第5章 线性系统的频域分析法[198页]

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5.1.2 频率特性的定义 1、频率响应
在正弦输入信号作用下，系统输出的稳态值 称为系统的频率响应，记为c(t)。
2、频率特性
系统频率响应c(t)与输入正弦信号r(t)的复数比称 为系统的频率特性，是随输入正弦信号角频率 变化而变化的复变函数，
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•
记为G(j)，即
G
(
j
)
c
•
r
G( j) G( j) e j
5.1.1 频率特性的概述
频率特性又称频率响应，它是系统（或元件）对不同 频率正弦输入信号的响应特性（图5-1）。
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线性系统
5
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图5-1 正弦信号对线性系统的作用
3
一、系统对正弦输入信号的稳态输出
u(t)
y(t)
1
2
3
4
5
t/s
图5-2 输入输出信号的对比
6
5
设系统的传递函数为：
C(s) G(s) N(s)
N (s)
R(s)
D(s) (s p1)(s p2 ) (s pn )
已知输入 r(t) Asin(t)，其拉氏变换 R(s) A
s2 2
A为常量，则系统输出为
C(s)
G(s)R(s)
c(t) b1e jt b2e jt aie pit
(5-3)
i 1
其中 b1,b2和ai (i 1, 2, n)
待定系数
7
b1
G(s)
A s2 2
(s
j )
s j
G(
j )
(s
A j)(s
(s
j )
j )
s j
G(
j )
A 2j
b2
G(s)
A s2 2
(s
j )
s j
G(
j )
N(s) D(s)
A s2 2
(s
N (s) p1)(s p2 )
(s
pn
)
A s2
2
p1, p2 , , pn 为G(s)的极点
6
若系统无重极点，则（5-1）式可写为
n
C(s)
ai
b1
b2
i1 s pi s j s j
(5-2)
对（5-2）式求拉氏反变换，则得系统的输出信号
n
第五章线性系统的频域分析法
频率响应法(Frequency-response analysis)
是二十世纪三十年代发展起来的一种经典工程实用 方法,是一种利用频率特性进行控制系统分析的图 解方法,可方便地用于控制工程中的系统分析与设 计。频率法用于分析和设计系统有如下优点： （1）不必求解系统的特征根，采用较为简单的图解 方法就可研究系统的稳定性。
G(
j )
A e jt 2j
G(
j )
A 2j
e jt
G( j) e j A e jt G( j) e j
A
e jt
G(
j )
e jt A
e jt
2j
2j
2j
G( j) Asin(t )
在正弦信号的作用下，系统的稳态响应仍然是一个 正弦函数，其频率与输入信号的频率相同，振幅为输 入信号幅值的 G( j) 倍，相位移为 G( j)
2 根椐传递函数来求取 G( j) G(s) s j
3 通过实验测得。
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5.1.4 频率特性的物理意义
频率特性与传递函数的关系: G(jω)=G(s)|s=jω 频率特性表征了系统或元件对不同频率正弦
输入的响应特性。
(ω)大于零时称为 相角超前，小于零 时称为相角滞后。
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➢应用频率特性分析系统性能的基本思路：实际 施加于控制系统的周期或非周期信号都可表示成 由许多谐波分量组成的傅立叶级数或用傅立叶积 分表示的连续频谱函数，因此根据控制系统对于 正弦谐波函数这类典型信号的响应可以推算出它 在任意周期信号或非周期信号作用下的运动情况。
式中, G( j) 是稳态输出信号的幅值与输入 信号的幅值之比，称为幅频特性。 () 是稳 态输出信号的相角与输入信号相角之差(相
移)，称为相频特性。
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5.1.3 频率特性的求取
在系统传递函数G(s)中，令s= j，即可得到 系统的频率特性。有开环频率特性与闭环频 率特性之分。 1 已知系统的系统方程，输入正弦函数求其稳态 解，取输出稳态分量和输入正弦的复数比；
(s
A j )(s
j )
(s
j )
s j
G(
j )
A 2j
若系统稳定，pi 均具有负实部， t 时，上式中的暂态
分量将衰减为零，这时，可得到系统的稳态响应：
lim c(t)
t
b1e
jt
b2e jt
将 b1, b2 代入上式，并利用欧拉公式，可求得稳态响应为
8
c(t) |t
b1e jt
b2e jt
1
（2）系统的频率特性可用实验方法测出。 （3）用频率法设计系统，可以忽略噪声的影响。
本章主要讨论频率响应法的基本概念、典型环节 及系统频率特性的求法、频率特性与时域响应的关 系和闭环系统的频率特性等。
5.1 频率特性的基本概念
从讨论系统在正弦信号作用下的稳态响应出发， 掌握频率特性的基本概念。
2
设输入r(t)为正弦信号， 作用于线性定常系统 G(s) ，输出响应为c(t)，则输出信号为同频率 的正弦信号，但输出的振幅和相位不同于输入 量，且随着输入信号频率的变化而变化，如图 5-2所示：
4
6
r(t) 2cos(t) 4
2 幅值 0
c(t) 4.8cos(t ) -2
-4
-6
-8 0
红 —输 入 ， 蓝 —全 响 应 ， 黑 —稳 态 响 应 yss(t)
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G(s)
U 2
(s)
1
R
U (s) 1 Ts 1
T RC
u (t) 1
i(t) C
u (t) 2
G(
j)
U 2
(
j)
1
A()e j()
U ( j) 1 jT
1
A() 1 1 (T)2
() tg1T
幅值A()随着频率升高而衰减
对于低频信号 (T 1)
A() 1
() 0
对于高频信号 (T 1) A() 1 0
T
() 90
!频率特性反映了系统(电路)的内在性质,与 外界因素无关。
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5.1.4 频率特性表示法
频率特性可用解析式或图形来表示。 （一）解析表示
系统开环频率特性可用以下解析式表示：
幅频-相频形式： G( j) G( j) G( j) 指数形式(极坐标) ： G( j) G( j) e j 三角函数形式：G( j) G( j) cos() j G( j) sin()
实频-虚频形式： G( j) U() jV()
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jV
V () 0
A() ( )
U () U
G( j) A()e j() U () jV ()