和分别是:56, 49, 58, 54, 54, 57, 59, 56, 58, 56, 54, 56,其中超过亦百万吨的月份有8个」所几尸（且）=石=亍*CUI）X的数学期a^V = 8 ■点睛：本题考查学生的是古典概型求概率以及离散型随机变量的期ES与方差，属于中档题目"具育二口现的可能性都相等，那么霉一个基本事件的概率者堤喪口臬某个事件A包括的结果育*H那么事件A 的枫率P（A>=7・(I)见解析：(II)见解析5 (III)不存在这样的点.【解析】试题分析：(I)在直三棱柱.ABC-A}B}C}中，由CC；丄平面zLBC ,推得/C丄CC】，由平面CC]D丄平面ACC}A.,推得zlQ丄平面CCQ ,又C/)u平面CC/),得证• (H)如图建立空间直角坐标系-4-wz ,写出各点坐标，求出平面DR片的法向童为斤，因为A^n=O ,所AM / /平面DBB} . (Ill)设丽学荒,衣[0J]'根据线面角公式列出方程，解得^ = -e[0.1],可得结论.4试题解析：(I〉证明：在直三棱柱肿C-4EQ中，cq丄平面肋c ,由平面CC、D丄平面ACC}A},且平面CC、D C平面ACC^ = CC},所V.AC丄平面CC\D ,又Cpu平面CCQ ,所CUC 1 DC}.(II)证明：在直三棱柱中' *丄平面加C ,所叹龙4】丄.佔,A%丄.4C ,又纫C = 90。
北京市海淀区2019届高三下学期期中练习数学（理）试题本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．函数()f x=A．［0，＋∞）．［1，＋∞）．（－∞，0］．（－∞，1］【知识点】函数的定义域与值域【试题解析】要使函数有意义，需满足：即所以函数的定义域为：．故答案为：A【答案】A2．某程序的框图如图所示，若输入的z＝i（其中i为虚数单位），则输出的S 值为A．－1B．1C．－iD．i【知识点】算法和程序框图【试题解析】由题知：n=9时，否，是，则输出的值为。
故答案为：D【答案】D3．若x，y 满足2040x yx yy-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z x y=+的最大值为A．52B．3C．72D．4【知识点】线性规划【试题解析】作可行域：由图知：当目标函数线过点C （1，3）时，目标函数值最大，为故答案为：C 【答案】C4．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为A ．3B ．2C D 【知识点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图【试题解析】该三棱锥的底面是以2为底，以为高的三角形，高为1， 所以故答案为：A 【答案】A5．已知数列{}n a 的前n 项和为Sn ，则“ {}n a 为常数列”是“*,n n n N S na ∀∈=”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【知识点】充分条件与必要条件 【试题解析】若为常数列，则； 反过来，若，则，即为常数列。
所以“为常数列”是“，”的充分必要条件。
故答案为：C 【答案】C6．在极坐标系中，圆C 1 :2cos ρθ=与圆C 2:2sin ρθ=相交于 A ，B 两点，则｜AB ｜＝A ．1BCD ． 2 【知识点】圆与圆的位置关系 【试题解析】化圆为标准方程，两圆方程作差，得相交弦AB 所在直线方程为：圆的圆心为（1，0），半径为1．所以圆心到直线AB 的距离为：所以弦长的一半为：即弦长为：。
海淀区高三年级第二学期期中练习数 学 （文科） 2019.4选择题 （共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1、已知集合{}30<<∈=x x A R ，{}42≥∈=x x B R ，则=B AA. {}2 23x x x ≤-≤<或 B. {}32<<x x C. {}32<≤x x D. R2. 设0.5323, log 2, cos 3a b c π===，则A. c b a <<B. c a b <<C. a b c <<D. b c a << 3．函数1()x f x x+=图象的对称中心为 A ．(0,0) B.(0,1)C. (1,0)D. (1,1)4. 执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为2，则输出的x 值为A. 25 B ．24 C. 23 D ．225.从集合{1,1,2}A =-中随机选取一个数记为k ，从集合{2,1,2}B =-中随机选取一个数记为b ，则直线y kx b =+不经过第三象限的概率为A ． 29 B. 13 C. 49D. 596. 在同一个坐标系中画出函数,sin xy a y ax ==的部分图象，其中01a a >≠且，则下列所给图象中可能正确的是7.2a -≤≤A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8.若直线l 被圆22:2C x y +=所截的弦长不小于2，则l 与下列曲线一定有公共点的是A ．22(1)1x y -+= B ．．2212x y += C. 2y x = D ．221x y -=非选择题（共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.9. 