高等数学第一章函数极限与连续教案

高二数学函数的极限与连续性的优秀教案范本一、引言在高中数学教学中，函数的极限与连续性是非常重要的内容。

函数的极限是许多数学概念的基础，而函数的连续性则是应用数学的基石。

本教案将重点介绍高二数学中的函数的极限与连续性，并提供一个优秀教案的范本，以供教师参考。

二、教学目标1. 理解函数的极限的定义及其性质；2. 掌握计算函数的极限的基本方法；3. 掌握函数的连续性的概念及其判定方法；4. 能够应用极限与连续性的概念解决实际问题。

三、教学过程1. 知识讲解函数的极限是指自变量无限接近某一数值时，函数的取值趋近于某一数值。

通过用数列逼近的方法，可以得到函数的极限的定义及性质。

函数的连续性是指函数在某一区间内没有突变或间断点，即函数的图像是一条连续的曲线。

可以通过幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质判定函数的连续性。

2. 例题演示通过一些典型的例题，让学生掌握函数极限的计算方法和函数连续性的判定方法。

3. 练习与讨论给学生一些练习题，让他们在课堂上独立思考并与同学讨论解题思路。

同时，教师可以在课堂上进行正确性的讲解和解答学生的疑问。

4. 拓展应用提供一些拓展的应用题，让学生将所学的函数的极限与连续性的知识应用到实际问题中。

例如，通过分析一个物体的运动过程，计算出某一瞬间的速度极限，以及在某一时间段内速度的连续性。

5. 归纳总结对于函数的极限与连续性的知识进行归纳总结，并引导学生总结出函数极限计算和函数连续性判定的一般性方法和规律。

6. 课后作业布置一些课后作业，让学生巩固所学的内容并提高解题能力。

四、教学评价与反思通过课堂讲解、例题演示、学生讨论和课堂练习的方式，教师能够及时发现学生对于函数的极限与连续性的理解程度和掌握情况。

教师可以根据学生的表现评价他们的学习效果，进而调整教学方法和策略。

五、教学拓展教师可以引导学生进一步探究函数的极限与连续性的深层次问题，如函数的间断点、函数的一致连续性等。

同时，可以引导学生应用函数的极限与连续性的知识解决更复杂的实际问题。

高等数学电子教案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义：函数是一种关系，将一个集合（定义域）中的每个元素对应到另一个集合（值域）中的一个元素。

函数的性质：单调性、连续性、奇偶性、周期性等。

1.2 极限的概念极限的定义：当自变量x趋近于某个值a时，函数f(x)趋近于某个值L，称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。

