高中数学 1.1.2弧度制 精品导学案

1.1.2 弧度制【课前准备】1．课时目标（1）理解弧度的概念，能正确进行弧度与角度的互化；（2）熟记特殊角的弧度数；（3）熟悉在弧度制下，终边相同的角，象限角，轴上角的表示方式及其应用；（4）了解角的集合与实数集R 之间可以建立一一对应的关系；（5）掌握在弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式及应用．2．基础预探（1）把长度等于半径长的弧所对的________叫做1弧度的角，用符号________表示，读作________．（2）正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是________．（3）如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|=________．（4）换算公式1︒=________rad ≈0.01745rad ，1rad=（________）º≈57.30º=57º18′． 一般互化公式：π180︒=________． （5）弧长公式：l =________；扇形面积公式：S =________=________．其中α为圆心角的弧度数．【知识训练】1．若角α终边在第二象限，则π－α所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．半径为π cm ，中心角为120o 的弧长为（ ）A ．31πcmB ．31π2cmC ．32πcmD ．32π2cm 3．把－411π表示成θ+2kπ（k ∈Z ）的形式，且使得|θ|最小的θ的值是________． 4．弧长为3π，圆心角为135º的扇形半径为 ；面积为________．5．集合M ＝{x |x ＝k π2+π4，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k π4+π2，k ∈Z }，则集合M 与N 的关系为________．6．设角α1=－570º，α2=750º，β1=53π弧度，β2=－37π弧度. （1）将α1、α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在象限；（2）将β1、β2用角度制表示出来，并在－720º～0º之间找出与它们有相同终边的所有角．【学习引领】弧度制的基本思想是使圆半径与圆周长有同一度量单位，然后用对应的弧长与圆半径之比来度量角度，弧度制的精髓就在于统一了度量弧与半径的单位，从而大大简化了有关公式及 运算．1．注意弧度制与角度制与对应关系我们已经知道，圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，所以弧又与圆心角有联系：弧的度数等于圆心角的度数．随着角的概念的推广，圆心角与弧的概念也随之推广：从“形”上说，圆心角有正角、零角、负角之分，弧也就有正弧、零弧、负弧之分；从“数”上讲，圆心角与弧的度数都有正数、0、负数之分．这样，圆心角、弧都被赋予了方向，每一个圆心角都有一条弧与它对应，并且不同的圆心角对应着不同的弧，反过来也对．这就是说，圆心角与弧是一一对应的．2．注意弧度制与实数的对应关系角的概念推广后，无论用角度制还是用弧度制，都能在角的集合与实数集R 之间建立一种一一对应的关系．对于角度制：说“每个角都有唯一的实数与它对应”时，这个实数可以取这个角可以取度数，或角度制下的分数，或角度制下的秒数，所以对应法则不是唯一的；但是对于弧度制：说“每个角都有唯一的实数与它对应”时，这个实数只可以取弧度数，即每一个角都有惟一的一个实数（弧度数）与之对应．反过来，不论是角度制，还是弧度制，每一个实数（可以弧度数，也可以是度数、分数、秒数）也都有惟一的一个角与它对应．3．注意角度制与弧度制之间的换算关系如果圆心角所对的弧长l =2πr （即弧是一个整圆），那么这个圆心角的弧度数1r ＝2πr r＝2π，即一个周角的角度数为360︒＝2π弧度，即180︒=π弧度，由此可得角度制与弧度制之间的换算公式：1︒＝π180弧度≈0.0174，1弧度＝180︒π≈57.30︒＝57︒18'． 4．注意弧度制与角度制的单位区别弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制是以“度”为单位度量角的制度；同时，不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值．5．注意弧度制与角度制的进位制区别分析角度制和弧度制下度量角的方法，我们看出，在用角度制表示角的时候，人们总是十进制、六十进制，不便于计算，而在用弧度表示角的时候，人们只用十进制，所以弧度制更容易找出与角对应的实数．另外，在弧长公式与扇形面积公式的表达上，弧度制下的公式远比角度制下的公式简单．6．注意弧度制与角度制在同一表达式混合使用由于有弧度制与角度制两种单位制，在表示与角时，若涉及到几项的和差形式，则要求所所有项选用的单位制必须一致，绝对不能出现k ·360°－π3（k ∈Z ）或者2k π－60°（k ∈Z ）一类的写法．【典例导析】题型一：有关弧度的概念问题例1．下列各命题中，假命题是（ ）A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1度的角是周角的3601，1弧度的角是周角的12πC ．根据弧度的定义，180º一定等于π弧度D ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们与圆的半径的长短有关点评：本题主要考查了弧度了基本概念．对于概念类的题目，要从定义入手，仔细分析每一句话，并注意与概念叙述的异同点．变式练习1：下列诸命题中，真命题是（ ）A ．1弧度是1︒的圆心角所对的弧B ．1弧度是长度为半径的弧C ．