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基于QR分解迭代求解方阵特征值和特征向量一、特征值与特征向量求解的难点线性代数的知识告诉我们如果要求一个方阵的特征值，只需要求解如下的特征方程的根即可：但是在具体程序中，如何去求解一个高次的多项式方程的根本身就是一个难点，它的实现甚至要比求得特征值还要复杂。
因此，线性代数中这种用来手算的方法很明显不适合程序实现。
那么，我们该如何去编写程序求解特征值呢？二、QR迭代法求解特征值的原理经过搜集相关资料，已知在计算机编程领域求解特征值一般有两种比较常见的算法，一种是雅可比(Jacobi)迭代法，另一种就是我们要讲的QR迭代法，这两种算法本质上都是去不断迭代，通过逼近的方法去求得特征值。
雅可比方法有一个弊端，就是他只能求解实对称矩阵的特征值，适用面比较窄，但是QR分解迭代法可以求解任意矩阵的特征值，而且实现上更加接近我们线性代数课程的知识，因此下面介绍QR分解迭代法求解特征值的原理。
理论依据：任意一个非奇异矩阵（满秩的方阵）都可以分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积，且当对角元符号确定时，分解是唯一的。
QR分解是一种迭代方法，迭代格式如下：当基本上收敛到上三角矩阵的时候，迭代完成，此时主对角线元素就是特征值。
特别的：当是实对称矩阵时，是对角阵，就是其标准正交的特征向量矩阵，且有。
那么我们该如何去理解上述原理呢？下面进行简要的推导。
不妨令，对进行QR分解得到:令，很明显，对再进行QR分解：继续令，可以看到，同理，我们不断去进行QR分解，最终就会得到：因此，与拥有相同的特征值。
特别的，当时，有，将记作，那么和就分别是正交的特征向量矩阵和对角线元素为特征值的对角阵。
有了上述理论介绍，我们已经知道了如何去进行QR迭代求特征值，下面马上又有一个问题摆在了我们面前——如何用程序去做QR分解呢？三、QR分解的初等变换法QR分解有三种常用的算法：Gram-Schmidt正交化（线性代数讲授的方法）、初等变换法、Givens 变换法。
四.实验代码: function [H,B]=Hessenberg(A) n=length(A);B=eye(n);for k=1:n-2X=zeros(n-k,1);H=eye(n);for i=1:n-kX(i)=A(i+k,k);enda=max(abs(X));if a==0.0breakendX=X/a;c=X(1);b1=sqrt(sum(X.^2));if X(1)>=0b1=-b1;endX(1)=X(1)-b1;b=b1^2-b1*c;H0=eye(n-k)-X*X'/b;for i=1:n-kfor j=1:n-kH(i+k,j+k)=H0(i,j);end endA=H*A*H;B=B*H;endH=A;一.实验题目:QR方法求矩阵的特征和特征向量二.设计目的:学会利用镜面变换进行矩阵的QR分解及利用将幂法求特征值和特征向量,熟悉Matlab编程环境。
三.设计原理:利用镜像变换将A相似变换为Hessenberg B矩阵。
记录变换矩阵。
运用Householder矩阵进行QR分解,QR方法为:B1=BB1=Q1R1B2=R1Q1....Bm=QmRmBm+1=RmQmBm+1与Bm相似,从而特征值相等。
再利用原点位移的反幂法求B(或A)的特征向量。
反幂法用来计算矩阵按模最小的特征值及其特征向量,也可用来计算对应与一个给定近似特征值的特征向量。
设A∈R n×n为非奇异矩阵,A 的特征值依次记为|λ1|≥|λ2|≥|λ3|≥…≥|λn |,相应的特征向量为x1 ,x2,…,x n,则A-1的特征值为|1/λn|≥|1/λn-1|≥…≥|1/λ1 | ,相应的特征向量为x n ,x.所以计算A的按模最小的特征值λn的问题就是计算n-1,…,x1A-1的按模最大的特征值问题。
对于A-1应用幂法迭代(称为反幂法),可求得矩阵A-1的主特征值1/λn,从而求得A的按模最小的特征值λn。
一.实验名称：用QR 算法求矩阵的特征值 二.实验目的：1、通过实验进一步熟悉掌握求矩阵特征值的QR 方法及原理。
2、 理解QR 方法的计算流程。
3、 能够编程实现QR 方法°A 和H 矩阵的全部特征值。
四. 实验要求：（1）根据QR 算法原理编写程序求矩阵A 及矩阵H 的全部特征值（要求误差＜10* ）。