极限的性质：保号性、保不等式性、夹逼定理等。

1.3 极限的计算极限的基本计算方法：代入法、因式分解法、有理化法等。

无穷小与无穷大的概念：无穷小是指绝对值趋近于0的量，无穷大是指绝对值趋近于无穷的量。

1.4 极限的应用函数的连续性：如果函数在某一点的极限值等于该点的函数值，称该函数在这一点连续。

导数的概念：函数在某一点的导数表示函数在该点的切线斜率。

第二章：微积分基本定理2.1 导数的定义与计算导数的定义：函数在某一点的导数表示函数在该点的切线斜率，记作f'(x)。

导数的计算：基本导数公式、导数的四则运算法则等。

2.2 微分的概念与计算微分的定义：微分表示函数在某一点的切线与x轴的交点横坐标的差值，记作df(x)。

微分的计算：微分的基本公式、微分的四则运算法则等。

2.3 积分的概念与计算积分的定义：积分表示函数图像与x轴之间区域的面积，记作∫f(x)dx。

积分的计算：基本积分公式、积分的换元法、分部积分法等。

2.4 微积分基本定理微积分基本定理的定义：微积分基本定理是微分与积分之间的关系，即导数的不定积分是原函数，积分的反函数是原函数的导数。

第三章：微分方程3.1 微分方程的定义与分类微分方程的定义：微分方程是含有未知函数及其导数的等式。

微分方程的分类：常微分方程、偏微分方程等。

3.2 常微分方程的解法常微分方程的解法：分离变量法、积分因子法、变量替换法等。

3.3 微分方程的应用微分方程在物理、工程等领域的应用，例如描述物体运动、电路方程等。

第四章：级数4.1 级数的概念与性质级数的定义：级数是由无穷多个数按照一定的规律相加的序列，记作∑an。

高中数学教案函数的极限与连续性高中数学教案函数的极限与连续性I. 引言函数是数学中重要的概念之一，而对于函数的极限和连续性的理解对于解决数学问题和应用非常重要。

本教案将重点介绍函数的极限和连续性的相关概念和性质，并通过具体例子进行讲解和分析。

II. 函数的极限A. 函数极限的定义1. 定义：设函数f(x)在x趋近于a时，无论a的左右两侧，f(x)的值是否趋近于一个确定的常数L，如果是，则称函数f(x)在x=a时存在极限，记作lim(f(x)) = L。

2. 解读：函数的极限表示了函数在某一点的趋势和接近程度。

B. 函数极限的性质1. 唯一性：若lim(f(x))存在，则极限唯一。

2. 局部性：若lim(f(x))存在，则f(x)在x=a的局部邻域内存在。

C. 函数极限的计算方法1. 直接代入法：对于简单的函数表达式，可以直接将x的值代入函数中计算得到极限值。

2. 四则运算法则：对于复杂的函数表达式，可以利用四则运算的性质进行化简，然后再计算极限。

III. 函数的连续性A. 函数连续性的定义1. 定义：设函数f(x)在x=a处有定义，如果lim(f(x)) = f(a)，即函数在x=a的极限等于函数在x=a处的值，则称函数f(x)在x=a处连续。

2. 解读：函数的连续性表示了函数在某一点的连贯和平滑程度。

B. 函数连续性的性质1. 连续函数的运算：连续函数之间通过加、减、乘、除、复合等运算仍然保持连续。

2. 间断点与分段函数：函数在间断点处可能无定义，但函数在间断点两侧的极限值存在且相等。

C. 函数连续性的判定方法1. 函数在闭区间上连续：若函数在闭区间[a, b]上的每一点都连续，则函数在闭区间上连续。

2. 连续函数的性质：若函数f(x)在(a, b)上连续，且在[a, b]的两个端点处的单侧极限存在，则f(x)在[a, b]上连续。

IV. 应用举例A. 极限计算1. 例题1：计算lim(x→2) (3x^2 - 2x + 1)。

数学教学函数的极限与连续性教案在数学教育中，函数的极限与连续性是基础而重要的概念，它们在高中数学和大学数学中都有广泛的应用。

为了帮助学生更好地理解和掌握这些概念，我设计了以下教案，以帮助教师有效地传授这些知识给学生。

**教案一：引入极限与连续性****教学目标：** 在开始学习极限和连续性之前，让学生明白这些概念的重要性和应用领域。

**教学内容：**1. 介绍什么是函数，以及为什么我们需要研究函数的极限与连续性。

2. 举例说明函数的极限和连续性在实际生活中的应用，如物理学、工程学和经济学。

3. 强调函数的极限和连续性对数学建模和问题求解的关键作用。

**教学方法：** 使用图表和实际案例，让学生参与讨论，引发他们对这些概念的兴趣。

**教案二：函数的极限****教学目标：** 引导学生了解函数的极限，掌握计算极限的方法。

**教学内容：**1. 定义函数的极限，包括数学符号和表达。

2. 介绍无穷大极限和无穷小极限的概念。

