概率分布以及期望和方差

如皋市薛窑中学2011届高三理科数学一轮复习61随机变量的概率分布、期望与方差【考点解读】离散型随机变量及其分布列：A;超几何分布：A;条件概率及相互独立事件：A；n次独立重复试验的模型及二项分布：B;离散型随机变量的均值与方差：B【复习目标】1•了解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；会求某些简单的离散型随机变量的分布列。

2•了解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。

3•了解条件概率和两个事件相互独立的概念( 对条件概率的应用题不作要求 )。

4 •理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。

5•了解取有限值的离散型随机变量的均值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。

活动一：基础知识1. 随机变量：1) 定义：__________________________________________________________ 。

2) ___________________________________ 表示方法：。

2. 随机变量分布列的定义：假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是X1,X2丄X n且P(X=x i)=p i ,i=1,2, -n,① 称①为随机变量X 的概率分布列，简称X的分布列3. 概率分布表将①用表的形式表示如下：4. 分布列的性质：概率分布列中P(i 1,2L n)满足以下两个条件:(1) ___________________________(2) ___________________________5. 两点分布如果随机变量X只取两个可能值_0 和__________ 1 __ ，则称该随机变量X服从0-1分布或两点分布并记为X〜0-1或X〜两点分布.其概率分布表为：其中丨min{ M , n}，且n N,M N,n,M,N N .称分布列(2)说明：①超几何分布的模型是不放回抽样；②超几何分布种的参数是(n, M , N)；③记号H (r; n, M , N)中各个字母的含义： _________________________ 7. n 次独立重复试验 定义：一般地，由n 次试验构成，且每次试验相互独立完成 ，每次试验的结果 仅有两种对立 的状态即A 与A ，每次试验中P(A) p 0,我们将这样的试验称为 n 次独立重复试验.思考：n 次独立重复试验必须具备哪些条件？ &二项分布 定义：(1 )在n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生k ( 0 k n )次的概率为___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ O(2)若随机变量X 的分布列为P(X k) c ；p k q n k ,0 p 1, p q 1,k 0,1,2丄n ，则称X服从参数为n, p 的二项分布，记作 X ~ B n, p 9. 随机变量的均值离散型随机变量的均值：般地,则称 _____________________________ 为随机变量X 的均值或数学期望，记为E(X)或其中X i 是随机变量X 的可能取值，p 是概率，P i 0,i 1,2,L , n, P 1P 2 L 几110. 随机变量的方差与标准差 (1 )定义：离散型随机变量X 的分布列为则(X E(X))2描述了 X i (i 1,2丄，n)相对于均值E(X)的偏离程度.n而 V(X) (x EX)2p ii 1为这些偏离程度的加权平均 ，刻画了随机变量与其均值 E(X)的平均偏离程度，我们称 V(X)为随机变量X 的方差,其算数平方根为随机变量 X 的标准差. (2) 方差的意义：方差是一个常用来体现随机变量X 取值分散程度的量，如果 V(X)值大，表示X 取值分散程度大，E(X)的代表性差；而如果 V(X)值小，表示X 取值分散程度小，E(X)的代表性好. (3) 离散型随机变量方差的计算：n①利用定义计算：V(X)X i 2p i2，其中P i 是x 的分布列.i 1②利用公式计算：V(X) E(X 2) (E(X))2.活动二：基础练习1. 袋中有大小相同的红球 6个、白球5个，从袋中每次任意取出 1个球，直到取出的球是白球时为 止，所需要的取球次数为随机变量 ，则 的可能值为 .为超几何分布列.如果随机变量(n, M,N)的超几何分布，记为并将P(Xr n r C M C N Mr)"C —JC NX 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X ~ H(n ,M ,N),0,1,2,L ,l 记为 H (r; n,M, N)X 服从参数为2. 已知随机变量X的分布列为P (X=i)=丄(i=1 , 2, 3),则P (X=2)= .2a --------------------13 .如果〜B 15,-，则使P ( =k)取最大值的k值为.44 .已知的概率分布则在下列式子中，① E ()=-」；②V()=竺；③P( =0)=正确的个数是3 27 3 ---------------1115 .已知的分布列为=-1,0,1,对应P=-,-,-,且设=2 +1,则的期望是.2 6 36. 甲、乙两人轮流投篮直至某人投中为止，已知甲投篮每次投中的概率为0.4，乙每次投篮投中的概率为0.6，各次投篮互不影响.设甲投篮的次数为，若乙先投，且两人投篮次数之和不超过4次，求的概率分布.活动三：典型例题例1某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红球可获得奖金50元.现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令X表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额.求：(1) X的概率分布；(2) X的均值.例2 一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是1 .3(1 )设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列；(2)设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y的概率分布；(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率例3甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两 个保护区每个活动四：自主检测1 •设一随机试验的结果只有 A 和A ，且(A)=p ,令随机变量X= 1 A出现，则X 的方差V(X)=0 A 不出现2.3 •设 〜B (n , p ),若有E( )=12 , V( )=4，则n 、p 的值分别为4 .设随机变量X 的概率分布为：5. 有甲、乙、丙、丁四名网球运动员，通过对过去战绩的统计，在一场比赛中，甲对乙、丙、丁取 胜的概率分别为0.6 , 0.8 , 0.9. (1)若甲和乙之间进行三场比赛，求甲恰好胜两场的概率； (2) 若四名运动员每两人之间进行一场比赛，求甲恰好胜两场的概率； (3) 若四名运动员每两人之间进行一场比赛，设甲获胜场次为 ，求随机变量 的概率分布.6. A 、B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验.每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A ,另2只服用B,然后观察疗效.若在一个试验组中，服用 A 有效的小白鼠的只数比服用B 有效的多，就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用 A 有效的概率为马，服用B 有效的概率为2 .(1)求一个试验组为甲类组的概率；(2)观察3个试验组，用 表示这3个试验组中甲类组的个数，求的概率分布和数学期望.活动五：课后反思(1)本节课我回顾了那些知识： _________________________________________________________________试评定这两个保护区的管理水平(2)本节课我重新认识了哪些道理:(3 )还有哪些问题需要继续探究： ________________________________________________________________。

