高中数学公式总结

高中数学常用知识点

一、函数

1.函数的单调性证明

(1)对于区间T 内任意取两个值21,x x ：

①当21x x <时，)()(21x f x f <，则)(x f 为增函数

②当21x x <时，)()(21x f x f >，则)(x f 为减函数

（比较两个数之间大小的方法：作差、变形、与零比较）

2.函数单调性判断

(1)如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数;

(2)如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上单调性相同时,则复合函数)]([x g f y =是增函数；单调性相反时，)]([x g f y =是减函数

3．函数的奇偶性

(1)奇函数的图象关于原点对称;

(2)偶函数的图象关于y 轴对称;

(3)若函数)(x f y =是偶函数，则)()(x f x f =-;

(4)若函数)(x f y =是奇函数，则)()(x f x f =-.注意;定义域优先考虑。

4.函数的周期性

(1) 若)()(a x f x f +=,则函数)(x f y =为周期为a 的周期函数.

(2)若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.

5.函数()y f x =的图象的对称性

(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-

(2)()f a x f x ⇔-=.

(2) 对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2

b a x += 6.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根⇒ 0)()(21

7.对数的换底公式

log log log m a m N N a

=

(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >). 推论 log log m n a a n b b m

=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). 二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 8、同角三角函数的基本关系式

22sin cos 1θθ+=，tan θ=θ

θcos sin . 9、正弦、余弦的诱导公式

απ±k 的正弦、余弦，等于α的同名函数，前面加上把α看成锐角时该函数的符号；

απ

π±+2k 的正弦、余弦，等于α的余名函数，前面加上把α看成锐角时该函数的符号。

口诀：奇变偶不变，符号看象限。

10、和角与差角公式

sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ

±±=.

11、二倍角公式

x x x cos sin 22sin =.

2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.

22tan tan 21tan ααα

=-. 公式变形： ;2

2cos 1sin ,2cos 1sin 2;22cos 1cos ,2cos 1cos 22222αααααααα-=-=+=+= 12、三角函数的周期

函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T π

ω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z π

π≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω

=. 13、 函数sin()y x ωϕ=+的周期、最值、单调区间、图象变换

14、辅助角公式

)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y 其中a

b =

ϕtan 15、正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C

===. 16、余弦定理

2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.

17、三角形面积公式

111sin sin sin 222

S ab C bc A ca B ===. 18．常见三角不等式

（1）若(0,

)2x π∈，则sin tan x x x <<. (2) 若(0,)2x π

∈

，则1sin cos x x <+≤ 19、a 与b 的数量积(或内积)

θcos ||||b a b a ⋅=⋅

20、平面向量的坐标运算

(1)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.

(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则b a ⋅=2121y y x x +.

(3)设a =),(y x ，则22y x a +=

21、两向量的夹角公式 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且0≠b ，则 222221212

121cos y x y x y y x x b a b

a +⋅++=⋅=θ

22、向量的平行与垂直

b a //⇔a b λ= 12210x y x y ⇔-=.

)0(≠⊥a b a ⇔0=⋅b a 12120x x y y ⇔+=.

23. 三角形五“心”向量形式的充要条件

设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则：

（1）O 为ABC ∆的外心(三边中垂线交点)222

OA OB OC ⇔==.

（2）O 为ABC ∆的重心(三边中线交点)0OA OB OC ⇔++=.

（3）O 为ABC ∆的垂心(三边高的交点)OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅.

（4）O 为ABC ∆的内心(三内角平分线交点)0aOA bOB cOC ⇔++=. 三、数列

24、数列的通项公式与前n 项的和的关系

11

,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).

25、等差数列的通项公式 *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；

26、等差数列其前n 项和公式为

1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22

d n a d n =+-. 27、等比数列的通项公式 1*11()n n n a a a q q n N q -==

⋅∈； 28、等比数列前n 项的和公式为

11

(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩ 或 11,11,1n n a a q q q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.

29、数列常见性质：已知n S ，n a ，n 的递推关系，求n a

思路：能化简的先化简，n 的地方用n-1代，难一点的需要代两次。

四、不等式

30、（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．

（2）,a b R +∈

⇒2

a b +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）b a b a b a +≤+≤-.

五、解析几何

31、直线的五种方程

（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．

（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).

（3）两点式 112121

y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).