高一数学上学期期中试题23 (2)

深圳中学2023-2024学年度第一学期期中考试试题年级：高一科目：数学考试用时：120分钟 卷面总分：150分注意事项：答案写在答题卡指定的位置上，写在试题卷上无效.选择题作答必须用2B 铅笔. 参考：以10为底的对数叫常用对数，把10log N 记为lg N ；以e(e 2.71828)= 为底的对数叫自然对数，把e log N 记为ln N ．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{3P x x =∈≥N 或0}x ≤，{}2,4Q =，则()P Q =N （）A.{}1 B.{}2 C.{}1,2 D.{}1,2,4【答案】D 【解析】【分析】根据补集的定义和运算可得{}1,2P =N ，结合并集的定义和运算即可求解. 【详解】由题意知，{}1,2P =N ，{}2,4Q =，所以(){}1,2,4P Q =N ，故选：D ．2.命题“()()31,,1,x x ∞∞∃∈+∈+”的否定是（ ）A.()1,x ∀∈+∞，都有()31,x ∞∉+B.()1,x ∀∉+∞，都有()31,x ∞∉+C.()1,x ∀∈+∞，都有()31,x ∞∈+D.()1,x ∀∉+∞，都有()31,x ∞∈+【答案】A 【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题命题“()()31,,1,x x ∞∞∃∈+∈+ ”的否定是“()1,x ∀∈+∞，都有()31,x ∞∉+.故选：A. 3.函数()f x =的定义域是（ ） A. (,1)(1,0)−∞−∪− B. [1,)−+∞ C. [1,0)− D. [1,0)(0,)−+∞【答案】D 【解析】【分析】根据根式与分式的定义域求解即可. 【详解】()f x =的定义域满足1020x x +≥ ≠ ，解得[1,0)(0,)x ∈−+∞ . 故选：D4. ()f x x 1x 2=−+−的值域是 A. ()0,∞+ B. [1,)+∞C. ()2,∞+D. [2,)+∞【答案】B 【解析】【分析】对x 的范围分类，把(f x 的表达式去绝对值分段来表示，转化成各段函数值域的并集求解．【详解】()32,1121,1223,2x x f x x x x x x −≤=−+−=<< −≥，作出函数()f x 的图像如图所以()12f x x x =−+−的值域为[)1,+∞， 故选B.【点睛】本题主要考查了绝对值知识，对x 的范围进行分类，可将含绝对值的函数转化成初等函数类型来解决5. 已知幂函数的图象经过点()8,4P ，则该幂函数在第一象限的大致图象是（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据求出幂函数的解析式，再根据幂函数的性质即可得出答案. 【详解】设()af x x =，则328422a a =⇔=，所以32a =，所以23a =，所以()23f x x ==，因为2013<<， 因为函数()f x 在()0,∞+上递增，且增加的速度越来越缓慢， 故该幂函数在第一象限的大致图象是B 选项. 故选：B .6. 函数31()81ln 803x f x x -⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎝⎭的零点位于区间（ ）A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)【答案】B 【解析】【分析】根据函数的单调性及函数零点的存在性定理选择正确选项即可．【详解】因为函数81ln y x =与31803x y − =−−在()0,∞+上均为增函数，所以()f x 在()0,∞+上为增函数．因为()281ln 2830f =−<，()381ln 3810f =−>， 所以函数()f x 的零点位于区间()2,3内． 故选：B7. 已知不等式220ax bx ++>的解集为{}21x x −<<，则不等式220x bx a −+<的解集为（ ）A. 11,2 −B. 1,12−C. 1,12D. ()2,1−【答案】A 【解析】【分析】根据不等式解集，求得参数,a b ，再求不含参数的一元二次不等式即可.【详解】根据题意方程220ax bx ++=的两根为2,1−，则221,2b a a−+=−−=，解得1,1a b =−=−， 故220x bx a −+<，即2210x x +−<，()()2110x x −+<，解得11,2x ∈−. 即不等式220x bx a −+<的解集为11,2 −. 故选：A .8. 已知()f x 和()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()e x g x f x −=，则(1)(1)f g =（ ） A. 22e 1e 1+− B. 22e 1e 1−+C. 221e 1e −+D. 221e 1e +−【答案】C 【解析】【分析】根据奇函数与偶函数的性质即可代入1x =和=1x −求解.【详解】因为()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，所以由()()111e g f −−−−=有()()111e g f −+=， 又()()11e g f −=，所以()121e e g −=+，()121e ef −=−， 所以()()12121e e 1e 1e e 1e f g −−−−==++．故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）A. ()1f x x =+与21()1x g x x −=−B. ()1f t t =−与()1g x x =−C. ()ln e x f x =与()g x =D. ln ()e x f x =与()g x =【答案】BC 【解析】【分析】根据题意，由同一函数的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A ，()f x 定义域为R ，()g x 定义域为{}|1x x ≠，定义域不相同，不是同一函数，A 错误； 对于B ，函数()f x 与()g x 的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数，故正确；对于C ，函数()()f x x x =∈R ，函数()()g x x x =∈R ，两函数的定义域与对应关系都一致，所以是同一函数，故正确；对于D ，()()0f x x x =>，()g x x =，所以对应关系不相同，定义域也不同，不是同一函数，D 错误． 故选：BC10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数1y x x=+的最小值为2 B. 若a ，b ∈R ，则“220a b +≠”是“0a b +≠”充要条件 C. 若a ，b ，m 为正实数，a b >，则a m ab m b+<+ D. “11a b>”是“a b <”的充分不必要条件 【答案】BC 【解析】【详解】根据基本不等式满足的前提条件即可判定A ，根据绝对值和平方的性质可判定B ，根据不等式的性质可判断CD.【分析】对于A ，当x 取负值时显然不成立，故A 错误， 对于B ，若,a b ∈R ，由220a b +≠，可知a ，b 不同时为0， 由0a b +≠，可知a ，b 不同时为0，所以“220a b +≠”是“0a b +≠”的充要条件，故B 正确；对于C ，()()()()()0b a m a b m m b a a m a b m b b b m b b m +−+−+−==<+++，所以a m ab m b+<+，故C 正确， 对于D ，①若11a b>，则当0a >，0b >时，则0a b <<， 当0a <，0b <时，则0a b <<， 当a ，b 异号时，0a b >>．的②若a b <，则当a ，b 同号时，则11a b >， 当a ，b 异号时，0a b <<，则11a b<， 所以“11a b>”是“a b <”的既非充分也非必要条件，D 选项错误．故选：BC11. 下列命题正确的是（ ）A. 函数212log (23)y x x =−−在区间(1,)+∞上单调递减 B. 函数e 1e 1x xy −=+在R 上单调递增C. 函数lg y x =在区间(,0)−∞上单调递减D. 函数13xy =与3log y x =−的图像关于直线y x =对称【答案】BCD 【解析】【分析】A 项，由复合函数的定义域可知错误；B 项分离常数转化为()21e 1x f x =−+，逐层分析单调性可得；C 项由偶函数对称性可知；D 项，两函数互为反函数可知图象关于直线y x =对称.【详解】对于A ，由2230x x −−>，解得1x <−，或3x >， 故函数定义域为(,1)(3,)−∞−∪+∞，由复合函数的单调性可知该函数的减区间为()3,+∞，故A 错； 对于B ，()21e 1x f x =−+， 由于e 1x y =+在x ∈R 单调递增，且e 10x +>， 所以1e 1x y =+在R 上单调递减，2e 1xy =−+在R 上单调递增， 因此()f x 在R 上单调递增，B 正确；对于C ，当0x >时，lg y x =（即lg y x =）在区间()0,∞+上单调递增， 又因为lg y x =为偶函数，其图象关于y 轴对称， 所以在区间(),0∞−上单调递减，C 正确；对于D ，由于函数13xy =与13log y x =（即3log y x =−）互为反函数．所以两函数图象关于y x =对称，D 正确． 故选：BCD.12. 德国数学家狄里克雷在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x ，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图像、表格等形式表示，例如狄里克雷函数()D x ，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0．下列关于狄里克雷函数()D x 的性质表述正确的是（ ） A. ()D x 的解析式为()R 1,,0,.x Q D x x Q ∈ = ∈B. ()D x 的值域为[]0,1C. ()D x 的图像关于直线1x =对称D. (())1D D x = 【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意，由狄里克雷函数的定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A ，用分段函数的形式表示狄里克雷函数，故A 正确． 对于B ，由解析式得()D x 的值域为{}0,1，故B 错误；过于C ，若x 为有理数，则2x −为有理数，则()()21D x D x =−=；若x 为无理数，则2x −为无理数．则()()20D x D x =−=；所以()D x 的图像关于直线1x =对称，即C 正确；对于D ，当x 为有理数，可得()1D x =，则()()1D D x =，当x 为无理数，可得()0D x =，则()()1D D x =，所以()()1D D x =，所以D 正确． 故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.110.752356416(4)−−−++++=________．【答案】414##1104【解析】【分析】根据题意，结合指数幂的运算法则和运算性质，准确化简、运算，即可求解. 【详解】根据指数幂的运算法则和运算性质，可得：11111430.752364353355426416(4)[()](2)(2)22233−−−−+=+−+++⋅ 221141821033444=−+++==． 故答案：414. 14. 已知a ，b 是方程22(ln )3ln 10x x −+=的两个实数根，则log log a b b a +=________． 【答案】52##2.5 【解析】【分析】方法一：利用韦达定理结合换底公式求解；方法二：解方程可得e a =，b =，代入运算求解即可.【详解】方法一：因为a ，b 是方程()22ln 3ln 10x x −+=的两个实数根， 由韦达定理得1ln ln 2a b ⋅=，3ln ln 2a b +=， 则()()()()2222ln ln ln ln 2ln ln ln ln ln ln 5log log 2ln ln ln ln ln ln ln ln 2a b a b a b a ba b b a b a a ba ba ba b++−⋅++=+===−=⋅⋅⋅，即5log log 2a b b a +=；方法二：因为22310t t −+=的根为1t =或12t =， 不妨设ln 1a =，1ln 2b =，则e a =，b =，所以e 15log log log 222e a b b a +==+=．故答案为：52.15. 已知0,0x y >>且2x y xy +=，则2x y +的最小值是__________． 【答案】8 【解析】【分析】运用“1”的代换及基本不等式即可求得结果.为【详解】因为2x y xy +=，所以211x y+=，所以()214222248x y x y x y x y y x +=++=+++≥+=，当且仅当4x y y x =，即4,2x y ==时取等号.所以2x y +的最小值为8. 故答案为：8.16. 记(12)(12)T x y =−−，其中221x y +=，则T 的取值范围是________．【答案】3,32 −+ ． 【解析】【分析】根据基本不等式，结合换元法，将问题转化为213222T t =−− ，t ≤≤上的范围，由二次函数的性质即可求解.【详解】()124T x y xy =−++，设x y t +=，则212t xy −=， 所以221124212t T t t t −=−+⋅=−．因为22x y xy + ≤，所以22124t t −≤．所以t ≤≤又213222T t =−− ，所以当12t =时，T 有最小值32−，当t =T 有最大值3+．故答案为：3,32 −+ 四、解答题：本题共6小题，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知集合{}(,)|1Ax y y x ==−，{}2(,)|B x y y mx ax m ==++．（1）若1a =−，0m =，求A B ∩；（2）若1a =，且A B ∩≠∅，求实数m 的取值范围．【答案】（1）11,22A B=−（2）[]2,1−． 【解析】【分析】（1）联立两方程，求出交点坐标，得到交集；（2）联立后得到210mx m +++=，分0m =与0m ≠两种情况，，结合根的判别式得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 若1a =，0m =，则(){},|Bx y y x ==． 由1y x y x =−=− ，得1212x y= =− ． 所以11,22A B =−． 【小问2详解】由()211x y y mx x m −==+++消去y，得210mx m +++=①． 因为A B ∩≠∅，所以方程①有解．当0m =时，方程①可化为1=−，解得x =，所以1y ， 所以0m =符合要求．当0m ≠时，要使方程①有解，必须(()2Δ410m m =−+≥，即220m m +−≤，解得21m −≤≤， 所以21m −≤≤，且0m ≠． 综上所述，m 的取值范围是[]2,1−． 18. 设不等式2514x x −≤−的解集为A ，关于x 的不等式2(2)20x a x a −++≤的解集为B ． （1）求集合A ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[)1,4（2）[)1,4．【解析】【分析】（1）根据题意，结合分式不等式的解法，即可求解；（2）根据题意，转化为B A ，再结合一元二次不等式的解法，分类讨论，求得集合B ，进而求得a 取值范围.【小问1详解】 解：由不等式2514x x −≤−，可得2511044x x x x −−−=≤−−， 即()()140x x −−≤，且4x ≠，所以14x ≤<，所以[)1,4A =．【小问2详解】解：因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，所以集合B 是A 的真子集，由不等式()2220x a x a −++≤，可得()()20x x a −−≤， 当2a <时，不等式的解集为2a x ≤≤，即[],2B a =，因为B A ，则12a ≤<；当2a =时，不等式为2(2)0x −≤，解得2x =，即{}2B =；B A 成立；当2a >时，不等式的解集为2x a ≤≤，即[]2,B a =，因为B A ，则24a <<，综上所述14≤<a ，即a 的取值范围是[)1,4．19. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，2()2f x x x =+，现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，如图所示．（1）请将函数()f x 的图象补充完整，并求出()()f x x ∈R 的解析式；（2）求()f x 在区间[],0a 上的最大值．【答案】（1）作图见解析，()222,02,0x x x f x x x x +≤= −+>（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据函数奇函数的对称性，即可根据对称作出函数图象，进而可利用奇函数的定义求解解析式，（2）根据二次函数的性质，结合函数图象即可求解.【小问1详解】作出函数()f x 的图象，如图所示，当0x >时，0x −<，则()()22()22f x x x x x −=−+−=−， 因为()f x 为奇函数，所以()()22f x f x x x =−−=−+， 所以()222,02,0x x x f x x x x +≤= −+>． 【小问2详解】易如()()200f f −==，当2a <−时，()f x 在x a =处有最大值()22f a a a =+； 当20a −≤<时，()f x 在0x =处有最大值()00f =.20. 为了减少能源损耗，某建筑物在屋顶和外墙建造了隔热层，该建筑物每年节省的能源费用h (万元)与的隔热层厚度(cm)x 满足关系式：()()3232020h x x x k=−≤≤+．当隔热层厚度为1cm 时，每年节省费用为16万元，但是隔热层自身需要消耗能源，每年隔热层自身消耗的能源费用g (万元)与隔热层厚度(cm)x 满足关系：()2g x x =．（1）求k 的值；（2）在建造厚度为(cm)x 的隔热层后，每年建筑物真正节省的能源费用为()()()=−f x h x g x ，求每年该建筑物真正节省的能源费用的最大值.【答案】（1）1k =（2）18万元．【解析】【分析】（1）根据()116h =求解出k 值即可；（2）根据条件先表示出()f x ，然后利用基本不等式求解出最大值，注意取等条件.【小问1详解】由题知()116h =，所以3232161k −=+， 解得1k =；【小问2详解】由（1）知，()()32320201h x x x =−≤≤+， 所以()()323220201f x x x x =−−≤≤+， 所以()()()323232212342111f x x x x x −−++=−++= ++， 因为()3221161x x ++≥=+，当且仅当()32211x x =++，即3x =时取等号， 所以()341618f x ≤−=， 所以每年该建筑物真正节省的能源费用的最大值为18万元．21. 已知23()21x x a f x −−=+， （1）若定义在R 上的函数()ln ()g x f x =是奇函数，求a 的值；（2）若函数()()h x f x a =+在(1,)−+∞上有两个零点，求a 的取值范围．的【答案】（1）13− （2）41,3【解析】【分析】（1）根据题意，结合()()0g x g x −+=，得出方程，进而求得实数a 的值； （2）令()0h x =，得到()23210x x a a −−++=，得到()222210x x a a −⋅+=，令2x t =，转化方程可化为2210at at −+=1,2 +∞上有两个不相等的根， 方法一：设()221p t at at =−+，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解；方法二：把方程化为()211a t a −−=，求得1t =±，结合11,2 +∞，即可求解. 【小问1详解】 解：因为()g x 是奇函数，所以()()2323ln ln 02121x x x x a a g x g x −−−−−+=+=++， 可得232312121x x x x a a −−−−⋅=++，即()()2312291x x a a −++=−恒成立， 因为220x x −+≠，所以310a +=且2910a −=，所以13a =−． 【小问2详解】 解：由232()()1x x h a x f a a x −=+−=++，令()0h x =，可得23021x x a a −−+=+， 所以()23210x x a a −−++=， 两边同乘以2x 并整理，得()222210x x a a −⋅+=． 令2x t =，因为1x >−，所以12t >， 于是方程可化为2210at at −+=，（*） 问题转化为关于t 的方程（*）在1,2 +∞上有两个不相等的根，显然0a ≠， 方法一：设()221p t at at =−+，抛物线的对称轴为1t =，()01p =．若a<0，由()00p >知，()p t 必有一个零点为负数，不合题意； 若0a >，要使()p t 在1,2 +∞ 上有两个零点，由于对数轴112t =>， 故只需2102Δ440p a a > =−> ，即31044(1)0a a a −> −> ，解得413a <<． 综上可得，实数a 的取值范围是41,3． 方法二：方程（*）可化为()211a t a −=−，若0a =，则01=−，矛盾，故0a ≠，故()211a t a −−=， 所以10a a−>，即a<0或1a >，①此时，1t −=，即1t =±，其中11,2 +∞ ，则112−>12<，即114a a −<，可得340a a −<，解得403a << ② 由①②得a 的取值范围是41,3． 22. 定义在R 上函数()f x 满足如下条件：①()()()4f x y f x f y +=+−；②(2)6f =；③当0x >时，()4f x >．（1）求(0)f ，判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论； （2）当[)0,x ∈+∞时，不等式()()()ln 3e 122ln 310x f a f x a −++−−≤ 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()04f =，函数()f x 在R 上为增函数，证明见解析 （2）[]1,3【解析】的【分析】（1）令2,0x y ==，求得()04f =，再根据函数单调性的定义和判定方法，证得函数()f x 在R 上为增函数；（2）根据题意，转化为不等式()ln 3e 12ln 30x a x a −+−−≤ （*）对于任意[)0,x ∈+∞成立，由对数函数的性质，求得03a <≤，再由不等式()23e 3e 10x x a a +−−≥成立，转化为max 1e x a ≥ 对于任意[)0,x ∈+∞成立，求得1a ≥，即可求得实数a 的取值范围．【小问1详解】解：令2x =，0y =，可得()04f =．函数()f x 在R 上为增函数，证明如下：设12x x <，因为()()()4f x y f x f y +−=−，令1x y x +=，2x x =，则21y x x =−，可得()()()21214f x f x f x x −=−−， 因为210x x −>，所以()214f x x −>，所以()2140f x x −−>， 所以()()210f x f x −>，即()()21f x f x >， 所以函数()f x 在R【小问2详解】解：由条件有()()()4f x f y f x y +=++，则不等式可化为()()ln 3e 122ln 3410x f a x a −++−−+≤ ，即()()ln 3e 122ln 36x f a x a −++−−≤ ， 又由()26f =，所以()()()ln 3e 122ln 32xf a x a f −++−−≤ ， 因为函数()f x 在R 上为增函数，可得()ln 3e 122ln 32x a x a −++−−≤即()ln 3e 12ln 30x a x a −+−−≤ （*）对于任意[)0,x ∈+∞成立， 根据对数函数的性质，可得()3e 10x a −+>，30a >对于任意[)0,x ∈+∞成立，则13e 0x a a <+ >，因为0x ≥，则e 1x ≥，所以101e x <≤， 可得1334ex <+≤，所以03a <≤ ①， 又由（*）式可化为()()2ln 3e 12ln 3ln 3e x x a x a a −+≤+= ， 即对于任意[)0,x ∈+∞，()23e 13e x xa a −+≤成立，即()23e 3e 10x x a a +−−≥成立， 即对于任意[)0,x ∈+∞，()()3e 1e 10x x a +−≥成立， 因为3e 10x +>，所以e 10x a −≥对于任意[)0,x ∈+∞成立， 即max1e x a ≥ 对于任意[)0,x ∈+∞成立，所以1a ≥ ②． 由①②，可得13a ≤≤，所以实数a 的取值范围为[]1,3．。