学辅教育成功就是每天进步一点点！概率分布以及期望和方差上课时间 :上课教师：上课重点 :掌握两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布的概率分布及其期望和方差上课规划：解题技巧和方法一两点分布知识内容⑴两点分布如果随机变量X 的分布列为X1 0P p q其中 0 p 1 ， q 1 p ，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布．二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为 1，不合格记为 0 ，已知产品的合格率为 80% ，随机变量 X 为任意抽取一件产品得到的结果，则 X 的分布列满足二点分布．X100.8 0.2P两点分布又称 0 1 分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布．（2）典型分布的期望与方差：二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为p ，在 n 次二点分布试验中，离散型随机变量X 的期望取值为np ．典例分析学辅教育成功就是每天进步一点点！，针尖向上；1、在抛掷一枚图钉的随机试验中，令 X1，如果针尖向上的，针尖向下 .概率为 p ，试写出随机变量X 的概率分布．2、从装有 6 只白球和 4 只红球的口袋中任取一只球，用X 表示“取到的白，当取到白球时，球个数”，即X1，求随机变量 X 的概率分布． ，当取到红球时，3、若随机变量 X 的概率分布如下：X1P23 8C9C C试求出 C ，并写出 X 的分布列．3、抛掷一颗骰子两次，定义随机变量0,(当第一次向上一面的点 数不等于第二次向上一 面的点数 )1, (当第一次向上一面的点数等于第二次向上一面的点数 )试写出随机变量 的分布列．4、篮球运动员比赛投篮，命中得1分，不中得 0 分，已知运动员甲投篮命中率的概率为 P ．⑴记投篮1次得分X，求方差D ( X )的最大值；⑵当⑴中 D ( X ) 取最大值时，甲投3次篮，求所得总分Y的分布列及Y的期望与方差．二超几何分布知识内容将离散型随机变量X 所有可能的取值x i与该取值对应的概率p i (i 1, 2,, n)列表表示：X x1x2P p1p2⋯⋯x ip i⋯⋯x np n一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取 n 件 ( n ≤ N ) ，这 n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为 m 时的概率为P( X m)C M m C n N m M≤ l ，l为 n 和M中较小的一个 ) ．C n N(0≤ m我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为 N ， M ，n的超几何分布．在超几何分布中，只要知道 N ， M 和n，就可以根据公式求出 X 取不同值时的概率P( X m)，从而列出 X 的分布列．超几何分布的期望和方差：若离散型随机变量 X 服从参数为N，M，n的超几何分布，则 E(X)nM，n(N n)( N M )M．ND(X)2(N 1)N典例分析例题：一盒子内装有 10 个乒乓球，其中 3 个旧的，7 个新的，从中任意取 4 个，则取到新球的个数的期望值是．练习 1. 某人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，能答对其中的 6 题，规定每次考试都从备选题中随机抽出 5 题进行测试，每题分数为20分，求他得分的期望值．练习 2. 以随机方式自 5 男 3 女的小群体中选出 5 人组成一个委员会，求该委员会中女性委员人数的概率分布、期望值与方差．练习 3. 在12个同类型的零件中有2 个次品，抽取 3 次进行检验，每次任取一个，并且取出不再放回，若以和分别表示取出次品和正品的个数．求，的期望值及方差．三二项分布知识内容若将事件 A 发生的次数设为X ，事件 A 不发生的概率为q 1 p ，那么在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生k 次的概率是P( X k)C kn pk q n k，其中k0 , 1, 2 , n, ．于是得到X的分布列X01⋯k⋯nP C 0n p0q n C1n p1q n 1⋯C n k p k q n k⋯C n n p n q0由于表中的第二行恰好是二项展开式(q p)n C0n p0 q n C1n p1q n 1C k n p k q n k C n n p n q0各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X 服从参数为n，p 的二项分布，记作 X ~ B(n , p) ．二项分布的均值与方差：若离散型随机变量X 服从参数为 n 和 p 的二项分布，则E ( X ) np ， D (x) npq (q1 p) ．二项分布：若离散型随机变量X 服从参数为 n 和 p 的二项分布，则 E( X ) np ，D ( x) npq (q 1 p) ．典例分析二项分布的概率计算1例题：已知随机变量服从二项分布， ~ B(4 ， ) ，则 P(2)等于．练3习 1.甲乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为2，则甲以 3:1 的比分获胜的3概率为（ ）A ．8B ．64C ．4D ．8278199练习 2.某篮球运动员在三分线投球的命中率是1，他投球 10 次，恰好投2进 3 个球的概率．（用数值表示）练习 3. 某人参加一次考试， 4 道题中解对 3 道则为及格，已知他的解题正确率为 0.4 ，则他能及格的概率为 _________（保留到小数点后两位小数）接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80，现有 5 人接种了该疫苗，至少有 3 人出现发热反应的概率为．（精确到 0.01）例题 :从一批由 9 件正品， 3 件次品组成的产品中，有放回地抽取 5 次，每次抽一件，求恰好抽到两次次品的概率（结果保留2 位有效数字）．练习 1. 一台X型号的自动机床在一小时内不需要人照看的概为0.8000 ，有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多有 2 台机床需要工人照看的概率是（）A．0.1536B．0.1808C．0.5632D．0.9728练习 2. 设在 4 次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若已知事件A至少发生一次的概率等于65，求事件A在一次试验中发生的概率．81例题：某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都学辅教育成功就是每天进步一点点！是1．若某人获得两个“支持，”则给予 10万元的创业资助；若只获得一个“支2持”，则给予 5 万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．求：⑴ 该公司的资助总额为零的概率；⑵该公司的资助总额超过15万元的概率．练习 1. 某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是 0.6 ，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润 200 元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250 元．⑴求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；⑵求3位位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．练习 2. 某万国家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便可获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为1，若中奖，则家具城返还顾客5现金 200 元．某顾客消费了 3400 元，得到3张奖券．⑴求家具城恰好返还该顾客现金 200元的概率；⑵求家具城至少返还该顾客现金 200元的概率．例题：设飞机 A 有两个发动机，飞机 B 有四个发动机，如有半数或半数以上的发动机没有故障，就能够安全飞行，现设各个发动机发生故障的概率p 是t的函数p 1 e t ，其中t为发动机启动后所经历的时间，为正的常数，试讨论飞机 A 与飞机 B 哪一个安全？（这里不考虑其它故障）．练习 1. 假设飞机的每一台发动机在飞行中的故障率都是1 P，且各发动机互不影响．如果至少50% 的发动机能正常运行，飞机就可以顺利地飞行．问对于多大的 P 而言，四发动机飞机比二发动机飞机更安全？练习 2. 一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有 6 个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是1 ．3⑴设为这名学生在途中遇到红灯的次数，求的分布列；⑵设为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布列；⑶求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．二项分布的期望与方差例题 :已知X ~ B(10，0.8)，求E( X )与D(X )．练习 1. 已知X ~ B(n，p)，E ( X )8， D(X ) 1.6 ，则 n 与p的值分别为（）A．10和0.8B．20和0.4C．10和 0.2D．100和 0.8练习 2.已知随机变量 X 服从参数为6，0.4的二项分布，则它的期望E(X )，方差 D(X)．练习 3. 已知随机变量X服从二项分布，且E ( ) 2.4 ，D( ) 1.44 ，则二项分布的参数 n ，p的值分别为，．练习 4. 一盒子内装有10个乒乓球，其中3个旧的，7个新的，每次取一球，取后放回，取 4 次，则取到新球的个数的期望值是．例题：甲、乙、丙 3 人投篮，投进的概率分别是1，2，1．352⑴现 3 人各投篮 1 次，求 3 人都没有投进的概率；⑵用表示乙投篮 3 次的进球数，求随机变量的概率分布及数学期望．练习 1. 抛掷两个骰子，当至少有一个2点或3点出现时，就说这次试验成功．⑴ 求一次试验中成功的概率；⑵求在4次试验中成功次数X 的分布列及 X 的数学期望与方差．练习 2. 某寻呼台共有客户3000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为 4% ．问：寻呼台能否向每一位顾客都发出奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼品？四正态分布知识内容概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量 X ，则这条曲线称为 X 的概率密度曲线．曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X 落在指定的两个数a，b 之间的概率就是对应的曲边梯形的面积．2．正态分布⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布．服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．yx=μO x1( x)2正态变量概率密度曲线的函数表达式为f (x) e 22，x R ，其中，2π是参数，且0 ， ．式中的参数 和 分别为正态变量的数学期望和标准差． 期望为 、标准差为 的正态分布通常记作N ( ,2) ．正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．⑵标准正态分布： 我们把数学期望为0 ，标准差为 1的正态分布叫做标准正态分布．①正态变量在区间( ,)，(2 ,2 )，(3 ,3 )内，取值的概率分别是 68.3% ， 95.4% ， 99.7% ．