特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形与梯形、在解决一些与四边形有关得问题时往往需要添加辅助线、下面介绍一些辅助线得添加方法、
一、与平行四边形有关得辅助线作法
平行四边形就是最常见得特殊四边形之一，它有许多可以利用性质,为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形、
1。利用一组对边平行且相等构造平行四边形
例1 如图１,已知点O就是平行四边形ABCＤ得对角线AC得中点,四边形OＣDＥ就是平行四边形、
求证:ＯE与ＡD互相平分、
说明:当已知条件中涉及到平行，且要求证得结论中与平行四边形得性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形、
2。利用两组对边平行构造平行四边形
例2 如图２，在△ABC中，E、Ｆ为ＡB上两点,AE=BF,ＥD//AＣ，FG/／AＣ交BC分别为D,Ｇ、求证：ED+FG=AC、
说明:当图形中涉及到一组对边平行时,可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问题、3．利用对角线互相平分构造平行四边形
例３如图3，已知AD就是△ABC得中线，BＥ交ＡC于E，交AD于F，且AE=EF、求证ＢF=AＣ、
图3 图4
说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形,实际上就是采用了平移法构造平行四边形、当已知中点或中线应思考这种方法、
二、与菱形有关得辅助线得作法
与菱形有关得辅助线得作法主要就是连接菱形得对角线，借助菱形得判定定理或性质定定理解决问题、
例4 如图５,在△ABC中,∠AＣB=９０°，∠BＡC得平分线交BＣ于点Ｄ,Ｅ就是AB上一点,且AＥ=AC，ＥＦ//BC交AD于点F,求证:四边形ＣDEF就是菱形、
例5 如图6，四边形ABＣＤ就是菱形,E为边AＢ上一个定点,F就是AC上一个动点,求证ＥF+BF得最小值等于DE长、
图6
说明:菱形就是一种特殊得平行四边形，与菱形得有关证明题或计算题作辅助线得不就是很多，常见得几种辅助线得方法有:（1）作菱形得高；(2）连结菱形得对角线、
三、与矩形有辅助线作法
与矩形有关得题型一般有两种:（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；（２)证明或探索题，一般连结矩形得对角线借助对角线相等这一性质解决问题、与矩形有关得试题得辅助线得作法较少、
例６如图7，已知矩形ABCD内一点，PA=3，ＰB=4,PC＝5、求 PD得长、
图７
四、与正方形有关辅助线得作法
A B C
D
E
M
N
正方形就是一种完美得几何图形,它既就是轴对称图形，又就是中心对称图形,有关正方形得试题较多、解决正方形得问题有时需要作辅助线,作正方形对角线就是解决正方形问题得常用辅助线、
例7如图8,过正方形AB ＣD 得顶点B 作BE ／/AC ，且AE=AC ，又C Ｆ//AE 、求证:∠ＢCF=∠A ＥＢ、 说明:本题就是一道综合题，既涉及正方形得性质,又涉及到菱形得性质、通过连接正方形得对角线构造正方形A ＨB Ｏ，进一步得到菱形，借助菱形得性质解决问题、
与中点有关得辅助线作法
一、有中线时可倍长中线,构造全等三角形或平行四边形．
例1．已知:如图,AD 为中线，求证：、
类题1。已知:如图，A Ｄ为得中线,A Ｅ=ＥF 、求证：BF=AC 、
二、有以线段中点为端点得线段时，常加倍此线段,构造全等三角形或平行四边形、
例２．已知：如图，在中，,M 为ＡB 中点,P 、Q 分别在AC 、BC 上，且于M 、求证:、 类题２。已知：得边B Ｃ得中点为Ｎ,过A 得任一直线于D ，于E 、求证:ＮE=N Ｄ、 三、有中点时，可连结中位线。
例3．如图，中，D 、E 分别为AB 、AC 上点,且ＢD=ＣE,M 、N 为BE 、CD 中点,连MN 交AB 、A Ｃ于P 、Q,求证：
AP ＝AQ 。
类题３.已知:如图，E 、F 分别为四边形A ＢＣＤ得对角线中点，AB 〉CD 、求证：、
类题4．如图,中，AD 就是高，ＣE 为中线，,G 为垂足，DC ＝B Ｅ、求证：（1）G 就是ＣE 得中点；(２）、
四、有底边中点，连中线，利用等腰三角形“三线合一”性质证题
例4。已知:如图,在中,，A Ｂ=ＡC ，D 为ＢC 边中点，P 为ＢC 上一点，于F,于E 、求证：DF=ＤE 、 类题5．已知:如图,矩形ABCD,E 为CB 延长线上一点，且AC=CE ，F 为A Ｅ中点，求证:、
六、与梯形中点有关得辅助线：有腰中点时,常见以下三种引辅助线法
例5.已知:如图,在直角梯形A ＢＣD 中,AD ∥BC,,Ｍ为CD 得中点、求证：A Ｍ=ＭB 、
类题6。已知:梯形ABCD 中,AB ∥CD ，E 为BC 中点，于Ｆ、求证：、 【作业】
1、 已知△AB Ｃ与△D ＢE 为等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE ＝90°，A 、Ｂ、D 在同一直线上，Ｍ、Ｎ、Ｐ分别就是ＡＤ、A Ｃ、ＤE 边上得中点,试说明MP 与MN 得关系并证明.
