四边形辅助线练习题

人教版数学八年级下期第十八章平行四边形含辅助线证明题训练1.已知边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点A，C不重合），过点P作PE⊥PB，PE交DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F．（1）求证：PB＝PE；（2）在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，试说明理由．2.在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E．（1）如图1，若∠D=30°，AB=6，求△ABE的面积；（2）如图2，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且AB=AF．求证：ED-AG=FC．3.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，且AO＝BO，∠ADB的平分线DE交AB于点E．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若AB＝8，OC＝5，求AE的长．4.如图，在正方形ABCD中，E是边AB上一动点（不与点A，B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E 作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF＝GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．5.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC，CF为邻边作平行四边形ECFG．（1）证明平行四边形ECFG是菱形；（2）若∠ABC=120°，连接BG，CG，DG，①求证：△DGC≌△BGE；②求∠BDG的度数；（3）若∠ABC=90°，AB=8，AD=14，M是EF的中点，求DM的长．6.已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA的平分线CF交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交AD延长线于点P．(1)求证：DP＝BF；(2)若正方形ABCD的边长为4，求DP的长；(3)求证：CP＝BM＋2FN．7.如图，四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，AC的垂线EF交AD于点M，交CD的延长线于点F．（1）求证：AM=AE；（2）连接CM，DF=2．①求菱形ABCD的周长；②若∠ADC=2∠MCF，求ME的长．8.在菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点．且CF＝AE，连接BE、EF．（1）如图1，若E是线段AC的中点，求EF的长；（2）如图2．若E是线段AC延长线上的任意一点，求证：BE＝EF．AC，将菱形ABCD绕着点B （3）如图3，若E是线段AC延长线上的一点，CE＝12顺时针旋转α°（0≤α≤360），请直接写出在旋转过程中DE的最大值．9.如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°，M是AD上不同于A，D两点的一动点，N是CD上一动点，且AM+CN=1.（1）证明：无论M，N怎样移动，△BMN总是等边三角形；（2）求△BMN面积的最小值.10.如图，正方形ABCD中，F在CD上，AE平分∠BAF，E为BC的中点．求证：AF=BC+CF．11.已知：如图（1），点E、F分别为正方形ABCD的边BC、DC上的点，线段AE和AF分别交BD于点M和点N，连接MF，MF⊥AE于点M．（1）求证：∠EAF＝45°；（2）如图（2），连接EF，当AD＝5，DF＝1时，求线段EF的长度；BD．（3）如图（3），作FR⊥BD于R．求证：RM=12BC，CE⊥AB于点E，F是AD的中点，连接12.如图，在平行四边形ABCD中，AB=12EF，CF．求证：（1）EF=CF；（2）∠EFD=3∠AEF．13.如图1，点E为正方形ABCD的边AB上一点，EF⊥EC，且EF=EC，连接AF．（1）求∠EAF的度数；（2）如图2，连接FC交BD于M，交AD于N．求证：BD=AF+2DM．14.已知：如图，G为平行四边形ABCD中BC边的中点，点E在AD边上，且∠1＝∠2．（1）求证：E是AD的中点；（2）若F为CD延长线上一点，连接BF，得∠3＝∠2，求证：CD＝BF+DF．15.如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点．(1)若ED⊥EF，求证：ED=EF：(2)在(1)的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判断四边形ACPE是否为平行四边形．并证明你的结论(请先补全图形，再解答)：(3)若ED=EF，则ED与EF垂直吗?若垂直给出证明，若不垂直说明理由．16.在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F。