3. 讨论常见的极限计算规则，如极限的四则运算法则和极限的夹逼法则。

**教学方法：** 提供示例和练习，让学生逐步掌握极限的计算方法。

**教案三：函数的连续性****教学目标：** 帮助学生理解函数的连续性，学会判断和应用连续性。

**教学内容：**1. 解释函数的连续性的定义和数学表达。

2. 讨论连续函数的性质和特点。

3. 引导学生掌握判断函数连续性的方法，如使用极限的性质。

**教学方法：** 通过示例和练习，培养学生对连续性的感觉和判断能力。

**教案四：应用极限与连续性****教学目标：** 帮助学生将极限与连续性应用于实际问题求解。

**教学内容：**1. 展示如何使用极限和连续性解决实际问题，如求导、积分、极值和拐点等数学和科学问题。

2. 提供案例，让学生亲自尝试解决相关问题。

**教学方法：** 引导学生分析问题，运用所学知识解决具体应用场景中的数学难题。

**教案五：综合练习与评估****教学目标：** 让学生综合运用极限与连续性的知识，进行练习和评估。

第一章函数与极限一、教学内容1．函数：常量与变量、函数的定义；2．函数的表示方法：解析法、图示法、表格法；函数的性质：单调性、奇偶性、有界性和周期性；3．初等函数：基本初等函数、反函数、复合函数、初等函数、分段表示的函数，并会建立函数关系；4．极限：数列极限、函数极限、左右极限、极限四则运算法则、两个重要极限、无穷小量、无穷大量、无穷小量的性质；5．连续：连续、间断、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。

二、教学目的1．理解函数的概念及其性质，熟练掌握求函数定义域和函数值的方法；2．掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形；3．了解反函数的概念及互为反函数的函数图象之间的关系；理解复合函数、分段函数的概念；了解初等函数的概念；会建立函数关系；4．了解数列极限与函数极限的概念(描述性定义)；会求左右极限；5．掌握极限四则运算法则；掌握用两个重要极限求极限的方法；能熟练进行极限运算；6．理解无穷小量、无穷大量的概念及相互关系；7．理解函数连续概念；掌握由初等函数的连续性求极限的方法；了解闭区间上连续函数的性质。

三、教学重点1．函数的概念及其性质、基本初等函数、复合函数；2．极限的运算。

3．无穷小量、无穷大量的概念及相互关系；4．函数连续概念、闭区间上连续函数的性质。

四、教学难点1．极限的概念；2．无穷小量、无穷大量的概念及相互关系； 3．函数连续概念。

第一节 函数一、集合 1、集合概念具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。

组成这个集合的事物称为该集合的元素。

表示方法：用A ，B ，C ，D 表示集合；用a ，b ，c ，d 表示集合中的元素1)},,,{321 a a a A = 2)}{P x x A 的性质=元素与集合的关系：A a ∉ A a ∈一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。

常见的数集：N ，Z ，Q ，R ，N + 元素与集合的关系：A 、B 是两个集合，如果集合A 的元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集，记作B A ⊂。

高中数学必修课教案函数的极限与连续的推理与证明高中数学必修课教案：函数的极限与连续的推理与证明导言：函数是数学中一个重要的概念，它可以描述不同变量之间的关系。

在高中数学必修课程中，学生需要学习函数的极限与连续，这是进一步理解函数性质与应用的基础。

本教案将以极限与连续为核心内容，通过推理与证明的方式展示相关知识点。

通过本教案的学习，学生将掌握函数的极限定义、极限的运算规律以及连续函数的特性和证明方法。

一、函数的极限1. 极限的引入极限是描述函数在某一点附近的取值趋势的概念。

通过接近或逼近的方式，我们可以研究函数在某一点的表现。

2. 极限的定义函数f(x)在x=a处的极限为L，表示为lim[x→a] f(x) = L，当且仅当对于任意给定的ε>0，存在δ>0，对于所有满足0<|x-a|<δ的x值，都有|f(x)-L|<ε。