2、如果上题中Ａ、B 、Ｄ不在同一直线上,其余条件不变,上述结论就是否发生变化?证明结论
.
3、平行四边形ABC Ｄ，对角线相交于点O ，P 、E 、F 分别就是AD 、OB 、O Ｃ得中点,ＡC=2AB 。 求证：PE=EF
4、等腰梯形ABC Ｄ中，DC ∥AB,∠ＡOB=６0°，E 、F 、Ｍ分别就是ＯＤ、ＯA 、BC 得中点。
求证:△EFM 就是等边三角形。 5、如图，在四边形ＡＢＣD 中,A Ｂ＝CD,M 、N 、Ｐ、Q 分别就是AD 、ＢC 、ＢD 、AC 得中点.求证:MN 与P Ｑ互相垂直平分。
6、如图，在△AB Ｃ中，Ｅ就是AB 得中点，CD 平分∠ＡCB,AD ⊥CD ，垂足为点D,求证:２ＤE ＝BC —AC
7、B Ｄ、CE 分别为△A ＢC 外角平分线,AM ⊥BD 于M ，AN ⊥C Ｅ于N ，探究ＭＮ与AB 、BC 、AC 得关系。 附加题: (1）若将上题中BD 改为∠ABC 得平分线,其它条件不变,则上题结论就是否成立.
A B D C
A B D
C
E
F A E D
G C B A D F B
C (1) E A
D B C (2)
E G A D
B C
(3)
E E
A B
D M C
A
D P B C
Q E M N
A
D
F E B C A F E D P C B B D C
F E A A P
M
Q B C N M P
E
D C B A
N
M P E D C B A A B C
D O
E P F
A
B
C D E
F M
O A B
C D M N P Q
（2）若ＢD 、ＣE 分别为∠ABC 与∠ACB 得平分线，其它条件不变，以上结论就是否成立？（画图、证明)
8、△ABC 中，ＡＢ=AC,∠BA Ｃ=,在A Ｂ、AC 上截取AD 、AE,且AD=AE,连结DE.如图1所示，则易证B Ｄ=ＣＥ，如图２所示,将△ADE 逆时针针旋转到如图所示位置，连结B Ｄ、CE 。 （1）判断BD 与CE 得数量关系及BD 、C Ｅ延长线所夹锐角得度数。
（２）点Ｇ、F 分别就是等腰△ABC 、等腰△AD Ｅ底边得中点，∠ＢAC=∠DAE=,点Ｐ就是线段ＣD 得中点,试探索∠GP Ｆ与得关系,并加以证明。
9、我们给出如下定义：有一组相邻内角相等得四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题:
（1）写出一个您所学过得特殊四边形中就是等邻角四边形得图形得名称; (2）如图1,在△ABC 中，ＡB=ＡＣ,点Ｄ在ＢC 上,且CD ＝C Ａ，点E 、Ｆ分别为BC 、AD 得中点,连接EF 并
延长交A Ｂ于点G ．求证:四边形AG ＥC 就是等邻角四边形； (3)如图２，若点D 在△ABC 得内部，（2）中得其她条件不变,ＥF 与C Ｄ交于点H 。图中就是否存在等邻角四边形,若存在，指出就是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由。
1、在四边形ABCD 中，E,F ，G,Ｈ分别就是ＡＢ,ＢC,C Ｄ,DA 得中点,顺次连结EF ，ＦG ，G Ｈ，HE 。 （１）请判断四边形EF ＧH 得形状，并给予证明;
（2)试添加一个条件，使四边形EFGH 就是菱形,并说明理由。
2、如图,在四边形AB Ｃ中，A Ｂ＝ＡD,ＣＢ＝CD ，点Ｍ,N ，P,Ｑ分别就是AB,B Ｃ，C Ｄ，ＤA 得中点,求证：四边形MNPQ 就是矩形、 小结:中点四边形:
对角线 得四边形得中点四边形就是菱形 对角线 得四边形得中点四边形就是矩形 对角线 得四边形得中点四边形就是正方形 对角线 得四边形得中点四边形就是平行四边形
（1) 顺次连接四边形各边中点所得得四边形就是 、 (２) 顺次连接平行四边形各边中点所得得四边形就是 、 (3) 顺次连接矩形各边中点所得得四边形就是 、 (４） 顺次连接菱形各边中点所得得四边形就是 、 （5） 顺次连接正方形各边中点所得得四边形就是 练习题：
P
D
C Q M
N
A B
C
D
E
B
C D E A
B
C
D E
A
C
B
A
C
B A
B
C
D
E A
P
G
F
１、顺次连接对角线互相垂直得四边形得各边中点,所得图形一定就是( ）
A 。矩形 ?