相似四边形中几种常见的辅助线作法(有
辅助线)
相似四边形中常见的辅助线作法（有辅助线）
相似四边形是指具有相同比例关系的四边形。

在研究相似四边形时，可以利用一些常见的辅助线作法来简化问题的分析和解决。

以下是几种常见的辅助线作法：
1. 完全相似定理：如果两个四边形的所有对应角相等，并且对应边的比例相等，那么这两个四边形是相似的。

根据这个定理，我们可以直接判断两个四边形是否相似，而无需计算其边长和角度。

2. 高度定理：相似的五边形（包括四边形）中，对应的高度之比等于对应边的比例。

通过测量两个四边形的高度，我们可以推导出它们的边长比例。

3. 中线定理：相似的五边形（包括四边形）中，对应的中线之比等于对应边的比例。

通过测量两个四边形的中线，我们可以推导出它们的边长比例。

4. 角平分线定理：相似的五边形（包括四边形）中，对应的角平分线之比等于对应边的比例。

通过测量两个四边形的角平分线，我们可以推导出它们的边长比例。

这些辅助线作法可以帮助我们在研究相似四边形时更加简化问题，减少计算量，并且提供了直接判断相似性的方法。

在实际应用中，可以根据具体问题的需求选择合适的辅助线作法。

希望以上内容对您有帮助！如有其他问题，请随时提问。

八上数学辅助线的添加浅谈一、添辅助线有二种情况：1按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线;2按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形,我们把它叫做基本图形,添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形,因此“添线”应该叫做“补图”这样可防止乱添线,添辅助线也有规律可循;举例如下：1平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键,是添与二条平行线都相交的等第三条直线2等腰三角形是个简单的基本图形：出现一点发出的二条相等线段时,往往要连结已知点补完整等腰三角形;3等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点,添底边上的中线；4直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点,往往添斜边上的中线;出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边,要添直角三角形斜边上的中线;５全等三角形：全等三角形有轴对称形,中心对称形,旋转形与平移形等;如果出现两条相等线段或两个相等角关于某一直线成轴对称,就可以添加辅助线构造轴对称形全等三角形；或添对称轴,对应点连线的中垂线即为对称轴;当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加辅助线构造中心对称形全等三角形加以证明,添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线６特殊角直角三角形当出现30,45,60,135,150度特殊角时可添加特殊角直角三角形,利用45角直角三角形三边比为1：1：√2；30度角直角三角形三边比为1：2：√3进行证明二、基本图形的辅助线的画法1.三角形问题添加辅助线方法方法1：倍长中线法;有关三角形中线的题目,常将中线倍长构造全等三角形;方法2：含有平分线的题目,常以角平分线为对称轴,利用角平分线的性质定理和题中的条件,构造出全等三角形,从而利用全等三角形的知识解决问题;方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形,或利用角平分线、垂直平分线的性质定理进行转换;方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目,常采用截长法或补短法进行转换,所谓截长法就是把第三条线段分成两部分,证其中的一部分等于第一条线段,而另一部分等于第二条线段;2.平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形包括矩形、正方形、菱形的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质,所以在添辅助线方法上也有共同之处,目的都是造就线段的平行、垂直,构成三角形的全等、相似,把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理,其常用方法有下列几种,举例简解如下：1连对角线或平移对角线：2过顶点作对边的垂线构造直角三角形3连接对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构造线段平行或中位线4连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段,构造三角形相似或等积三角形;5过顶点作对角线的垂线,构成线段平行或三角形全等.三、作辅助线的方法一：中点、中位线,延线,平行线;如遇条件中有中点,中线、中位线等,那么过中点,延长中线或中位线作辅助线,使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线,以达到应用某个定理或造成全等的目的;二：垂线、角平分线,翻转全等连;如遇条件中,有垂线或角的平分线,可以把图形按轴对称的方法,并借助其他条件,而旋转180度,得到全等形,,这时辅助线的做法就会应运而生;其对称轴往往是垂线或角的平分线;三：边边若相等,旋转做实验;如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等,有时边角互相配合,然后把图形旋转一定的角度,就可以得到全等形,这时辅助线的做法仍会应运而生;其对称中心,因题而异,有时没有中心;故可分“有心”和“无心”旋转两种;四：面积找底高,多边变三边;如遇求面积,在条件和结论中出现线段的平方、乘积,仍可视为求面积,往往作底或高为辅助线,而两三角形的等底或等高是思考的关键;如遇多边形,想法割补成三角形；反之,亦成立;另外,我国明清数学家用面积证明勾股定理,其辅助线的做法,即“割补”有二百多种,大多数为“面积找底高,多边变三边”;四、三角形中作辅助线的常用方法举例一、在证明三角形中多条线段的不等量关系时,若直接证不出来,可连接两点或延长某边构成三角形,使结论中出现的线段在一个或几个三角形中,再运用三角形三边的不等关系证明,如：例1：已知如图1-1：D 、E 为△ABC 内两点,求证:AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE.证明：法一将DE 两边延长分别交AB 、AC 于M 、N,在△AMN 中,AM ＋AN ＞ MD ＋DE ＋NE;1 在△BDM 中,MB ＋MD ＞BD ； 2 在△CEN 中,CN ＋NE ＞CE ； 3 由1＋2＋3得：AM ＋AN ＋MB ＋MD ＋CN ＋NE ＞MD ＋DE ＋NE ＋BD ＋CE ∴AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋EC法二：如图1-2, 延长BD 交 AC 于F,延长CE 交BF 于G,在△ABF 和△GFC 和△GDE 中有：AB ＋AF ＞ BD ＋DG ＋GF 三角形两边之和大于第三边1 GF ＋FC ＞GE ＋CE 同上………………………………2 DG ＋GE ＞DE 同上……………………………………3 由1＋2＋3得：AB ＋AF ＋GF ＋FC ＋DG ＋GE ＞BD ＋DG ＋GF ＋GE ＋CE ＋DE ∴AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋EC;二、在证明三角形中某些角的不等量关系时,如直接证不出来时,可连接两点或延长某边,构造三角形,使求证的大角在某个三角形的外角的位置上,小角处于这个三角形的内角位置上,再利用外角定理：例如：如图2-1：已知D 为△ABC 内的任一点,求证：∠BDC ＞∠BAC;BDC 与∠BAC 不在同一个三角形中,没有直接的联系,可适当添加辅助线构造新的三角形,使∠BDC 处于在外角的位置,∠BAC 处于在内角的位置；证法一：延长BD 交AC 于点E,这时∠BDC 是△EDC 的外角,A BCDEN M 11-图ABCDEF G21-图AD E G∴∠BDC ＞∠DEC,同理∠DEC ＞∠BAC,∴∠BDC ＞∠BAC 证法二：连接AD,并延长交BC 于F ∵∠BDF 是△ABD 的外角∴∠BDF ＞∠BAD,同理,∠CDF ＞∠CAD ∴∠BDF ＋∠CDF ＞∠BAD ＋∠CAD 即：∠BDC ＞∠BAC;注意：利用三角形外角定理证明不等关系时,通常将大角放在某三角形的外角位置上,小角放在这个三角形的内角位置上,再利用不等式性质证明;三、有角平分线时,通常在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形,如：例如：如图3-1：已知AD 为△ABC 的中线,且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE ＋CF ＞EF;分析：要证BE ＋CF ＞EF ,可利用三角形三边关系定理证明,须把BE,CF,EF 移到同一个三角形中,而由已知∠1＝∠2,∠3＝∠4,可在角的两边截取相等的线段,利用三角形全等对应边相等,把EN,FN,EF 移到同一个三角形中;证明：在DA 上截取DN ＝DB,连接NE,NF,则DN ＝DC, 在△DBE 和△DNE 中：∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()(21)(公共边已知辅助线的作法ED ED DB DN ∴△DBE ≌△DNE SAS∴BE ＝NE 全等三角形对应边相等 同理可得：CF ＝NF在△EFN 中EN ＋FN ＞EF 三角形两边之和大于第三边 ∴BE ＋CF ＞EF;注意：当证题有角平分线时,常可考虑在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形,然后用全等三角形的性质得到对应元素相等;四、有以线段中点为端点的线段时,常延长加倍此线段,构造全等三角形; 例如：如图4-1：AD 为△ABC 的中线,且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE ＋CF ＞EF 证明：延长ED 至M,使DM=DE,连接 CM,MF;在△BDE 和△CDM 中,AB CD E FN13-图1234ACE F1234∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()(1)(辅助线的作法对顶角相等中点的定义MD ED CDM CD BD ∴△BDE ≌△CDM SAS又∵∠1＝∠2,∠3＝∠4 已知 ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°平角的定义 ∴∠3＋∠2=90°,即：∠EDF ＝90° ∴∠FDM ＝∠EDF ＝90° 在△EDF 和△MDF 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()()(公共边已证辅助线的作法DF DF FDM EDF MD ED∴△EDF ≌△MDF SAS∴EF ＝MF 全等三角形对应边相等∵在△CMF 中,CF ＋CM ＞MF 三角形两边之和大于第三边 ∴BE ＋CF ＞EF注：上题也可加倍FD,证法同上;注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时,可通过延长加倍此线段,构造全等三角形,使题中分散的条件集中;五、有三角形中线时,常延长加倍中线,构造全等三角形; 例如：如图5-1：AD 为 △ABC 的中线,求证：AB ＋AC ＞2AD;分析：要证AB ＋AC ＞2AD,由图想到： AB ＋BD ＞AD,AC ＋CD ＞AD,所以有AB ＋AC ＋ BD ＋CD ＞AD ＋AD ＝2AD,左边比要证结论多BD ＋CD,故不能直接证出此题,而由2AD 想到要构造2AD,即加倍中线,把所要证的线段转移到同一个三角形中去;证明：延长AD 至E,使DE=AD,连接BE,则AE ＝2AD ∵AD 为△ABC 的中线 已知 ∴BD ＝CD 中线定义 在△ACD 和△EBD 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()()(辅助线的作法对顶角相等已证ED AD EDB ADC CD BD∴△ACD ≌△EBD SAS∴BE ＝CA 全等三角形对应边相等∵在△ABE 中有：AB ＋BE ＞AE 三角形两边之和大于第三边ABCDE15-图AEF∴AB ＋AC ＞2AD;练习：已知△ABC,AD 是BC 边上的中线,分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形,如图5-2, 求证EF ＝2AD;六、截长补短法作辅助线;例如：已知如图6-1：在△ABC 中,AB ＞AC,∠1＝∠2,P 为AD 上任一点;求证：AB －AC ＞PB －PC;分析：要证：AB －AC ＞PB －PC,想到利用三角形三边关系定理证之,因为欲证的是线段之差,故用两边之差小于第三边,从而想到构造第三边AB －AC,故可在AB 上截取AN 等于AC,得AB －AC ＝BN, 再连接PN,则PC ＝PN,又在△PNB 中,PB －PN ＜BN,即：AB －AC ＞PB －PC;证明：截长法在AB 上截取AN ＝AC 连接PN , 在△APN 和△APC 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()(21)(公共边已知辅助线的作法AP AP AC AN ∴△APN ≌△APC SAS∴PC ＝PN 全等三角形对应边相等∵在△BPN 中,有 PB －PN ＜BN 三角形两边之差小于第三边 ∴BP －PC ＜AB －AC证明：补短法 延长AC 至M,使AM ＝AB,连接PM, 在△ABP 和△AMP 中∵ ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()(21)(公共边已知辅助线的作法AP AP AM AB∴△ABP ≌△AMP SAS∴PB ＝PM 全等三角形对应边相等又∵在△PCM 中有：CM ＞PM －PC 三角形两边之差小于第三边 ∴AB －AC ＞PB －PC;七、延长已知边构造三角形：例如：如图7-1：已知AC ＝BD,AD ⊥AC 于A ,BC ⊥BD 于B, 求证：AD ＝BCA BCDNMP 16-图12分析：欲证 AD ＝BC,先证分别含有AD,BC 的三角形全等,有几种方案：△ADC 与△BCD,△AOD 与△BOC,△ABD 与△BAC,但根据现有条件,均无法证全等,差角的相等,因此可设法作出新的角,且让此角作为两个三角形的公共角;证明：分别延长DA,CB,它们的延长交于E 点, ∵AD ⊥AC BC ⊥BD 已知 ∴∠CAE ＝∠DBE ＝90° 垂直的定义 在△DBE 与△CAE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠)()()(已知已证公共角AC BD CAE DBE E E∴△DBE ≌△CAE AAS∴ED ＝EC EB ＝EA 全等三角形对应边相等 ∴ED －EA ＝EC －EB 即：AD ＝BC;当条件不足时,可通过添加辅助线得出新的条件,为证题创造条件;八 、连接四边形的对角线,把四边形的问题转化成为三角形来解决; 例如：如图8-1：AB ∥CD,AD ∥BC 求证：AB=CD;分析：图为四边形,我们只学了三角形的有关知识,必须把它转化为三角形来解决; 证明：连接AC 或BD∵AB ∥CD AD ∥BC 已知∴∠1＝∠2,∠3＝∠4 两直线平行,内错角相等 在△ABC 与△CDA 中∵ ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠)(43)()(21已证公共边已证CA AC∴△ABC ≌△CDA ASA∴AB ＝CD 全等三角形对应边相等九、有和角平分线垂直的线段时,通常把这条线段延长;例如：如图9-1：在Rt △ABC 中,AB ＝AC,∠BAC ＝90°,∠1＝∠2,CE ⊥BD 的延长于E ;求证：BD ＝2CE分析：要证BD ＝2CE,想到要构造线段2CE,同时CE 与∠ABC 的平分线垂直,想到要将其延长;证明：分别延长BA,CE 交于点F; ∵BE ⊥CF 已知DAEFA BCD 18-图1234ABCDE17-图O∴∠BEF ＝∠BEC ＝90° 垂直的定义 在△BEF 与△BEC 中,∵ ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠)()()(21已证公共边已知BEC BEF BE BE ∴△BEF ≌△BECASA ∴CE=FE=21CF 全等三角形对应边相等 ∵∠BAC=90° BE ⊥CF 已知∴∠BAC ＝∠CAF ＝90° ∠1＋∠BDA ＝90°∠1＋∠BFC ＝90° ∴∠BDA ＝∠BFC 在△ABD 与△ACF 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠∠=∠)()()(已知＝已证已证AC AB BFC BDA CAF BAC∴△ABD ≌△ACF AAS ∴BD ＝CF 全等三角形对应边相等 ∴BD ＝2CE十、连接已知点,构造全等三角形;例如：已知：如图10-1；AC 、BD 相交于O 点,且AB ＝DC,AC ＝BD,求证：∠A ＝∠D; 分析：要证∠A ＝∠D,可证它们所在的三角形△ABO 和△DCO 全等,而只有AB ＝DC 和对顶角两个条件,差一个条件,,难以证其全等,只有另寻其它的三角形全等,由AB ＝DC,AC ＝BD,若连接BC,则△ABC 和△DCB 全等,所以,证得∠A ＝∠D;证明：连接BC,在△ABC 和△DCB 中 ∵ ⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(公共边已知已知CB BC DB AC DC AB∴△ABC ≌△DCB SSS∴∠A ＝∠D 全等三角形对应边相等十一、取线段中点构造全等三有形;例如：如图11-1：AB ＝DC,∠A ＝∠D 求证：∠ABC ＝∠DCB;分析：由AB ＝DC,∠A ＝∠D,想到如取AD 的中点N,连接NB,NC,再由SAS 公理有△ABN ≌△DCN,故BN ＝CN,∠ABN ＝∠DCN;下面只需证∠NBC ＝∠NCB,再取BC 的中点M,连接MN,则由SSS 公理有△NBM ≌△NCM,所以∠NBC ＝∠NCB;问题得证;证明：取AD,BC 的中点N 、M,连接NB,NM,NC;则AN=DN,BM=CM,在△ABN 和△DCN 中DCBA110-图ODAN∵ ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()()(已知已知辅助线的作法DC AB D A DN AN ∴△ABN ≌△DCN SAS∴∠ABN ＝∠DCN NB ＝NC 全等三角形对应边、角相等 在△NBM 与△NCM 中∵⎪⎩⎪⎨⎧)()()(公共边＝辅助线的作法＝已证＝NM NM CM BM NC NB∴△NMB ≌△NCM,SSS ∴∠NBC ＝∠NCB 全等三角形对应角相等∴∠NBC ＋∠ABN ＝∠NCB ＋∠DCN 即∠ABC ＝∠DCB;五、巧求三角形中线段的比值例1. 如图1,在△ABC中,BD：DC＝1：3,AE：ED＝2：3,求AF：FC;解：过点D作DG如图2,BC＝CD,AF＝FC,求EF：FD解：过点C作CG如图3,BD：DC＝1：3,AE：EB＝2：3,求AF：FD;解：过点B作BG如图4,BD：DC＝1：3,AF＝FD,求EF：FC;解：过点D作DG如图5,BD＝DC,AE：ED＝1：5,求AF：FB;2. 如图6,AD：DB＝1：3,AE：EC＝3：1,求BF：FC;答案：1、1：10； 2. 9：1六、辅助线总结一、 由角平分线想到的辅助线 口诀：图中有角平分线,可向两边作垂线;也可将图对折看,对称以后关系现;角平分线平行线,等腰三角形来添;角平分线加垂线,三线合一试试看;角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等;对于有角平分线的辅助线的作法,一般有两种;①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线,构造对称图形如作法是在一侧的长边上截取短边; 通常情况下,出现了直角或是垂直等条件时,一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形;至于选取哪种方法,要结合题目图形和已知条件;与角有关的辅助线一、截取构全等几何的证明在于猜想与尝试,但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的,希望同学们能掌握相关的几何规律,在解决几何问题中大胆地去猜想,按一定的规律去尝试;下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍;如图1-1,∠AOC=∠BOC,如取OE=OF,并连接DE 、DF,则有△OED ≌△OFD,从而为我们证明线段、角相等创造了条件;如图1-2,ABAC;3．已知：如图2-5, ∠BAC=∠CAD,AB>AD,CE ⊥AB,AE=21AB+AD.求证：∠D+∠B=180 ;4.已知：如图2-6,在正方形ABCD 中,E 为CD 的中点,F 为BC上的点,∠FAE=∠DAE;求证：AF=AD+CF;图1-1BDBC已知：如图2-7,在Rt △ABC 中,∠ACB=90 ,CD ⊥AB,垂足为D,AE 平分∠CAB 交CD 于F,过F 作FH 21证：BD=2CE;分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线,可延长此垂线与另外一边相交,近而构造出等腰三角形;例3．已知：如图3-3在△ABC 中,AD 、AE 分别∠BAC 的内、外角平分线,过顶点B 作BFAD,交AD 的延长线于F,于M;求证：AM=ME;分析：由AD 、AE 是∠BAC AF,从而BF2121图4-2图4-1ABBG已知,如图,∠C=2∠A,AC=2BC;求证：△ABC 是直角三角形;2．已知：如图,AB=2AC,∠1=∠2,DA=DB,求证：DC ⊥ACCABA 图2-6ECD图3-2CE3．已知CE 、AD 是△ABC 的角平分线,∠B=60°,求证：AC=AE+CD 4．已知：如图在△ABC 中,∠A=90°,AB=AC,BD 是∠ABC 的平分线,求证：BC=AB+AD二、由线段和差想到的辅助线 口诀：线段和差及倍半,延长缩短可试验;线段和差不等式,移到同一三角去; 遇到求证一条线段等于另两条线段之和时,一般方法是截长补短法： 1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩下部分等于另一条；2、补短：将一条短线段延长,延长部分等于另一条短线段,然后证明新线段等于长线段;对于证明有关线段和差的不等式,通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边,故可想办法放在一个三角形中证明;在利用三角形三边关系证明线段不等关系时,如直接证不出来,可连接两点或廷长某边构成三角形,使结论中出现的线段在一个或几个三角形中,再运用三角形三边的不等关系证明,如：已知如图1-1：D 、E 为△ABC 内两点,求证:AB+AC>BD+DE+CE. 证明：法一将DE 两边延长分别交AB 、AC 于M 、N, 在△AMN 中,AM+AN>MD+DE+NE;1 在△BDM 中,MB+MD>BD ；2 在△CEN 中,CN+NE>CE ；3 由1+2+3得：AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE ∴AB+AC>BD+DE+ECA BC D AEB D CABCD EN M 11-图AF法二：图1-2延长BD 交AC 于F,廷长CE 交BF 于G,在△ABF 和△GFC 和△GDE 中有： AB+AF>BD+DG+GF 三角形两边之和大于第三边…1 GF+FC>GE+CE 同上2 DG+GE>DE 同上3 由1+2+3得：AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE ∴AB+AC>BD+DE+EC;在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时,可连接两点或延长某边,构造三角形,使求证的大角在某个三角形的外角的位置上,小角处于这个三角形的内角位置上,再利用外角定理：例如：如图2-1：已知D 为△ABC 内的任一点,求证：∠BDC>∠BAC;BDC 与∠BAC 不在同个三角形中,没有直接的联系,可适当添加辅助线构造新的三角形,使∠BDC 处于在外角的位置,∠BAC 处于在内角的位置；证法一：延长BD 交AC 于点E,这时∠BDC 是△EDC 的外角, ∴∠BDC>∠DEC,同理∠DEC>∠BAC,∴∠BDC>∠BAC 证法二：连接AD,并廷长交BC 于F,这时∠BDF 是△ABD 的 外角,∴∠BDF>∠BAD,同理,∠CDF>∠CAD,∴∠BDF+ ∠CDF>∠BAD+∠CAD,即：∠BDC>∠BAC;注意：利用三角形外角定理证明不等关系时,通常将大角放在某三角形的外角位置上,小角放在这个三角形的内角位置上,再利用不等式性质证明;有角平分线时,通常在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形,如：例如：如图3-1：已知AD 为△ABC 的中线,且∠1=∠2,∠3=∠4,求证：BE+CF>EF;BE+CF>EF,可利用三角形三边关系定理证明,须把BE,CF,EF 移到同一个三角形中,而由已知∠1=∠2,∠3=∠4,可在角的两边截取相等的线段,利用三角形全等对应边相等,把EN,FN,EF 移到同个三角形中;证明：在DN 上截取DN=DB,连接NE,NF,则DN=DC, 在△DBE 和△NDE 中： DN=DB 辅助线作法 ∠1=∠2已知 ED=ED 公共边AB CD E F G12-图ABCD E FN13-图1234∴△DBE ≌△NDESAS∴BE=NE 全等三角形对应边相等 同理可得：CF=NF在△EFN 中EN+FN>EF 三角形两边之和大于第三边 ∴BE+CF>EF;注意：当证题有角平分线时,常可考虑在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形,然后用全等三角形的对应性质得到相等元素;截长补短法作辅助线;例如：已知如图6-1：在△ABC 中,AB>AC,∠1=∠2,P 为AD 上任一点求证：AB-AC>PB-PC;要证：AB-AC>PB-PC,想到利用三角形三边关系,定理证之,因为欲证的线段之差,故用两边之差小于第三边,从而想到构造第三边AB-AC,故可在AB 上截取AN 等于AC,得AB-AC=BN,再连接PN,则PC=PN,又在△PNB 中,PB-PN<BN,即：AB-AC>PB-PC;证明：截长法在AB 上截取AN=AC 连接PN,在△APN 和△APC 中 AN=AC 辅助线作法 ∠1=∠2已知 AP=AP 公共边∴△APN ≌△APCSAS,∴PC=PN 全等三角形对应边相等 ∵在△BPN 中,有PB-PN<BN 三角形两边之差小于第三边∴BP-PC<AB-AC 证明：补短法延长AC 至M,使AM=AB,连接PM,在△ABP 和△AMP 中ABCDNMP 16 图12AB=AM 辅助线作法 ∠1=∠2已知 AP=AP 公共边 ∴△ABP ≌△AMPSAS∴PB=PM 全等三角形对应边相等又∵在△PCM 中有：CM>PM-PC 三角形两边之差小于第三边 ∴AB-AC>PB-PC;例1．如图,AC 平分∠BAD,CE ⊥AB,且∠B+∠D=180°,求证：AE=AD+BE;例2如图,在四边形ABCD 中,AC 平分∠BAD,CE ⊥AB 于E,AD+AB=2AE,求证：∠ADC+∠B=180º例3已知：如图,等腰三角形ABC 中,AB=AC,∠A=108°,BD 平分∠ABC;求证：BC=AB+DC;例4如图,已知Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AD 是∠CAB 的平分线,DM ⊥AB 于M,且AM=MB;求证：CD=21DB;1．如图,AB ∥CD,AE 、DE 分别平分∠BAD 各∠ADE,求证：AD=AB+CD;DECB AE BCDCM BDCA2.如图,△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,AE 是过A 的一条直线,且B,C 在AE 的异侧,BD ⊥AE 于D,CE ⊥AE 于E;求证：BD=DE+CE三、由中点想到的辅助线 口诀：三角形中两中点,连接则成中位线;三角形中有中线,延长中线等中线;在三角形中,如果已知一点是三角形某一边上的中点,那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质,然后通过探索,找到解决问题的方法;一中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形即如图1,AD 是ΔABC 的中线,则S ΔABD =S ΔACD =S ΔABC 因为ΔABD 与ΔACD 是等底同高的;例1．如图2,ΔABC 中,AD 是中线,延长AD 到E,使DE=AD,DF 是ΔDCE 的中线;已知ΔABC 的面积为2,求：ΔCDF 的面积;解：因为AD 是ΔABC 的中线,所以S ΔACD =S ΔABC =×2=1,又因CD 是ΔACE 的中线,故S ΔCDE =S ΔACD =1,因DF 是ΔCDE 的中线,所以S ΔCDF =S ΔCDE =×1=;∴ΔCDF 的面积为;二由中点应想到利用三角形的中位线ED CB A例2．如图3,在四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H;求证：∠BGE=∠CHE;证明：连结BD,并取BD的中点为M,连结ME、MF,∵ME是ΔBCD的中位线,∴ME CD,∴∠MEF=∠CHE,∵MF是ΔABD的中位线,∴MF AB,∴∠MFE=∠BGE,∵AB=CD,∴ME=MF,∴∠MEF=∠MFE,从而∠BGE=∠CHE;三由中线应想到延长中线例3．图4,已知ΔABC中,AB=5,AC=3,连BC上的中线AD=2,求BC的长;解：延长AD到E,使DE=AD,则AE=2AD=2×2=4;在ΔACD和ΔEBD中,∵AD=ED,∠ADC=∠EDB,CD=BD,∴ΔACD≌ΔEBD,∴AC=BE,从而BE=AC=3;在ΔABE中,因AE2+BE2=42+32=25=AB2,故∠E=90°,∴BD===,故BC=2BD=2;例4．如图5,已知ΔABC中,AD是∠BAC的平分线,AD又是BC边上的中线;求证：ΔABC是等腰三角形;证明：延长AD到E,使DE=AD;仿例3可证：ΔBED≌ΔCAD,故EB=AC,∠E=∠2,又∠1=∠2,∴∠1=∠E,∴AB=EB,从而AB=AC,即ΔABC是等腰三角形;D CB A EDF CBA四直角三角形斜边中线的性质例5．如图6,已知梯形ABCD 中,AB2：如图,△ABC 中,E 、F 分别在AB 、AC 上,DE ⊥DF,D 是中点,试比较BE+CF 与EF 的大小.3：如图,△ABC 中,BD=DC=AC,E 是DC 的中点,求证：AD 平分∠BAE.EDCB A中考应用09崇文二模以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆,90,BAD CAE ∠=∠=︒连接DE,M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．1如图① 当ABC ∆为直角三角形时,AM 与DE 的位置关系是 ,线段AM 与DE 的数量关系是 ；2将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ0<θ<90后,如图②所示,1问中得到的两个结论是否发生改变 并说明理由．14-图A B CD EFM1234A BCDE 15-图DMCE AB BA D C86B E CDA ABCD EF25-图 AB DC EFDAEDCBAP QCBA二、截长补短1.如图,ABC ∆中,AB=2AC,AD 平分BAC ∠,且AD=BD,求证：CD ⊥AC2：如图,AC ∥BD,EA,EB 分别平分∠CAB,∠DBA,CD 过点E,求证;AB ＝AC+BD3：如图,已知在ABC内,060BAC ∠=,040C ∠=,P,Q 分别在BC,CA 上,并且AP,BQ 分别是BAC ∠,ABC ∠的角平分线;求证：BQ+AQ=AB+BP4：如图,在四边形ABCD 中,BC ＞BA,AD ＝CD,BD 平分ABC ∠,求证：0180=∠+∠C ACDBAP 21DCBA5:如图在△ABC 中,AB ＞AC,∠1＝∠2,P 为AD 上任意一点,求证;AB-AC ＞PB-PC中考应用 08海淀一模三、平移变换为△ABC 的角平分线,直线MN ⊥AD 于为MN 上一点,△ABC 周长记为AP ,△EBC 周长记为BP .求证BP ＞AP .2：如图,在△ABC 的边上取两点D 、E,且BD=CE,求证：AB+AC>AD+AE.ED CB A四、借助角平分线造全等CBAFED CBA 1：如图,已知在△ABC 中,∠B=60°,△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O,求证：OE=OD2：06郑州市中考题如图,△ABC 中,AD ∠BAC,DG ⊥BC 且平分BC,DE ⊥AB 于E,DF ⊥AC 于明BE=CF 的理由；2如果AB=a ,AC=b ,求AE 、BE 的长.中考应用06北京中考如图①,OP 是∠MON 的平分线,请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形;请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题：1如图②,在△ABC 中,∠ACB 是直角,∠B =60°,AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线,AD 、CE 相交于点F ;请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；2如图③,在△ABC 中,如果∠ACB 不是直角,而1中的其它条件不变,请问,你在1中所得结论是否仍然成立 若成立,请证明；若不成立,请说明理由;五、旋转1：正方形ABCD 中,E 为BC 上的一点,F 为CD 上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF 的度数.2：D 为等腰Rt ABC ∆斜边AB 的中点,DM ⊥DN,DM,DN 分别交BC,CA 于点E,F;当MDN ∠绕点D 转动时,求证DE=DF; 若AB=2,求四边形DECF 的面积;EDGFCBA第23题OPAMN EB CD FACEFBD图图图3.如图,ABC ∆是边长为3的等边三角形,BDC ∆是等腰三角形,且0120BDC ∠=,以D 为顶点做一个060角,使其两边分别交AB 于点M,交AC 于点N,连接MN,则AMN ∆的周长为 ；BCNM中考应用 07佳木斯已知四边形ABCD中,AB AD ⊥,BC CD ⊥,AB BC =,120ABC =∠,60MBN =∠,MBN ∠绕B 点旋转,它的两边分别交AD DC ，或它们的延长线于E F ，．当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF =时如图1,易证AE CF EF +=．当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF ≠时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立 若成立,请给予证明；若不成立,线段AE CF ，,EF 又有怎样的数量关系 请写出你的猜想,不需证明．西城09年一模已知2,PB=4,以AB 为一边作正方形ABCD,使P 、D 两点落在直线AB 的两侧.1如图,当∠APB=45°时,求AB 及PD 的长;2当∠APB 变化,且其它条件不变时,求PD 的最大值,及相应∠APB 的大小.图1A BC D E FMN 图2 A BC D E FMN 图3ABC D EF M N。

