平行线的判定及性质
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平行线的性质和判定【知识要点归纳】1.平行线(1)定义:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,直线a与直线b互相平行,记作a∥b.(2)平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行.注:点必须在直线外,而不是在直线上.(3)平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.即“平行于同一条直线的两条直线平行”.2.两条直线的位置关系在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:(1)相交;(2)平行.注:判断同一平面内两直线的位置关系时,可以根据它们的公共点的个数来确定:①有且只有一个公共点,两直线相交;②无公共点,两直线平行;3.两直线平行的判定方法(1)平行线的定义.(2)平行公理的推论.(3)同位角相等,两直线平行.(4)内错角相等,两直线平行.(5)同旁内角互补,两直线平行.4.平行线的性质(1)两直线平行,同位角相等.(2)两直线平行,内错角相等.(3)两直线平行,同旁内角互补.重点讲解:一个定义(平行线),一个位置,五个判定,三个性质.【课堂过关训练】平行线的性质1.选择题:(1)下列说法中,不正确的是()A.同位角相等,两直线平行; B.两直线平行,内错角相等; C.两直线被第三条直线所截,同旁内角互补; D.同旁内角互补,两直线平行(2)如图1所示,AC平分∠BCD,且∠BCA=∠CAD=12∠CAB,∠ABC=75°,则∠BCA等于( • ) A.36° B.35° C.37.5° D.70°(1) (2) (3)(3)如图2所示,AD⊥BC于D,DG∥AB,那么∠B和∠ADG的关系是()A.互余 B.互补 C.相等 D.以上都不对(4)如图3,直线c与直线a、b相交,且a∥b,则下列结论:①∠1=∠2;②∠1=∠3;③∠3=∠2中,正确的个数为()A.0个 B.1个 C.2个 D.3个(5)如图4,若AB∥CD,则()A.∠1=∠2+∠3 B.∠1=∠3-∠2C.∠1+∠2+∠3=180° D.∠1-∠2+∠3=180°(6)如图5,AB∥CD,AC⊥BC,图中与∠CAB互余的角有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个(4) (5) (6) (7)(7)已知两个角的两边分别平行,并且这两个角的差是90°,•则这两个角分别等于() A.60°,150° B.20°,110° C.30°,120° D.45°,135°(8)如图6所示,若AB∥EF,用含α、β、γ的式子表示x,应为()A.α+β+γ B.β+γ-αC.180°-α-γ+β D.180°+α+β-γ4.如图所示,已知AD、BC相交于O,∠A=∠D,试说明一定有∠C=∠B.5.如图所示,已知AB∥CD,AD∥BC,BF平分∠ABC,DE平分∠ADC,则一定有DE∥FB,它的根据是什么?6.如图,AB∥CD,EF分别交AB、CD于M、N,∠EMB=50°,•MG•平分∠BMF,MG交CD于G,求∠1的度数.平行线的判定1.如图1,已知∠1 = 100°,AB∥CD,则∠2 = ,∠3 = ,∠4 = .2.如图2,直线AB、CD被EF所截,若∠1 =∠2,则∠AEF +∠CFE = .3.如图3所示(1)若EF∥AC,则∠A +∠ = 180°,∠F + ∠ = 180°().(2)若∠2 =∠,则AE∥BF.(3)若∠A +∠ = 180°,则AE∥BF.4.如图4,AB∥CD,∠2 = 2∠1,则∠2 = .5.如图5,AB ∥CD ,EG ⊥AB 于G ,∠1 = 50°,则∠ E = .6.如图6,直线l 1∥l 2,AB ⊥l 1于O ,BC 与l 2交于E ,∠1 = 43°,则∠2 = . 7.如图7,AB ∥CD ,AC ⊥BC ,图中与∠CAB 互余的角有 . 8.如图8,AB ∥EF ∥CD ,EG ∥BD ,则图中与∠1相等的角(不包括∠1)共有 个. 二、解答下列各题9.如图9,已知∠ABE +∠DEB = 180°,∠1 =∠2,求证:∠F =∠G .10.如图10,DE ∥BC ,∠D ∶∠DBC = 2∶1,∠1 =∠2,求∠DEB 的度数.11.如图11,已知AB ∥CD ,试再添上一个条件,使∠1 =∠2成立.(要求给出两个以上答案,并选择其中一个加以证明)图51 A B C D E F GH 图7 1 2 D A C B l 1l 2 图81 A BFC DE G 图6C D F E B A 图912 ACB FGED图102 1BCED 图1112 ABEFDC12.如图12,∠ABD 和∠BDC 的平分线交于E ,BE 交CD 于点F ,∠1 +∠2 = 90°.求证:(1)AB ∥CD ; (2)∠2 +∠3 = 90°.综合练习:1.若α和β是同位角,且a =30°,则β的度数是( )A .30°B .150°C .30°或150°D .不能确定2.如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,且其中一个角比另一个角的4倍少30°,那么这两个角分别是( )A .30°和150°B .42°和138°C .都等于10°D .42°和138°或都等于10°3.学习了平行线后,小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法,她是通过折一张半透明的纸得到的,如图所示.从图中可知,小敏画平行线的依据可能有( )①两直线平行,同位角相等;②两直线平行,内错角相等; ③同位角相等,两直线平行;④内错角相等,两直线平行.A .①②B .②③C .③④D .①④4.如图所示,AB ∥EF ,EF ∥CD ,EG 平分∠BEF ,∠B +∠BED +∠D=192°,∠B -∠D=24°,则C图1212 3AB DF∠GEF=__________.5.在同一平面内有2002条直线a1,a2,…,a2002,如果a1⊥a2,a2∥a3,a3⊥a4,a4∥a5,…,那么a1与a2002的位置关系是__________.6.如图所示,AB∥CD,∠1=∠2,∠3=∠4,试说明:AD∥BE.8.已知,如图所示,∠ABC=∠ADC,BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC,且∠1=∠3.求证:AB ∥DC.9.如图所示,已知∠DBF=∠CAF,CE⊥FE.垂足为E,∠BDA+∠ECA=180°,求证:DA⊥EF10.已知,如图所示,∠1+∠2=180°,∠1+∠EFD=180°,∠3=∠B,试判断∠AED与∠C的关系,并证明你的结论.11.已知,如图所示,AC∥DE,DC∥EF,CD平分∠BCA.求证:EF平分∠BED.。
平行线的特征平行线在几何学中具有重要的作用,它们是指在同一个平面上,永远不会相交的直线。
本文将探讨平行线的特征,以及与平行线相关的性质和定理。
一、平行线的定义平行线的定义是两条直线在同一个平面上,并且永远不会相交。
这意味着两条平行线之间的距离始终相等。
二、平行线的特征1. 方向相同:平行线在平面上具有相同的方向,它们始终在相同的方向上延伸。
2. 永不相交:平行线永远不会相交。
无论延长多远,它们仍然保持平行的形状。
3. 距离相等:平行线之间的任意两点到两条平行线的距离始终相等。
这是平行线的一个重要性质。
4. 平行四边形的对边平行性:在平行四边形中,对边是平行的。
这是平行线特征的一个重要应用。
三、平行线的判定1. 同位角判定:如果两条直线被一条截线所切,并且同位角相等,那么这两条直线平行。
2. 转换判定:如果一条线与两条平行线分别相交,形成相等的内错角或外错角,那么这条线与这两条平行线平行。
3. 斜率判定:如果两条直线的斜率相等,那么这两条直线平行。
斜率是直线在坐标系中的倾斜度量。
四、平行线的应用1. 平行线与横向交错线条:在道路规划和交通设计中,平行线经常用于构建车道和交通流线的布局。
2. 平行线与角度构造:在建筑设计中,平行线被广泛应用于角度构造。