1弧度是1︒的弧与1︒的角之和D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位题型二：弧度数与角度数的相互转换问题例2．将下列各角化成2k π+α（k ∈Z ），且0≤α<2π的形式，并指出它们是第几象限角：（1）－1725º；（2）364π．点评：用弧度制表示终边相同角2k π+α（k ∈Z ）时，2k π是π的偶数倍，而不是整数倍．同时，α为弧度，不能写成2k π+（ ）º（k ∈Z ）的形式．变式练习2：已知α＝1690º，（1）把α写为2kπ＋β，k ∈Z ，β∈[0，2π）的形式；（2）求θ，使θ与α的终边相同，且θ∈（－4π，－2π）．题型三：单角与相关倍数角的象限判定问题例3．已知α是第二象限角，则3是第几象限角？点评：其实，对于单角与其他倍数角的关系的快捷正确判断，都可以利用先确定单角的取值范围，再利用其他倍数角的取值情况加以分类讨论，特别要注意分类讨论时取整数k 的取值的讨论．变式练习3：已知α是第二象限角，则2是第几象限角？题型四：有关扇形的公式问题例4．一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？点评：本题考查弧长公式及扇形面积公式的运用，考查弧度制下的弧长公式和扇形面积公式及应用，考查平面几何知识在三角问题中的应用．这里我们要注意的是在使用有关的公式时，圆心角的单位必须是弧度，如果是用角度表示的，则应先换算成弧度，再代入公式．变式练习4：一个扇形的周长等于它所在圆的周长，那么这个扇形的圆心角是多少？如果其半径等于2，那么它的面积等于多少？【随堂练习】1．把－1125°化成α＋2k π（0≤α＜2π，k ∈Z ）的形式是（ ）A ．－π4 －6πB ． 7π4 －6πC ．－π4 －8πD ．7π4－8π 2．角α的终边落在区间（－3π，－52π）内，则角α所在象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是（ ）A ．4 cm 2B ．2 cm 2C ．4πcm 2D ．2πcm 24．已知扇形的周长是6cm ，面积是2cm 2，则扇形的中心角的弧度数是________．5．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤（2k +1）π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于________．6．在直径为10cm 的轮上有一长为6cm 的弦，P 是该弦的中点，轮子以每秒5弧度的角速度旋转，求经过5秒钟后点P 转过的弧长．【课后作业】1．下列各角中与240°角终边相同的角为（ ）A ．2π3B ．－5π6C ．－2π3D ．7π62．一钟表的分针长10 cm ，经过35分钟，分针的端点所转过的长为（ ）A ．70 cmB ．670cmC ．（25π-3cm D ．35π3cm 3．已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方形的边长，则这段弧所对的圆周角的弧度数为________．4．半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P 从A （1，0）出发依逆时针方向等速沿圆周旋转，已知点P 在1秒内转过的角为θ（0<θ<π），经过2秒到达第三象限，经过14秒后，恰好回到A 点，则θ的值为________．5．已知π＜α＋β＜4π3，－π＜α－β＜－π3，求2α－β的取值范围． 6．有两种正多边形，其中一正多边形的一内角的度数与另一正多边形的一内角的弧度数之比为144：π，求适合条件的正多边形的边数．参考答案【课前准备】2．基础预探（1）圆心角 rad 弧度（2）正数 负数 0（3）r l （4）π180 180π这个角的角度数这个角的弧度数 （5）αR21lR 21αR 2； 【知识训练】1． A【解析】取一个特殊角α=32π，则π－α=31π，其为第一象限角.2． D【解析】由于α=120o =32π，则l =αr =32π2.3． －3π4 【解析】由于－411π=－2π－3π4=－4π+5π4，那么满足条件的θ的值是－3π4. 4．4 6π【解析】弧长l ＝3π，圆心角α＝3π4，由弧长公式l ＝α·r 得：r ＝l α＝3π3π4＝4，面积S ＝12lr ＝6π. 5．M ⊂≠N【解析】在M 中，x ＝2k ＋14π，其中2k ＋1是奇数，在N 中，x ＝k ＋24π，其中k ＋2是整数，所以M ⊂≠N ；或用列举法：M ＝{…，－π4，π4，3π4，5π4，…}，N ＝{…，π4，π2，3π4，π，…}，由此可知M ⊂≠N .6．【解】（1）∵180º＝π弧度，∴－570º＝－180570π＝－619π，∴α1=－2×2π+65π， 同理α2=2×2π+61π，∴α1在第二象限，α2在第一象限； （2）∵53π=53×180º＝108º，设θ＝k ·360º+β1（k ∈Z ），由－720º≤θ<0º， ∴－720º≤k ·360º+108º <0º，∴ k ＝－2或k ＝－1，∴在－720º～0º间与β1有相同终边的角是－612º和－252º，同理β2=－37π=－360º－60º=－420º，且在－720º～0º间与β2终边相同的角是－420º和－60º． 【典例导析】例1：D【解析】角度制、弧度制是度量角的两种不同的方法，单位、进制不同，就象度量长度一样有不同的方法，千米、米、厘米与丈、尺、寸，又长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角，∴360︒=2π rad ，∴180︒=π rad ，故选择答案：D ．变式练习1：D【解析】根据弧度的定义可以判断，1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位.