B .直角梯形 Ｃ。菱形? D 。正方形
2、如图,小区得一角有一块形状为等梯形得空地，为了美化小区,社区居委会计划在空地上建一个四边形得水池,使水池得四个顶点恰好在梯形各边得中点上，则水池得形状一定就是
Ａ、等腰梯形 B 、矩形 C 、菱形 D 、正方形
3、、顺次连接一个四边形得各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件得就是( ）
①平行四边形 ②菱形 ③等腰梯形 ④对角线互相垂直得四边形 A 、①③ B、②③ C、③④ D、②④
4、顺次连接四边形AB ＣＤ各边得中点所得四边形就是菱形，则四边形ＡＢCD 一定就是
A 、菱形 Ｂ、对角线互相垂直得四边形?Ｃ、矩形??D 、对角线相等得四边形
5.如图,在梯形ABC Ｄ中，AB∥ＣD,AD=BC,点E,F ，Ｇ，H 分别就是AB,B Ｃ，C Ｄ，DA 得中点,则下列结论一定正确得就是( )、
A 、 ∠HGＦ ＝ ∠ＧHE
B 、 ∠GHE ＝ ∠HEＦ
C 、 ∠ＨEF ＝ ∠EFG
D 、 ∠HGF = ∠HEF
6、如图，依次连结第一个矩形各边得中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边得中点得到第二个矩形,按照此方法继续下去.已知第一个矩形得面积为１,则第n 个矩形得面积为 。
7、我们把依次连接任意一个四边形各边中点所得得四边形叫做中点四边形。若一个四边形得中点四边形就是一个矩形，则四边形可以就是 ．
8、如图，点E 、F 、G 、H 分别就是任意四边形ＡBCD 中AD 、B Ｄ、BC 、ＣＡ得中点，当四边形AB ＣD 得边至少满足 条件时,四边形ＥFG Ｈ就是菱形．
9、如图，四边形ABCD 中，ＡC=a,ＢＤ=ｂ,且AC⊥BＤ,顺次连接四边形ＡBCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1Ｄ1,再顺次连接四边形A １Ｂ1C 1Ｄ1各边中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2……,如此进行下去，得到四边形A n Ｂn C n Ｄn 、 （2)写出四边形A 1B 1Ｃ1D 1与四边形A 2B 2Ｃ2D 2得面积; (3)写出四边形A n B n C n D n 得面积； （4）求四边形A 5B 5C 5Ｄ5得周长、
10.如图,在四边形ＡBC Ｄ中，E 为AB 上一点，△ＡＤE 与△BＣE 都就是等边三角形,A Ｂ、ＢC 、ＣD 、D Ａ
得中点分别为P 、Q 、M 、N,试判断四边形PQM Ｎ为怎样得四边形,并证明您得结论。
A B
C D E
F
G
H
……
… A 1
A
A 2 A 3
B B 1 B 2 B 3
C
C 2 C 1 C 3
D D 2
D 1
D 3
第9题图
一、和平行四边形有关的辅助线作法 1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形 例1 如图1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形. 求证:OE与AD互相平分. 说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形. 2．利用两组对边平行构造平行四边形 例2 如图2，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED证:ED+FG=AC. 说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问题. 3．利用对角线互相平分构造平行四边形
例3 如图3，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC. 图3 图4 说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法. 二、和菱形有关的辅助线的作法 和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题. 例4 如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点， 且AE=AC，EF 例5 如图6，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF 的最小值等于DE长. 图6 说明：菱形是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多，常见的几种辅助线的方法有：（1）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线. 三、与矩形有辅助线作法 和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股
几何最难的地方就是辅助线的添加了，但是对于添加辅助线，还是有规律可循的，下面可小编给大家整理了一些常见的添加辅助线的方法，掌握了对你一定有帮助！ 1 三角形中常见辅助线的添加 1. 与角平分线有关的?? （1）可向两边作垂线。?? （2）可作平行线，构造等腰三角形?? （3）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形?? 2. 与线段长度相关的?? （1）截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可?? （2）补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可?? （3）倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。?? （4）遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。? 3. 与等腰等边三角形相关的??