②正态变量在 (，) 内的取值的概率为 1，在区间 ( 3 ，3 ) 之外的取值的概率是 0.3% ，故正态变量的取值几乎都在距 x三倍标准差之内，这就是正态分布的3 原则．若 ~N(， 2) ， f ( x) 为其概率密度函数，则称 F (x)P( ≤ x)xf (t )dt 为概率分布函数，特别的，，2x1t 2dt 为标准正态分布函数．2~ N (0 1 ) ，称 ( x)e2πP(x) (x) ．标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．典例分析（一）正态曲线（正态随机变量的概率密度曲线）1.下列函数是正态分布密度函数的是（）1 ( x r ) 22 πe A ． f ( x )B ． f ( x )e22π2 πx 221 ( x1) 21 x 2ee2C ． f ( x )4D ． f ( x )22π2π2.若正态分布密度函数 f ( x)1( x 1) 2e 2( x R ) ，下列判断正确的是（）2πA ．有最大值，也有最小值B ．有最大值，但没最小值C ．有最大值，但没最大值D ．无最大值和最小值3.对于标准正态分布 N 0 ，1 1 x 2的概率密度函数2 ，下列说法不正确f xe2 π的是（）A．f x为偶函数B．f x最大值为12πC．f x在x0 时是单调减函数，在x ≤ 0 时是单调增函数D．f x关于x 1对称4.设的概率密度函数为1( x 1) 2e2f ( x)2πA．P(1) P(1)C．f (x)的渐近线是x0，则下列结论错误的是（）B．P( 1≤ ≤1) P(11) D．1~ N(0 ，1)（二)求,的取值以及概率例题：设 X ~ N ( ，2 ) ，且总体密度曲线的函数表达式为：f (x)1x2 2 x 1e4，2πx R ．⑴求，；⑵求 P(| x 1|2) 及 P(1 2 x 1 2 2) 的值．练习 1.某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为 f ( x)1( x 80)2，则下列命题中不正确的是（）200e102A．该市这次考试的数学平均成绩为80 分B．分数在 120 分以上的人数与分数在60 分以下的人数相同C．分数在 110 分以上的人数与分数在50 分以下的人数相同D．该市这次考试的数学标准差为10（三）正态分布的性质及概率计算例题 :设随机变量服从正态分布N (0 ，1) ，a0 ，则下列结论正确的个数是____ ．⑴ P(||a )P(||a)P(| | a)⑵ P(||a )2P(a)1⑶ P(||a )12P(a)⑷ P(||a )1P(||a)练习 1. 已知随机变量 X 服从正态分布 N (3 ，a 2 ) ，则 P( X 3)（）A ．1B ．1C ．1D ．15 432练习 2. 在某项测量中，测量结果 X 服从正态分布 N 1， 20 ，若X 在 0，1内取值的概率为 0.4 ，则 X 在 0 ，2 内取值的概率为．练习 3.已知随机变量 X 服从正态分布 N (2 ， 2) ， P( X ≤ 4) 0.84 ，则 P(X ≤ 0)A ． 0.16B ． 0.32C ． 0.68D ． 0.84练习4.已知X~N( 1，2 )，若 P( 3≤ X ≤-1) 0.4，则 P( 3≤ X ≤1) （）A ． 0.4B ． 0.8C ． 0.6D ．无法计算加强训练：1 设随机变量 服从正态分布 N (2 ，9) ，若 P( c 2)P( c 2) ，则 c_______．2 设 ~ N(0 1)，且 P(| | b) a(0 a 1 b 0) ，则 P(b) 的值是_______（用 a 表，，≥示）．3 正态变量 X ~ N (1， 2 ) ， c 为常数， c0 ，若 P(c X2c) P(2c X 3c ) 0.4，求P( X ≤ 0.5) 的值．4 某种零件的尺寸服从正态分布N (0 ，4) ，则不属于区间 ( 4 ，4) 这个尺寸范围的零件约占总数的．（四）正态分布的数学期望及方差例题:如果随机变量~ N( ， 2)，ED1，求 P( 1 1)的值．(五）正态分布的 3 原则例题 :灯泡厂生产的白炽灯寿命（单位： h ），已知 ~ N (1000 ，302 ) ，要使灯泡的平均寿命为1000h 的概率为 99.7% ，则灯泡的最低使用寿命应控制在_____ 小时以上．练习 1.一批电池（一节）用于手电筒的寿命服从均值为35.6 小时、标准差为4.4 小时的正态分布，随机从这批电池中任意取一节，问这节电池可持续使用不少于 40小时的概率是多少？练习 2. 某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80 ，标准差为 10，理论上说在 80 分到 90 分的人数是 ______．杂题（拓展相关：概率密度，分布函数及其他）练习 3. 以F x表示标准正态总体在区间, x 内取值的概率，若随机变量服从正态分布N ,2，则概率P等于（）A．F F B．F1F1C．F 1D．2F练习 4.甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10 道题中，甲能答对其中的 6 题，乙能答对其中的 8 题．规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试，至少答对 2 题才算合格．⑴求甲答对试题数X的分布列、数学期望与方差；⑵ 求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．课后练习1、一个袋子里装有大小相同的 3 个红球和 2 个黄球，从中同时取出 2 个，则其中含红球个数的数学期望是_________．（用数字作答）2.、同时抛掷4枚均匀硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为，则的数学期望是（）A．20B．25C．30D．403、某服务部门有n个服务对象，每个服务对象是否需要服务是独立的，若每个服务对象一天中需要服务的可能性是p ，则该部门一天中平均需要服务的对象个数是（）A．np(1 p)B．np C．n D．p(1 p)4、同时抛掷4枚均匀硬币 80次，设 4 枚硬币正好出现 2枚正面向上， 2 枚反面向上的次数为，则的数学期望是（）A、20B．25C．30D．405、一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出 1个球，得到黑球的概率是2；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白5球的概率是7．9⑴若袋中共有 10 个球，从袋中任意摸出 3 个球，求得到白球的个数的数学期望；⑵求证：从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个黑球的概率不大于7 ．并10指出袋中哪种颜色的球个数最少．5.某厂生产电子元件，其产品的次品率为5% ，现从一批产品中的任意连续取出 2 件，求次品数的概率分布列及至少有一件次品的概率．某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各 2 株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为5和4，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的 4 株65大树中：⑴至少有 1 株成活的概率；⑵两种大树各成活 1 株的概率．6.一个口袋中装有n 个红球（n≥5且n N *）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．⑴试用 n 表示一次摸奖中奖的概率p ；⑵若 n 5 ，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；⑶记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P ．当n取多少时， P 最大？7.袋子 A 和 B 中装有若干个均匀的红球和白球， 从 A 中摸出一个红球的概率是 1，从 B 中摸出一个红球的概率为p ．3⑴从 A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有 3 次摸到红球即停止．①求恰好摸 5 次停止的概率；②记 5 次之内（含 5 次）摸到红球的次数为，求随机变量 的分布．⑵若 A ，B 两个袋子中的球数之比为 1: 2 ，将 A ，B 中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是 2，求 p 的值．58、一个质地不均匀的硬币抛掷 5 次，正面向上恰为 1次的可能性不为 0 ，而且与正面向上恰为2 次的概率相同．令既约分数i为硬币在 5 次抛掷中有 3j次正面向上的概率，求ij ．9、某气象站天气预报的准确率为80% ，计算（结果保留到小数点后面第 2位）⑴5 次预报中恰有2次准确的概率；⑵ 5 次预报中至少有 2 次准确的概率；⑶5 次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率；10 、某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层可以停靠．若该电梯在底层载有 5 位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为1，求至少有两位乘客在 20 层下的概率．311、10 个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取一球，求直到第n 次才取得 k(k ≤ n) 次红球的概率．12 、已知甲投篮的命中率是0.9，乙投篮的命中率是0.8，两人每次投篮都不受影响，求投篮 3 次甲胜乙的概率．（保留两位有效数字）13 、若甲、乙投篮的命中率都是p 0.5，求投篮n次甲胜乙的概率．（ n N，n ≥ 1 ）14、省工商局于某年 3 月份，对全省流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显示，某种刚进入市场的 x 饮料的合格率为80%，现有甲，乙，丙3人聚会，选用 6 瓶x饮料，并限定每人喝 2 瓶，求：⑴甲喝 2 瓶合格的x饮料的概率；⑵甲，乙，丙 3 人中只有 1 人喝 2 瓶不合格的x饮料的概率（精确到0.01）．15、在一次考试中出了六道是非题，正确的记“√”号不，正确的记“×”号若．某考生随手记上六个符号，试求：⑴全部是正确的概率；⑵正确解答不少于 4 道的概率；⑶至少答对 2 道题的概率．17、某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛，校队的实力比系队强，当一个校队队员与系队队员比赛时，校队队员获胜的概率为0.6 ．现在校、系双方商量对抗赛的方式，提出了三种方案：⑴双方各出 3人；⑵双方各出 5 人；⑶双方各出 7 人．三种方案中场次比赛中得胜人数多的一方为胜利．问：对系队来说，哪一种方案最有利？18、某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60% ，参加过计算机培训的有75% ，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．⑴任选 1 名下岗人员，求该人参加过培训的概率；⑵任选 3 名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布和期望．19、设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为 0.6 ，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．记表示进入商场的 3 位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布及期望．20、某班级有n人，设一年365天中，恰有班上的m（m≤n）个人过生日的天数为 X ，求 X 的期望值以及至少有两人过生日的天数的期望值．21、购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿金．假定在一年度内有 10000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险。

