第二章 弹性力学基础知识

∆Q F = lim V ∆V →0 ∆
F = Xi +Yj + Zk
单位： 单位： N/m3 kN/m3 —— 体力分布集度 （矢量） 矢量）
z
Z
∆Q
符号： 、 、 为体力矢量在坐标轴上的投影 符号：X、Y、Z为体力矢量在坐标轴上的投影
k i
X ∆V Y
O j y
正负号： 、 、 的正负号由坐标方向确定。 正负号：X、Y、Z 的正负号由坐标方向确定。 x 如：重力，磁场力、惯性力等 重力，磁场力、
弹性体内单位体积上所受的外力 弹性体内单位体积上所受的外力 单位体积
(2) 面力 —— 作用于物体表面上的外力。 作用于物体表面上的外力。
∆Q —— 面力分布集度（矢量） 面力分布集度（矢量） F = lim S ∆S→0 ∆
F = Xi +Yj + Zk
符号： 符号：
z
∆Q
Z
X Y Z —— 面力矢量在坐标轴上投影
τ xy
所在面的法线方向； 第1个下标 x 表示 所在面的法线方向； 个下标 表示τ所在面的法线方向
σz
正负号规定的区别 规定的区别： 与材力中剪应力τ正负号规定的区别：
z
规定使得单元体顺时的剪应力τ为 反之为负。 正，反之为负。
τ xy = −τ yx
x
O
τ xz τ xy σy τ yx σ y τ yz σ x τ zy τ zx σz
εx = εx (x, y, z),⋯; γ xy = γ xy (x, y, z),⋯
4. 位移
矢量S 量纲： 位置的移动 —— 矢量 量纲：m 或 mm u —— x方向的位移 分量； 方向的位移 分量； 位移分量： 位移分量： v —— y方向的位移 分量； 方向的位移 分量； w—— z方向的位移 分量。 方向的位移 分量。
剪应力互等定理
O x
τ xz τ xy σy τ yx σ y τ yz σ x τ zy τ zx σz
y
τ yx
τ zx
τ zy τ yz
应力符号的意义： 应力符号的意义：
的方向. 第2个下标 y 表示 的方向 个下标 表示τ的方向 应力正负号的规定： 正负号的规定 应力正负号的规定： 正应力—— 拉为正，压为负。 拉为正，压为负。 正应力 剪应力—— 坐标正面上，与坐标正向一致时为正； 坐标正面上，与坐标正向一致时为正； 剪应力 坐标负面上，与坐标正向相反时为正。 坐标负面上，与坐标正向相反时为正。
2. 2
弹性力学基本假定
1. 连续性假定 假定物体整个体积都被组成该物体的介质所填满， 假定物体整个体积都被组成该物体的介质所填满，不存 在任何空隙。 在任何空隙。尽管物体都是由微小粒子组成的，不符合这一 假定，但只要粒子的尺寸以及相邻粒子之间的距离都比物体 的尺寸小得很多，则连续性假定就不会引起显著的误差。有 了这一假定，物体内的一些物理量（如应力、应变等等）才 能连续，因而才能用坐标的连续函数来表示它们的变化规律。 2. 完全弹性假定 假定物体满足虎克定律； 假定物体满足虎克定律；应力与应变间的比例常数称为 弹性常数。 弹性常数。弹性常数不随应力或应变的大小和符号而变。 这个假定，使得物体在任意瞬时的应变将完全取决于该瞬时 物体所受到的外力或温度变化等因素，而与加载的历史和加 载顺序无关。
2. 应力
(1) 物体内部分子或原子间的相互作用力 物体内部分子或原子间的相互作用力; 内力
(不考虑 不考虑) 不考虑
(2) 由于外力作用引起的相互作用力 由于外力作用引起的相互作用力.