（1）考虑三线合一?? （2）旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转60?° 2 四边形中常见辅助线的添加 特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线。下面介绍一些辅助线的添加方法。 1. 和平行四边形有关的辅助线作法? ???? 平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形。? （1）利用一组对边平行且相等构造平行四边形? （2）利用两组对边平行构造平行四边形? （3）利用对角线互相平分构造平行四边形?? 2. 与矩形有辅助线作法? ? （1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题? （2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少. 3. 和菱形有关的辅助线的作法? ??? ? ?
专题讲义 平行四边形+几何辅助线的作法 一、知识点 1．四边形的内角和与外角和定理： （1）四边形的内角和等于360°； （2）四边形的外角和等于360°. 2．多边形的内角和与外角和定理： （1）n 边形的内角和等于(n-2)180°； （2）任意多边形的外角和等于360°. 3．平行四边形的性质： 四边形ABCD 是平行四边形 ?????????. 54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等； （）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（ 4、平行四边形判定方法的选择 5、和平行四边形有关的辅助线作法 （1）利用一组对边平行且相等构造平行四边形 例1、如图，已知点O 是平行四边形ABCD 的对角线AC 的中点，四边形OCDE 是平行四边形 求证: OE 与AD 互相平分. （2）利用两组对边平行构造平行四边形 例2、如图，在△ABC 中，E 、F 为AB 上两点，AE=BF ，ED//AC ，FG//AC 交BC 分别为D ，G. 求证: ED+FG=AC. （3）利用对角线互相平分构造平行四边形 例3、如图，已知AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE=EF.求证BF=AC. A B C D 1234A B C D A B D O C 性质 判定 说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可说明：当图形中涉及到一组对边平 行时，可通过作平行线构造另一组说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行 四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边 形.当已知中点或中线应思考这种方法.
（4）连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。 例4、如图，在平行四边形ABCD 中，点F E ,在对角线AC 上，且CF AE =,请你以F 为一个端点， 和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可） （5）平移对角线，把平行四边形转化为梯形。 例5、如右图2，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果12=AC ， 10=BD ，m AB =，那么m 的取值范围是（ ） A 、111< 四边形常用的辅助线做法 1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形 例1 如图1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形. 求证:OE与AD互相平分. 2．利用两组对边平行构造平行四边形 例2 如图2，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC交BC分别为D，G.求证:ED+FG=AC. 分析:要证明ED+FG=AC,因为DE//AC,可以经过点E作EH//CD交AC于H得平行四边形,得ED=HC,然后根据三角形全等,证明FG=AH. 3．利用对角线互相平分构造平行四边形 例3 如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC. 二、和菱形有关的辅助线的作法 和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题. 例4 如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF//BC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形. 例5 如图6，四边形ABCD 是菱形，E 为边AB 上一个定点，F 是AC 上一个动点，求证EF+BF 的最小值等于DE 长. 图6 说明：菱形是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多，常见的几种辅助线的方法有：（1）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线. 与矩形有辅助线作法 和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少. 例6 如图7，已知矩形ABCD 内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD 的长. 图7 说明：本题主要是借助矩形的四个角都是直角，通过作平行线构造四个小矩形，然后根据对角线得到直角三角形，利用勾股定理找到PD 与PA 、PB 、PC 之间的关系，进而求到PD 的长. 四、与正方形有关辅助线的作法 正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线. 例7如图8，过正方形ABCD 的顶点B 作BE//AC ，且AE=AC ，又CF//AE.求证：∠BCF=21 ∠AEB. 四边形中常用的辅助线 四边形中添辅助线的目的一般都是造就线段平行或垂直，构造全等三角形、直角三角形、平行四边形等，把难以解决的问题转化成常见的三角形、平行四边形等问题处理，其常用方法有以下几种： (1)连结对角线或平移对角线． (2)把图形中的一部分旋转，构造全等三角形． (3)涉及面积问题的，常构造直角三角形． (4)已有一组平行线或对角线互相平分的，常构造平行四边形． (5)涉及线段中点或平行四边形对角线交点的，常构造三角形的中位线． 经典例题 1．如图，在四边形ABCD中，R，P分别是BC，CD上的点．E，F分别是AP，RP的中点，当点P在CD上从点C向点D移动而点R不动时，下列结论成立的是( ) A. 线段EF的长逐渐增大 B. 线段EF的长逐渐减少 C. 线段EF的长不变 D. 线段EF的长与点P的位置有关 2．如图，四边形ABCD放在一组距离相等的平行线中，已知BD＝6 cm，四边形ABCD的面积为24 cm2，则两条平行线间的距离为( ) A. 2 cm B. 3 cm C. 4 cm D. 1 cm 3．如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG，PC.