有关四边形添加辅助线的综合练习题1.如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC．求证：∠A＝∠B．2.已知：如图2，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝60°，AD＝BC＝DC．3.已知：如图3，在梯形ABCD中，AB∥CD，AC＝BD．求证：梯形ABCD是等腰梯形．4.已知：如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，且AE⊥BE．求证：AD＋BC ＝AB．5.已知：如图5，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别是BD 、AC 的中点．证：MN ∥BC ，MN ＝12（BC－AD ）．6.已知：如图6，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ,AD ＋BC ＝AB ，E 是CD 的中点．求证：AE ⊥BE ．7.已知：如图7，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＋∠B ＝90°，M 、N 分别是DC 、AB 的中点．求证：MN ＝12（AB －CD ）．8.已知等腰梯形的一个内角为60°，它的上底是3cm，腰长是4cm，求下底的长。

9.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD+BC=30，BD平分∠ABC，求梯形的周长.10.如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1各边中点，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2……，如此进行下去，得到四边形A n B n C n D n,求证下列结论：①四边形A4B4C4D4是菱形；②四边形A5B5C5D5的周长是；③四边形A n B n C n D n的面积是。

11.如图，过正方形ABCD的顶点B作BE∥CA，且作AE=AC又CF∥AE，求证∠BCF=1∠AEB212.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点．求证：MN与PQ互相垂直平分参考答案1.如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC．求证：∠A＝∠B．证明：分别过D、C作AB的垂线，垂足分别为E、F．∵AB∥CD，∴DE＝CF．又AD＝BC，∴Rt△ADE全等于Rt△BCF．∴∠A＝∠B．2.已知：如图2，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝60°，AD＝BC＝DC．求证：AB＝2CD．证明：过D作DE∥CB，交AB于E．∵AB平行于CD，且BC＝DC，∴四边形DEBC是菱形．∴DE＝BC＝AD．又∠A＝60°，∴△DAE为等边三角形．∴AE＝DE，又DE＝EB＝CD，∴AE＝EB＝CD，∴AB＝2CD．3.已知：如图3，在梯形ABCD中，AB∥CD，AC＝BD．求证：梯形ABCD是等腰梯形．证明：过D作DE∥CA，交BA延长线于E．则四边形DEAC是平行四边形．∴DE＝AC＝DB，∴∠E＝∠DBA．又∠CAB＝∠E，∴∠DBA＝∠CAB．于是，可得△DAB≌△CBA，∴AD＝BC，∴梯形ABCD是等腰梯形．4.已知：如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，且AE⊥BE．求证：AD ＋BC＝AB．证明：取AB的中点F，连结FE．则AD＋BC＝2EF，∵∠AEB＝90°，∴AB＝2EF．∴AD＋BC＝AB.5.已知：如图5，在梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是BD、AC的中点．求证：MN∥BC，MN＝12（BC－AD）．证明：连结并延长AM，交BC于E．则△AMD≌△EMB．∴AM＝ME，AD＝BE，又N是AC的中点，∴MN＝12 EC，故MN∥BC, MN＝12（BC－AD）．6.已知：如图6，在梯形ABCD中，AD∥BC,AD＋BC＝AB，E是CD的中点．求证：AE⊥BE．证明：延长AE、BC相交于点F．易证△AED≌△FEC．∴AD＝CF，AE＝EF，∵AD＋BC＝AB，∴CF＋BC＝AB，即BF＝BA．∴BE是等腰△BAF底边上的高．∴AE⊥BE．7.已知：如图7，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＋∠B＝90°，M、N分别是DC、AB的中点．求证：MN＝12（AB－CD）．证明：过M作ME∥DA、MF∥CB，分别交AB于E、F．则∠MEF＝∠A，∠MFE＝∠B.而∠A＋∠B＝90°，∴∠MEF＋∠MFE＝90°，∴∠EMF＝90°，又AE＝DM＝MC＝FB，AN＝NB,∴EN＝NF，MN＝12 EF，即MN＝12（AB－CD）8.如图，梯形ABCD中，∠B=∠C=60°，AD=3cm，AB=DC=4cm，过点A、D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F则有∠BAE=∠CDF=30°，BE=FC=AB=2 cm。

平行四边形几何辅助线专题详解1 平行四边形知识框架{分类讨论思想{动态讨论{1个点的移动2个点的移动高的位置的讨论{过点作下(上)侧边的高过点作右(左)侧边的高求平行四边形第4个点的坐标平行四边形的面积{利用面积解决问题方程思想构造中位线{连接法{连接两中点知一中点，取另一中点知两中点，构双中位线倍长法{倍长垂直于角平分线的线段倍长线段 方法1 分类讨论思想分类讨论思想{动态讨论{1个点的移动2个点的移动高的位置的讨论{过点作下(上)侧边的高过点作右(左)侧边的高求平行四边形第4点坐标一、动态讨论解题技巧：点在线段的不同位置，也会造成不同的结果 （1）1个点的移动如下图，1个点C 在直线AB 上移动，会出现3种情况：①在线段AB 左侧；②在线段AB 当中；③在线段AB 右侧，具体见例1.（2）2个点的移动如下图，2个点C、D在线段AB上移动（C、D两点在AB中），会出现2种情况：①点C在点D的左侧；②点C在点D的右侧，具体见例2.例1.▱ABCD的内角∠BCD的平分线CE交射线DA于点E，若AE=3，DE=4，求▱ABCD的周长。