3. 极限的性质（1）极限唯一性：如果函数f(x)在x=a处的极限存在，则极限唯一。

（2）四则运算性质：设lim[x→a] f(x) = A，lim[x→a] g(x) = B，则(i) lim[x→a] [f(x)±g(x)] = A±B(ii) lim[x→a] [f(x)·g(x)] = A·B(iii) lim[x→a] [f(x)/g(x)] = A/B (其中B≠0)4.无穷小与无穷大（1）无穷小：当x趋近于某个数a时，如果f(x)的极限是0，则称f(x)为x→a时的一个无穷小。

（2）无穷大：当x趋近于某个数a时，如果f(x)的极限不存在或者无穷大，则称f(x)为x→a时的一个无穷大。

二、连续函数的定义与性质1. 连续函数的定义函数f(x)在点x=a处连续，表示为f(a)=lim[x→a] f(x)存在且等于f(a)。

2. 连续函数的性质（1）基本初等函数的连续性：多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数及其反函数在其定义域内都是连续函数。

【教学内容】§1.1 函数【教学目的】理解并掌握函数的概念与性质 【教学重点】函数的概念与性质 【教学难点】函数概念的理解 【教学时数】4学时 【教学过程】一、组织教学，引入新课极限是微积分学中最基本、最重要的概念之一，极限的思想与理论，是整个高等数学的基础，连续、微分、积分等重要概念都归结于极限. 因此掌握极限的思想与方法是学好高等数学的前提条件. 本章将在初等数学的基础上，介绍极限与连续的概念。

二、讲授新课 （一）、实数概述 1、实数与数轴 （1）实数系表 （2）实数与数轴关系（3）实数的性质： ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩封闭性有序性稠密性连续性2、实数的绝对值（1）绝对值的定义：,0,0x x x x x ≥⎧=⎨-<⎩（2）绝对值的几何意义 （3）绝对值的性质练习：解下列绝对值不等式：① 53x -<，② 12x +≥ 3、区间（1）区间的定义：区间是实数集的子集 （2）区间的分类：有限区间、无限区间 ① 有限区间：长度有限的区间设a 与b 均为实数，且a b <，则数集{x a x b ≤≤}为以a 、b 为端点的闭区间，记作[a ，b ] 数集{x a x b <<}为以a 、b 为端点的开区间，记作（a ，b ） 数集{x a x b ≤<}为以a 、b 为端点的半开半闭区间，记作[a ，b ） 数集{x a x b <≤}为以a 、b 为端点的半开半闭区间，记作（a ，b ] 区间长度：b a - ② 无限区间数集{x a x ≤<+∞}记作[a ，+∞）， 数集{x a x <<+∞}记作（a ，+∞） 数集{x x a -∞<≤}记作（-∞，a ]， 数集{x x a -∞<<}记作（-∞，a ） 实数集R 记作（-∞，+∞） （3）邻域① 邻域：设a 与δ均为实数，且0δ>，则开区间（a δ-，a δ+）为点a 的δ邻域 记作(,)U a δ，其中点a 为邻域的中心，δ为邻域的半径。

第一章：函数、极限与连续教学目的与要求1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。

2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

4.掌握基本初等函数的性质及其图形。

5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

6.掌握极限的性质及四则运算法则。

7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

所需学时：18学时（包括：6学时讲授与2学时习题）第一节：集合与函数一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。

集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。

比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。

我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。

如果a是集合A 中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a∉A。

⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。

记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。

记作N+或N+。

⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。

记作Z。

⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。

记作Q。

⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。

记作R。

集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。

集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A）。

第一章 函数·极限·连续⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧质闭区间上连续函数的性初等函数的连续性间函数的间断点与连续区函数连续的定义连续两个重要极限极限的四则运算法则无穷大量和无穷小量右极限函数的左定义数列极限与函数极限的极限简单的经济函数模型复合函数与初等函数基本初等函数函数的简单性质义域函数的定义和函数的定函数、（1）理解函数的概念，会求函数的定义域及函数值；理解并掌握函数的简单性质；熟练掌握基本初等函数的表达式、定义域、图形和特性；理解复合函数的概念，会正确分析复合函数的复合过程；理解初等函数的概念；能建立简单实际问题的函数关系式。