若∠ABC＝∠BEF＝60°，则等于( ) A. B. C. D. 4．已知P是正方形ABCD内一点，PB＝，PC＝1，∠BPC＝135°，则AP的长为． 5．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC，BD相交于点O，CE平分∠ACD，交BD于点E，则DE的长为________． 6．如图，P为?ABCD内一点，△PAB，△PCD的面积分别记为S1，S2，?ABCD的面积记为S，试探究S ＋S2与S之间的关系． 1 7．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A∶∠C＝1∶2，AB＝2，CD＝1.求： (1)∠A，∠C的度数． (2)AD，BC的长度． (3)四边形ABCD的面积． 特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形. 在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线. 下面介绍一些辅助线的添加方法. 一、和平行四边形有关的辅助线作法 平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形. 1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形 例1 、如图1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形. 求证:OE与AD互相平分. 分析: 因为四边形OCDE是平行四边形,所以OC//ED,OC=DE,又由O是AC的中点,得出AO//ED,AO=ED,则四边形AODE是平行四边形,问题得证. 证明:连结AE、OD，因为是四边形OCDE是平行四边形， 所以OC//DE，OC=DE，因为0是AC的中点， 所以A0//ED，AO=ED, 所以四边形AODE是平行四边形，所以AD与OE互相平分. 说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形. 2．利用两组对边平行构造平行四边形 例2、如图2，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC交BC分别为D，G.求证:ED+FG=AC. 分析:要证明ED+FG=AC,因为DE//AC,可以经过点E作EH//CD交AC于H得平行四边形,得ED=HC,然后根据三角形全等,证明FG=AH. 证明:过点E作EH//BC,交AC于H,因为ED//AC,所以四边形CDEH是平行四边形,所以ED=HC,又FG//AC,EH//BC,所以∠AEH=∠B,∠A=∠BFG,又AE=BF,所以△AEH≌△FBG, 所以AH=FG,所以FG+DE=AH+HC=AC. 说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问题. 3．利用对角线互相平分构造平行四边形 例3 、如图3，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC. 分析：要证明BF=AC，一种方法是将BF和AC变换到同一个三角形中，利用等边对等角；另一种方法是通过等量代换，寻找和BF、AC相等的相段代换.寻找相等的线段的方法一般是构造平行四边形. 证明：延长AD到G，使DG=AD，连结BG，CG， 因为BD=CD，所以四边形ABGC是平行四边形， 所以AC=BG， AC//BG，所以∠1=∠4，因为AE=EF， 所以∠1=∠2，又∠2=∠3，所以∠1=∠4， 所以BF=BG=AC. 图3 图4 说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法. 四边形常用的辅助线做法 作辅助线的方法 一：中点、中位线，延线，平行线。 如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。 二：垂线、分角线，翻转全等连。 如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。 三：边边若相等，旋转做实验。 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。 四:造角、平、相似，和、差、积、商见。 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。” 五：面积找底高，多边变三边。 如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。 如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为△和□。 平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。 上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。 添加辅助线解特殊四边形题 特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线.下面介绍一些辅助线的添加方法. 和平行四边形有关的辅助线作法 平行四边形是最常见的特殊四边形之一，它有许多可以利用性质，为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形. 平行四边形中常用辅助线的添法 平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下： （1）连对角线或平移对角线： （2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形 （3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线 （4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。 （5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等. 与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析 第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。 例1如左下图1，在平行四边形ABCD 中，点F E ,在对角线AC 上，且CF AE =,请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可） ⑴连结BF ⑵DE BF = ⑶证明：连结DF DB ,,设AC DB ,交于点O ∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴OB DO OC AO ==, ∵FC AE = ∴FC OC AE AO -=- 即OF OE = ∴四边形EBFD 为平行四边形 ∴DE BF = 图2 图1 E C A A B 第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。 例2如右图2，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果12=AC ， 10=BD ，m AB =，那么m 的取值范围是（ ） A 111< PART A 知识讲解 六类与平行四边形有关的常见辅助线，供借鉴： 第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。 