通过平行线的布局,可以创建出各种角度和形状。
3. 平行线与等距关系:平行线之间的距离相等,这一性质在几何学和测量中具有重要的应用。
五、平行线的定理1. 交替内角定理:如果两条平行线被一条截线所切,那么两条平行线上的交替内角是相等的。
2. 内错角定理:如果两条平行线被一条截线所切,那么两条平行线上的内错角是补角。
3. 锐角和钝角定理:如果两条平行线被一条截线所切,那么两条平行线上的锐角和钝角的和是180度。
六、平行线的重要性平行线的研究对几何学和应用数学具有重要意义。
它们为解决实际问题提供了基础,而且在建筑、工程、地图制作等领域也有广泛的应用。
综上所述,平行线作为几何学中的一个重要概念,具有方向相同、永不相交和距离相等等特征。
平行线的判定和性质
1、平行线的判定方法:
同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行;
另:平行于同一条直线的两条直线相互平行;垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
2、平行线的性质:
两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补。
3、注意区别平行线的性质和判定方法:
(1)叙述方式不同:尽管叙述平行线的性质与判定方法的文字相同,个数相同,但条件和结论的顺序是不同的;
(2)意义不同:平行线的判定方法是根据三种角(同位角、内错角、同旁内角)的数量关系,来识别两直线是否平行;而平行线的性质,是已知两直线平行,得到三种角的数量关系。
(3)作用不同:一个是作为平行线的识别,一个是平行线的特征。
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平行线的判定及性质一、【基础知识精讲】1、平行线的判定(1)平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行. (2)平行公理的推论:平行于同一条直线的两条直线. (3)在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线. (4)同位角相等,两直线平行. (5)内错角相等,两直线平行.(6)同旁内角互补,两直线平行.3、平行线的性质(1)两直线平行,同位角相等. (2)两直线平行,内错角相等.(3)两直线平行,同旁内角互补.二、【例题精讲】专题一:余角、补角、对顶角与三线八角例题1:∠A的余角与∠A的补角互为补角,那么2∠A是()A.直角 B.锐角 C.钝角 D.以上三种都有可能【活学活用1】如图2-79中,下列判断正确的是()A.4对同位角,2对内错角,4对同旁内角B.4对同位角,2对内错角,2对同旁内角C.6对同位角,4对内错角,4对同旁内角D.6对同位角,4对内错角,2对同旁内角【活学活用2】如图2-82,下列说法中错误的是( )A.∠3和∠5是同位角B.∠4和∠5是同旁内角C.∠2和∠4是对顶角D.∠1和∠2是同位角【活学活用3】如图,直线AB与CD交于点O,OE⊥AB于O,图中∠1与∠2的关系是()A.对顶角B.互余C.互补D相等例题2:如果两个角的两边分别平行,而其中一个角比另一个角的4倍少30°,那么这两个角分别是_______.【活学活用4】如图,∠AOC +∠DOE +∠BOF = .专题二:平行线的判定例题3:如图,已知∠EFB+∠ADC=180°,且∠1=∠2,试说明DG ∥AB.1 2A BCDF E G【活学活用】1、长方体的每一对棱相互平行,那么这样的平行棱共有 ( )A .9对B .16对 C.18对 D .以上答案都不对2、已知:如图2-96,DE ⊥AO 于E,BO ⊥AO,FC ⊥AB 于C ,∠1=∠2,求证:DO ⊥AB.3、如图2-97,已知:∠1=∠2=,∠3=∠4,∠5=∠6.求证:AD ∥BC.4、如图2—101,若要能使AB ∥ED ,∠B 、∠C 、∠D 应满足什么条件?ABCDOE F5、同一平面内有四条直线a 、b 、c 、d ,若a ∥b ,a ⊥c ,b ⊥d ,则c 、d 的位置关系为( ) A.互相垂直 B .互相平行 C.相交 D .没有确定关系专题三:平行线的性质1、如图,110,ABC ACB BO ∠+∠=、CO 分别平分ABC ∠和,ACB EF ∠过点O 与BC 平行,则BOC ∠= . 2、如图,AB //CD ,BC //DE ,则∠B+∠D = .3、如图,直线AB 与CD 相交于点O ,OB 平分∠DOE .若60DOE ∠=,则∠AOC 的度数是 .4、 如图,175,2120,375∠=∠=∠=,则4∠= .13 425、如图,//AB CD ,直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ,ED 平分BEF ∠,若172∠=,则2∠= .【例题讲解】例1:如图,已知:AD ∥BC, ∠AEF=∠B,求证:AD ∥EF 。
平行线的判定及性质一、知识概述1、在“三线八角”中,同位角、内错角、同旁内角的识别角的名称位置特征图形结构特征同位角在截线同侧在被截线同一方形如字母“F”(或倒置)内错角在截线两侧(交错)夹在两条被截线之间形如字母“Z”(或反置)同旁内角在截线同侧夹在两条被截线之间形如字母“U”2、平行线的判定方法平行线的判定定理:定理1:同位角相等,两直线平行.定理2:内错角相等,两直线平行.定理3:同旁内角互补,两直线平行.另外:1、平行于同一直线的两条直线相互平行(平行线的传递性)2、在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线相互平行(经常出现在图中有3条平行线的题目中)3、平行线的性质性质1:两直线平行,同位角相等性质2:两直线平行,内错角相等性质3:两直线平行,同旁内角互补二、例题讲解例1、如图,直线AB、CD、EF相交,①指出∠3与其它角(带标号的),是什么关系的角;②图中共有多少对同位角、内错角和同旁内角.变式:如图,AB、CD被EF、EG所截,在∠1~∠6的6个角中,同位角、内错角、同旁内角的对数分别是()A.8、12、8B.8、2、8 C.3、3、2D.12、12、8例2、已知平面内四条直线共有三个交点,则这四条直线中有几条平行?例3、如图,CD⊥AB,EF⊥AB,∠1=∠2,则∠AGD与∠ACB相等吗?请说明理由.解: ∠AGD= ∠ACB.理由如下:∵CD⊥AB,EF⊥AB(已知),∴∠EFB=∠CDF=90°(垂直的意义),∴CD//EF( )∴∠2=( ) ( )∵∠1= ∠2(已知).∴∠1= ∠BCD( )∴DG//BC( )∴∠AGD= ∠ACB( )例4、如图,已知∠B=110°∠BCG=110°∠BCD=150°∠D=100°,求证:DE∥AB 证明:∵∠B=∠BCG=110°()∴AB∥FG()∴∠BCF+ ∠B =180°()即∠BCF= 180°—∠B = 180°—110°= 70°∵∠BCD=150°∴∠FCD= ∠BCD—∠BCF= 150°—70°= 80°又∵∠D=100°∴(∠+∠)=100°+80°=180°∴FG∥ED()∴AB∥ED()变式1:如图,已知∠1+∠2=∠APC,试说明AB∥CD的理由.变式2:如下图,已知∠ABE +∠DEB = 180°,∠1 =∠2,求证:∠F =∠G.课外拓展:例1、如图,B 处在A 处的南偏西450方向,C 处在B 处的北偏东800方向.(1)求∠ABC.(2)要使CD ∥AB ,D 处应在C 处的什么方向?例2、在小学我们就知道“三角形三个内角的和等于1800”,现在你能用学过的知识说明理由吗?例3、如图(1),线段AB//CD ,点P 是AB 、CD 间的-个点. (1)试判断∠A 、∠C 与∠APC 的数量关系;(2)如果点P 移动到线段AC 的左侧,那你发现的上述结论还成立吗?说明理由;(3)如果点P 移到两平行线的同侧,那么你发现的上述结论还成立吗?说明理由.12ACB FG E DAB 北 南DABC练习:1、如图1,已知直线a∥b,c∥d,∠1=115°,则∠2=_____,∠3=_____.2、如图2,∠1=82°,∠2=98°,∠3=80°,则∠4的度数为_____.3、如图3,已知AB∥CD,∠1=100°,∠2=120°,则∠α=_____.图1 图2 图34、如图,AB∥CD,AD∥BC,则图中与∠A相等的角有_____个.5、如图,标有角号的7个角中共有_____对内错角,_____对同位角,_____对同旁内角.6、下列结论中,正确的个数是多少个()(1)在同一平面内不相交的两条线段必平行;(2)在同一平面内不相交的两条直线必平行;(3)在同一平面内不平行的两条线段必相交;(4)在同一平面内不平行的两条直线必相交.A.1 B.2 C.3 D.4 7、如图,下列能判定AB∥CD的条件有()个.(1)∠B+∠BCD=180°;(2)∠1=∠2;(3)∠3=∠4;(4)∠B=∠5.A、1B、2C、3D、48、下列四个图中若∠1=∠2,能够判定AB∥CD的是()A .B .C .D .9、如图15,CD平分∠ACB,DE∥BC,∠AED=80°,求∠EDC的度数.10、如图已知∠B=25°,∠BCD=45°,∠CDE=30°,∠E=10°.试证AB∥EF.。
