北师大版九年级数学下册第一章三角函数知识点总结及典型习题(超级详细)

北师大版数学九年级下册知识点总结及例题第一章 直角三角形的边角关系1．正切：在 Rt △ABC 中，锐角∠ A 的对边与邻边的比叫做∠ A 的正切，记作 tanA ，即A的对边;tanAA的邻边 ;① tanA 是一个完整的符号，它表示 ∠A 的正切，常省去角的符号 “∠”； ② tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中 ∠ A 的对边与邻边的比； ③ tanA 不表示 “tan 乘”以 “A ”；④ tanA 的值越大，梯子越陡， ∠A 越大； ∠ A 越大，梯子越陡， tanA 的值越大。

例 在 Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大为原来的 2 倍，那么锐角 A 的正弦值（ ）A.扩大 2倍B.缩小 2 倍 C. 扩大 4 倍 D. 没有变化2. 正．弦．：A 的对边 sin A斜边3. 余弦：A 的邻边 cosA斜边C ．2D ． 2 24. 一个锐角的正弦、余弦分别等于它的余角的余弦、正弦。

在 Rt △ ABC 中， 锐角 ∠A 的对边与斜边的比叫做 ∠A 的正弦，记作 sinA ，即例 在 ABC 中，若 C90，sin A 1， AB 2， 2则 ABC 的周长为在 Rt △ABC 中，锐角 ∠A 的邻边与斜边的比叫做 ∠ A 的余弦，记作 cosA ，即例 等腰三角形的底角为 30° ，底边长为 2 3 ，则腰长为（ ）A ．4例 △ ABCsin α中，∠ A ，∠ B 均为锐角，且有cos α|tanB 3 | （2sin A 3）2 0，则△ABC 是 tan α1（）A ．直角（不等腰）三角形 B ．等腰直角三角形C ．等腰（不等边）三角形D．等边三角形5. 当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角6. 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。

由直角三角 形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

北师大版九年级数学初三下学期锐角三角函数知识点总结及典型习题知识点：1、本章三角函数源自于勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c（勾股定理也叫毕达哥拉斯定理，在部分课外资料/习题当中会出现毕达哥拉斯定理） 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：除的内容还包含正割(sec)和余割(csc)两部分内容）3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4、30°、45°、60A 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A对边邻边 C6、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。

7、正切、的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，解直角三角形的定义1、：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。

依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。

(注意：尽量避免使用中间数据和除法)2、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

仰角水平线视线视线俯角(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。

用字母i 表示，即h i l=。

坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。

把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi lα==。

3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。

如图 ，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。

指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。

所以,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。

新北师大版九年级数学下册知识点总结第一章直角三角形边的关系一•锐角三角函数 1.正切：定义：在Rt △ ABC 中，锐角/A 的对边与邻边的比叫做/A的正切，记作tanA ,① tanA 是一个完整的符号，它表示/A的正切，记号里习惯省去角的符号“/”；② tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中/A 的对边与邻边的比；③ tanA 不表示"tan ”乘以"A ”；④ 初中阶段，我们只学习直角三角形中，/A是锐角的正切；⑤ tanA 的值越大，梯子越陡，ZA 越大；ZA 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。

2. 正弦：定义：在Rt △ ABC 中，锐角/A 的对边与斜边的比叫做/A 的正弦，记作sinA ，即sin AA的对边................................... """■ 斜边3. 余弦：定义：在Rt △ ABC 中，锐角/A 的邻边与斜边的比叫做/A 的余弦，记作cosA ，即cosA A的邻边 .............................. ■■■■■斜边之变化三•三角函数的计算1. 仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为 仰角2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为 俯角值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的增大 < sin a< 1， 0< cos a< 1。

4. 坡度：如图2,坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度i tan Al5. 方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角...。

如图3，OA OB OC 的方位角分别为 45 °、135 °、225 °。

6. 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角.。

第一章直角三角形的边角关系九年级下册第1节锐角三角函数一、锐角三角函数锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数。

如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°【说明】①三角函数表示的是两边的比值，所以它只是一个数值，没有单位。

②当用一个大写字母表示角时，其三角函数中角的符号省略，如sin A，cos B，tan C；当用一个希腊字母表示角时，其三角函数中角的符号省略，如sinα，cosβ，tanθ；当用三个大写字母表示角时，其三角函数中角的符号不能省略，如sin∠ABC，cos∠DEF，tan∠GHI；当用一个阿拉伯数字表示角时，其三角函数中角的符号不能省略，如sin∠1，cos∠2，tan∠3。

③如果要表示三角函数的倍数与乘方，应分别表示为2 sin A，3cos B，4tan C，sin2A，cos3B，tan4C；2 sin30°，3cos30°，4tan30°，sin230°，cos330°，tan430°。

二、坡度1、坡度的概念如图所示，我们把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比值叫做坡度（或坡比），通常用字母i表示。

【说明】坡面的坡度实际上就是坡角的正切值，即i＝tanα＝hl2、三角函数与坡面的陡峭程度（1）tan A的值越大，坡面越陡。

（2）sin A的值越大，坡面越陡。

（3）cos A的值越小，坡面越陡。

三、锐角三角函数的增减性（0°~90°）1、正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；2、余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；3、正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）。

四、同角三角函数的关系1、互余关系：sinA ＝cos(90°－A) cosA ＝sin(90°－A)2、平方关系：s in 2A ＋cos 2A ＝13、弦切关系：tan A ＝sin cos AA4、倒数关系：tan A ·tan(90°－A)＝1第2节 30°，45°，60°角的三角函数值一、探索30°，45°，60°角的三角函数值求30°角的三角函数值，关键根据“直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”，可设30°的锐角的对边为a ，则斜边为2a ，由勾股定理可求得30°3a ，因此可以求出30°的锐角的各个三角函数值：sin30°＝2a a ＝12 cos30°3a3 tan30°3a 33也可以求出60°的锐角的各个三角函数值：sin60°3a ＝3 cos60°＝2a a ＝12tan60°3a 3求45°角的三角函数值，关键根据“有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形”，可设一条直角边为a ，则另一条直角边也为a 2a ，因此可以求出45°的锐角的各个三角函数值：sin45°2a 22 cos45°2a 2 tan45°＝aa ＝1二、熟记特殊角的三角函数值第3节三角函数的计算一、用计算器求任意锐角的三角函数值1、求整数度数的锐角的三角函数值首先使计算器的面板上出现DEG，然后再按sin cos tan这三个键之一，再从高位向低位按出表示度数的整数，再按键＝，就可以在显示屏上得到答案。