2022-2023学年山西省太原市高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}{}1,0,1,2,12A B x x =-=-<<，则A B =（ ） A ．{1,0,1,2}- B ．{1,0,1}- C ．{0,1,2} D ．{0,1}【答案】D【分析】根据交集的含义即可得到答案. 【详解】{1,0,1,2},{12}A B x x =-=-<<∣，根据交集的含义则{}0,1A B =.故选：D.2．已知集合{}{}3,2M x x N x x =>=>，则M 与N 的关系可用Venn 图表示为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】由集合关系与Venn 图的关系判断． 【详解】由已知M N ⊆，选项D 符合． 故选：D ．3．命题“2R,11x x ∀∈+≥”的否定为（ ） A ．2R,11x x ∃∈+≤ B ．2R,11x x ∀∈+≤C ．2R,11x x ∃∈+<D ．2R,11x x ∀∈+<【答案】C【分析】根据全称命题的否定是存在量词命题即可求解. 【详解】由于全称命题的否定是存在量词命题， 所以命题“2R,11x x ∀∈+≥”的否定为“2R,11x x ∃∈+<”. 故选：C.4．“24x ≥”是“2x >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】直接解出不等式24x ≥，根据两不等式所表示的集合间的关系即可得到答案.【详解】24x ≥解得2x ≥或2x ≤-，故“2x >”能推出“2x ≥或2x ≤-”，但“2x ≥或2x ≤-”无法推出2x >，故“24x ≥”是“2x >”的必要不充分条件， 故选：B.5．下列函数中，与y x =的奇偶性和单调性都相同的是（ ） A ．1y x =+ B ．e x y =C ．1y x=D ．3y x =【答案】D【分析】首先易得y x =为奇函数，且单调递增，根据常见的一次函数，指数函数，幂函数的图像及其性质一一判断即可.【详解】首先y x =，()()f x x f x -=-=-，且定义域关于原点对称，故其为奇函数，易知其为增函数，对于A ，其定义域为R ，但()010f =≠，故它不是奇函数，故A 错误，对于B ，根据指数函数图像易得此函数不关于原点对称，故其不是奇函数，故B 错误， 对于C ，其定义域为()(),00,∞-+∞，其在各自区间内单调递减，故C 错误，对于D ，其定义域为R ，关于原点对称，且()()()33f x x x f x -=-=-=-，故其为奇函数，根据常见幂函数图像知3y x =为单调增函数，故D 正确， 故选：D.6．已知02a <<，则192a a+-的最小值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．16【答案】C【分析】利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】解：因为02a <<，所以10a>，902a >-， 所以[]19119(2)222a a a a a a ⎛⎫+=+-+ ⎪--⎝⎭129110108222a a a a ⎛⎫-⎛⎫=++≥⨯= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，当且仅当292a a a a -=-，即12a =时等号成立. 故选：C7．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()223f x x x =--，则不等式()0f x <的解集为（ ）A ．(3,0)(0,3)-⋃B ．(,3)(0,3)-∞-⋃C ．(3,0)(3,)-⋃+∞D ．(3,1)(1,3)--【答案】B【分析】先求得0x >时，()0f x <的解集，再利用函数的奇偶性求得当0x <时()f x 的解析式，进而求得其解集，最后检验一下0x =即可.【详解】因为当0x >时，()223f x x x =--，所以由()0f x <得2230x x --<，即()()310x x -+<，解得13x -<<，故03x <<； 当0x <时，0x ->，所以()()()222323f x x x x x -=----=+-，因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()()223f x f x x x =--=--+，故由()0f x <得2230x x --+<，即()()310x x +->，解得3x <-或1x >，故3x <-； 当0x =时，易得()0f x =，显然不满足()0f x <； 综上：3x <-或03x <<，故(,3)(0,3)x ∈-∞-⋃. 故选：B.8．已知函数2()241,()2f x x x g x x a =-+=+，若存在121,,22x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x =，则实数a的取值范围是（ ） A ．[5,0]- B ．[0,5] C ．(5,0)- D ．(,5)(0,)-∞-+∞【答案】A【分析】先求出两个函数的值域，再根据两个函数的值域不能是空集解不等式得解. 【详解】当121,,22x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2()241f x x x =-+的图象的对称轴为4122x -=-=⨯， 所以min max ()(1)2411,()(2)8811f x f f x f ==-+=-==-+=. 所以()[1,1]f x ∈-. ()2[1,4]g x x a a a =+∈++.因为存在121,,22x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x =，所以两个函数的值域的交集不能是空集.假设两个函数的值域的交集是空集，则11a +>或41a +<-， 即5a <-或0a >，所以两个函数的值域的交集不能是空集时50a -≤≤. 故选：A二、多选题9．若 0a b >> 则（ ） A ．22ac bc > B ．a c b c ->- C ．22a b >D ．11a b<【答案】BCD【分析】利用特殊值法可以排除A ，利用不等式的基本性质可判断B 正确，再利用函数的单调性可判断CD 正确.【详解】对于A ，当0c 时，22ac bc =，故A 错误；对于B ，不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，故B 正确； 对于C ，因为2x y =在R 上单调递增，又0a b >>，故22a b >，故C 正确； 对于D ，因为1y x=在()0,+∞上单调递减，又0a b >>，故11a b<，故D 正确. 故选：BCD10．已知抛物线2:C y ax bx c =++上部分点的横坐标x 纵坐标y 的对应值如下表：则下列结论正确的是（ ）A ．该抛物线开口向下 B ．方程20ax bx c ++=的根为120,2x x == C ．该抛物线的对称轴为直线1x = D ．当0y <时，x 的取值范围是02x <<【答案】BCD【分析】根据图表得到方程组()23101a b c c a b c ⎧=⋅--+⎪=⎨⎪-=++⎩，解得120a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，一一对照选项即可.【详解】根据图表得到方程组()23101a b c c a b c ⎧=⋅--+⎪=⎨⎪-=++⎩解得120a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以22y x x =-，所以其开口向上，故A 错误，令0y =得220x x -=，则120,2x x ==，故B 正确， 对称轴为21221b x a -=-=-=⋅，当0y <，则220x x -<，解得02x <<，故D 正确， 故选：BCD.11．已知幂函数()bf x x =的图象经过函数()212x g x a -=-（0a >且1a ≠）的图象所过的定点，则幂函数()f x 具有的特性是（ ） A ．在定义域内单调递减 B ．图象过点()1,1 C ．是奇函数 D ．定义域是R【答案】BC【分析】求出函数()g x 的图象所过定点的坐标，代入函数()f x 的解析式，求出b 的值，再利用幂函数的基本性质逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】由20x -=，即2x =，可得()112122g =-=， 故函数()212x g x a-=-（0a >且1a ≠）的图象过定点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则()1222bf ==，解得1b ，则()1f x x=，定义域为{}0x x ≠，且为奇函数， 函数()f x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递减，但在定义域内不单调递减. 因为()11f =，所以函数()f x 的图象经过点()1,1，所以选项B 、C 正确. 故选：BC.12．若3344x y x y ---<-，则下列结论正确的是（ ）A ．x y <B ．33y x -->CD ．22y x --<【答案】AD【分析】构造函数()34x xf x -=-，根据其单调性判断,x y 的大小关系，再结合指数函数单调性以及根式有意义的范围，对每个选项进行逐一分析即可判断和选择.【详解】对A ：令()34x xf x -=-，因为3x y =，4x y -=-都是R 上的单调增函数，故()f x 也是R 上的单调增函数，又3344x y x y ---<-，即3434x x y y ---<-，()()f x f y <，故x y <，故A 正确； 对B ：当0,0x y <=时，满足 x y <，但3y -没有意义，故B 错误；对C ：当0x y <<对D ：由x y <可得x y ->-，又2x y =是R 上的单调增函数，故22x y -->，D 正确. 故意选：AD.三、填空题13．已知122,0(),0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪->⎩，则((4))f f =___________．【答案】14##0.25【分析】根据复合函数先内后外的运算法则计算求解即可． 【详解】解：()12442=-=-f ，()()()214224-∴=-==f f f ． 故答案为：14．14．函数1()f x x=的定义域为___________. 【答案】(]0,2【分析】根据具体函数定义域的求法求解即可.【详解】因为1()f x x=， 所以2200x x x ⎧-+≥⎨≠⎩，解得020x x ≤≤⎧⎨≠⎩，故02x <≤，所以()f x 的定义域为(]0,2. 故答案为：(]0,2.15．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元. 要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则最小值是____________ 万元. 【答案】240【分析】列出总运费与总存储费用之和的表达式，结合均值不等式求最小值即可. 【详解】总运费与总存储费用之和为60064240x x ⋅+≥=，当且仅当36004x x =，即30x =时取等号，故最小值为240万元. 故答案为：24016．已知函数3,0()3,0x x x f x x ⎧≤=⎨>⎩，若(1)()f a f a -≥-，则实数a 的取值范围是___________.【答案】1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】根据函数图像或分段讨论易得()f x 为R 上的增函数,则1a a -≥-，解出即可.【详解】根据题意,函数3,0()3,0x x x f x x ⎧≤=⎨>⎩,当0x ≤时，易知此时()f x 为增函数，且在分界点处()00f =，当0x >时，此时()f x 为增函数，且()()01f x f >=，又因为10>，所以()f x 为R 上的增函数, 若(1)()f a f a -≥-,则有1a a -≥-,解可得12a ≥,即实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭; 故答案为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.四、解答题 17．(1)求值：011332293-⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭ (2)若1122x x -+=1x x --的值. 【答案】(1)3(2)【分析】（1）根据指数幂运算规则计算即可； （2）运用完全平方公式计算即可.【详解】（1）210111211132333333321292133232332⨯----⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯+⨯-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）由1122x x-+=，得()2112111222225,3,29x x x x x x x x x x -----⎛⎫+=++=∴+=+=++= ⎪⎝⎭，227x x -+= ，()212212725,x xx x x x ----=+-=-=∴-=；综上，（1）原式=3，（2）原式= .18．已知函数2()x f x a -=的图象经过点11,2⎛⎫⎪⎝⎭，其中0,1a a >≠.(1)若1(2)8f t +=，求实数t 的值；(2)设函数1,0,()1,0,xx x g x a x ⎧+≤=⎨->⎩请你在平面直角坐标系中作出函数()g x 的简图，并根据图象写出该函数的单调递增区间.【答案】(1)3t =-(2)作图见解析，单调递增区间为[1,0],(0,)-+∞.【分析】（1）把已知点的坐标代入函数解析式求得a 值，再由1(2)8f t +=求解t ；（2）直接由函数解析式作出简图，再由图象可得函数的增区间.【详解】（1）函数2()x f x a -=的图象经过点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,1212a -∴=,即2a =,则2()2x f x -=，又1(2)8f t +=，22128t +-∴=，即322t -=，得3t =-； （2）函数1,01,0()1,021,0xx x x x x g x a x x ⎧⎧+≤+≤⎪==⎨⎨->->⎪⎩⎩在平面直角坐标系中作出()g x 的简图如下:根据图象可得该函数的单调递增区间为[1,0]-,(0,)+∞19．已知集合{}{}233,30x A xB x x x =>=-∣∣.(1)求()BA R；(2)若{12}C xa x a =-∣，且B C C =，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)(],3-∞ (2)()3,11,2∞⎡⎤--⋃⎢⎥⎣⎦【分析】（1）把集合A 求出，再利用集合的并和补运算，求出答案即可； （2）先将B C C =转化为C B ⊆，再分类讨论，从而求出a 的范围. 【详解】（1）由33x >可得：1x >，故(1,)A =+∞，则(]R,1A =-∞，故()(]R ,3B A ∞⋃=-.（2）由B C C =，得C B ⊆，①当12a a ->，即1a <-时，C =∅，满足题意；②当12a a -，即1a -时，C ≠∅，因为C B ⊆，所以10,23,a a -⎧⎨⎩解得312a .综上，实数a 的取值范围是()3,11,2∞⎡⎤--⋃⎢⎥⎣⎦.20．某城市规划部门为改善早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）和车流密度x （单位：辆/千米）所满足的关系式60,030,80,30120,150x v kx x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩（k 单位：辆/小时）.研究发现：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米小时.(1)若车流密度为50辆/千米.求此时的车流速度；(2)若车流速度v 不小于40千米/小时.求车流密度x 的取值范围. 【答案】(1)56千米/小时 (2)(0,90]【分析】（1）将120x =，0v =代入函数第二段，得到080150120k=--，解出k 值，再代入50x =，得到v 值；（2）根据（1）中得到的分段函数解析式，在各自范围内解不等式即可，最后取并集. 【详解】（1）由题意知当120x =(辆/千米)时,0v =(千米小时),代入80150k v x =--,得080150120k =--，解得2400k =,所以60,030240080,30120150x v x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩, 当50x =时，2400805615050v =-=- 故当车流密度为50辆/千米时，此时车流速度为56千米/小时. （2）60,030240080,30120150x v x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩, 当030x <≤时,6040v =≥,符合题意;当30120x <≤时,令24008040150x-≥-,解得90x ≤,所以3090x <≤.所以,若车流速度v 不小于40千米/小时,则车流密度x 的取值范围是(0,90].21．某城市规划部门为改善早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度v （单位：千米/小时）和车流密度x （单位：辆/千米）所满足的关系式60,030,80,30120,150x v kx x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩（k 单位：辆/小时）.研究发现：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米小时.(1)若车流密度为50辆/千米，求此时的车流速度；(2)若隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y x v =⋅，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.（参考2.236≈） 【答案】(1)56千米/小时(2) 隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时, 此时车流密度约为83 辆/千米.【分析】（1）将120x =，0v =代入函数第二段，得到080150120k=--，解出k 值，再代入50x =，得到v 值；（2）由题意写出60,030240080,30120150x x y xx x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩，分范围讨论最值比较大小即可. 【详解】（1）由题意知当120x =(辆/千米)时,0v =(千米/小时),代入80150k v x =--,得080150120k =--，解得2400k =,所以60,030240080,30120150x v x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩,当50x =时，2400805615050v =-=- 故当车流密度为50辆/千米时，此时车流速度为56千米/小时.（2）由题意得60,030240080,30120150x x y x x x x <≤⎧⎪=⎨-<≤⎪-⎩，当030x <时,60y x =为增函数, 所以1800y ,当30x =时等号成立;当30120x <≤时，1500x ->，22400(150)180(150)45008080150150x x x y x x x--+--=-=⋅--(45008018015080180480033667150x x ⎡⎡⎤⎛⎫=--+≤-=≈⎢ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦⎣ 当且仅当4500150150x x-=-,即30(583x =≈时等号成立. 所以,隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时,此时车流密度约为83辆/千米.22．已知函数91()3x mx f x +=为偶函数. (1)求实数m 的值；(2)若222,2()1y y x f x --+∀∈⋅≥R 成立，求y 的取值范围.【答案】(1)1m =；(2)[]3,1-.【分析】（1）根据函数为偶函数，则()()f x f x -=，化简得239mx x =，即22m =，则1m =； （2）原题意转化为对任意的R x ∈,2221233y y x x--+-≥+成立, 即222max 1233y y x x --+-⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭，利用基本不等式求出其最大值为12，得到222221y y --+≥，则2221y y --+≥-，解出y 范围即可. 【详解】（1）函数91()3x mx f x +=为偶函数, ∴函数定义域为R ,且()()f x f x -=,919133x x mx mx --++∴=,即239mx x =, 22m ∴=,解得1m =；（2）由（1）知()33,()0x x f x f x -=+>,对任意的R x ∈,()22221y y f x --+⋅≥成立,转化为对任意的R x ∈,2221233y y x x --+-≥+成立, 即222max1233y y x x --+-⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭, 30,30x x ->>，()332x x f x -∴=+≥,当且仅当33x x -=,即0x =时,等号成立,max 11332x x -⎛⎫∴= ⎪+⎝⎭ 所以222221y y --+≥，即212222y y --+-≥，根据指数函数单调性知2221y y --+≥-， 解得31y -≤≤，则y 的取值范围为[]3,1-.23．已知函数91()3x mx f x +=为偶函数. (1)求实数m 的值；(2)若对任意的x ∈R ，总存在y ∈R ，使得222()1yy n f x --+≥成立，求n 的取值范围.【答案】(1)1m =(2)[)2,-+∞【分析】（1）根据函数奇偶性即可求得m 值；（2）先由基本不等式求得()f x 的最小值，再通过变形得到221n y y ≥+-成立，即2min (21)n y y ≥+-即可.【详解】（1）因为91()3x mxf x +=（x ∈R ）为偶函数， 所以有()()f x f x -=，取1x =，即(1)(1)f f -=， 所以有1919133m m --++=，解得：1m =.经检验成立 （2）由（1）知，91()333x x x x f x -+==+， 将222()1y y n f x --+≥变形为22332x x y y n -+-+≥，因为30x >，30x ->，所以332x x -+≥=，当且仅当33x x -=，即0x =时，33x x -+有最小值2.所以存在R y ∈，使得2222y y n +-≥成立，即存在R y ∈，使得221y y n +-≤成立，亦即存在R y ∈，使得221n y y ≥+-成立，因为2221(1)22y y y +-=+-≥-，当且仅当1y =-时取等号， 所以有2n ≥-，所以n 的取值范围是[)2,-+∞.。

2022-2022学年师大附中高一上学期期中数学试题（解析版）2022-2022学年师大附中高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合,则为（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】根据条件解出集合，再根据交集的概念即可求出.【详解】解：集合，又集合所以.故选：C.【点睛】本题考查一元二次方程的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）.A．B．C．D．【答案】D【解析】根据初等函数的性质逐个分析选项即可得出答案.【详解】解：A.在上单调递减，在上单调递减，但是在定义域内不是减函数.B.在定义域内为减函数，但不是奇函数.C.是偶函数，也不单调递减.D.是奇函数，且在定义域内单调递减，复合题意.故选：D.【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，解题的关键是熟练掌握初等函数的性质，属于基础题.3．函数与的图象只可能是下图中的（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】观察选项AC，均单调递增，则，则直线所过定点在1的上方，选项BD，单调递减，则，则直线所过的定点在1的下方且在y轴正半轴上，由此可以判断选项.【详解】解：选项AC中，单调递增，则，过定点在（0,1）点上方，所以A、C不正确.选项BD中，单调递减，则，过定点在（0,1）点下方，所以B正确，D不正确.故选：B.【点睛】本题考查指数函数和一次函数的图像，考查指数函数的性质，属于基础题.4．已知函数的定义域为，若存在闭区间，使得满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍增区间”，下列函数存在“倍增区间”的是（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，函数存在“倍增区间”，若函数单调递增，则，若函数单调递减，则，根据条件逐个分析选项，求解即可.【详解】解：对于A.：在上单调递增，则根据题意有有两个不同的解，不成立，所以A不正确.对于B：在上单调递增，根据题意有在上有两个不同的解，解得：，符合题意，所以B正确.对于C：，若，函数在单增，则有有两个解，即在上有两个解，不符合，若，仍然无解，所以C不正确.对于D：在上单调递增，则有两个解，不成立，所以D不正确.故选：B.【点睛】本题考查函数新定义题型，考查函数的单调性以及构造函数求解问题，属于中档题.二、填空题5．若幂函数为常数）的图象过点，则的值为_____.【答案】【解析】根据函数所过定点，可以求出函数的解析式，只需代入即可求得的值.【详解】解：因为幂函数为常数）的图象过点，所以，解得：，所以，则.故答案为：.【点睛】本题考查根据图像所过点求幂函数的解析式问题，考查具体函数求值问题，属于基础题.6．设，,则按从小到大排列的顺序是_______.【答案】【解析】因为，，，所以根据函数值的范围即可比较出大小顺序.【详解】解：，，，所以按从小到大排列的顺序是.故答案为：.【点睛】本题考查指对幂大小的比较，中间值法是常用的方法，属于基础图.7．已知集合若则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】由得，则可根据子集的定义列出不等式求解即可.【详解】解：则，所以，解得：.故答案为：.【点睛】本题考查子集的定义和运算，考查不等式的解法，属于基础题.8．函数的定义域是__________．【答案】【解析】由，得，所以，所以原函数定义域为，故答案为.9．已知函数，则的值是______.【答案】1【解析】根据条件，先代入，求得的值，再根据函数值代入相应的解析式计算，则可求出结果.【详解】解：函数，所以，则.故答案为：1【点睛】本题考查分段函数求值，比较范围，逐步代入解析式是解题的关键，属于基础题.10．若，则______【答案】1【解析】由求得，，利用对数的运算法则化简即可.【详解】因为，所以，则，故答案为1.【点睛】本题主要考查对数的运算与性质，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.11．函数的最小值是______.【答案】2【解析】令，对函数进行换元，则原式等价于求的最小值.对二次函数配方即可求函数的最小值.【详解】解：令，则原式等价于求的最小值.，函数图像开口向上，对称轴为，所以当时，y有最小值为2.故答案为：2.【点睛】本题考查求复合型二次函数的最小值，解题的关键是换元后注意范围的变化，属于基础题.12．已知函数是上的偶函数，且在区间上是单调增函数，若，则满足的实数的取值范围是______.【答案】【解析】函数是上的偶函数，且在区间上是单调增函数，可以得出在区间上是单调减函数，又，所以，结合单调性即可求出的解，将整体代入，即可求出某的范围.【详解】解：函数是上的偶函数，且在区间上是单调增函数，所以在区间上是单调减函数，又，所以.的解为：，则的解为：，即.故答案为：.【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查函数奇偶性单调性的综合应用，考查整体代换和转化的思想，解题的关键是时刻注意函数的定义域，属于基础题.13．若函数在区间上有，则的单调减区间是_______.【答案】【解析】由题意当时，，又，得.则根据复合函数的单调性即可求出的单调减区间.【详解】解：因为，所以，又，所以.根据复合函数单调性法则：的单调减区间为的单调增区间，又，所以的单调减区间为.故答案为：.【点睛】本题考查对数函数的取值范围，考查求复合函数的单调区间，解题的关键是注意函数的定义域，属于基础题.14．设函数，则使得成立的实数的取值范围是_______.【答案】或.【解析】观察函数，可知函数为偶函数，且在区间上单调递增，则根据函数的奇偶性和单调性，若成立，则，求解即可得出的取值范围.【详解】解：函数为偶函数，且在区间上单调递增，所以若成立，则，变形为：解得：或.故答案为：或.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题.三、解答题15．计算（1）（2）【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据指数的运算性质化简即可.（2）根据对数的运算性质化简即可求出答案.【详解】解：（1）=.（2）=.【点睛】本题考查指数函数，对数函数的运算性质，解题的关键是牢记公式并且灵活运用，属于基础题.16．已知全集，集合（1）求；（2）设实数，集合,若求a的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）求出集合B，根据并集的定义和运算求出即可.（2），又，所以，则根据交接为空集列出不等关系求解即可.【详解】解：（1）=，又集合，所以.（2）集合，又，所以.，，则或，解得：或.【点睛】本题考查并集的概念和运算，考查根据交集为空求解，涉及到指数函数的运算，属于基础题.17．已知函数（1）求函数的定义域（2）求不等式成立时，实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)函数的定义域为和定义域的交集，求出函数和的定义域，再求交集即可求出结果.(2)等价于，解不等式，再结合定义域即可求出实数的取值范围.【详解】解：（1）的定义域为，的定义域为.所以函数的定义域为.（2）不等式，等价于，即：，解得：.又定义域为，所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查求函数定义域的方法，考查求解对数不等式，属于基础题.18．已知定义在上的函数的图像关于原点对称（1）求实数的值;（2）求的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）定义在上的函数的图像关于原点对称，所以为奇函数，代入即可求出m的值.（2）由（1）可求，结合指数函数的性质即可求值域.【详解】解：（1）定义在上的函数的图像关于原点对称，所以为奇函数，则有，所以.证明，当时，，关于原点对称，所以成立.（2），由于，所以，所以.所以的值域为.【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用，同时考查了指数函数值域的求解，属于中档题.19．某城市的街道是相互垂直或平行的，如果按照街道垂直和平行的方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间距离：.如图，学校在点处，商店在点,小明家在点处，某日放学后，小明沿道路从学校匀速步行到商店，已知小明的速度是每分钟1个单位长度，设步行分钟时，小明与家的距离为个单位长度.（1）求关于的解析式;（2）做出中函数的图象，并求小明离家的距离不大于7个单位长度的总时长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据题意，从A到B直线行走，起始点的横坐标为1，所以步行分钟后，横坐标为，不变，则根据距离的新定义可求出关于的解析式.（2）根据解析式做出图像，由图像解方程即可求出结果.【详解】解：（1）步行分钟时，小明仍在AB之间，所以小明的坐标为，则小明与家的距离为.所以关于的解析式为：.（2）图像如图：.当故当小明离家的距离不大于7个单位长度时，.【点睛】本题考查函数与解析式新定义题型，考查根据解析式做出函数图像，解题的关键是对新定义一定要理解深刻，属于中档题.20．设M为满足下列条件的函数构成的集合，存在实数，使得.（1）判断是否为M中的元素，并说明理由；（2）设，求实数a的取值范围；（3）已知的图象与的图象交于点，,证明：是中的元素，并求出此时的值（用表示）.【答案】（1）是；（2）[3﹣，3+]；（3）某0＝，证明见解析【解析】根据集合M的定义，可根据函数的解析式f（某0+1）＝f（某0）+f（1）构造方程，若方程有根，说明函数符合集合M的定义，若方程无根，说明函数不符合集合M的定义；（2）设h（某）＝∈M，则存在实数某，使h（某+1）＝h（某）+h （1）成立，解出a的取值范围即可；（3）利用f（某0+1）＝f（某0）+f（1）和y＝2e某（某＞）的图象与y＝为图象有交点，即对应方程有根，与求出的值进行比较即可解出某0．【详解】解：（1）设g（某）为M中的元素，则存在实数某0，使得f（某0+1）＝f（某0）+f（1）；即（某+1）2＝某2+1，∴某＝0，故g（某）＝某2是M中的元素．（2）设h（某）＝∈M，则存在实数某，使h（某+1）＝h（某）+h （1）成立；即lg＝lg+lg；∴＝；∴（a﹣2）某2+2a某+2a﹣2＝0，当a＝2时，某＝﹣；当a≠2时，则△＝4a2﹣4（a﹣2）（2a﹣2）≥0；解得a2﹣6a+4≤0，∴3﹣≤a≤3+且a≠2；∴实数a的取值范围为：[3﹣，3+]．（3）设m（某）＝ln（3某﹣1）﹣某2∈M，则m（某0+1）＝m（某0）+m（1）；∴ln[3（某0+1）﹣1]﹣（某0+1）2＝ln（3某0﹣1）﹣某02+ln2﹣1；∴ln＝2某0；∴＝；∴＝2；由于y＝2e某（某＞）的图象与y＝为图象交于点（t，2et），所以2et＝；令t＝2某0，则2＝＝；即存在某0＝，使得则m（某0+1）＝m（某0）+m（1）；故m（某）＝ln（3某﹣1）﹣某2是M中的元素，此时某0＝．【点睛】本题主要利用元素满足恒等式进行求解，根据指数和对数的性质进行化简，考查了逻辑思维能力和分析解决问题的能力，属于中档题．。