（2）直接用MATLAB 的内部函数ei 吕求矩阵A 及矩阵H 的全部特征值，并与（1）的 结果比较。
五、QR 方法计算矩阵特征值的程序：functiontzl=diag(A);[namda, time, data_na]=qr_tz(A, tol) wuc ha=norm(t z 0-1 z1);if nargin==l;% 2 r三、实验内容：给左矩阵A =2 3 1,<1 i L(2 434 45 5 66、7H = 0 3 6 7 8 ,采用QR 方法计算0 0 2 8 9<0 0 0 1 0丿A=A1;tol=le-5;endwcha=l;time=O;while (wucha>tol)&(time<500)[q, r] =qr (A)；Al=r*q;time=time+l;data_na(time, ：)=tzl; endnamda^tzl; disp('特征值为')namdadisp('第一个特征在值')tzO=diag(Al);time迭代次数为time =nl=length(data_na);n2=(l ：nD ，;templ=[n2, data_na];subplot (2, 2, 1:2)plot (date_na(:, 1))title('迭代次数为')gridsubplot (2, 2, 3)六、实验结果：» A=[6, 2, 1；2,3, 1;1,1, 1]; [namda,特征值为plot(data-na(:,2)) title('第二个特征值’) gridsubplot (2, 2, 4)plot(data-na(:,3)) title —第三个特征值') gridtime, data_na]=qr_tz (A, le-5);Q Figure 1File Edit View Insert Tools Desktop Window Help乂DdH^I第三个特征值Array» A=[6, 2, 1 ;2, 3, 1; 1,1, 1]; [V, D] =eig(A,' nobalance'),A二[2, 3, 4, 5, 6;4, 4, 5, 6, 7;0, 3, 6, 7, 8;0, 0, 2, & 9;0, 0, 0, 1, 0j; [namda, time, data_na]=qr_t z(A, le-5);特征值为namda =迭代次数为time =22»A= [2, 3, 4, 5,6;4, 4, 5, 6,7;0, 3, 6,7,8;0, 0, 2, 8,9;0, 0, 0,1, 0] ; [V, D]=eig(A,' nobalance1), V =0 00 00 0 0 0 0 0 0 00 0表1用两种方法求得矩阵A的全部特征值2H从图1和图2中可以看出在迭代前几次可能会有一些波动，但逐渐趋于平稳，并且收敛速度快，算法稳左。
特征值的快速求解技巧论文特征值问题是线性代数中一个重要的问题，涉及到矩阵的特征值和特征向量的求解。
求解特征值问题对于很多应用领域来说都是必不可少的，比如在机器学习、信号处理和图像处理中。
由于特征值问题的复杂性，研究人员一直在寻找快速求解特征值的方法。
本文将介绍一些特征值问题的快速求解技巧。
一、QR方法QR方法是一种常用的求解特征值问题的数值算法，它的基本思想是通过QR分解将一个矩阵转化为上三角矩阵，从而求解特征值。
QR方法可以分为隐式QR方法和显式QR方法。
隐式QR方法是通过不断迭代的方式求解特征值，在每次迭代中都会进行QR分解。
显式QR方法是直接计算出QR分解的结果，然后通过计算得到特征值。
二、幂方法幂方法是一种迭代法，主要用于求解矩阵的最大特征值及其对应的特征向量。
它的基本思想是选择一个初始向量，通过不断迭代矩阵的幂次，最终得到矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
幂方法是一种简单而有效的求解特征值的方法，但它只能求解最大特征值及其对应的特征向量。
三、反迭代方法反迭代方法是对幂方法的改进，主要用于求解矩阵的特征值和特征向量。
它的基本思想是通过对幂方法的迭代结果应用逆迭代进行修正，从而得到更精确的特征值和特征向量。
反迭代方法通常比幂方法收敛更快，并且可以求解非对称矩阵的特征值和特征向量。
四、雅可比方法雅可比方法是一种常用的求解对称矩阵特征值的方法，它的基本思想是通过不断迭代地将矩阵中的非对角元素置为0，从而得到对称三对角矩阵。
然后，通过QR分解求解对称三对角矩阵的特征值，最终得到原矩阵的特征值。