点的内力面分布集度 ∆Q (1) P点的内力面分布集度 ----P点的应力 点的应力 s = lim A (2) 应力矢量 − ∆Q的极限方向 ∆A→0 ∆ 应力矢量. 由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度 点的某一面上内力分布集度
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上述假定，都是为了研究问题的方便，根据研究对象 的性质、结合求解问题的范围，而作出的基本假定。这样 便可以略去一些暂不考虑的因素，使得问题的求解成为可 能。 在弹性力学中，所研究的问题主要是理想弹性体的线 性问题。为了保证研究的问题限定在线性范围，还需要作 出小位移和小变形的假定 小位移和小变形的假定。这就是说，要假定物体受力以 小位移和小变形的假定 后，物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，并 且其应变和转角都小于1。所以，在建立变形体的平衡方 程时，可以用物体变形以前的尺寸来代替变形后的尺寸， 而不致引起显著的误差，并且，在考察物体的变形及位移 时，对于转角和应变的二次幂或其乘积都可以略去不计。 对于工程实际中的问题，如果不能满足这一假定，一般需 要采用其他理论进行分析求解（如大变形理论等）。
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3. 均匀性假定 假定整个物体是由同一材料组成的。 假定整个物体是由同一材料组成的。这样，整个物体的 所有各部分才具有相同的弹性，因而物体的弹性常数才不会 随位置坐标而变，可以取出该物体的任意一小部分来加以分 析，然后把分析所得的结果应用于整个物体。如果物体是由 多种材料组成的，但是只要每一种材料的颗粒远远小于物体 而且在物体内是均匀分布的，那么整个物体也就可以假定为 均匀的。 4. 各向同性假定 假定物体的弹性在各方向都是相同的。 假定物体的弹性在各方向都是相同的。即物体的弹性常 数不随方向而变化。对于非晶体材料，是完全符合这一假定 的。而由木材、竹材等作成的构件，就不能当作各向同性体 来研究。至于钢材构件，虽然其内部含有各向异性的晶体， 但由于晶体非常微小，并且是随机排列的，所以从统计平均 意义上讲，钢材构件的弹性基本上是各向同性的。
τ xy
D
∂σ x σx + dx ∂x
B
τ +
∂τ xy
dx
O 由微元体PABC平衡，得 平衡， 由微元体 平衡
P
σy
x
τ yx A
X Y C
∑M
D
=0
σx
y
τ xy
D
∂σ x σx + dx ∂x
B
dx dx σ y + ∂y dy (τ xy + dx)dy ×1× +τ xydy ×1× ∂x 2 2
εx ,ε y ,εz γ xy ,γ yz ,γ zx
z C
∆z
A O
应变的正负： 应变的正负： 线应变： 伸长时为正，缩短时为负； 线应变： 伸长时为正，缩短时为负； 剪应变： 以直角变小时为正，变大时为负； 剪应变： 以直角变小时为正，变大时为负； x
∆x P
∆y
B y
(2) 一点应变状态
—— 代表一点 P 的邻域内线段与线段间夹角的改变
σ y ,τ yx ,τ yz
σwenku.baidu.comz ,τ zx ,τ zy
σ x τ xy τ xz 用矩阵表示： 用矩阵表示： [σ ] = τ yx σ y τ yz τ zx τ zy σ z
其中，只有 个量独立 个量独立。 其中，只有6个量独立。
σz
z
τ xy = τ yx τ yz = τ zy τ zx = τ xz
单位： 单位： 1N/m2 =1Pa (帕) 帕 1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕 兆帕) 兆帕
x
k i
O j
X
∆S Y
y
正负号： X Y Z 的正负号由坐标方向确定。 正负号： 的正负号由坐标方向确定。
面力--作用于物体表面单位面积上的外力。 面力 作用于物体表面单位面积上的外力。 作用于物体表面单位面积上的外力
一 平衡微分方程 • 从弹性体内任一点取出微元体，建立弹性 从弹性体内任一点取出微元体， 体内一点的应力分量与体力分量之间的关 系。
对于平面问题, 对于平面问题,分析平衡方程
取微元体PABC（P点附近）， （ 取微元体
PA= dx PB = dy
Z 方向取单位长度。 方向取单位长度。 点应力已知： 设P点应力已知： x ,σ y ,τ xy 点应力已知 σ 体力： 体力： X ，Y AC面： 面