例1如左下图1，在平行四边形ABCD 中，点F E ,在对角线AC 上，且CF AE =,请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可） ⑴连结BF ⑵DE BF = ⑶证明：连结DF DB ,,设AC DB ,交于点O ∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴OB DO OC AO ==, ∵FC AE = ∴FC OC AE AO -=- 即OF OE = ∴四边形EBFD 为平行四边形 ∴DE BF = 图2 图1 E C A A B 第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。 例2如右图2，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果12=AC ， 10=BD ，m AB =，那么m 的取值范围是（ ） A 111< 平行四边形有关的辅助线作法 1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形 例1 如图1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形.求证:OE与AD互相平分. 2．利用两组对边平行构造平行四边形 例2 如图2，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC交BC分别为D，G.求证:ED+FG=AC. 3．利用对角线互相平分构造平行四边形 例3 如图3，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC. 图3 图4 二、和菱形有关的辅助线的作法 和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理 解决问题. 1. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且 AE=AC，EF//BC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形. 2. 如图，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF 的最小值等于DE长. 三、与矩形有辅助线作法 和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少. 如图，已知矩形ABCD内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD的长. 四、与正方形有关辅助线的作法 正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线. 平行四边形中常用辅助线的添法 徐卫东 刘建英 平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下： 一、连对角线或平移对角线： 例1 如图1，E 是平行四边形ABCD 中AD 延长线上一点，ED 交BC 于F ，求证：CEF ABF S S △△=。 简证：连BD ，由图易得BCE BDE S S △△=（同底等高） ，BDF ABF S S =△（同底等高） 所以BEF BCE BEF BDE S S S S △△△△-=-， 所以ECF BDF S S △△=，即CEF ABF S S △△=。 例2 如图2，平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O ，AC=a+b ，BD=a+c （c b >）， AB=m ，求m 的取值范围。 简解：要求AB 的值，需把AC 、BD 、AB 集中在一个三角形中，过C 作CE ∥DB 交AB 的延长线于E ，由图易得DBEC 是平行四边形， 所以c a DB CE +==， m AB DC BE ===， 即m 2AE =，在△ACE 中， CE AC AE CE AC +<<-， 即 ()()c b a 22 1m c b 21 ++<<-。 二、过顶点作对边的垂线构造直角三角形 例3 如图3，平行四边形ABCD 中，∠DBC=?30，DE ⊥DB 交BC 的延长线于E ，AD=a ，DE=b ，求DCE S △。 四边形复习提高 例1：如左下图1，在平行四边形ABCD 中，点F E ,在对角线AC 上，且CF AE =,请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可） 图2 图1 O O E C C A B D A B D E F 例2：如右图2，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果12=AC ，10=BD ，m AB =，那么m 的取值范围是（ ） A 111< D C B A E D F C B A 三角形和四边形中常见的辅助线的作法和类型（绝对 经典） 一、倍长中线（线段）造全等 例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________. 例2、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小. 例3、如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE. E D C B A 二、截长补短 1、如图，ABC ?中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC C D B A C C B A 2、如图，AD ∥BC,EB,EA 分别平分∠CBA,∠DAB ，CD 过点E ，求证;AB ＝AD+BC 注意：三角形中位线与梯形中位线 3、如图，已知在ABC V 内，0 60BAC ∠=，0 40C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ， BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 4、如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠， 求证： 0 180=∠+∠C A P 21 C B A 5、如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任意一点，求证;AB-AC ＞PB-PC 三、平移变换 例1 AD 为△ABC 的角平分线，直线MN ⊥AD 于A.E 为MN 上一点，△ABC 周长记为A P ，△EBC 周长记为B P .求证B P ＞A P . 例2 如图，在△ABC 的边上取两点D 、E ，且BD=CE ，求证：AB+AC>AD+AE. 特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形与梯形、在解决一些与四边形有关得问题时往往需要添加辅助线、下面介绍一些辅助线得添加方法、 一、与平行四边形有关得辅助线作法 平行四边形就是最常见得特殊四边形之一，它有许多可以利用性质,为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形、 1。