第十章 联立方程组模型
第一节 联立方程组模型概述
一、问题的提出
1、单一方程模型存在的条件是单向因果关系。
2、对于变量之间存在的双向因果关系，则需要建立联立方程组模型。
3、经济现象的表现多以系统或体系的形式进行，仅用单一方程来反映存在局限性。
二、联立方程组的概念
1、联立方程组模型的定义。
由一个以上的相互联系的单一方程组成的系统（模型），每一个单一方程中包含了一个过多个相互联系（相互依存）的内生变量。联立方程组表现的是多个变量间互为因果的联立关系。
联立方程组与单一方程的区别是估计联立方程组模型的参数必须考虑联立方程组所能提供的信息（包括联立方程组里方程之间的关联信息），而单一方程模型的参数估计仅考虑被估计方程自身所能提供的信息。
2、联立方程组模型的例子。
（1）一个均衡条件下市场供给与需求的关系。
)
3()2(0)1(012101110s i d i i
i s i i
i d i Q Q u P Q u P Q =>++=<++=βββααα 称（1）式为需求方程，（2）式为供给方程，（3）式为供需均衡式；d i Q 表示需求量，s i Q 表示供给量，i P 表示价格，i i u u 21,分别为（1）式和（2）式的随机误差项。按照经济学基本原理，商品的供给与商品的需求共同作用于价格，反过来，价格也要分别决定商品的供给与需求。这就是方程（1）与方程（2）的作用机制，如果考虑了均衡条件，这又是方程（3）的作用。因此，通过这一联
立方程组将上述商品的供需与价格的相互作用过程得到了反映。
（2）一个凯恩斯宏观经济模型。
011012(4)(5)(6)
t t t
t t t
t t t t C Y u I Y u T C I G ββαα=++=++=++ 式中，C 表示消费，Y 表示国民总收入（又GDP ，实际上它们是有区别的），I 表示私人投资，G 表示政府支出，u1、u2分别为消费函数和投资函数中的随机误差项。
三、联立方程组模型的基本问题（即联立方程组模型的偏倚性）
1、内生解释变量与随机误差项的相关性。
2、直接对联立方程组模型运用OLS 法，所得的参数估计值是有偏的，并且是不一致的。
例如，设凯恩斯收入决定模型为
[]
[]01)(11)1()
0)(())(())())(((),cov(1)(11)1(11)(111)1(101
2
21
111
101
1101
1100110110≠-=-=-==-=--=-=
-∴-+-=-+-+-=-+-+-=∴++=-+++=∴+=<<++=βσβββββββββββββββββββββU E U U E U E U Y E Y E U E U Y E Y E U Y U Y E Y I U E I Y E U I Y U I Y I U Y Y I C Y U Y C t t t
t t t
t t t t t t t
t t t
t t t t
t t t
t t
表明内生变量Y 在作解释变量时与随机误差U 相关。 对凯恩斯模型中的消费函数求参数的估计，有（用离差形式表示）
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑+==++=++===-=-=-=---=2
1221021022221)1()()0)(()()())((ˆy Uy y
Yy y Uy Yy y y y U Y y Cy Y Y y y
y C Cy y y C C Y Y Y Y C C ββββββ求1
ˆβ的数学期望 12
11)()ˆ(βββ≠+=∑∑y Uy E E 在上式中，由于∑≠0)(Uy E ，所以，1ˆβ不是1
β的无偏估计。 再看参数估计的一致性。对1
ˆβ的表达式两端同时求概率极限，得 12121212
12111)lim()lim()lim()ˆlim(βσβσβββββ≠-+=+=+=+=∑∑∑∑∑∑Y n
y n Uy
p y Uy p y Uy p p
表明1ˆβ不是1
β的一致性估计。 下面根据此例用具体的数据（文件名kaiensimx ）加以说明。假定投资I 得数据已知，并且用蒙特卡罗方法生成随机误差U 得数据，再假定 0),cov(04.0)var(),0(0)(,0)(2===≠==-t t t s t t t I U U s U U E U E σ 进一步假定消费函数中得参数真实值已知为8.0,
210==ββ。 （1）由8.0,210==ββ和U 的值，根据1110111ββββ-+-+-=t t t U I Y 计算Y 的数值；（2）由8.0,210==ββ、Y 的数值和U 的数值，根据消费函数计算C 的数值。（3）由于用蒙特卡罗方法生成随机误差U 的数据，则样本误差应正好
是“真实”误差，故求C 对Y 的回归，所得的参数估计就应是8.0ˆ,2ˆ1
0==ββ，与真实值一致。（4）但当Y 与U 相关时，则参数估计的无偏性不再满足。（Gujarati ，计量经济学，第641页）
四、联立方程组模型中的几个概念
1、内生变量。其数值由模型体系所决定的变量称之为内生变量。其特点是：
（1）内生变量受模型体系的影响，反之亦然；（2）内生变量是随机变量。
2、前定变量。包括外生变量和滞后内生变量。
外生变量是指，它取的数值不由模型体系所决定。其特点是：（1）外生变量影响模型体系，反之不成立；（2）外生变量是非随机变量。
外生变量与内生变量的关系是：外生变量能够影响内生变量，但内生变量不能影响外生变量。
举例说明，（1）均衡条件下的供需模型；（2）凯恩斯的宏观经济模型。
1、 结构型模型。根据经济学理论或现实经济活动，对某种经济结构或某种经济主体的行为运用数学关系式进行“直接”描述。其过程可表述为 经济原型→数学模型
为了简单起见，下面直接给出联立方程组模型结构型的矩阵形式
(7)BY X U +Γ=
其中，Y 为内生变量向量，X 为前定变量向量，U 为随机误差向量，B 为内生变量结构参数矩阵，Γ为前定变量结构参数矩阵（向量或矩阵的具体表示见教科书第211页）。
2、 简化型模型。所谓简化型模型是指在联立方程组模型中每一个内生变量只由前定变量和随机误差线性表示，或者说内生变量只是前定变量和随机误差的函数。用矩阵表示的过程如下，假设0B ≠，则
1111(8)
(9)Y B X B U B V B U Y X V
----+Γ=∏=-Γ==∏+令有
称（9）式为模型的简化型。
简化型模型与结构型模型的区别是：结构型模型中的方程左端为内生变量，但右端也可能出现内生变量；简化型模型中的方程左端为内生变量，但右端只有前定变量。
注意：在已知前定变量未来值的情况下，利用（9）式的样本估计式可直接对模型中的内生变量进行预测。