青岛二中2022-2023学年第一学期期中考试高一试题(数学)一、单选题(本题共8小题，每题5分，共40分)1.已知全集U=R,集合A={x|0≤x≤1},B={-1,1,2,4},那么阴影部分表示的集合为（ ） A.{-1,4} B.{1,2,4} C. {1,4} D.{-1,2,4}2.函数f (x )=xx 2+1的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．3.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号：使用，后来英国资学家哈利奥特首次使用“>、”和“<”符号，并逐步被数学界接受志不等号的引入对不等式的发展景响深远.已知a ，b 为非零实数，且a>b ；则下列结论正确的是( ) A ．b a a b>B ．22ab a b > C ．22a b >D ．2211ab a b>4.在R;上定义的函数f(x)是偶函数，且()()4044f x f x =−，若f(x)在区间[2022,2023]上是函数，则()f x ()A.在区间[-2023,-2022]上是增函数,在区间[2021,2022]上是增函数B.在区间[-2023,-2022]上是增函数,在区间[2021,2022]上是减函数C.在区间[-2023,-2022]上是减函数,在区间[2021,2022]上是增函数D.在区间[-2023,-2022]上是减函数,在区间[2021,2022]上是减函数5.已知x>0,y>0,且30x y xy ++−=;则下列结论正确的是( ) A.xy 的最小值是1 B.x+y 的最小值是2C.x+4y 的最小值是8D.x+2y 的最大值是4√2−36.已知a ∈R,函数f (x )={x 2−4,x >2|x −3|+a,x ≤2, 若 f[f(√6)]=3, 则a 的值为( )A.1B.2C.3D.47.已知函数()f x 的定义域为[1,2],设函数()1f x −的定义域为D,若x D ∃∈ ,使得,²1a x x >−+成立，则实数a 的取值范围为( )A.(-∞,1)B.(-∞,3) c.(1,+∞) D. (3,+∞)8.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,()f x 在[0,+∞)上单调递减,且()30f = ,则不等式()()2510x f x −−<的解集为( )A.(−2,52)∪(4,+∞)B.(4,+∞)C.(−∞,−2)∪[52,4] D.(-∞,-2)二、多选题(本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的选项中；有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得2分)9.已知命题:p x R ∀∈,²40x ax ++> , 则命题P 成立的一个充分不必要条件可以是( ) A. a ∈[−1,1] B.a ∈(-4,4) C.a ∈[-4,4] D.a ∈{0} 10.下列命题正确的是(A.偶函数()f x 的定义域为[2a-1,a], 则 a =13B.若函数()2123f x x x +=++, 则 ()2 2f x x =+ C.已知定义在[-2022,2022]上的函数 f (x )=x 2+2x+1x 2+1, 设f(x)的最大值为m ，最小值为n ，则1m n +=D.若定义在R 上的函数f(x)满足：,x x R ∀∈₁₂，x x ≠₁₂,都有 f (x 2)−f (x 1)x 2−x 1<0, 则当a ∈R 时有f (34)≥f (a 2−a +1)11.设正实数a 、b 满足1a b +=，则下列结论正确的是(A.√ab ≤14 B.a 2+b 2≥12 C.12a +1b ≥3 D.√a +√b ≥√212.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数，则y=[x]称为高斯函数,例如:[]3.54−=−，[]2.12=,则下列命题正确的是( )A. [][]1,0,1x x ∀∈−=− B.[],1x R x x ∀∈<+ C. 函数[]y x x =−的值域为[)0,1 D.不等式:[][]2230x x −−≥ 的解集为 { x|x<0或x≥2}三、填空题(本题共4小题，每题5分，共20分)13.命题:“2,20x R x x ∀∈−+≥”的否定是14.已知函数 f (x )=1x 2−2x ，则()f x 的值域为15.己知f(x)是定义在R 上的奇函数,当0x ≥时, ()22f x x x =+, 则当0x <时,()f x = . 16.已知函数 f (x )={x 2,x <0−x 2,x ≥0, 若()()2,4430x R f mx f x ∀∈+−≤恒成立，则实数m 的取值范围为四、解答题(本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知集合. {}22,1|{|2}A x a x a B x x x =−≤≤+=≤−≥或. (1)当3a =时,求,R A B A C B ;(2)若A B R = ,求实数a 的取值范围18.(12分)设函数()()()4,f x x x a a R =−−∈. (1)解关于x 的不等式,()0f x <；(2)当()4,x ∈+∞ 时,不等式()16f x ≥−恒成立,求a 的取值范围.19.(12分)已知00x y >>，,且2222x y x y +=+. (1)求x y + 的最大值; (2)求1x +1y 的最小值.20.(12分)某工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的年总成本y(单位：万元)与年产量x (单位：吨，x>0)之间的函数关系式为y =x 24−70x +10000, 已知该生产线年产量最大为220吨.(1)求当年产量为多少时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低平均成本.(2)若每吨产品出厂价为50万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大年利润?最大年利润是多少?21.(12分)已知函数 f (x )=x+mx 2−1(m ∈R )是定义在(-1，1)上的奇函数. (1)求f(x)的解析式;(2).用定义法证明:f(x)在(-1,-1)上是减函数; (3)解关于t 的不等式()()10.f t f t −+<22.(12分)对于定义域为D 的函数()f x ，如果存在区间[],m n D ⊆ ,使得()f x 在区间[],m n 上是单调函数,且函数()[],y f x x m n =∈，的值域是[],m n ,则称区间[],m n 是函数()f x 的一个“黄金区间”.(1)判断函数 y =x (x ∈R )和函数 y =3−4x （x >0）是否存在“黄金区间”，如果存在，请写出符合条件的一个“黄金区间”(直接写出结论，不要求证明)；如果不存在，请说明理由. (2)如果[],m n 是函数 f (x )=(a 2+a )x−1a 2x(a ≠0)的一个“黄金区间”，求n m −的最大值：青岛二中2022-2023学年第一学期期中考试——高一试题（数学）参考答案一、单选题1.D2.C3.D4.D5.B6.B7.C8.A 二、多选题9.AD 10.ABD 11.BD 12.BCD 三、填空题13.2,20x R x x −+∃<∈14.(](),10,−∞−+∞15.22x x −+16.98m ≥四、解答题17.(1)3a =时，{}15A x x =≤≤，所以{}25,A B x x =≤≤因为{}12R C B x x =−<<，所以{}15R AC B x x =−<≤(2)若A B R =，则2122a a −≤−⎧⎨+≥⎩，解得01a ≤≤18.(1)当4a <时，不等式()0f x <的解集为(),4a ， 当4a =时，不等式()0f x <的解集为∅， 当4a >时，不等式()0f x <的解集为()4,a .(2)因为()x ∈+∞4，，所以由()16f x ≥−可得164x a x −−≥−，164a x x ≤+−，因为16164441244x x x x +=−++≥+=−−，当且仅当4146x x −=−，即8x =时等号成立，所以12a ≤.19.（1）方法一：()22212()2x y x y x y +=+≥+第５页，共８页2=,40,4x y t t t t+−≤≤≤令则得0∴()max4x y+=，当且仅当1x y==时取等号方法二：设x y t+=则y t x=−，代入2222x y x y+=+得()222x t x t+−=即()222220x tx t t−+−=令()()222820t t t∆=−−−≥得04t≤≤即04x y≤+≤∴()max4x y+=，当且仅当1x y==时取等号（2）方法一：∵0x y>，，2222x y x y+=+∴22112122x y x y xyx y xy xy xy+++==≥=，当且仅当1x y==时取等∴min112x y⎛⎫+=⎪⎝⎭方法二：∵0x y>，，2222x y x y+=+∴22111122x y x y x yx y xy xy y x⎛⎫+++===+≥=⎪⎝⎭，当且仅当1x y==时取等∴min112x y⎛⎫+=⎪⎝⎭20.（1）每吨平均成本为()0220yxx<≤,由题可知10000707030,4y xx x=+−≥=当且仅当100004xx=，即200x=时取等号.所以当年产量为200吨时，生产每吨产品的平均成本最低，最低平均成本为30万元.（2）设年利润为L万元，第６页，共８页则22505070100001201000044x x L x y x x x =−=−+−=−+−()()21240440002204x x =−−+<≤ 因为利润L 在(]0,220单调递增，所以当220x =时，L 有最大值，为()2122024044004300.4−−+= 所以当年产量为220吨时，可获得最大年利润，最大年利润为4300万元. 21.（1）方法一：由于函数()21x bf x x +=−是定义在()1,1−上的奇函数，所以()()f x f x −=−即()2211x bx bx x −++=−+−+，化简得0b = ，因此，()21x f x x =−. 方法二：由于函数()21x bf x x +=−是定义在()1,1−上的奇函数，所以()00f =，得0b =. 经检验，0b =时()21x f x x =−是奇函数.故()21xf x x =−.（2）()12,1,1x x ∀∈−，且12x x <，即<1211x x −<<<，则()()()()()()()()()()()()2212212121121222221211221211111111111x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x x x −−−−+−=−==−−−+−+−− 1211x x −<<<，210x x ∴−>，2110x x +>，110x −<,110x +>，210x −<2,10x +>()()()()12120,f x f x f x f x ∴−>>即，因此，函数()y f x =在区间()1,1−上是减函数.（3）由（2）可知，函数()y f x =是定义在()1,1−的减函数，且为奇函数， 有()()10f t f t −+< 得()()()1f t f t f t −<−=− ，所以111111t t t t −>−⎧⎪−<−<⎨⎪−<<⎩，，，解得112t << .因此，不等式()()10f t f t −+<的解集为112（，）第７页，共８页22.（1）220,y x y x =≥=在[)0,+∞上单调递增， 由2x x =得0x =或1，存在黄金区间是[0,1]；()430y x x =−>是增函数，若存在黄金区间[],m n ，则43,43,m mn n ⎧−=⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩，无解， 因此，不存在黄金区间. （2）()()2221111a a x f x a xa a x+−==+−在(−∞,0)和(0,+∞)上都是增函数， 因此黄金区间[]()[](),,0,0,m n m n ⊆−∞⊆+∞或 ，由题意()(),,f m m f n n =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以()f x x =有两个同号的不等实根()()222211110.f x x a x a a x a a x=+−=−++=， ∆=(a 2+a )2−4a 2>0，a 2(a +3)(a −1)>0，解得a <−3或a >1,2121210,x x x x a =>，同号，满足题意, 22121a a a x x a a+++==，21n m x x ==−====，因为a <−3或a >1，所以 113a =即a =3时，()3max nm −==第８页，共８页。

2023-2024学年四川省绵阳市高一上学期期中数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，则( )A. B. C. D.2.若，则下列选项正确的是( )A. B. C. D.3.命题：“”为真命题，则实数a的取值范围为( )A. B. C. D.4.下列幂函数中，在定义域内是偶函数且在上是单调递减的是( )A. B. C. D.5.已知集合，若，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.6.函数的图象大致形状是( )A. B.C. D.7.红星幼儿园要建一个长方形露天活动区，活动区的一面利用房屋边墙墙长，其它三面用某种环保材料围建，但要开一扇宽的进出口不需材料，共用该种环保材料12m，则可围成该活动区的最大面积为( )A. B. C. D.8.若对任意恒成立，其中是整数，则的可能取值为( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知函数，则( )A. B. 若，则或C. 函数在上单调递减D. 函数在上的值域为10.下列叙述中正确的是( )A.设，则“且”是“”的必要不充分条件B. “”是“关于x的一元二次方程有两个不等实数根”的充分不必要条件C. 命题“”的否定是：“”D. 函数的定义域A为R的子集，值域，则满足条件的有3个11.关于函数的相关性质，下列正确的是( )A. 函数的图象关于y轴对称B. 函数在上单调递减C. 函数在上单调递减D. 函数的最小值为0，无最大值12.已知函数，若存在实数m，使得对于任意的，都有，则称函数有下界，m为其一个下界；类似的，若存在实数M，使得对于任意的，都有，则称函数有上界，M为其一个上界.若函数既有上界，又有下界，则称该函数为有界函数.以下四个选项中正确的是( )A. “函数有下界”是“函数有最小值”的必要不充分条件B. 若定义在R上的奇函数有上界，则该函数是有界函数C. 若函数的定义域为闭区间，则该函数是有界函数D. 若函数且在区间上为有界函数，且一个上界为2，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022-2023学年天津市天津中学高一上学期期中数学试题一、单选题 1．设全集2,1,0,1,2U，集合{}{}0,1,21,2A =-,B=，则()UAB =（ ）A ．{}01，B ．{}0,1,2C ．{}1,1,2-D ．{}0,1,1,2-【答案】A 【分析】先求出UB ，再根据交集的定义可求()U A B ∩.【详解】{}2,0,1U B =-，故(){}0,1UA B =，故选：A.2．在下列函数中，函数y x =表示同一函数的（ ）A ．2y = B ．yC ．00x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩，，，D ．2x y x=【答案】C【分析】由题意，判断函数是否相等，需对比定义域和对应关系，先求定义域，再整理解析式，可得答案.【详解】由题意，函数y x =，其定义域为(),-∞+∞，其解析式为,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩，对于A ，函数2y =，其定义域为[)0,∞+，故A 错误；对于B ，函数y x =，其定义域为(),-∞+∞，对应法则不同，故B 错误； 对于C ，与题目中的函数一致，故C 正确；对于D ，函数2x y x=，其定义域为{}0x x ≠，故D 错误，故选：C.3．“x 为整数”是“21x +为整数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由当x 为整数时，21x +必为整数；当21x +为整数时，x 比一定为整数；即可选出答案.【详解】当x 为整数时，21x +必为整数； 当21x +为整数时，x 比一定为整数， 例如当212x +=时，12x =. 所以“x 为整数”是“21x +为整数”的充分不必要条件. 故选：A.4．命题p ：x ∀∈R ，211x +≥，则p ⌝是（ ） A ．x ∀∈R ，211x +<B ．x ∀∈R ，211x +≥C ．0x ∃∈R ，211x +< D ．0x ∃∈R ，211x +≥ 【答案】C【解析】根据全称命题的否定是特征命题进行解答即可.【详解】因为命题p ：x ∀∈R ，211x +≥，所以p ⌝为：0x ∃∈R ，2011x +<.故选：C. 5．函数()221xf x x =-的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】判断函数的奇偶性排除两个选项，再结合特殊的函数值排除一个选项后得正确结论． 【详解】由题可得函数()f x 定义域为{}|1x x ≠±，且()()221xf x f x x --==--，故函数为奇函数，故排除BD ，由()4203f =>，1143234f ⎛⎫==-⎪⎝⎭-，故C 错误， 故选：A.6．设0.3212log 0.3,log 0.4,0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c<a<bC ．b<c<aD ．a c b <<【答案】D【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出,,a b c 的范围即可求解. 【详解】22log 0.3log 10<=，<0a ∴， 122225log 0.4log 0.4log log 212=-=>=，1b ∴>， 0.3000.40.41<<=，01c ∴<<，a cb ∴<<.故选：D.7．化简式子130341log 2log 2720238⎛⎫-⨯+ ⎪⎝⎭等于（ ） A ．0 B ．32C ．1-D ．12【答案】A【分析】由对数的运算性质求解 【详解】原式1lg 23lg3102lg32lg 2=-⨯+=， 故选：A8．已知偶函数f (x )在区间[)0+，∞ 单调递增，则满足1(21)()3f x f -<的 x 取值范围是（ ） A ．12(,)33B ．12[,)33C ．12(,)23D ．12[,)23【答案】A【分析】由偶函数性质得函数在(,0]-∞上的单调性，然后由单调性解不等式． 【详解】因为偶函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递增，所以()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，故x 越靠近y 轴，函数值越小， 因为()121(3f x f -<），所以1213x -<，解得：1233x <<.故选：A ．9．已知函数32,0()3,0x x f x x x ⎧-+<=⎨-+≥⎩，()52(0)g x kx k k =+->，若对任意的1[1x ∈-，1]，总存在2[1x ∈-，1]使得12()()f x g x ≤成立，则实数k 的取值范围为（ ）A ．(0,2]B ．2(0,]3C ．(0,3]D ．(1,2]【答案】A【解析】计算得到()()()max 103f x f f =-==，()()max 15g x g k ==-根据题意得到53k -≥，解得答案.【详解】32,0()3,0x x f x x x ⎧-+<=⎨-+≥⎩，当[]1,1x ∈-时，()()()max 103f x f f =-==()52(0)g x kx k k =+->，当[]1,1x ∈-时，()()max 15g x g k ==- 根据题意知：532k k -≥∴≤ ，故(0,2]k ∈ 故选：A【点睛】本题考查了分段函数的值域，恒成立问题和存在问题，意在考查学生对于函数知识的综合应用.二、填空题10．已知幂函数()f x的图象经过点⎛ ⎝⎭，则()f x 的解析式为______． 【答案】()12f x x -=【解析】设()af x x =，由题意可得()2f =，求出a 的值，即可得出函数()f x 的解析式.【详解】设幂函数()f x 的解析式为()af x x =，因为幂函数()f x的图象经过点⎛ ⎝⎭，则()12222af -===，解得12a =-.因此，()12f x x -=.故答案为：()12f x x -=. 11．函数1()lg(3)f x x =-的定义域是_________.【答案】[)1,2(2,3)⋃【分析】要使函数有意义需满足103031x x x -≥⎧⎪->⎨⎪-≠⎩，解不等式即可求解.【详解】由题意可得103031x x x -≥⎧⎪->⎨⎪-≠⎩，解不等式得12x ≤<或23x <<， 所以定义域为[)1,2(2,3)⋃， 故答案为：[)1,2(2,3)⋃12．不等式265x x ≥-的解集是________. 【答案】{6x x ≤-或}1x ≥【分析】利用二次不等式的解法解之即可. 【详解】因为265x x ≥-，所以2560x x +-≥， 故()()610x x +-≥， 解得6x ≤-或1x ≥，所以265x x ≥-的解集是{6x x ≤-或}1x ≥. 故答案为：{6x x ≤-或}1x ≥.13．已知函数()(),1123,1x a x f x a x a x -⎧<-⎪=⎨-+≥-⎪⎩在定义域上是增函数，则实数a 的取值范围是______.【答案】11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围.【详解】由已知可知，()xf x a -=在(),1-∞-上为增函数，则01a <<，函数()()123f x a x a =-+在()1,-+∞上为增函数，则120a ->，可得12a <， 因为函数()f x 在R 上为增函数，则()312a a a ≤--，可得1a 4≥. 综上所述，实数a 的取值范围是11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭.14．已知{}=13A x x ≤≤，对于任意的1x A ∈，都存在2x A ∈，使得222131x x mx ->+成立，其中0m <，则m 的范围是______. 【答案】1m <-【分析】对双变量问题，先处理不含参部分，根据存在性问题可得()2221max 31x x mx ->+，结合二次函数的对称性可求得最值，进而可得101mx >+，再根据恒成立问题结合参变分离运算求解.【详解】∵存在2x A ∈，使得222131x x mx ->+，则()2221max 31x x mx ->+2222239324y x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭的对称轴为232x =，则当2=3x 时，2223y x x =-取到最大值为2max 3330y =-⨯=∴101mx >+，则11m x <-∵任意的1x A ∈，11m x <-，则1min1m x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭11y x =-在[]1,3上单调递增，则当1=1x 时取到最小值min 111y =-=- 故m 的范围是1m <- 故答案为：1m <-.三、双空题15．已知正实数,m n 满足2m n +=，则12n m n+的最小值为___________．此时m 的值为__________ 【答案】54 43##113【分析】利用“一正”、“二定”、“三相等”即可得到结果. 【详解】∵正实数,m n ，2m n +=，1115244444n n m n n m m n m n m n ++=+=++≥=， 当且仅当423m n ==时，等号成立， 故答案为：54，43.四、解答题16．全集U =R ，已知集合{(3)(2)0}A x x x =-+>，{3235}B x x =-≤-<，{2<21}C x a x a =+<+. (1)求R R ,,()()A B A B A B ⋂⋃⋂； (2)若,B C C ⋂=求a 的范围.【答案】(1){}|34,{|2A B x x A B x x ⋂=<<⋃=<-或0}x ≥R R ,()()A B ⋂{}|20x x =-≤<.(2)32a ≤【分析】（1）先解得集合A,B ，然后结合数轴求解结果.（2）若,B C C ⋂=则C B ⊆，对集合C 分当C =∅及C ≠∅两种情况讨论分别求解结果，从而得出结论.【详解】（1）解：集合{(3)(2)0}A x x x =-+>{|2x x =<-或3}x >，{3235}B x x =-≤-<{}|04x x =≤<，则{}|34,{|2A B x x A B x x ⋂=<<⋃=<-或0}x ≥RR ,()()A B ⋂()RA B =⋃{}|20x x =-≤<.（2）解：若,B C C ⋂=则C B ⊆，当C =∅时，221a a +≥+得1a ≤时，符合题意；当C ≠∅时，则22120214a a a a +<+⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩得312a <≤，综上，a 的取值范围为：32a ≤. 17．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-.(1)求(1),(2)f f -的值； (2)求()f x 的解析式；(3)画出()y f x =的简图；写出()y f x =的单调区间（只需写出结果，不要解答过程）. 【答案】(1)(1)1f =-，(2)0f -=；(2)222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩(3)简图见详解，增区间是()(),1,1,-∞-+∞，减区间是[]1,1-．【分析】小问1：根据函数的解析式和函数的奇偶性可求(1)f ，(2)f -的值； 小问2：利用函数的奇偶性的性质可求()f x 的解析式；小问3：根据（2）的解析式可得()y f x =的简图，结合图象可求()y f x =的单调递增区间． 【详解】（1）当0x ≥时，2()2f x x x =-，所以(1)1f =-， 又(2)(2)0f f -=-=.（2）因为()y f x =是定义在R 上的奇函数， 当0x ≥时，2()2f x x x =-；当0x <时，0x ->，22()()2()2f x x x x x -=---=+， 所以2()()2f x f x x x =--=--，所以222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩. （3）因为222,0()2,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩，由此作出函数()f x 的图象如图：结合图象，知()f x 的增区间是()(),1,1,-∞-+∞，减区间是[]1,1-．18．设函数2(2)3y ax b x =+-+.(1)若不等式0y >的解集为{}13x x -<<，求a ，b 的值； (2)若1x =时，2,0,1y a b =>>-，求141a b ++的最小值；(3)若=-b a ，求不等式1y ≤的解集. 【答案】(1)1a =-，4b =(2)92(3)详见解析.【分析】（1）根据方程的两个根，代入原方程即可求a 和b ； （2）利用“1122a b ++=”与基本不等式即可求得最小值； （3）对a 分类讨论，再根据一元二次不等式的性质求解即可.【详解】（1）由题知：2(2)30ax b x +-+=的两个根分别是121 3x x =-=，， 代入方程得：23093630a b a b +-+=⎧⎨+-+=⎩，解得：14a b =-⎧⎨=⎩. （2）1x =时，2y =，即12++=a b ，所以有：1122a b ++=， 那么141a b ++=141()()122a b a b ++++ =1142222(1)b a a b +++++5922≥+=， 此时1422(1)b aa b +=+，且12++=a b ， 即2313a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，141a b ++有最小值92.（3）若=-b a ，则2(2)3y ax a x =-++，1y ≤，即2(2)20ax a x -++≤，①当0a =时，即220x -+≤，解得：1x ≥， 不等式解集为：{}1,R x x x ≥∈当0a ≠时，令2(2)20ax a x -++=，解得：1221x x a==，， ②当0a >时， 若2a =，不等式解集为：{}1； 若2a >，不等式解集为：2 1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 若02a <<，不等式解集为：21 a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ③当a<0时，不等式解集为：[)2 1 a ⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦，，19．已知函数()21ax b f x x +=+是定义在()1,1-上的奇函数，且14()25f =.（1）求函数()f x 的解析式；（2）判断当(1,1)x ∈-时函数()f x 的单调性，并用定义证明； （3）解不等式2(1)()0f t f t -+<．【答案】（1）22()1xf x x =+；（2）()f x 在(1,1)-上是增函数，证明详见解析；（3）1(1,0)0,2⎛-+- ⎝⎭. 【分析】（1）根据函数()f x 是奇函数得(0)0f =，再由14()25f =可得,a b 的值，从而得函数()f x 的解析式；（2）设1211x x -<<<，作差12()()f x f x -得()()120f x f x -<，即()()12f x f x <可得解； （3）由函数()f x 是奇函数和（2）的结论，建立不等式组，解之得解. 【详解】（1）由(0)0f = ，知：0b =．又2142(),2,()251xf a f x x ===+，（2）()f x 在(1,1)-上是增函数，证明如下： 设1211x x -<<<，则1212121222221212222()(1)()()11(1)(1)x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++ 又1211x x -<<< ，∴ 221212120,10,10,10x x x x x x -<->+>+>，从而()()120f x f x -< ，即()()12f x f x < 所以()f x 在(1,1)-上是增函数.（3）由题意知：由2(1)()0f t f t -+< , 得2(1)()f t f t -<-，即为2(1)()f t f t -<- 由（2）知：()f x 在(1,1)-上是增函数， 所以2(1)()f t f t -<- 即为21tt -<- ，解得：t <<又∵211111t t ⎧-<-<⇒⎨-<<⎩001111t t t t ⎧<<<<⎪-<<⎨-<<⎪⎩或，且0t ≠ 所以|1t t ⎧⎪-<<⎨⎪⎩且}0t ≠，即1(1,0)0,2⎛-+- ⎝⎭. 不等式解集为1(1,0)0,2⎛-+- ⎝⎭， 故得解.【点睛】本题综合考查函数的奇偶性、单调性和根据函数的奇偶性和单调性求解不等式，关键在于熟练掌握函数的性质的定义和其证明方法，求解不等式时注意考虑函数的定义域，属于中档题.20．已知函数()22f x x mx n =++的图象过点1,1，且满足()()23f f -=．(1)求函数()f x 的解析式：(2)求函数()f x 在[],2a a +上的最小值；(3)若0x 满足()00f x x =，则称0x 为函数()y f x =的不动点，函数()()g x f x tx t =-+有两个不相等且正的不动点，求t 的取值范围．【答案】(1)()2221f x x x =--；(2)()2min 23263,,2331,,2221221,2a a a f x a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪⎡⎤=--<<⎨⎣⎦⎪⎪--≥⎪⎩； (3)1t >.【分析】(1)根据f (x )图像过点1,1，且满足()()23f f -=列出关于m 和n 的方程组即可求解；(2)讨论对称轴与区间的位置关系，即可求二次函数的最小值；(3)由题可知方程x ＝g (x )有两个正根，根据韦达定理即可求出t 的范围.【详解】（1）∵()f x 的图象过点1,1，∴21m n ++=-①又()()23f f -=，∴82183m n m n -+=++②由①②解2m =-，1n =-，∴()2221f x x x =--；（2）()2213221222f x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，[],2x a a ∈+， 当122a +≤，即32a ≤-时，函数()f x 在[],2a a +上单调递减， ∴()()2min 2263f x f a a a ⎡⎤=+=++⎣⎦； 当122a a <<+，即3122a -<<时，函数()f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,22a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦单调递增，∴()min 1322f x f ⎛⎫⎡⎤==- ⎪⎣⎦⎝⎭； 当12a ≥时，函数()f x 在[],2a a +上单调递增， ∴()()2min221f x f a a a ⎡⎤==--⎣⎦． 综上，()2min 23263,,2331,,2221221,2a a a f x a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪⎡⎤=--<<⎨⎣⎦⎪⎪--≥⎪⎩． （3）设()()g x f x tx t =-+有两个不相等的不动点1x 、2x ，且1>0x ，20x >，∴()g x x =，即方程()22310x t x t -++-=有两个不相等的正实根1x 、2x ．∴()()21212Δ3810,30,2102t t t x x t x x ⎧⎪=+-->⎪+⎪+=>⎨⎪-⎪=>⎪⎩，解得1t >．。