例2.在▱ABCD中，AD=8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF=2，求AB的长。

二、高的位置的讨论解题技巧：在平行四边形中作高，会出现2种情况：①在图形内；②在图形外。

（1）过点作下（上）侧边的高如下图，过点A作▱ABCD下侧的边CD上的高AE。

因▱ABCD倾斜方向的变化，高会存在两种情况，具体见例1（2）过点右（左）侧边的高如下图，过点B作▱ABCD的右侧边AD上的高AE。

因▱ABCD倾斜大小的变化，高会存在两种情况，具体见例2上述两种情况实质是同一种情况经过翻折后得到的，为同一种情况。

例1.在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，若AB=5，BC=6，求CE的值。

例2.在▱ABCD中，AD=BD=4，BE是AD边上的高，∠EBD=30°，求△ABD的面积。

2024成都中考数学第一轮专题复习 微专题 遇到中点如何添加辅助线 知识精练1. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，BC ＝4，E ，F 分别是BC ，AC 的中点，延长BA 到点D ，使AD ＝12AB ，则DF 的长为________．第1题图2. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点M 为BC 的中点，MN ⊥AC 于点N ，则MN 的长为________．第2题图3.如图，AD 是△ABC 的中线，点E 是AB 上一点，且BE ＝2AE ，连接CE 交AD 于点F ，若CF ＝3，则EF 的长为________．第3题图4. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 为△ABC 的中线，点E 为AD 的中点，点F 为BE 的中点，连接DF .若DF ⊥BE ，则tan ∠DBE 的值为________．第4题图5. 如图，在▱ABCD 中，BC ＝2AB ，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，F 为BC 的中点，连接EF ，若∠B ＝70°，则∠BFE 的度数为________．第5题图6. 如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝90°，AD ＝2BA ＝6，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，连接AM ，AN ，MN .若△CMN 的面积为32，则△AMN 的面积为________．第6题图7. 如图，在▱ABCD 中，E 为AD 的中点，F 是CD 边上一点，连接EF 交BD 于点G ，若DF ＝2，CF ＝4，DG ＝3，则BG 的长为________．第7题图8. 如图，已知△ABC 和△CEF 是等腰直角三角形，其中∠ABC ＝∠CEF ＝90°，且E 是中线AD 的中点，连接BF ，若AB ＝4，则线段BF 的长度为________．第8题图9. 如图，在矩形ABCD 中，点E 为AB 上一点，连接DE ，CE ，且EC 平分∠DEB ，点F 为CE 的中点，连接AF ，BF .求证：AF ⊥BF .第9题图参考答案与解析1. 2 【解析】如解图，连接EF ，AE .∵E ，F 分别为BC ，AC 的中点，∴BE ＝EC ，AF ＝CF ，∴EF ∥AB ，EF ＝12 AB .∵AD ＝12 AB ，∴AD ＝EF ，∴四边形ADFE 是平行四边形，∴DF ＝AE ，∵∠BAC ＝90°，∴AE ＝12BC ＝2，∴DF ＝AE ＝2.第1题解图2.125【解析】如解图，连接AM ，∵AB ＝AC ，点M 为BC 的中点，∴AM ⊥CM (三线合一)，BM ＝CM .∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，∴BM ＝CM ＝3，在Rt △ABM 中，AB ＝5，BM ＝3，∴根据勾股定理得AM ＝AB 2－BM 2 ＝52－32 ＝4.∵S △AMC ＝12 MN ·AC ＝12 AM ·CM ，∴MN ＝AM ·CM AC ＝4×35 ＝125.第2题解图一题多解3. 1 【解析】解法一：如解图①，过点D 作DG ∥AB 交CE 于点G ，则∠EAF ＝∠GDF .∵AD 是△ABC 的中线，∴点D 是BC 的中点，∴DG 是△BCE 的中位线，∴BE ＝2DG ，CG ＝EG .∵BE ＝2AE ，∴AE ＝DG .∵∠AFE ＝∠DFG ，∴△AEF ≌△DGF ，∴EF ＝GF ，∴EF ＝13 CF ＝13 ×3＝1.解法二：如解图②，过点D 作DH ∥CE 交AB 于点H ，∵AD 是△ABC 的中线，∴DH 是△BCE 的中位线，∴DH ＝12 CE ，BH ＝EH .∵BE ＝2AE ，∴AE ＝EH ，∴EF 是△ADH 的中位线，∴EF＝12 DH ，∴EF ＝14 CE ，∴EF ＝13 CF ＝13×3＝1.图①图② 第3题解图4.33【解析】如解图，连接CE ，设CD ＝a ，∵AD 是BC 边上的中线，∴CD ＝BD ＝a .∵点F 为BE 的中点，∴EF ＝BF .∵DF ⊥BE ，∴BD ＝ED ＝a .∵E 为AD 的中点，∠ACB ＝90°，∴CE ＝ED ＝CD ＝a ，∴△CED 为等边三角形，即∠CDE ＝60°.又∵BD ＝ED ，∴∠DEF ＝∠DBF ＝12 ∠CDE ＝30°，∴tan ∠DBE ＝33.第4题解图5. 165° 【解析】 如解图，延长EF 交AB 的延长线于点M ，连接AF ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠C ＝∠MBF .∵F 为BC 的中点，∴BF ＝CF .在△BFM 和△CFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠MBF ＝∠C ，BF ＝CF ，∠BFM ＝∠CFE ， ∴△BFM ≌△CFE (ASA)，∴MF ＝EF ，∠CEF ＝∠M .∵AE ⊥CD ，∴∠AEC ＝90°，∴∠EAB ＝90°.∵MF ＝EF ，∴AF ＝EF ＝MF ，∴∠M ＝∠MAF .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠D ＝∠ABC ＝70°，∠BCD ＝110°.∵BC ＝2AB ，∴AB ＝BF ，∴∠MAF ＝(180°－70°)÷2＝55°，∴∠M ＝55°，∴∠CEF ＝55°，∴∠CFE ＝180°－110°－55°＝15°，∴∠BFE ＝180°－15°＝165°.第5题解图6. 6 【解析】如解图，连接AC ，BD .∵M ，N 分别是BC ，CD 的中点，∴MN ＝12 BD ，MN ∥BD ，S △ACN ＝S △DAN ，S △ABM ＝S △AMC ，S △CMN ＝14 ·S △DBC .∵S △CMN ＝32 ，∴S △DBC ＝6.∵∠BAD ＝90°，AD ＝2BA ＝6，∴S △ABD ＝12AD ·AB ＝9，∴S四边形ABCD ＝S △BCD ＋S △ABD ＝15，∴S △ACN ＋S △ACM＝12 S 四边形ABCD ＝152，∴S △AMN ＝S △ACN ＋S △ACM －S △CMN ＝6.第6题解图7. 12 【解析】如解图，延长FE 交BA 的延长线于点H ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，∴∠H ＝∠DFE ，∠HAE ＝∠FDE .∵E 为AD 的中点，∴AE ＝DE ，∴△AEH ≌△DEF ，∴AH ＝DF ＝2，∴BH ＝AB ＋AH ＝CD ＋AH ＝4＋2＋2＝8.又∵AB ∥CD ，∴△BGH ∽△DGF ，∴BG DG ＝BH DF ，即BG 3 ＝82，解得BG ＝12.第7题解图8. 2 【解析】如解图，过点E 作EG ∥BC 交AC 于点G ，连接BG ，∵点E 是AD 的中点，∴点G 是AC 的中点．∵△ABC 和△CEF 是等腰直角三角形，∠ABC ＝∠CEF ＝90°，∴AB ＝BC ，CE ＝EF ，∴∠ACB ＝∠ECF ＝45°，CB ＝2 CG ，CF ＝2 CE ，∴∠GCE ＝∠BCF ，CG CB ＝CE CF ＝22 ，∴△GCE ∽△BCF ，∴GE BF ＝22 .∵BC ＝AB ＝4，AD 是中线，∴BD ＝CD ＝2.∵点E ，G 分别是AD ，AC 的中点，∴EG 是△ADC 的中位线，∴GE ＝12 CD ＝1，∴BF ＝2 .第8题解图9. 证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ，∴∠DCE ＝∠CEB . ∵EC 平分∠DEB ， ∴∠DEC ＝∠CEB ， ∴∠DCE ＝∠DEC ， ∴DE ＝DC . 如解图，连接DF ，∵DE ＝DC ，F 为CE 的中点， ∴DF ⊥EC ，∴∠DFC ＝90°.在矩形ABCD 中，AB ＝DC ，∠ABC ＝90°， ∴BF ＝CF ＝EF ＝12 EC ，∴∠ABF ＝∠CEB . ∵∠DCE ＝∠CEB ， ∴∠ABF ＝∠DCF . 在△ABF 和△DCF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝CF ，∠ABF ＝∠DCF ，AB ＝DC ，∴△ABF ≌△DCF (SAS)， ∴∠AFB ＝∠DFC ＝90°， ∴AF ⊥BF .第9题解图。

一、角平分线半垂直，补全垂直试试看，角平分线加垂线，三线合一试试看1、已知，△ABC中，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AD延长线于点E，EF∥AC交AB于点F.求证：AF =FB2、已知，如图△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD于D.求证：∠BAD=∠CAD +∠C3、已知，如图Rt△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，CD⊥BE交BE延长线于点D.求证：BE=2CD4、已知，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AD，∠EAD=∠BAD.求证：AB=AE+CE5、已知，如图△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 平分∠BAC ，BE ⊥AD 于E . 求证：)(21AB AC BE -=6、(2011•大连25)已知，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ,点D 在线段BC 上，∠C=2∠EDB ，BE ⊥DE ，垂足为点E ，DE 与AB 相交于点F . (1)求∠EBF .(2)探究BE 与FD 的数量关系，并证明.二、证明线段和差倍，截长补短试试看1、如图，在△ABC 中，81BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，且AC AB BD =+.求ABC ∠的度数.2、已知△ABC 中，60A ∠=o ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明．3、如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作60DMN∠=︒，射线MN与DBA∠外角的平分线交于点N，试判断DM与MN有怎样的数量关系，并证明.4、如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MN DM⊥且与ABC∠外角的平分线交于点N，MD与MN有怎样的数量关系？并证明你的结论.5、已知：如图，ABCD是正方形，∠F AD=∠F AE.求证：BE+DF =AE.6、如图所示，△ABC 是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上. 求AMN ∆的周长．7、五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°. 求证：AD 平分∠CDE .8、已知：如图，ABCD 是正方形，∠EAF=45°，且∠EAF 两边交BC 、CD 分别于E 、F 两点.求证：BE +DF =EF .9、如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=BC=8，点E 为BC 边上一点，且BE=2，∠EAD=45°. 求DE 的长.10、如图，在△OAB 和△O ′CD 中(O ′ 在线段OA 上)，∠A ＜90°，OB=O ′D ，∠AOB=∠CO ′D ，∠OAB 与∠O ′CD 互补，试探索线段AB 与CD 的数量关系，并证明你的结论.11、已知：∠BAC=90°，AB=AC ，AD=DC ，AE ⊥BD . 求证：∠ADB=∠CDE12、(2006•大连模拟26)如图，Rt △ABC 中，AB=AC ，点D 、E 是线段AC 上两动点，且AD=EC ，AM ⊥BD ，垂足为M ，AM 的延长线交BC 于点N ，直线BD 与直线NE 相交于点F .试判断△DEF 的形状，并加以证明.13、如图1-1，已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，点D 、E 在边BC 上，且BD=CE ，连结AD ，当∠BAD=13∠BAC ， CF ⊥AD ，交AB 于点F ，点G 为垂足，直线EF 交直线AD 、AC 分别于点H 、M . (1)在图1-1中，∠BAD= °，∠DAC= °. (2)如图1-1，猜想△HDE 的形状，并证明你的结论.(3)若点D 、E 在直线BC 上，如图1-2，其它条件不变，试判断△HAM 与(2)中△HDE 的形状是否相同，若不相同，说明理由；若相同，请证明.14、(2012•大连25)如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=2∠BCD=2a ，点E 在AD 上，点F 在DC 上，且∠BEF=∠A .（1）∠BEF=_____(用含a 的代数式表示)；（2）当AB=AD 时，猜想线段EB 、EF 的数量关系，并证明你的猜想；七、要想证明是切线，半径垂线仔细添1、已知：如图，⊙O 的直径AB=8cm ，P 是AB 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ．（图1-2）(1) 若∠ACP=120°，求阴影部分的面积； (2)若点P 在AB 的延长线上运动，∠CP A 的平分线交AC 于点M ，∠CMP 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠CMP 的度数．2、已知：如图，点A 是⊙O 上一点，半径OC 的延长线与过点A 的直线交于点B ，OC=BC ，OB AC 21． (1)求证：AB 是⊙O 的切线； (2)若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD 的长． (3)在(2)的条件下，求图中的阴影面积.3、如图，以等腰△ABC 中的腰AB 为直径作⊙O ，交底边BC 于点D ，交AC 边于点E ．过点D 作DF ⊥AC ，垂足为F ． (1)求证：DF 为⊙O 的切线； (2)若∠A=60°，AB=8，求DF 的长. (3)在(2)的条件下，求图中的阴影面积.4、如图，点A 、B 、F 在⊙O 上，∠AFB=30°，OB 的延长线交直线AD 于点D ，过点B 作BC ⊥AD 于C ，∠CBD=60°，连接AB . (1)求证：AD 是⊙O 的切线；(2)若BC=3，求⊙O 的直径.5、如图，已知AB 为⊙O 的弦，C 为⊙O 上一点，∠C =∠BAD ，且BD ⊥AB 于B . (1)求证：AD 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为3，AB =4，求AD 的长.6、已知：如图，在△ABC 中，AB = AC ，点D 是边BC 的中点．以BD 为直径作⊙O ，交边AB 于点P ，联结PC ，交AD 于点E ． (1)求证：AD 是⊙O 的切线；(2)若PC 是⊙O 的切线，BC = 8，求DE 的长．7、已知：如图，△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D ，交BC 于点E ，EF ⊥AC 于F 交AB 的延长线于G . (1)求证：FG 是⊙O 的切线；(2)求AD的长.8、如图，△ABC中，AB=AE，以AB为直径作⊙O交BE于C，过C作CD⊥AE于D，DC的延长线与AB的延长线交于点P .(1)求证：PD是⊙O的切线；(2)若AE=5，BE=6，求DC的长.9、如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于E，DA平分∠BDE.(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD的长.10、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9，CA=12，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E，⊙O是△BDE的外接圆，交BC于点F.(1)求证:AC是⊙O的切线;(2)联结EF ，求BD AC的值.11、如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于D ，DE ⊥AC ，E 是垂足. (1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)如果AB=5，12DE CE ，求CE 的长.12、已知：在⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，OE ⊥AC 于点E ，过点C 作直线FC ，使∠FCA =∠AOE ，交AB 的延长线于点D . (1)求证：FD 是⊙O 的切线；(2)设OC 与BE 相交于点G ，若OG=2，求⊙O 半径的长； (3)在（2）的条件下，当OE=3时，求图中阴影部分的面积. 的弦，过点O 作AB 的平行线，交⊙O 于点C ，直线OC 上一点D 满足∠D =∠ACB .(1)判断直线BD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；(2)若⊙O的半径等于5，AB=8，求CD的长.14、已知：如图，在△ABC中，∠ACB =90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E，过B、D、E三点作⊙O．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)设⊙O交BC于点F，连结EF，若BC=9，CA=12.求EFAC的值.15、已知：如图，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上的一点，D是⊙O上的一点，且AD平分∠F AE，ED⊥AF交AF的延长线于点C．(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)若AF∶FC=5∶3，AE=16，求⊙O的直径AB的长．16、如图，点D是⊙O直径CA的延长线上一点，点B在⊙O上，且AB=AD=AO．(1)求证：BD是⊙O的切线；(2)若点E是劣弧BC上一点，弦AE与BC相交于点F，且CF=9，BF：AF=32，求EF的长．17、(2012•大连23) 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F.(1)猜想ED与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；(2)若AB=6，AD=5，求AF的长.八、有k倍，比线段，截图相似平行线1、如图，点E是BC上一点，BE=k•EC，∠BAE=∠CDE.猜想AB、CD的数量关系，加以证明.2、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB= k•AC，CD∥BA，点P是BC上一点，连结AP，过点P做PE⊥AP交CD于E.探究PE与P A的数量关系，并加以证明.3、如图，在△ABC中，AB= k•AC，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE，DE交BC于点P.探究PE与PD的数量关系，并加以证明.4、如图，在△ABC中，∠DBC+∠ECB=∠A，BD、CE交于点P，P B= k•PC.探究BE与CD的数量关系，并加以证明.5、如图，BD平分∠EBC，D′是BD上一点，且BD=k•BD′，连结D′C、DE，并延长DE至点A，使得EA=ED，且∠ABE=∠C.探究AB与CD′的数量关系，并加以证明.6、如图，CB=CD，∠ABC+∠CDE=180°，AB= k•DE.探究AF与EF的数量关系，并加以证明.7、如图，在△ABC中，AC=BC，P为AB上一点，且AP= k•PB，∠EPF+∠C=180°.探究PE与PF的数量关系，并加以证明.8、如图，AD是△ABC的中线，AB= k•AC，点E是AC延长线上一点，且∠AEF=∠BAD，EF交BA延长线于点F.探究AE与AF的数量关系，并加以证明.9、(2012•大连25)如图1，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=2∠BCD=2a ，点E 在AD 上，点F 在DC 上，且∠BEF=∠A .（1）∠BEF=_____(用含a 的代数式表示)；（2）当AB=AD 时，猜想线段EB 、EF 的数量关系，并证明你的猜想； （3）当AB ≠AD 时，将“点E 在AD 上”改为“点E 在AD 的延长线上，且AE ＞AB ，AB=mDE ，AD=nDE ”，其他条件不变（如图2），求EB EF的值（用含m 、n 的代数式表示）。