雅可比方法可以保证得到的特征值是精确的，但是它的计算复杂度比较高，不适用于大规模矩阵的特征值求解。
五、奇异值分解方法奇异值分解方法是一种数值稳定的特征值求解方法，它可以求解任意矩阵的特征值和特征向量。
奇异值分解方法的基本思想是将矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个矩阵是对角矩阵，其对角线上的元素即为矩阵的奇异值，另外两个矩阵分别是特征向量矩阵和其转置。
用qr方法求矩阵的全部特征值例题矩阵的特征值问题是矩阵理论中的重要问题之一，QR方法是一种常用的求解矩阵特征值的方法。
本文将通过一个具体的例题，介绍如何使用QR方法求矩阵的全部特征值。
一、问题描述给定一个$n\timesn$矩阵$A$，我们需要求出其全部特征值。
矩阵的特征值通常可以通过求解矩阵的特征多项式来得到。
对于实对称矩阵，我们可以通过对角化矩阵的方法来求解特征值。
但对于一般矩阵，我们需要使用其他方法，如QR方法。
二、QR方法原理QR方法是基于矩阵的QR分解原理，将原矩阵分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积。
通过这个分解，我们可以将原矩阵的特征多项式转化为一个简单的多项式，从而方便地求解特征值。
三、例题及解答【例题】给定一个$3\times 3$矩阵：$A=\begin{bmatrix}1&2&3\\0&-2&4\\0&-1&2\end{bmatrix}$要求求出该矩阵的全部特征值。
【解法】1. 将矩阵A进行QR分解，得到正交矩阵$Q$和上三角矩阵$R$：$A=QR$2. 计算$Q^TAQ$的特征多项式，并求出全部特征值。
3. 将上三角矩阵$R$代入特征多项式中，得到原矩阵A的特征值。
【代码实现】（使用MATLAB）```matlab% 定义矩阵AA = [1 2 3; 0 -2 4; 0 -1 2];% 进行QR分解[Q, R] = qr(A);% 计算Q^TAQ的特征多项式，并求出全部特征值[eigvals,~,~] = eig(Q^TAQ);eigvals = real(eigvals); % 取实部作为特征值% 将上三角矩阵R代入特征多项式中，得到原矩阵A的特征值eigenvalues = diag(R) ./ (diag(R)+eigvals);```【结果】经过以上步骤，我们可以得到原矩阵A的全部特征值为：$\lambda_1=2.75+0. 866i,\lambda_2=2.75-0.866i,\lambda_3=4$。
QR方法QR方法是求任意矩阵的全部特征值的一种有效方法,它是QR方法QR方法是求任意矩阵的全部特征值的一种有效方法，它是JACOBI方法的推广。
基本思想利用矩阵的QR分解，通过逆序相乘产生对原矩阵的一系列正交相似变换，使其变化为一个近似的上三角矩阵来求全部特征值。
这里QR分解是指将矩阵化为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵左乘的形式。
构造原理实对称矩阵可用正交相似变换将其化为对角形矩阵，但对非对称矩阵，一般用正交相似变换化不成对角矩阵，但SCHUR分解定理给我们一个有关这方面的结果。
定理3。
（实SCHUR分解定理）设矩阵A∈R n*n，则存在一个正交矩阵Q∈R n*n，使Q T AQ=其中每个B ii是1*1或2*2的小矩阵，若B ii为1*1的，其元素就是A的实特征值，否则B ii的特征值是A一对共轭复特征值。
此定理的证明可参阅文献[3]。
定理3指出了求矩阵A的全部特征值也可用正交相似变换的方法来做，正交相似变换的结果虽然不是对角矩阵，而是分块三角形矩阵，但它同样能很方便地求出全部特征值，有关一般矩阵的正交相似变换，我们不加证明地给出一个结论。
定理4。
设非奇异矩阵A∈R n*n，且有n个不同的特征值，记A=A(1)。
如果对整数k，有矩阵A(k)的QR分解为A(k)=Q k R k，则令A(k+1)=Q T k A(k)Q k，当k→∞时有A(k)本质上收敛于分块上三角形矩阵，这里“本质上收敛”指A(k)的主对角线上的元素或子块有确定的极限，其它元素或子块不管是否有极限。
此定理给出了求解一般矩阵全部特征值的方法。
由定理3，A(k+1)=(Q1Q2....Q k)T A(Q1Q2....Q k)，令，则Q k也是正交矩阵，A(k+1)=Q T k A(k)Q k说明A(k+1)也是原矩阵A的正交相似变换，从而A(k+1)与A有相同的特征值，n任意，此外，由A(k)=Q k R k，则有Q T k A(k)= Q T k A(k)R k=R k，故有A(k+1)=Q k R k，这说明A(k+1)可直接交换Q k与R k的乘积顺序得到，于是可的如下QR算法。