第02讲_三角函数的应用知识图谱解直角三角形知识精讲一．解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形．二．解直角三角形要用到的关系1．三边之间的关系222a b c +=2．两锐角之间关系90A B ∠+∠=︒ 3．边角之间的关系sin =A a A c ∠=的对边斜边， sin =B bB c ∠=的对边斜边；cos =A b A c ∠=的邻边斜边， cos =B aB c ∠=的邻边斜边；tan =A a A b ∠=的对边邻边， tan =B bB a∠=的对边邻边．三．圆中的相关计算1．利用勾股定理和锐角三角函数求解圆中有关直角三角形的边长问题； 2．利用直径所对圆周角为90︒，构造直角三角形； 3．利用切线的性质求解线段长度．三点剖析一．考点：解直角三角形，与圆结合求解线段长度．二．重难点：1．特殊三角函数值的记忆以及应用；2．圆中直径与所对圆周角的构造以及直角三角形选取的问题； 3．射影定理与锐角三角函数结合．三．易错点：特殊三角函数值的三边比例对应关系．解直角三角形例题1、 在Rt△ABC 中，△C=90°，sinA=，AC=6cm ，则BC 的长度为（ ）A.6cmB.7cmC.8cmD.9cm【答案】 C【解析】 △sinA==，△设BC=4x ，AB=5x ， 又△AC 2+BC 2=AB 2， △62+（4x ）2=（5x ）2， 解得：x=2或x=﹣2（舍）， 则BC=4x=8cm ，例题2、 在Rt △ABC 中，∠C=90°，如果AC=2，cosA=23，那么AB 的长是（ ） A.3 B.43C.5D.13【答案】 A 【解析】 ∵cosA=23AC AB =， ∴AB=232233AC ==． 例题3、 如图，在四边形ABCD 中，90B D ∠=∠=︒，3AB =，2BC =，4tan 3A =，则CD =__________．【答案】65【解析】 解：延长AD 和BC 交于点E ．Rt ABE ∆在中，4tan 3A =，3AB =，4BE ∴=，422EC BE BC ∴=-=-=，ABE ∆和CDE ∆中，90B EDC ∠=∠=︒，E E ∠=∠， DCE A ∴∠=∠，Rt CDE ∴∆中，4tan tan 3DE DCE A DC ∠===，∴ 设4DE x =，则3DC x =，在Rt CDE ∆中，222EC DE DC =+，224169x x ∴=+，解得：25x =，则65CD =．例题4、如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanC=，AC=3，AB=4，求△ABC的周长．【答案】10+3+．【解析】在Rt△ADC中，tanC==，设AD=k，CD=2k，AC==k，△AC=3，△k=3，解得k=3，△AD=3，CD=6，在Rt△ABD中，BD===，△△ABC的周长=AB+AC+BD+CD=4+3++6=10+3+．例题5、如图，在△ABC中，sinB＝45，点F在BC上，AB＝AF＝5，过点F作EF⊥CB交AC于点E，且AE：EC＝3：5，求BF的长与sinC的值．【答案】6；5 5【解析】过点A作AD⊥CB，垂足为点D，∵4 sin5B=，∴3 cos5B=，在Rt△ABD中，3cos535BD AB B=⋅=⨯=，∵AB＝AFAD⊥CB，∴BF＝2BD＝6，∵EF⊥CBAD ⊥CB ， ∴EF ∥AD ， ∴DF AE CF EC=， ∵AE ：EC ＝3：5 DF ＝BD ＝3， ∴CF ＝5， ∴CD ＝8，在Rt △ABD 中，4sin 545AD AB B =⋅=⨯=， 在Rt △ACD 中，2245AC AD CD =+=，∴5sin 5AD C AC ==． 例题6、 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点D 作DE ⊥BD 交BC 的延长线于点E ． （1）求证：四边形ACED 是平行四边形； （2）若BD ＝4，AC ＝3，求cos ∠CDE 的值．【答案】 （1）见解析 （2）35【解析】 （1）∵四边形ABCD 是菱形∴AD ∥BC ，∠BOC ＝90°，∵DE ⊥BD ，∴∠BDE ＝90°，∴∠BDE ＝∠BOC ，∴AC ∥DE ，∴四边形ACED 是平行四边形；（2）解：∵四边形ACED 是平行四边形，∴AD ＝CE ，∵AD ＝BC ，∴BC ＝CE ，∵∠BDE ＝90°，∴DC ＝CE ，∴∠CDE ＝∠E ∴cos ∠CDE ＝cos ∠E ，∵BD ＝4，AC ＝3，∠BDE ＝90°，∴BE ＝5，∴3cos 5DE E BE ∠==，∴3cos cos 5CDE E ∠=∠=．随练1、 在Rt ABC △中，90C ∠=︒，若1BC =，2AC =，则sin A 的值为（ ） A.55B.255C.12D.2【答案】 A【解析】 该题考查的是解直角三角形．在Rt △ABC ，sin BC A AB=，根据勾股定理，2222125AB AC BC =+=+=,则15sin 55BC A AB ===随练2、 如图所示，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE⊥AB ，垂足为E ，sinA=35，则下列结论正确的个数有（ ）⊥DE=3cm ；⊥BE=1cm ；⊥菱形的面积为15cm 2；⊥BD=210cm ． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】 C【解析】 此题主要考查学生对菱形的性质的运用能力． ⊥菱形ABCD 的周长为20cm ⊥AD=5cm ⊥sinA=DE AD =35⊥DE=3cm （⊥正确） ⊥AE=4cm ⊥AB=5cm⊥BE=5-4=1cm （⊥正确）⊥菱形的面积=AB×DE=5×3=15cm 2（⊥正确） ⊥DE=3cm ，BE=1cm⊥BD=10cm （⊥不正确） 所以正确的有三个，故选C ．随练3、 已知：如图，线段AB 、DE 表示一个斜靠在墙上的梯子的两个不同的位置，若CB ＝3m ，∠ABC ＝45°，要使∠EDC ＝60°，则需BD ＝__________m ．【答案】 3322-【解析】 该题考查的是特殊直角三角形．△ABC 是等腰直角三角形；△EDC 是含30°的直角三角形， ∵3CB =，∴22223332AB ED CB AC ==+=+=，113332222CD ED ==⨯=，∴3332BD BC CD =-=-．随练4、 如图，将Rt △ABC 沿斜边AC 所在直线翻折后点B 落到点D ，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，如果AE=3EB ，EB=7，那么BC=_____________．【答案】 47【解析】 ∵DE ⊥AB ，∠B=90°，∴DE ∥BC ， ∴∠1=∠3， ∵∠1=∠2， ∴∠2=∠3， ∴DH=DC ， ∵DE ∥BC ，∴△AEH ∽△ABC ， ∴34AE EH AB BC ==， 设EH=3x ，BC=DC=DH=4x ， ∴DE=7x ，∵AE=3EB ，EB=7， ∴AE=21，∵AD=AB=AE+BE=7+21=28，在Rt △ADE 中，DE=2222282177AD AE -=-=， ∴7x=77， ∴x=7， ∴BC=47．随练5、 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果AC ＝9，cosA ＝13，那么AB ＝________．【答案】 27 【解析】 如图．∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝9，cosA ＝13AC AB =，∴913AB =， ∴AB ＝27．随练6、 如图，四边形ABCD 、CDEF 、EFGH 都是正方形，则tan ∠CAF ＝________．【答案】13【解析】 连接AG ，设正方形的边长为a ，222AC a a a =+=，∵22==AC aCF a ，222CG a AC a==， ∴AC CG CF AC=， ∵∠ACF ＝∠ACF ， ∴△ACF ∽△GCA ， ∴∠AGB ＝∠CAF ，∴1tan tan 33AB a CAF AGB BG a ∠=∠===．随练7、 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝8，3cos 4A =．求BC 的长． 【答案】 27 【解析】 ∵3cos 4AC A AB ==，AB ＝8， ∴AC ＝6，根据勾股定理得，22228627BC AB AC =-=-=．随练8、 如图，在Rt⊥ABC 中，⊥C=90°，⊥A 的平分线交BC 于点E ，EF⊥AB 于点F ，点F 恰好是AB 的一个三（1）求证：⊥ACE⊥⊥AFE ； （2）求tan⊥CAE 的值．【答案】 （1）见解析（2）55【解析】 本题考查了直角三角形的判定、性质和利用三角函数解直角三角形，根据已知条件表示出线段的值是解本题的关键．（1）根据角的平分线的性质可求得CE=EF ，然后根据直角三角形的判定定理求得三角形全等．（2）由⊥ACE⊥⊥AFE ，得出AC=AF ，CE=EF ，设BF=m ，则AC=2m ，AF=2m ，AB=3m ，根据勾股定理可求得，tan⊥B=AC BC =25，CE=EF=2m 5，在RT⊥ACE 中，tan⊥CAE=CEAC =2m52m =55；（1）证明：⊥AE 是⊥BAC 的平分线，EC⊥AC ，EF⊥AF ，⊥CE=EF ，在Rt⊥ACE 与Rt⊥AFE 中， CE EFAE AE=⎧⎨=⎩， ⊥Rt⊥ACE⊥Rt⊥AFE （HL ）；（2）由（1）可知⊥ACE⊥⊥AFE ， ⊥AC=AF ，CE=EF ，设BF=m ，则AC=2m ，AF=2m ，AB=3m ， ⊥BC=22AB AC -=229m 4m -=5m ， 解法一：⊥⊥C=⊥EFB=90°， ⊥⊥EFB⊥⊥ACB ， ⊥EF AC =FB BC，⊥CE=EF ，⊥CEAC =m 5m =55； 解法二：⊥在RT⊥ABC 中，tan⊥B=AC BC =2m5m=25， 在RT⊥EFB 中，EF=BF•tan⊥B=2m 5，⊥CE=EF=2m 5，在RT⊥ACE 中，tan⊥CAE=CEAC =2m52m=55；⊥tan⊥CAE=55．锐角三角函数的实际应用知识精讲一．仰角和俯角在视线与水平线所成的角中，视线在水平线的上方是仰角；视线在水平线的下方是俯角，如图一所示．（上仰下俯）二．坡度与坡角坡度（坡比）：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度．用字母i 表示，tan hi lα== 坡角：坡面与水平面的夹角叫坡角．用字母α表示．三．方位角指南或指北方向线与目标方向线所成的小于90︒的角叫做方位角．四．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：说明：解直角三角形的方法：有斜则弦，无斜则切，宁乘毋除，取原避中．五．用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤：俯角仰角水平线视线视线铅垂线αlh实际问题实际问题的解数学问题（解直角三角形）数学问题的解抽象 （转化）解释求解 得到 得到1. 审题；通过图形，弄清已知和未知．2. 找出相关的直角三角形（或通过辅助线作出）；把问题转化为解直角三角形问题．3. 根据直角三角形边、角关系解直角三角形．三点剖析一．考点：解直角三角形的应用二．重难点：把实际问题转化为解直角三角形三．易错点：1. 仰角和俯角理解错误；2. 检验答案是否符合实际情况．锐角三角函数的实际应用例题1、 河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB 的坡比为1：3，则AB 的长为（ ）A.12米B.43米C.53米D.63米【答案】 A【解析】 ∵BC=6米，迎水坡AB 的坡比为1：3， ∴AC=63（米）， ∴AB=()22663+=12（米）．故选A ．例题2、 如图，在某监测点B 处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A 出，若渔船沿北偏西75°方向以60海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C 处，在C 处观测到B 在C 的北偏东60°方向上，则B 、C 之间的距离为__________．【答案】 302海里【解析】 由题意得，AC=60×0.5=30海里， ∵CD ∥BF ，∴∠CBF=∠DCB=60°，又∠ABF=15°， ∴∠ABC=45°， ∵AE ∥BF ，∴∠EAB=∠FBA=15°，又∠EAC=75°， ∴∠CAB=90°，∴BC=2AC=302海里，例题3、 有一轮船在A 处测得南偏东30°方向上有一小岛P ，轮船沿正南方向航行至B 处，测得小岛P 在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C 处，测得小岛P 在正东方向上，则A ，B 之间的距离是（ ）海里．A.103B.102﹣10C.10D.103﹣10【答案】 D【解析】 由题意得：∠CAP=30°，∠CBP=45°，BC=10海里， 在Rt △BCP 中， ∵∠CBP=45°，∴CP=BC=10海里， 在Rt △APC 中，AC=10tan 33PC CAP =∠=103海里， ∴AB=AC ﹣BC=（103﹣10）海里，例题4、 某数学兴趣小组同学进行测量大树CD 高度的综合实践活动，如图，在点A 处测得直立于地面的大树顶端C 的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB 行走13米至坡顶B 处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D 处，斜面AB 的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CD 的高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（ ）A.8.1米B.17.2米C.19.7米D.25.5米【答案】 A【解析】 作BF ⊥AE 于F ，如图所示： 则FE=BD=6米，DE=BF ， ∵斜面AB 的坡度i=1：2.4， ∴AF=2.4BF ，设BF=x 米，则AF=2.4x 米，在Rt △ABF 中，由勾股定理得：x 2+（2.4x ）2=132， 解得：x=5，∴DE=BF=5米，AF=12米， ∴AE=AF+FE=18米，在Rt△ACE中，CE=AE•tan36°=18×0.73=13.14米，∴CD=CE﹣DE=13.14米﹣5米≈8.1米；例题5、如图，在一条笔直的东西向海岸线l上有一长为1.5km的码头MN和灯塔C，灯塔C距码头的东端N有20km．