（2）理解数列和函数极限的描述性定义；理解函数左、右极限的定义，理解函数极限存在的充分必要条件；理解无穷小量和无穷大量的概念及相互关系，理解与掌握无穷小量的性质，了解无穷小量的比较；熟练掌握极限四则运算法则和两个重要极限，会求极限。

（3）理解函数连续与间断的概念，掌握判断函数连续性的方法；理解函数连续和极限存在之间的关系；会求函数的间断点与连续区间；理解初等函数的连续性，并能利用函数连续性求极限；了解闭区间上连续函数的性质。

1．函数的定义域 2．基本初等函数 3．复合函数4．极限的运算 5．连续的概念1．复合函数 2．极限的概念 3．重要极限 4．连续的概念1.1 函数【教学内容】函数的定义和函数的定义域，函数的简单性质，基本初等函数，复合函数以及初等函数，简单的经济函数模型。

【教学目的】理解函数的概念，会求函数的定义域及函数值；理解并掌握函数的简单性质；熟练掌握基本初等函数的表达式、定义域、图形和特性；理解复合函数的概念，会正确分析复合函数的复合过程；理解初等函数的概念；能建立简单实际问题的函数关系式。

【教学重点】1．函数的定义域；2．基本初等函数的图像与性质；3．复合函数的分解；4．成本函数、收入函数、利润函数。

第1章 函数、极限与连续函数的连续性与间断点【教学目的】：1. 理解函数在一点连续的概念；2. 会求简单函数的间断点；【教学重点】：1. 函数连续、间断的概念；2. 函数在一点处连续的判定方法；3. 函数间断点的分类；【教学难点】：1. 函数在一点处连续的判定方法；2. 分段函数分段点处的连续性判断；3. 函数间断点的分类。

【教学时数】：2学时【教学过程】：1.4.1函数的连续性的概念1、函数的增量2、函数的连续性定义 1 设函数)(x f y =在点0x 及其附近有定义，且0lim 0=∆→∆y x ，则称函数)(x f 在点0x 连续，0x 称为函数)(x f y =的连续点．连续的另一等价定义是：定义2 设函数()x f y =在点0x 及其附近有定义，如果函数()x f 当0x x →时的极限存在，且等于它在点0x 处的函数值()0x f ，即()()00lim x f x f x x =→，那么就称函数()x f y =在点0x 连续.注意：由定义知函数)(x f 在0x 处连续要()()00lim x f x f x x =→成立，则必须同时满足以下三个条件(1) 函数)(x f 在0x 处有定义；(2) 极限)(lim 0x f x x →存在；(3) 极限值等于函数值，即)()(lim 00x f x f x x =→．定义3 如果函数)(x f y =在0x 处及其左邻域内有定义，且)(lim 0x f x x -→=)(0x f ，则称函数)(x f y =在0x 处左连续．如果函数)(x f y =在0x 处及其右邻域内有定义，且)()(lim 00x f x f x x =+→，则称函数)(x f y =在0x 处右连续． )(x f y =在0x 处连续 ⇔ )(x f y =在0x 处既左连续且右连续．例5 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧+-=101)(x x x f 000>=<x x x 在点0=x 处的连续性.解 函数定义域为),(+∞-∞，)(lim 0x f x -→=1)1(lim 0-=--→x x ，1)1(lim )(lim 00=+=++→→x x f x x ， 由于左极限与右极限虽然都存在但不相等，所以)(lim 0x f x →不存在，函数)(x f 在点0=x 处不连续.定义4 若函数)(x f 在开区间),(b a 内任何一点处都连续，则称函数)(x f 在开区间),(b a 内连续；若函数)(x f 在开区间),(b a 内连续，且在左端点a 处右连续， 在右端点b 处左连续，则称函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续.可以证明，基本初等函数以及常数函数在其定义区间内都是连续的．3、函数的间断点如果函数)(x f y =在点0x 处不连续，则称)(x f 在0x 处间断，并称0x 为)(x f 的间断点．设0x 是)(x f 的间断点，若)(x f 在0x 点的左、右极限都存在，则称0x 为)(x f 的第一类间断点；其他的间断点都称为第二类间断点．在第一类间断点中，如果左、右极限存在但不相等，这种间断点又称为跳跃间断点；如果左、右极限存在且相等(即极限存在)，但函数在该点没有定义，或者虽然函数在该点有定义，但函数值不等于极限值，这种间断点又称为可去间断点．在第二类间断点中左、右极限至少有一个为无穷大的间断点称为无穷间断点.【教学小节】：通过本节的学习，理解函数连续的一系列概念，并掌握判断函数连续的方法，学会判断函数的间断点并分类。