例2：【解】（1）∵－1725º=－5×360º+75º=－10π+125π， ∴－1725º与125π角的终边相同，又∵125π是第一象限角，∴－1725º是第一象限角； （2）∵364π=20π+34π，∴364π与34π角的终边相同，又∵34π是第三象限角，∴364π是第三象限角． 变式练习2：【解】（1）由于α的弧度数为π180×1690＝169π18，∴169π18＝8π＋25π18， ∴α＝4×2π＋25π18（k ＝4，β＝25π18）； （2）由（1）可知－4π＜2k π＋25π18＜－2π，k ∈Z ，得k ＝－2，θ＝－4π＋25π18＝－47π18． 例3：【解】因为α是第二象限角，所以2k π+π2<α<2k π+π，k ∈Z ， 即2π3k +π6<3α<2π3k +π3，k ∈Z ， 当k =3n （n ∈Z ）时，2n π+π6<3α<2n π+π3，n ∈Z ，即3α是第一象限角； 当k =3n +1（n ∈Z ）时，2n π+5π6<3α<2n π+π，n ∈Z ，即3α是第二象限角； 当k =3n +2（n ∈Z ）时，2n π+3π2<3α<2n π+5π3，n ∈Z ，即3α是第四象限角； 综上所述：3α是第一、二、四象限角． 变式练习3：【解】因为α是第二象限角，所以2k π+π2<α<2k π+π，k ∈Z ， 即k π+π4<2α< k π+π2，k ∈Z ， 当k =2n （n ∈Z ）时，2n π+π4<2α<2n π+π2，n ∈Z ，即2α是第一象限角； 当k =2n +1（n ∈Z ）时，2n π+5π4<2α<2n π+3π2，n ∈Z ，即2α是第三象限角； 综上所述：2α是第一或第三象限角． 例4：【解】设扇形的圆心角为θ rad ，∵扇形的弧长是rθ，∴扇形的周长是2r ＋rθ，由题意可知2r ＋rθ＝πr ，∴θ＝π－2（弧度）≈180°－2×57°18′≈65°24′，∴扇形的面积S =21r 2θ=21r 2（π－2）． 变式练习4：【解】设扇形的半径为r ，圆心角为α，依题意有2r ＋rα＝2πr ，即2＋α＝2π，所以α＝（2π－2）弧度； 如果其半径等于2，那么它的面积S ＝12r 2α＝12×2×（2π－2）＝2π－2． 【随堂练习】1． D【解析】－1125°=－1801125π=－425π=－π4 －6π=7π4 －8π. 2． C 【解析】由于－3π=－4π+π，－52 π=－4π+23π，则区间（－3π，－52 π）表示的象限为第三象限，则角α所在象限是第三象限.3． A【解析】由于α=2，l =4，可得R =αl =2，则S =21αR 2=4.4．1或4【解析】由扇形的弧长公式l ＝θ·r 和面积公式S ＝12θr 2知：2r ＋θr ＝6，12θr 2＝2，联立后解得：θ＝1或θ＝4.5．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}【解析】由数轴画图可知：对于集合A ：当k ＝－1或k ＝0时，有－2π≤α≤－π或0≤α≤π，从而A ∩B ＝{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}.6．【解】∵轮子以每秒5弧度的角速度旋转，∴P 点在以O 为圆心、半径为OP ＝4cm 的圆上以同样的角速度在旋转，5秒钟转的弧度数为5×5＝25 rad ，又r ＝4cm ，∴l ＝∣α∣·r ＝25×4＝100（cm ）．【课后作业】1． C【解析】由于240°=4π3，则与240°角终边相同的角的集合为{α|α=2k π+4π3，k ∈Z }，当k =－1时，得α=－2π3. 2． D【解析】由于α=6035×2π=7π6 ，R =10，可得l =αR =35π3. 3．22【解析】设圆内接正方形的边长为a ，圆的半径为R ，则2R ＝2a ，则圆弧所对的圆心角为α＝a R ＝2，故所对的圆周角为22. 4．4π7或5π7【解析】∵0<θ<π，又有2θ∈（2k π＋π，2k π＋3π2）（k ∈Z ），∴k ＝0，于是π2<θ<3π4，又14θ＝2n π（n ∈Z ），∴θ＝n π7，π2<n π7<3π4，72<n <214，∴n ＝4或n ＝5，故θ＝4π7或θ＝5π7； 5．【解】设2α－β＝A （α+β）+B （α－β）（A 、B 为待定系数），则2α－β＝（A +B ）α+（A －B ）β，两边比较系数得：A +B ＝2，A －B ＝－1，解之得：A ＝12，B ＝－32， ∴2α－β＝12（α+β）－32（α－β）， 又π2＜12（α+β）＜2π3，－3π2＜32（α－β）＜－π2，即π2＜－32（α－β）＜3π2， ∴－π＜12（α+β）－32（α－β）＜π6，∴－π＜2α－β＜π6． 6．【解】设符合条件的正多边形的边数分别为m 、n （m 、n ≥3，且m 、n ∈N ）， 则它们对应的正多边形的内角分别为m m ︒⋅-180)2(和nn π)2(-rad ， 据题意：m m 180)2(-：2π(n )n-=144：π， ∴2π(n )n-×144=m m 180)2(-×π，∴4（1－n 2）=5（1－m 2），4－n 8=5－m 10，m 10=1+n 8，m 10=n n 8+，10m =8+n n ，m =10（1－88+n ）=10－880+n ， ∵m ∈N ，∴880+n 是自然数，n +8是80的约数，∵m ≥3，∴880+n ≤7，∴n +8≥780， 又n ≥3，且n +8是80的约数，∴n +8可取16、20、40、80，当n +8=16时，n =8，m =5； 当n +8=20时，n =12，m =6；当n +8=40时，n =32，m =8； 当n +8=80时，n =72，m =9；故所求的正多边形有四组，分别是：正五边形和正八边形；正六边形和正十二边形；正八边形和正三十二边形；正九边形和正七十二边形．。