北京市2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（答案在最后）注意事项1.本试卷共四页，共23道小题，满分150分．考试时间120分钟．2.在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号．3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4.在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5.答题不得使用任何涂改工具.出题人：高一备课组审核人：高一备课组一、选择题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{}1,2,{02}A B x x ==<<，则A B = ()A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2}D.{02}x x <≤【答案】A 【解析】【分析】根据交集的运算方法即可计算．【详解】∵集合{}1,2,{02}A B x x ==<<，∴A B = {1}．故选：A ．2.设命题2:N,25p n n n ∃∈>+，则p 的否定为（）A.2N,25n n n ∀∈>+B.2N,25n n n ∀∈≤+ C.2N,25n n n ∃∈≤+ D.2N,25n n n ∃∈<+【答案】B 【解析】【分析】由特称命题的否定为将存在改任意并否定原结论，即可得答案.【详解】由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为2N,25n n n ∀∈≤+.故选：B 3.方程组221{9x y x y +=-=的解集是（）A.(－5，4)B.(5，－4)C.{(－5，4)}D.{(5，－4)}【答案】D 【解析】【分析】消元法解方程组即可求解【详解】解方程组221{9x y x y +=-=，得()2219x x --=，解得54x y =⎧⎨=-⎩，故方程组的解集为{(5，－4)}，故选：D.【点睛】本题考查解二元二次方程组及列举法表示集合，注意解集是点集的形式，是基础题4.已知全集U =R ，集合{}2M x x =>，{}13N x x =<<，那么下面的维恩图中，阴影部分所表示的集合为（）A.{}2x x > B.{}2x x ≤ C.{}2x x > D.{}1x x ≤【答案】D 【解析】【分析】根据并集和补集的知识求得正确答案.【详解】{}|1M N x x => ，阴影部分表示集合为(){}|1M N x x ⋃=≤R ð.故选：D 5.不等式302xx -<+的解集为（）A.{|2}x x <-B.{|23}x x -<< C.{|2x x <-或3}x > D.{|3}x x >【答案】C【分析】将不等式作等价转换，再求解集即可.【详解】30(2)(3)02xx x x -<⇒+->+，故解集为{|2x x <-或3}x >.故选：C 6.函数26()f x x x=-零点所在的一个区间是（）A.(2,1)-- B.(0,1)C.(1,2)D.(2,)+∞【答案】C 【解析】【分析】根据零点存在性定理判断即可.【详解】令26()0f x x x=-=，解得：1360x =>，只有一个零点.而()611501f =-=>，()624102f =-=-<，由零点存在性定理知，函数26()f x x x=-零点所在的一个区间是(1,2).故选：C.7.下列函数中，在区间（0,1）上是增函数的是（）A.||y x = B.3y x=- C.1y =-D.24y x =-+【答案】A 【解析】【分析】运用增函数定义，结合函数图像判断即可.【详解】对于A,区间()0,1,y x x ==，在()0,1单调递增，A 正确；对于B,区间()0,1,3y x =-，在()0,1单调递减，B 错误；对于C,区间()0,1,1y =-()0,1单调递减，C 错误；对于D,区间()0,1,24y x =-+，在()0,1单调递减，D 错误.故选：A.8.如果函数2()f x x bx c =++对于任意实数t 都有(2)(2)f t f t +=-，那么（）A.f (2)<f (1)<f (4)B.f (1)<f (2)<f (4)C.f (4)<f (2)<f (1)D.f (2)<f (4)<f (1)【答案】A【分析】根据给定条件可得函数()f x 图象对称轴为2x =，再借助对称性、单调性即可比较判断作答.【详解】因函数2()f x x bx c =++对于任意实数t 都有(2)(2)f t f t +=-，则其图象对称轴为2x =，且()f x 在[2,)+∞上递增，于是得(2)(3)(4)f f f <<，而(1)(3)f f =，所以(2)(1)(4)f f f <<.故选：A9.已知0a >，0b >，且28a b +=，那么ab 的最大值等于A.4 B.8C.16D.32【答案】B 【解析】【分析】利用基本不等式可求得ab 的最大值.【详解】由基本不等式可得82a b =+≥8ab ≤，当且仅当2a b =时，等号成立，因此，ab 的最大值为8.故选：B.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于基础题.10.已知,,,R a b c d ∈，则“a c b d +>+”是“a b >且c d >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据不等式的性质，分析条件间的推出关系判断充分、必要性.【详解】当3,2,0,2a b c d ==-==时，a c b d +>+，但c d >不成立，充分性不成立；若a b >且c d >，则必有a c b d +>+，必要性成立；所以“a c b d +>+”是“a b >且c d >”的必要不充分条件.故选：B11.若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A.[)1,1][3,-+∞ B.3,1][,[01]--C.[1,0][1,)-⋃+∞D.[1,0][1,3]-⋃【答案】D 【解析】【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在 腊语 上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x =解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.12.设函数266,0()34,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数123,,x x x 满足：()()()123f x f x f x ==.则123x x x ++的取值范围是（）A.11,66⎛⎤⎥⎝⎦B.11,63⎛⎫⎪⎝⎭C.2026,33⎛⎫⎪⎝⎭ D.2026,33⎛⎤⎥⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】根据解析式画出函数草图，结合零点的情况及一次、二次函数性质得236x x +=、1703x -<<，即可得答案.【详解】由解析式，可得如下()f x 图象，令()()()123f x f x f x k ===，要满足题设，则34-<<k ，若123x x x <<，则236x x +=，令343x +=-，则73x =-，故1703x -<<，综上，123x x x ++范围是11,63⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.13.函数()2f x x =-的定义域是_______.【答案】[)2,+∞【解析】【分析】函数()2f x x =-的定义域满足20x -≥，解得答案.【详解】函数()2f x x =-的定义域满足20x -≥，解得2x ≥，故函数定义域为[)2,+∞.故答案为：[)2,+∞14.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，()f x =2x ，则1()2f -=________．【答案】14-．【解析】【分析】由于函数是奇函数，所以11(()22f f -=-，再由已知的解析式求出1()2f 的值，可得答案【详解】解：因为当x >0时，()f x =2x ，所以2111(()224f ==，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以111((224f f -=-=-，故答案为：14-15.设函数22y x ax =+在区间(2,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是______.【答案】2a ≥-【解析】【分析】由题意可知，(2,)+∞为函数单调递增区间的子集，根据子集关系可以求得.【详解】由函数22y x ax =+可知，对称轴为x a =-，因为在区间(2,)+∞上是增函数，则2a -≤，解得2a ≥-，故实数a 的取值范围是2a ≥-.故答案为：2a ≥-16.命题“2[1,2],10x x ax ∀∈-+<”为假命题的一个充分不必要条件是______.【答案】52a <（答案不唯一）【解析】【分析】问题化为1[1,2],x a x x∃∈≤+为真命题，利用对勾函数的单调性求最大值，即可得52a ≤，结合充分不必要条件写出一个符合要求的参数范围即可.【详解】由题设，1[1,2],x a x x ∀∈>+为假命题，故1[1,2],x a x x∃∈≤+为真命题，又1y x x =+在[1,2]x ∈上递增，则max 52y =，只需52a ≤即可，所以，原命题为假命题的一个充分不必要条件是52a <.故答案为：52a <（答案不唯一）17.设函数()()()2,1,242, 1.a x f x x x a x a x ⎧-<⎪=-⎨⎪--≥⎩①若0a =，则(1)2f =；②若1a =，则()f x 的最小值为1-；③存在实数a ，使得()f x 为R 上的增函数；④若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是1,1[2,)2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.其中所有正确结论的序号是______.【答案】②③④【解析】【分析】①当0a =时，1x =代入()4()(2)f x x a x a =--中求值即可；②当1a =时，得到21,<1()24(1)(2),1x f x x x x x ⎧-⎪=-⎨⎪--≥⎩.分情况讨论求出各段最小值，最后得到()f x 的最小值.③保证两端都要增，端点考虑即可；④分类讨论，结合二次函数性质可解.【详解】①当0a =时，1x =代入()4()(2)f x x a x a =--中，得到(1)4(10)(10)42f =⨯-⨯-=≠，所以①错误.②当1a =时，21,<1()24(1)(2),1x f x xx x x ⎧-⎪=-⎨⎪--≥⎩.当<1x 时，则21x ->，，所以0<222<x-，1()1f x -<<.当1x ≥时，2231()4(1)(2)4(32)4()24f x x x x x x ⎡⎤=--=-+=--⎢⎥⎣⎦.对于二次函数2314()24y x ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦，对称轴为32x =，在32x =时取得最小值3()12f =-.综上，可得()f x 的最小值为1-，所以②正确.③当1x <时，22()22f x a a x x -=-=---是增函数.当1x ≥时，22()4()(2)432f x x a x a x ax a ⎡⎤=--=-+⎣⎦，其对称轴为32ax =.要使()f x 在R 上是增函数，则24(1)(12)21312a a a a ⎧-≤--⎪⎪-⎨⎪≤⎪⎩.解24(1)(12)21a a a -≤---，即281120a a -+≥，解得115711571616a a +-><或.解312a ≤得23a ≤.显然交集有元素.故存在a 能同时满足这两个条件使得函数在R 上单调递增，所以③正确.④当<1x 时，令2()02f x a x =-=-，则22a x =-，2(2)x a =-，22x a=-.若221x a=-<，即02a <<时，函数()f x 在<1x 时有一个零点.当1x ≥时，()4()(2)f x x a x a =--，令()0f x =，则x a =或2x a =.若1a <且21a ≥，即112a ≤<时，()f x 在1x ≥时有一个零点，结合1x <时的情况，此时()f x 恰有2个零点.若1a ≥，要使()f x 恰有2个零点，则21a >且22a a =-（无解）或者21a >且222a a=-（无解）或者1a >且21a >且221a-≥（即2a ≥）.综上，实数a 的取值范围是1[,1)[2,)2+∞ ，所以④正确.故答案为：②③④.三、解答题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.18.关于x 的一元二次方程()22230x k x k +++=有两个不相等的实数根12,x x .（1）求k 的取值范围；（2）若12111x x +=-，求k 的值.【答案】（1）3(,)4-+∞（2）3【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的性质，结合0∆>，即可求解；（2）根据题意，利用根与系数的关系，求得2121223,x x k k x x +=--=，结合12111x x +=-，列出方程，求得k 的值，即可求解.【小问1详解】由一元二次方程22(23)0x k x k +++=有两个不相等的实数根12,x x ，则满足()222340k k ∆=+->，解得34k >-，即实数k 的取值范围为3(,)4-+∞.【小问2详解】因为方程22(23)0x k x k +++=有两个不相等的实数根12,x x ，由（1）知34k >-，且2121223,x x k k x x +=--=，因为12111x x +=-，可得12121x x x x +=-，即1212x x x x +=-，可得223k k --=-，即223k k +=，解得3k =或1k =-，因为34k >-，所以3k =.19.设全集R U =，集合{}2|20A x x x =--<，集合{|||1}B x x m =->，其中R m ∈．（1）当1m =时，求()U A B A B ⋂⋃,ð；（2）若A B ⊆，求m 的取值范围.【答案】（1）{|10}A B x x =-<< ，(){12}U A B x =-<≤ ð；（2）3m ≥或2m ≤-.【解析】【分析】（1）由题设得{|12}A x x =-<<，{|0B x x =<或2}x >，根据集合交并补运算求集合；（2）根据包含关系有12m -≥或11m +≤-，即可求参数范围.【小问1详解】由题设{}|(2)(1)0{|12}A x x x x x =-+<=-<<，{|1B x x m =<-或1}x m >+，当1m =时，{|0B x x =<或2}x >，故{|10}A B x x =-<< ，且{|02}U B x x =≤≤ð，故(){12}U A B x =-<≤ ð.【小问2详解】由A B ⊆，则12m -≥或11m +≤-，可得3m ≥或2m ≤-.20.已知函数2()(2)2f x x a x a =-++.（1）当0a =时，分别求出函数()f x 在[1,2]-上的最大值和最小值；（2）求关于x 的不等式()0f x <的解集.【答案】（1）最大值为(1)3f -=，最小值为(1)1f =-；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）根据二次函数的图象及性质确定区间上的最大值和最小值即可；（2）分类讨论求含参一元二次不等式解集.【小问1详解】由题设2()2f x x x =-，开口向上且对称轴为1x =，结合二次函数的图象，在[1,2]-上最大值为(1)3f -=，最小值为(1)1f =-.【小问2详解】由题意2(2)2()(2)0x a x a x a x -++=--<，当2a <时，解集为(,2)a ；当2a =时，解集为∅；当2a >时，解集为(2,)a .21.已知函数21()x f x x+=.（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；（2）用定义证明()f x 在(0,1)上是减函数；（3）若函数()y f x m =-在12,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，求m 的范围．（直接写出答案）【答案】（1）()f x 是奇函数，理由见解析（2）答案见解析（3）5(2,]2【解析】【分析】（1）对于本题，需要先求出()f x -，然后与()f x 和()f x -进行比较.（2）利用函数单调性的定义,设12,(0,1)x x ∈且12x x <，然后计算12()()f x f x -，根据其正负判断函数的单调性.（3）函数()y f x m =-在1[,3]2上有两个零点，等价于()y f x =与y m =的图象在1[,3]2上有两个交点，需要先分析()f x 在1[,3]2上的单调性和值域，从而确定m 的范围.【小问1详解】函数21()x f x x+=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，关于原点对称.22()11()()x x f x f x x x-++-==-=--.根据奇函数的定义，对于定义域内任意x ，()()f x f x -=-，所以函数()f x 是奇函数.【小问2详解】设12,(0,1)x x ∈且12x x <.则222212122112121211(1)(1)()()x x x x x x f x f x x x x x +++-+-=-=,对分子进行化简：222212211222111212212112(1)(1)()()()(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=+--=-+-=--.因为12,(0,1)x x ∈，所以12(0,1)x x ∈，1210x x ->，210x x ->，120x x >.所以21121212()(1)()()0x x x x f x f x x x ---=>，即12()()f x f x >.所以()f x 在(0,1)上是减函数.【小问3详解】1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，211()2x f x x x x+==+≥,当且仅当1x =取得最小值.当121,[,1)2x x ∈时，且12x x <，121[,1)4x x ∈,1210x x ->,210x x ->.则21121212()(1)()()0x x x x f x f x x x ---=>，即12()()f x f x >，则当1)[1,2x ∈()f x 单调递减；当12,(1,3]x x ∈时，且12x x <，12(1,9]x x ∈,1210x x -<,210x x ->.则21121212()(1)()()0x x x x f x f x x x ---=<，即12()()f x f x <，则当(1,3]x ∈,()f x 单调递增；并且215()11524()112222f +===，(1)2f =，23110(3)33f +==.因为函数()y f x m =-在1[,3]2上有两个零点，所以5(2,]2m ∈.22.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：C （x ）=(010),35k x x ≤≤+若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f （x ）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k 的值及f(x)的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．【答案】40k =，因此40()35C x x =+.,当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值为70万元．【解析】【详解】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为cm x ，由题设，每年能源消耗费用为()35k C x x =+.再由(0)8C =，得40k =，因此40()35C x x =+.而建造费用为1()6C x x=最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为140800()20()()2066(010)3535f x C x C x x x x x x =+=⨯+=+≤≤++（Ⅱ）22400'()6(35)f x x =-+，令'()0f x =，即224006(35)x =+.解得5x =，253x =-（舍去）.当05x 时，'()0f x ，当510x 时，'()0f x ，故5x =是()f x 的最小值点，对应的最小值为800(5)6570155f =⨯+=+．当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值为70万元．23.设函数()f x 是定义在R 上的函数，对任意的实数,x y 都有()(1)(1)f x y f x f y +=+⋅-，且当0x >时()f x 的取值范围是(0,1)．（1）求证：存在实数m 使得()1f m =；（2）当0x <时，求()f x 的取值范围；（3）判断函数()f x 的单调性，并予以证明．【答案】（1）证明见解析；（2）(1,)+∞；（3）()f x 单调递减，证明见解析.【解析】【分析】（1）令1x y ==结合题设可得(0)1f =，即可证；（2）令y x =-得到1(1)(1)f x f x --=+，若10t x =+>，结合已知即可求范围；（3）令1x x y =+>21x x =+，应用函数单调性定义求证即可.【小问1详解】令1x y ==，则(11)(11)(11)(2)(2)(0)f f f f f f +=+⋅-⇒=，当0x >时()f x 的取值范围是(0,1)，即(2)0f ≠，故(0)1f =，显然存在0m =，使()1f m =，得证；【小问2详解】令y x =-，则()(1)(1)f x x f x f x -=+⋅--，即(1)(1)(0)1f x f x f +⋅--==，若10t x =+>，则10x t --=-<，故1(1)(1)f x f x --=+，即1()()f t f t -=，而()(0,1)f t ∈，则()(1,)f t -∈+∞，当0x <时，()f x 取值范围是(1,)+∞；【小问3详解】()f x 单调递减，证明如下：令1x x y =+>21x x =+，则1210x x y -=->，所以1212()()()f x f x f x x =⋅-，则12212()()()[()1]f x f x f x f x x -=--，由题设及（2）知，212()0,()10f x f x x >--<，则12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <，所以()f x 单调递减，得证.。

宝鸡市南山高级中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学全卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．5．本卷主要考查内容：必修第一册第一章～第四章4.2．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 下面图象中，不能表示函数的是（ ）A. B.C. D.2. 命题“，”的否定为（ ）A. ，B. .，C. ，D. ，3. 函数是指数函数，则有（ ）A. 或B.C.D. 且4. 若，则下列不等式恒成立的是（）0x ∀>220x x +>0x ∀>220x x +≤0x ∀<220x x +≤0x ∃>220x x +<0x ∃>220x x +≤()244x y a a a =-+1a =3a =1a =3a =0a >1a ≠abc >>A. B. C. D. 5. 函数的定义域为（ ）A B. C. D. 6. 已知，则的最小值为（ ）A. 4 B. C. D. 7. 已知函数，则其图象大致是（ ）A. B.C D.8. 已知是奇函数，是偶函数，它们的定义域都是，且它们在上的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）A. 或或B. 或或C. 或或D. 或或..ab ac>22a c >()0a b c b -->a c b c>0()(2)f x x =+-(0,4)[0,2)(2,4]⋃[0,4](0,2)(2,4) 21a b -=139b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()3221x f x x =-()y f x =()y g x =[]3,3-[]0,3x ∈()()0f x g x >{32x x -<<-10x -<<}12x <<{21x x -<<-01x <<}23x <<{31x x -<<-10x -<<}12x <<{32x x -<<-10x -<<}02x <<二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知函数在区间上单调，则实数m 值可以是（ ）A. 0B. 8C. 16D. 2010. 已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ）A. B. 是奇函数C. 是偶函数D. 在上单调递增11. 下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（ ）A. 奇数都不能被2整除B. 有的实数是无限不循环小数C. 角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等D. 对任意实数x ，方程都有解12. 下列说法正确的是（ ）A. 已知是定义在上的函数，且，所以在上单调递减B. 函数的单调减区间是C. 函数的单调减区间是D. 已知在R 上是增函数，若，则有三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 函数且过定点________．14. 已知函数f （x ）为奇函数，且当x ＞0时，，则f （－4）＝________．15. 若函数在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为________．16. 已知，则___________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．的2()1f x x x m =-+[3,8]()f x x α=18,4⎛⎫ ⎪⎝⎭23α=-()f x ()f x ()fx (),0∞-210x +=()f x []3,3-()()33f f ->()f x []3,3-21x y x =-11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y =5,112⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x 0a b +>()()()()f a f a f b f b -->--()11(0x f x a a -=+>1)a ≠1()=+f x x2,1()(4),1x ax x f x a x x ⎧-+<=⎨-≥⎩11223x x -+=22x x --=17..18. 已知集合，，．（1）求；；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．19.已知函数（1）画出函数的图象；（2）求的值；（3）求出函数的值域.20. 已知一次函数满足，.（1）求实数a ､b 的值；（2）令，求函数的解析式.21. 已知，，且.（1）求的最小值；（2）若恒成立，求的最大值.22 已知函数.（1）判断函数的奇偶性；（2）证明：函数区间上单调递减；（3）若，求实数的取值范围..在0.258+{}42A x x =-≤≤{}23B x x =+>{}61,0C x m x m m =-<+A B ⋃()R C B A R x C B ∈x C ∈m 21,1()1,1x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩()f x 32f f ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x ()f x ax b =+(1)2f -=-(2)()2f x f x +-=()((1))g x f f x =-()g x 0x >0y >2x y +=19x y+410x mxy +-≥m ()391xx f x =+()f x ()f x [)0,∞+()f t ≥t宝鸡市南山高级中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】ACD【10题答案】【答案】ACD【11题答案】【答案】AC【12题答案】【答案】CD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】【15题答案】【答案】【16题答案】【答案】四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．【17题答案】【18题答案】【答案】（1）或，；（2）.【19题答案】【答案】（1）作图略（2）； （3）.【20题答案】【答案】（1） （2）【21题答案】【答案】（1）（2）【22题答案】()1,29## 2.254--52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦±{|5A B x x =<- 4}x ≥-()[4,1]R C B A =- 01m <<34[)0,∞+11a b =⎧⎨=-⎩()3g x x =-84【答案】（1）偶函数；（2）证明略；（3）.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。