四边形辅助线的经典例题1.问题描述在几何学中，我们通常使用辅助线来帮助解决问题，特别是在研究四边形时。

本文将介绍一些经典的四边形辅助线例题，并提供解答和解题思路。

2.题目一题目描述如图所示，在四边形A BC D中，连结A C和B D的交点为P。

证明：四边形AB CD是平行四边形的充分必要条件是A P=CP。

A_______B||||D__|_______|__C解答和解题思路解答设四边形AB CD为平行四边形，即AB∥CD，AD∥B C。

通过观察可以发现，△A PC与△CP D相似（共边、共角、共角），因此我们有：A P/P C=AC/C D=AB/BC同理，△AP B与△B CP相似，可得：A P/P B=AB/B C=AC/CD由上述两个等式可知：A P/P C=AP/P B即A P=CP，得证。

解题思路在证明这个结论时，我们需要利用平行四边形的性质和相似三角形的性质。

通过观察和推理，我们可以发现△A P C与△C PD相似，△A PB与△B CP相似。

利用相似三角形的性质，我们可以得出A P=CP的结论。

3.题目二题目描述如图所示，在四边形A BC D中，连结A C和B D的交点为P。

证明：当且仅当四边形AB CD的对角线互相平分时，四边形AB CD为矩形。

A_______B||||D__|_______|__C解答和解题思路解答设四边形AB CD的对角线AC和B D相交于P点。

先证明四边形A BC D 是矩形的充分条件是A P=CP且B P=DP。

由题意可知，四边形A BC D是矩形，则A B∥C D且AD∥B C。

根据平行线性质，我们可以得到以下结论：A D/D C=AP/P C(1)A B/B C=BP/P D(2)由(1)式得到A P/PC=A D/DC，即AP/P C=A D/B D，再结合(2)式得到：A P/P C=AD/B D=AB/BD=AB/B C即A P/PC=A B/BC，从而得到AP=C P。