计算21i=+__________________. 10. 为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为1s ，2s ，3,s 则它们的大小关系为 . （用“>”连接）11. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是上底面1111A B C D 内一动点，则三棱锥P ABC -的主视图与左视图的面积的比值为_________.12. 已知函数()x f x xe =，则'()f x =________;函数()f x 图象在点(0,(0))f 处的切线方程为_______13. 已知向量(,2),(1,)a x b y ==，其中,0x y ≥.若4≤a b ，则y x -的取值范围为 .14．如图，线段AB =8，点C 在线段AB 上，且AC =2，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设CP =x ， △CPD 的面积为()f x .则()f x 的PDCBA 1A 1D 1B 1C 左视主视乙丙甲定义域为________；()f x 的最大值为 ________.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、，已知1tan 2B =，1tan 3C =,且1c =. (Ⅰ) 求tan()B C +； (Ⅱ) 求a 的值.16. （本小题共13分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =且12n n S S n -=+（2n ≥，*n ∈N ）.( I )求n S ；( II ) 是否存在等比数列{}n b 满足112339, b a b a b a ===，？若存在，则求出数列{}n b 的通项公式；若不存在，则说明理由.17. （本小题共13分）如图：梯形ABCD 和正△PAB 所在平面互相垂直，其中//,AB DC 12AD CD AB ==，且O 为AB 中点.( I ) 求证：//BC 平面POD ； ( II ) 求证：AC ⊥PD .18. （本小题共14分）已知函数1()ln (0,)f x a x a a x=+≠∈ R （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值和单调区间；(II) 若在区间[1,e]上至少存在一点0x ，使得0()0f x <成立，求实数a 的取值范围.BACDOP19. （本小题共14分）已知椭圆2222:1x y C a b += (0)a b >>经过点3(1,),2M 其离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，以线段,OA OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点. 求O 到直线距离的l 最小值.20. （本小题共13分）已知每项均是正整数的数列123100,,,,a a a a ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i =，设j j k k k b +++= 21(1,2,3)j =，12()100m g m b b b m =+++-(1,2,3).m =（Ⅰ）设数列1240,30,k k ==34510020,10,...0k k k k =====，求(1),(2),(3),(4)g g g g ； (II) 若123100,,,,a a a a 中最大的项为50， 比较(),(1)g m g m +的大小； （Ⅲ）若12100200a a a +++=，求函数)(m g 的最小值.海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（文）答案及评分参考 2019．4选择题 （共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9.1i - 10. s 1>s 2>s 3 11. 1 12. (1)x x e +， y x = 13. [4,2]- 14. (2,4)，三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15. （共13分） 解：（I ）因为1tan 2B =，1tan 3C =,tan tan tan()1tan tan B CB C B C ++=- …………………3分 代入得到，1123tan()111123B C ++==-⨯. …………………6分 （II ）因为180A B C =-- …………………7分 所以tan tan[180()]tan()1A B C B C =-+=-+=- …………………9分又0180A <<，所以135A =. …………………10分 因为1tan 03C =>，且0180C <<，所以sin 10C = ， …………………11分 由sin sin a c A C=，得a =. …………………13分16. （共13分）解：（I ）因为12n n S S n -=+，所以有12n n S S n --=对2n ≥，*N n ∈成立 ………2分 即2n a n =对2n ≥成立，又1121a S ==⋅, 所以2n a n =对*N n ∈成立 …………………3分 所以12n n a a +-=对*N n ∈成立 ，所以{}n a 是等差数列， …………………4分 所以有212nn a a S n n n +=⋅=+ ，*N n ∈ …………………6分 （II ）存在. …………………7分 由（I ），2n a n =，*N n ∈对成立所以有396,18a a ==，又12a =， ………………9分 所以由 112339, b a b a b a ===，，则23123b b b b == …………………11分 所以存在以12b =为首项，公比为3的等比数列{}n b ，其通项公式为123n n b -=⋅ . ………………13分17. （共13分）证明: (I) 因为O 为AB 中点， 所以1,2BO AB =…………………1分 又//,AB CD 12CD AB =， 所以有,//,CD BO CD BO = …………………2分所以ODCB 为平行四边形,所以//,BC OD …………………3分又DO ⊂平面,POD BC ⊄平面,POD所以//BC 平面POD . …………………5分BAC DOP(II)连接OC .因为,//,CD BO AO CD AO ==所以ADCO 为 平行四边形， …………………6分 又AD CD =,所以ADCO 为菱形，所以 AC DO ⊥， …………………7分 因为正三角形PAB ,O 为AB 中点，所以PO AB ⊥ ， …………………8 分又因为平面A B C D ⊥平面PAB ,平面A B C D 平面P A B A B= ， 所以PO ⊥平面ABCD ， …………………10分 而AC ⊂平面ABCD ，所以 PO AC ⊥， 又PODO O =，所以AC ⊥平面POD . …………………12分又PD ⊂平面POD ，所以AC ⊥PD . …………………13分18. （共14分） 解：（I ）因为2211'()a ax f x x x x-=-+= ， …………………2分 当1a =， 21'()x f x x-=， 令'()0f x =，得 1x =，…………………3分又()f x 的定义域为(0,)+∞， ()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：所以时，的极小值为5分()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，单调递减区间为(0,1)； …………………6分（II ）解法一： 因为2211'()a ax f x x x x-=-+= ，且0a ≠， 令'()0f x =，得到1x a=， 若在区间(0,]e 上存在一点0x ，使得0()0f x <成立，其充要条件是()f x 在区间(0,]e 上的最小值小于0即可. …………………7分BACDO P（1）当10x a=<，即0a <时，'()0f x <对(0,)x ∈+∞成立， 所以，()f x 在区间(0,]e 上单调递减， 故()f x 在区间(0,]e 上的最小值为11()ln f e a e a e e=+=+， 由10a e +<，得1a e <-，即1(,)a e∈-∞- …………………9分 （2）当10x a=>，即0a >时， ① 若1e a≤，则'()0f x ≤对(0,]x e ∈成立，所以()f x 在区间(0,]e 上单调递减， 所以，()f x 在区间(0,]e 上的最小值为11()ln 0f e a e a e e=+=+>， 显然，()f x 在区间(0,]e 上的最小值小于0不成立 …………………11分 ② 若10e a <<，即1a e>时，则有所以()f x 在区间(0,]e 上的最小值为()lnf a a a a=+， 由11()ln(1ln )0f a a a a a a=+=-<， 得 1ln 0a -<，解得a e >，即(,)a e ∈+∞. …………………13分 综上，由(1)（2）可知：1(,)(,)a e e∈-∞-+∞符合题意. …………………14分解法二：若在区间(0,]e 上存在一点0x ，使得0()0f x <成立， 即001ln 0a x x +<， 因为00x >, 所以，只需001ln 0ax x +< …………………7分 令()1ln g x ax x =+，只要()1ln g x ax x =+在区间(0,]e 上的最小值小于0即可因为'()ln (ln 1)g x a x a a x =+=+， 令'()(ln 1)0g x a x =+=，得1x e= …………………9分 （1）当0a <时：因为(0,)x e∈时，()1ln 0g x ax x =+>，而()1ln 1g e ae e ae =+=+， 只要10ae +<，得1a e <-，即1(,)a e∈-∞- …………………11分 （2）当0a >时：所以，当 (0,]x e ∈时，()g x 极小值即最小值为1()1ln1a g a e e e e=+⋅=-， 由10ae-<， 得 a e >，即(,)a e ∈+∞. …………………13分 综上，由(1)（2）可知，有1(,)(,)a e e∈-∞-+∞ . …………………14分19. （共14分）解：（Ⅰ）由已知，222214a b e a -==，所以2234a b =， ① …………………1分 又点3(1,)2M 在椭圆C 上，所以221914a b += ， ② …………………2分 由①②解之，得224,3a b ==.