高一年级第一学期数学期中考试卷本试卷共4页，22小题，满分150分。

考试用时120分钟。

第一部分 选择题(共60分)一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）1．设集合{}1,2,3,4A =，{}1,0,2,3B =-，{}12C x R x =∈-≤<，则()A B C =（ ）A ．{}1,1-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}2,3,42．已知集合A={x∈N|x 2+2x ﹣3≤0}，则集合A 的真子集个数为 （ ）A ．3B ．4C ．31D ．323．下列命题为真命题的是（ ）A ．x Z ∃∈，143x <<B ．x Z ∃∈，1510x +=C ．x R ∀∈，210x -=D ．x R ∀∈，220x x ++>4．设x ∈R ，则“12x <<”是“|2|1x -<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数()f x =m 的取值范围是（ ）A ．04m <≤B ．01m ≤≤C ．4m ≥D ．04m ≤≤6．已知实数m ， n 满足22m n +=，其中0mn >，则12m n +的最小值为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．127．若函数()()g x xf x =的定义域为R ，图象关于原点对称，在(,0)-∞上是减函数，且，()00f =，(2)0=g ，则使得()0f x <的x 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，2）B ．（2，+∞）C ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D ．（﹣2，2）8．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的[)()1212,0,x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，已知 2.7e ≈，则()2f -、()f e 、()3f -的大小关系为（ ）A ．()()()32f e f f <-<-B ．()()()23f f e f -<<-C ．()()()32f f f e -<-<D ．()()()32f f e f -<<- 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，漏选3分，错选0分，满分20分）9．已知A B ⊆，A C ⊆，{}2,0,1,8B =，{}1,9,3,8C =，则A 可以是（ ）A ．{}1,8B ．{}2,3C ．{}1D ．{}210．下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（ ）A ．()f x x =与()g x =B ．()|1|f t t =-与()|1|g x x =-C ．2()f x x =与2()g x x =D ．21()1x f x x +=-与1()1g x x =- 11．已知函数()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩，关于函数()f x 的结论正确的是（ ） A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 的值域为(,4)-∞C ．若()3f x =，则xD ．()1f x <的解集为(1,1)-12．若函数()22,14,1x a x f x ax x ⎧-+≤-=⎨+>-⎩在R 上是单调函数，则a 的取值可能是（ ） A ．0B ．1C ．32D ．3第二部分 非选择题(共90分)三、填空题（本大题共3小题，每小题5分, 共15分）13．已知2()1,()1f x x g x x =+=+，则((2))g f =_________.14．设集合22{2,3,1},{,2,1}M a N a a a =+=++-且{}2M N =,则a 值是_________.15．如果函数()2x 23f ax x =+-在区间(),4-∞上是单调递增的，则实数a 的取值范围是______．四、双空题（本大题共1小题，第一空3分，第二空2分, 共5分）16．函数()2x f x x =+在区间[]2,4上的最大值为________，最小值为_________五、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题10分）已知函数()233f x x x =+-A ，()222g x x x =-+的值域为B ． （Ⅰ）求A 、B ； （Ⅱ）求()R AB ．18．（本小题12分）已知集合{|02}A x x =≤≤，{|32}B x a x a =≤≤-.（1）若()U A B R ⋃=，求a 的取值范围； （2）若A B B ≠，求a 的取值范围.19．（本小题12分）已知函数23,[1,2](){3,(2,5]x x f x x x -∈-=-∈． （1）在如图给定的直角坐标系内画出()f x 的图象；（2）写出()f x 的单调递增区间及值域；（3）求不等式()1f x >的解集．20．（本小题12分）已知函数()f x ＝21ax b x ++是定义在(－1，1)上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）确定函数()f x 的解析式；（2）用定义证明()f x 在(－1，1)上是增函数；（3）解不等式：(1)()0f t f t -+<.21．（本小题12分）某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x 千件，需另投入成本为()C x ，当年产量不足80千件时，21()103C x x x =+（万元）．当年产量不小于80千件时，10000()511450C x x x=+-（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？22．（本小题12分）已知二次函数()f x 满足(1)()21f x f x x +-=-+，且(2)15f =.(1)求函数()f x 的解析式；(2) 令()(22)()g x m x f x =--，求函数()g x 在x ∈[0，2]上的最小值．参考答案1．C【详解】由{}1,2,3,4A =，{}1,0,2,3B =-，则{}1,0,1,2,3,4AB =- 又{}12C x R x =∈-≤<，所以(){}1,0,1AB C =-故选：C2．A 由题集合{}2{|230}{|31}01A x N x x x N x =∈+-≤=∈-≤≤=， ， ∴集合A 的真子集个数为2213-= ．故选A ．【点睛】本题考查集合真子集的个数的求法，考查真子集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3．D求解不等式判断A ；方程的解判断B ；反例判断C ；二次函数的性质判断D ；【详解】解：143x <<，可得1344x <<，所以不存在x ∈Z ，143x <<，所以A 不正确； 1510x +=，解得115x =-，所以不存在x ∈Z ，1510x +=，所以B 不正确； 0x =，210x -≠，所以x R ∀∈，210x -=不正确，所以C 不正确；x ∈R ，2217720244y x x x ⎛⎫=++=++≥> ⎪⎝⎭，所以D 正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查命题的真假的判断，考查不等式的解法以及方程的解，属于基础题．4．A【解析】【分析】先解不等式，再根据两个解集包含关系得结果.【详解】 21121,13x x x -<∴-<-<<<,又1,2()1,3，所以“12x <<”是“21x -<”的充分不必要条件，选A.【点睛】充分、必要条件的三种判断方法． 1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 5．D【解析】试题分析：因为函数()f x =的定义域是一切实数，所以当0m =时，函数1f x 对定义域上的一切实数恒成立；当0m >时，则240m m ∆=-≤，解得04m <≤，综上所述，可知实数m 的取值范围是04m ≤≤，故选D.考点：函数的定义域.6．A【解析】实数m ，n 满足22m n +=，其中0mn >12112141(2)()(4)(44222n m m n m n m n m n ∴+=++=++≥+=,当且仅当422,n m m n m n =+=，即22n m ==时取等号.12m n∴+的最小值是4.所以A 选项是正确的. 点睛:本题主要考查基本不等式求最值，在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.解决本题的关键是巧妙地将已知条件22m n +=化为1，即112112(2)1,(2)()22m n m n m n m n+=∴+=++. 7．C【解析】【分析】根据函数的图象关于原点对称，可得知函数()g x 在()0,∞+上是减函数，即可利用其单调性在(,0)-∞和()0,∞+上解不等式即可．【详解】函数()()g x xf x =的定义域为R ，图象关于原点对称，在(,0)-∞上是减函数，且()20g =，所以函数()g x 在()0,∞+上是减函数．当0x =时，()00f =，显然0x =不是()0f x <的解．当()0,x ∈+∞时，()0f x <，即()()0g x xf x =<，而()20g =，所以()()20g x g <=，解得2x >；当(),0x ∈-∞时，()0f x <，即()()0g x xf x =>，而()()220g g -==，所以()()2g x g >-，解得2x <-．综上，()0f x <的x 的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．故选：C.【点睛】本题主要考查利用函数的性质解不等式，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于基础题． 8．D【解析】【分析】由已知条件得出单调性，再由偶函数把自变量转化到同一单调区间上，由单调性得结论．【详解】因为对任意的[)()1212,0,x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，所以当12x x <时，12()()f x f x >，所以()f x 在[0,)+∞上是减函数，又()f x 是偶函数，所以(3)(3)f f -=，(2)(2)f f -=，因为23e <<，所以(2)()(3)f f e f >>，即(2)()(3)f f e f ->>-．故选：D ．【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性，解题方法是利用奇偶性化自变量为同一单调区间，利用单调性比较大小．9．AC【解析】【分析】推导出(){1A B C A ⊆⇒⊆，8}，由此能求出结果．【详解】∵A B ⊆，A C ⊆，()A B C ∴⊆{}2,0,1,8B =，{}1,9,3,8C =，{}1,8A ∴⊆∴结合选项可知A ，C 均满足题意.【点睛】本题考查集合的求法，考查子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10．BC【解析】【分析】分别求出四个答案中两个函数的定义域和对应法则是否一致，若定义域和对应法则都一致即是相同函数.【详解】对于A ：()g x x ==，两个函数的对应法则不一致，所以不是相同函数，故选项A 不正确； 对于B ：()|1|f t t =-与()|1|g x x =-定义域和对应关系都相同，所以是相同函数，故选项B 正确； 对于C ：2()f x x =与2()g x x =定义域都是R ，22()g x x x ==，所以两个函数是相同函数，故选项C 正确对于D ：21()1x f x x +=-定义域是{}|1x x ≠±，1()1g x x =-定义域是{}|1x x ≠，两个函数定义域不同，所以不是相等函数，故故选项D 不正确；故选：BC【点睛】本题主要考查了判断两个函数是否为相同函数，判断的依据是两个函数的定义域和对应法则是否一致，属于基础题.11．BC【解析】【分析】根据分段函数的形式可求其定义域和值域，从而判断A 、 B 的正误，再分段求C 、D 中对应的方程的解和不等式的解后可判断C 、D 的正误．【详解】由题意知函数()f x 的定义域为(,2)-∞，故A 错误；当1x ≤-时，()f x 的取值范围是(,1]-∞当12x -<<时，()f x 的取值范围是[0,4)，因此()f x 的值域为(,4)-∞，故B 正确；当1x ≤-时，23x +=，解得1x =（舍去)，当12x -<<时，23x =，解得x =x =，故C 正确；当1x ≤-时，21x +<，解得1x <-，当12x -<<时，21x <，解得-11x -<<，因此()1f x <的解集为(,1)(1,1)-∞--，故D 错误.故选：BC ．【点睛】 本题考查分段函数的性质，对于与分段函数相关的不等式或方程的解的问题，一般用分段讨论的方法，本题属于中档题．12．BC【解析】【分析】根据函数的单调性求出a 的取值范围，即可得到选项.【详解】当1x ≤-时，()22f x x a =-+为增函数， 所以当1x >-时，()4f x ax =+也为增函数，所以0124a a a >⎧⎨-+≤-+⎩，解得503a <≤. 故选：BC【点睛】此题考查根据分段函数的单调性求参数的取值范围，易错点在于忽略掉分段区间端点处的函数值辨析导致产生增根.13【解析】【分析】根据2()1,()f x x g x =+=(2)f ，再求((2))g f .【详解】因为(2)5f =，所以((2))(5)g f g ===【点睛】本题主要考查函数值的求法，属于基础题.14．-2或0【解析】【分析】由{}2M N =,可得{}2N ⊆,即可得到22a a +=或22a +=,分别求解可求出答案.【详解】由题意,{}2N ⊆,①若22a a +=,解得1a =或2a =-,当1a =时,集合M 中,212a +=,不符合集合的互异性,舍去;当2a =-时,{2,3,5},{2,0,1}M N ==-,符合题意.②若22a +=,解得0a =,{2,3,1},{0,2,1}M N ==-,符合题意.综上,a 的值是-2或0.故答案为:-2或0.【点睛】本题考查了交集的性质,考查了集合概念的理解,属于基础题.15．1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】【详解】由题意得，当0a =时，函数()23f x x =-，满足题意，当0a ≠时，则0242a a<⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得104a -≤<， 综合得所求实数a 的取值范围为1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 16．23 12【解析】【分析】分离常数，将()f x 变形为212x -+，观察可得其单调性，根据单调性得函数最值. 【详解】 222()1222x x f x x x x +-===-+++，在[2,4]上，若x 越大，则2x +越大，22x 越小，22x -+越大，212x -+越大， 故函数()f x 在[2,4]上是增函数，min 21()(2)222f x f ∴===+， max 42()(4)423f x f ===+， 故答案为23；12. 【点睛】本题考查分式函数的单调性及最值，是基础题. 17．（Ⅰ）332A x x ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭，{}1B y y =≥；（Ⅱ）()R 312A B x x ⎧⎫⋂=-≤<⎨⎬⎩⎭. 【解析】【分析】（Ⅰ）由函数式有意义求得定义域A ，根据二次函数性质可求得值域B ；（Ⅱ）根据集合运算的定义计算．【详解】（Ⅰ）由()f x =230,30,x x +≥⎧⎨->⎩ 解得332x -≤<． ()()2222111g x x x x =-+=-+≥，所以332A x x ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭，{}1B y y =≥．（Ⅱ）{}1B y y =<R ，所以()R 312A B x x ⎧⎫⋂=-≤<⎨⎬⎩⎭． 【点睛】本题考查求函数的定义域与值域，考查集合的综合运算，属于基础题．18．（1）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）1,2a ⎡⎫+∞⎢⎣∈⎪⎭. 【解析】【分析】（1）先计算U A ，再利用数轴即可列出不等式组，解不等式组即可.（2）先求出AB B =时a 的取值范围，再求其补集即可.【详解】 （1）∵{}|02A x x =≤≤，∴{|0U A x x =<或}2x >，若()U A B R ⋃=，则320322a a a a -≥⎧⎪⎨⎪-≥⎩，即12a ≤∴实数a 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. （2）若A B B =，则B A ⊆.当B =∅时，则32-<a a 得1,a >当B ≠∅时，若B A ⊆则0322a a ≥⎧⎨-≤⎩，得1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，综上故a 的取值范围为1,2a ⎡⎫+∞⎢⎣∈⎪⎭， 故AB B ≠时的范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭的补集，即1,.2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 【点睛】本题主要考查了集合的交并补运算，属于中档题.19．（1）见解析（2）()f x 的单调递增区间[1,0],[2,5]-， 值域为[1,3]-；（3）[2)(1,5]-⋃【解析】【分析】（1）要利用描点法分别画出f(x)在区间[-1,2]和(2,5]内的图象.（2）再借助图象可求出其单调递增区间.并且求出值域.（3）由图象可观察出函数值大于1时对应的x 的取值集合.【详解】（1）（2）由图可知()f x 的单调递增区间[1,0],[2,5]-， 值域为[1,3]-；（3）令231x -=，解得2x =2-（舍去）；令31x -=，解得2x =. 结合图象可知的解集为[2)(1,5]-⋃20．（1）()21x f x x =+；（2）证明见详解；（3）1|02t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 【解析】【分析】(1)由()f x 为奇函数且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求得参数值，即可得到()f x 的解析式； (2)根据定义法取－1＜x 1＜x 2＜1，利用作差法12())0(f x f x -<即得证；(3)利用()f x 的增减性和奇偶性，列不等式求解即可【详解】（1）()f x 在(－1，1)上为奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭有(0)012()25f f =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩，()f x ＝21x x +， 此时2()(),()1x f x f x f x x --==-∴+为奇函数， 故()f x ＝21x x+； （2）证明：任取－1＜x 1＜x 2＜1， 则12122212()()11x x f x f x x x -=-++12122212()(1)(1)(1)x x x x x x --=++ 而122100,1x x x -<+>，且1211x x -<<，即1210x x ->，∴12())0(f x f x -<，()f x 在(－1，1)上是增函数.（3）(1)()()f t f t f t ，又()f x 在(－1，1)上是增函数∴－1＜t －1＜－t ＜1，解得0＜t ＜12 ∴不等式的解集为1|02t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查了利用函数奇偶性求解析式，结合奇函数中(0)0f =的性质，要注意验证；应用定义法证明单调性，注意先假设自变量大小关系再确定函数值的大小关系：函数值随自变量的增大而增大为增函数，反之为减函数；最后利用函数的奇偶性和单调性求解集21．（1）2140200,0803()100001250,80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）100千件【解析】【分析】（1）根据题意，分080x <<，80x ≥两种情况，分别求出函数解析式，即可求出结果；（2）根据（1）中结果，根据二次函数性质，以及基本不等式，分别求出最值即可，属于常考题型.【详解】解（1）因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.051000x ⨯万元，依题意得： 当080x <<时，2211()(0.051000)102004020033⎛⎫=⨯-+-=-+- ⎪⎝⎭L x x x x x x ． 当80x ≥时，10000()(0.051000)511450200L x x x x ⎛⎫=⨯-+-- ⎪⎝⎭ 100001250⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭x x 所以2140200,0803()100001250,80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当080x <<时，21()(60)10003L x x =--+． 此时，当60x =时，()L x 取得最大值(60)1000L =万元．当80x ≥时，10000()125012502L x x x ⎛⎫=-+≤- ⎪⎝⎭ 12502001050=-=． 此时10000x x=，即100x =时，()L x 取得最大值1050万元． 由于10001050<，答：当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大， 最大利润为1050万元 【点睛】本题主要考查分段函数模型的应用，二次函数求最值，以及根据基本不等式求最值的问题，属于常考题型.22．（1）2()215f x x x =-++，（2）min2411,2()15,015,02m m g x m m m -->⎧⎪=-<⎨⎪--≤≤⎩【解析】试题分析：（1）据二次函数的形式设出f （x ）的解析式，将已知条件代入，列出方程，令方程两边的对应系数相等解得．（2）函数g （x ）的图象是开口朝上，且以x=m 为对称轴的抛物线，分当m ≤0时，当0＜m ＜2时，当m ≥2时三种情况分别求出函数的最小值，可得答案．试题解析：（1）设二次函数一般式()2f x ax bx c =++（0a ≠），代入条件化简，根据恒等条件得22a =-，1a b +=，解得1a =-，2b =，再根据()215f =，求c .（2）①根据二次函数对称轴必在定义区间外得实数m 的取值范围；②根据对称轴与定义区间位置关系，分三种情况讨论函数最小值取法. 试题解析：（1）设二次函数()2f x ax bx c =++（0a ≠），则()()()()()22111221f x f x a x b x c ax bx c ax a b x +-=++++-++=++=-+∴22a =-，1a b +=，∴1a =-，2b = 又()215f =，∴15c =.∴()2215f x x x =-++（2）①∵()2215f x x x =-++∴()()()222215g x m x f x x mx =--=--.又()g x 在[]0,2x ∈上是单调函数，∴对称轴x m =在区间[]0,2的左侧或右侧，∴0m ≤或2m ≥ ②()2215g x x mx =--，[]0,2x ∈，对称轴x m =，当2m >时，()()min 24415411g x g m m ==--=--； 当0m <时，()()min 015g x g ==-；当02m ≤≤时，()()222min 21515g x g m m m m ==--=--综上所述，()min2411,215,015,02m m g x m m m -->⎧⎪=-<⎨⎪--≤≤⎩广东省深圳市高一上学期期中考试试卷数学试题时间：120分钟 分值：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合{1}A x x =<∣，{}31x B x =<∣，则（ ）A ．{0}AB x x =<∣ B ．A B R =C ．{1}A B x x =>∣D ．AB =∅2．已知函数22,3()21,3x x x f x x x ⎧-≥=⎨+<⎩，则[(1)]f f =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．63．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-，则()1f -=（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．34．已知幂函数()f x 的图象过点2,2⎛ ⎝⎭，则()8f 的值为（ ）A ．4B ．8C ．D ．5．设函数331()f x x x=-，则()f x （ ） A ．是奇函数，且在(0,)+∞单调递增 B ．是奇函数，且在(0,)+∞单调递减C ．是偶函数，且在(0,)+∞单调递增D ．是偶函数，且在(0,)+∞单调递减6．已知3log 21x ⋅=，则4x=（ ）A ．4B ．6C ．3log 24D ．97．已知2log 0.3a =，0.12b =， 1.30.2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a c b <<8．函数25,1(),1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩满足对任意12x x ≠都有()()12120f x f x x x ->-，则a 的取值范围是（ ）A ．30a -≤<B ．32a -≤≤-C ．2a ≤-D ．0a <二、选择题：本小题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分． 9．下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（ ）A ．()f x x =与()g x =B ．()|1|f t t =-与()|1|g x x =-C．()f x =与 ()g x =-D ．21()1x f x x -=+与()1g x x =-10．下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（ ）A ．1y x=-B ．1y x x=-C ．3y x =D ．||y x x =11．若函数()1(0,1)xf x a b a a =+->≠的图象经过第一、三、四象限，则一定有（ ）A ．1a >B ．01a <<C ．0b >D ．0b <12．下列结论不正确的是（ ）A ．当0x >2≥B ．当0x >2的最小值是2C ．当0x <时，22145x x -+-的最小值是52D ．设0x >，0y >，且2x y +=，则14x y +的最小值是92三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数3()1f x x =+的定义域为_______． 14．函数32x y a-=+（0a >且1a ≠）恒过定点_______．15．定义运算：,,b a b a b a a b≥⎧⊗=⎨<⎩，则函数()33x xf x -=⊗的值域为_______．16．若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又()20f =，则不等式()0xf x <的解集为_______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）计算：（1）1130121( 3.8)0.0022)27---⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭；（2）2lg125lg 2lg500(lg 2)++．18．（本小题满分12分）已知函数1()2x f x x +=-，[3,7]x ∈． （1）判断函数()f x 的单调性，并用定义加以证明；（2）求函数()f x 的最大值和最小值． 19．（本小题满分12分）设集合{}2230A x x x =+-<∣，集合{1}B xx a =+<‖∣． （1）若3a =，求AB ；（2）设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 成立的必要条件，求实数a 的取值范围． 20．（本小题满分12分）已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，2()243f x x x =-++．（1）求()f x 的表达式；（2）画出()f x 的图象，并指出()f x 的单调区间．21．（本小题满分12分）某制造商为拓展业务，计划引进一设备生产一种新型体育器材．通过市场分析，每月需投入固定成本3000元，生产x 台需另投入成本()C x 元，且210400,030()10008049000,30x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，若每台售价800元，且当月生产的体育器材该月内能全部售完．（1）求制造商由该设备所获的月利润()L x 关于月产量x 台的函数关系式；（利润=销售额-成本） （2）当月产量为多少台时，制造商由该设备所获的月利润最大？并求出最大月利润．22．（本小题满分12分）设函数()22xxf x k -=⋅-是定义R 上的奇函数． （1）求k 的值；（2）若不等式()21xf x a >⋅-有解，求实数a 的取值范围；（3）设()444()x xg x f x -=+-，求()g x 在[1,)+∞上的最小值，并指出取得最小值时的x 的值．高一上学期期中考试数学学科试题参考答案一二、选择题三、填空题 13．(,1)(1,2]-∞--14．()3,3 15．(]0,1 16．(2,0)(0,2)-四、解答题17．解：（1）原式12315002)42016=+-+=-=-；（2）原式3lg5lg 2(lg500lg 2)3lg53lg 23=++=+=．18．解：（1）函数()f x 在区间[]3,7内单调递减，证明如下：在[]3,7上任意取两个数1x 和2x ，且设12x x >，∵()11112x f x x +=-，()22212x f x x +=-， ∴()()()()()21121212123112222x x x x f x f x x x x x -++-=-=----． ∵12,[3,7]x x ∈，12x x >，∴120x ->，220x ->，210x x -<，∴()()()()()2112123022x x f x f x x x --=<--．即()()12f x f x <，由单调函数的定义可知，函数()f x 为[]3,7上的减函数．（2）由单调函数的定义可得max ()(3)4f x f ==，min 8()(7)5f x f ==． 19．解：（1）由2230x x +-<，解得31x -<<，可得：(3,1)A =-．3a =，可得：|3|1x +<，化为：131x -<+<，解得42x -<<-，∴(1,1)B =-． ∴(3,1)AB =-．（2）由||1x a +<，解得11a x a --<<-．∴{11}B xa x a =--<<-∣． ∵p 是q 成立的必要条件，∴1311a a --≥-⎧⎨-≤⎩，解得：02a ≤≤．∴实数a 的取值范围是[]0,2．20．解：（1）根据题意，()f x 是R 上的奇函数，则()00f =，设0x <，则0x ->，则()2243f x x x -=--+，又由()f x 为奇函数，则2()()243f x f x x x =--=+-，则22243,0()0,0243,0x x x f x x x x x ⎧+-<⎪==⎨⎪-+->⎩；（2）根据题意，22243,0()0,0243,0x x x f x x x x x ⎧+-<⎪==⎨⎪-+->⎩，其图象如图：()f x 的单调递增区间为()1,1-，()f x 的单调递增区间为(),1-∞-，(1,)+∞．21．解：（1）当030x <<时，22()800104003000104003000L x x x x x x =---=-+-；当30x ≥时，1000010000()8008049000300060004L x x x x x x ⎛⎫=--+-=-+ ⎪⎝⎭． ∴2104003000,030()1000060004,30x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩． （2）当030x <<时，2()10(20)1000L x x =--+，∴当20x =时，max ()(20)1000L x L ==．当30x ≥时，10000()6000460005600L x x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭， 当且仅当100004x x=， 即50x =时，()(50)56001000L x L ==>．当50x =时，获得增加的利润最大，且增加的最大利润为5600元．22．解：（1）因为()22x xf x k -=⋅-是定义域为R 上的奇函数，所以()00f =，所以10k -=， 解得1k =，()22x xf x -=-， 当1k =时，()22()x x f x f x --=-=-，所以()f x 为奇函数，故1k =；（2）()21xf x a >⋅-有解， 所以211122x x a ⎛⎫⎛⎫<-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有解， 所以2max11122x x a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫<-++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 因为221111*********x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=--+≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1x =时，等号成立）， 所以54a <； （3）()444()x x g x f x -=+-，即()()44422x x x x g x --=+--，可令22x x t -=-，可得函数t 在[)1,+∞递增，即32t >， 2442x x t -=+-，可得函数2()42h t t t =-+，32t >， 由()g t 的对称轴为322t =>，可得2t =时，()g t 取得最小值2-，此时222x x -=-，解得2log (1x =，则()g x 在[)1,+∞上的最小值为2-，此时2log (1x =．高一第一学期数学期中考试卷第I 卷（选择题)一、单选题（每小题5分）1．已知集合{}40M x x =-<，{}124x N x -=<，则M N =( )A ．(),3-∞B ．()0,3C ．()0,4D ．∅2．已知集合A ＝{}2|log 1x x <，B ＝{}|0x x c <<，若A ∪B ＝B ，则c 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,2]D ．[2，＋∞)3．全集U =R ，集合{}|0A x x =<,{}|11B x x =-<<，则阴影部分表示的集合为( )A ．{}|1x x <-B ．{}|1x x <C ．{}|10x x -<<D ．{}|01x x <<4．．函数的零点所在的区间为A ．B ．C ．(D ．5．如果二次函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减函数，则a 的取值范围是（）A.5a ≤B.3a ≤-C.3a ≥D.3a ≥-6．设函数()2,x f x x R =∈的反函数是()g x ，则1()2g 的值为（ ）A ．1-B ．2-C ．1D ．27．设132()3a =，231()3b =，131()3c =，则()f x 的大小关系是（ ）A.b c a >>B.a b c >>C.c a b >>D.a c b >>8．函数()()215m f x m m x -=--是幂函数，且当()0 x ∈+∞，时，()f x 是增函数，则实数m 等于（ ） A.3或2- B.2- C.3 D.3-或29．函数()2lg 45y x x =--的值域为( )A ．(),-∞+∞B ．()1,5-C ．()5,+∞D ．(),1-∞-10．已知x ，y 为正实数，则（ ）A ．lg lg lg lg 222x y x y +=+B ．lg()lg lg 222x y x y +=C ．lg lg lg lg 222x y x y =+D ．lg()lg lg 222xy x y = 11．已知函数()x x f x a a -=-,若(1)0f <,则当[]2,3x ∈时，不等式()+(4)0f t x f x --<恒成立则实数t 的范围是( )A ．[2,)+∞B ．(2,)+∞C ．(,0)-∞D ．(,0]-∞12．已知奇函数x 14()(x 0)23F(x)f (x)(x 0)⎧->⎪=⎨⎪<⎩，则21F(f (log )3= ( ) A ．56- B ．56 C ．1331()2D ．1314()23- 第II 卷（非选择题)二、填空题（每小题5分）13．已知函数ln x y a e =+（0a >，且1a ≠，常数 2.71828...e =为自然对数的底数）的图象恒过定点(,)P m n ，则m n -=______．14．求值：2327( 3.1)()lg 4lg 25ln18--++++=__________ 15．若函数()()()21142x f x a x log =++++为偶函数，则a ＝_______.16．已知函数log 2,3()(5)3,3a x x f x a x x ->⎧=⎨--≤⎩（）满足对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围为______________；三、解答题17．（本题满分10分）（1）求值：（log 83+log 169）（log 32+log 916）；（2）若1122a a 2--=，求11122a a a a --++及的值．18．（本题满分12分）函数()log (1)a f x x =-+(3)(01)a log x a +<< （1）求方程()0f x =的解；（2）若函数()f x 的最小值为1-，求a 的值.19．（本题满分12分）已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当时0x ≥，()22f x x x =+. （1）求函数()f x 的解析式；（2）解不等式()2f x x ≥+.20．（本题满分12分）已知二次函数f （x ）满足 (1)()21f x f x x +-=+且(0)1,f =函数()2(0)g x mx m =>（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）判断函数()()()g x F x f x =，在()0,1上的单调性并加以证明.21．（本题满分12分）已知函数()142x x f x a a +=⋅--.（1）若0a =，解方程()24f x =-；（2）若函数()142x x f x a a +=⋅--在[]1,2上有零点，求实数a 的取值范围.22．（本题满分12分）函数()f x 的定义域为R ，且对任意,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x <，(Ⅰ)证明()f x 是奇函数；(Ⅱ)证明()f x 在R 上是减函数；(III)若()31f =-,()()321550f x f x ++--<，求x 的取值范围.第一学期高一期中考试卷参考答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、单选题1．已知集合，，则( )A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】可以求出集合，，然后进行交集的运算即可．【详解】解：，，．故选：．【点睛】本题考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，指数函数的单调性，以及交集的运算。