初中数学平行线的判定定理有哪些平行线的判定定理是初中数学中的一个重要概念,用于判断两条直线是否平行。
在本文中,我将详细介绍平行线的判定定理,包括定义、相关定理以及实际应用。
同时,我还会提供一些示例和习题,以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 同位角定理:如果两条直线被一条横截线所切,且同位角相等,则这两条直线是平行线。
即如果两条直线l和m被一条直线n所切,且∠A=∠B,则l||m。
2. 平行线的性质:如果两条直线l和m都与第三条直线n平行,那么l和m也是平行线。
即如果l||n且m||n,则l||m。
3. 垂直定理的逆定理:如果两条直线l和m在同一个平面内,且l和m的任意一条垂线相互垂直,则l||m。
即如果l∠n且m∠n,则l||m。
4. 对顶角定理:如果两条直线l和m被一条横截线所切,且对顶角相等,则这两条直线是平行线。
即如果两条直线l和m被一条直线n所切,且∠A=∠C,则l||m。
5. 平行线的传递性:如果直线l||m,且直线m||n,那么直线l||n。
即如果l||m且m||n,则l||n。
6. 锐角等于直角的定理:如果两条直线l和m在同一个平面内,且l和m的任意一条垂线与另一条直线的某一角度相等,则l||m。
即如果l∠n且∠A=90°,则l||m。
7. 平行线的平行线定理:如果两条直线l和m被同一条直线n所切,且其中一条直线与n 的某一角度为锐角,另一条直线与n的某一角度为钝角,则l||m。
8. 平行线的交角定理:如果两条直线l和m被同一条直线n所切,且其中一条直线与n的某一角度为锐角,另一条直线与n的某一角度为钝角,则l与m不平行。
9. 平行线的平行截线定理:如果两条直线l和m被同一条直线n所切,且直线l与n的交点A与直线m与n的交点B之间的线段AB与直线n的某一条垂线相交于点C,则直线l和直线m平行。
以上是一些常见的平行线的判定定理,可以根据不同的条件来判断两条直线是否平行。
初中数学平行线的性质与判定一、引言平行线是初中数学中的重要概念,它在几何学中具有许多重要的性质和应用。
了解平行线的性质和判定方法,对于进行几何证明和解题都有着重要的指导意义。
本文将从平行线的性质和判定方法两个方面进行探讨,以帮助初中学生更好地理解和掌握平行线的相关知识。
二、平行线的性质1. 平行线的定义在平面上,任意两条直线如果永不相交,那么我们称它们是平行线。
2. 平行线的唯一性平面上,通过一点可以画无数条与已知直线平行的直线,但经过一点存在且只存在一条与已知直线平行的直线。
3. 平行线的性质1:对应角相等如果一组平行线被一条截线所切,那么它们所对应的内角和外角分别相等。
4. 平行线的性质2:同位角相等如果两条平行线被一条截线所切,那么它们所对应的同位角相等。
5. 平行线的性质3:内错角互补如果两条平行线被一条截线所切,那么它们所对应的内错角互补,即角的度数之和为180度。
三、平行线的判定方法1. 直线与直线的判定两条直线如果有一点与一直线上的两个角分别相等,那么这两条直线平行。
2. 角与直线的判定如果两条直线上的内角或外角、同位角或内错角相等,那么这两条直线平行。
3. 举例说明例如,已知直线l与直线m分别与一直线n相交,且∠A = ∠B和∠C = ∠D,则可以得出直线l与直线m平行。
四、平行线的应用1. 平行线的应用1:解题在解题中,平行线常常被用来求解线段比例关系、求解角度关系等。
通过运用平行线的性质和判定方法,我们可以更加简洁地解决一些几何问题。
2. 平行线的应用2:建筑设计在建筑设计中,平行线的应用非常广泛。
建筑师常常利用平行线的性质来设计建筑物的立面和空间布局,使其更加美观和合理。
3. 平行线的应用3:地理测量在地理测量中,平行线广泛应用于测量线段的长度和角度的测量。
利用平行线的性质和判定方法,地理测量师可以更准确地进行测量和勘测工作。
五、结论通过对初中数学平行线的性质和判定方法的讨论,我们可以看到平行线在几何学和实际生活中的重要性。
平行线的性质知识点平行线是几何学中非常重要的概念,它在解决几何问题和证明几何定理时经常被使用。
理解平行线的性质和特点对于学好几何学是至关重要的。
本文将介绍平行线的定义和性质,以及相关的定理和应用。
一、平行线的定义平行线是指在同一个平面中永远不会相交的两条直线。
换句话说,平行线的方向相同,但是距离可以不同。
二、平行线的性质1. 平行线是同一个平面内的直线。
2. 平行线的任意两条线上的任意两点到另一条平行线的距离相等。
3. 平行线的两个内角和、外角和和180度的关系:- 两个相交的平行线与一条横切线所形成的内角和等于180度;- 平行线与一条横切线所形成的外角和等于180度。
4. 平行线的任意两条线上的对应角、同位角和内错角的关系:- 同位角对应相等,即对应角相等;- 对应角互补,即对应角的和等于180度;- 同位角互补,即同位角和等于180度;- 内错角互补,即内错角的和等于180度。
5. 平行线的等分线性质:- 平行线切割的两个平行线段互相等分;- 平行线切割的两个平行线段互相成比例。
三、平行线的定理和应用1. 平行线的唯一性定理:通过一点可以作一条且仅一条平行于给定线的线。
2. 平行线的判定定理:- 两直线被第三条直线切割,且所得的同位角互补,则所切割的两直线平行。
- 两直线被第三条直线切割,且所得的内错角互补,则所切割的两直线平行。
3. 平行线的延长线性质:- 平行线的延长线仍然平行;- 平行线的延长线与平行线之间的夹角相等。
4. 平行线与垂直线的关系:- 平行线和垂直线之间没有公共点;- 平行线和垂直线之间的夹角为直角。
5. 平行线的应用:- 证明几何定理时,可以利用平行线的性质进行推理;- 解决实际问题时,根据平行线的特点进行模型建立和推导。
以上是关于平行线的性质知识点的介绍。
理解和掌握平行线的定义和性质,可以帮助我们解决几何问题,证明几何定理,以及应用到日常生活中的实际问题中。
通过学习和应用平行线的知识,我们可以培养几何思维能力,并提高解决问题的能力和创造力。
授课主题平行线教学目的1。
理解平行线的概念,掌握平行公理及其推论;2.掌握平行线的判定方法及性质,并能进行简单的推理3.掌握命题的定义,知道一个命题是由“题设"和“结论”两部分组成,对于给定的命题,能找出它的题设和结论;教学重点平行线的判定及性质教学内容【知识梳理】要点一、平行线1.定义:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,如果直线a与b平行,记作a∥b.要点诠释:(1)平行线的定义有三个特征:一是在同一个平面内;二是两条直线;三是不相交,三者缺一不可;(2)有时说两条射线平行或线段平行,实际是指它们所在的直线平行,两条线段不相交并不意味着它们就平行.(3)在同一平面内,两条直线的位置关系只有相交和平行两种.特别地,重合的直线视为一条直线,不属于上述任何一种位置关系.2.平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.3.推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.要点诠释:(1)平行公理特别强调“经过直线外一点",而非直线上的点,要区别于垂线的第一性质.(2)公理中“有”说明存在;“只有”说明唯一.(3)“平行公理的推论"也叫平行线的传递性.要点二、直线平行的判定判定方法1:同位角相等,两直线平行。