故椭圆C 的方程为22143x y +=. …………………5分 (Ⅱ) 当直线l 有斜率时，设y kx m =+时，则由22,1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得，222(34)84120k x kmx m +++-=， …………………6分222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ∆=-+-=+->， ③…………7分 设A 、B 、P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则：012012122286,()23434km mx x x y y y k x x m k k =+=-=+=++=++，…………8分 由于点P 在椭圆C 上，所以2200143x y +=. ……… 9分 从而222222216121(34)(34)k m m k k +=++，化简得22434m k =+，经检验满足③式. ………10分 又点O 到直线l 的距离为：2d ===≥= ………11分 当且仅当0k =时等号成立 …………12分当直线l 无斜率时，由对称性知，点P 一定在x 轴上，从而P 点为(2,0),(2,0)-，直线l 为1x =±，所以点O 到直线l 的距离为1 ……13分所以点O 到直线l的距离最小值为2……14分 20. （共13分）解: (I) 因为数列1240,30,k k ==320,k =410k =， 所以123440,70,90,100b b b b ====，所以(1)60,(2)90,(3)100,(4)100g g g g =-=-=-=- . …………………3分 (II) 一方面，1(1)()100m g m g m b ++-=-，根据j b 的含义知1100m b +≤，故0)()1(≤-+m g m g ，即 )1()(+≥m g m g ， ① …………………5分 当且仅当1100m b +=时取等号. 因为123100,,,,a a a a 中最大的项为50，所以当50m ≥时必有100m b =，所以(1)(2)(49)(50)(51)g g g g g >>>===即当149m <<时，有()(1)g m g m >+； 当49m ≥时，有()(1)g m g m =+ . …………………7分（III ）设M 为{}12100,,,a a a 中的最大值.由（II ）可以知道，()g m 的最小值为()g M . 下面计算()g M 的值.123()100M g M b b b b M =++++-1231(100)(100)(100)(100)M b b b b -=-+-+-++-_.__._ 233445()()()()M M M M k k k k k k k k k k =----+----+----++- 23[2(1)]M k k M k =-+++- 12312(23)()M M k k k Mk k k k =-++++++++ 123100()M a a a a b =-+++++ 123100()100a a a a =-+++++， ∵123100200a a a a ++++= ， ∴()100g M =-， ∴()g m 最小值为100-.…………………13分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。
阅卷给分简单说明
填空题 两个空的前3后 2.
第13题 ln 3+3，⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭写成ln3(,+)3∞给3分. 第15题（Ⅰ）4q =-没舍，求出两个通项（其中有一个正确）扣1分；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的错误下，多求出一个n S （其中有一个正确）扣1分.
如果用列举法得出n 的最大值为4，必须说明“n S 的单调性或()3n f n =的单调性”否则扣1分。
第16题 （Ⅰ）6分点处：用对一个二倍角公式给2分； （Ⅱ）没有写“12x π
=时，()f x 最大值” 扣1分.
第一问结果错误，第二问不给分（如果第二问的步骤中，在一开始出现了等价转换的那句话，给1分）
第17题 没有列表说明取得极大值，每个表扣1分（最多扣2分）.
第18题 按照标准
第19题 （Ⅰ）判断结论正确1分（前后均可）；求导正确2分（代对公式就给分，不看化简结果）；正确论述2分（无理由扣1分）；
（Ⅱ）所构造函数的导函数的单调性证明及判断2分
证明零点存在2分
列表求最值2分
最后证明3分（有导函数零点方程给1分）.
第2问的典型错误：
第20题 （Ⅰ） 两个判断各1分； 三个集合全对给2分且没有多写；三个集合全对且有多写给1分；三个集合仅有一个或两个写对给1分.
（Ⅱ）1. 准确推出24,A A 不是关联子集2分（只写结论1分）；
2.准确推出135,,A A A 是关联子集2分（只写结论1分）；
3.准确推出125,,
,a a a 是等差数列2分（三个等式都要写出）； （Ⅲ）1. 出现2(1)()2
n n n C -得1分； 2. 出现232
i j n n a a -+≤+得1分； 3. 分两类，准确证明，各1分.。