§1.1.2 弧度制1.理解弧度制的意义，正确地进行弧度制与角度制的换算，熟记特殊角的弧度数.2.了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应关系.3.掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，会利用弧度制、弧长公式、扇形面积公式解决.69在初中，我们常用量角器量取角的大小，那么角的大小的度量单位为什么？二、新课导学※探索新知问题1：什么叫角度制？问题2：角度制下扇形弧长公式是什么？扇形面积公式是什么？问题3：什么是1弧度的角？弧度制的定义是什么？问题4：弧度制与角度制之间的换算公式是怎样的？问题5：角的集合与实数集R之间建立了________对应关系。

问题6：用弧度分别写出第一象限、第二象限、第三象限、第四象限角的集合.问题7：回忆初中弧长公式，扇形面积公式的推导过程。

回答在弧度制下的弧长公式，扇形面积公式。

※ 典型例题例1：把下列各角进行弧度与度之间的转化（用两种不同的方法）（1）53π （2）3.5 （3）252º （4）11º15¹变式训练：①填表②若6-=α，则α为第几象限角？③用弧度制表示终边在y 轴上的角的集合___ ____.用弧度制表示终边在第四象限的角的集合__ _____.例2: ①已知扇形半径为10cm,圆心角为60º，求扇形弧长和面积②已知扇形的周长为8cm , 圆心角为2rad,求扇形的面积变式训练（1）：一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求此扇形的最大面积.变式训练 (2)：A=()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⋅-+=Z k k x x k ,21ππ, B=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,22ππ则A 、B 之间的关系为 .※ 动手试试1、将下列弧度转化为角度：（1）12π= °；（2）－87π= ° ′； （3）613π= °； 2、将下列角度转化为弧度：（1）36°= rad ； （2）－105°= rad ；（3）37°30′= rad ；3、已知集合M =｛x ∣x = 2π⋅k , k ∈Z ｝，N =｛x ∣x = 2ππ±⋅k , k ∈Z ｝，则 （ ） A ．集合M 是集合N 的真子集B ．集合N 是集合M 的真子集C ．M = ND ．集合M 与集合N 之间没有包含关系4、圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( )A ．扇形的面积不变B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积增大到原来的2倍D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍三、小结反思角度制与弧度制是度量角的两种制度。