以轮船以36km/h的速度航行，上午10：00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30°方向，上午10：40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C相距12km．（1）若轮船照此速度与航向航向，何时到达海岸线？（2）若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由．（参考数据：≈1.4，≈1.7）【答案】（1）轮船照此速度与航向航向，上午11：：00到达海岸线；（2）轮船不改变航向，轮船可以停靠在码头．【解析】（1）延长AB交海岸线l于点D，过点B作BE△海岸线l于点E，过点A作AF△l于F，如图所示．△△BEC=△AFC=90°，△EBC=60°，△CAF=30°，△△ECB=30°，△ACF=60°，△△BCA=90°，△BC=12，AB=36×=24，△AB=2BC，△△BAC=30°，△ABC=60°，△△ABC=△BDC+△BCD=60°，△△BDC=△BCD=30°，△BD=BC=12，△时间t==小时=20分钟，△轮船照此速度与航向航向，上午11：：00到达海岸线．（2）△BD=BC，BE△CD，△DE=EC，在RT△BEC中，△BC=12，△BCE=30°，△BE=6，EC=6≈10.2，△CD=20.4，△20＜20.4＜21.5，△轮船不改变航向，轮船可以停靠在码头．随练1、如图，已知楼高AB为50m，铁塔基与楼房房基间的水平距离BD为50m，塔高DC为1505033m，下列结论中，正确的是（）A.由楼顶望塔顶仰角为60︒B.由楼顶望塔基俯角为60︒C.由楼顶望塔顶仰角为30︒D.由楼顶望塔基俯角为30︒【答案】C【解析】过点A作水平线AE，则EAD∠为楼顶望塔基俯角，CAE∠为由楼顶望塔顶仰角．50AB=，∴50DE=．∴1505035035033CE CD ED+=-=-=∴3tan::3CAE CE AE CE BD∠===．∴30CAE∠=︒．tan:50:1EAD DE AE BD∠===∴45EAD∠=．随练2、如图，小明在大楼30米高（即PH=30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B 处的俯角为60°，巳知该山坡的坡度i（即tan△ABC）为1：，点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H、B、C在同一条直线上，且PH丄HC．（1）山坡坡角（即△ABC）的度数等于度；（2）求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．【答案】（1）30；（2）34.6米【解析】（1）30；（2）由题意得：△PBH=60°，△△ABC=30°，△△ABP=90°，又△APB=45°，△△PAB为等腰直角三角形，在直角△PHB中，PB===20．在直角△PBA中，AB=PB=20≈34.6米．答：A，B两点间的距离是34.6米．随练3、为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m，如图所示．已知小丽同学的身高是1.54m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4cm，则旗杆DE的高度等于（）DCBAA.10mB.12mC.12.4mD.12.32m【答案】 B 【解析】 由题意可得：AB=1.5m ，BC=0.4m ，DC=4m ，△ABC ∽△EDC ， 则=AB BC ED DC， 即1.50.54=DE ， 解得：DE=12，随练4、 如图，活动课上，小王想要利用所学的数学知识测量某个建筑地所在山坡AE 的高度，她先在山脚下的点E 处测得山顶A 的仰角是30°，然后，她沿着坡度i=1：1的斜坡步行15分钟到达C 处，此时，测得点A 的俯角是15°．已知小王的步行速度是20米/分，图中点A 、B 、E 、D 、C 在同一平面内，且点D 、E 、B 在同一水平直线上，求出建筑地所在山坡AE 的高度AB ．（精确到0.1米，参考数据：≈1.41）．【答案】 105.8（米）．【解析】 作EF △AC 于点F ，根据题意，CE=20×15=300米，△i=1：1，△tan △CED=1，△△CED=△DCE=45°，△△ECF=90°﹣45°﹣15°=30°，△EF=CE=150米，△△CEF=60°，△AEB=30°，△△AEF=180°﹣45°﹣60°﹣30°=45°，△AF=EF=150米，△AE===150（米），△AB=×150≈105.8（米）． 答：建筑地所在山坡AE 的高度AB 约为105.8米随练5、 南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A 处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B 处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C 处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里（最后结果保留整数）？（参考数据：cos75°=0.2588，sin75°=0.9659，tan75°=3.732，=1.732，=1.414）【答案】 67海里【解析】 过B 作BD △AC ，△△BAC=75°﹣30°=45°，△在Rt △ABD 中，△BAD=△ABD=45°，△ADB=90°，由勾股定理得：BD=AD=×20=10（海里），在Rt △BCD 中，△C=15°，△CBD=75°，△tan △CBD=，即CD=10×3.732=52.77048，则AC=AD+DC=10+10×3.732=66.91048≈67（海里），即我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了67海里．拓展1、 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝4，AC ＝1，那么∠B 的余弦值为（ ）A.154B.14C.1515D.41717【答案】 A【解析】 解；由勾股定理得22224115BC AB AC =-=-=，15cos 4BC B AB ∠==．2、 如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，D 为BC 的中点，将△ABC 折叠，使点A 与点D 重合，EF 为折痕，则sin ∠BED 的值是（ ）A.35B.34C.23D.57 【答案】 A【解析】 ∵△DEF 是△AEF 翻折而成，∴△DEF ≌△AEF ，∠A=∠EDF ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠EDF=45°，由三角形外角性质得∠CDF+45°=∠BED+45°，∴∠BED=∠CDF ，设CD=1，CF=x ，则CA=CB=2，∴DF=FA=2﹣x ，∴在Rt △CDF 中，由勾股定理得，CF 2+CD 2=DF 2，即x 2+1=（2﹣x ）2，解得x=34，∴sin ∠BED=sin ∠CDF=35CFDF =．3、 如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sinα－cosα＝（）A.513B.513-C.713 D.713-【答案】 D【解析】 ∵小正方形面积为49，大正方形面积为169，∴小正方形的边长是7，大正方形的边长是13，在Rt △ABC 中，AC 2＋BC 2＝AB 2，即AC 2＋（7＋AC ）2＝132，整理得，AC 2＋7AC －60＝0，解得AC ＝5，AC ＝－12（舍去），∴2212BC AB AC =-=，∴5sin 13AC AB α==，12cos 13BC AB α==，∴5127sin cos 131313αα-=-=-．4、 如图，将一副三角板按图中方式叠放，4BC =，那么BD =__________【答案】 26【解析】 该题考查的是三角形的性质．根据题得，90CAB ABD ∠=∠=︒，45C ABC ∠=∠=︒，30D ∠=︒，∵4BC =，∴2222AB BC ==， ∴326BD AB ==． 5、 在△ABC 中，∠C=90°，cosA=35，则tanA 等于_________．【答案】 43【解析】 ∵cosA=35知，设b=3x ，则c=5x ，根据a 2+b 2=c 2得a=4x ．∴tanA=a b =4x 3x =43． 6、 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 在边AC 上，DE ⊥AB 于点E ，连CE ．（1）如图1，已知AC ＝BC ，AD ＝2CD ，①△ADE 与△ABC 面积之比；②求tan ∠ECB 的值；（2）如图2，已知BC AD k AC DC==，求tan ∠ECB 的值（用含k 的代数式表示）． 【答案】 （1）①29；②2 （2）3221tan k k ECB k++∠= 【解析】 （1）①作EH ⊥AD 于H ，如图1，设CD ＝x ，则AD ＝2x ，AC ＝BC ＝3x ，∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∴△ACB 为等腰直角三角形，∴∠A ＝45°，而DE ⊥AB ，∴△ADE 为等腰直角三角形，∴AH ＝HD ＝HE ＝x ，∴2122ADE S x x x ==△， ∵2193322ACB S x x x ==△， ∴222992ADE ACB S x S x ==△△； ②在Rt △CHE 中，2tan 2CH x HEC HE x∠===， ∵HE ∥BC ，∴∠BCE ＝∠HEC ，∴tan ∠ECB ＝2；（2）作EH ⊥AD 于H ，如图2，设CD ＝a ，∵BC AD k AC DC==， ∴AD ＝ak ，BC ＝kAC ，∴AC ＝（k ＋1）a ，∴BC ＝（k 2＋k ）a ， ∴222222(1)()(1)1AB k a k k a k k a =+++=++，∵DE ⊥AE ，∴∠AED ＝90°，∵∠DAE ＝∠BAC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AE AB AC =，即2(1)(1)1ak AE k a k k a =+++，解得21ak AE k =+， ∵HE ∥BC ，∴△AHE ∽△ACB ，∴AH HE AE AC BC AB==，即2221(1)()(1)1akAH HE k k a k k a k k a +==++++， ∴21ak AH k =+，221k a HE k =+， ∴32221(1)11ak k k CH AC AH k a a k k ++=-=+-=++， ∴32322222111tan 1k k a CH k k k HEC k a HE k k +++++∠===+， ∵HE ∥BC ，∴∠BCE ＝∠HEC ，∴3221tan k k ECB k ++∠=．7、 如图，某无人机于空中A 处探测到目标B ，D ，从无人机A 上看目标B ，D 的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续飞行30m 到达A′处，（1）求A ，B 之间的距离；（2）求从无人机A′上看目标D 的俯角的正切值．【答案】 (1)120（m ）；(2) ．【解析】 （1）由题意得：△ABD=30°，△ADC=60°，在Rt△ABC 中，AC=60m ，△AB===120（m ）；（2）过A′作A′E△BC交BC的延长线于E，连接A′D，则A′E=AC=60，CE=AA′=30，在Rt△ABC中，AC=60m，△ADC=60°，△DC=AC=20，△DE=50，△tan△AA′D=tan△A′DC===．答：从无人机A′上看目标D的俯角的正切值是．8、如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB的高度约为（）（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）A.30.6B.32.1C.37.9D.39.4【答案】D【解析】延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，如图所示：则GH=DE=15米，EG=DH，∵梯坎坡度i=1：，∴BH：CH=1：，设BH=x米，则CH=x米，在Rt△BCH中，BC=12米，由勾股定理得：x2+（x）2=122，解得：x=6，∴BH=6米，CH=6米，∴BG=GH﹣BH=15﹣6=9（米），EG=DH=CH+CD=6+20（米），∵∠α=45°，∴∠EAG=90°﹣45°=45°，∴△AEG是等腰直角三角形，∴AG=EG=6+20（米），∴AB=AG+BG=6+20+9≈39.4（米）；9、在某飞机场东西方向的地面l上有一长为1km的飞机跑道MN（如图），在跑道MN的正西端14.5千米处有一观察站A．某时刻测得一架匀速直线降落的飞机位于点A的北偏西30°，且与点A相距15千米的B处；经过1分钟，又测得该飞机位于点A 的北偏东60°，且与点A 相距53千米的C 处． （1）该飞机航行的速度是多少千米/小时？（结果保留根号）（2）如果该飞机不改变航向继续航行，那么飞机能否降落在跑道MN 之间？请说明理由．【答案】 （1）6003（2）可以落在跑道MN 之间，理由见解析【解析】 （1）由题意，得∠BAC=90°，∴BC=()221553+=103，∴飞机航行的速度为：103×60=6003（km/h ）；（2）能；作CE ⊥l 于点E ，设直线BC 交l 于点F ．在Rt △ABC 中，AC=53，BC=103，∴∠ABC=30°，即∠BCA=60°，又∵∠CAE=30°，∠ACE=∠FCE=60°，∴CE=AC•sin ∠CAE=532，AE=AC•cos ∠CAE=152．则AF=2AE=15（km ），∴AN=AM+MN=14.5+1=15.5km ，∵AM ＜AF ＜AN ，∴飞机不改变航向继续航行，可以落在跑道MN 之间．。