一、教学目标1. 知识目标：（1）掌握函数、极限与连续的基本概念；（2）熟悉一元函数微分学的相关概念和计算方法；（3）了解一元函数积分学的基本概念和计算方法。

2. 能力目标：（1）培养学生运用数学知识解决实际问题的能力；（2）提高学生的逻辑思维和抽象思维能力；（3）培养学生严谨的数学素养。

3. 情感目标：（1）激发学生对数学学习的兴趣和热情；（2）培养学生的团队合作精神；（3）树立学生克服困难的信心。

二、教学内容1. 函数、极限与连续（1）函数的定义、性质和图像；（2）极限的概念和运算法则；（3）连续函数的定义和性质。

2. 一元函数微分学（1）导数的定义、性质和运算法则；（2）求导法则的应用；（3）微分的应用。

3. 一元函数积分学（1）定积分的定义、性质和计算方法；（2）不定积分的定义、性质和计算方法；（3）积分的应用。

三、教学过程1. 导入新课（1）通过实际例子，引导学生回顾函数、极限与连续的相关知识；（2）介绍本章学习的重要性和必要性。

2. 讲授新课（1）函数、极限与连续- 讲解函数的定义、性质和图像，结合实例进行说明；- 介绍极限的概念和运算法则，通过实例让学生理解极限的求法；- 讲解连续函数的定义和性质，让学生了解连续函数的特点。

（2）一元函数微分学- 讲解导数的定义、性质和运算法则，通过实例让学生掌握求导方法；- 介绍求导法则的应用，让学生能够灵活运用求导法则；- 讲解微分的应用，让学生了解微分在实际问题中的应用。

（3）一元函数积分学- 讲解定积分的定义、性质和计算方法，通过实例让学生掌握定积分的计算；- 介绍不定积分的定义、性质和计算方法，让学生能够求出不定积分；- 讲解积分的应用，让学生了解积分在实际问题中的应用。

3. 课堂练习（1）布置课堂练习题，让学生巩固所学知识；（2）指导学生解题，及时解答学生提出的问题。

4. 课堂小结（1）总结本章所学内容，让学生回顾重点知识；（2）强调学习方法，提高学生的自学能力。

第1次课的教学整体安排22x e ye - 2()2x e ye -22xx y e ±=>（0,只取 ln(x y ∴=ln(x x +第2次课的教学整体安排)；=；1,2,))；)。

（无论它多么小）恒成立，则称常数a)，显然)，但lim n →∞定理2表明收敛数列一定有界。

试问发散的数列是否一定无界？有界的数列是否一定收敛？无界数列是否一定发散？ 发散的收敛。

例11)(1,2,)n n +=是有界的发散数列。

但是无界数列一定发散。

否则设数列且收敛，将与定理2引起矛盾。

）2lim k k x →∞⇔=成立。

证明如下：知lim n n x →∞=21lim k k x -→∞2lim k k x →∞= 记k 若n 若n =lim n n x →∞=：（课本）习题参考资料（含参考书、文献等）第3次课的教学整体安排0(,U x δ0(,U x δ推论lim (x f x →-∞lim ()=limarctan x x f x →∞()x f 1lim →是否存在？lim ()f x +=第4次课的教学整体安排1n a x -++式函数，，如果0(Q x )(u f ,u ϕ=1n a x -++1m b x -++为非负整数，则,,m m m >）=+--lim 45322x x x x21lim 2x x x →-作业：（课本） 习题参考资料（含参考书、文献等）《高等数学》教学过程设计：复习0(,U x δ()x A =sin1=，其中→时，有0。