如上图,几何语言:∵∠3=∠2∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行)判定方法2:内错角相等,两直线平行。
如上图,几何语言:∵∠1=∠2∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行)判定方法3:同旁内角互补,两直线平行.如上图,几何语言:∵∠4+∠2=180°∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行)要点诠释:平行线的判定是由角相等或互补,得出平行,即由数推形。
要点三、平行线的性质性质1:两直线平行,同位角相等;性质2:两直线平行,内错角相等;性质3:两直线平行,同旁内角互补。
要点诠释:(1)“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补"都是平行线的性质的一部分内容,切不可忽视前提“两直线平行".(2)从角的关系得到两直线平行,是平行线的判定;从平行线得到角相等或互补关系,是平行线的性质.要点四、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线,并且夹在这两条平行线间的线段的长度,叫做这两条平行线的距离.要点诠释:(1)求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点,向另一条直线作垂线,垂线段的长度就是两条平行线的距离.(2) 两条平行线的位置确定后,它们的距离就是个定值,不随垂线段的位置的改变而改变,即平行线间的距离处处相等.要点五、命题、定理、证明1.命题:判断一件事情的语句,叫做命题.要点诠释:(1)命题的结构:每个命题都由题设、结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项。
数学中的平行线与角平行线的性质与判定在几何学中,平行线和角平行线是数学中重要的概念。
了解它们的性质和判定方法,能够帮助我们解决各种几何问题。
本文将详细介绍平行线和角平行线的性质及判定方法。
一、平行线的性质平行线是指在同一个平面上永远不会相交的两条直线。
平行线有以下性质:1. 平行线上的任意两条线段之间的距离始终相等。
2. 平行线上的任意两个角的对应角相等(即对应角相等定理)。
3. 平行线与平面上的第三条直线相交时,所形成的对应角相等(即同位角相等定理)。
二、平行线的判定根据平行线的性质,我们可以通过以下方法进行平行线的判定:1. 中学常用的判定平行线的方法是利用两条平行线与第三条直线所形成的内错角和外错角互补的性质。
如果两条直线分别与第三条直线形成的内错角和外错角互补,那么这两条直线就是平行线。
2. 当两条直线被一条横截直线所截成的内错角相等时,这两条直线是平行线。
3. 两个平行线分别与一条横截直线所形成的同位角相等时,这两条直线是平行线。
三、角平行线的性质角平行线是指在两条平行线之间形成的角,又称为同旁内角。
角平行线有以下性质:1. 同位角:在两条平行线之间,两个相交的直线分别与平行线所形成的内错角或外错角相等。
2. 内错角与外错角互补:在两条平行线之间,两个相交的直线所形成的内错角与所形成的外错角互补,即它们的度数和为180度。
四、角平行线的判定判定角平行线的方法有以下几种:1. 钳形定理:当两条平行线被一条横截线所截,所形成的内错角相等时,这两条平行线与横截线所形成的对应角也相等,即这两条平行线是角平行线。
2. 内错角与外错角互补定理:当两条平行线被一条横截线所截,所形成的内错角与外错角互补时,这两条平行线是角平行线。
3. 同位角定理:当两条平行线被两个相交的直线所截,所形成的对应角相等时,这两条平行线是角平行线。
综上所述,平行线和角平行线在数学中具有重要的性质和判定方法。
掌握了这些性质和方法,我们能够更好地理解和应用几何学知识,解决各种与平行线和角平行线相关的问题。
九年级数学平行线的判定与性质在九年级数学学习中,平行线的判定与性质是一个重要的知识点。
理解和掌握平行线的判定方法以及了解平行线的性质,对于解决与平行线相关的问题具有重要的意义。
本文将介绍平行线的判定方法和性质,帮助读者更好地理解和应用这一知识点。
一、平行线的判定方法在几何学中,有多种方法可以判定两条直线是否平行。
以下将介绍常用的三种判定方法。
1. 直线的斜率判定法设直线L1上两点A(x1, y1)和B(x2, y2),直线L2上两点C(x3, y3)和D(x4, y4)。
如果直线L1和直线L2的斜率相等,即m1 = (y2 - y1) / (x2 - x1)m2 = (y4 - y3) / (x4 - x3)那么L1和L2平行。
2. 直线的截距判定法设直线L1的方程为y = kx + b1,直线L2的方程为y = kx + b2。
如果直线L1和直线L2的斜率相等,即k1 = k2,且截距b1 = b2,那么L1和L2平行。
3. 直线的向量判定法设向量AB = (x2 - x1, y2 - y1),向量CD = (x4 - x3, y4 - y3)。
如果向量AB与向量CD平行(即满足比例关系),即(x2 - x1) / (x4 - x3) = (y2 - y1) / (y4 - y3)那么直线AB和CD平行。
二、平行线的性质1. 平行线之间的夹角平行线之间的夹角为零度。
即如果两条直线L1和L2平行,那么它们之间的夹角为零。
2. 平行线与横线的夹角平行线与横线的夹角为九十度。
即如果一条直线L与另一条直线L'平行,且L'是一条水平线或垂直线,那么L与L'的夹角为九十度。
3. 平行线与斜线的夹角平行线与斜线的夹角通常不为固定值。
具体的夹角取决于平行线的倾斜程度。
但是需要注意的是,如果一条直线L与另一条直线L'平行,且L'是一条斜线,那么L与L'的夹角一定小于一百八十度。
平行线判定和性质以及四大模型汇总第一部分平行线的判定判定方法l:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简称:同位角相等,两直线平行.判定方法2:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简称:内错角相等,两直线平行,判定方法3:两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简称:同旁内角互补,两直线平行,如上图:若已知∠1=∠2,则AB∥CD(同位角相等,两直线平行);若已知∠1=∠3,则AB∥CD(内错角相等,两直线平行);若已知∠1+ ∠4= 180°,则AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行).另有平行公理推论也能证明两直线平行:平行公理推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.第二部分平行线的性质性质1:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.简称:两直线平行,同位角相等性质2:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.简称:两直线平行,内错角相等性质3:两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.简称:两直线平行,同旁内角互补第三部分平行线的四大模型模型一“铅笔”模型点P在EF右侧,在AB、CD内部“铅笔”模型结论1:若AB∥CD,则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°;结论2:若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°,则AB∥CD.模型二“猪蹄”模型(M模型)点P在EF左侧,在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1:若AB∥CD,则∠P=∠AEP+∠CFP;结论2:若∠P=∠AEP+∠CFP,则AB∥CD.