一章习题解答
1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e
4y z =-+B e e
52x z =-C e e
求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）⨯A C ；
（7）()⨯A B C 和()⨯A B C ；
（8）()⨯⨯A B C 和()⨯⨯A B C 。 解 （1
）23A x y z
+-=
==+-e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e
e 64x y z +-=e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e －11
（4）由 c o s AB θ
=8==A B A B ，得 1c o s AB θ-
=(135.5= （5）A 在B 上的分量 B A =A c o s AB θ
=
=A B B （6）⨯=A C 1
235
02x y z
-=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于⨯=B C 04
1502x y
z
-=-e e e 8520x y z ++e e e ⨯=A B 123041
x
y
z
-=-e e e 1014x y z ---e e e
所以 ()⨯=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e ()⨯=A B C (1014)x y z ---e e e (52)42x z -=-e e
（8）()⨯⨯=A B C 1014502x y z
---=-e e e 2405x y z -+e e e
()⨯⨯=A B C 1
238
5
20
x
y z -=e e e 554411x y z --e e e
1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)
P -和3(6,2,5)P 。
（1）判断123
PP P ∆是否为一直角三角形；
（2）求三角形的面积。
解 （1）三个顶点1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 的位置矢量分别为 12y z =-r e e ，243x y z =+-r e e e ，3625x y z =++r e e e 则 12214x z =-=-R r r e e ， 233228
x y z =-=++R r r e e e ， 311367x y z =-=---R r r e e e
由此可见
1223(4)(28)0x z x y z =-++=R R e e e e e
故123
PP P ∆为一直角三角形。 （2）三角形的面积
1223
1221117.1322S =⨯=⨯=R R R R
1.3 求(3,1,4)P '-点到(2,2,3)P -点的距离矢量R 及R 的方向。
解 34P x y z '=-++r e e e ，223P x y z =-+r e e e ，
则 53P P P P x y z ''=-=--R r r e e e 且P P 'R 与x 、y 、z 轴的夹角分别为
11cos (
)cos 32.31x P P x P P φ--''===e R R
11cos ()cos 120.47y P P y P P φ'--'===e R R
11cos ()cos (99.73z P P z P P φ--''===e R R
1.4 给定两矢量234x y z =+-A e e e 和456x y z =-+B e e e ，求它们之间的夹角和A 在
B 上的分量。
解 A 与B 之间的夹角为
11cos (
)cos 131θ--===AB A B A B A 在B 上的分量为
3.532B A ===-B A B
1.5 给定两矢量234x y z =+-A e e e 和64x y z =--+B e e e ，求⨯A B 在x y z
=-+C e e e 上的分量。
解 ⨯=A B 2
34641
x
y z
-=--e e e 132210x y z -++e e e 所以⨯A B 在C 上的分量为 ()⨯=
C A
B ()14.43⨯==-A B
C C 1.6 证明：如果A B =A C 和⨯=A B ⨯A C ，则=B C ；
解 由⨯=A B ⨯A C ，则有()()⨯⨯=⨯⨯A A B A A C ，即
()()()()-=-A B A A A B A C A A A C
由于A B =A C ，于是得到 ()()=A A B A A C 故 =B C
1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设A 为一已知矢量，p =A X 而=⨯P A X ，p 和P 已知，试求X 。
解 由=⨯P A X ，有
()()()()p ⨯=⨯⨯=-=-A P A A X A X A A A X A A A X 故得 p -⨯=
A A P X A A 1.8 在圆柱坐标中，一点的位置由2(4,,3)3
π定出，求该点在：（1）直角坐标中的坐标；（2）球坐标中的坐标。
解 （1）在直角坐标系中
4c o s (2
3)2x π==-、4sin(23)y π==3z =
故该点的直角坐标为
(-。
（2）在球坐标系中
5r ==、1tan (453.1θ-== 、23120φπ==
故该点的球坐标为(5,53.1,120)
1.9 用球坐标表示的场2
25r
r =E e ， （1）求在直角坐标中点(3,4,5)--处的E 和x E ；
（2）求在直角坐标中点(3,4,5)--处E 与矢量22x y z =-+B e e e 构成的夹角。 解 （1）在直角坐标中点(3,4,5)--处，2222(3)4(5)50r =-++-=，故
22512
r
r ==E e
1cos
220
x x rx E θ====-
e E E
（2）在直角坐标中点(3,4,5)--处，345x y z =-+-r e e e ，所以
233452525r r -+-===
e e e r E
故E 与B 构成的夹角为
11cos (
)cos (153.63θ--===EB E B E B 1.10 球坐标中两个点111(,,)r θφ和222(,,)r θφ定出两个位置矢量1R 和2R 。证明1R 和2
R 间夹角的余弦为
121212cos cos cos sin sin cos()γθθθθφφ=+-
解 由 111111111
sin cos sin sin cos x y z r r r θφθφθ=++R e e e 222222222sin cos sin sin cos x y z r r r θφθφθ=++R e e e
得到 12
12
cos γ=
=R R R R
1122112212sin cos sin cos sin sin sin sin cos cos θφθφθφθφθθ++=