公式②的其它形式e ，n ∞→1(lim 11+=e ⎫⎪⎭，其中→∞时，有。

1122,)n x +=+，求lim n n x →∞时，下列作法是否正确？，由递推式两边取极限，得12a a a =+⇒)()g x ≤，且)；lim x →)为第二类无穷间断点。

）1, 01, 3, 1x x x -+≤-+<[0, 2]上是否有最大值和最小值？()1,x f x -⎧⎪=第8次课的教学整体安排。

高等数学教学教案第1章函数、极限与连续授课序号01(是一个给定的非空数集.若对任意的授课序号02的左邻域有定义，如果自变量为当0x x →时函数授课序号032n n ++)(1,2,n x =授课序号04授课序号05授课序号06高等数学教学教案第2章导数与微分授课序号01授课序号02授课序号03授课序号04高等数学教学教案第3章微分中值定理与导数的应用授课序号01授课序号02授课序号03!n +!n +()()!n x n +!n +!n +[cos (x θ+=21)2!!x n α-++)(1(1)!n n αθ-++()nx R x +授课序号04（1）在生产实践和工程技术中，经常会遇到求在一定条件下，怎样才能使“成本最低”、“利润最高”、“原材料最省”等问题．这类问题在数学上可以归结为建立一个目标函数，求这个函数的最大值或最小值问题.（2）对于实际问题，往往根据问题的性质就可以断定函数()f x 在定义区间内部存在着最大值或最小值．理论上可以证明这样一个结论：在实际问题中，若函数()f x 的定义域是开区间，且在此开区间内只有一个驻点0x ，而最值又存在，则可以直接确定该驻点0x 就是最值点，0()f x 即为相应的最值． 四．例题讲解例1.讨论函数32()29123f x x x x =-+-的单调增减区间． 例2.判断函数3()=f x x 的单调性.例3.设3,0,()arctan ,0.x x f x x x x ⎧-<=⎨≥⎩确定()f x 的单调区间.例4.证明：当0x >时，e 1x x >+． 例5.求函数32()(1)f x x x =-的极值．例6.求函数22()ln f x x x =-的极值．例7.求函数233()2f x x x =+在区间1[8]8-，上的最大值与最小值．例8.水槽设计问题有一块宽为2a 的长方形铁皮如图3.8所示，将宽所在的两个边缘向上折起，做成一个开口水槽，其横截面为矩形，问横截面的高取何值时水槽的流量最大（流量与横截面积成正比）． 图3.8例9.用料最省问题要做一圆柱形无盖铁桶，要求铁桶的容积V 是一定值，问怎样设计才能使制造铁桶的用料最省？ 例10.面积最大问题将一长为2L 的铁丝折成一个长方形，问如何折才能使长方形的面积最大．授课序号05授课序号06教学基本指标教学课题第3章第6节弧微分与曲率课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点曲率的计算公式教学难点曲率的计算参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题大纲要求了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

极限与连续性教案教案一：极限的引入与定义引言：极限是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点附近的特性。