模型三“臭脚”模型点P在EF右侧,在AB、CD外部“臭脚”模型结论1:若AB∥CD,则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP;结论2:若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP,则AB∥CD.模型四“骨折”模型点P在EF左侧,在AB、CD外部“骨折”模型结论1:若AB∥CD,则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP;结论2:若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP,则AB∥CD.第四部分平行线的四大模型证明(1)已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°.(2)已知∠P=∠AEP+∠CFP,求证AE∥CF.(3)已知AE∥CF,求证∠P=∠AEP-∠CFP.(4)已知∠P= ∠CFP -∠AEP,求证AE //CF.第五部分平行线的四大模型的应用案例1如图,a∥b,M、N分别在a、b上,P为两平行线间一点,那么∠l+∠2+∠3= .2如图,AB∥CD,且∠A=25°,∠C=45°,则∠E的度数是.3如图,已知AB∥DE,∠ABC=80°,∠CDE =140°,则∠BCD= .4如图,射线AC∥BD,∠A= 70°,∠B= 40°,则∠P= .5如图所示,AB ∥CD ,∠E =37°,∠C = 20°,则∠EAB 的度数为 .6 如图,AB ∥CD ,∠B =30°,∠O =∠C .则∠C = .7如图,已知AB ∥DE ,BF 、 DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ,求∠C 、 ∠F 的关系.8如图,已知AB ∥DE ,∠FBC =n 1∠ABF ,∠FDC =n1∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系 ; (2)若n =3,试探宄∠C 、∠F 的关系;(3)直接写出∠C 、∠F 的关系 (用含n 的等式表示).9如图,已知AB ∥CD ,BE 平分∠ABC ,DE 平分∠ADC .求证:∠E = 2 (∠A +∠C ) .10如图,己知AB∥DE,BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE,求∠C、∠F的关系.11如图,∠3==∠1+∠2,求证:∠A+∠B+∠C+∠D= 180°.12如图,AB⊥BC,AE平分∠BAD交BC于E,AE⊥DE,∠l+∠2= 90°,M、N分别是BA、CD的延长线上的点,∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为().A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°133如图,直线AB∥CD,∠EF A= 30°,∠FGH= 90°,∠HMN=30°,∠CNP= 50°,则∠GHM= .14如图,直线AB∥CD,∠EFG =100°,∠FGH =140°,则∠AEF+ ∠CHG= .15 已知∠B =25°,∠BCD=45°,∠CDE =30°,∠E=l0°,求证:AB∥EF.16已知AB∥EF,求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.17如图(l ),已知MA 1∥NA n ,探索∠A 1、∠A 2、…、∠A n ,∠B 1、∠B 2…∠B n -1之间的 关系.(2)如图(2),己知MA 1∥NA 4,探索∠A 1、∠A 2、∠A 3、∠A 4,∠B 1、∠B 2之间的关系. (3)如图(3),已知MA 1∥NA n ,探索∠A 1、∠A 2、…、∠A n 之间的关系.如图所示,两直线AB ∥CD 平行,求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6.18如图1,直线AB ∥CD ,P 是截线MN 上的一点,MN 与CD 、AB 分别交于E 、F . (1) 若∠EFB =55°,∠EDP = 30°,求∠MPD 的度数;(2) 当点P 在线段EF 上运动时,∠CPD 与∠ABP 的平分线交于Q ,问:DPBQ∠∠是否为定值?若是定值,请求出定值;若不是,说明其范围;(3) 当点P 在线段EF 的延长线上运动时,∠CDP 与∠ABP 的平分线交于Q ,问DPBQ∠∠的值足否定值,请在图2中将图形补充完整并说明理由.第六部分 平行线的四大模型实战演练1.如图,AB // CD // EF , EH ⊥CD 于H ,则∠BAC +∠ACE +∠CEH 等于( ).A . 180°B . 270°C . 360°D . 450° 2 若AB ∥CD ,∠CDF =32∠CDE ,∠ABF =32∠ABE ,则∠E :∠F =( ).A .2:1B .3:1C .4:3D .3:23.如图3,己知AE ∥BD ,∠1=130°,∠2=30°,则∠C = .4.如图,已知直线AB ∥CD ,∠C =115°,∠A = 25°,则∠E = .5. 6. 7.8.如阁所示,AB∥CD,∠l=l l0°,∠2=120°,则∠α= .9.如图所示,AB∥DF,∠D =116°,∠DCB=93°,则∠B= .10.如图,将三角尺的直角顶点放在直线a上,a∥b.∠1=50°,∠2 =60°,则∠3的度数为 .11.如图,AB∥CD,EP⊥FP, 已知∠1=30°,∠2=20°.则∠F的度数为.9.如图,若AB∥CD,∠BEF=70°,求∠B+∠F+∠C的度数.10.已知,直线AB∥CD.(1)如图l,∠A、∠C、∠AEC之间有什么关系?请说明理由;(2)如图2,∠AEF、∠EFC、∠FCD之间有什么关系?请说明理由;(3)如图3,∠A、∠E、∠F、∠G、∠H、∠O、∠C之间的关是.第七部分平行线的性质和判定综合应用1.如图,直线AB∥EF,点C是直线AB上一点,点D是直线AB外一点,若∠BCD =95°,∠CDE=25°,则∠DEF的度数是()A.110°B.115°C.120°D.125°2.如图,将一副直角三角板按图中所示位置摆放,保持两条斜边互相平行,则∠1=()A.30°B.25°C.20°D.15°3.如图,AE∥BF,∠1=110°,∠2=130°,求∠3的度数为()4.如图,∠B+∠C=180°,∠A=50°,∠D=40°,则∠AED=.5.如图,如果∠C=70°,∠B=135°,∠D=110°,那么∠1+∠2=6.如图,AB∥CD,求∠1+∠2+∠3+∠4=7.如图,AB∥CD,试找出∠B、∠C、∠BEC三者之间的数量关系.8.如图,三角形ABC中,点E为BC上一点(1)作图:过点E作EM∥AC交AB于M,过点E作EN∥AB交AC于N;(2)求∠A+∠B+∠C的度数,写出推理过程.9.如图,AB∥CD,BE平分∠ABF,DE平分∠CDF,∠BFD=120°,求∠BED.10.如图,AC∥BD.(1)作图,过点B作BM∥AP交AC于M;(2)求证:∠PBD﹣∠P AC=∠P.11.如图,AB∥CD,∠B=∠C,求证:BE∥CF.12.如图①,木杆EB与FC平行,木杆的两端B,C用一橡皮筋连接,现将图①中的橡皮筋拉成下列各图②③的形状,请问∠A、∠B、∠C之间的数量关系?。
平行线与垂直线的性质与判断知识点总结平行线是指在同一个平面内,永远不会相交的两条直线。
垂直线是指与平行线相交,且交角为90度的直线。
在几何学中,我们经常需要判断线段、射线或直线之间的关系,了解平行线和垂直线的性质与判断方法对于解决这些问题至关重要。
本文将总结平行线和垂直线的性质,以及判断平行线和垂直线的知识点。
一、平行线的性质1. 平行线的定义:在同一个平面内,两条直线如果永远不会相交,则这两条直线是平行线。
2. 平行线的判定方法:- 两条直线的斜率相等且不相等,则它们是平行线。
- 两条直线的斜率相等,且过同一点的直线与已知直线的夹角为零度或180度,则它们是平行线。
- 两条直线分别与第三条直线垂直,则这两条直线是平行线。
- 如果已知两个平行线分别与第三条直线垂直,则这两个平行线也是垂直线。
二、垂直线的性质1. 垂直线的定义:与平行线相交,交角为90度的直线是垂直线。