专题06 巧作辅助线，构造全等形【典例解析】【例1】（2020·江苏江都月考）问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝12∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．【答案】见解析.【解析】解：问题背景：EF=BE+DF，证明如下：在△ABE和△ADG中，DG BEB ADG AB AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，AE AGEAF GAF AF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；故答案为EF=BE+DF．探索延伸：上述结论EF＝BE+FD成立，理由：延长FD到点G，使得DG＝BE，连接AG，∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADG，∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝12∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠DAF+∠BAE＝∠BAD﹣∠EAF＝12∠BAD，∴∠GAF＝∠EAF，又∵AG＝AE，AF＝AF，∴△AFG≌△AFE（SAS），∴EF＝GF，∵GF＝DF+DG＝DF+BE，∴EF＝BE+FD；实际应用：连接EF，延长AE、BF相交于点C，在四边形AOBC中，∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠FOE＝70°＝12∠AOB，又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝60°+120°＝180°，∴EF＝AE+FB＝1.5×（60+80）＝210（海里），即此时两舰艇之间的距离210海里．【变式1-1】（2020·重庆巴南月考）(1)问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB = AD，∠BAD= 120°，∠B =∠ADC= 90°，E，F分别是BC, CD上的点，且∠EAF = 60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG=BE，连结AG，先证明ΔABE≅ΔADG，再证明ΔAEF≌ΔAGF，可得出结论，他的结论应是．(2)探索延伸：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC，CD上的点，∠EAF=12∠BAD，上述结论是否依然成立？并说明理由．【答案】（1）EF=BE+DF；（2）成立，见解析. 【解析】解：（1）EF=BE+DF，证明如下：在△ABE和△ADG中，DG BEB ADG AB AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE≌△ADG∴AE=AG，∠BAE=∠DAG∵∠EAF=12∠BAD∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠EAF ∴∠EAF=∠GAF∴△AEF≌△AGF∴EF=GF∴EF=BE+DF故答案为：EF=BE+DF．（2）结论EF =BE +DF 仍然成立；理由：延长FD 到点G ，使DG =BE ．连结AG ，易证△ABE ≌△ADG∴AE =AG ，∠BAE =∠DAG ，∵∠EAF =12∠BAD ， ∴∠GAF =∠DAG +∠DAF =∠BAE +∠DAF =∠BAD -∠EAF =∠EAF ，∴∠EAF =∠GAF ，在△AEF 和△AGF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEF ≌△AGF （SAS ），∴EF =FG ，∵FG =DG +DF =BE +DF ，∴EF =BE +DF .【变式1-2】（2019·山东嘉祥·初二期中）现阅读下面的材料，然后解答问题：截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法．在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等．补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段．请用截长法解决问题（1）（1）已知：如图1等腰直角三角形ABC 中，90B ∠=︒，AD 是角平分线，交BC 边于点D ．求证：AC AB BD =+．图1请用补短法解决问题（2）（2）如图2，已知，如图2，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，AD 是ABC ∆的角平分线．求证：AC AB BD =+．图2【答案】见解析．【解析】解：（1）证明：在AC 上截取AE =AB ，连接DE ，∵AD 是角平分线，∴∠BAD =∠EAD在△ADB 和△ADE 中，AB AE BAD EAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADB ≌△ADE∴∠AED =∠B =90°，DE =BD∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠C =45°，∴△DEC 是等腰直角三角形，∴ED =CE ，∴AC =AE +CE =AB +BD（2）延长AB 到F ，使AF =AC ，连接DF ，∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠F AD =∠CAD在△F AD 和△CAD 中，AF ACFAD CAD AD AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△F AD ≌△CAD ，∴∠C =∠F∵∠ABC =2∠C ，∠ABC =∠F +∠BDF ，∴∠F =∠BDF ，∴BD =BF ，∴AC =AF =AB +BD ．【例2-1】（2020·唐山市丰南区）如图，在△ABC 中，AC =5，中线AD =7，则AB 边的取值范围是()A ．1AB 29<< B ．4AB 24<<C ．5AB 19<<D ．9AB 19<<【答案】D .【解析】延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE在△ADC和△EDB中，AD=DE,∠ADC=∠BDE,CD=BD∴△ADC≌△EDB∴AC=BE∵AC=5，AD=7∴BE=5，AE=14在△ABE中，AE-BE＜AB＜AE+BE∴AB边的取值范围是：9＜AB＜19故答案为：D.【例2-2】（2020·余干县月考）（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在△ABC中，AB＝9，AC＝5，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：①延长AD到Q，使得DQ＝AD；②再连接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中；③利用三角形的三边关系可得4<AQ<14，则AD的取值范围是_____________．感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的己知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．（2）请你写出图1中AC与BQ的位置关系并证明．（3）思考：已知，如图2，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠F AC＝90°．试探究线段AD与EF的数量和位置关系，并加以证明．图1 图2【答案】见解析.【解析】解：（1）延长AD到Q，使DQ＝AD，连接BQ，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△QDB和△ADC中，BD CDBDQ CDA DQ DA=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△QDB≌△ADC，∴BQ＝AC＝5，在△ABQ中，AB﹣BQ＜AQ＜AB+BQ，∴4＜AQ＜14，∴2＜AD＜7，故答案为：2＜AD＜7；（2）AC∥BQ，理由：由（1）知，△QDB≌△ADC，∴∠BQD＝∠CAD，∴AC∥BQ；（3）EF＝2AD，AD⊥EF.理由：延长AD到Q使得BQ＝AD，连接BQ，由（1）知，△BDQ≌△CDA（SAS），∴∠DBQ＝∠ACD，BQ＝AC，∵AC＝AF，∴BQ＝AF，在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠ABC+∠DBQ＝180°，∴∠BAC+ABQ＝180°，∵∠BAE＝∠F AC＝90°，∴∠BAC+∠EAF＝180°，∴∠ABQ＝∠EAF，在△ABQ和△EAF中，AB EAABQ EAF BQ AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABQ≌△EAF，∴AQ＝EF，∠BAQ＝∠AEF，延长DA交EF于P，∵∠BAE＝90°，∴∠BAQ+∠EAP＝90°，∴∠AEF+∠EAP＝90°，∴∠APE＝90°，∴AD⊥EF，∵AD＝DQ，∴AQ＝2AD，∵AQ＝EF，∴EF＝2AD，即：EF＝2AD，AD⊥EF．【变式2-1】（2019·山西模考）阅读材料，解答下列问题．如图1，已知△ABC中，AD为中线．延长AD至点E，使DE=AD．在△ADC和△EDB中，AD=DE，∠ADC=∠EDB，BD=CD，所以，△ACD≌△EBD，进一步可得到AC=BE，AC//BE等结论．图1 图2在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题．解决问题：如图2，在△ABC 中，AD 是三角形的中线，点F 为AD 上一点，且BF =AC ，连结并延长BF 交AC 于点E ，求证：AE =EF ．【答案】见解析【解析】解：如图，延长AD 至点M ，使得DM =AD ，连接BM ，∵AD 是三角形的中线，∴BD =CD ，在△MBD 和△ACD 中，,,,BD CD BDM CDA DM DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDM ≌△CDA ，∴AC =BM ，∠BMD =∠CAD ，∵BF =AC∴BF =BM∴∠BMD =∠BFD∵∠BFD =∠EF A ，∠BMD =∠CAD∴∠EF A=∠EAF，∴AE=EF．【变式2-2】（2020·北京朝阳期末）阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．经过讨论，同学们得到以下两种思路：思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠F AE ＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．图①思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠F AE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．图②完成下面问题：（1）①思路一的辅助线的作法是：；②思路二的辅助线的作法是：．（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）．【答案】（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；②作BG＝BF交AD的延长线于点G；（2）见解析【解析】解：（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，如图①，理由如下：∵AD为△ABC中线，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中，=AD DGADC GD CD BDB ⎧=∠⎪∠⎪⎨⎩＝，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴AC＝BG，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EF A，∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．故答案为：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；②作BG＝BF交AD的延长线于点G，理由如下：∵BG＝BF，∴∠G＝∠BFG，∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EF A，∵∠EF A＝∠BFG，∴∠G＝∠EAF，在△ADC和△GDB中，CAD GADC GCD BDDB ⎧⎪⎨⎪=⎩∠∠∠∠＝＝，∴△ADC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG，∴AC＝BF；故答案为：作BG＝BF交AD的延长线于点G；（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，则∠G＝∠CAD，∵AD为△ABC中线，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中，CAD GADC GCD BDDB ⎧⎪⎨⎪=⎩∠∠∠∠＝＝，∴△ADC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EF A，∵∠BFG＝∠EF A，∠G＝∠CAD，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．【例3-1】（2020·华中科技大学附属中学月考）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＋∠BDC=180°．（1）求证：AD 为∠BDC 的平分线；（2）若∠DAE =12∠BAC ，且点E 在BD 上，直接写出BE 、DE 、DC 三条线段之间的等量关系_______． 【答案】（1）见解析；（2）DE =BE +DC .【解析】证明:（1）过A 作AG ⊥BD 于G ，AF ⊥DC 于F ，∵AG ⊥BD ，AF ⊥DC ，∴∠AGD =∠F =90°，∴∠GAF +∠BDC =180°，∵∠BAC +∠BDC =180°，∴∠GAF =∠BAC ，∴∠GAF -∠GAC =∠BAC -∠GAC ，∴∠BAG =∠CAF ，在△BAG 和△CAF 中，90AGB F BAG CAF AB AC ⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAG ≌△CAF （AAS ），∴AG =AF ，∴∠BDA =∠CDA .（2）DE = B E +DC ，理由如下：过A 作∠CAH =∠BAE ，交DC 的延长线于H ，∵∠DAE =12∠BAC ， ∴∠DAE =∠BAE +∠CAD ，∵∠CAH =∠BAE ，∴∠DAE =∠CAH +∠CAD =∠DAH ，在△EAD 和△HAD 中，EAD HAD AD AD ADE ADH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△EAD ≌△HAD （ASA ），∴DE =DH ，AE =AH ，在△EAB 和△HAC 中，AB AC BAE CAH AE AH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAB ≌△HAC （SAS ），∴BE =CH ，∴DE =DH =DC +CH =DC +BE ，∴DE =DC +BE .故答案是：DE =DC +BE .【例3-2】（2020·无锡市胡埭中学月考）如图，BD 是△ABC 的外角∠ABP 的角平分线，DA ＝DC ，DE ⊥BP 于点E ，若AB ＝5，BC =3，则BE 的长为 _____________【答案】1【解析】解：过点D 作DF ⊥AB 于F ，∵BD是∠ABP的角平分线，∴DE=DF，在△BDE和△BDF中，BD BD DE DF=⎧⎨=⎩，∴△BDE≌△BDF(HL)，∴BE=BF，在△ADF和△CDE中，DA DC DE DF=⎧⎨=⎩，∴△ADF≌△CDE(HL)，∴AF=CE，∵AF=AB−BF，CE=BC+BE，∴AB−BF=BC+BE，∴2BE=AB−BC，∵AB=5，BC=3，∴2BE=5−3=2，BE=1.故答案为1.【变式3-1】（2020·江苏江都月考）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB 互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM ＝PN恒成立，（2）OM＋ON的值不变，（3）四边形PMON的面积不变，（4）MN的长不变，其中正确的为__________（请填写结论前面的序号）．【答案】（1）（2）（3）.【解析】解：过P 作PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ．∵∠PEO =∠PFO =90°，∴∠EPF +∠AOB =180°，∵∠MPN +∠AOB =180°，∴∠EPF =∠MPN ，∴∠EPM =∠FPN ，∵OP 平分∠AOB ，PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，∴PE =PF ，在△POE 和△POF 中，OP OP PE PF ⎧⎨⎩＝＝ ,∴△POE ≌△POF ，∴OE =OF ， 在△PEM 和△PFN 中，MPE NPF PE PFPEM PFN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ , ∴△PEM ≌△PFN ，∴EM =NF ，PM =PN ，故（1）正确，∴S △PEM =S △PNF ，∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值，故（3）正确，∵OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值，故（2）正确，MN的长度是变化的，故（4）错误，故答案为：（1）（2）（3）．【变式3-2】（2020·四川达州期末）已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④BA+BC=2BF；其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④【答案】D【解析】解：①∵BD为△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∴在△ABD和△EBC中，BD BCABD CBD BE BA⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABD≌△EBC（SAS），①正确；②∵BD为△ABC的角平分线，BD＝BC，BE＝BA，∴∠BCD＝∠BDC＝∠BAE＝∠BEA，∵△ABD≌△EBC，∴∠BCE＝∠BDA，∴∠BCE＋∠BCD＝∠BDA＋∠BDC＝180°，②正确；③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD＋∠DCE，∠BDA＝∠DAE＋∠BEA，∠BCD＝∠BEA，∴∠DCE＝∠DAE，∴△ACE为等腰三角形，∴AE＝EC，∵△ABD≌△EBC，∴AD＝EC，∴AD＝AE＝EC．③正确；④过E作EG⊥BC于G点，∵E是∠ABC的角平分线BD上的点，且EF⊥AB，∴EF＝EG，在Rt△BEG和Rt△BEF中，BE BE EF EG=⎧⎨=⎩，∴Rt△BEG≌Rt△BEF（HL），∴BG＝BF，在Rt△CEG和Rt△AFE中，AE CE EF EG=⎧⎨=⎩，∴Rt△CEG≌Rt△AEF（HL），∴AF＝CG，∴BA＋BC＝BF＋F A＋BG−CG＝BF＋BG＝2BF，④正确．故答案为D．【变式3-3】（2020·四川成都开学考试）如图，AD是ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DM，△ADM和△AED的面积分别为58和40，则EDF的面积为（）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】C【解析】解：过点D作DH⊥AC于H∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，∴DF＝DH，在Rt△DEF和Rt△DMH中，DF＝DH，DE＝DM，∴Rt△DEF≌Rt△DMH（HL），∴S△DEF＝S△DMH，∵△ADM和△AED的面积分别为58和40，∴△EDF的面积＝12×（58﹣40）＝9．故答案为：C．【变式3-4】（2020·内蒙古扎鲁特旗期末）已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DG相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，（1）连接CD、BD，求证：△CDF≌△BDE；（2）若AE＝5，AC＝3，求BE的长．【答案】见解析.【解析】证明：（1）连接CD、BD，∵AD平分∠BAE，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，又∵DG 垂直平分BC ，∴CD ＝BD ，在Rt △CDF 和Rt △BDE 中，{CD BD DF DE ==， ∴Rt △CDF ≌Rt △BDE .（2）在Rt △ADF 和Rt △ADE 中，{AD AD DF DE ==，∴Rt △ADF ≌Rt △ADE （HL ），∴AE ＝AF ，∵Rt △CDF ≌Rt △BDE ，∴BE ＝CF ，∵CF ＝AF ﹣AC ＝5﹣3＝2，∴BE ＝2． 【习题专练】1.（2020·南部县月考）如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 是BC 的中点，点E 是△ABC 内一点，若∠AEB =∠CED =90°，AE =BE ，CE =DE =2，则图中阴影部分的面积等于__________．【答案】4.【解析】解：过D 作DG ⊥BE 于G ，过C 作CF ⊥AE 于F ，∴∠DGE =∠CFE =90°，∵∠AEB =∠DEC =90°，∴∠GED +∠DEF =90°，∠DEF +∠CEF =90°，∴∠GED =∠CEF ，∵DE =EC ，∴△GDE ≌△FCE ，∴DG =CF ，∵S △BED =12BE •DG ，S △BED =12AE •CF ，AE =BE ，∴S△BED=S△BED，∵D是BC的中点，∴S△BDE=S△EDC=1222⨯⨯=2，∴S阴影=2+2=4，故答案为4.2.（2020·江苏泰州月考）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD 的面积为_____．【答案】12.5【解析】解：过点A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，∵∠DAB=∠DCB=90°，∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC，∴∠D=∠ABE，∵∠DAB=∠CAE=90°，∴∠CAD=∠EAB，∵AD=AB，∴△ACD≌△AEB，∴AC=AE，即△ACE是等腰直角三角形，∴四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，∵S △ACE =12×5×5=12.5， ∴四边形ABCD 的面积为12.5，故答案为12.5．3.（2020·启东市月考）P 是△ABC 内一点，∠PBC ＝30°，∠PBA ＝8°，且∠P AB ＝∠P AC ＝22°，则∠APC 的度数为_____．【答案】142°【解析】解：延长AC 至F ，使AF ＝AB ，连BF ，PF ，延长AP 交BC 于D ，交BF 于E ，在△APB 和△APF 中，AB AF PAB PAC AP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APB ≌△APF ，∴AB ＝AF ，PB ＝PF ，∠AFP ＝∠ABP ＝8°，∴AP 垂直平分BF ，∠BPE ＝∠BAP +∠ABP ＝30°°，∠FPE ＝∠CAP +∠AFP ＝30°∴∠AEP =∠FEP =90°，∴∠PBF =∠PFB =60°∵∠PBC ＝30°∴∠CBF ＝30°＝∠PBC ，∠BPF ＝∠BFP ＝∠PBF =60°，∴三角形BPF 是等边三角形，BC 平分∠PBF∴BC垂直平分PF∴PC=PF∴∠CPF＝∠CFP＝8°∴∠DPC＝38°∴∠APC＝142°；故答案为：142°．4.（2020·四川成华期末）（1）如图1，在ABC中，AB=4，AC=6，AD是BC边上的中线，延长AD到点E 使DE=AD，连接CE，把AB，AC，2AD集中在ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是；（2）如图2，在ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF ＞EF；（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A为钝角，∠C为锐角，∠B+∠ADC=180°，DA=DC，点E，F分别在BC，AB上，且∠EDF=12∠ADC，连接EF，试探索线段AF，EF，CE之间的数量关系，并加以证明．【答案】（1）1＜AD＜5；（2）见解析；（3）AF+EC=EF，见解析【解析】解：（1）∵CD=BD，AD=DE，∠CDE=∠ADB，∴△CDE≌△BDA，∴EC=AB=4，∵6﹣4＜AE＜6+4，∴2＜2AD＜10，∴1＜AD＜5，故答案为：1＜AD＜5；（2）延长ED到H，使DH=DE，连接DH，FH．∵BD=DC，∠BDE=∠CDH，DE=DH，∴△BDE≌△CDH，∴BE=CH，∵FD⊥EH，又DE=DH，∴EF=FH，在△CFH中，CH+CF＞FH，∵CH=BE，FH=EF，∴BE+CF＞EF；（3）结论：AF+EC=EF．理由：延长BC到H，使CH=AF．∵∠B+∠ADC=180°，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠DCH+∠BCD=180°，∴A=∠DCH，∵AF=CH，AD=CD，∴△AFD≌△CHD，∴DF=DH，∠ADF=∠CDH，∴∠ADC=∠FDH，∵∠EDF=12∠ADC，∴∠EDF=12∠FDH，∵DE=DE，∴△EDF≌△EDH，∴EF=EH，∵EH=EC+CH=EC+AF，∴EF=AF+EC．5．（2020·武汉市期中）在ABC中，D是BC的中点，E，F，分别在AB，AC上．且DE⊥DF，连EF．（1）如图1，AB=AC，∠BAC=90°，求证：∠DEF=45°；（2）如图2，求证：BE + CF＞EF．图1 图2【答案】见解析.【解析】解：连接AD，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，∠BAD=∠CAD=45°，AD⊥BC，∵点D是BC中点，∴AD=BD=CD，∵∠EDF=90°，即∠ADE+∠ADF=90°，∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°，∴∠ADF=∠BDE，∴DE=DF，∠EDF=90°，∴∠DEF=45°；（2）延长ED至G，使ED=DG，连接FG和CG，∵FD⊥ED，∴∠FDE=∠FDG=90°，又FD=FD，∴△FDE≌△FDG，∴EF=FG，∵点D为BC中点，∴BD=CD，又ED=DG，∠EDB=∠CDG，∴△BDE≌△CDG，∴BE=CG，在△CFG中，CG+CF＞FG，∴BE+CF＞EF.6.（2020·北京海淀期中）已知，如图：AD是△ABC的中线，AE⊥AB，AE=AB，AF⊥AC，AF=AC，连结EF．试猜想线段AD与EF的关系，并证明.【答案】EF=2AD，EF⊥AD；见解析【解析】猜想：EF=2AD，EF⊥AD．证明：延长AD到M，使AD=DM，连接MC，延长DA交EF于N，∴AD=DM，AM=2AD，∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，在△ABD和△MCD中，AD DMADB MDC BD CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD≌△MCD，∴AB=MC，∠BAD=∠M，∵AB=AE，∴AE=MC，∵AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠EAB=∠F AC=90°，∵∠F AC+∠BAC+∠EAB+∠EAF=360°，∴∠BAC+∠EAF=180°，∵∠CAD+∠M+∠MCA=180°，∴∠CAD+∠BAD+∠MCA=180°，即∠BAC+∠MCA=180°，∴∠EAF=∠MCA．在△AEF和△CMA中，AF ACEAF MCA AE CM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△CMA，∴EF=AM，∠CAM=∠F，∴EF=2AD；∵∠CAF=90°，∴∠CAM+∠F AN=90°，∵∠CAM=∠F，∴∠F+∠F AN=90°，∴∠ANF=90°，∴EF⊥AD．7.（2020·四川成都）已知，如图AD为△ABC的中线，分别以AB和AC为一边在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，且AE＝AB，AF＝AC，连接EF，∠EAF+∠BAC＝180°（1）如图1，若∠ABE＝63°，∠BAC＝45°，求∠F AC的度数；（2）如图1请探究线段EF和线段AD有何数量关系？并证明你的结论；（3）如图2，设EF交AB于点G，交AC于点R，延长FC，EB交于点M，若点G为线段EF的中点，且∠BAE＝70°，请探究∠ACB和∠CAF的数量关系，并证明你的结论．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABE＝63°，∴∠EAB＝54°，∵∠BAC＝45°，∠EAF+∠BAC＝180°，∴∠EAB+2∠BAC+∠F AC＝180°，∴54°+2×45°+∠F AC＝180°，∴∠F AC＝36°；（2）EF＝2AD；理由如下：延长AD至H，使DH＝AD，连接BH，∵AD为△ABC的中线，∴BD＝CD，在△BDH和△CDA中，BD CDBDH CDA DH AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDH≌△CDA，∴HB＝AC＝AF，∠BHD＝∠CAD，∴AC∥BH，∴∠ABH+∠BAC＝180°，∵∠EAF+∠BAC＝180°，∴∠EAF＝∠ABH，在△ABH和△EAF中，AE ABEAF ABH AF BH=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABH≌△EAF，∴EF＝AH＝2AD；（3）∠ACB－12∠CAF=55°；理由如下：由（2）得，AD＝12EF，又点G为EF中点，∴EG＝AD，由（2）△ABH≌△EAF，∴∠AEG＝∠BAD，在△EAG和△ABD中，AE ABABG BAD EG AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAG≌△ABD，∴∠EAG＝∠ABC＝70°，∵∠EAF+∠BAC＝180°，∴∠EAB+2∠BAC+∠CAF＝180°，即：70°+2∠BAC+∠CAF＝180°，∴∠BAC+12∠CAF＝55°，∴∠BAC＝55°﹣12∠CAF，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣∠ACB＝110°﹣∠ACB，∴∠ACB﹣12∠CAF＝55°．8.（2020·湖北黄石期末）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E 在CD的延长线上．请解答下列问题：（1）图中与∠DBE相等的角有：；（2）直接写出BE和CD的数量关系；（3）若△ABC的形状、大小不变，直角三角形BEC变为图2中直角三角形BED，∠E＝90°，且∠EDB＝1 2∠C，DE与AB相交于点F．试探究线段BE与FD的数量关系，并证明你的结论．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵BE⊥CD，∴∠E＝90°，∴∠E＝∠BAC，又∠EDB＝∠ADC，∴∠DBE＝∠ACE，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACE，∴∠DBE＝∠BCD，故答案为：∠ACE和∠BCD；（2）延长BE交CA延长线于F，∵CD平分∠ACB，∴∠FCE＝∠BCE，在△CEF和△CEB中，FCE BCE CE CECEF CEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△CEF≌△CEB（ASA），∴FE＝BE，在△ACD和△ABF中，ACD ABFAC ABCAD BAF90︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩，∴△ACD≌△ABF（ASA），∴CD＝BF，∴BE＝12 CD；（3）BE＝12DF过点D作DG∥CA，交BE的延长线于点G，与AE相交于H，∵DG∥AC，∴∠GDB＝∠C，∠BHD＝∠A＝90°，∵∠EDB＝12∠C，∴∠EDB ＝∠EDG ＝12∠C ， ∵BE ⊥ED ，∴∠BED ＝90°，∴∠BED ＝∠BHD ，∵∠EFB ＝∠HFD ，∴∠EBF ＝∠HDF ， ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠C ＝∠ABC ＝45°，∵GD ∥AC ，∴∠GDB ＝∠C ＝45°，∴∠GDB ＝∠ABC ＝45°，∴BH ＝DH ，在△BGH 和△DFH 中，HBG HDF BH DH BHG DHF 90︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩，∴△BGH ≌△DFH （ASA ）∴BG ＝DF ，在△BDE 和△GDE 中，BDE GDE DE DE BED GED 90︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩，∴△BDE ≌△GDE （ASA ）∴BE ＝EG ，∴BE ＝12BG =12DP ． 9．（2020·江苏泰州月考）如图，△ABC 中，点D 在边BC 上，DE ⊥AB 于E ，DH ⊥AC 于H ，且满足DE =DH ，F 为AE 的中点，G 为直线AC 上一动点，满足DG ＝DF ，若AE =4cm ，则AG = _____cm ．【答案】2或6.【解析】解：∵DE⊥AB，DH⊥AC，∴∠AED=∠AHE=90°.在△ADE和△ADH中，∵AD=AD,DE=DH,∴△ADE≌△ADH,∴AH=AE=4cm.∵F为AE的中点，∴AF=EF=2cm.在△FDE和△GDH中，∵DF=DG,DE=DH, ∴△FDE≌△GDH,∴GH=EF=2cm.当点G在线段AH上时，AG=AH-GH=4-2=2cm;当点G在线段HC上时，AG=AH+GH=4+2=6cm;故AG的长为2或6.10.（2020·黄石经济技术开发区月考）如图，A(－t，0)、B(0，t)，其中t＞0，点C为OA上一点，OD⊥BC 于点D，且∠BCO=45°＋∠COD(1) 求证：BC平分∠ABO(2) 求2BC ODCD的值(3) 若点P为第三象限内一动点，且∠APO=135°，试问AP和BP是否存在某种确定的位置关系？说明理由【答案】见解析.【解析】(1)证明：∵AO=BO=t，∠AOB=90°∴∠OAB=∠OBA=45°,∵∠BCO=45°+∠COD=∠BAO+∠ABC，∴∠COD=∠ABC，∵OD⊥BC，∴∠CDO=90°，∵∠DOC+∠DCO=90°,∠CBO+∠BCO=90°，∴∠DOC=∠CBO，∴∠ABC=∠CBO.(2)在BD上截取DE=OD，∵∠ODE=90°，∴∠DEO=45°=∠EBO+∠EOB，∵∠ABC=∠CBO=12∠ABO=22.5°，∴∠EOB=∠EBO=22.5°,∴EB=EO，∵∠ECO=∠EOC=67.5°，∴EC=EO，∴BC=2EC=2OD+2CD，∴22BC OD CDCD CD-==2.(3)结论：BP⊥AP，理由如下：过O作OM⊥OP交PB于M，交AP的延长线于N，∵∠APO=135°，∴∠OPN=∠N=45°，∴OP=ON，∵∠AOB=∠PON=90°，∴∠BOP=∠AON，在△OBP和△OAN中，OB OABOP AON OP ON=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BOP≌△AON，∴∠BPO=∠N=45°，∵∠OPN=45°，∴∠BPN=∠BPO+∠OPN=90°，∴BP⊥AP.11.（2020·四川师范大学附属中学期中）△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，CD、AE交于点F，BD＝CE．（1）如图1，求证：∠AFD＝60°；（2）如图2，FG为△AFC的角平分线，点H在FG的延长线上，HG＝CD，连接HA、HC，求证：AC＝HC；（3）在（2）的条件下，若AD＝2BD，AF+CF＝12，求AF长．【答案】见解析．【解析】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACE=60°，BC=AC又CE=BD，∴△ACE≌△CBD∴∠EAC=∠DCB，AE=CD∴∠AFD=∠EAC+∠ACD=∠DCB+∠ACD=60°；（2）过C作CM⊥AE交AE的延长线于M，CN⊥FH于N，∵∠EFC=∠AFD=60°∴∠AFC=120°∵FG是△ACF的平分线∴∠CFH=∠AFH=60°∴∠CFH=∠CFE=60°∵CM⊥AE，CN⊥FH∴CM=CN由∠CEM=60°+∠CAE=∠CGN∴△ECM≌△GCN∴CE=CG∵CD=GH，CD=AE∴GH=AE∵∠CEM=∠CGN∴∠CEF=∠CGH∴△ECA≌△GCH∴AC=CH（3）过G作GP⊥AE于P，GQ⊥CD于Q，由（2）知，CE=CG，∴AG=2CG∴S△AGF=2S△CFG∵GP=GQ∴AF=2CF∵AF+CF=12，∴AF=8.。