常见分布的期望与方差的计算常见分布的期望与方差的计算这些分布的期望和方差要求同学们熟记，以下是计算过程，供课下看。

1.0－1分布已知随机变量X的分布律为X10pp1 p则有E(X)=1 p+0 q=p,D(X)=E(X2) [E(X)]2=12p+02(1 p) p2=pq.2.二项分布设随机变量X 服从参数为n, p 二项分布,(法一)设Xi为第i 次试验中事件A 发生的次数，i=1,2,“,n则X=∑Xii=1nn显然，Xi 相互独立均服从参数为p 的0－1分布，所以E(X)=∑E(Xi)=np.i=1D(X)=∑D(Xi)=np(1 p).i=1n(法二) X的分布律为n k P{ X= k}= p (1 p )n k, ( k= 0,1,2,", n), k n n n k 则有 E ( X )=∑ k P{ X= k}=∑ k p (1 p )n k k=0 k k=0kn!=∑ p k (1 p )n k k= 0 k ! ( n k )! np( n 1)!=∑ p k 1 (1 p )( n 1) ( k 1) k=1 ( k 1)![( n 1) ( k 1)]!n n( n 1)!= np∑ p k 1 (1 p )( n 1) ( k 1) k=1 ( k 1)![( n 1) ( k 1)]!n= np[ p+ (1 p )]n 1=npE ( X 2 )= E[ X ( X 1)+ X]= E[ X ( X 1)]+ E ( X ) k k=∑ k ( k 1) p (1 p )n k+ np n k=0nk ( k 1)n! k p (1 p )n k+ np=∑ k= 0 k !( n k )!n( n 2)!= n( n 1) p∑ p k 2 (1 p)( n 2 ) ( k 2 )+ np k= 2 ( n k )! ( k 2)!2 n = n( n 1) p 2[ p+ (1 p )]n 2+ np= ( n 2 n) p 2+ np.D( X )= E ( X 2 ) [ E ( X )]2= ( n 2 n) p 2+ np ( np )2 = np(1 p )3.泊松分布设X~π(λ ),且分布律为P{ X= k}=λkk!∞e λ, k= 0,1,2,",λ 0.则有E( X )=∑ k k=0λkk!e λ= e λ∑k=1∞λ k 1( k 1)!λ=λe λ eλ=λE ( X 2 )= E[ X ( X 1)+ X]= E[ X ( X 1)]+ E ( X )=∑ k ( k 1) k=0+∞λkk!e λ+λ+λ=λ 2e λ eλ+λ=λ 2+λ .=λ 2e λ∑ k=2λk 2( k 2)!所以D( X )= E ( X 2 ) [ E ( X )]2=λ2+λ λ2=λ泊松分布的期望和方差都等于参数λ .4.均匀分布设X~ U (a, b ),其概率密度为1, f ( x)= b a 0,∞a x b,其他 .b1 1 E ( X )= xf ( x ) d x= x d x则有= (a+ b).∫ ∞∫a b a2 D( X )= E ( X2 ) [ E ( X )]2 1 a+ b (b a ) 2=∫ x dx = a b a 2 12b225.指数分布设随机变量X服从指数分布,其概率密度为1 xθ e, f ( x )= θ 0,x 0, x≤ 0.+∞其中θ 0.1 xθ x e dxθ则有E ( X )=∫ xf ( x ) d x=∫ ∞+∞0= xe2xθ+∞ 0 2+∫ e xθ d x0+∞ 2+∞=θD( X )= E ( X ) [ E ( X )]=∫0= 2θ 2 θ 21 xθ x e d x θ2θ6.正态分布设X~ N (μ,σ 2 ),其概率密度为1 f ( x)= e 2πσ( x μ )2 2σ 2 ,σ 0, ∞ x+∞ .则有E ( X )=∫ xf ( x ) d x ∞+∞1=∫ x e ∞ 2πσ+∞( x μ )2 2σ 2d x.x μ令= t x=μ+σ t,σ所以1 E( X )=∫ x e ∞ 2πσ+∞( x μ )2 2σ 2dx1+∞= (μ+σt)e∫ 2π ∞ 1=μ e∫ 2π=μ.t2+∞ 2 ∞t2 2dtt2 2σ+∞ dt+ te∫ 2π ∞dtD( X )=∫ ( x μ ) f ( x ) d x2 ∞+∞1=∫ ( x μ) e d x. ∞ 2πσ x μ令= t,得σ t2 2 +∞σ 2 2 D( X )= t e dt∫ 2π ∞+∞ t2 t2 2 +∞ σ 2 2= te+∫ e dt ∞ 2π ∞ 2σ= 0+ 2π=σ 2 . 2π+∞ 2( x μ )2 2σ 2分布参数0 p1 n≥ 1, 0 p1λ0ab。

