高等数学第一章函数极限与连续教案

教学内§1.1 函数

教学目的】 理解并掌握函数的概念与性质

教学重点】 函数的概念与性质 教学难点】 函数概念的理解

教学时数】

4 学时

一、组织教学，引入新课 极限是微积分学中最基本、最重要的概念之一，极限的思想与理论，是整个高等数 学的基础，连续、微分、积分等重要概念都归结于极限 . 因此掌握极限的思想与方法是 学好高等数学的前提条件 . 本章将在初等数学的基础上，介绍极限与连续的概念 、讲授新课 （一）、实数概述

1、实数与数轴 1）实数系表 2）实数与数轴关系

x,x 0

1）绝对值的定义： x

x,x 0

x,x 0

2）绝对值的几何意义 3）绝对值的性质

练习：解下列绝对值不等式：① x 5 3 ，② x 1 2 3、区间 （1）区间的定义：区间是实数集的子集 （2）区间的分类：有限区间、无限区间 ① 有限区间：长度有限的区间 设 a 与 b 均为实数，且 a b ，则

（3）实数的性质：

封闭性 有序性 稠密性 连续性

数集｛ x a x b ｝为以 a 、 b 为端点的半开半闭区间，记作 [a ，b ) 数集｛ x a x b ｝为以a 、 b 为端点的半开半闭区间，记作( a ，b ] 区间长度： b a ② 无限区间 数集｛ xa x

｝记作[a ， )， 数集｛xa x

｝记作( a ， ) 数集｛ x x a ｝记作( ，a]， 数集｛ x x a ｝记作(

，a )

实数集 R 记作( ， )

3)邻域

① 邻域：设 a 与 均为实数，且 0 ，则开区间( a ， a )为点 a 的 邻域

记作U(a, ) ，其中点 a 为邻域的中心， 为邻域的半径

② 去心邻域：在的 邻域中去掉点 a 后，称为点 a 的去心邻域，记作 U (a, ) (二) 、函数的概念

1、函数的定义 ：

设有一非空实数集 D ，如果存在一个对应法则 f ，使得对于每一个 x D ，都有一个

惟一的实数 y 与之对应，则称对应法则 f 是定义在 D 上的一个函数. 记作 y f(x)，

其中 x 为自变量， y 为因变量，习惯上 y 称是的函数。

定义域： 使函数 y f ( x )有意义的自变量的全体，即自变量 x 的取值范围 D 函数值：当自变量 x 取定义域 D 内的某一定值 x 0时，按对应法则 f 所得的对应

值 y 0 称 为函数 y f(x)在 x x 0时的函数值，记作 y 0 f(x 0)。

值 域：当自变量 x 取遍 D 中的一切数时，所对应的函数值 y 构成的集合，记

数集｛ x a x b ｝为以 a 、 b 为端点的闭区间，记作 [a ，b ]

数集｛ x a x b ｝为以 a 、 b 为端点的开区间，记作

( a ，b )

作M，即M y y f (x),x D 函数的二要素：定义域、对应法则

2】 判断下列每组的两个函数是否相同

3】求下列函数的定义域：

答：(1) D y ( , 2) ( 2, 2) ( 2,4] ；( 2)函数 f ( x)的定义域是 [0，2]．

2、函数的表示法

分段函数：当自变量在定义域内的不同区间取值时，用不同的表达式表

示的函数

取整函数 y [x] n,n x n 1

7.5,0 x 3

现行出租车的收费标准：

p(x) 7.5 1.5 x 3 ,3 x

其中 x 表示不小于 x 的最小整数

2)列表法：将一系列自变量 x 的数值与对应的函数值 y 列成表格表示函数的方法

3)图形法：用图形表示函数的方法

1.1】

1

设 f(x) x 1 1 ，求(1)

f(x 1)；(2) f f 1x

．

答： 1)

f (x 1) 1 1 (x 1) 1 x

答： 2)

1.2】

f(x)

x1

x x 1 x 1 2x 1 x1

设 f (x 1) x 2 4x 3，求 f(x) ， f 1 x

x 2 2x 6 ， f 1 = 1 2 1

x x

2 (1 2x 6x 2

) ．

2

1) y 2ln x, y ln x ，

2)

x , y x 2 1) f(x) x 21 2 4 x ；

2) f(x)=

1,

0x1

1, 1 x 2

1) 公式法：用数学表达式表示函数的方法

例如： 绝对值函数 y

x,x 0

；

x,x 0

1,x 0

符号函数 y sgn x 0,x 0

1,x 0

说明：三种形式各有其优点和不足，实际问题中往往把三种形式结合起来使用.

3、函数的性质

(1)单调性

定义：设函数y f (x) 的定义域为D，区间I D，若对I 内的任意两点x1,x2 ，当x1 x2时，f(x1) f (x2) ，则称y f(x)在I 上单调增加；若当x1 x2时，有f (x1) f

(x2) ，则称f(x) 在I 上单调减少，区间I 称为单调区间.

说明：讨论函数的单调性必须指明所在的区间。

(2)奇偶性

定义：设函数y f(x)在D 上有定义，若对于任意的x D，都有f( x) f(x)，则称y f (x) 为偶函数；若有f( x) f (x)，则称y f (x) 为奇函数.

性质：奇函数与偶函数的定义域必定关于原点对称。

偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称.

【例4】判断下列函数的奇偶性．

a x a x 1 x

(1) y a a ,(a 0,a 1) ； (2) y ln1 x；

2 1 x

(3) f(x) x42x2；(4) f(x) x31．

答： (1) 偶函数； (2) 奇函数； (3)偶函数； (4)非奇非偶函数．

(3)有界性

定义：设函数的定义域为D，区间I D，若存在一个正数M ，使得对任意的x

I ，恒有f(x) M ，则称函数y=f(x) 在区间I 上有界。若不存在一个正数M ，则称函数y f (x) 在区间I 上无界.

说明：讨论函数的有界性必须指明所在的区间。

例如：y sin x 与y cosx 都在( , )内有界 .

1

y 在( 0， 1)上无界，而在( 1， 2)上有界

x

(4)周期性