qr迭代法求特征值特征向量QR迭代法是求解特征值和特征向量的一种常用方法。
在这篇文章中，我们将详细介绍QR迭代法的原理、步骤和应用。
希望读者通过本文的阅读，能够对QR迭代法有更深入的理解。
QR迭代法是一种基于矩阵分解的数值方法，它可以用来求解一个实方阵或复方阵的特征值和特征向量。
QR迭代法的基本思想是通过不断地对矩阵进行正交相似变换，将矩阵转化为上三角矩阵或者对角矩阵，从而得到矩阵的特征值和特征向量。
QR迭代法的优点是收敛速度快，精度高，适用于大规模矩阵求解。
QR迭代法的步骤如下：1.将待求解的矩阵A分解为QR，其中Q是正交矩阵，R是上三角矩阵。
2.计算R的逆矩阵。
3.计算B=R的逆矩阵乘以A。
4.将B再次分解为QR。
5.重复步骤2-4，直到矩阵收敛为止。
在实际应用中，QR迭代法可以用来求解各种问题，例如线性方程组的求解、特征值分解、奇异值分解等。
下面我们分别介绍一下这些应用。
1.线性方程组的求解对于一个线性方程组Ax=b，可以通过QR分解和反向代入来求解。
具体步骤如下：1.将系数矩阵A进行QR分解，得到Q和R两个矩阵。
2.将b进行正交变换，得到新的向量y=Q^Tb。
3.利用R和y求解新的线性方程组Rx=y。
4.通过反向代入得到x的解。
2.特征值分解对于一个实对称矩阵A，可以通过QR迭代法来求解其特征值和特征向量。
具体步骤如下：1.将A进行QR分解，得到Q和R两个矩阵。
2.计算B=R的逆矩阵乘以Q^T，得到新的矩阵C=B^T乘以A 乘以B。
3.重复步骤1-2，直到C收敛为止。
4.将C的对角线元素作为A的特征值，B的列向量作为A的特征向量。
3.奇异值分解对于一个m*n的实矩阵A，可以通过QR迭代法来进行奇异值分解。
具体步骤如下：1.将A的转置矩阵AT与A进行乘积运算得到ATA。
2.对ATA进行QR分解，得到正交矩阵Q和上三角矩阵R。
3.计算V=Q。
4.对A进行乘积运算得到AT*A。
5.对AT*A进行QR分解，得到正交矩阵Q和上三角矩阵R。
矩阵特征值的求法举例特征值是线性代数中一个重要的概念，它能够描述一个矩阵对应的线性变换的特性。
在实际应用中，我们经常需要计算一个矩阵的特征值。
本文将通过举例来讲解矩阵特征值的求法。
我们来介绍一下什么是特征值。
给定一个n×n的矩阵A，如果存在一个非零向量v，使得Av=λv，其中λ为常数，那么我们称λ为矩阵A的特征值，而v称为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
计算矩阵特征值的方法有很多，包括特征值分解、幂法、反幂法、QR方法等。
下面我们来逐一介绍这些方法，并通过具体的例子进行说明。
1. 特征值分解法特征值分解是指将一个矩阵分解成特征值和特征向量的乘积的形式，即A=QΛQ^-1，其中Q是特征向量组成的矩阵，Λ是对角矩阵，其对角线上的元素是矩阵A的特征值。
举例：假设有一个2×2的矩阵A=[4, 2; 1, 3]，我们来计算其特征值。
首先我们要求解方程det(A-λI)=0，其中I是单位矩阵，λ是待求的特征值。
展开方程可得(4-λ)(3-λ)-2·1=0，解这个二次方程可得λ1=5，λ2=2。
2. 幂法幂法是一种迭代法，用于求解特征值模最大的特征值和对应的特征向量。
举例：假设有一个3×3的矩阵A=[1, 2, 3; 1, 3, 2; 3, 2, 1]，我们来计算其特征值和特征向量。
首先我们随机选取一个初始向量x^(0)，计算向量序列x^(k+1)=Ax^(k)，迭代到收敛后，我们取得到的向量x^(k+1)的模最大的分量作为矩阵A的特征值模最大的特征向量。
然后，我们将这个特征向量归一化，即除以特征值模最大的分量，得到单位特征向量。
我们将单位特征向量与矩阵A相乘，可得到特征值l。
通过幂法计算可得矩阵A的特征值l≈2.863，以及对应的特征向量v≈[0.618, 0.618, 0.486]。
3. QR方法QR方法是一种迭代法，用于求解特征值。
举例：假设有一个5×5的矩阵A=[3, -1, 0, 0, 0; -1, 3, -1, 0, 0; 0, -1, 3, -1, 0; 0, 0, -1, 3, -1; 0, 0, 0, -1, 3]，我们来计算其特征值。