常见分布的期望和方差概率与数理统计重点摘要1、正态分布的计算： VF(x) P(X x)(X) o2、 随机变量函数的概率密度： X 是服从某种分布的随机变量，求 Y f(X)的概率密度: f y (y) f x (x)[h(y)] h'(y)。

(参见 P66〜72)x y3、 分布函数F(x,y) f (u, v)dudv 具有以下基本性质：⑴、是变量x , y 的非降函数;⑵、0 F(x,y) 1，对于任意固定的x , y 有：F( ,y) F(x, )0 ； ⑶、F(x,y)关于x右连续，关于y 右连续;⑷、对于任意的(x i , yj,(X 2, y 2), X i X 2, y i y ，有下述不等式成立:为一维正态分布4、一个重要的分布函数1:F(x,y)2f(x,y)F(x,y)x y62 , 2(x24)( y 9)5、二维随机变量的边缘分布：边缘概率密度：f x (X ) f Y (y)f (x, y)dy f (x, y)dxx y 、 (— arctan-)(— arctan‘)的概率 密度为2 3xF x (x) F(x,)[边缘分布函数：yF Y (y) F( ,y) y[f(u,y)dy]du二维正态分布的边缘分布 f(x,v)dx]dv6随机变量的独立性：若F(x,y) F X (x)F Y (y)则称随机变量X , Y 相互独立。

简称X 与Y 独立7、两个独立随机变量之和的概率密度：f Z (z) f X (x)f Y (z x)dx f Y (y)f X (z y)dy 其中 Z = X + Y 8、两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，即2 2 2 2Z aX bY: N(a 1 b 2,a 1 b 2 。

9、期望的性质：…( 3)、E(X Y) E(X) E(Y) ； (4)、若 X , 丫 相互独立，则E(XY) E(X)E(Y) O10、方差： D(X) E(X 2) (E(X))2 O若 X , 丫不相关，则 D(X Y) D(X) D(Y),否则 D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y), D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y)称：X 与丫不相关。

8个常见分布期望和方差概率分布的期望和方差为了理解和预测复杂的概率分布，其中最重要的两个因素是期望和方差。

概率分布的期望是由可能的结果的各种频率的平均值。

它是一个数字，可以确定概率变量的未来值的变化，用来表明对分布结果的期望：方差是描述随机变量变化程度的数字，它表示数据离期望值多大程度。

期望和方差是描述统计定律的基本量，它们是用于理解和预测随机变量的行为的最重要的两个概念。

此外，方差也是可以利用的重要的统计概念，用来表明总体变化的大小，以及在给定范围内期望出现变化的可能性。

尽管，有很多不同的概率分布存在，但是在概率领域，最常用的概率分布可以分为三类：正态分布，二项分布和卡方分布。

下文将分别介绍这三类分布的期望和方差。

正态分布是指概率分布中，观测值的分布曲线呈现出钟形状，中心对称型的曲线。

正态分布的期望可以表示为：E（x）=μ，即随机变量的期望值就是均值。

正态分布的方差可以表示为：V（x）=σ2，其中σ2是样本数据的方差，表示数据的变化程度。

二项分布研究的是独立重复试验，其中均有概率p成功，概率q失败，这里p+q=1。

对二项分布，其期望值E(X)=np，即期望值取决于p值和重复次数n；其中变异系数V(x)=npq，表示数据变异的程度。

卡方分布也被称为卡方正态或卡方分位数分布，它描述的是数据来源于独立正态分布的累积分布，通常用于统计检验中的卡方检验。

对卡方分布，其期望值E(X)=n；变异系数V(x)=2n,表示数据变异的程度。

总的来说，概率分布的期望和方差是理解和预测复杂概率分布的基础，它们提供了一种可以用来确定观测值的有效值并预测观测结果的方法。

通过期望和方差，我们可以很容易地推断三类常见分布的理论值，进一步推断复杂概率分布的变化趋势，从而帮助更好地。

01分布的期望和方差
01分布的期望和方差是：期望p方差p（1-p），二项分布期望np，方差np （1-p）。

一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。

若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的高斯分布，记为N(μ，σ^2)。

图形特点：
对于固定的n以及p，当k增加时，概率P{X=k}先是随之增加直至达到最大值，随后单调减少。

可以证明，一般的二项分布也具有这一性质，且: 当（n+1）p不为整数时，二项概率P{X=k}在k=[(n+1)p]时达到最大值。

当（n+1）p为整数时，二项概率P{X=k}在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1时达到最大值。

[x]为取整函数，即为不超过x的最大整数。

01分布的期望和方差是：期望p方差p（1-p），二项分布期望np，方差np（1-p）。

一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。

若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的高斯分布，记为N(μ，σ^2)。

图形特点：
对于固定的n以及p，当k增加时，概率P{X=k}先是随之增加直至达到最大值，随后单调减少。

可以证明，一般的二项分布也具有这一性质，且: 当（n+1）p不为整数时，二项概率P{X=k}在k=[(n+1)p]时达到最大值。

当（n+1）p为整数时，二项概率P{X=k}在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1时达到最大值。

[x]为取整函数，即为不超过x的最大整数。

常见分布的期望和方差概率与数理统计重点摘要X — 41、 正态分布的计算： F(x) = p(x 兰x)=e ( ------ )。

c2、 随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量， 求丫 = f(X)的概率密度：f Y (y)= f x (x)[h(y)]|h'(y)|。