掌握极限的概念和性质，对于理解函数的变化规律以及求解导数等问题具有重要意义。

一、引入（略去）二、极限的定义1. 函数极限的定义在介绍函数极限之前，首先要引入自变量无穷逼近的概念。

定义1：设函数 f(x) 在实数集上有定义，a 为实数，如果对于任意给定的正数ε(ε>0)，都存在正数δ（δ>0），使得当 0 < |x - a| < δ 时，有|f(x) - L| < ε 成立，则称数 L 是函数 f(x) 当 x 无限接近 a 时的极限，记作：lim(x→a) f(x) = L 或f(x) → L (x → a)2. 函数极限的性质（略去）教案二：连续性的引入与定义引言：连续性是数学中的重要概念，它刻画了函数在某一点处的平滑程度和不间断性。

理解连续性的概念和特性，对于函数图像的绘制和问题求解具有重要作用。

一、引入（略去）二、连续性的定义1. 函数在某一点的连续性定义1：设函数 f(x) 在 x=a 处有定义。

如果满足以下三个条件，则称函数在 x=a 处连续：（1）f(a) 存在；（2）lim(x→a) f(x) 存在；（3）lim(x→a) f(x) = f(a)2. 函数连续性的性质（略去）教案三：极限与连续性的关系引言：极限与连续性是微积分中密切相关的两个概念。

研究它们之间的关系，有助于深入理解函数的性质和求解一些复杂问题。

一、极限存在与函数的连续性（1）极限存在的函数不一定连续；（2）连续的函数一定存在极限。

二、连续函数与极限计算1. 连续函数的性质（略去）2. 通过极限计算连续函数的值教案四：综合运用与例题训练引言：对于极限和连续性这两个概念，实际问题的应用是尤为重要的。

通过综合运用这些概念，解决一些具体问题，不仅能够巩固理论知识，还能够培养学生的应用能力。

一、例题讲解（略去）二、例题练习（略去）总结：通过本课程的学习，我们深入了解了极限与连续性的概念、定义及其性质。

高等数学第一章函数极限和连续教案教案：高等数学第一章-函数、极限和连续一、教学目标：1.理解函数的基本定义和性质，能够用函数的图像描绘函数的性质。

2.掌握函数的四种表示方式：显式表达式、参数方程、隐式方程和级数展开。

3.了解函数的运算和复合函数的性质，并能够应用到问题解决中。

二、教学重难点：1.函数的概念和性质的理解和应用。

2.函数的四种表示方式的转换和应用。

3.复合函数的运算和性质的理解和应用。

三、教学过程：1.导入新课：老师可以提问学生，什么是函数？函数有哪些性质？函数在哪些实际问题中有应用？引导学生讨论和思考。

2.函数的基本概念：a.对于给定的自变量，能够确定唯一的值。

b.函数的定义域和值域。

c.函数的奇偶性、周期性和有界性。

d.函数的图像和性质。

3.函数的四种表示方式：a.显式表达式：y=f(x)。

b.参数方程：x=φ(t)，y=ψ(t)。

c.隐式方程：F(x,y)=0。

d.级数展开：f(x)=a0+a1x+a2x^2+...4.函数的运算：a.四则运算：加法、减法、乘法和除法。

b.复合函数：g(f(x))。

5.复合函数的性质：a.复合函数的定义域和值域。

b.复合函数的奇偶性。

c.复合函数的周期性。

d.复合函数的有界性。

6.函数的极限：a.极限的定义和性质。

b.极限的计算方法：代入法、夹逼法、夹分法等。

c.无穷小量和无穷大量的概念。

d.极限存在和不存在的判别方法。

7.函数的连续：a.连续的定义和性质。

b.连续函数的四个基本定理。

c.连续函数图像的特点。

8.综合练习：a.解答一些典型例题，让学生掌握函数、极限和连续的基本概念和性质。

b.组织学生进行小组讨论和合作解题，培养学生的应用和分析问题的能力。

四、课后作业：1.完成课后习题，巩固所学知识。

2.预习下节课的内容。

五、教学反思：通过本节课的教学，学生对于函数、极限和连续的概念和性质有了更清晰的认识。

在教学过程中，结合实际问题的应用，引导学生思考和讨论，加强学生的实际运用能力。