平行四边形全等之辅助线——截长缩短类
经典习题讲解
本文将介绍平行四边形全等中的辅助线截长缩短类经典题解析。

1. 问题描述
设ABCD是一个平行四边形，点E是AB延长线上的一个点，连接EC，交AD于点F，使得AF=DC。

证明：EF=BF。

2. 解题思路
首先，根据题目中给出的条件，我们可以发现ABCD是一个平行四边形且AF=DC。

我们要证明EF=BF。

接下来，我们将使用辅助线来辅助证明。

我们在平行四边形ABCD中引入一条辅助线BG，使其与AE平行，并交CD于点G。

由于AE和BG互相平行，根据平行线截取等比例定理，我们可以得到AF/FC = BG/GC。

由于AF=DC，我们可以将等式重写为DC/FC = BG/GC。

同样地，由于平行四边形ABCD的性质，我们有DC/FC = AB/BF。

将上述两个等式结合起来，我们可以得到AB/BF = BG/GC。

由于AE和BG是平行的，所以三角形AEB与三角形BGC是全等的，从而可以推导出AB/EA = BG/GC。

由于AB/EA = BG/GC，根据等比例定理，我们可以得到
EF=BF。

综上所述，我们通过引入辅助线BG，证明了EF=BF。

3. 总结
在本文中，我们通过使用辅助线截长缩短的方法，证明了平行四边形全等中的一个经典题。

通过引入辅助线并运用平行线截取等比例定理，能够简化问题并得出结论。

希望本文对你理解平行四边形全等中的辅助线截长缩短类经典习题有所帮助！。

平行四边形◆考点1．平行四边形的两组对边分别平行且相等 推论：平行四边形一组邻边的和为周长的一半对边平行 内错角相等（有“角平分线”会产生“等腰三角形” ） 练习：1．平行四边形ABCD 的周长为34cm ，且AB=7cm ，则BC= cm 。

2．平行四边形ABCD 的周长为26cm ，相邻两边相差3cm ，则AB= cm 。

3．如图，BM=6，∠NDC=∠MDA ，则平行四边形ABCD 的周长为 。

4．如图，平行四边形ABCD 中，BN=DM,试判断线段AM 与CN 的关系，并说明理由。

5．如图，平行四边形ABCD 中，CE 平分∠BCD ，BG 平分∠ABC ，BG 与CE 交于点F 。

(1)求证：AB=AG ； (2)求证：AE=DG ； (3)求证：CE ⊥BG 。

CB ADMN B CDAGE FC N MBDA◆考点2．平行四边形的两组对角分别相等 推论：平行四边形的邻角互补 1．平行四边形的一个角为50度，则其余三个角分别为 。

2．平行四边形相邻两个角相差40度，则相邻两角度数分别为 。

3．平行四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C ：∠D 可能是（ ）A ．1：2：3：4B ．2：3：3：2C ．2：3：2：3D ．2：2：3：3 4．如图，M ，N 是平行四边形ABCD 两边的中点，求证：∠DAN=∠BCM 。

◆考点3．平行四边形的对角线互相平分推论1：经过平行四边形对角线交点的直线具备双重平分作用： ①该直线平分平行四边形的面积；②该直线在平行四边形内的部分被对角线平分。

推论2：在平面直角坐标系中，设平行四边形ABCD 四个顶点的横坐标分别A x 、B x 、C x 、D x ，纵坐标分别为A y 、B y 、C y 、D y ，则有如下关系：①D B C A x x x x +=+；②D B C A y y y y +=+。

1．如图，平行四边形ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，△AOB 与△BOC 的周长相差2，且AB=5，则BC= 。