(参见P66〜_ x y3、分布函数F(x,y)=f f f(u,v)dudv 具有以下基本性质:0<F(x,y)<1，对于任意固定的 x , y 有：F^,y) = F(x^)=0 ;对于任意的(x i , y i ), (x 2, y 2), X i<:x 2,y i<y 2，有下述不等式成立:r 24、一个重要的分布函数： F(x,y)=l&+arcta n 与Q+arcta n')的概率密度为：f (x, y)=丄 F (x, y) = 2 22兀亠 2 2 2 3 c x c y 兀(x + 4)(y +9)5、二维随机变量的边缘分布:f x (x) = J*f(x, y)dy边缘概率密度：tf Y (y) = Lcf(x,y)dxx -beF X (x^F(x^^ f J f f (u,y)dy]du边缘分布函数： '4； 二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。

⑴、 是变量x , y 的非降函数;⑵、 ⑶、 F(x,y)关于x 右连续，关于y 右连续;⑷、yF Y(y)=F(P,y) = UJf(x,v)dx]dv随机变量的独立性：若 F(x, y) =F x (x)F Y (y)则称随机变量X ，Y 相互独立。

简称X 与Y 独立。

两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，即 Z=aX+b Y L N(a 已卄巴^务；+b 2cr 2)o13、k 阶原点矩：vk=E(X k)，k 阶中心矩：4k =E[(X-E(X))k] o16、独立同分布序列的中心极限定理:6、 7、 两个独立随机变量之和的概率密度：f z (z) = J f x (x)f Y (z-x)dx= J f Y (y)f x (z-y)dy 其中Z = X + YJ-oC9、 期望的性质: (3)、EX Y )EX( )EY()；(4)、若 X ，Y 相互独立，则 E(XY) = E(X)E(Y) o10、方差： D(X ) =E(X 2)-(E(X))2o若 X , Y 不相关，贝y D(X + Y) = D(X) + D(Y),否贝U D(X + Y) = D(X)+D(Y) + 2Cov(X,Y),D(X -Y) = D(X) +D(Y) -2Cov(X,Y)11、协方差：Cov(X,Y) =E[(X -E(X))(Y-E(Y))]，若 X , Y 独立，则 Cov(X,Y) = 0，此时称：X 与 Y 不相关。

概率论八大分布的期望和方差
概率论是数学中一个很重要的分支，它通过概率来研究不确定性事件发生的规律。

其中，概率论8大分布描述了多次实验和事件中，可能出现的概率位置及其期望等统计量，被广泛用于对数据的拟合和预测。

首先说明的是正态分布，即平均数和方差成正比的分布，它的期望为μ，标准差为σ，因此它的方差为σ²。

接下来介绍的是指数分布，它是描述数据发生在某一时刻及其之前的分布，其期望是1/λ，方差也为1/λ²，其中λ>0。

三角分布是描述一个实验发生三次时的分布，其期望是a+b+c/3，方差为abcb/36。

威布尔分布的期望是α/(1+α)，方差为α/((1+α)²(1+2α))。

泊松分布是按概率论中常用的概率模型，其期望是λ，方差也为λ。

F比例的期望依赖于自由度的不同，给定两个自由度为m和n的差异，它的期望为m/n，方差为2m²n²/((m+n)²(m+n+2))。

相间分布是另一种概率模型，它描述了一个试验出现在某个位置的概率，它的期望为μ+σ/2，及其方差为(σ/2)²。

最后要介绍的是Gamma分布，它由α和β决定，其期望为αβ，方差为
αβ²。

以上是概率论8种分布的期望和方差。

科学家们利用这些概念，处理概率性事件作出合理的决策，从而取得成果。

从长远来看，熟悉概率论8大分布的期望和方差，对于科学家精确处理概率性问题有着至关重要的作用。

离散型随机变量的分布列、数学期望、方差一． 离散型随机变量：若随机变量可能的取值可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量；若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量。

二． 离散型随机变量的分布列、数学期望、方差 1． 设离散型随机变量ξ可能的取值为12,,,,i x x x ，ξ取每一个值()1,2,i x i =的概率为i p ，列表如下：叫做随机变量ξ的概率分布，简称分布列。

有如下性质： （1）()011,2,i p i ≤≤=（2）121i p p p ++++=2．数学期望：1122i i E x p x p x p ξ=++++叫做离散型随机变量ξ的数学期望，简称期望。

反映离散型随机变量ξ取值的平均水平。

若a b ηξ=+，则E aE b ηξ=+。

3．方差：()()()2221122i i D x E p x E p x E p ξξξξ=-+-++-+叫做离散型随机变量ξ的方叫做离散型随机变量ξ的标准差，记作σξ 若a b ηξ=+，则2D a D ηξ=。

方差反映随机变量ξ的取值与平均值的离散情况。

即稳定性。

三．几个典型的分布1．二项分布：n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数(),B n p ξ，p 是一次试验A 发生的概率，设1q p =-。

则()()()();,0,1,,k k n kn n P k b k n p P k C p q k n ξ-=====2、几何分布：独立重复试验中事件A 第一次发生时的试验次数ξ服从几何分布，p 是一次试验A 发生的概率，设1q p =-。

()()11,2,k P k q p k ξ-===期望1E p ξ=，方差2q D pξ=。

3．两点分布：一次实验中，事件A 发生记为1，不发生记为0，p 是一次试验A 发生的概率，设1q p =-。

则期望E p ξ=，方差D pq ξ=。

练习1．已知随机变量(),B n p ξ，且6,3E D ξξ==，则()1;,b n p = .2．若随机变量ξ的分布列是：()()1,3P m P n a ξξ====.且2E ξ=,则D ξ的最小值是 .3．若随机变量ξ满足()(),P k g k p ξ==，2D ξ=，21ηξ=-，则E η= ，D η= 。

分布列、期望、方差知识总结一、知识结构二、知识点1.随机试验的特点:①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．2.分类随机变量（如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母ξ、η等表示。

）离散型随机变量在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．连续型随机变量对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.连续型随机变量的结果不可以一一列出.3.离散型随机变量的分布列一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2, ,x i , ,x nX取每一个值xi(i=1,2,）的概率P(ξ=x i）＝P i，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列性质：①pi≥0, i =1，2，…；②p1 + p2 +…+p n= 1．③一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。