利用一组对边平行且相等构造平行四边形 例1 如图１,已知点O就是平行四边形ABCＤ得对角线AC得中点,四边形OＣDＥ就是平行四边形、 求证:ＯE与ＡD互相平分、 说明:当已知条件中涉及到平行，且要求证得结论中与平行四边形得性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形、 2。利用两组对边平行构造平行四边形 例2 如图２，在△ABC中，E、Ｆ为ＡB上两点,AE=BF,ＥD//AＣ，FG/／AＣ交BC分别为D,Ｇ、求证：ED+FG=AC、 说明:当图形中涉及到一组对边平行时,可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问题、3．利用对角线互相平分构造平行四边形 例３如图3，已知AD就是△ABC得中线，BＥ交ＡC于E，交AD于F，且AE=EF、求证ＢF=AＣ、 图3 图4 说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形,实际上就是采用了平移法构造平行四边形、当已知中点或中线应思考这种方法、 二、与菱形有关得辅助线得作法 与菱形有关得辅助线得作法主要就是连接菱形得对角线，借助菱形得判定定理或性质定定理解决问题、 例4 如图５,在△ABC中,∠AＣB=９０°，∠BＡC得平分线交BＣ于点Ｄ,Ｅ就是AB上一点,且AＥ=AC，ＥＦ//BC交AD于点F,求证:四边形ＣDEF就是菱形、 例5 如图6，四边形ABＣＤ就是菱形,E为边AＢ上一个定点,F就是AC上一个动点,求证ＥF+BF得最小值等于DE长、 图6 说明:菱形就是一种特殊得平行四边形，与菱形得有关证明题或计算题作辅助线得不就是很多，常见得几种辅助线得方法有:（1）作菱形得高；(2）连结菱形得对角线、 三、与矩形有辅助线作法 与矩形有关得题型一般有两种:（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；（２)证明或探索题，一般连结矩形得对角线借助对角线相等这一性质解决问题、与矩形有关得试题得辅助线得作法较少、 例６如图7，已知矩形ABCD内一点，PA=3，ＰB=4,PC＝5、求 PD得长、 图７ 四、与正方形有关辅助线得作法 专题讲义平行四边形+几何辅助 线的作法 、知识点 1 ?四边形的内角和与外角和定理： (1) 四边形的内角和等于360°; (2) 四边形的外角和等于360° . 2. 多边形的内角和与外角和定理： (1) n 边形的内角和等于(n-2)180 ° (2) 任意多边形的外角和等于 360° 3. 平行四边形的性质： 4、平行四边形判定方法的选择 ..”■ 已知条件 选择的狎定方法 i 边 1. 一鲫边幘 L .... 讹⑵沁⑶ 一组对边平行 定文｛方法1),方送⑶ 一纽对命相等 方法《5〉 方搓⑷ 5、和平行四边形有关的辅助线作法 (1)利用一组对边平行且相等构造平行四边形 例1、如图，已知点O 是平行四边形ABCD 勺对角线AC 的中点，四边形OCD 是平行四边形? 求 证：OE 与AD 互相平分. 说明：当已知条件中涉及到平行，且要求 证的结论中和平行四边形 的性质有关， 可 试通过添加辅助线构造平行四边形—: 性质 四边形ABCD 是平行四边形 判定 (1) 两组对边分别平行; (2) 两组对边分别相等; (3) 两组对角分别相等; (4) 对角线互相平分； (5) 邻角互补. B C C (2)利用两组对边平行构造平行四边形 例2、如图，在△ ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF ED//AC, FG//AC交BC分别为D, G. 说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组 对边平行，得到平行四边形解决问 (3)利用对角线互相平分构造平行四边形 例3、如图，已知AD S^ ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF求证BF=AC. 说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了 平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法? 儒洋教育学科教师辅导讲义 作辅助线的方法 一：中点、中位线，延线，平行线。 如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。 二：垂线、分角线，翻转全等连。 如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。 三：边边若相等，旋转做实验。 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。 四:造角、平、相似，和、差、积、商见。 如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。” 托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表） 五：面积找底高，多边变三边。 如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。 如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。 另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法，即“割补”有二百多种，大多数为“面积找底高，多边变三边”。 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为△和□。 平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。 上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。 添加辅助线解特殊四边形题 特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线.下面介绍一些辅助线的添加方法. 梯形辅助线专题训练题 考号______ 姓名___________ 1 如图，已知在梯形ABCD 中，AB // DC,/ D=60 °，/ C=45 ° , AB= 2 , AD=4，求梯形ABCD 的面积. 2、在梯形ABCD 中，AD//BC , AB=DC=AD=2 , BC=4，求/ B 的度数及AC 的长。 3、如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD // BC,/ B= 60°, AD = 2, BC= 8,求等腰梯形的周长。 A n 4、如图所示, AB // CD , AE 丄DC , AE = 12, BD = 20, AC = 15,求梯形ABCD 的面积。 E 5、如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知AD // BC,对角线AC与BD互相垂直，且AD =30，BC= 70,求BD 的长. 6、如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60°,它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长? A n 7、如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD // BC, AC丄BD , AD + BC= 10, DE丄BC于E , 求DE的长? 