1.1.2弧度制一、弧度制的概念1．角度制：规定周角的为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．2．弧度制：把长度等于长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作，用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．思考1：“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？二、角度制与弧度制的换算1．角度制与弧度制的换算正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.思考2：角度制与弧度制之间如何进行换算？三、扇形的弧长公式及面积公式1．弧度制下的弧长公式：如图，l 是圆心角α所对的弧长，r 是半径，则圆心角α的弧度数的绝对值是|α|＝ ，弧长l ＝ 特别地，当r ＝1时，弧长l ＝ . 2．扇形面积公式：在弧度制中，若|α|≤2π，则半径为r ，圆心角为α的扇形的面积为S ＝|α|2π·πr 2＝ lr .初试身手1．思考辨析(1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大．( ) (2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等．( ) (3)长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度．( ) 2．将下列弧度与角度互换 (1)－2π9＝________；(2)2＝________； (3)72°＝________； (4)－300°＝________.3．半径为1，圆心角为2π3的扇形的弧长为________，面积为________．题型探究题型一 角度制与弧度制的互化【例1】 把下列弧度化成角度或角度化成弧度： (1)－450°；(2)π10；(3)－4π3；(4)112°30′.思路点拨：利用“180°＝π”实现角度与弧度的互化． 规律方法角度制与弧度制换算的要点：提醒：度化弧度时，应先将分、秒化成度，再把度化成弧度． 跟踪训练1．将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.题型二 用弧度制表示角的集合【例2】 用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)．思路点拨：先写出边界角的集合，再借助图形写出区域角的集合． 规律方法表示角的集合，单位制要统一，不能既含有角度又含有弧度，如在“α＋2k πk ∈Z ”中，α必须是用弧度制表示的角，在“α＋k ·360°k ∈Z ”中，α必须是用角度制表示的角. 提醒：用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否能够合并，这一点容易出错. 跟踪训练2．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)．① ②题型三 扇形的弧长及面积问题[探究问题]1．公式l＝|α|r中，“α”可以为角度制角吗？2．在扇形的弧长l，半径r，圆心角α，面积S中，已知其中几个量可求其余量？举例说明．【例3】一个扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？思路点拨：设出扇形的圆心角、半径、弧长→用半径表示圆心角→求扇形面积→转化为二次函数求最值1．(变条件)本例条件变为“扇形圆心角是72°，半径等于20 cm”，求扇形的面积．2．(变结论)本例变为“扇形周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．”请解答．规律方法灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r的二次函数的最值问题.提醒：1在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负.2看清角的度量制，选用相应的公式.3扇形的周长等于弧长加两个半径长.课堂小结1．本节课的重点是弧度与角度的换算、扇形的弧长公式和面积公式，难点是对弧度制概念的理解．2．本节要牢记弧度制与角度制的转化公式 (1)π＝180°；(2)1°＝π180 rad (3)1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°. 3．本节课要重点掌握以下规律方法 (1)弧度制的概念辨析； (2)角度与弧度的换算；(3)扇形的弧长公式和面积公式的应用． 4．本节课的易错点表示终边相同角的集合时，角度与弧度不能混用．当堂检测1．将下列各角的弧度(角度)化为角度(弧度)： (1)2π15＝________；(2)－6π5＝________； (3)920°＝________；(4)－72°＝________.2．若扇形的周长为4 cm ，面积为1 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________． 3．用弧度制表示终边落在x 轴上方的角的集合为______． 4．设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－π3. (1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在[－720°，0°)范围内找出与它们终边相同的所有角．参考答案新知初探一、1．13602． 1 rad思考1：[提示] “1弧度的角”是一个定值，与所在圆的半径大小无关． 二、1． 2π 360° π 180° π180180π 3.正数 负数 0思考2： [提示] 利用1°＝π180弧度和1弧度＝⎝⎛⎭⎫180π°进行弧度与角度的换算．三、1．lr |α|r |α|.2．12初试身手1． (1)× (2)× (3)×2．(1)－40° (2)⎝⎛⎭⎫360π° (3)2π5 rad (4)－5π3 rad 【解析】(1)－2π9 rad ＝－29×180°＝－40°.(2)2 rad ＝2×⎝⎛⎭⎫180π°＝⎝⎛⎭⎫360π°. (3)72°＝72×π180 rad ＝2π5rad.(4)－300°＝－300×π180 rad ＝－5π3 rad.]3．2π3 π3【解析】∵α＝2π3，r ＝1，∴弧长l ＝α·r ＝2π3，面积＝12lr ＝12×2π3×1＝π3.题型探究【例1】 [解] (1)－450°＝－450×π180 rad ＝－5π2 rad ；(2)π10 rad ＝π10×⎝⎛⎭⎫180π°＝18°； (3)－4π3 rad ＝－4π3×⎝⎛⎭⎫180π°＝－240°；(4)112°30′＝112.5°＝112.5×π180 rad ＝5π8 rad.跟踪训练 1．[解] (1)20°＝20π180 rad ＝π9rad. (2)－15°＝－15π180 rad ＝－π12 rad.(3)7π12 rad ＝712×180°＝105°. (4)－11π5 rad ＝－115×180°＝－396°.【例2】 [解] 用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪ －π6＋2k π<θ<512π＋2k π，k ∈Z . (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪ －3π4＋2k π<θ<3π4＋2k π，k ∈Z . (3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪ π6＋k π<θ<π2＋k π，k ∈Z . 跟踪训练2．[解] (1)如题图①，以OA 为终边的角为π6＋2k π(k ∈Z )；以OB 为终边的角为－2π3＋2k π(k∈Z )，所以阴影部分内的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪－2π3＋2k π＜α＜π6＋2k π，k ∈Z . (2)如题图②，以OA 为终边的角为π3＋2k π(k ∈Z )；以OB 为终边的角为2π3＋2k π(k ∈Z )．不妨设右边阴影部分所表示的集合为M 1，左边阴影部分所表示的集合为M 2，则M 1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ 2k π＜α＜π3＋2k π，k ∈Z ，M 2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2π3＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z . 所以阴影部分内的角的集合为M 1∪M 2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＜α＜π3＋2k π或2π3＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z . [探究问题]1．提示：公式l ＝|α|r 中，“α”必须为弧度制角．2．提示：已知任意两个量可求其余两个量，如已知α，r ，可利用l ＝|α|r ，求l ， 进而求S ＝12lr ；又如已知S ，α，可利用S ＝12|α|r 2，求r ，进而求l ＝|α|r .【例3】 [解] 设扇形的圆心角为α，半径为r ，弧长为l ，则l ＝αr ，依题意l ＋2r ＝20，即αr ＋2r ＝20，∴α＝20－2rr.由l ＝20－2r >0及r >0得0<r <10，∴S 扇形＝12αr 2＝12·20－2r r ·r 2＝(10－r )r ＝－(r －5)2＋25(0<r <10)．∴当r ＝5时，扇形面积最大为S ＝25.此时l ＝10，α＝2， 故当扇形半径r ＝5，圆心角为2 rad 时，扇形面积最大．1． [解] 设扇形弧长为l ，因为72°＝72×π180＝2π5(rad)，所以l ＝αr ＝2π5×20＝8π(cm)，所以S ＝12lr ＝12×8π×20＝80π(cm 2)．2． [解] 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l ，半径为r ， 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝10， ①12lr ＝4. ②①代入②得r 2－5r ＋4＝0， 解得r 1＝1，r 2＝4. 当r ＝1时，l ＝8(cm)， 此时，θ＝8 rad>2π rad(舍去)．当r ＝4时，l ＝2(cm)，此时，θ＝24＝12rad.1．(1)24° (2)－216° (3)469π rad(4)－2π5rad【解析】(1)2π15 rad ＝215×180°＝24°.(2)－6π5 rad ＝－65×180°＝－216°.(3)920°＝920×π180 rad ＝469π rad.(4)－72°＝－72×π180 rad ＝－2π5rad.2． 2 【解析】设扇形所在圆的半径为r cm ，扇形弧长为l cm. 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝4，12lr ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝2，r ＝1.所以α＝lr ＝2.因此扇形的圆心角的弧度数是2.3． {}α| 2k π＜α＜2k π＋π，k ∈Z 【解析】若角α的终边落在x 轴的上方，则2k π＜α＜2k π＋π，k ∈Z .4．[解] (1)∵180°＝π rad ，∴α1＝－570°＝－570×π180＝－19π6＝－2×2π＋5π6，α2＝750°＝750×π180＝25π6＝2×2π＋π6.∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限． (2)β1＝3π5＝3π5×⎝⎛⎭⎫180π°＝108°，设θ＝108°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤θ＜0°，即－720°≤108°＋k ·360°＜0°， 得k ＝－2，或k ＝－1.故在[－720°，0°)范围内，与β1终边相同的角是－612°和－252°. β2＝－π3＝－60°，设γ＝－60°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤－60°＋k ·360°＜0°，得k ＝－1，或k ＝0. 故在[－720°，0°)范围内，与β2终边相同的角是－420°.。