直角三角形的边角关系知识点复习考点一、锐角三角函数的概念如图，在△ABC 中，∠C=90°正弦：_____sin =∠=斜边的对边A A 余弦：____cos =∠=斜边的邻边A A 正切：_____tan =∠∠=的邻边的对边A A A三角函数 30°45°60°sin α cos α tan α考点三、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) ； （2）平方关系：1cos sin 22=+A A （3）倒数关系：tanA •tan(90°—A)=1 （4）商的关系：tanA=AAcos sin 考点四、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，(1) 正弦值随着角度的增大而_______；(2) 余弦值随着角度的增大而_______；(3) 正切值随着角度的增大而___________； 考点五、解直角三角形 1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

2、解直角三角形的理论依据在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c （1）三边之间的关系：______________________（勾股定理） （2）锐角之间的关系：______________________（3）边角之间的关系：正弦sinA=___________，余弦cosA=____________，正切tanA=______________ (4) 面积公式：c ch ab s 2121==（h c 为c 边上的高） 考点六、解直角三角形应用1、将实际问题转化到直角三角形中，用锐角三角函数、代数和几何知识综合求解2、仰角、俯角、坡面 知识点及应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。

图 1图 3图4新北师大版九年级数学下册知识点总结第一章 直角三角形边的关系一．锐角三角函数 1.正切：叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ;①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”；④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切；⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。

2.正弦．．： 定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin ;3.余弦：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A ∠=cos ;锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。

二．特殊角的三角函数值 三．三角函数的计算1. 仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．．2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．．3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。