8、已知：如图，梯形ABCD 中，AD// BC, AB=DC，/ BAD / CDA 的平分线AE、DF 分别交直线BC 于点E、F. 求证：CE=BF . A D C D C 9、如图，在梯形 ABCD 中，AD // BC , BD CD , BDC 90 ° AD 3, BC 8 .求 10、如图6,在梯形ABCD 中，AD // BC , A 90 , C 45 , DE=EC , AB=4,AD=2 , 求BE 的长. 11、已知：如图，梯形ABCD 中，DC // AB , AD=BC ，对角线 AC 、BD 交于点 O , / COD=60 若 CD=3， AB=8，求梯形 ABCD 的高. AB 的长. D C 特殊四边形---作辅助线 添加辅助线解特殊四边形 特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和 四边形有关的问题时往往需要添加辅助线.下面介绍一些辅助线的添加方法. 知识点一：平行四边形有关的辅助线作法 平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有 某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的 平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三 角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下： （1）连对角线或平移对角线： （2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形 （3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造 线段平行或中位线 （4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等 积三角形。 （5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等. 第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。 例1 、 如图1，在平行四边形ABCD 中，点F E ,在对角线AC 上，且CF AE =, 请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明 它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可） ⑴连结BF ⑵DE BF = ⑶证明：连结DF DB ,,设AC DB ,交于点O ∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴OB DO OC AO ==, ∵FC AE = ∴FC OC AE AO -=- 即OF OE = ∴四边形EBFD 为平行四边形 ∴DE BF = 图2图1 E C A A B 第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。 例2、如图2，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果 12=AC ，10=BD ，m AB =，那么m 的取值范围是（ ） A 111< A . 4 B .丄 C .二 D . 5 5 5 上，点G H 在对角线AC 上.若四边形 EGFH 是菱形，贝U AE 的长是（ A. 2 _ * B . 3 ! C. 5 D. 6 P 是AD 上的点，且 特殊平行四边形中的常见辅助线 一、连结法 1. （2014 陕西,第9题3分）如图，在菱形 ABCD 中，AB=5，对角线AC =6.若过 点A 作AE! BC 垂足为 E ,贝U AE 的长为（ ） 2. （2015安徽，第9题4分）如图，矩形 ABCD 中, AB=8 BC=4点E 在边AB 上，点F 在边CD 3. 如图，在矩形 ABCC 中，AB=4, AD=6 M N 分别是 AB, CD 的中点, / PNB=3/ CBN （1） 求证：/ PNM=Z CBN （2） 求线段AP 的长. ? DA 彳 AC, 4 . (2015山东德州,第20题8分)如图，在平面■直角坐标系中，矩形 OABC 勺对角线OB AC 相交于点D,且BE// AC, AE// OB (1) 求证：四边形 AEBD 是菱形； (2) 如果OA=3 OC=2求出经过点 E 的反比例函数解析式. 考点： 反比例函数综合题.? 分析： (1)先证明四边形 AEBD 是平行四边形，再由矩形的性质得出 DA=DB 即可证出四边形 AEBD 是菱形； (2)连接DE 交AB 于F ,由菱形的性质得出 AB 与DE 互相垂直平分，求出 EF 、AF,得出点E 的 坐标；设经过点 E 的反比例函数解析式为： y 」，把点E 坐标代入求出k 的值即可. X 解答： (1)证明：??? BE// AC AE// OB ???四边形AEBD 是平行四边形， ???四边形OABC 是矩形, DB=[OB AC=OB AB=OC=2 ? DA=DB ?四边形AEBD 是菱形； (2)解：连接DE,交AB 于F ,如图所示： ???四边形AEBD 是菱形， ? AB 与DE 互相垂直平分， 专题提升9 四边形中常用的辅助线 四边形中添辅助线的目的一般都是造就线段平行或垂直，构造全等三角形、直角三角形、平行四边形等，把难以解决的问题转化成常见的三角形、平行四边形等问题处理，其常用方法有以下几种： (1)连结对角线或平移对角线． (2)把图形中的一部分旋转，构造全等三角形． (3)涉及面积问题的，常构造直角三角形． (4)已有一组平行线或对角线互相平分的，常构造平行四边形． (5)涉及线段中点或平行四边形对角线交点的，常构造三角形的中位线． (第1题) 1．如图，在四边形ABCD 中，R ，P 分别是BC ，CD 上的点．E ，F 分别是AP ，RP 的中点，当点P 在CD 上从点C 向点D 移动而点R 不动时，下列结论成立的是(C ) A. 线段EF 的长逐渐增大 B. 线段EF 的长逐渐减少 C. 线段EF 的长不变 D. 线段EF 的长与点P 的位置有关 【解】 连结AR . ∵AR 的长度不变，根据中位线定理可知，EF ＝12 AR ， ∴当点P 在CD 上从点C 向点D 移动而点R 不动时，线段EF 的长不变． (第2题) 2．如图，四边形ABCD 放在一组距离相等的平行线中，已知BD ＝6 cm ，四边形ABCD 的面积为24 cm 2，则两条平行线间的距离为(A ) A. 2 cm B. 3 cm C. 4 cm D. 1 cm 【解】 过点A 作AE ⊥BD 于点E ，过点C 作CF ⊥BD 于点F ， 则S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12AE ·BD ＋12CF ·BD ＝12 BD (AE ＋CF )． ∵BD ＝6 cm ，四边形ABCD 的面积为24 cm 2， ∴AE ＋CF ＝8 cm ，∴两条平行线间的距离为2 cm. 3．(淄博中考)如图，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A ，B ，E 在同一条直线上，P 是线 段DF 的中点，连结PG ，PC .若∠ABC ＝∠BEF ＝60°，则PG PC 等于(B )沪科版八年级数学下册四边形辅助线常用做法
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