2. 垂直线的判定方法:- 两条直线的斜率相乘得到-1,则它们是垂直线。
- 两条直线的斜率分别为k1和k2,如果k1 * k2 = -1,则这两条直线是垂直线。
- 如果已知两个垂直线分别与第三条直线平行,则这两个垂直线也是平行线。
三、平行线和垂直线的判断1. 判断平行线的方法:- 比较两条直线的斜率。
如果斜率相等且不相等,则它们是平行线。
- 比较两条直线过同一点与已知直线的夹角。
如果夹角为零度或180度,则它们是平行线。
- 比较两条直线与第三条直线的垂直关系。
如果两条直线都与第三条直线垂直,则它们是平行线。
2. 判断垂直线的方法:- 比较两条直线的斜率。
如果斜率相乘得到-1,则它们是垂直线。
- 比较两条直线的斜率。
如果斜率分别为k1和k2,且k1 * k2 = -1,则它们是垂直线。
- 比较两条直线与第三条直线的平行关系。
如果两条直线都与第三条直线平行,则它们是垂直线。
总结:平行线与垂直线在几何学中有重要的性质与判定方法。
对于判断平行线和垂直线的方法,可以通过比较直线的斜率、夹角以及与第三条直线的垂直或平行关系来进行。
平行线四大模型平行线的判定与性质l、平行线的判定根据平行线的定义,如果平面内的两条直线不相交,就可以判断这两条直线平行,但是,由于直线无限延伸,检验它们是否相交有困难,所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行,这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行.判定方法l:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简称:同位角相等,两直线平行.判定方法2:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简称:内错角相等,两直线平行,判定方法3:两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简称:同旁内角互补,两直线平行,如上图:若已知∠1=∠2,则AB∥CD(同位角相等,两直线平行);若已知∠1=∠3,则AB∥CD(内错角相等,两直线平行);若已知∠1+ ∠4= 180°,则AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行).另有平行公理推论也能证明两直线平行:平行公理推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.2、平行线的性质利用同位角相等,或者内错角相等,或者同旁内角互补,可以判定两条直线平行.反过来,如果已知两条直线平行,当它们被第三条直线所截,得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系,这就是平行线的性质.性质1:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.简称:两直线平行,同位角相等性质2:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.简称:两直线平行,内错角相等性质3:两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.简称:两直线平行,同旁内角互补本讲进阶平行线四大模型模型一“铅笔”模型点P在EF右侧,在AB、CD内部“铅笔”模型结论1:若AB∥CD,则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°;结论2:若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°,则AB∥CD.模型二“猪蹄”模型(M模型)点P在EF左侧,在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1:若AB∥CD,则∠P=∠AEP+∠CFP;结论2:若∠P=∠AEP+∠CFP,则AB∥CD.模型三“臭脚”模型点P在EF右侧,在AB、CD外部“臭脚”模型结论1:若AB∥CD,则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP;结论2:若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP,则AB∥CD.模型四“骨折”模型·点P在EF左侧,在AB、CD外部“骨折”模型结论结论2:若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP,则AB∥CD.巩固练习平行线四大模型证明(1)已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°. (2)已知∠P=∠AEP+∠CFP,求证AE∥CF.(3)已知AE∥CF,求证∠P=∠AEP-∠CFP.(4)已知∠P= ∠CFP -∠AEP,求证AE //CF.模块一平行线四大模型应用例1(1)如图,a∥b,M、N分别在a、b上,P为两平行线间一点,那么∠l+∠2+∠3= .(2)如图,AB∥CD,且∠A=25°,∠C=45°,则∠E的度数是.(3)如图,已知AB∥DE,∠ABC=80°,∠CDE =140°,则∠BCD= .(4) 如图,射线AC∥BD,∠A= 70°,∠B= 40°,则∠P= .练(1)如图所示,AB∥CD,∠E=37°,∠C= 20°,则∠EAB的度数为.(2) 如图,AB∥CD,∠B=30°,∠O=∠C.则∠C= .例2如图,已知AB ∥DE ,BF 、 DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ,求∠C 、 ∠F 的关系.练如图,已知AB ∥DE ,∠FBC =n 1∠ABF ,∠FDC =n1∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系 ; (2)若n =3,试探宄∠C 、∠F 的关系;(3)直接写出∠C 、∠F 的关系 (用含n 的等式表示).例3如图,已知AB∥CD,BE平分∠ABC,DE平分∠ADC.求证:∠E= 2 (∠A+∠C) .练如图,己知AB∥DE,BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE,求∠C、∠F的关系.例4如图,∠3==∠1+∠2,求证:∠A+∠B+∠C+∠D= 180°.练(武昌七校2015-2016 七下期中)如图,AB⊥BC,AE平分∠BAD交BC于E,AE⊥DE,∠l+∠2= 90°,M、N分别是BA、CD的延长线上的点,∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为().A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°模块二平行线四大模型构造例5如图,直线AB∥CD,∠EF A= 30°,∠FGH= 90°,∠HMN=30°,∠CNP= 50°,则∠GHM= .练如图,直线AB∥CD,∠EFG=100°,∠FGH=140°,则∠AEF+ ∠CHG= .例6 已知∠B =25°,∠BCD=45°,∠CDE =30°,∠E=l0°,求证:AB∥EF.练已知AB∥EF,求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.(1)如图(l),已知MA1∥NA n,探索∠A1、∠A2、…、∠A n,∠B1、∠B2…∠B n-1之间的关系.(2)如图(2),己知MA1∥NA4,探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4,∠B1、∠B2之间的关系.(3)如图(3),已知MA1∥NA n,探索∠A1、∠A2、…、∠A n之间的关系.如图所示,两直线AB∥CD平行,求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6.。