(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。

4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度．．．．．．．．．．． (或坡比．．)。

用字母i 表示，即A lhi tan == 5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．。

如图3，OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。

北师大版九年级下册数学全册知识点梳理及重点题型巩固练习锐角三角函数—知识讲解【学习目标】1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义；2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值； 3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”. 【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边．锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A aA c∠==的对边斜边；锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A bA c ∠==的邻边斜边； 锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A aA A b∠==∠的对边的邻边. 同理sin B b B c ∠==的对边斜边；cos B aB c∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边． 要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA ，cosA ，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，， ，不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan ∠AEF ”，不能写成“tanAEF ”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知： 当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA ＞0． 要点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：锐角30°B C a b c45° 160°要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、、的值依次为、、，而、、的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)；②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．要点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【典型例题】类型一、锐角三角函数值的求解策略1．（2016•安顺）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B．C．D．【思路点拨】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．【答案】D．【解析】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，∴△ABC为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D．【总结升华】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数．举一反三：【变式】在RtΔABC中，∠C=90°，若a=3，b=4，则c =，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．【答案】c= 5 ，sinA=35，cosA=45，sinB=45，cosB=35．类型二、特殊角的三角函数值的计算2．求下列各式的值：(1)（2015•茂名校级一模）6tan230°﹣sin60°﹣2sin45°；(2)（2015•乐陵市模拟）sin60°﹣4cos230°+sin45°•tan60°；(3)（2015•宝山区一模）+tan60°﹣．【答案与解析】解：（1）原式==122-．(2) 原式=×﹣4×（）2+×=﹣3+63；Ca bc(3) 原式=+﹣=2+﹣=3﹣2+2=322．【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，再进行化简．举一反三：【变式】在RtΔABC中，∠C=90°，若∠A=45°，则∠B=，sinA=，cosA=，sinB=，cosB=．【答案】∠B=45°，sinA=22，cosA=22，sinB=22，cosB=22．类型三、锐角三角函数之间的关系3．（2015•河北模拟）已知△ABC中的∠A与∠B满足（1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0（1）试判断△ABC的形状．（2）求（1+sinA）2﹣2﹣（3+tanC）0的值．【答案与解析】解：（1）∵|1﹣tanA）2+|sinB﹣|=0，∴tanA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴△ABC是锐角三角形；（2）∵∠A=45°，∠B=60°，∠C=180°﹣45°﹣60°=75°，∴原式=（1+）2﹣2﹣1=．【总结升华】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用4．如图所示，AB是⊙O的直径，且AB＝10，CD是⊙O的弦，AD与BC相交于点P，若弦CD ＝6，试求cos ∠APC 的值．【答案与解析】连结AC ，∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ACP ＝90°， 又∵ ∠B ＝∠D ，∠PAB ＝∠PCD ，∴ △PCD ∽△PAB ，∴PC CDPA AB=． 又∵ CD ＝6，AB ＝10， ∴ 在Rt △PAC 中，63cos 105PC CD APC PA AB ∠====． 【总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个比值无法直接求解，可结合相似三角形的性质，利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值．锐角的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结AC ，由AB 是⊙O 的直径得∠ACB ＝90°，cos PC APC PA ∠=，PC 、PA 均为未知，而已知CD ＝6，AB ＝10，可考虑利用△PCD ∽△PAB 得PC CDPA AB=．5．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图1①，在△ABC 中，AB ＝AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sadA BCAB==底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad60°＝________．(2)对于0＜A ＜180°，∠A 的正对值sadA 的取值范围是_______．(3)如图1②，已知sinA ＝35，其中∠A 为锐角，试求sadA 的值．【答案与解析】(1)1； (2)0＜sadA ＜2；(3)如图2所示，延长AC 到D ，使AD ＝AB ，连接BD ．设AD＝AB＝5a，由3sin5BCAAB==得BC＝3a，∴22(5)(3)4AC a a a=-=，∴CD＝5a-4a＝a，22(3)10BD a a a=+=，∴10 sadA5BDAD==．【总结升华】(1)将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等，故sadA＝1；(2)在图①中设想AB＝AC的长固定，并固定AB让AC绕点A旋转，当∠A接近0°时，BC接近0，则sadA接近0但永远不会等于0，故sadA＞0，当∠A接近180°时，BC接近2AB，则sadA接近2但小于2，故sadA ＜2；(3)将∠A放到等腰三角形中，如图2所示，根据定义可求解．北师大版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习锐角三角函数—巩固练习【巩固练习】一、选择题1. （2016•乐山）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是（）A．B．C．D．2.（2015•山西）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）A．2 B．C．D．3. 已知锐角α满足sin25°＝cosα，则α＝( )A．25°B．55°C．65°D．75°4．如图所示，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC 的余弦值为( )A．12B．34C3D．45第4题第5题5．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是( )A．5714B．35C．217D．21146．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值( ) A．扩大2倍B．缩小2倍C．扩大4倍D．不变7．如图所示是教学用具直角三角板，边AC＝30cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝33，则边BC的长为( )A．303cm B．203cm C．103cm D．53cm第7题第8题8. 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若AC＝5，BC＝2，则sin∠ACD 的值为( )A．53B．253C．52D．23二、填空题9．（2016•临夏州）如图，点A（3，t）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值是．10. 用不等号连接下面的式子．(1)cos50°________cos20°(2)tan18°________tan21°11．在△ABC中，若223sin cos022A B⎛⎫+-=⎪⎪⎝⎭，∠A、∠B都是锐角，则∠C的度数为.12．如图所示，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA＝________．13．已知：正方形ABCD的边长为2，点P是直线CD上一点，若DP＝1，则tan∠BPC的值是________．第12题第15题14．如果方程2430x x-+=的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC的最小角为A，那么tanA的值为________．15．如图所示，△ABC的内心在y轴上，点C的坐标为(2，0)，点B的坐标是(0，2)，直线AC的解析式为112y x=-，则tanA的值是________．16.（2014•高港区二模）若α为锐角，且，则m的取值范围是．三、解答题17．如图所示，△ABC中，D为AB的中点，DC⊥AC，且∠BCD＝30°，求∠CDA的正弦值、余弦值和正切值．18. 计算下列各式的值．(1) （2015•普陀区一模）；(2) （2015•常州模拟）sin45°+tan45°﹣2cos60°．(3) （2015•奉贤区一模）﹣cos60°．19．如图所示，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．(1)求证：AB＝DF；(2)若AD＝10，AB＝6，求tan∠EDF的值．20. 如图所示，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为23A为弦BC所对优弧上任意一点(B、C两点除外)．(1)求∠BAC的度数；(2)求△ABC面积的最大值．(参考数据：3sin60=°，3cos30=°，3tan30=°．【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C.【解析】在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，sinB=，∵AD ⊥BC ， ∴sinB=，sinB=sin ∠DAC=，综上，只有C 不正确 故选：C ． 2.【答案】D ；【解析】如图：由勾股定理得，AC=，AB=2，BC=，∴△ABC 为直角三角形，∴tan∠B==，故选：D ．3. 【答案】C ；【解析】由互余角的三角函数关系，cos sin(90)αα=-°，∴ sin25°-sin(90°-α)， 即90°-α＝25°，∴ α＝65°．4.【答案】C ；【解析】设⊙A 交x 轴于另一点D ，连接CD ，根据已知可以得到OC ＝5，CD ＝10，∴ 2210553OD =-=，∵ ∠OBC ＝∠ODC ， ∴ 533cos OB cos 102OD C ODC CD ∠=∠===．5.【答案】D ；【解析】如图所示，过点C 作CD ⊥AB 于D ，∵ ∠BAC ＝120°，∴ ∠CAD ＝60°， 又∵ AC ＝2，∴ AD ＝1，CD ＝3， ∴ BD ＝BA+AD ＝5，在Rt △BCD 中，222827BC BD CD =+==，∴ 321sin 1427CD B BC ===．6.【答案】D ；【解析】根据锐角三角函数的定义，锐角三角函数值等于相应边的比，与边的长度无关，而只与边的比值或角的大小有关．7.【答案】C ；【解析】由3tan 3BC BAC AC ∠==，∴ 333010333BC AC ==⨯=8. 【答案】A ； 【解析】 ∵ 223AB AC BC =+=，∴ 5sin sin 3AC ACD B AB ∠=∠==二、填空题 9.【答案】．【解析】过点A 作AB ⊥x 轴于B ， ∵点A （3，t ）在第一象限， ∴AB=t ，OB=3， 又∵tanα===，∴t=． 故答案为：．10.【答案】(1)＜； (2)＜；【解析】当α为锐角时，其余弦值随角度的增大而减小，∴ cos50°＜cos20°；当α为锐角时，其正切值随角度的增大而增大，∴ tan18°＜tan21°．11．【答案】105°；【解析】∵ 223sin cos 022A B ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴ 2sin 02A -=3cos 0B = 即2sin A =3cos B =．又∵ ∠A 、∠B 均为锐角，∴ ∠A ＝45°，∠B ＝30°，在△ABC 中，∠A+∠B+∠C ＝180°，∴ ∠C ＝105°． 12．5【解析】假设每一个小正方形的边长为1，利用网格，从C 点向AB 所在直线作垂线CH ．垂足为H ，则∠A在直角△ACH中，利用勾股定理得224225AC +=，∴5sin 525CH A AC ===13．【答案】2或23【解析】此题为无图题，应根据题意画出图形，如图所示，由于点P 是直线CD 上一点，所以点P既可以在边CD 上，也可以在CD 的延长线上，当P 在边CD 上时，tan 2BC BPC PC ∠==；当P 在CD 延长线上时，2tan 3BC BPC PC ∠==．14．【答案】13或24； 【解析】由2430x x -+=得11x =，23x =，①当3为直角边时，最小角A 的正切值为1tan 3A =；②当3为斜边时，另一直角边为223122-=，∴ 最小角A 的正切值为12tan 422A ==. 故应填13或24．15．【答案】13；【解析】由△ABC 的内心在y 轴上可知OB 是∠ABC 的角平分线，则∠OBA ＝45°，易求AB 与x 轴的交点为(-2，0)，所以直线AB 的解析式为：2y x =+，联立2112y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩可求A 点的坐标为(-6，-4)， ∴ 2262AB AD BD =+=，又OC ＝OB ＝2，∴ BC ＝22．在Rt △ABC 中，221tan 362BC A AB ===．16.【答案】 ； 【解析】∵0＜cosα＜1，∴0＜＜1，解得.三、解答题17.【答案与解析】过D作DE∥AC，交BC于点E．∵AD＝BD，∴CE＝EB，∴AC＝2DE．又∵DC⊥AC，DE∥AC，∴DC⊥DE，即∠CDE＝90°．又∵∠BCD＝30°，∴EC＝2DE，DC＝3DE．设DE＝k，则CD＝3k，AC＝2k．在Rt△ACD中，227AD AC CD k=+=．∴227sin77AC kCDAAD k∠===，321cos77CD kCDAAD k∠===．223tan33AC kCDACD k∠===．18.【答案与解析】解：（1）原式=4×﹣×+×=1+3．(2) 原式=×+1﹣2×=1+1﹣1=1．(3) 原式=﹣×=﹣231-19.【答案与解析】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC∴∠DAF＝∠AEB又∵AE＝BC，∴AE＝AD又∵∠B=∠DFA＝90°，∴△EAB≌△ADF．∴AB＝DF．(2)解：在Rt△ABE中，22221068BE AE AB--=∵△EAB≌△ADF，∴DF＝AB＝6，AF＝EB＝8，∴EF＝AE-AF＝10-8＝2．∴21 tan63EFEDFDF∠===．20.【答案与解析】(1)连接BO并延长，交⊙O于点D，连接CD．∵BD是直径，∴BD＝4，∠DCB＝90°．在Rt△DBC中，233 sin42BCBDCBD∠===，∴∠BDC＝60°，∴∠BAC＝∠BDC＝60°．(2)因为△ABC的边BC的长不变，所以当BC边上的高最大时，△ABC的面积最大，此时点A应落在优弧BC的中点处．过O作OE⊥BC于点E，延长EO交⊙O于点A，则A为优孤BC的中点．连结AB，AC，则AB＝AC，∠BAE12=∠BAC＝30°．在Rt△ABE中，∵BE3=BAE＝30°，∴33tan303BEAE===°，∴1233332ABCS=⨯=△答：△ABC面积的最大值是33北师大版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习解直角三角形及其应用—知识讲解【学习目标】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.要点二、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC 两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一角一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解. 【典型例题】 类型一、解直角三角形1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，根据下列条件，解这个直角三角形．(1)∠B=60°，a ＝4； (2)a ＝1，3b =． 【答案与解析】(1)∠A ＝90°－∠B ＝90°－60°＝30°．由tan bB a =知，tan 4tan6043b a B ==⨯=°． 由cos a B c =知，48cos cos 60a c B ===°． (2)由tan 3bB a==得∠B ＝60°，∴ ∠A ＝90°-60°＝30°．∵ 222a b c +=，∴ 2242c a b =+==．【总结升华】解直角三角形的两种类型是：(1)已知两边；(2)已知一锐角和一边．解题关键是正确选择边角关系．常用口诀：有弦(斜边)用弦(正弦、余弦)，无弦(斜边)用切(正切)． (1)首先用两锐角互余求锐角∠A ，再利用∠B 的正切、余弦求b 、c 的值；(2)首先用正切求出∠B 的值，再求∠A 的值，然后由正弦或余弦或勾股定理求c 的值．