典型例题（二）方阵可逆的判定
例1 设A 是n 阶方阵, 试证下列各式：
（1）若0||≠A , 则T
T A A )()(11--=；
（2）若A 、B 都是n 阶可逆矩阵, 则*
**)(A B AB =；
（3）T
T A A )()(**=；
（4）若0||≠A , 则*
11*)()(--=A A ； （5）
*
1*)1()(A A n --=-； （6）若0||≠A , 则l
l A A )()(11--=（l 为自然数）； （7）
*
1*)(A k kA n -=. 证 （1）因为0||≠A , 故A 是可逆矩阵, 且
E AA =-1
两边同时取转置可得
E E A A AA T T T T ===--)()()(11
故由可逆矩阵的定义可知
T A )(1-是A T 的逆矩阵. 即
1
1)()(--=T T A A （2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有
E AB AB AB ||)()(*=
（2-7）
另一方面
B I A B B A A B AB A B )|(|)())((*****==
E AB E B A B B A |||| ||||*===
（2-8）
比较式（2-7）、（2-8）可知
))(()()(***AB A B AB AB =
又因为A 、B 均可逆, 所以(AB )也可逆, 对上式两端右乘1
)(-AB 可得
***)(A B AB = （3）设n 阶方阵A 为
⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 2
1
2222111211 于是可得A 的伴随矩阵*
A 为
⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎣⎡=nn n
n n n A A A A A A A A A A
2122212
12111
*
注意到A 的转置矩阵为
⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎣⎡=nn n
n
n n T
a a a a a a a a a A 212221212111 可推出T
A 的伴随矩阵为
⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎣⎡=nn n n n n T A A A A A A A A A A
2
1
2222111211
*
)(
比较*A 与
*)(T A 可知
**)()(T T A A = （4）因为0||≠A , 故A 可逆, A 的逆矩阵为1
-A , 并且由E A A A ||*
=可知
1*||-=A A A 由于0||≠A , 1-A 可逆且
E A A A ||)(1
*11---=可得
A A A ||1)(*1=
-
另一方面, 由
E A A A A A A ==--||1
||)(1
*1*
由矩阵可逆的定义知, *
A 可逆, 并且
*11*)()(--=A A （5）对于（3）给出的矩阵A , 有
⎥⎥⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢
⎣⎡---------=-nn n n n n a a a a a a a a a A 21
22221
11211
即
ij
a -的代数余子式为
nn
nj nj n n i j i j i i n i j i j i i n j j j
i a a a a a a a a a a a a a a a a ----------------+-+++-++-+----+-+
1
1
1
11
11
11111111111111111)
1(
)
, ,2 ,1,( )
1(1
n j i A ij n =-=-
故
*
11211121
22112
111211111*)1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()(A A A A A A A A A A A n nn n n n n n n n n n n n n n -----------=⎥
⎥
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎣⎡---------=-
（6）因为0||≠A , 故A 可逆, 并且
l l A A A A A AA A )()()(111111------=== （7）对于（3）给出的矩阵A , 有
⎥⎥⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢
⎢⎢⎣⎡=nn n n n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA
2
122221
11111
类似于（5）可知ij
ka 的代数余子式为
ij
n A k 1-, 故
例2 设A 是n 阶非零矩阵, 并且A 的伴随矩阵*A 满足T
A A =*, 证明A 是可逆矩阵. 证 根据矩阵A 与其对应的伴随矩阵的关系式, 有
E A A A AA ||**==
反证, 假设A 不可逆, 故有0||=A , 由上式及条件T
A A =*, 有
O AA AA T ==* （2-6）
设矩阵A 为
⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 2
12222111211 由式（2-6）可知
⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎣⎡=nn n
n n n nn n n n n T
a a a a a a a a a a a a a a a a a a AA
2122212
12111
2
1
2222111211
O a a a
a a a a a
a a a a a a a n
i ni
n
i i
ni n i i
ni n
i ni i n
i i
n
i i i n
i ni i n
i i
i n i i =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑
∑∑∑
∑∑
∑∑
∑=========121
21
1121
2
21
121112112
1
比较上式两边矩阵对角线上的元素有
)
, ,2 ,1( 01
2
n j a
n
i ji
==∑=
故
)
, ,2 ,1( 021n j a a a jn j j =====
l 个
l 个