4.求离散型随机变量分布列的解题步骤例题：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球一次的得分的分布列.解：用随机变量X表示“每次罚球得的分值”，依题可知，X可能的取值为：1,0且P（X=1）=0.7，P（X=0）=0.3因此所求分布列为：引出二点分布如果随机变量X的分布列为：其中0<p<1，q=1-p，则称离散型随机变量X服从参数p的二点分布二点分布的应用：如抽取彩票是否中奖问题、新生婴儿的性别问题等.超几何分布一般地, 设总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n(n ≤N)件,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，则它取值为k 时的概率为()(0,1,2,,)k n k M N MnNC C P X k k m C --===，其中{}min,m M n =,且*,,,,n N M N n M N N ∈≤≤ 则称随机变量X 的分布列为超几何分布列,且称随机变量X 服从参数N 、M 、n 的超几何分布注意：（1）超几何分布的模型是不放回抽样；（2）超几何分布中的参数是N 、M 、n ，其意义分别是总体中的个体总数、N 中一类的总数、样本容量解题步骤：例题、在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率解：设摸出红球的个数为X,则X 服从超几何分布,其中30,10,5N M n === X 可能的取值为0，1，2，3，4, 5. 由题目可知，至少摸到3个红球的概率为(3)(3)(4)(5)P X P X P X P X ==+=+=≥324150102010201020555303030C C C C C C C C C =++ ≈0.191答：中奖概率为0.191.nNn MN MCC C -0nNn MN MCC C 11--nNm n MN m MCC C --条件概率1.定义：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，叫做条件概率P(B|A)，读作A 发生的条件下B 的概率2.事件的交（积）:由事件A 和事件B 同时发生所构成的事件D ，称为事件A 与事件B 的交（或积作D=A ∩B 或D=AB3.条件概率计算公式:P(B|A)相当于把A 看作新的基本事件空间,求Ａ∩Ｂ发生的概率:解题步骤：例题、10个产品中有7个正品、3个次品，从中不放回地抽取两个，已知第一个取到次品，求第二取到次品的概率.解：设 A = {第一个取到次品}， B = {第二个取到次品}，所以，P(B|A) = P(AB) / P(A)= 2/9 答：第二个又取到次品的概率为2/9..0)(,)()()|(>=A P A P AB P A B P .1)|(0)()|()(0)A (P ≤≤⋅=>A B P A P A B P AB P （乘法公式）；，则若.151)(21023==⇒C C AB P .103)(=A P相互独立事件2.相互独立事件同时发生的概率公式两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

概率论中的常见分布和期望与方差——概率论知识要点概率论是数学中的一个重要分支，研究随机现象的规律性。

在概率论中，常见的分布函数和概率密度函数描述了随机变量的分布规律，而期望和方差则是描述随机变量的中心位置和离散程度的重要指标。

本文将介绍概率论中的常见分布以及期望和方差的概念和计算方法。

一、离散型分布在概率论中，离散型分布描述了随机变量取有限个或可列个数值的概率分布。

以下是几个常见的离散型分布：1. 伯努利分布伯努利分布是最简单的离散型分布，描述了只有两个可能结果的随机试验，比如抛硬币的结果。

设随机变量X表示试验的结果，取值为1或0，表示成功或失败的情况。

伯努利分布的概率质量函数为：P(X=k) = p^k * (1-p)^(1-k)，其中k=0或1，p为成功的概率。

2. 二项分布二项分布描述了一系列独立的伯努利试验中成功的次数。

设随机变量X表示成功的次数，取值范围为0到n，n为试验的次数，p为每次试验成功的概率。

二项分布的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n,k)为组合数。

3. 泊松分布泊松分布描述了在一定时间或空间内随机事件发生的次数。

设随机变量X表示事件发生的次数，取值范围为0到无穷大。

泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!，其中λ为事件发生的平均次数。

二、连续型分布在概率论中，连续型分布描述了随机变量在某个区间内取值的概率分布。

以下是几个常见的连续型分布：1. 均匀分布均匀分布描述了随机变量在某个区间内取值的概率相等的情况。

设随机变量X 在[a, b]区间内取值，均匀分布的概率密度函数为：f(x) = 1 / (b-a)，其中a≤x≤b。

2. 正态分布正态分布是概率论中最重要的分布之一，也被称为高斯分布。

正态分布的概率密度函数为：f(x) = (1 / √(2πσ^2)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))，其中μ为均值，σ为标准差。

概率分布（数学期望，平均值，方差，标准差）2018展开全文我们已经了解概率的基础，概率中通常将试验的结果称为随机变量。

随机变量将每一个可能出现的试验结果赋予了一个数值，包含离散型随机变量和连续型随机变量。

掷硬币就是一个典型的离散型随机变量，离散随机变量可以取无限个但可数的数值。

而连续变量相反，它在某一个区间内能取任意的数值。

时间就是一个典型的连续变量，1.25分钟、1.251分钟，1.2512分钟，它能无限分割。

既然随机变量可以取不同的值，统计学家就用概率分布描述随机变量取不同值的概率。

相对应的，有离散型概率分布和连续型概率分布。

对于离散型随机变量x，定义一个概率函数叫f(x)，它给出了随机变量取每一个值的概率。

拿出一个骰子，掷到6的概率是f(6) = 1/6，掷到1和6的概率则是f(1)+f(6) = 1/3。

数学期望（均值）理解一：在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。

是最基本的数学特征之一。

它反映随机变量平均取值的大小。

其公式如下：xk ：表示观察到随机变量X的样本的值。

pk : 表示xk发生的概率。

数学期望反映的是平均水平。

通过它，我们能够了解一个群体的平均水平（比如说，一个班平均成绩８０）。

但另外一个方面，它所包含的信息也是十分有限的，首先是个体信息被压缩了，其次如果单纯看期望的话，是看不出样本的数量。

（平均成绩为８０，在１人班和１００人班的含义是不一样的）通过这个问题想说明，在刻画群体特征的时候，多个数字特征配合才能达到效果。

（上面的例子：可以是期望 + 数量）理解二：在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和严格的定义如下：2.数学期望的含义这个很重要，我们一定要明白概念的含义，联系到实际的应用场景中表达的真正意义，数学期望的存在是为了表达什么？答：反映随机变量平均取值的大小3.数学期望（均值）和算术平均值（平均数）的关系（期望和平均数的关系）谈谈我对于这两个概念的理解（1）平均数是根据实际结果统计得到的随机变量样本计算出来的算术平均值，和实验本身有关，而数学期望是完全由随机变量的概率分布所确定的，和实验本身无关。

如皋市薛窑中学2011届高三理科数学一轮复习61随机变量的概率分布、期望与方差【考点解读】离散型随机变量及其分布列：A ；超几何分布：A ；条件概率及相互独立事件：A ； n 次独立重复试验的模型及二项分布：B ；离散型随机变量的均值与方差：B 【复习目标】1．了解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；会求某些简单的离散型随机变量的分布列。

2．了解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。

3．了解条件概率和两个事件相互独立的概念（对条件概率的应用题不作要求）。

4．理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。

5．了解取有限值的离散型随机变量的均值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。

活动一：基础知识 1．随机变量：（1）定义： 。

（2）表示方法： 。

2．随机变量分布列的定义：假定随机变量X 有n 个不同的取值,它们分别是12,,n x x x L 且P (X =x i )=p i ,i =1,2,…n ,① 称①为随机变量X 的概率分布列,简称X 的分布列 3．概率分布表4．分布列的性质: 概率分布列中(1,2)i P i n =L 满足以下两个条件：（1） ； （2） 。