举一反三：【变式】（1）已知∠C=90°，a=23，b=2 ，求∠A 、∠B 和c ；（2）已知sinA=23, c=6 ，求a 和b ； 【答案】（1）c=4；∠A=60°、∠B=30°； （2）a=4；b=252．（2015•湖北）如图，AD 是△ABC 的中线，tanB=，cosC=，AC=．求：（1）BC 的长；（2）sin∠ADC 的值．【答案与解析】解：过点A作AE⊥BC于点E，∵cosC=，∴∠C=45°，在Rt△ACE中，CE=AC•c osC=1，∴AE=CE=1，在Rt△ABE中，tanB=，即=，∴BE=3AE=3，∴BC=BE+CE=4；（2）∵AD是△A BC的中线，∴CD=BC=2，∴DE=CD﹣CE=1，∵AE⊥BC，DE=AE，∴∠ADC=45°，∴sin∠ADC=．【总结升华】正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用．类型二、解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用3．（2016•盐城）已知△ABC中，tanB=，BC=6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：CD=2：1，则△ABC面积的所有可能值为．【思路点拨】分两种情况，根据已知条件确定高AD的长，然后根据三角形面积公式即可求得．【答案】8或24．【解析】解：如图1所示：∵BC=6，BD：CD=2：1，∴BD=4，∵AD⊥BC，tanB=，∴=，∴AD=BD=，∴S△ABC=BC•AD=×6×=8；如图2所示：∵BC=6，BD：CD=2：1，∴BD=12，∵AD⊥BC，tanB=，∴=，∴AD=BD=8，∴S△ABC=BC•A D=×6×8=24；综上，△ABC面积的所有可能值为8或24，故答案为8或24．【总结升华】本题考查了解直角三角形，以及三角函数的定义，三角形面积，分类讨论思想的运用是本题的关键．举一反三：【变式】（2015•河南模拟）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长为多少?【答案与解析】解：作DE⊥AB于E，如图，∵∠C=90°，AC=BC=6，∴△ACB为等腰直角三角形，AB=AC=6，∴∠A=45°，在Rt△ADE中，设AE=x，则DE=x，AD=x，在Rt△BED中，tan∠DBE==，∴BE=5x，∴x+5x=6，解得x=，∴AD=×=2．类型三、解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用4．某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD 的坡度为1:3i =（i ＝1:3是指铅直高度DE 与水平宽度CE 的比)，CD 的长为10 m ，天桥另一斜面AB 的坡角∠ABC ＝45°．(1)写出过街天桥斜面AB 的坡度； (2)求DE 的长；(3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB 斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF ，试计算此改建需占路面的宽度FB 的长(结果精确到.0.01 m)． 【答案与解析】(1)作AG ⊥BC 于G ，DE ⊥BC 于E ，在Rt △AGB 中，∠ABG ＝45°，AG ＝BG ． ∴ AB 的坡度1AGi BG'==． (2)在Rt △DEC 中，∵ 3tan 3DE C EC ∠==，∴ ∠C ＝30°．又∵ CD ＝10 m ．∴ 15m 2DE CD ==． (3)由(1)知AG ＝BG ＝5 m ，在Rt △AFG 中，∠AFG ＝30°，tan AG AFG FG ∠=，即3535FB =+，解得535 3.66(m)FB =-=． 答：改建后需占路面的宽度FB 的长约为3.66 m ．【总结升华】（1）解梯形问题常作出它的两条高，构造直角三角形求解．（2）坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比，它等于坡角的正切值．5．腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C ，利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为30°，底部B 点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D ，利用三角板测得A 点的俯角为60°(如图所示)．若已知CD 为10米，请求出雕塑AB 的高度．(结果精确到0.1米，参考数据3＝1.73)．【答案与解析】过点C作CE⊥AB于E．∵∠D＝90°－60°＝30°，∠ACD＝90°－30°＝60°，∴∠CAD＝180°－30°－60°＝90°．∵CD＝10，∴AC＝12CD＝5．在Rt△ACE中，AE＝AC·sin∠ACE＝5×sin 30°＝52，CE＝AC·cos ∠ACE＝5×cos 30°＝53 2，在Rt△BCE中，∵∠BCE＝45°，∴5553(31)222AB AE BE=+=+=+≈6.8(米)．∴雕塑AB的高度约为6.8米．【总结升华】此题将实际问题抽象成数学问题是解题关键，从实际操作（用三角形板测得仰角、俯角）过程中，提供作辅助线的方法，同时对仰角、俯角等概念不能模糊．北师大版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习解直角三角形及其应用--巩固练习【巩固练习】一、选择题1.在△ABC中，∠C＝90°，4sin5A=，则tan B＝( )．A．43B．34C．35D．452．（2016•绍兴）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB 于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（）A ．B ．C ．D ．3．河堤、横断面如图所示，堤高BC ＝5米，迎水坡AB 的坡比是1:3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比)，则AC 的长是( )． A ．53米 B ．10米 C ．15米 D ．103米4．如图所示，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点M 、N 分别为OB 、OC 的中点， 则cos ∠OMN 的值为( )．A ．12 B ．22C ．32D ．1第3题 第4题 第5题5．如图所示，某游乐场一山顶滑梯的高为h ，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l 为 ( )A ．sin h α B ．tan h α C ．cos h αD ．sin h α 6．如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝16 cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连接BD ， 若3cos 5BDC ∠=，则BD 的长是( )． A ．4 cm B ．6 cm C ．8 cm D ．10 cm7．如图所示，一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B 地，再由B 地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C 地，则A 、C 两地相距( )． A ．30海里 B ．40海里 C ．50海里 D ．60海里第6题 第7题 第8题8．如图所示，为了测量河的宽度，王芳同学在河岸边相距200 m 的M 和N 两点分别测定对岸一棵树P 的位置，P 在M 的正北方向，在N 的北偏西30°的方向，则河的宽度是( )．A ．2003mB ．20033m C ．1003m D ．100m 二、填空题9．（2015•揭西县一模）在菱形ABCD 中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE 的值是 ．10．如图所示，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则AGAF的值为________．11．如图所示，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔402海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为________海里(结果保留根号)．12．如图所示，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＞AD，AD＝2，AB＝4，点E在AB上，将△CBE沿CE翻折，使B点与D点重合，则∠BCE的正切值是________．13．如图所示．线段AB、DC分别表示甲、乙两座建筑物的高．AB⊥BC，DC⊥BC，两建筑物间距离BC＝30米，若甲建筑物高AB＝28米，在A点测得D点的仰角α＝45°，则乙建筑物高DC＝__ __米．第12题第13题第14题14.在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图所示)，那么，由此可知，B、C两地相距________m．三、解答题15．如图所示，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为3即AB:BC＝3，且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度(测倾器的高度忽略不计)．16. （2016•包头）如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E．（1）若∠A=60°，求BC的长；（2）若sinA=，求AD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）17．（2015•资阳）北京时间2015年04月25日14时11分，尼泊尔发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作．如图，某探测队在地面A、B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．（结果精确到1米．参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，≈1.7）【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】如图，sin A＝45BCAB=，设BC＝4x．则AB＝5x．根据勾股定理可得AC＝223AC AB BC x=-=，∴33 tan44AC xBBC x===．2.【答案】B．【解析】如图所示：设BC=x，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，∴AC=2BC=2x，AB=BC=x，根据题意得：AD=BC=x，AE=DE=AB=x，作EM⊥AD于M，则AM=AD=x，在Rt △AEM 中，cos ∠EAD===；3.【答案】A ；【解析】由tan BCi A BC===1:3知，353AC BC ==(米)． 4.【答案】B ；【解析】由题意知MN ∥BC ，∠OMN ＝∠OBC ＝45°，∴ 2cos 2OMN ∠=． 5.【答案】A ；【解析】由定义sin h l α=，∴ sin h l α=. 6.【答案】D ；【解析】∵ MN 是AB 的中垂线, ∴ BD ＝AD ．又3cos 5DC BDC BD ∠==， 设DC ＝3k ，则BD ＝5k ，∴ AD ＝5k ，AC ＝8k ．∴ 8k ＝16，k ＝2，BD ＝5×2＝10．7.【答案】B ；【解析】 连接AC ，∵ AB ＝BC ＝40海里，∠ABC ＝40°+20°＝60°， ∴ △ABC 为等边三角形，∴ AC ＝AB ＝40海里． 8.【答案】A【解析】依题意PM ⊥MN ，∠MPN ＝∠N ＝30°，tan30°200PM=，2003PM =． 二、填空题 9．【答案】2；【解析】设菱形ABCD 边长为t ，∵BE=2，∴AE=t﹣2，∵cosA=，∴，∴=，∴t=5，∴AE=5﹣2=3， ∴DE==4，∴tan∠DB E===2．故答案为：2．10．【答案】32； 【解析】由已知条件可证△ACE ≌△CBD ．从而得出∠CAE ＝∠BCD ．∴ ∠AFG ＝∠CAE+∠ACD ＝∠BCD+∠ACD ＝60°，在Rt △AFG 中，3sin 602AG AF ==°．11．【答案】40403+；【解析】在Rt△APC中，PC＝AC＝AP·sin∠APC＝2 402402⨯=．在Rt△BPC中，∠BPC＝90°-30°＝60°，BC＝PC·tan∠BPC＝403，所以AB＝AC+BC＝40403+．12．【答案】12；【解析】如图，连接BD，作DF⊥BC于点F，则CE⊥BD，∠BCE＝∠BDF，BF＝AD＝2，DF＝AB＝4，所以21 tan tan42BFBCE BDFDF∠=∠===．13．【答案】58；【解析】α＝45°，∴DE＝AE＝BC＝30，EC＝AB＝28，DE＝DE+EC＝58 14．【答案】200；【解析】由已知∠BAC＝∠C＝30°，∴BC＝AB＝200.三、解答题15.【答案与解析】过点A作AF⊥DE于F，则四边形ABEF为矩形，∴AF＝BE，EF＝AB＝2．设DE＝x，在Rt△CDE中，3tan tan603DE DECE xDCE===∠°．在Rt△ABC中，∵13ABBC=，AB＝2，∴23BC=．在Rt△AFD中，DF＝DE-EF＝x-2．∴23(2) tan tan30DF xAF xDAF-===-∠°∵AF＝BE＝BC+CE．∴33(2)233x x-=+，解得6x=．答：树DE的高度为6米．16.【答案与解析】解：（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=，∴∠E=30°，BE=tan60°•6=6，又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=，∠E=30°，∴CE==8，∴BC=BE﹣CE=6﹣8；（2））∵∠ABE=90°，AB=6，sinA==，∴设BE=4x，则AE=5x，得AB=3x，∴3x=6，得x=2，∴BE=8，AE=10，∴tanE====，解得，DE=，∴AD=AE﹣DE=10﹣=，即AD的长是．17.【答案与解析】解：作CD⊥AB交AB延长线于D，设CD=x 米．Rt△ADC中，∠DAC=25°，所以tan25°==0.5，所以AD==2x．Rt△BDC中，∠DBC=60°，由tan 60°==，解得：x≈3米．所以生命迹象所在位置C的深度约为3米．北师大版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《锐角三角函数》全章复习与巩固--巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. 计算tan 60°+2sin 45°－2cos 30°的结果是( )．A．2 B3C2D．12．如图所示，△ABC中，AC＝5，2cos B=，3sin5C=，则△ABC的面积是( )A．212B．12 C．14 D．213．如图所示，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC B''，则tan B'的值为( )A．12B．13C．14D．24第2题图第3题图第4题图4．如图所示，小明要测量河内小岛B到河边公路l的距离，在A点测得∠BAD＝30°，在C点测得∠BCD＝60°，又测得AC＝50米，那么小岛B到公路l的距离为( )．A．25米B．253米C．10033米D．25253+米5．如图所示，将圆桶中的水倒入一个直径为40 cm，高为55 cm的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为45°．要使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为( )．A．10 cm B．20 cm C．30 cm D．35 cm6．如图所示，已知坡面的坡度13i=:，则坡角α为( )．A．15°B．20°C．30°D．45°第5题图第6题图第7题图7．如图所示，在高为2 m，坡角为30°的楼梯上铺地毯，则地毯的长度至少应为( )．A．4 m B．6 m C．42m D．(223)m+8．（2016•绵阳）如图，△ABC中AB=AC=4，∠C=72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为（）A．B．C．D．二、填空题9．如图，若AC、BD的延长线交于点E，5 11CD AB =，则cos CEB∠= ；tan CEB∠= ．10．如图，AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，则AD的长为；CD的长为.A BCDEO第9题图 第10题图 第11题图11．如图所示，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α=________．12．如果方程2430x x -+=的两个根分别是Rt △ABC 的两条边，△ABC 最小的角为A ，那么tanA 的值为__ ______．13.（2015•荆州）如图，小明在一块平地上测山高，先在B 处测得山顶A 的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C 处，再测得山顶A 的仰角为45°，那么山高AD 为 米（结果保留整数，测角仪忽略不计，≈1.414，，1.732）14. 在△ABC 中，AB ＝8，∠ABC ＝30°，AC ＝5，则BC ＝____ ____．15. 如图，直径为10的⊙A 经过点C (0,5)和点O (0,0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点,则∠OBC 的余弦值为 .第15题图16. （2016•临沂）一般地，当α、β为任意角时，sin （α+β）与sin （α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin （α+β）=sinα•cosβ+c osα•sinβ；sin （α﹣β）=sinα•cosβ﹣cosα•sinβ．例如sin90°=sin（60°+30°）=sin60°•cos30°+cos60°•sin30°=×+×=1．类似地，可以求得sin15°的值是 ．三、解答题17．如图所示，以线段AB 为直径的⊙O 交线段AC 于点E ，点M 是AE 的中点，OM 交AC 于点D ， ∠BOE ＝60°，cos C ＝12，BC ＝23 (1)求∠A 的度数；(2)求证：BC 是⊙O 的切线；(3)求MD 的长度．18. （2015•湖州模拟）如图，坡面CD的坡比为，坡顶的平地BC上有一棵小树AB，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得小树的在坡顶平地上的树影BC=3米，斜坡上的树影CD=米，则小树AB的高是多少米？19．如图所示，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC:CA＝4:3，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．(1)求证：AC·CD＝PC·BC；(2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；(3)当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．20. 如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ＝x，QR＝y．(1)求点D到BC的距离DH的长；(2)求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；(3)是否存在点P，使△PQR为等腰三角形?若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．。