w
S
P′
P v y
u
O x
弹性力学问题： 弹性力学问题： 已知外力、物体的形状和大小（边界）、材料特性（ 、 已知外力、物体的形状和大小（边界）、材料特性（E、 ）、材料特性 µ）、约束条件等，求解应力、应变、位移分量。 ）、约束条件等 ）、约束条件等，求解应力、应变、位移分量。 需建立三个方面的关系： 需建立三个方面的关系： （1）静力学关系： ）静力学关系： 应力与体力、面力间的关系 间的关系； 应力与体力、面力间的关系； （2）几何学关系： ）几何学关系： 形变与位移间的关系； 形变与位移间的关系； 间的关系 （3）物理学关系： ）物理学关系： 形变与应力间的关系 间的关系。 形变与应力间的关系。
ε x γ xy γ xz [ε ] = γ yx ε y γ yz γ zx γ zy ε z
其中
γ xy = γ yx γ yz = γ zy γ zx = γ xz
z
C
∆z
A O x z
∆x P
∆y
B y
注：
应变无量纲； 应变无量纲； 应变分量均为位置坐标的函数， 应变分量均为位置坐标的函数，即
2
O
P
σy
x
= τ yx
y
τ yx A
X Y C
σx
xy ∂σ x 1 ∂ σx 2 ∂x ∂τ yx σx + dx + (dx) +⋯ τ yx + dy ∂x 2! ∂x2 ∂σ y ∂σ x ∂y σy + dy ≈σx + dx ∂y ∂x ∂τ xy ∂τ xy ∂2τ xy 1 2 dx dx + (dx) +⋯ ≈τ xy + τ xy + 2 ∂x 2! ∂x ∂x ∂σ y σy + dy ∂y 这里用了小变形假定， 注： 这里用了小变形假定，以变形前 BC面： 面 ∂τ yx 的尺寸代替变形后尺寸。 的尺寸代替变形后尺寸。 τ yx + dy ∂y
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2.3弹性力学的基本方程与求解 弹性力学的基本方程与求解
问题： 问题： 已知：外力（体力、面力）、边界条件， 已知：外力（体力、面力）、边界条件， ）、边界条件 求： σ x ,σ y ,τ xy
ε x ,ε y ,γ xy
u, v
—— 仅为 x y 的函数 需建立三个方面的关系： 需建立三个方面的关系： （1）静力学关系： ）静力学关系： 应力与体力、面力间的关系； 应力与体力、面力间的关系；—— 平衡微分方程 （2）几何学关系： ）几何学关系： 形变与位移间的关系； —— 几何方程 形变与位移间的关系； （3）物理学关系： ）物理学关系： 形变与应力间的关系。 形变与应力间的关系。 —— 物理方程 （1）应力边界条件； ）应力边界条件； 建立边界条件： 建立边界条件： （2）位移边界条件； ）位移边界条件；
y
τ yx
τ zx
τ zy τ yz
τ yx σ y
σx
y
在用应力莫尔圆时必须材料力学规 定求解问题
τ xy
τ xy
τ yx
σy
σx
x
3. 形变 (1) 一点形变的度量
形变 —— 物体形状的改变 用线（ 应变ε度量 （1）线段长度的改变 ——用线（正）应变 度量 ） 用线 用剪应变γ度量 （2）两线段间夹角的改变。 ——用剪应变 度量 ）两线段间夹角的改变。 用剪应变 剪应变——两垂直线段夹角（直角）的改变量） 两垂直线段夹角（ （剪应变 两垂直线段夹角 直角）的改变量） 三个方向的线应变： 三个方向的线应变： 三个平面内的剪应变： 三个平面内的剪应变：
第二章 弹性力学基础知识
教学目的： 教学目的：了解弹性力学问题的研究方法。 教学重点：三大方程、两类平面问题的特点、 教学重点：三大方程、两类平面问题的特点、 应力边界条件。 应力边界条件。 教学难点：两类平面问题的区分。 教学难点：两类平面问题的区分。
2.1 弹性力学中的几个基本概念
基本概念： 外力、应力、形变、 基本概念： 外力、应力、形变、位移 1. 外力： 体力、面力 外力： 体力、 分布在物体体积内的力。 (1) 体力 —— 分布在物体体积内的力。
τ
P ΔA
ΔQ
n
σ
(法线 法线) 法线
应力分量 单位： 单位：
应力的法向分量 应力的切向分量
σ
—— 正应力 —— 剪应力
τ
与面力相同
MPa (兆帕)
应力关于坐标连续分布的
σ = σ (x, y, z) τ =τ (x, y, z)
(2) 一点的应力状态
通过一点P 通过一点 的各个面上应力状况的集合 —— 称为一点的应力状态 x面的应力： 面的应力： 面的应力 σ x ,τ xy ,τ xz y面的应力： 面的应力： 面的应力 z面的应力： 面的应力： 面的应力