授课主题平行线教学目的1.理解平行线的概念,掌握平行公理及其推论;2.掌握平行线的判定方法及性质,并能进行简单的推理3.掌握命题的定义,知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成,对于给定的命题,能找出它的题设和结论;教学重点平行线的判定及性质教学内容知识梳理要点一、平行线1.定义:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,如果直线a与b平行,记作a∥b.要点诠释:1平行线的定义有三个特征:一是在同一个平面内;二是两条直线;三是不相交,三者缺一不可;2有时说两条射线平行或线段平行,实际是指它们所在的直线平行,两条线段不相交并不意味着它们就平行.3在同一平面内,两条直线的位置关系只有相交和平行两种.特别地,重合的直线视为一条直线,不属于上述任何一种位置关系.2.平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.3.推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.要点诠释:1平行公理特别强调“经过直线外一点”,而非直线上的点,要区别于垂线的第一性质.2公理中“有”说明存在;“只有”说明唯一.3“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.要点二、直线平行的判定判定方法1:同位角相等,两直线平行.如上图,几何语言:∵∠3=∠2∴AB∥CD同位角相等,两直线平行判定方法2:内错角相等,两直线平行.如上图,几何语言:∵∠1=∠2∴AB∥CD内错角相等,两直线平行判定方法3:同旁内角互补,两直线平行.如上图,几何语言:∵∠4+∠2=180°∴AB∥CD同旁内角互补,两直线平行要点诠释:平行线的判定是由角相等或互补,得出平行,即由数推形.要点三、平行线的性质性质1:两直线平行,同位角相等;性质2:两直线平行,内错角相等;性质3:两直线平行,同旁内角互补.要点诠释:1“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容,切不可忽视前提“两直线平行”.2从角的关系得到两直线平行,是平行线的判定;从平行线得到角相等或互补关系,是平行线的性质.要点四、两条平行线的距离同时垂直于两条平行线,并且夹在这两条平行线间的线段的长度,叫做这两条平行线的距离.要点诠释:1求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点,向另一条直线作垂线,垂线段的长度就是两条平行线的距离.2两条平行线的位置确定后,它们的距离就是个定值,不随垂线段的位置的改变而改变,即平行线间的距离处处相等.要点五、命题、定理、证明1.命题:判断一件事情的语句,叫做命题.要点诠释:1命题的结构:每个命题都由题设、结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.2命题的表达形式:“如果……,那么…….”,也可写成:“若……,则…….”3真命题与假命题:真命题:题设成立结论一定成立的命题,叫做真命题.假命题:题设成立而不能保证结论一定成立的命题,叫做假命题.2.定理:定理是从真命题公理或其他已被证明的定理出发,经过推理证实得到的另一个真命题,定理也可以作为继续推理的依据.3.证明:在很多情况下,一个命题的正确性需要经过推理,才能作出判断,这个推理过程叫做证明.要点诠释:1证明中的每一步推理都要有根据,不能“想当然”,这些根据可以是已知条件,学过的定义、基本事实、定理等.2判断一个命题是正确的,必须经过严格的证明;判断一个命题是假命题,只需列举一个反例即可.要点六、平移1.定义:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,图形的这种移动叫做平移.要点诠释:1图形的平移的两要素:平移的方向与平移的距离.2图形的平移不改变图形的形状与大小,只改变图形的位置.2.性质:图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离,平移不改变线段、角的大小,具体来说:1平移后,对应线段平行且相等;2平移后,对应角相等;3平移后,对应点所连线段平行且相等;4平移后,新图形与原图形是一对全等图形.典型例题类型一、平行线例1.下列说法正确的是A.不相交的两条线段是平行线.B.不相交的两条直线是平行线.C.不相交的两条射线是平行线.D.在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.答案D例2.在同一平面内,下列说法:1过两点有且只有一条直线;2两条直线有且只有一个公共点;3过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;4过一点有且只有一条直线与已知直线平行;其中正确的个数为:A.1个B.2个C.3个D.4个答案B解析正确的是:13.变式1下列说法正确的个数是1直线a、b、c、d,如果a∥b、c∥b、c∥d,则a∥d.2两条直线被第三条直线所截,同旁内角的平分线互相垂直.3两条直线被第三条直线所截,同位角相等.4在同一平面内,如果两直线都垂直于同一条直线,那么这两直线平行.A.1个个C.3个D.4个答案B类型二、两直线平行的判定例3.如图,给出下列四个条件:1AC=BD;2∠DAC=∠BCA;3∠ABD=∠CDB;4∠ADB=∠CBD,其中能使AD∥BC的条件有.A.12B.34C.24D.134答案C变式2一个学员在广场上驾驶汽车,两次拐弯后,行驶的方向与原来的方向相同,这两次拐弯的角度可能是A.第一次向左拐30°,第二次向右拐30°B.第一次向右拐50°,第二次向左拐130°C.第一次向右拐50°,第二次向右拐130°D.第一次向左拐50°,第二次向左拐130°例4.如图所示,已知∠B=25°,∠BCD=45°,∠CDE=30°,∠E=10°.试说明AB∥EF的理由.解法1:如图所示,在∠BCD的内部作∠BCM=25°,在∠CDE的内部作∠EDN=10°.∵∠B=25°,∠E=10°已知,∴∠B=∠BCM,∠E=∠EDN等量代换.∴AB∥CM,EF∥DN内错角相等,两直线平行.又∵∠BCD=45°,∠CDE=30°已知,∴∠DCM=20°,∠CDN=20°等式性质.∴∠DCM=∠CDN等量代换.∴CM∥DN内错角相等,两直线平行.∵AB∥CM,EF∥DN已证,∴AB∥EF平行线的传递性.解法2:如图所示,分别向两方延长线段CD交EF于M点、交AB于N点.∵∠BCD=45°,∴∠NCB=135°.∵∠B=25°,∴∠CNB =180°-∠NCB-∠B =20°三角形的内角和等于180°.又∵∠CDE =30°,∴∠EDM =150°.又∵∠E =10°,∴∠EMD =180°-∠EDM-∠E =20°三角形的内角和等于180°.∴∠CNB =∠EMD 等量代换.所以AB ∥EF 内错角相等,两直线平行.变式3已知,如图,BE 平分ABD,DE 平分CDB,且1与2互余,试判断直线AB 、CD 的位置关系,请说明理由. 解:AB ∥CD,理由如下:∵BE 平分∠ABD,DE 平分∠CDB,∴∠ABD =2∠1,∠CDB =2∠2.又∵∠1+∠2=90°,∴∠ABD+∠CDB =180°.∴AB ∥CD 同旁内角互补,两直线平行.变式4已知,如图,ABBD 于B,CDBD 于D,1+2=180°,求证:CD 1234//,//l l l l 答案48°,132°,48°变式6如图所示,直线l 1∥l 2,点A 、B 在直线l 2上,点C 、D 在直线l 1上,若△ABC 的面积为S 1,△ABD 的面积为S 2,则A .S 1>S 2B .S 1=S 2C .S 1<S 2D .不确定答案B 类型四、命题例6.判断下列语句是不是命题,如果是命题,是正确的还是错误的①画直线AB ;②两条直线相交,有几个交点;③若a ∥b,b ∥c,则a ∥c ;④直角都相等;⑤相等的角都是直角;⑥如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角.答案①②不是命题;③④⑤⑥是命题;③④⑥是正确的命题;⑤是错误的命题.变式8把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式.1两直线平行,同位角相等;2对顶角相等;3同角的余角相等.