江苏省南通中学2023-2024学年第一学期期中考试高一数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.设集合{}02A x x =≤≤，{}1B x x =≤，则A B = （）A.(],1-∞ B.(],2∞- C.[]0,1 D.[]1,22.函数()f x =）A .(,0]-∞ B.[0,)+∞ C.(0,)+∞ D.(,)∞∞-+3.已知0.5log 2a =，0.52b =，20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a b c<< B.b c a<< C.a c b<< D.c b a <<4.已知,,R a b c ∈，则a b c ==是222a b c ab bc ac ++=++成立的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.德国天文学家，数学家开普勒（J.Kepier ，1571—1630）发现了八大行星的运动规律：它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比．已知天王星离太阳平均距离是土星离太阳平均距离的2倍，土星的公转时间约为10753d ．则天王星的公转时间约为（）A.4329dB.30323dC.60150dD.90670d6.下列可能是函数2||1x x y e-=（e 是自然对数的底数）的图象的是（）A.B.C.D.7.已知函数()2,75,63x x m f x x x m⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩的值域为R ，则实数m 的取值范围为（）A.[]0,1 B.[]0,2 C.[]1,1- D.[]1,2-8.已知0x >，0y >，且2x y xy +=，则211x yx y +++的最小值为（）A.45B.1C.32D.2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9.已知幂函数()y x R αα=∈的图象过点（2，8），下列说法正确的是（）A.函数y x α=的图象过原点B.函数y x α=是偶函数C.函数y x α=是单调减函数D.函数y x α=的值域为R 10.下列不等式中成立的是（）A.若0a b >>，则22ac bc >B.若0a b >>，则22a b >C.若0a b <<，则22a ab b >> D.若0a b <<，则11a b>11.已知()f x 是R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是单调减函数，则满足不等式()()212f t f t +>-的所有整数t 的值为（）A.2- B.1- C.0D.112.已知()f x 、()g x 都是定义在R 上的函数，且()f x 为奇函数，()g x 的图像关于直线1x =对称，则下列说法中一定正确的是（）A.()00f = B.()10g =C.()y g f x =⎡⎤⎣⎦为奇函数D.()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的图像关于直线1x =对称三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.式子1239log 27+的值是________14.已知函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()21f x g x x x +=-+，则()3g 的值是______.15.已知a ，b 是非零实数，若关于x 的不等式20x ax b -+≥恒成立，则212ba +的最小值是______.16.已知函数()2f x x ax =+-，当1a =时，函数()f x 的值域为______；若函数()f x 的最小值为2，则正实数a 的取值范围为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设全集U =R ，集合12644x A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，{}5B x x =>.（1）求U A B ð：（2）若集合{}C x x a =>满足B C B = ，求实数a 的取值范围.18.已知函数()222f x x x a =-+-，()xg x a =（0a >且1a ≠）.（1）若函数()f x 在(],21m -∞-上单调递减，求实数m 的取值范围；（2）若()()20f g =.①求实数a 的值；②设()1t f x =，()2t g x =，当()0,1x ∈时，试比较1t ，2t 的大小.19.已知某观光海域AB 段的长度为3百公里，一超级快艇在AB 段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q （单位：万元）与速度v （单位：百公里/小时）（03v ≤≤）的以下数据：v 0123Q0.71.63.3为描述该超级块艇每小时航行费用Q 与速度v 的关系，现有以下两种函数模型供选择：32Q av bv cv =++，0.5v Q a =+.（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使AB 段的航行费用最少?并求出期少航行费用.20.已知()42135x f x a++=+（0a >且1a ≠）．（1）求函数()y f x =的解析式，并写出函数()y f x =图象恒过的定点；（2）若()235f x a>+，求x 的取值范围．21.已知二次函数()()2,f x x ax b a b =++∈R .（1）若()20f -=，且对于x ∈R ，()()11f x f x +=-恒成立，求a ，b 的值；（2）若函数()f x 的值域为[)1,+∞，关于x 的不等式()f x c <的解集为()(),8m m m +∈R ，求实数c 的值.22.设函数()()0,1xxf x a k aa a -=+⋅>≠是定义域为R 的奇函数.（1）求实数k 值；（2）若()10f <，试判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，不等式()()1192430x x f t f -+-+⋅++⋅<对任意实数x 均成立，求实数t 的取值范围.江苏省南通中学2023-2024学年第一学期期中考试高一数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}02A x x =≤≤，{}1B x x =≤，则A B = （）A.(],1-∞ B.(],2∞- C.[]0,1 D.[]1,2【答案】C 【解析】【分析】由交集定义计算．【详解】由已知{|01}A B x x = ≤≤．故选：C ．2.函数()f x =）A.(,0]-∞ B.[0,)+∞ C.(0,)+∞ D.(,)∞∞-+【答案】A 【解析】【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式，结合指数函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数()f x =120x-≥，即21x ≤，解得0x ≤，所以函数()f x 的定义域为(,0]-∞.故选：A.3.已知0.5log 2a =，0.52b =，20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a b c << B.b c a<< C.a cb << D.c b a<<【答案】C 【解析】详解】分析：利用对数函数与指数函数的性质，将a ，b ，c 与0和1比较即可.详解：0.5log 20a=<，0.521b =>；210.54c ==.故a c b <<.故选：C.点睛：对数函数值大小的比较一般有三种方法：①单调性法，在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底．②中间值过渡法，即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”，“1”或其他特殊值进行“比较传递”．③图象法，根据图象观察得出大小关系．4.已知,,R a b c ∈，则a b c ==是222a b c ab bc ac ++=++成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可.【详解】当a b c ==时，222223,3a b c a ab bc ac a ++=++=，所以222a b c ab bc ac ++=++，当222a b c ab bc ac ++=++时，2220a b c ab bc ac ++---=，所以2222222220a b c ab bc ac ++---=，所以()()()2222222220aab b a ac c b bc c -++-++-+=，所以()()()2220a b a c b c -+-+-=，因为()()()2220,0,0a b a c b c -≥-≥-≥，所以()()()2220a b a c b c -=-=-=，所以a b c ==，所以a b c ==是222a b c ab bc ac ++=++成立的充要条件，故选：C5.德国天文学家，数学家开普勒（J.Kepier ，1571—1630）发现了八大行星的运动规律：它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比．已知天王星离太阳平均距离是土星离太阳平均距离的2倍，土星的公转时间约为10753d ．则天王星的公转时间约为（）A.4329dB.30323d C.60150d D.90670d【答案】B 【解析】【分析】设天王星和土星的公转时间为分别为T 和T '，距离太阳的平均距离为r 和r '，根据2323T r T r =''，2rr '=，结合已知条件即可求解.【详解】设天王星的公转时间为T ，距离太阳的平均距离为r ，土星的公转时间为T '，距离太阳的平均距离为r '，由题意知：2r r '=，10753T d '=，所以323238T r r T r r ⎛⎫=== ⎪'''⎝⎭，所以1075310753 2.82830409.484T d '==≈⨯=，故选：B.6.下列可能是函数2||1x x y e -=（e 是自然对数的底数）的图象的是（）A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据函数的定义域和部分区间的函数值确定正确选项.【详解】函数2||1x x y e -=的定义域为R ，所以AB 选项错误.当1x >时，2||10x x y e-=>，所以D 选项错误.故选：C 【点睛】本小题主要考查函数图象的识别，属于基础题.7.已知函数()2,75,63x x m f x x x m⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩的值域为R ，则实数m 的取值范围为（）A.[]0,1 B.[]0,2 C.[]1,1- D.[]1,2-【答案】D 【解析】【分析】由函数值域为R ，利用指数函数和一次函数函数单调性以及画出函数图像分析即可解决问题.【详解】当x m <时，()7563f x x =+单调递增，所以()7563f x m <+当x m ≥时，()2x f x =单调递增，所以()2m f x ≥，要使得函数值域为R ，则75263m m +≥恒成立，令1275,263m y m y =+=，如图所示：由图可知12,y y 有两个交点，且交点的横坐标分别为121,2m m =-=，所以若要75263m m +≥，则[]1,2m Î-，也即函数()f x 的值域为R 时，则实数m 的取值范围为：[]1,2m Î-，故选：D.8.已知0x>，0y >，且2x y xy +=，则211x yx y +++的最小值为（）A.45B.1C.32D.2【答案】A 【解析】【分析】先根据题意得到112y x +=，从而得到1215y x y x+++=，再根据“1”的妙用及基本不等式即可求解．【详解】由0x>，0y >，2x y xy +=，则112y x +=，则11121125y x y x y x+++++=+=，所以12112112115x y x y y x x y x y y x ⎛⎫⎛⎫+++=+⨯+⨯ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭1211112115x y y x x y y x ⎛⎫++=⨯+++⨯++⎝⎭12114221155x y y x x y y x ⎛⎫++≥+⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪++⎝⎭．当且仅当121211x y y x x y y x ++⨯=⨯++，即2x =，23y =时，等号成立，所以211x y x y +++的最小值为45．故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知幂函数()y x R αα=∈的图象过点（2，8），下列说法正确的是（）A.函数y x α=的图象过原点B.函数y x α=是偶函数C.函数y x α=是单调减函数D.函数y x α=的值域为R 【答案】AD 【解析】【分析】根据幂函数所过点求得幂函数解析式，结合幂函数的图象与性质对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】由于幂函数y x α=过点()2,8，所以28α=，解得3α=，所以3y x =.()0,0，满足3y x =，A 选项正确.3y x =是奇函数，所以B 选项错误.3y x =在R 上递增，所以C 选项错误.3y x =值域为R ，所以D 选项正确.故选：AD【点睛】本小题主要考查幂函数的图象与性质，属于基础题.10.下列不等式中成立的是（）A.若0a b >>，则22ac bc > B.若0a b >>，则22a b >C.若0a b <<，则22a ab b >> D.若0a b <<，则11a b>【答案】BCD 解析】【分析】根据不等式的性质、差比较法判断出正确答案.【详解】A 选项，若0,0ab c >>=，则22ac bc =，所以A 选项错误.B 选项，若0a b >>，则()()22220,a b a b a b a b -=+->>，所以B 选项正确.C 选项，若0a b <<，0a b -<，则()220,a ab a a b a ab -=->>，()220,ab b b a b ab b -=->>，则22a ab b >>，所以C 选项正确.D 选项，若0a b <<，0b a ->，所以11110,b a a b ab a b--=>>，所以D 选项正确.故选：BCD 11.已知()f x 是R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是单调减函数，则满足不等式()()212f t f t +>-的所有整数t 的值为（）A.2- B.1- C.0 D.1【答案】ABC 【解析】【分析】利用函数的奇偶性和单调性，不等式转化为21<2t t +-，求解即可.【详解】已知()f x 是R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是单调减函数，则()f x 在(),0-∞上是单调增函数，由()()212f t f t +>-，得21<2t t +-，即23830t t +-<，解得133t -<<，范围内的整数有2,1,0--.故选：ABC12.已知()f x 、()g x 都是定义在R 上的函数，且()f x 为奇函数，()g x 的图像关于直线1x =对称，则下列说法中一定正确的是（）A.()00f = B.()10g =C.()y g f x =⎡⎤⎣⎦为奇函数D.()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的图像关于直线1x =对称【答案】AD 【解析】【分析】A.根据()f x 是定义在R 上的函数，且()f x 为奇函数判断；B.由()g x 的图像关于直线1x =对称，得到()()11g x g x -=+判断；C.利用奇偶性的定义判断；D.由()()11g x g x -=+，得到()()11f g x f g x 轾轾-=+臌臌判断.【详解】解：因为()f x 是定义在R 上的函数，且()f x 为奇函数，所以()00f =，故A 正确；因为()g x 是定义在R 上的函数，且()g x 的图像关于直线1x =对称，所以()()11g x g x -=+，()1g 不一定为0，故B 错误；因为()()()g f x g f x g f x 轾轾轾-=-¹-臌臌臌，故C 错误；因为()()11g x g x -=+，则()()11f g x f g x 轾轾-=+臌臌，所以()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的图像关于直线1x =对称，故D 正确.故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.式子1239log 27+的值是________【答案】6【解析】【分析】根据指数、对数运算，化简求得表达式的值.【详解】依题意，原式()123233log 3336=+=+=.故答案为：6【点睛】本小题主要考查指数、对数运算，属于基础题.14.已知函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()()21f x g x x x +=-+，则()3g 的值是______.【答案】3-【解析】【分析】由()()21f xg x x x +=-+可得()()21f xg x x x -+-=++，从而结合奇偶性根据函数的奇偶性可得()()21f x g x x x -=++，于是解得()g x x =-，即可得所求.【详解】因为()()21f x g x x x +=-+①，所以()()21f xg x x x -+-=++由函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，则()(),()()f x f xg x g x =-=--所以()()21f x g x x x -=++②则①-②可得：()22g x x =-，所以()g x x =-则()33g =-．故答案为：3-．15.已知a ，b 是非零实数，若关于x 的不等式20x ax b -+≥恒成立，则212ba +的最小值是______.【答案】2解析】【分析】由题意得240a b -≤，再利用基本不等式求解即可【详解】因为a ，b 是非零实数，且不等式20x ax b -+≥恒成立，所以20x ax b -+=有两个相等的实数根或无实数根，即240a b ∆=-≤得24a b ≤，2112422b b a b +≥+≥=，当且仅当24142a bb b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得22a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩满足条件且同时取等号.故答案为：216.已知函数()2f x x ax =+-，当1a =时，函数()f x 的值域为______；若函数()f x 的最小值为2，则正实数a 的取值范围为______.【答案】①.[)2,+∞②.(]0,1【解析】【分析】(1)1a =代入函数解析式，利用零点分段讨论，去绝对值，根据单调性，求函数的值域.(2)a 为正实数时，利用零点分段讨论，去绝对值，分类讨论函数的单调性，求函数最小值，得到函数最小值为2时a 的取值范围.【详解】(1)当1a =，函数()22,02=2,0222,2x x f x x x x x x -<⎧⎪=+-≤<⎨⎪-≥⎩，0x <时，()22f x x =-单调递减，有()()02f x f >=；02x ≤<时，()2f x =；2x ≥时，()22f x x =-单调递增，有()()22f x f ≥=，所以当1a =，函数()f x 的值域为[)2,+∞.(2)a 为正实数时，()()()()21,022=12,0212,a x x f x x ax a x x a a x x a ⎧⎪-+<⎪⎪=+--+≤<⎨⎪⎪+-≥⎪⎩，0x <时，()()21f x a x =-+单调递减，有()()02f x f >=；2x a ≥时，()()12f x a x =+-单调递增，有()22f x f a a⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，20x a ≤<时，()()12f x a x =-+，①若01a <<，函数()()12f x a x =-+单调递增，有a 22<，()22f x a ≤<，此时函数()2f x x ax =+-有最小值2，符合题意；②若1a =，()2f x =，22a=，此时函数()2f x x ax =+-有最小值2，符合题意；③若1a >，函数()()12f x a x =-+单调递减，有a 22>，()22f x a <≤，此时函数()2f x x ax =+-有最小值2a ，a22>，不合题意.综上可知，正实数a 的取值范围为(]0,1.故答案为：[)2,+∞；(]0,1.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设全集U =R ，集合12644x A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，{}5B x x =>.（1）求U A B ð：（2）若集合{}Cx x a =>满足B C B = ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}|25U A B x x =-<≤ ð（2）5a ≤【解析】【分析】（1）求出集合A 、U B ð，再求交集可得答案；（2）根据B CB = 可得BC ⊆，求出a 的范围即可.【小问1详解】{}{}261264222264x x A x x x x -⎧⎫=≤≤=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，{}|5U B x x =≤ð，所以{}|25U A B x x =-<≤ ð；【小问2详解】若B CB = ，则B ⊆，所以5a ≤，所以实数a 的取值范围为5a ≤.18.已知函数()222f x x x a =-+-，()x g x a =（0a >且1a ≠）.（1）若函数()f x 在(],21m -∞-上单调递减，求实数m 的取值范围；（2）若()()20f g =.①求实数a 的值；②设()1t f x =，()2t g x =，当()0,1x ∈时，试比较1t ，2t 的大小.【答案】（1）(],1-∞（2）12t t <【解析】【分析】（1）根据二次函数的单调性求解即可；（2）根据两个函数在()0,1上的值域来比较较1t ，2t 的大小即可.【小问1详解】函数()222f x x x a =-+-，对称轴1x =，所以函数()f x 在(],1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增，若函数()f x 在(],21m -∞-上单调递减，则211m -≤，1m £，故实数m 的取值范围为(],1-∞.【小问2详解】①()()20f g =，即20242=a a -+-，解得3a =；②当()0,1x ∈时，()()()212232=10,1x x t f x x =-+-∈=-，()()2=31,3x t g x =∈，所以121t t <<，即12t t <.19.已知某观光海域AB 段的长度为3百公里，一超级快艇在AB 段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q （单位：万元）与速度v （单位：百公里/小时）（03v ≤≤）的以下数据：v0123Q 00.7 1.6 3.3为描述该超级块艇每小时航行费用Q 与速度v 的关系，现有以下两种函数模型供选择：32Q av bv cv =++，0.5v Q a =+.（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使AB 段的航行费用最少?并求出期少航行费用.【答案】（1）选择函数模型32Q av bv cv =++；()320.10.20.803Q v v v v =-+≤≤（2）该超级快艇应以1百公里/小时速度航行才能使AB 段的航行费用最少为2.1【解析】【分析】（1）对题中所给的函数解析式进行分析，对应其性质，结合题中所给的条件，作出正确的选择，之后利用待定系数法求得解析式；（2）根据题意列出函数解析式，之后应用配方法求得最值，得到结果.【小问1详解】若选择函数模型0.5v Q a =+，则该函数在[]0,3v ∈上为单调减函数，这与实验数据相矛盾，所以不选择该函数模型.从而只能选择函数模型32Q av bv cv =++，由实验数据可得：0.7842 1.62793 3.3a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，得0.10.20.8a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故所求函数解析式为()320.10.20.803Q v v v v =-+≤≤.【小问2详解】设超级快艇在AB 段的航行费为y （万元），则所需时间为3v（小时），其中03v ≤≤，结合（1）知()()23230.10.20.8v 0.317y v v v v ⎡⎤=-+=-+⎣⎦，所以当1v =时，y 取最小值为2.1所以当该超级快艇应以1百公里/小时速度航行才能使AB 段的航行费用最少为2.120.已知()42135x f x a ++=+（0a >且1a ≠）．（1）求函数()y f x =的解析式，并写出函数()y f x =图象恒过的定点；（2）若()235f x a>+，求x 的取值范围．【答案】（1）()7235x f x a +=+，定点()7,8-；（2）见解析.【解析】【分析】（1）令21xt +=，可得出12t x -=，然后利用换元法可求出函数()y f x =的解析式，并利用指数等于零求出函数()y f x =图象所过定点的坐标；（2）由()235f x a>+，可得出722x a a +->，然后分01a <<和1a >两种情况讨论，利用函数x y a =的单调性可解出不等式722x a a +->.【详解】（1）令21x t +=，可得出12t x -=，()174223535t t f t a a -++∴=+=+，()7235x f x a +∴=+，令702x +=，得7x =-，且()07358f a -=+=，因此，函数()y f x =图象恒过的定点坐标为()7,8-；（2）由()235f x a >+，即7223355x a a++>+，可得722x a a +->.当01a <<时，函数x y a =是减函数，则有722x +<-，解得11x <-；当1a >时，函数x y a =是增函数，则有722x +>-，解得11x >-.【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，同时也考查了指数型函数图象过定点以及指数不等式的求解，一般在解指数不等式时，需要对底数的取值范围进行分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.21.已知二次函数()()2,f x x ax b a b =++∈R .（1）若()20f -=，且对于x ∈R ，()()11f x f x +=-恒成立，求a ，b 的值；（2）若函数()f x 的值域为[)1,+∞，关于x 的不等式()f x c <的解集为()(),8m m m +∈R ，求实数c 的值.【答案】（1）2a=-，8b =-（2）=17c 【解析】【分析】（1）根据条件得出关于,a b 的方程，解出即可；（2）先由顶点坐标得,a b 关系，则不等式化为2244a x ax c +++<，则,8m m +是对应方程的两根，结合韦达定理即可求.【小问1详解】由()()11f x f x +=-，得22(1)(1)1)1(()a b a bx x x x ++=+-+++-，解得2a =-由()20f -=，得()2420f a b -=-+=，则8b =-.【小问2详解】函数()f x 的值域为[)1,+∞，又其顶点坐标为24(,24a b a --，即2414b a -=，则244a b +=，不等式()f x c <可化为：2244a x ax c +++<，即22404a x ax c +++-<的解集为(),8m m +，即方程22404a x ax c +++-=的两根为12,8x m x m ==+，所以1221244x x a a x x c +=-⎧⎪⎨+⋅=-⎪⎩，可得22121212||()464x x x x x x -=+-⋅=，即224()4()644a a c +---=，解得=17c 22.设函数()()0,1x x f x a k a a a -=+⋅>≠是定义域为R 的奇函数.（1）求实数k 值；（2）若()10f <，试判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，不等式()()1192430x x f t f -+-+⋅++⋅<对任意实数x 均成立，求实数t 的取值范围.【答案】22.1k =-23.()f x 在R 上单调递减，证明见解析24.6t >-【解析】【分析】（1）由()00f =求得k 的值.（2）由()10f <求得a 的取值范围，利用函数单调性的定义证得()f x 在R 上单调递减.（3）根据函数的单调性、奇偶性化简不等式()()1192430x x f t f -+-+⋅++⋅<，利用分离常数法，结合二次函数的性质求得t 的取值范围.【小问1详解】由于()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()010,1f k k =+==-，此时()x x f x a a -=-，()()x x f x a a f x --=-=-，满足()f x 是奇函数，所以1k =-.【小问2详解】由（1）得()()0,1x x f x a a a a -=->≠，若()()()2111110a a a f a a a a+--=-==<，则01a <<，所以()f x 是减函数，证明如下：任取12x x <，则()()()112212x x x x f x f x a a a a ---=---1221122111x x x x x x x x a a a a a a a a --=-+-=-+-()121212121211x x x x x x x x x x a a a a a a a a a a -⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，由于12x x <，01a <<，所以1212,0x x x x a a a a >->，所以()()()()12120,f x f x f x f x ->>，所以()f x 在R 上单调递减.【小问3详解】由（1）得()()0,1x x f x a a a a -=->≠，()f x 是定义在R 上的奇函数，依题意，不等式()()1192430x x f t f -+-+⋅++⋅<恒成立，即()()119243x x f t f -+-+⋅+<-⋅恒成立，由（2）得()f x 在R 上单调递减，所以119243x x t -+-+⋅+>-⋅，1112143439322x x x x t -+-+-+-+-+=⋅--⋅>()211211122232333x x x x ++-+-+⎛⎫=-+=-+⋅ ⎪⎝⎭恒成立，令13,10,1x t x t +=+≥≥，则对于函数()221y t t t =+≥，函数在[)1,+∞上单调递增，最小值为21213+⨯=，所以()2113232x x ++-+⋅的最大值为236-´=-，所以6t >-.【点睛】根据奇函数的定义求参数，当奇函数在0x =处有定义时，必有()00f =，由这个方程求得参数后，要注意验证函数是否满足奇偶性的定义.求解二次项的函数的最值问题，可以考虑利用换元法，结合二次函数的性质来进行求解.。