5．两点分布如果随机变量X 只取两个可能值___0__和____1____,则称该随机变量X 服从0-1分布或两点分布,并记为X ～0-1或X ～两点分布． 6（1）假设一批产品共有N 件，其中有M 件不合格品，随机取出n 件产品，则抽取的n 件产品中不合格品X 的概率分布为：(),0,1,2,,r n r M N MnNC C P X r r l C --===L , 其中min{,}l M n =，且,,,,n N M N n M N N *≤≤∈．称分布列为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从参数为(,,)n M N 的超几何分布，记为~(,,)X H n M N ，并将(),0,1,2,,r n r M N MnNC C P X r r l C --===L 记为(;,,)H r n M N （2）说明：①超几何分布的模型是不放回抽样；②超几何分布种的参数是(,,)n M N ；③记号(;,,)H r n M N 中各个字母的含义： 7．n 次独立重复试验定义：一般地，由n 次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态即A 与_A ，每次试验中()0P A p =>,我们将这样的试验称为n 次独立重复试验． 思考：n 次独立重复试验必须具备哪些条件？ 8．二项分布 定义：（1）在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k （0k n ≤≤）次的概率为。

概率论中的期望与方差概率论是数学中的一个重要分支，研究随机现象的规律和性质。

在概率论中，期望和方差是两个重要的概念，它们用来描述随机变量的特征和分布。

本文将详细介绍概率论中的期望和方差，并探讨其应用。

一、期望期望是概率论中最基本的概念之一，用来描述随机变量的平均值。

对于离散型随机变量，期望的计算公式如下：E(X) = Σ(x * P(X=x))其中，E(X)表示随机变量X的期望，x表示随机变量X可能取到的值，P(X=x)表示随机变量X取到值x的概率。

对于连续型随机变量，期望的计算公式如下：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中，E(X)表示随机变量X的期望，x表示随机变量X的取值范围，f(x)表示随机变量X的概率密度函数。

期望可以理解为随机变量在一次试验中的平均值，它可以用来描述随机变量的集中趋势。

例如，假设有一个骰子，它的六个面分别标有1到6的数字。

每个数字出现的概率相同，为1/6。

那么这个骰子的期望就是(1+2+3+4+5+6)/6=3.5。

这意味着在大量的投掷中，骰子的平均值趋近于3.5。

二、方差方差是概率论中用来描述随机变量离散程度的指标。

方差的计算公式如下：Var(X) = E((X-E(X))^2)其中，Var(X)表示随机变量X的方差，E(X)表示随机变量X的期望。

方差可以理解为随机变量与其期望之间的差异程度，它可以用来度量随机变量的波动性。

方差越大，表示随机变量的取值在期望附近波动的程度越大；方差越小，表示随机变量的取值相对稳定。

方差的平方根称为标准差，它是方差的一种常用度量方式。

标准差可以帮助我们判断数据的分散程度，通常来说，数据的标准差越大，表示数据的波动性越大。

三、应用期望和方差在概率论中有广泛的应用。

它们不仅可以用来描述随机变量的特征，还可以用来解决实际问题。

1. 随机变量的期望可以用来计算投资的预期回报。

假设某个投资项目有两个可能的结果，分别为正收益和负收益，每个结果发生的概率已知。

高二数学概率与统计中的期望与方差在高二数学课程中，概率与统计是一个重要的内容模块。

其中，期望与方差是概率与统计中常用的两个概念。

本文将重点讨论高二数学概率与统计中的期望与方差，并解释其在实际问题中的应用。

一、期望期望是概率与统计中的一个重要指标，用于表示随机变量的平均值。

设有一随机变量X，其取值为{x1, x2, ..., xn}，对应的概率为{p1, p2, ..., pn}，则X的期望E(X)定义为：E(X) = Σ(xi * pi)期望可以理解为随机变量在大量试验中的平均结果。

例如，假设有一个骰子，每个面上的点数为1、2、3、4、5、6，并且每个点数出现的概率相同。

那么骰子的期望就是：(1*1/6) + (2*1/6) + (3*1/6) + (4*1/6) + (5*1/6) + (6*1/6) = 3.5。

这意味着在大量投掷骰子的试验中，每次投掷的点数的平均值接近于3.5。

利用期望，我们可以解决很多实际问题。

例如，在经济学中，期望被用来衡量风险与收益。

如果一项投资的期望收益较高，意味着在大量投资实验中，该投资很可能带来较高的收益。

而对于风险较高的投资，期望收益可能较低。

因此，期望可以帮助我们在不同投资项目之间进行选择。

二、方差方差是概率与统计中度量随机变量的离散程度的指标。

设有一随机变量X，其取值为{x1, x2, ..., xn}，对应的概率为{p1, p2, ..., pn}，则X的方差Var(X)定义为：Var(X) = Σ((xi - E(X))^2 * pi)方差可以帮助我们衡量随机变量的波动程度。

例如，在天气预报中，我们经常会听到“气温波动较大”的说法。

而方差可以用来具体度量气温的波动。

如果某地气温的方差较大，意味着该地的气温在不同时间可能会有较大的变化。

而方差较小则表示气温变化相对较小。

除了用于度量波动，方差还可以提供有关概率分布的信息。

当方差较大时，说明随机变量的取值相对较分散，概率分布图通常会呈现较宽的曲线；而方差较小时，随机变量的取值较为集中，概率分布图会呈现较窄的曲线。

概率分布期望方差汇总概率分布是描述随机变量取值的概率的数学模型。

期望是对随机变量取值的平均值的度量，方差则是衡量随机变量取值分散程度的度量。

在概率论和统计学中，期望和方差是两个重要的概念，对于理解和应用概率分布非常关键。

一、期望期望是对随机变量取值的平均值的度量，也可以理解为随机变量的中心位置。

对于离散随机变量X，其期望计算公式为E(X) = Σ x*p(x)，即随机变量各取值乘以其对应的概率之和。

对于连续随机变量X，其期望计算公式为E(X) = ∫ x*f(x) dx，其中f(x)是X的概率密度函数。

二、方差方差是对随机变量取值分散程度的度量。

方差越大，表示随机变量的取值更分散；方差越小，表示随机变量的取值更集中。

方差计算公式为Var(X) = E[(X-E(X))^2]，即随机变量取值与其期望之差的平方的期望。

方差的平方根称为标准差。

三、常见概率分布的期望和方差1.二项分布二项分布是最常见的离散概率分布之一，描述在n次独立重复试验中成功次数的分布。

设X为成功次数，则X服从参数为n和p的二项分布记作X~B(n,p)。

期望：E(X) = np方差：Var(X) = np(1-p)2.泊松分布泊松分布描述单位时间或单位空间内事件发生的次数的概率。

设X为单位时间或单位空间内事件发生的次数，则X服从参数为λ的泊松分布记作X~P(λ)。

期望：E(X)=λ方差：Var(X) = λ3.均匀分布均匀分布是最简单的连续概率分布之一，描述在一个区间上随机取值的概率。

设X在[a,b]区间上服从均匀分布，则X服从均匀分布记作X~U(a,b)。

期望：E(X)=(a+b)/2方差：Var(X) = (b-a)^2/124.正态分布正态分布是最常见的连续概率分布之一，其概率密度函数呈钟型曲线。

设X服从参数为μ和σ^2的正态分布记作X~N(μ,σ^2)。

期望：E(X)=μ方差：Var(X) = σ^25.指数分布指数分布描述连续随机事件发生的时间间隔的概率。