图 1图 3图4新北师大版九年级数学下册知识点总结第一章 直角三角形边的关系一．锐角三角函数 1.正切：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ， 即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ;①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”；④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切；⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。

2.正弦．．： 定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin ;3.余弦：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A ∠=cos ;锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。

二．特殊角的三角函数值三．三角函数的计算1. 仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．．2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．．3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。

(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。

4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度．．．．．．．．．．． (或坡比．．)。

用字母i 表示，即A lhi tan ==5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．。

如图3，OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。

九年级下册第一章 直角三角形的边角关系【知识要点】一、锐角三角函数：正切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即b A atan =; 正弦．．：．在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即ca sin =A ; 余弦：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cA bcos =; 余切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即cA b cot =; 注：（1）sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形). （2）sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A,习惯省去“∠”号； （3）sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位. （4）sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A 的大小有关,而与直角三角形的边长无关. （5）角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等. 1、三角函数和角的关系tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。

sinA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，sinA 的值越大。

cosA 的值越小，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，cosA 的值越大。

2、三角函数之间的关系 （1）互为余角的函数之间的关系0º 30 º 45 º 60 º 90 º若∠A 为锐角，则①)90cos(sin A A ∠-︒=；)90sin(cos A A ∠-︒=②)90cot(tan A A ∠-︒=；)90tan(cot A A ∠-︒=（2）同角的三角函数的关系 1)平方关系：sinA 2＋cosA 2＝1 2)倒数关系：tanA ·cotA ＝13)商的关系：tanA ＝A o A s c sin ，cotA ＝A Asin cos二、解直角三角形：※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。

北师大版九年级下册第一章-三角函数一二节基本知识题型总结知识点1：锐角三角函数1. 梯子（长度不变）跟地面所成的角为锐角A ，关于∠A 的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（ ） A 、sinA 的值越大，梯子越陡 B 、cosA 的值越大，梯子越陡 C 、tanA 的值越小，梯子越陡 D 、陡缓程度与∠A 的函数值无关2. 在Rt △ABC 中，若∠C=90°，BC=5，AC=12，AB=13，则tanA=（ ） A 、125 B 、512 C 、135 D 、13123.在Rt △ABC 中，若∠C=90°，AC=4，AB=5，则tanB=（ ） A 、34 B 、43 C 、53 D 、544. 在Rt △ABC 中，若∠C=90°，AC=4，tanA=32，则BC=（ ）A 、23B 、32C 、38D 、835. 在Rt △ABC 中，若∠A=90°，如果把这个直角三角形的各边长都扩大3倍，那么所得的 直角三角形中，∠B 的正切值 （ ）A 、扩大3倍B 、缩小为原来的C 、扩大6倍D 、大小不变6. 某河堤横断面如图所示，堤高BC=6m ，迎水坡AB 的坡度为1：3，则AB 的长为（ ） A 、12m B 、34m C 、35m D 、36m第5题图 第6题图 第7题图 第8题图7. 如图，传送带和地面所成的斜坡AB 的坡比为1：2，物体沿传送带上升到点B 时，距离地面的高度为3米，那么斜坡AB 的长度为（ ）A 、35米B 、53米C 、54米D 、6米8. 如图，在Rt △ABC 中，若∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的中线，已知CD=5，AC=6，则tan ∠B=（ ） A 、34 B 、43 C 、53 D 、549. 如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长都是1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上，则tanA=（ ） A 、55 B 、510 C 、2 D 、2110. 如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则sin ∠BAC=______；11. 网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC 每个顶点都在网格的交点处，则sinA= ．12. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，若sinA=53，则cosB=（ ）A 、34B 、43C 、53D 、5413. 在Rt △ABC 中，若∠C=90°，若21sinA ，则sinB 的值为_______；14. 在Rt △ABC 中，若∠C=90°，BC=8，tanA=34，则△ABC 的面积=______；15. 如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，如果AC=26，BC=42，tanC=512，求边AB 的长和∠BAD 的正切值；16 如图，在Rt △ABC 中，若∠ACB=90°，AB=10，BC=6，CD ⊥AB 于D ，求sin ∠BCD ；知识点2：30、45、60三角函数值1．sin60°的值为( ) A.12 B.22 C.32 D. 32．计算sin245°＋cos30°·tan60°，其结果是( ) A ．2 B ．1 C.52 D.54 3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若∠B ＝2∠A ，则tanA 等于( )A. 3B.33C.32D.124．已知∠α为锐角，且tan(α－10°)＝3，则∠α等于( ) A ．50° B ．60° C ．70° D ．80°5.在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，且 sin A ＝21，cos B ＝22，则△ABC 三个角的大小关系是（ ）A ．∠C ＞∠A ＞∠B B ．∠B ＞∠C ＞∠A C ．∠A ＞∠B ＞∠CD ．∠C ＞∠B ＞∠A6．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝2，则tan2B= ____________ ． BACDACB D7．若a 为锐角，且sin a=22,则cos a=________ ． 8.在Rt △ABC 中，已知∠B ＝90°，AB ＝3BC ，则∠C 等于()A.45°B.30°C.60°D.50° 9. 计算：2cos30°－tan45°－（1－tan60°）2； 10. (1)2sin30∘+3tan30∘+cos45∘tan60∘(2)cos 245∘+cos30∘⋅tan45∘+sin 260∘．11.△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA =12，cosB =√32，则△ABC 的形状是（ ）A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定12.在△ABC 中，若cosA =√22，tanB =√3，则这个三角形一定是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形D.等腰三角形13. 在△ABC 中，若sinA ＝cosB ＝22，则下列结论最确切的是() A.△ABC 是直角三角形 B.△ABC 是等腰三角形 C.△ABC 是等腰直角三角形 D.△ABC 是锐角三角形14．在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，如果sinA ＝12，cosB ＝22，那么∠C ＝________°． 15．[2017·杨浦区一模] 已知α是锐角，tan α＝2cos30°，那么α＝________°.16．如图1－2－6，在△ABC 中，∠A ＝30°，tanB ＝13，BC ＝10，则AB 的长为________．17．如图1－2－1，小明爬一土坡，他从A 处到B 处所走的直线距离AB ＝4 m ，此时，他距离地面的高度h ＝2 m ，则这个土坡的坡角∠A 的度数为( )A．30°B．45°C．60°D．以上都不对18．[2017·云南模拟] 如图1－2－3，测量河宽AB(假设河的两岸平行)，在C点测得∠ACB＝30°，在D点测得∠ADB＝60°，又CD＝100 m，则河宽AB为________m(结果保留根号)．19．长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为()A．2 3 m B．2 6 mC．(2 3－2)m D．(2 6－2)m20.如图,某大楼的顶部树有一块广告牌CD,小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为600．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为450，已知山坡AB的坡度3i，AB=10米,AE=15:1=米．（3=i是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）:1（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求广告牌CD的高度．21.如右图在某建筑物AC上，挂着“和谐广东”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测的仰角为，条幅方向前行20米到达点E处，看到条幅顶端B，测的仰角为，求宣传条幅再往BC的长，（小明的身高不计，结果精确到0.1米）。

图1九年级数学下册知识点归纳第一章 直角三角形边的关系一．锐角三角函数 1.正切：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ， 即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ;①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”；④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切；⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。

2.正弦．．： 定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin ;3.余弦：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A ∠=cos ;锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。

二．特殊角的三角函数值三．三角函数的计算1. 仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．．2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．．3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。