初中几何辅助线——四边形辅助线大全题型1.平行四边形的两邻边之和等于平行四边形周长的一半.例1已知,□ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长多8cm，求这个四边形各边长.解：∵四边形ABCD为平行四边形∴AB = CD，AD = CB，AO = CO∵AB＋CD＋DA＋CB = 60AO＋AB＋OB－(OB＋BC＋OC) = 8∴AB＋BC = 30，AB－BC =8∴AB = CD = 19，BC = AD = 11答：这个四边形各边长分别为19cm、11cm、19cm、11cm.题型 2.平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差.（例题如上）题型3.有平行线时常作平行线构造平行四边形.例2已知，如图，Rt△ABC，∠ACB = 90o，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB交CD于F，过F 作FH∥AB交BC于H求证：CE = BH证明：过F作FP∥BC交AB于P，则四边形FPBH 为平行四边形∴∠B =∠FP A，BH = FP∵∠ACB = 90o，CD⊥AB∴∠5＋∠CAB = 45o，∠B＋∠CAB = 90o∴∠5 =∠B∴∠5 =∠FP A又∵∠1 =∠2，AF = AF∴△CAF≌△P AF∴CF = FP∵∠4 =∠1＋∠5，∠3 =∠2＋∠B∴∠3 =∠4∴CF = CE∴CE = BH练习：已知，如图，AB∥EF∥GH，BE = GC求证：AB = EF＋GH54321PHFEDCB AGHFEB AC题型4.有以平行四边形一边中点为端点的线段时常延长此线段.例3已知，如图，在□ABCD中，AB = 2BC，M为AB中点求证：CM⊥DM证明：延长DM、CB交于N∵四边形ABCD为平行四边形∴AD = BC，AD∥BC∴∠A = ∠NBA∠ADN=∠N又∵AM = BM∴△AMD≌△BMN∴AD = BN∴BN = BC∵AB = 2BC，AM = BM∴BM = BC = BN∴∠1 =∠2，∠3 =∠N∵∠1＋∠2＋∠3＋∠N = 180o，∴∠1＋∠3 = 90o∴CM⊥DM题型5.平行四边形对角线的交点到一组对边距离相等.例4如图：OE=OF题型 6.平行四边形一边（或这边所在的直线）上的任意一点与对边的两个端点的连线所构成的三角形的面积等于平行四边形面积的一半.例5如图：S△BEC= 12S□ABCD题型7.平行四边形内任意一点与四个顶点的连线所构成的四个三角形中，不相邻的两个三角形的面积之和等于平行四边形面积的一半.例6如图：S△AOB＋S△DOC= S△BOC＋S△AOD = 12S□ABCDEDCBAODCBA321NM BAD CFEODCBA题型8.任意一点与同一平面内的矩形各点的连线中，不相邻的两条线段的平方和相等. 例7如图：AO 2＋OC 2 = BO 2 ＋DO 2题型9.平行四边形四个内角平分线所围成的四边形为矩形.例8如图：四边形GHMN 是矩形（题型5～题型9请自己证明）题型10.有垂直时可作垂线构造矩形或平行线.例9已知，如图，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，且BE = ED ，P 为对角线BD 上一点，PF ⊥BE 于F ，PG ⊥AD 于G 求证：PF ＋PG = AB证明：证法一：过P 作PH ⊥AB 于H ，则四边形AHPG 为矩形∴AH = GP PH ∥AD ∴∠ADB =∠HPB∵BE = DE ∴∠EBD = ∠ADB ∴∠HPB =∠EBD 又∵∠PFB =∠BHP = 90o∴△PFB ≌△BHP∴HB = FP∴AH ＋HB = PG ＋PF 即AB = PG ＋PF证法二：延长GP 交BC 于N ，则四边形ABNG 为矩形，（证明略）NP H G FE D C B AN M HG DCBAA DC B OO B CD A题型11.直角三角形常用辅助线方法⑴作斜边上的高例10已知，如图,若从矩形ABCD的顶点C作对角线BD的垂线与∠BAD的平分线交于点E 求证：AC = CE证明：过A作AF⊥BD，垂足为F，则AF∥EG∴∠F AE = ∠AEG∵四边形ABCD为矩形∴∠BAD = 90o OA = OD∴∠BDA =∠CAD∵AF⊥BD∴∠ABD＋∠ADB= ∠ABD＋∠BAF= 90o∴∠BAF =∠ADB =∠CAD∵AE为∠BAD的平分线∴∠BAE =∠DAE∴∠BAE－∠BAF =∠DAE－∠DAC即∠F AE =∠CAE∴∠CAE =∠AEG∴AC = EC⑵作斜边中线，当有下列情况时常作斜边中线①有斜边中点时例11已知，如图，AD、BE是△ABC的高，F是DE的中点，G是AB的中点求证：GF⊥DE证明：连结GE、GD∵AD、BE是△ABC的高，G是AB的中点∴GE = 12AB，GD =12AB∴GE = GD∵F是DE的中点∴GF⊥DE②有和斜边倍分关系的线段时例12已知，如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，且DA⊥BA于A，AC = 12 BD求证：∠ACB = 2∠B证明：取BD中点E，连结AE，则AE = BE = 12 BD∴∠1 =∠BGOFEDCBAFEDCBA∵AC =12BD ∴AC = AE∴∠ACB =∠2 ∵∠2 =∠1＋∠B ∴∠2 = 2∠B ∴∠ACB = 2∠B题型12.正方形一条对角线上一点到另一条对角线上的两端距离相等.例13已知，如图，过正方形ABCD 对角线BD 上一点P ，作PE ⊥BC 于E ，作PF ⊥CD 于F 求证：AP = EF证明:连结AC 、PC∵四边形ABCD 为正方形∴BD 垂直平分AC ，∠BCD = 90o∴AP = CP∵PE ⊥BC ，PF ⊥CD ，∠BCD = 90o ∴四边形PECF 为矩形 ∴PC = EF ∴AP = EF 题型13.有正方形一边中点时常取另一边中点.例14已知,如图，正方形ABCD 中，M 为AB 的中点，MN ⊥MD ，BN 平分∠CBE 并交MN 于N求证：MD = MN证明：取AD 的中点P ，连结PM ，则DP = P A =12AD ∵四边形ABCD 为正方形 ∴AD = AB , ∠A =∠ABC = 90o∴∠1＋∠AMD = 90o ，又DM ⊥MN ∴∠2＋∠AMD = 90o ∴∠1 =∠2 ∵M 为AB 中点∴AM = MB = 12AB∴DP = MB AP = AM ∴∠APM =∠AMP = 45o ∴∠DPM =135o ∵BN 平分∠CBE ∴∠CBN = 45o∴∠MBN =∠MBC ＋∠CBN = 90o ＋45o = 135o 即∠DPM =∠MBN ∴△DPM ≌△MBN21EDCBAP F ED CB A21P NEDCA∴DM = MN注意：把M 改为AB 上任一点，其它条件不变，结论仍然成立。

一、由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

（一）、截取构全等例1． 如图1-2，AB//CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD 。

例2． 已知：如图1-3，AB=2AC ，∠BAD=∠CAD ，DA=DB ，求证DC ⊥AC例3． 已知：如图1-4，在△ABC 中，∠C=2∠B,AD 平分∠BAC ，求证：AB-AC=CD图1-2ADBCEF图1-3ABCDE图1-4A BCDE（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等例1． 如图2-1，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC 。

求证：∠ADC+∠B=180例2． 如图2-2，在△ABC 中，∠A=90 ，AB=AC ，∠ABD=∠CBD 。

求证：BC=AB+AD例3． 已知如图2-3，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P 。

求证：∠BAC 的平分线也经过点P 。

（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形例1． 已知：如图3-1，∠BAD=∠DAC ，AB>AC,CD ⊥AD 于D ，H 是BC 中点。

求证：DH=21（AB-AC ）图2-1ABCDEF图2-2ABCDE图2-3PABC M NDF 图示3-1ABCDHE例2． 已知：如图3-2，AB=AC ，∠BAC=90 ，AD 为∠A BC 的平分线，CE ⊥BE.求证：BD=2CE 。

例3．已知：如图3-3在△ABC 中，AD 、AE 分别∠BAC 的内、外角平分线，过顶点B 作BFAD ，交AD 的延长线于F ，连结FC 并延长交AE 于M 。

求证：AM=ME 。

例4． 已知：如图3-4，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AD=AB ，CM ⊥AD 交AD 延长线于M 。

求证：AM=21（AB+AC ） 图3-2DABEFC图3-3DBEFN ACM图3-4nEBAD CMF（四）、以角分线上一点做角的另一边的平行线图4-2图4-1CABC BA FIEDHG例4 如图，AB>AC, ∠1=∠2，求证：AB －AC>BD －CD 。

14．（2019·青海中考真题）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点，连接.（1）求证：. 2020中考数学几何专题突破模块三：四边形中常见辅助线添加技巧例1．（2019·安徽中考真题）如图，点E 在▱ABCD 内部，AF ∥BE ，DF ∥CE ，（1）求证：△BCE ≌△ADF ；（2）设▱ABCD 的面积为S ，四边形AEDF 的面积为T ，求S T 的值 【答案】（1）证明略；（2）S T=2 【解析】【分析】 一. 和平行四边形有关的辅助线作法1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形2．利用两组对边平行构造平行四边形3．利用对角线互相平分构造平行四边形（1）已知AD=BC ，可以通过证明EBC FAD ∠=∠，ECB FDA ∠=∠来证明BCE ADF ≅（ASA ）； （2）连接EF ，易证四边形ABEF ，四边形CDFE 为平行四边形，则AFE FED ABE CDE AEDF S SS S T S =+=+=四边形12S =，即可得S T=2. 【详解】 （1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD BC ∥，180BAD ABC ︒∴∠+∠=，又//AF BE ，180BAF ABE ︒∴∠+∠=，BAD ABE EBC FAD BAD ABE ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠，EBC FAD ∴∠=∠，同理可得：ECB FDA ∠=∠，在BCE 和ADF 中，EBC FAD BC ADECB FDA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩BCE ADF ∴≅（2）解：连接EF ，BCE ADF ≅，,BE AF CE DF ∴==，又,AF BE DF CE ∥∥，∴四边形ABEF ，四边形CDFE 为平行四边形，∴,ABE AFE CDE FED S S S S ==，∴AFE FED ABE CDE AEDF S S S S T S =+=+=四边形，设点E 到AB 的距离为h 1，到CD 的距离为h 2，线段AB 到CD 的距离为h ，则h= h 1+ h 2,∴()1212111222T AB h CD h AB h h =⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+1122AB h S =⋅⋅=， 即S T=2.【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质、平行四边形的判定和性质以及相关面积计算，熟练掌握所学性质定理并能灵活运用进行推理计算是解题的关键.【变式训练】1. （2018•眉山）如图，在▱ABCD 中，CD=2AD ，BE ⊥AD 于点E ，F 为DC的中点，连结EF 、BF ，下列结论：①∠ABC=2∠ABF ；②EF=BF ；③S 四边形DEBC =2S△EFB ；④∠CFE=3∠DEF ，其中正确结论的个数共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】如图延长EF 交BC 的延长线于G ，取AB 的中点H 连接FH ．想办法证明EF=FG ，BE ⊥BG ，四边形BCFH 是菱形即可解决问题；【解答】解：如图延长EF 交BC 的延长线于G ，取AB 的中点H 连接FH ．∵CD=2AD ，DF=FC ，∴CF=CB，∴∠CFB=∠CBF，∵CD∥AB，∴∠CFB=∠FBH，∴∠CBF=∠FBH，∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，∵DE∥CG，∴∠D=∠FCG，∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，∴△DFE≌△FCG，∴FE=FG，∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBG=90°，∴BF=EF=FG，故②正确，∵S△DFE =S△CFG，∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故③正确，∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，∴CF=BH，∵CF∥BH，∴四边形BCFH是平行四边形，∵CF=BC，∴四边形BCFH是菱形，∴∠BFC=∠BFH，∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，∴FH⊥BE，∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，故选：D．2．（2019·江苏省中考真题）如图，四边形ABCD 中，AD BC ∥，点E 、F 分别在,AD BC 上，AE CF =，过点A 、C 分别作EF 的垂线，垂足为G 、H ．（1）求证：AGE CHF ∆≅∆；（2）连接AC ，线段GH 与AC 是否互相平分？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）线段GH 与AC 互相平分，见解析.【解析】【分析】（1）由垂线的性质得出∠G=∠H=90°，AG ∥CH ，由平行线的性质和对顶角相等得出∠AEG=∠CFH ，由AAS 即可得出△AGE ≌△CHF ；（2）连接AH 、CG ，由全等三角形的性质得出AG=CH ，证出四边形AHCG 是平行四边形，即可得出结论．【详解】（1）证明：AG EF ⊥，CH EF ⊥，90G H ∴∠=∠=︒，AG CH ∥，AD BC ∵∥，DEF BFE ∴∠=∠，AEG DEF ∠=∠，CFH BFE ∠=∠，AEG CFH ∴∠=∠，在AGE ∆和CHF ∆中，G H AEG CFH AE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AGE CHF AAS ∴∆≅∆；（2）线段GH 与AC 互相平分，理由如下：连接AH 、CG ，如图所示：∆≅∆，由（1）得：AGE CHF∴=，AG CH∥，AG CH∴四边形AHCG是平行四边形，∴线段GH与AC互相平分．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．3．（2018·湖北省中考真题）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O．求证：AD与BE互相平分．【答案】证明见解析.【解析】分析：连接BD，AE，判定△ABC≌△DEF（ASA），可得AB=DE，依据AB∥DE，即可得出四边形ABDE是平行四边形，进而得到AD与BE互相平分．详证明：如图，连接BD，AE，∵FB=CE，∴BC=EF ，又∵AB ∥ED ，AC ∥FD ，∴∠ABC=∠DEF ，∠ACB=∠DFE ，在△ABC 和△DEF 中，ABC DEF BC EFACB DFE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△ABC ≌△DEF （ASA ），∴AB=DE ，又∵AB ∥DE ，∴四边形ABDE 是平行四边形，∴AD 与BE 互相平分．点睛：本题主要考查了平行四边形的判定与性质，解决问题的关键是依据全等三角形的对应边相等得出结论．例1．（2019·北京中考真题）如图，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，点E ，F 分别在AB ，AD 上，BE=DF ，连接EF ．（1）求证：AC ⊥EF ；（2）延长EF 交CD 的延长线于点G ，连接BD 交AC 于点O ，若BD=4，tanG=12，求AO 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）AO=1。