§1．1．2弧度制和弧度制与角度制的换算导学案【学习目标】了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算。

【学习过程】 一、自主学习 （一）知识链接：复习1。

写出终边在下列位置的角的集合。

（1）x 轴： ； （2）y 轴： 。

2．角度制规定，将一个圆周分成 份，每一份叫做 度， 故一周等于 度，平角等于 度，直角等于 度。

0n 的圆弧长为l ，圆的半径为r ，则l = ；rl= 。

（二）自主研讨：（预习教材P6-P9） 探究一：弧度制定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，这种度量角的单位制称为 。

新知： ① 正角的弧度数是 数，负角的弧度数是 数，零角的弧度数是 。

② 角α的弧度数的绝对值 lrα=（l 为弧长，r 为半径）反思：360°= rad ；1800 = rad； 1°＝ rad ≈ rad ；1 rad ＝≈＝；αrad ＝；n °＝ rad试试：完成特殊角的度数与弧度数的对应表：3。

角的集合与实数集R 之间是 对应关系。

4. 设扇形的圆心角是αrad ，弧长为l ，半径为r ， 则扇形面积公式S ＝＝二、合作探究例1：按要求解答下列各题： （1）把3730'︒化成弧度，（2）把35rad π化成度。

例2：用弧度制表示：（1）终边在x 轴上的角的集合，（2）终边在y 轴上的角的集合。

例3：利用弧度制证明扇形面积公式：（1）12S lR =， （2）212S R α=。

三、交流展示1、使用换算公式，把下列各角的度数化为弧度数：（1）︒-240； （2）︒-225； （3）︒12；（4）︒1080； （5）'3022︒； （6）︒5.157；2.把下列各角的弧度数化为度数： （1）12π； （2）35π； （3）103π； （4）8π； （5）23π-； （6）65π-；3.下午正2点时，时针和分针的夹角为（ ） A.6π B. 4π C. 3π D. 2π4.α＝2rad ，则α终边在（ ）5.半径为2的圆的圆心角所对弧长为6，则其圆心角为 rad 。

1.1.1 弧度制
【课题】：弧度制
【教学三维目标】：
一、知识与技能
1、1弧度的角的定义；
2、弧度制的定义；
3、角度与弧度的换算；
4、弧度制下的弧长公式、扇形面积公式；
5、角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系；
二、过程与方法
1、理解1弧度的角、弧度制的定义；
2、掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算；
3、熟记特殊角的弧度数；
4、理解角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系；
5、掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，会运用弧长公式、扇形面积公式解决一类问题；
三、情感态度与价值观
使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是互相联系、辩证统一的，进一步加强对辩证统一思想的理解，使学生通过总结引入弧度制的好处，学会归纳、整理并认识到任何新知识的学习，都会为我们解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣、求知欲望，培养良好的学习品质.
【教学重点】：理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用.
【教学难点】：理解弧度制定义，弧度制的运用.
【课前准备】：计算器、投影机、三角板
O 中弦AB 形，所以∠劣弧长为
π12AOB r α=。