(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。

4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度．．．．．．．．．．． (或坡比．．)。

用字母i 表示，即A lhi tan ==5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．。

如图3，OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。

最新新北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系知识点整理复习考点一、锐角三角函数的概念如图，在△ABC 中，∠C=90°正弦：_____sin =∠=斜边的对边A A 余弦：____cos =∠=斜边的邻边A A 正切：_____tan =∠∠=的邻边的对边A A A考点二、一些特殊角的三角函数值三角函数 30°45°60°sin α cos α tan α考点三、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) ；（2）平方关系：1cos sin 22=+A A （3）倒数关系：tanA ∙tan(90°—A)=1（4）商的关系：tanA=AAcos sin 考点四、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，(1) 正弦值随着角度的增大而_______；(2) 余弦值随着角度的增大而_______；(3) 正切值随着角度的增大而___________；考点五、解直角三角形 1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形.2、解直角三角形的理论依据在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c （1）三边之间的关系：______________________（勾股定理）（2）锐角之间的关系：______________________（3）边角之间的关系：正弦sinA=___________，余弦cosA=____________，正切tanA=______________(4) 面积公式：c ch ab s 2121==（h c 为c 边上的高）考点六、解直角三角形应用1、将实际问题转化到直角三角形中，用锐角三角函数、代数和几何知识综合求解2、仰角、俯角、坡面 知识点及应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角.(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做_______(或________).用字母i 表示，即hi l=.坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等. 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做________)，那么tan hi lα==.解直角三角形的类型与解法 已知、解法 三角 类型已 知 条 件解 法 步 骤Rt △ABC B ca Ab C 两 边 两直角边（如a ，b ）由tan A ＝错误!，求∠A ；∠B ＝90°－A ，c ＝22b a +斜边，一直角边（如c ，a ）由Sin A ＝错误!，求∠A ；∠B ＝90°－A ，b ＝22a -c一 边 一 角一角边和 一锐角锐角，邻边 （如∠A ，b ） ∠B ＝90°－A ，a ＝b ·Sin A ，c ＝错误!cosA锐角，对边 （如∠A ，a ）∠B ＝90°－A ，b ＝错误!，c ＝错误!斜边，锐角（如c ，∠A ）∠B ＝90°－A ，a ＝c ·Sin A ， b ＝c ·cos A计算边的口诀：有斜求对乘正弦;有斜求邻乘余弦;无斜求对乘正切选用关系式口诀：已知斜边求直边，正弦余弦很方便；已知直边求直边，正切函数理当然； 已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要选好； 已知锐角求锐角，互余关系要记好；已知直边求斜边，用除还需正余弦；计算方法要选择，能用乘法不用除.典型例题：1：在Rt △ABC 中，∠C=900. ① 已知sinA=23，则∠A=_______0，sinB=_______，COSB=_______，tanB=________.② 已知sinA=54， 则sinB=_______，COSB=_______，tanB=________.③ 已知sinA=0.6，AB=8，则BC=________. 已知cosA=0.6，AB=10，则AC=_________. 已知tanA=0.6，BC=6，则AC=__________.2：如图，根据图中已知数据，求△ABC 的BC 边上的高和△ABC 的面积.（3近似取1.7）变式1：如图，根据图中已知数据，求AD.(sin25º= 0.4 ，tan25º= 0.5 ，sin55º=0.8 ，tan55º=1.4) 仰角铅垂线水平线视线:i h l=hlαAB C 45º 30º 4cm D变式2：如图，小明想测量塔CD 的高度.他在A 处仰望塔顶，测得仰角为300，再往塔的方向前进100m 至B 处，测得仰角为600，那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计，结果保留根号)精选习题：1.在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的正弦、余弦 （ ） （A ） 都扩大2倍 （B ） 都扩大4倍 （C ） 没有变化 （D ） 都缩小一半2.在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=54，则cosB 的值等于（ ）A ．53 B. 54 C. 43 D. 553.在正方形网格中，ABC △的位置如图所示，则cos B ∠的值为（ ）A ．12 B ．22 C ．32 D ．334.在Rt ∆ABC 中，∠C=90º，∠A=15º，AB 的垂直平分线与AC 相交于M 点，则CM ：MB 等于（ ）（A ）2：3 （B ）3：2 （C ）3：1 （D ）1：3 5.等腰三角形底边与底边上的高的比是3:2，则顶角为 （ ） （A ） 600（B ） 900（C ） 1200（D ） 1500\6.如图，一渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东60O方向，这艘渔船 以28km/时的速度向正东航行，半小时到B 处，在B 处看见灯塔M 在北偏东15O方向，此时，灯塔M 与渔船的距离是（ ） Ａ．27km Ｂ．214km Ｃ．7km Ｄ．14km7、河堤横断面如图所示，堤高BC ＝5米，迎水坡AB 的坡比1：3 （坡比 是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比），则AC 的长是（ ） A ．53米B ．10米C ．15米D ．103米8.在△ABC 中，∠A=30º，tan B=13，BC=10，则AB 的长为 . 9、084sin 45(3)4-︒+-π+-=10、如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇，∠QON=30°．公路PQ 上A 处距离O 点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN 上沿ON 方向以72千米/时的速度行驶时，A 处受噪音影响的时间为( )A ．12秒．B ．16秒．C ．20秒．D ．24秒．11、11、锐角A 满足2 sin(A-150)=3，则∠A= .已知tan B=3，则sin 2B= . 12、某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为52米，则这个破面的坡６ＡＢＭ东ABC 55° 25º 20D ┌度为 .13、如图所示，小明在家里楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶部点B 处的仰角为60°，在点A 处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋 楼之间的距离为30m ，则电梯楼的高BC 为_________________米（保留根号）．14.如图，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分 别在四条直线上，则sin α= ．15.△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AD 是△ABC 的角平分线，若AC=3．则线段AD 的长为_____________． 16、一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F=∠ACB=90°， ∠E=45°，∠A=60°， AC=10，试求CD 的长．17.腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑（如图①）.为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C ，利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为30°，底部B 点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D ，利用三角板测得A 点的俯角为60°（如图②）.若已知CD 为10米，请求出雕塑AB 的高度．（结果精确到0.1米，参考数据3173.=）．18、如图，某天然气公司的主输气管道从A 市的东偏北30°方向直线延伸，测绘员在A 处测得要安装天然气的M 小区在A 市东偏北60°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C 处，测得小区M 位于C 的北偏西60°方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点N ，使到该小区铺设的管道最短，并求AN 的长.19、某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD 的高度．如示意图，由距CD 一定距离的A 处用仪器观察建筑物顶部D 的仰角为β，在A 和C 之间选一点B ，由B 处用仪器观察建筑物顶部D 的仰角为α．测得A ，B 之间的距离为4米，tan α=1.6，tan β=1.2，试求建筑物CD 的高度．ABCD αA 1l 3l 2l4lACD BEF β α GDCB A② ① 第17题图20．一艘轮船自西向东航行，在A 处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C ，继续向东航行60海里到达B 处，测得小岛C 此时在轮船的东偏北63.5°方向上．之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C 最近？（参考数据：sin21.3°≈925，tan21.3°≈25， sin63.5°≈910， tan63.5°≈2）A BC北东21 如图，在四边形ABCD 中， AB=2，CD=1， ∠A= 60°，C B。

图 1图 3图4新北师大版九年级数学下册知识点总结第一章 直角三角形边的关系一．锐角三角函数 1.正切：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ， 即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ;①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”；④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切；⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。

2.正弦．．： 定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin ;3.余弦：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A ∠=cos ;锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。

二．特殊角的三角函数值三．三角函数的计算1. 仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．．2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．．3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。

(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。

4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度．．．．．．．．．．． (或坡比．．)。

用字母i 表示，即A lhi tan == 5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．。

如图3，OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。

北师大版数学九年级下册知识点总结及例题第一章 直角三角形的边角关系1．正切:在Ｒt △A ＢＣ中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．,记作tanA ，即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ;①ta ｎA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，常省去角的符号“∠”； ②ｔａnA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比;③ta ｎA 不表示“t ａn”乘以“Ａ”；④ｔanA 的值越大,梯子越陡，∠A 越大; ∠Ａ越大,梯子越陡,t ａｎA 的值越大。

例 在Rt △ＡＢＣ中,如果各边长度都扩大为原来的２倍，那么锐角A 的正弦值( ）A.扩大2倍B.缩小2倍C.扩大4倍D.没有变化 2. 正弦．．: 在Rt △ABC 中,锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠Ａ的正弦,记作ｓinA,即斜边的对边A A ∠=sin ;例 在ABC ∆中，若90C ∠=︒,1sin 2A =,2AB =,则ABC ∆的周长为 ３. 余弦：在R ｔ△ABC 中,锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作ｃosA ，即斜边的邻边A A ∠=cos ;例 等腰三角形的底角为3０°，底边长为则腰长为（ )A ．4 ﻩB ．Ｃ.２D.4. 一个锐角的正弦、余弦分别等于它的余角的余弦、正弦。

例△AＢC中,∠A,∠B均为锐角，且有2|tan32sin30B A-+=（）,则△ABC 是( ）A.直角（不等腰)三角形Ｂ.等腰直角三角形C．等腰（不等边)三角形Ｄ.等边三角形５.当从低处观测高处的目标时,视线与水平线所成的锐角称为仰角．．当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．．6．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素,即三条边和二个锐角。

由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

7.在△ABC中,∠Ｃ为直角，∠A、∠Ｂ、∠Ｃ所对的边分别为a、ｂ、ｃ，则有(1)三边之间的关系:a2+ｂ2=c2；(2)两锐角的关系：∠A＋∠B=9０°；(3)边与角之间的关系:,tan,cos,sinbaAcbAcaA===,tan,cos,sinabBcaBcbB===３0º45º60 ºｓinα212223ｃosα232221ｔanα33 13(4)面积公式：chc ab 2121S ==∆(hc 为C 边上的高);例 在△ABC 中,∠C ＝90°，下列式子一定能成立的是( )A ．sin a cB = ﻩB ．cos a b B = ﻩC.tan c a B = ﻩD ．tan a b A =8.解直角三角形的几种基本类型列表如下:例 ABC ∆中，∠C=90°,AC=52，∠A 的角平分线交BC 于D,且AD=1534, 则A tan 的值为A 、1558Ｂ、3 C 、33 D 、31例 已知，四边形A ＢＣＤ中，∠ＡBC = ∠ＡDB =090，AB = 5,ＡD ＝ 3,BC =32，求四边形ＡBC Ｄ的面积S 四边形A ＢCD .图 3图49.如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角．． (或叫做坡比．．)。