福建省厦门第一中学2023-2024学年高一上学期期中考试数
学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
x
1
．．
．．
二、多选题
三、填空题
四、解答题
(1)求函数()y M x =的解析式并画出其图象；
(2)对于任意的[2,)x ∈+∞，不等式()(2)1M x a x ≥--恒成立，求实数20．某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润其关系如图①；B 产品的利润2y 与投资的算术平方根成正比，其关系如图②．润和投资单位：万元）
（1）分别求出A,B 两种产品的利润与投资之间的函数关系式；
（2）已知该企业已筹集到20万元资金，并将其全部投入A 分配这20万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润为多少万元？
21．已知函数()()2ln e x
f x m x =+-．
(1)当1m =时，判断()f x 的奇偶性并证明；
(2)若函数()3ln 1e x g x ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
的图象上存在两点A ，B ，其关于函数()f x 的图象上，求实数m 的取值范围．
为自然对数的底数，且e 2.71828= ）(1)求m ；
(2)证明：存在直线y b =与函数()y f x =，()y g x =恰好共有三个不同的交点；(3)若（2）中三个交点的横坐标分别为1x ，2x ，3x ()123x x x <<，求1232x x x ++的值．。

陕西2023—2024学年度第一学期期中考试高一年级数学试题（答案在最后）一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.集合{}2,N A x x x =≤∈，则集合A 的非空真子集个数为（）A.2B.3C.6D.72.命题“1x ∀>，210x -≤”的否定是（）A.1x ∃>，210x ->B.1x ∃≥，210x ->C.1x ∃≥，210x -< D.1x ∃<，210x -≥3.“2x >”的一个充分不必要条件是（）A.22x -<< B.42x -<≤ C.2x >- D.2x >4.已知关于x 的不等式250ax x c ++>的解集为{}14x x <<，250ax x c -+≥的解集为（）A.{}14x x ≤≤B.{}41x x x ≤-≥-或C.{}41x x -≤≤- D.{}14x x x ≤≥或5.记地球与太阳的平均距离为R ，地球公转周期为T ，万有引力常量为G ，则太阳的质量2324πR M GT =（单位： k g ）.由32lg 28.7R GT≈，lg 20.3≈，lg π0.5≈，计算得太阳的质量约为（）A.292g10k ⨯ B.30210kg⨯ C.29310kg⨯ D.30310kg⨯6.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设m ，n ，x ，y 均为大于零的实数，则()222m n m n x y x y++≥+，当且仅当m n x y =时等号成立．根据权方和不等式，函数()2210144f x x x x ⎛⎫=+<< ⎪-⎝⎭的最小值为（）A.4B.8C.16D.187.定义域为R 的函数()f x 满足()()33f x f x -=+，且当213x x >>时，()()()()12120f x f x x x ->-恒成立，设()225a f x x =-+，52b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()24c f x =+，则（）A.c a b >>B.c b a >>C.a c b>> D.b c a>>8.已知函数()1f x x =+，若()()122f m f m -+>，则m 的取值范围是（）A.()1,-+∞ B.()1,+∞ C.(),1-∞- D.(),1-∞二、选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，部分选对的得-分有选错的得0分．）9.图中阴影部分用集合符号可以表示为（）A.()U B A C ⋂⋃ðB.()()U A B B C ðC.()U A C B ð D.()()UUA B C B痧10.下列命题为真命题的是()A.若22ac bc >，则a b> B.若0a b >>，则22a b >C.若0a b <<，则22a ab b << D.若0a b <<，则11a b<11.已知112212(,),(,)()A x y B x y x x <是幂函数12()f x x =图像上的任意两点，则以下结论正确的是（）A .1122()()x f x x f x < B.121212()()(),0f x f x x x x x ≠<C.2121()()0f x f x x x ->- D.1221()()()22x x f x f x f ++>12.设函数()f x 的定义域为R ，满足()()22f x f x =-，且当(]0,2x ∈时，()()2f x x x =-，若对任意(],x t ∈-∞，都有()3f x ≤，则实数t 的取值可以是（）A.4B.92C.112D.6三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分．）13.已知)13fx +=+，则()5f 的值为_____________．14.已知实数a ，b 满足()()lg 3lg lg 2a b a b +=+，则2+a b 的最小值为_____________．15.“函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数”．该结论可以推广为：“函数()y f x =的图象关于(),P m n 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x m n =+-为奇函数”．则函数()3231f x x x =-+的对称中心为______________．16.已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，()221,0245,21x x x f x x x x ⎧-++≤≤⎪=⎨->⎪+⎩，如果关于x 的方程()()210m f x nf x ++=⎡⎤⎣⎦恰有7个不同的实数根，那么m n +的值等于______________．四、解答题（本题共5小题，共56分．第17-18题每题满分10分，19-21题每题满分12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知集合{}2812A x x x =-+>，{}12B x t x t =+<<．（1）当2t =时，求A B ⋃；（2）若A B B = ，求实数t 的取值范围．18.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，()22f x x x =--．（1）求函数()()f x x ∈R 的解析式；（2）作出函数()()f x x ∈R 的图象，并根据图象写出函数()f x的单调增区间和减区间．19.2023年，8月29日，华为Mate60Pro 在华为商城正式上线，成为全球首款支持卫星通话的大众智能手机.其实在2019年5月19日，华为被美国列入实体名单，以所谓科技网络安全为借口，对华为施加多轮制裁.为了进一步增加市场竞争力，华为公司计划在2020年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本300万，每生产(x 千部)手机，需另投入成本()R x 万元，且()21010005010000701945050x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，，由市场调研知此款手机售价0.7万元，且每年内生产的手机当年能全部销售完.（1）求出2020年的利润()(w x 万元)关于年产量(x 千部)的表达式;（2）2020年年产量为多少(千部)时，企业所获利润最大最大利润是多少?20.设函数()f x 对任意,R x y ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，当0x <时，()0f x >，()11f -=．（1）判断函数()f x 的奇偶性和单调性，并加以证明；（2）当[]2,1x ∈-时，求函数()()g x f x =-的值城．21.已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且满足()()12xf xg x --=.（1）求()f x 、()g x ；（2）若方程()()229mf x g x m =++⎡⎤⎣⎦有解，求实数m 的取值范围；（3）若()()()112h x f x g x =+-⎡⎤⎣⎦，且方程()()21202h x k h x k ⎛⎫-++=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭有三个解，求实数k 的取值范围.陕西2023—2024学年度第一学期期中考试高一年级数学试题一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.集合{}2,N A x x x =≤∈，则集合A 的非空真子集个数为（）A .2B.3C.6D.7【答案】C 【解析】【分析】用集合的性质计算即可.【详解】因为集合{}2,N A x x x =≤∈，所以{}0,1,2A =所以集合A 的子集个数为328=个，去掉它本身和空集，还剩6个，故选：C2.命题“1x ∀>，210x -≤”的否定是（）A.1x ∃>，210x ->B.1x ∃≥，210x ->C.1x ∃≥，210x -<D.1x ∃<，210x -≥【答案】A 【解析】【分析】根据全称量词命题的否定求解.【详解】命题“1x ∀>，210x -≤”的否定是1x ∃>，210x ->,故选:A.3.“2x >”的一个充分不必要条件是（）A.22x -<<B.42x -<≤ C.2x >- D.2x >【答案】D 【解析】【分析】结合绝对值不等式的解法，利用充分条件、必要条件的概念判断即可.【详解】由||2x >解得<2x -或2x >，对于A ，由22x -<<得不到2x >，由2x >得不到22x -<<，所以22x -<<是2x >的既不充分也不必要条件，不合题意；对于B ，由42x -<≤得不到2x >，由2x >得不到42x -<≤，所以42x -<≤是2x >的既不充分也不必要条件，不合题意；对于C ，由2x >-得不到2x >，由2x >得不到2x >-，所以2x >-是2x >的既不充分也不必要条件，不合题意；对于D ，当2x >成立时，一定有||2x >，但是||2x >成立时，不一定有2x >成立，所以2x >是2x >的一个充分不必要条件.故选：D.4.已知关于x 的不等式250ax x c ++>的解集为{}14x x <<，250ax x c -+≥的解集为（）A.{}14x x ≤≤B.{}41x x x ≤-≥-或C.{}41x x -≤≤- D.{}14x x x ≤≥或【答案】C 【解析】【分析】根据不等式的解集可知a<0且250ax x c ++=的两根为1，4，然后利用根与系数的关系求出a 与c 的值，代入不等式250ax x c -+≥，解之即可【详解】依题意a<0且250ax x c ++=的两根为1，4由韦达定理知51414ac a⎧-=+⎪⎪⎨⎪=⨯⎪⎩，∴14a c =-⎧⎨=-⎩，代入250ax x c -+≥得2540x x ---≥，即()()140x x ++≤，∴41x --≤≤，从而所求不等式的解集为{}41x x -≤≤-，故选：C.5.记地球与太阳的平均距离为R ，地球公转周期为T ，万有引力常量为G ，则太阳的质量2324πR M GT =（单位： k g ）.由32lg 28.7R GT≈，lg 20.3≈，lg π0.5≈，计算得太阳的质量约为（）A.292g 10k ⨯B.30210kg⨯ C.29310kg⨯ D.30310kg⨯【答案】B 【解析】【分析】先由题意在2324πR M GT =中两边取对数并代入数据得32lg lg 2lg π2lg 230lg 2R M GT=++≈+，然后化为指数形式即可求解.【详解】由题意在2324πR M GT =中两边取对数得，33222lg lg lg 4πlg 2lg π2lg 2R R M GT GT =+++=，因为32lg 28.7R GT≈，lg 20.3≈，lg π0.5≈，所以32lg lg 2lg π2lg 228.720.50.3lg 230lg 2R M GT ++≈+⨯++=+=，所以lg 30lg2lg2303010101010210M M +===⨯=⨯，综上所述：计算得太阳的质量约为30210kg ⨯.故选：B.6.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设m ，n ，x ，y 均为大于零的实数，则()222m n m n x y x y++≥+，当且仅当m n x y =时等号成立．根据权方和不等式，函数()2210144f x x x x ⎛⎫=+<< ⎪-⎝⎭的最小值为（）A.4B.8C.16D.18【答案】D 【解析】【分析】利用权方和不等式求解.【详解】()((222221814414414f x x x xxx x+=+=+≥=--+-，当且仅当414x x=-，即16x =时取得等号，所以函数()f x 的最小值为18，故选:D.7.定义域为R 的函数()f x 满足()()33f x f x -=+，且当213x x >>时，()()()()12120f x f x x x ->-恒成立，设()225a f x x =-+，52b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()24c f x =+，则（）A.c a b >>B.c b a >>C.a c b>> D.b c a>>【答案】C 【解析】【分析】根据函数的对称性和单调性比较大小即可求解.【详解】因为定义域为R 的函数()f x 满足()()33f x f x -=+，所以函数()f x 的图象关于3x =对称，所以2752b f f ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为当213x x >>时，()()()()12120f x f x x x ->-，所以函数()f x 在()3,+∞单调递增，则在(),3-∞单调递减，因为22221325(4)1()024x x x x x x -+-+=-+=-+>，所以22725432x x x -+>+>>，所以()()2272542f x x f x f ⎛⎫-+>+> ⎪⎝⎭，即a c b >>，故选:C ,8.已知函数()1f x x =+，若()()122f m f m -+>，则m 的取值范围是（）A.()1,-+∞ B.()1,+∞ C.(),1-∞- D.(),1-∞【答案】A 【解析】【分析】由题意构造函数()()1g x f x x =-=+，首先得出()g x 的单调性与奇偶性，然后将条件表达式等价转换即可得解.【详解】令()()1g x f x x =-=+，因为()g x 的定义域为R 关于原点对称，且()()()g x x x g x -=-=-=-，所以()g x 是R 上的奇函数，注意到幂函数y y x ==都是R 上的增函数，所以()g x 是R 上的增函数，而()()()()()()()1221121122f m f m f m f m g m g m g m -+>⇔-->--⇔->-=-⎡⎤⎣⎦，所以12m m ->-，解得1m >-，综上所述，m 的取值范围是()1,-+∞.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，利用函数单调性与奇偶性解不等式.二、选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，部分选对的得-分有选错的得0分．）9.图中阴影部分用集合符号可以表示为（）A.()U B A C ⋂⋃ðB.()()U A B B C ðC.()U A C B ðD.()()UUA B C B痧【答案】AD 【解析】【分析】根据所给图中阴影部分，结合集合的运算，可得答案。