答案解:1如果两直线平行,那么同位角相等.2如果两个角是对顶角,那么这两个角相等.3如果有两个角是同一个角的余角,那么它们相等.类型四、平移例7.湖南益阳如图所示,将△ABC 沿直线AB 向右平移后到达△BDE 的位置,若∠CAB =50°,∠ABC =100°,则∠CBE 的度数为________.答案30°变式9上海静安区一模如图所示,三角形FDE 经过怎样的平移可以得到三角形ABCA .沿EC 的方向移动DB 长B .沿BD 的方向移动BD 长C .沿EC 的方向移动CD 长D .沿BD 的方向移动DC 长答案A类型五、平行的性质与判定综合应用例8、如图所示,AB∥EF,那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=A.180°B.270°C.360°D.540°答案C解析过点C作CD∥AB,∵CD∥AB,∴∠BAC+∠ACD=180°两直线平行,同旁内角互补又∵EF∥AB∴EF∥CD.∴∠DCE+∠CEF=180°两直线平行,同旁内角互补又∵∠ACE=∠ACD+∠DCE∴∠BAC+∠ACE+∠CEF=∠BAC+∠ACD+∠DCE+∠CEF=180°+180°=360°课后作业一、选择题1.下列说法中正确的有①一条直线的平行线只有一条.②过一点与已知直线平行的直线只有一条.③因为a∥b,c∥d,所以a∥d.④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.A.1个B.2个C.3个D.4个2.如果两个角的一边在同一直线上,另一边互相平行,则这两个角A.相等B.互补C.互余D.相等或互补3.如图,能够判定DE∥BC的条件是A.∠DCE+∠DEC=180°B.∠EDC=∠DCBC.∠BGF=∠DCBD.CD⊥AB,GF⊥AB4.一辆汽车在广阔的草原上行驶,两次拐弯后,行驶的方向与原来的方向相同,那么这两次拐弯的角度可能是.A.第一次向右拐40°,第二次向右拐140°.B.第一次向右拐40°,第二次向左拐40°.C.第一次向左拐40°,第二次向右拐140°.D.第一次向右拐140°,第二次向左拐40°.5.如图所示,下列条件中,不能推出AB∥CE成立的条件是A.∠A=∠ACEB.∠B=∠ACEC.∠B=∠ECDD.∠B+∠BCE=180°6.绍兴学习了平行线后,小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法,她是通过折一张半透明的纸得到的如图,1—4:从图中可知,小敏画平行线的依据有①两直线平行,同位角相等.②两直线平行,内错角相等.③同位角相等,两直线平行.④内错角相等,两直线平行.A.①②B.②③C.③④D.④①二、填空题7.在同一平面内的三条直线,它们的交点个数可能是________.8.如图,DF平分∠CDE,∠CDF=55°,∠C=70°,则________∥________.9.规律探究:同一平面内有直线a1,a2,a3…,a100,若a1⊥a2,a2∥a3,a3⊥a4…,按此规律,a1和a100的位置是________.10.已知两个角的两边分别平行,其中一个角为40°,则另一个角的度数是11.直线l同侧有三点A、B、C,如果A、B两点确定的直线l'与B、C两点确定的直线l''都与l平行,则A、B、C 三点,其依据是12.如图,AB⊥EF于点G,CD⊥EF于点H,GP平分∠EGB,HQ平分∠CHF,则图中互相平行的直线有.三、解答题13.如图,∠1=60°,∠2=60°,∠3=100°,要使AB∥EF,∠4应为多少度说明理由.14.小敏有一块小画板如图所示,她想知道它的上下边缘是否平行,而小敏身边只有一个量角器,你能帮助她解决这一问题吗15.如图,把一张长芳形纸条ABCD沿AF折叠,已知∠ADB=20°,那么∠BAF为多少度时,才能使AB′∥BD16.如图所示,由∠1=∠2,BD平分∠ABC,可推出哪两条线段平行,写出推理过程,如果推出另两条线段平行,则应将以上两条件之一作如何改变答案与解析一、选择题1.答案A解析只有④正确,其它均错.2.答案D3.答案B解析内错角相等,两直线平行.4.答案B5.答案B解析∠B和∠ACE不是两条直线被第三条直线所截所得到的角.6.答案C解析解决本题关键是理解折叠的过程,图中的虚线与已知的直线垂直,过点P的折痕与虚线垂直.二、填空题7.答案0或1或2或3个;8.答案BC,DE;解析∠CFD=180°-70°-55°=55°,而∠FDE=∠CDF=55°,所以∠CFD=∠FDE.9.答案a1∥a100;解析为了方便,我们可以记为a1⊥a2∥a3⊥a4∥a5⊥a6∥a7⊥a8∥a9⊥a10…∥a97⊥a98∥a99⊥a100,因为a1⊥a2∥a3,所以a1⊥a3,而a3⊥a4,所以a1∥a4∥a5.同理得a5∥a8∥a9,a9∥a12∥a13,…,接着这样的规律可以得a1∥a97∥a100,所以a1∥a100.10.答案40°或140°11.答案共线,平行公理;解析此题考查是平行公理,它是论证推理的基础,应熟练应用.12.答案AB∥CD,GP∥HQ;。
平行线与垂直线的性质与判定方法平行线与垂直线是几何学中常见的概念,它们在许多数学问题和实际情境中起着重要的作用。
本文将介绍平行线与垂直线的性质,并说明它们的判定方法。
一、平行线的性质1.定义:平行线是在同一个平面内永不相交的两条直线。
记作∥。
2.性质1:平行线上的任意两点与另一直线的交点的连线,与平行线上的任意两点与该直线的交点的连线相交于同一直线上。
3.性质2:平行线与同一条直线的两条相交线段的比例相等。
4.性质3:平行线的错位角、内错角、同旁内角和同旁外角相等。
二、垂直线的性质1.定义:垂直线是与另一条直线形成直角的线段。
记作⊥。
2.性质1:垂直线与同一条直线的两条相交线段的乘积相等。
3.性质2:垂直线的错位角互补,即错位角的和为180°。
4.性质3:垂直线的内错角互补,即内错角的和为180°。
三、平行线的判定方法1.方法1:同位角相等法。
若两条直线被一条横截线所截,且截线上的同位角相等,那么这两条直线是平行线。
2.方法2:平行线与传统几何图形的关系法。
在平行线与其他几何图形(如矩形、正方形等)相交的条件下,可以判定出平行线的存在。
3.方法3:斜率法。
若两条直线的斜率相等且不为无穷大,则这两条直线是平行的。
四、垂直线的判定方法1.方法1:垂直线的定义法。
两条直线的斜率相乘为-1时,它们是互为垂直的。
2.方法2:对称法。
若两条直线关于某点对称且这条直线垂直于另一条直线,那么这两条直线是垂直的。
3.方法3:垂直线与传统几何图形的关系法。
在垂直线与其他几何图形(如正方形、直角三角形等)相交的条件下,可以判定出垂直线的存在。
综上所述,平行线与垂直线在几何学中具有重要的性质和判定方法。
学好这些性质和方法,对于解决相关的数学问题和实际生活中的空间关系具有重要的指导意义。
通过不断的练习和实践,我们可以更好地理解和应用平行线与垂直线的性质与判定方法。
平行线的判定、性质专练
姓名:
例1:如图所示:AD∥BC,∠A=∠C,试说明AB∥DC.
变式:如图所示:AB∥DC,∠A=∠C,试说明AD∥BC.
变式2:如图,点E为DF上的点,点B为AC上的点,∠1= ∠2,∠C= ∠D,求证:DF ∥AC
变式3:如图,点B、E分别在AC、DF上,BD、CE均与AF相交,∠1=∠2,∠C=∠D,试问:∠A与∠F相等吗?请说出你的理由。
变式4:如图,已知∠A=∠F,∠C=∠D,求证:BD//CE.
例2:已知AB ∥CD,GP,HQ 分别平分∠EGB, ∠EHD,判断GP 与HQ 是否平行?
变式1:如图11,直线AB 、CD 被EF 所截,∠1 =∠2,∠CNF =∠BME。
求证:AB∥CD,MP∥NQ.
F 2
A B C D Q E 1 P M N 图11
变式2:已知AB∥CD,GP,HQ分别平分∠AGF, ∠EHD,判断GP与HQ是否平行?
例3:如图,已知AB∥CD,∠1=∠2,求证∠E=∠F.
变式1:如图,已知∠E=∠F,∠1=∠2,:求证AB∥CD .
变式2:如图,已知AB∥CD,∠E=∠F,:求证∠1=∠2.
变式3:如图,已知AB∥CD, AF∥DE, :求证∠1=∠2.
变式4:如图,已知∠1=∠2, AF∥DE, :求证AB∥CD.。