1.1.2 弧度制【课标要求】1．了解角的另外一种度量方法——弧度制．2．能进行弧度与角度的互化．3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式．【核心扫描】1．对弧度制概念的理解．(难点)2．弧度制与角度制的互化．(重点、易错点)新知导学1．度量角的单位制(1)角度制用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的1360.(2)弧度制①弧度制的定义长度等于的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制．②任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个；负角的弧度数是一个；零角的弧度数是零．③角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r.温馨提示：圆心角α所对的弧长与半径的比值lr与半径的大小无关，仅与角的大小有关．2．角度制与弧度制的换算(1)是一一对应的关系．在表示角时，角度制与弧度制不能混用，在表达式中，要保持单位一致，防止出现π3＋k ·180°或60°＋2k π等这类错误的写法．3．扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则温馨提示：扇形的面积公式S ＝12lR 与三角形的面积公式极为相似(把弧长看作底)，可以类比记忆．在弧度制下的弧长公式、面积公式有诸多优越性，但如果已知角是以“度”的单位，则必须先化成弧度后再计算．互动探究探究点1 角α＝2这种表达方式正确吗？探究点2 弧度制与角度制有何区别与联系？探究点3 如何用弧度制表示直角坐标系中的角？题型探究类型一 角度制与弧度制的换算 【例1】 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.[规律方法] (1)进行角度与弧度换算时，要抓住关系：π rad ＝180°.(2)熟记特殊角的度数与弧度数的对应值．【活学活用1】 (1)把112°30′化成弧度； (2)把－5π12化成度．类型二 用弧度制表示终边相同的角【例2】 (1)将－1 500°表示成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出它是第几象限角； (2)在0°～720°范围内，找出与角2π5终边相同的角．[规律方法] 用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．【活学活用2】 设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－π3.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°范围内找出与它们终边相同的所有角．类型三 扇形的弧长及面积公式的应用【例3】 已知一个扇形的周长为a ，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．[规律方法] (1)联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S ＝12lr ＝12|α|r 2，二是l ＝|α|r ，如果已知其中两个，就可以求出另一个．(2)当扇形周长一定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S 转化为r 的函数． 【活学活用3】 已知一个扇形的周长为8π9＋4，圆心角为80°，求这个扇形的面积．易错辨析 角的度量单位不统一及角的大小不清楚【示例】 用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在如图所示的阴影部分内的角的集合(不包括边界)．[错解] (1)330°＋2k π<θ<75°＋2k π(k ∈Z )，(2)225°＋2k π<θ<135°＋2k π(k ∈Z )．[错因分析] 在用角度或弧度表示角时，不要混用；此外，对于区域角，要注意旋转方向，并注意把结果写成集合的形式．[正解] (1)∵330°的终边也可看作－30°的终边，∴－30°＝－π6，75°＝5π12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪－π6＋2k π<θ<5π12＋2k π，k ∈Z . (2)∵225°的终边也可看作－135°的终边，∴－135°＝－3π4，135°＝3π4，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪－3π4＋2k π<θ<3π4＋2k π，k ∈Z .[防范措施] 一定要使用统一的角的度量单位，另外要弄清角的大小，不要出现矛盾不等式.课堂达标1．下列说法中，错误的说法是( )． A ．半圆所对的圆心角是π rad B ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 2．α＝－2，则α的终边在( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．－2312π rad 化为角度应为________．4．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．5．已知集合A ＝{α|2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，求A ∩B .课堂小结1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式． 易知：度数×π180rad ＝弧度数，弧度数×⎝⎛⎭⎫180π°＝度数． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.参考答案新知导学1．(2)①半径长②正数负数2．角度制与弧度制的换算(1) 2π360°π180°(2) 90°180°3．α·R互动探究探究点1提示正确．用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，角α＝2就表示α是2 rad的角．探究点2提示(1)区别：①弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制．②1弧度的角是指等于半径长的弧所对的圆心角，而1度的角是指等于周角的1360的角，二者大小显然不同．③用弧度制表示角时，单位“弧度”两个字可以省略不写，但用角度制表示角时，单位“°”不能省略．(2)联系：无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值．探究点3提示(1)利用弧度制表示终边落在坐标轴上的角的集合.(2)类型一 角度制与弧度制的换算 【例1】 【解】(1)20°＝20π180＝π9.(2)－15°＝－15180π＝－π12.(3)7π12＝712×180°＝105°. (4)－11π5＝－115×180°＝－396°.【活学活用1】 【解】(1)112°30′＝⎝⎛⎭⎫2252°＝2252×π180＝5π8. (2)－5π12＝－⎝⎛⎭⎫5π12×180π°＝－75°. 类型二 用弧度制表示终边相同的角【例2】 【解】(1)－1 500°＝－1 500×π180＝－25π3＝－10π＋5π3.∵5π3是第四象限角，∴－1 500°是第四角限角． (2)∵2π5＝25×180°＝72°，∴终边与角2π5相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z )，当k ＝0时，θ＝72°；当k ＝1时，θ＝432°，∴在0°～720°范围内，与2π5角终边相同的角为72°，432°.【活学活用2】 【解】(1)∵180°＝π rad ， ∴α1＝－570°＝－570π180＝－19π6＝－2×2π＋5π6，α2＝750°＝750π180＝25π6＝2×2π＋π6.∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限． (2)β1＝3π5＝35×180°＝108°，设θ＝108°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤θ<0°，即－720°≤108°＋k ·360°<0°，得k ＝－2，或k ＝－1.故在－720°～0°范围内，与β1终边相同的角是－612°和－252°.β2＝－π3＝－60°，设γ＝－60°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤－60°＋k ·360°<0°，得k ＝－1，或k ＝0. 故在－720°～0°范围内，与β2终边相同的角是－420°. 类型三 扇形的弧长及面积公式的应用【例3】 【解】设扇形的弧长为l ，半径为r ，圆心角为α，面积为S . 由已知，2r ＋l ＝a ，即l ＝a －2r . ∴S ＝12l ·r ＝12(a －2r )·r ＝－r 2＋a 2r＝－⎝⎛⎭⎫r －a 42＋a 216. ∵r >0，l ＝a －2r >0，∴0<r <a 2，∴当r ＝a 4时，S max ＝a 216.此时，l ＝a －2·a 4＝a2，∴α＝lr＝2.故当扇形的圆心角为2 rad 时，扇形的面积最大，为a 216.【活学活用3】【解】设扇形的半径为r ，面积为S ，由已知，扇形的圆心角为80×π180＝4π9，∴扇形的弧长为4π9r ，由已知，得4π9r ＋2r ＝8π9＋4，∴r ＝2， ∴S ＝12·4π9r 2＝8π9.故扇形的面积是8π9.课堂达标1．D【解析】根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A 、B 、C 均正确，D 错误． 2．C【解析】1 rad≈57.30°，∴－2 rad≈－114.60°.故α的终边在第三象限． 3．－345°【解析】－2312π＝－2312×180°＝－345°.4．34【解析】由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .5．【解】∵A＝{α|2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z}，令k＝1，有2π<α<3π，而2π>4；令k＝0，有0<α<π；令k＝－1，有－2π<α<－π.而－2π<－4<－π，故A∩B＝{α|－4≤α<－π或0<α<π}．。