2022-2023学年江苏省苏州中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}{}231,340x A x B x x x =≥=-->，则A B =（ ）A ．{}1x x <-B ．{}04x x <≤C ．{}4x x >D ．{10x x -<≤或}4x >【答案】C【分析】利用指数函数图象可得[)0A =+∞，，根据一元二次不等式可得B =4∞∞（，+)(-,-1)，进而求出A B ⋂.【详解】[)0A =+∞，，B =4（，+)(-，-1)∞∞，A B =4+∞（，） 故选：C.2．已知命题p ：x R ∃∈，23210ax ax ++≤是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(](),03,-∞+∞ B ．()(),03,-∞+∞ C ．()0,3 D ．[)0,3【答案】D【分析】根据一元二次不等式恒成立求解实数a 的取值范围. 【详解】由题意得p ⌝是真命题，即x R ∀∈，23210ax ax ++>， 当=0a 时，10>符合题意；当0a ≠时，有0a >，且2(2)430a a ∆=-⋅<，解得0<<3a . 综上所述，实数a 的取值范围是[)0,3. 故选:D.3．已知函数()y f x =的定义域为[]8,1-，则函数()()212f xg x x +=+的定义域是（ ）A ．()(],22,3-∞--B ．[)(]8,22,1---C ．9,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．(]9,22,02⎡⎫---⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】根据抽象函数和具体函数的定义域可得出关于x 的不等式组，由此可解得函数()g x 的定义域.【详解】因为函数()y f x =的定义域为[]8,1-，对于函数()()212f xg x x +=+，则有821120x x -≤+≤⎧⎨+≠⎩，解得922x -≤<-或20x -<≤.因此，函数()g x 的定义域为(]9,22,02⎡⎫---⎪⎢⎣⎭.故选：D. 4．已知函数41xf xa （a ＞0且a ≠1）的图象恒过定点A ，若点A 的坐标满足关于x y ，的方程()400mx ny m n +=>>，，则12m n+的最小值为（ ） A ．9 B ．24C ．4D ．6【答案】C【分析】由题意可得22m n +=，利用基本不等式求最值即可. 【详解】因为函数4()1(0,1)x f x a a a -=+>≠图象恒过定点(4,2) 又点A 的坐标满足关于x y ，的方程()400mx ny m n +=>>，， 所以424m n +=，即22m n += 所以12112(2)(2)m n m n m n+=++142(4)m n n m =++ 1)2(424m nm +=，当且仅当4m n n m=即21n m ==时取等号； 所以12m n+的最小值为4． 故选：C ．5．已知关于x 的不等式103mx x ->+的解集为()m n ,，则+m n 的值为（ ） A ．5- B ．103- C ．4- D ．5-或103-【答案】B【分析】分析可知0m <，且m 、n 为方程()()130mx x -+=的两根，分类讨论，求出m 、n 的值，即可得解.【详解】因为关于x 的不等式103mx x ->+的解集为()m n ,，则0m <， 而方程()()130mx x -+=的两根分别为1x m=，3x =-.若1==3<m m n m n -⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，无解；若=31=<m n m m n -⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得=31=3m n --⎧⎪⎨⎪⎩.因此，103m n +=-. 故选：B.6．若不等式210x ax -+≥对一切10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭都成立，则a 的最大值为（ ）A ．0B ．2C ．3D ．52【答案】D【分析】采用参变分离法对不等式变形，然后求解变形后的函数的值域，根据参数与新函数的关系求解参数最值.【详解】因为不等式210x ax -+≥对一切10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，所以对一切10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，21ax x ≤+，即21x a x+≤恒成立．令()21110,2x g x x x x x +⎛⎫==+∈ ⎪⎫⎪⎭⎝⎛ ⎭⎝． 易知()1g x x x =+在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内为减函数．所以()15>()=22g x g ， 故52a ≤，所以a 的最大值是52．故选：D7．已知函数()()()21,143,1x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩．若()()0f f m ≥，则实数m 的取值范围是（ ）．A ．[]22-,B ．[][)2,23,-⋃+∞ C．2,2⎡-⎣D．[)2,24,⎡-⋃+∞⎣【答案】D【分析】解不等式()0f x ≥得[][)1,13,-+∞，将问题转化为()[][)1,13,f m ∈-+∞，进而作出函数()f x 的图像，数形结合求解即可.【详解】解：当1x ≤时，()10f x x =-≥，解得11x -≤≤，当1x >时，()2430f x x x =-+≥，解得3x ≥，所以，当()()0f f m ≥时，()[][)1,13,f m ∈-+∞，令()1f x =-时，2x =-或2；令()3f x =时，4x =；令()1f x =时，0x =或22+， 所以，作出函数()f x 的图像如图， 当()[][)1,13,f m ∈-+∞时，实数m 的取值范围是[)2,224,⎡⎤-+⋃+∞⎣⎦.故选：D8．已知函数()2f x x a =+，()261g x x x =-+.若存在[]11,1x ∈-，[]21,1x ∈-，使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]6,10-B ．()6,10-C ．(][),610,-∞-⋃+∞D ．()(),610,-∞-⋃+∞【答案】A【分析】先求出()f x 与()g x 值域,A B ，由题意可知A B ⋂≠∅，由此即可求解 【详解】()[]2,1,1f x x a x =+∈-时单调递增函数，f x 的值域是[]2,2A a a =-+，()261g x x x =-+的对称轴是3x =，在[]1,1x ∈-上，函数单调递减，()g x ∴的值域是[]4,8B =-，因为存在[]11,1x ∈-，[]21,1x ∈-，使得()()21g x f x =， 所以A B ⋂≠∅,若A B ⋂=∅，则28a ->或24a +<-， 解得10a >或6a <-，所以当610a -≤≤时，A B ⋂≠∅， 故选：A二、多选题9．下列命题为真命题的是（ ） A ．若0a b >>，则22ac bc > B ．若0a b <<，则22a ab b >> C ．若0a b >>且0c <，则22c c a b> D ．若15x y -≤<≤，则60x y -≤-< 【答案】BCD【分析】根据已知条件，结合特殊值法和作差法，即可依次求解． 【详解】对于A ，当0c 时，22ac bc =，故A 为假命题， 对于B ，0a b <<，0a b ∴-<，2()0a ab a a b ∴-=->，2()0=->-b a b ab b ，22a ab b ∴>>，故B 为真命题，对于C ，0a b >>， 220a b ∴>>，即2211a b <， 0c <，∴22c ca b>，故C 为真命题， 对于D ，15x y -≤<≤，∴当=1x -，5y =时，取得最小值为6-，且0x y -< ∴60x y -≤-<故D 为真命题． 故选：BCD ．10．（多选）下列关于函数()f x = ） A ．单调递增区间是[]1,1- B ．单调递减区间是[)1,+∞ C ．最大值为2 D ．没有最小值【答案】AC【分析】先求()f x 的定义域排除选项B ，再利用一元二次函数的性质与复合函数的单调性求得()f x 的单调性，进而求其最值.【详解】要使函数有意义，则2230x x -++≥，得13x -≤≤，故B 错误；函数()f x ()f u ()222314u x x x =-++=--+复合而成，当[]1,1x ∈-时，223u x x =-++单调递增，当[]1,3x ∈时，223u x x =-++单调递减，又()f u [)0,∞+上单调递增，所以()f x []1,1-上单调递增，在[]1,3上单调递减，故()()max 12f x f ==,又()()130f f -==，所以()min 0f x =，故A ，C 正确，D 错误． 故选：AC.11．若4455x y x y ---<-，则下列关系正确的是（ ）A ．x y <B ．33y x -->C D ．133yx -⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】AD【分析】构造函数()45x xf x -=-，利用函数()f x 的单调性可得出x 、y 的大小关系，利用函数的单调性、中间值法可判断各选项的正误.【详解】由4455x y x y ---<-，得4545x x y y ---<-，令()45x xf x -=-，则()()f x f y <． 因为()4xg x =，()5x h x -=-在R 上都是增函数，所以()f x 在R 上是增函数，所以x y <，故A 正确；因为()3G x x -=在()0,∞+和(),0∞-上都单调递减，所以当0x y <<时，33x y -->，故B 错误；当0x <，0y <无意义，故C 错误；因为13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上是减函数，且x y <，所以1133yx⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即133yx -⎛⎫< ⎪⎝⎭，故D 正确．故选：AD ．12．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且当[0,1]x ∈时，()2f x x =，则（ ） A ．关于x 的方程1()2f x =在区间[0,5]上的所有实数根的和为254B ．关于x 的方程1()2f x =在区间[0,5]上的所有实数根的和为174C ．若函数()g x ax =与()y f x =的图象恰有5个不同的交点，则25a =或2237a -<<- D ．若函数()g x ax =与()y f x =的图象恰有5个不同的交点，则25a =-或2273a <<【答案】AC【分析】根据所给函数性质作出函数的大致图象，利用函数图象，数形结合求解即可. 【详解】定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x -=，所以(2)()()f x f x f x +=-=-，所以(4)()f x f x +=，即函数的周期4T =， 又函数为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =， 又(2)()f x f x -=，所以函数关于1x =对称， 当[0,1]x ∈时，1()22f x x ==，解得14x =，作函数的大致图象，如图，由图可知方程1()2f x =在区间[0,5]上的所有实数根的和为1252344+⨯=，故A 正确，B 错误；若函数()g x ax =与()y f x =的图象恰有5个不同的交点， 当0a >时，由图象可知，直线()g x ax =过点(5,2)时，即25a =时，满足题意， 当a<0时，找出两个临界情况，当直线y ax =过(3,2)-时，23a =-，有3个交点当直线y ax =过(7,2)-时，27a =-有3个交点，由图象知，当2237a -<<-时，直线y ax =与()y f x =的图象有5个交点.综上，当25a =或2237a -<<-时，函数()g x ax =与()y f x =的图象恰有5个不同的交点，故C 正确D 错误.故选：AC三、填空题 13．化简()312113321(0,0)4(0.1)a b a b---⎛⎫>>= ⎪⎝⎭⋅___________.【答案】85##1.6【分析】先将根式化为分数指数幂，然后由幂的运算化简可得.【详解】()311331133222222213333133222221(2)28(2)245(0.1)1010a b a b a ba ba b---------⎛⎫===⎪⎝⎭⋅ 故答案为：8514．已知()539f x ax bx cx =++-，且(3)12f -=，那么(3)f =___________【答案】30-【分析】设()53g x ax bx cx =++，得到()()9f x g x =-，且求得()321g =-，进而求得()3f 的值，得到答案.【详解】设()53g x ax bx cx =++，则()()9f x g x =-，易得定义域为R ，又()()5353()()()g x a x b x c x ax bx cx g x -=-+-+-=---=-，所以函数()g x 为奇函数，又因为(3)12f -=，即()3912g --=，可得()321g -=，所以()321g =-， 则(3)(3)921930f g =-=--=-. 故答案为：30-.15．已知0x >，0y >，若26x y xy ++=，则2x y +的最小值为_____________. 【答案】4【分析】因为0x >，0y >，将26x y xy ++=化为2122(2)x y x y ⋅=-+，利用基本不等式，转化为关于2x y +的一元二次不等式解决.【详解】因为0x >，0y >，且26x y xy ++=，所以6(2)xy x y =-+，即222122(2)2x y x y x y +⎛⎫⋅=-+≤ ⎪⎝⎭，化简得，2(2)8(2)480x y x y +++-≤，解得：24x y +≥或212x y +≤-，因为0x >，0y >，所以24x y +≥，当且仅当2x y =时，取“=”，所以2x y +的最小值为4. 故答案为：416．已知函数()()21,9321x x x x f x g x t -==-⋅+，若存在实数,a b 同时满足()()0f a f b +=和()()0g a g b +=，则实数t 的取值范围为___________. 【答案】[)1,+∞【分析】根据奇偶性定义求得()f x 为奇函数，从而可得=-b a ，从而可将()()0g a g a +-=整理为：()23322333333aaa a a aa at ----+-==+-++，令()332a a m m -=+≥，则2t m m=-在[)2,+∞有解，通过求解函数()()22h m m m m=-≥的值域可得到t 的取值范围. 【详解】()f x 的定义域是R ，且()()21221112x xx x f x f x ----===-++-，f x 为R 上的奇函数，又()()0f a f b +=b a ∴=-()()0g a g a ∴+-=93930a a a a t t --∴-⋅+-⋅=有解，即()()2333320a a a a t --+-+-=有解， 即()23322333333a aa a a aa a t ----+-==+-++ 令()332a am m -=+≥，则2t m m=-在[)2,+∞有解， 令()()22h m m m m=-≥，则()2210h m m '=+>，()h m ∴在[)2,+∞上单调递增， ()()22212h m h ∴≥=-=， 所以1t ≥，所以实数t 的取值范围为[)1,+∞， 故答案为：[)1,+∞四、解答题17．已知集合12324xA x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，{}22440,B x x x m m =-+-≤∈R ．(1)若3m =，求A B ⋃；(2)若存在正实数m ，使得“x A ∈”是“x B ∈”成立的 ，求正实数m 的取值范围． 从“①充分不必要条件，②必要不充分条件”中任选一个，填在上面空格处，补充完整该问题，并进行作答． 【答案】(1)[2,5]A B =-(2)答案见解析【分析】（1）分别求解两个集合，再求并集；（2）若选①，则A 是B 的真子集．若选②，则B 是A 的真子集,根据集合的包含关系，列不等式，即可求解m 的取值范围.【详解】（1）[]12322,54xA x ⎧⎫=≤≤=-⎨⎬⎩⎭因0m >，则()(){}[]220,2,2B x x m x m m R m m ⎡⎤⎡⎤=---+≤∈=-+⎣⎦⎣⎦． 当3m =时，[1,5]B =-，所以[2,5]AB =-．（2）选① 因“x A ∈”是“x B ∈”成立的充分不必要条件，则A 是B 的真子集．所以[)002244,253m m m m m m m ∞>>⎧⎧⎪⎪-≤-⇒≥⇒∈+⎨⎨⎪⎪+≥≥⎩⎩．经检验“=”满足．所以实数m 的取值范围是[4,)+∞．选② 因为“x A ∈”是“x B ∈”成立的必要不充分条件 所以B 是A 的真子集．所以(]002240,3253m m m m m m m >>⎧⎧⎪⎪-≥-⇒≤⇒∈⎨⎨⎪⎪+≤≤⎩⎩，经检验“=”满足．所以实数m 的取值范围是(0,3]．18．定义在R 上的函数f(x)满足：f(m ＋n)＝f(m)＋f(n)－2对任意m ，n ∈R 恒成立，当x ＞0时，f(x)＞2.(1)证明：f(x)在R 上是增函数，(2)已知f(1)＝5，解关于t 的不等式f(t －1)≤8.【答案】（1）见解析；（2）{|3}t t ≤【分析】(1) 根据定义判断函数单调性的步骤判断即可．(2) 根据f(1)＝5，利用表达式求得f(2)＝8，将不等式化为f(t －1)≤f(2).，进而根据函数的单调性即可求得t 的范围．【详解】(1)任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0.∴f(x 2－x 1)＞2，f(x 1)－f(x 2)＝f(x 1)－f(x 2－x 1＋x 1)＝f(x 1)－f(x 2－x 1)－f(x 1)＋2＝2－f(x 2－x 1)＜0.∴f(x 1)＜f(x 2)，∴f(x)在R 上是增函数．(2)∵f(1)＝5，∴f(2)＝f(1)＋f(1)－2＝8.由f(t －1)≤8得f(t －1)≤f(2)．∵f(x)在R 上为增函数，∴t －1≤2，即t≤3.∴不等式的解集为{t|t≤3}．【点睛】本题考查了利用定义判断函数的单调性，根据函数的单调性解相关的不等式问题，属于基础题．19．已知函数2()|2|f x x x x a =+-，其中a 为实数.(1)当1a =-时，求函数()f x 的最小值；(2)若()f x 在[1,1]-上单调递增，求实数a 的取值范围.【答案】(1)12- (2)2a ≤-或0a >.【分析】（1）首先去绝对值，表示为分段函数，再分别求两段的最小值，即可求函数的最小值； （2）分0a >，0a =和a<0三种情况讨论函数的单调性，再根据函数在区间[1,1]-上单调递增，列式求实数a 的取值范围.【详解】（1）当1a =-时，()2222,222,2x x x f x x x x x x ⎧+≥-=++=⎨-<-⎩ ， 221122222y x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，2x ≥-，此时当12x =-时函数取得最小值12-； 当<2x -时，函数2y x =-的值域是()4,+∞， 所以函数的最小值是12-； （2）()222,22,2x ax x a f x ax x a ⎧-≥=⎨<⎩， 当0a =时，()22,00,0x x f x x ⎧≥=⎨<⎩，不满足函数在[]1,1-单调递增；当0a >时，222y x ax =-在[)2,a +∞单调递增，2y ax =也是单调递增函数，且在2x a =处连续，所以函数在R 上单调递增，符合题意；当a<0时，函数在,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，在,2a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭单调递增，若()f x 在[1,1]-上单调递增，所以12a ≤-，得2a ≤-， 综上可知，a 的取值范围是2a ≤-或0a >.20．为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2021年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用()0t t ≥万元满足421k x t =-+（k 为常数）.如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件.已知2021年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）.（1）将该厂家2021年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数；（2）该厂家2021年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？【答案】（1）()1827021y t t t =--≥+；（2）该厂家2021年的年促销费用投入2.5万元时，厂家利润最大.【分析】（1）根据题意，当0=t 时，x =1，进而代入已知等式解出k ，然后求出每件产品的销售价格，最后得到函数的解析式；（2）根据（1）中的式子，结合基本不等式即可得到答案.【详解】（1）由题意，当0=t 时，x =1，则1431k k =-⇒=，于是3421x t =-+，所以()61231.56123636421x y x x t x t t x t +⎛⎫=⋅⋅-+-=+-=+-- ⎪+⎝⎭()1827021t t t =--≥+. （2）由（1），()1892727.50.527.521.5210.5y t t t t ⎡⎤=--=-++≤-=⎢⎥++⎣⎦， 当且仅当90.5 2.50.5t t t =+⇒=+时“=”成立. 所以，该厂家2021年的年促销费用投入2.5万元时，厂家利润最大.21．已知定义在R 上的函数14()4x x b f x a+-+=+是奇函数. （1）求,a b 的值：（2）当1(,1)2x ∈时，不等式4()30x mf x +->恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）4a =，1b =；（2）(,12]-∞-.【解析】（1）由题意利用函数的奇偶性的性质，求出a ､b 的值.（2）根据题意转化为14344(41)x x x m -⋅>-+恒成立，进而转化为44()m t t<⨯-恒成立，再根据函数4()4()h t t t=⨯-在区间(3,1)--上是减函数，求出1()h -的值，可得m 的范围. 【详解】（1）因为函数14()4x x b f x a+-+=+是定义在R 上的奇函数， 可得1(0)04b f a -==+，解得1b =，所以114()4xx f x a+-=+， 又由(1)(1)f f -=-，可得11144116a a --=-++，解得4a =， 所以函数的解析式为14()4(41)xx f x -=+. （2）不等式4()30x mf x +->恒成立，即14344(41)xx x m -⋅>-+恒成立， 因为1(,1)2x ∈，可得1404(41)x x -<+，所以(34)4(41)14x x xm -⋅+<-， 令14x t -=，则(3,1)t ∈--，且2(34)4(41)(2)4(2)4(4)44()14x x x t t t t t t t-⋅++⨯⨯--===⨯--. 所以44()m t t <⨯-恒成立， 令4()4()h t t t =⨯-，则函数4()4()h t t t=⨯-在区间(3,1)--上是减函数， 因为(1)12h -=-，所以m 12≤-.即实数m 的取值范围(,12]-∞-.【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.22．已知函数()f x =(1)求函数()f x 的值域；(2)设2()()2()2a F x f x f x ⎡⎤=-+⎣⎦（a<0），求()F x 的最大值()g a ； (3)对于（2）中的()g a，若22()m nm g a -+在[1,1]n ∈-上恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1)2⎤⎦；(2)()11,2212,02a g a a a a a a ≤⎪⎪=--<<-⎨⎪⎪+-≤<⎪⎪⎩； (3)(][){},22,0-∞-⋃+∞⋃.【分析】（1）先求定义域，进而先求出()2f x 的范围，最后求出函数的值域；（2）求出()F x ，设()t f x =，进而讨论函数()212t at t a ϕ=+-，2t ⎤∈⎦的最大值，然后讨论a与定义域2⎤⎦的位置关系，最后得出答案； （3）将问题转化为220m nm -≥在[]1,1n ∈-上恒成立，进而讨论m 为0和不为0两种情况，最后求得答案.【详解】（1）由10x +≥且10x -≥，得11x -≤≤．()[]()[]222210,1,2,4f x x f x =+-∈∴∈，且()0f x >，得()f x ⎤∈⎦，则函数()f x的值域为2⎤⎦．（2）()()()222a F x f x f x⎡⎤=-+=⎣⎦ 令()t f x =2112t -，2t ⎤∈⎦，所以2211122a t t at t a ⎛⎫=-+=+- ⎪⎝⎭， 令()212t at t a ϕ=+-，2t ⎤∈⎦，则()g a 为函数()212t at t a ϕ=+-，2t ⎤∈⎦的最大值． 易得函数212y at t a =+-的图象是开口向下的抛物线，且其对称轴为直线1t a =-． ①若(1t a =-∈，即a ≤()g a ϕ= ②若)12t a =-∈，即12a <<-，则()112g a a a a ϕ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭； ③若[)12,t a =-∈+∞，即102a -≤<，则()()22g a a ϕ==+． 综上可得()11,2212,02a g a a a a a a ≤⎪⎪=--<-⎨⎪⎪+-≤<⎪⎪⎩． （3）由（2）易得()min g a =要使()22m nm g a -+在[]1,1n ∈-上恒成立，即使()2min 2m nm g a -+[]1,1n ∈-恒成立，所以220m nm -≥在[]1,1n ∈-上恒成立．令()22h n m nm =-，[]1,1n ∈-，若0m =，则()00h n =≥对任意[]1,1n ∈-恒成立；若0m ≠，则有()()1010h h ⎧-≥⎪⎨≥⎪⎩，即222020m m m m ⎧+≥⎨-≥⎩， 解得2m ≥或2m ≤-．综上，实数m 的取值范围是(][){},22,0-∞-⋃+∞⋃．【点睛】关键点点睛：本题对()F x =这时候需要找到三个根式之间的关系，在通过（1进而通过换元法进行处理.。

北京2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共8道小题，每小题4分，满分32分.） 1．若a ，b 是实数，则“2a >”是“24a >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】由a ，b 是实数，知：“2a >” ⇒ “24a >”， “24a >” ⇒ “2a >或2a <-”，∴ “2a >”是“24a >”的充分不必要条件．【答案】A2．下列各组函数是同一函数的是( )A ．||x y x=与1y = B ．y 1y x =-C ．2x y x =与y x =D ．321x xy x +=+与y x =【解析】针对选项||:x A y x=的定义域为{|0}x x ≠，函数1y =的定义域为x R ∈， 故错误．对于选项:|1|B y x =-和函数1y x =-不相等，故错误．对于选项2:x C y x =的定义域为{|0}x x ≠，函数y x =的定义域为x R ∈，故错误．对于选项32:1x xD y x +=+的定义域为x R ∈，函数y x =的定义域为x R ∈，故正确．【答案】D3．命题“对任意x R ∈，都有20x ”的否定为( ) A ．对任意x R ∈，都有20x <B ．不存在x R ∈，都有20x <C ．存在0x R ∈，使得20xD ．存在0x R ∈，使得20x < 【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x R ∈，都有20x ”的否定为．存在0x R ∈，使得20x <． 【答案】D4．向一个圆台形的容器（如图所示）中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水体积相等，记容器内水面的高度y 随着时间t 变化的函数为()y f t =，则以下函数图像中，可能是()y f t =的图像的是( )A ．B ．C ．D ．【解析】由圆台形的容器形状可知，其下底半径比上底半径小，则函数的变化率越来越慢，由选项可知，只有选项A 符合题意． 【答案】A5．已知实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是( )A ．b a c a -<+B ．2c ab <C ．c c b a> D ．||||b c a c <【解析】（法1)根据数轴可得0c b a <<<且||||||c b a >>，对于A ：因为c b <，0a <，所以c a c +<，b a b ->，则c a c b a +<<-， 即c a b a +<-，故A 错误；对于B ：因为0c b a <<<，||||||c b a >>，所以222c b a >>，且2b ab >， 所以22c b ab >>，则2c ab >，故B 错误； 对于C ：因为0b a <<，所以11b a >，则c cb a<，故C 错误； 对于D ：因为||||b a >，且0c <，所以||||b c a c <，故D 正确， （法2)不妨令5c =-，4b =-，1a =-，则63c a b a +=-<-=-，故A 错误；2254c ab =>=，故B 错误；554c cb a=<=， 故C 错误．【答案】D6．已知定义域为R 的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减，且f （2）0=，则满足()0xf x 的x 的取值范围是( )A ．(-∞，2][2-，)+∞B ．[2-，2]C ．[2-，0)(0⋃，2]D ．[2-，0)[2，)+∞【解析】定义域为R 的奇函数()f x 在(,0)-∞单调递减， 可得()()f x f x -=-，且()f x 在(0,)+∞上是减函数， 因为f （2）0=，所以(2)f f -=（2）0=，且(0)0f =， 由()0xf x ，可得0x =时成立；当0x >时，()0f x f =（2），解得02x <； 当0x <时，()0(2)f x f =-，解得20x -<． 综上可得，22x -． 【答案】B7．已知函数(3)5,1()2,1a x x f x a x x -+⎧⎪=⎨>⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(0，2]C ．(0,3)D ．(0，3]【解析】因为()f x 为R 上的减函数， 所以1x 时，()f x 递减，即30a -<①，1x >时，()f x 递减，即0a >②，且(3)152a a -⨯+③，联立①②③解得，02a <． 【答案】B8．设函数()f x 在(,)-∞+∞上有意义，且对于任意的x ，y R ∈，有|()()|||f x f y x y -<-并且函数(1)f x +的对称中心是(1,0)-，若函数()()g x f x x -=，则不等式2(2)(2)0g x x g x -+-<的解集是( ) A ．(-∞，1)(2⋃，)+∞ B ．(1,2) C ．(-∞，1](2,)-+∞D ．(1,2)-【解析】由函数(1)f x +的对称中心是(1,0)-，可得()f x 的图象关于(0,0)对称即()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，()()g x f x x -=，()()g x f x x ∴=+，()()()()g x f x x f x x g x ∴-=--=--=-，对于任意的x ，y R ∈，有|()()|||f x f y x y -<-， |()()()|||g x g y x y x y ∴---<-，∴|()()()|1||g x g y x y x y ---<-，即()()|1|1g x g y x y--<-，()()02g x g y x y -∴<<-，即()0g x '>，()g x ∴单调递增， 2(2)(2)0g x x g x -+-<，2(2)(2)(2)g x x g x g x ∴-<--=-，222x x x ∴-<-， 整理可得，2320x x -+>， 解可得2x >或1x <． 【答案】A二、填空题（本大题共4道小题，每小题5分，共20分.）9．已知集合{|1}A x x =>，{|}B x x a =>，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 ． 【解析】集合{|1}A x x =>，{|}B x x a =>，若A B ⊆，则1a ． 【答案】(-∞，1]10．某班“数学兴趣小组”对函数22||(y x x a a =-++为常数）的图象和性质进行了探究，探究的部分过程如下，请补充完整．（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下：其中，m = ．（2）根据如表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．观察函数图象发现：函数的值域为 ．【解析】（1）由对应值列表可知，当3x =-时，2y =-，则2(3)2|3|2a --+-+=-， 解得1a =，则22||1y x x =-++，当2x =-时，2(2)2|2|11m =--+-+=； （2）图象如下：函数的值域为(-∞，2]．【答案】（1）1；（2）图象见解答；(-∞，2]11．若关于x 的不等式组2142x a x a ⎧->⎨-<⎩解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ．【解析】解2142x a x a⎧->⎨-<⎩得：2124a x a +<<+；不等式的解集不是空集；2124a a ∴+<+；解得13a -<<；∴实数a 的取值范围是(1,3)-．【答案】(1,3)-12．函数2()241f x x x =-+，()2g x x a =+，若存在1x ，21[2x ∈，1]，使得12()()f x g x =，则a 的取值范围是 ．【解析】因为函数22()2412(1)1f x x x x =-+=--， 当11[,1]2x ∈时，函数单调递减，则1()[1f x ∈-，1]2-，函数()2g x x a =+在1[2，1]上单调递增，所以2()[1g x a ∈+，2]a +，若存在1x ，21[2x ∈，1]，使得12()()f x g x =，则[1-，1][12a -+，2]a +≠∅，当[1-，1][12a -+，2]a +=∅时，只需112a +>-或21a +<-，解得32a >-或3a <-，所以当[1-，1][12a -+，2]a +≠∅时，332a --，即实数a 的范围为[3-，3]2-．【答案】[3-，3]2-三、解答题（本大题共4道小题，每小题12分，共48分.）13．（12分）已知U R =且{|16}A x x =-<<，{||2|1}B x x =-．求： （1）AB 和AB ；（2）()()U U A B ．解：（1）{||2|1}{|21B x x x x =-=-或21}{|3x x x --=或1}x ， 又{|16}A x x =-<<，所以{|11A B x x =-<或36}x <，AB R =．（2）{|1U A x x =-或6}x ，{|13}UB x x =<<，所以()()U U A B =∅．14．（12分）已知二次函数()f x 的图象过原点，满足(1)(1)f x f x +=-且最小值为1-． （1）求()f x 的解析式；（2）若函数()f x 在区间[a ，1]a +上单调，求实数a 的取值范围．解：（1）因为函数的图象过原点，则可设函数的解析式为2()(0)f x ax bx a =+≠， 由(1)(1)f x f x +=-可得函数的对称轴为1x =，则12ba-=，且f （1）1=-， 即1a b +=-， 解得1a =，2b =-，所以函数的解析式为2()2f x x x =-；（2）因为函数()f x 在区间[a ，1]a +上单调，则1a 或11a +，解得1a 或0a ， 即实数a 的范围为(-∞，0][1，)+∞．15．（12分）一元二次方程210x mx m -+-=有两实根1x ，2x ． （1）求m 的取值范围； （2）求12x x 的最值．解：（1）一元二次方程210x mx m -+-=有两实根1x ，2x ，∴Δ(=-m 2)4(-m 1)0->，从而解得：2m ≠，(m ∴∈-∞，2)(2⋃，)+∞．（2）一元二次方程x2-mx +m 10-=有两实根1x ，2x ，∴由根与系数关系得：121x x m =-，(m ∈-∞，2)(2⋃，)+∞．1(m ∴-∈-∞，1)(1⋃，)+∞，无最值．16．（12分）已知函数4()f x x x=+． （1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）指出该函数在区间(0，2]上的单调性，并用函数单调性定义证明；（3）已知函数(),0()5,0(),0f x x g x x f x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，当[1x ∈-，]t 时()g x 的取值范围是[5，)+∞，求实数t 的取值范围．（只需写出答案） 解：（1）因为函数4()f x x x=+的定义域为(-∞，0)(0⋃，)+∞， 所以(x ∈-∞，0)(0⋃，)+∞时，(x -∈-∞，0)(0⋃，)+∞， 函数4()f x x x=+的定义域关于原点对称， 因为4()()f x x f x x-=--=-，所以()f x 是奇函数． （2）函数()f x 在区间(0，2]上是减函数，证明：任取1x ，2(0x ∈，2]，且1202x x <<，12121212()(4)()()x x x x f x f x x x ---=，因为1202x x <<，所以220x >，120x >>，所以124x x >，所以1240x x -<， 又因120x x -<，120x x >， 所以12121212()(4)()()0x x x x f x f x x x ---=>，所以12()()f x f x >，所以函数()f x 在区间(0，2]上是减函数． （3）实数t 的取值范围为[0，1]． 四、附加题.（本小题满分14分） 17．（14分）已知数集1{A a =，2a ，，12}(1n n a a a a =<<<，2)n 具有性质P ：对任意的(2)k k n ，i ∃，(1)j i j n ，使得k i j a a a =+成立．（1）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P ，并说明理由；（2）若36n a =，求A 中所有元素的和的最小值并写出取得最小值时所有符合条件的集合A ；（3）求证：1212(2)n n a a a a n ++++．（1）解：因为311≠+，所以数集{1，3，4}不具有性质P ，因为211=+，312=+，633=+，所以数集{1，2，3，6}具有性质P ； （2）解：由11a =，2122a a ==，所以A 的元素都是整数，构造{1A =，2，3，6，9，18，36}或{1A =，2，4，5，9，18，36}具有性质P ， 此时元素和为75且是最小值；假设7i a =，1j a =，此时集合中至少需要一个大于等于4的元素k a ，才能得到7， 所以A 中所有元素的和大于76， 假设6i a =，2j a =，同上，当5i a =，3j a =，此时集合为{1A =，2，3，6，9，18，36}， 所以A 中所有元素的和最小，最小值为75； 当4i j a a ==，此时{1A =，2，4，5，9，18，36}， 所以A 中所有元素的和最小，最小值为75； （3）证明：因为集合1{A a =，2a ，，}n a 具有性质:P ，即对性质的(2)k k n ，使得k i j a a a =+成立，又因为121n a a a =⋅⋅⋅，2n ，所以i k a a <，j k a a <，所以1i k a a -，1j k a a -，所以12k i j k a a a a -=+，即n a ，i a ，j a ，122n n a a --，232n n a a --，⋅⋅⋅，322a a ，212a a ， 将上述不等式相加得：211212()n n n a a a a a a --+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+， 所以1212(2)n n a a a a n ++++．。