1.1.2 弧度制(1)概念：①规定周角的1360为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．②长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad.用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．(2)弧度与角度的换算：①360°＝2π rad ；②1°＝π180rad≈0.017 45 rad；③1 rad ＝180π度≈57.30°.α＝k ·360°＋π3(k ∈Z )这种写法正确吗？为什么？ 提示：不正确．虽然弧度制与角度制都可度量角的大小，但单位不同，所以不能混用．2．弧长公式及弧度数与实数间的关系(1)扇形的弧长及面积公式：设扇形的半径为r ，弧长为l ，α为圆心角的弧度数，则l ＝|α|r ，扇形的面积S 扇形＝12rl ＝12|α|r 2. (2)角的集合与实数集之间的关系：正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数为0.角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：即每一个角都对应惟一的一个实数(即这个角的弧度数)；反过来，每一个实数也都对应惟一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)．预习交流2(1)将5π12化为角度制是__________，5 rad 是第__________象限角； (2)将54°化为弧度制是__________；(3)地球的赤道半径约为6 370 km ，则赤道上1度的圆心角所对的弧长是__________，1弧度的圆心角所对的弧长是__________．提示：(1)75° 四 (2)3π10 (3)637π18km 6 370 km 预习交流弧度制与角度制有何区别与联系？提示：区别：(1)单位不同：弧度制是以“弧度”为单位，角度制是以“度”为单位；(2)进位制不同：弧度制是10进制，角度制是60进制；(3)单位“1”不同：弧度制中“1”代表长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，角度制中“1”代表周角的1360为1度的角．联系：(1)角度与弧度可以相互转化；(2)无论角度制还是弧度制，角的大小都是一个与半径无关的定值；(3)两种单位制下，都能在角的集合与实数集R 之间建立一种一一对应关系.一、角度数与弧度数的换算将下列各角的弧度化为度，度化为弧度：(1)92°30′；(2)－1 080°；(3)－7π18；(4)2. 思路分析：对于角度与弧度之间的换算问题，解题的关键是要抓住π＝180°的关系，由比例关系得：弧度数＝度数×π180，度数＝弧度数×⎝ ⎛⎭⎪⎫180°π. 解：(1)92°30′＝92.5°＝92.5×π180＝37π72； (2)－1 080°＝－1 080×π180＝－6π； (3)－7π18 rad ＝－7π18×180°π＝－70°； (4)2 rad ＝2×180°π＝⎝ ⎛⎭⎪⎫360π°. 将下列各角的弧度化为度，度化为弧度：(1)－9π4；(2)2 160°；(3)－11π5；(4)33°45′. 解：(1)－9π4 rad ＝－9π4×180°π＝－405°； (2)2 160°＝2 160×π180＝12π； (3)－11π5 rad ＝－11π5×180°π＝－396°； (4)33°45′＝33.75°＝33.75×π180＝3π16. 二、用弧度制表示终边相同的角将下列各角化成2k π＋α(k ∈Z )且0≤α＜2π的形式，并指出它们是第几象限角：(1)－1725°；(2)64π3. 思路分析：先把－1 725°化成k ·360°＋α(k ∈Z )的形式，再用弧度制表示． 解：(1)∵－1 725°＝－5×360°＋75°，∴－1 725°＝－10π＋5π12. ∴－1 725°角与5π12角的终边相同． 又5π12角是第一象限角， ∴－1 725°角是第一象限角．(2)∵64π3＝20π＋4π3，∴64π3角与4π3角的终边相同． ∴64π3角是第三象限角． 把下列各角化成2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式，并指出它们是第几象限角：(1)－11π4；(2)1 485°；(3)－4.解：(1)－11π4＝－4π＋5π4，是第三象限角． (2)1 485°＝1 485×π180＝33π4＝8π＋π4，是第一象限角． (3)－4＝－2π＋(2π－4)，π2＜2π－4＜π，是第二象限角． 在角度制中，所有与α终边相同的角可以写成α＋k ·360°(k ∈Z )的形式，而在弧度制中可以写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，0≤α＜2π，且α为弧度数；判断一个用弧度数表示的角所在的象限，一般是先将其化成2k π＋θ(k ∈Z,0≤θ＜2π)的形式，然后再根据θ所在的象限进行判断．三、与弧长和扇形面积有关的问题一扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？ 思路分析：设扇形圆心角、半径→求圆心角→求面积→转化为二次函数 解：设扇形圆心角为θ，半径为r ，则2r ＋θ·r ＝20.∴θ＝20－2r r. ∴S 扇形＝12θr 2＝12·20－2r r·r 2＝(10－r )r ＝－(r －5)2＋25(0＜r ＜20)．∴当r ＝5时，扇形面积的最大值为25.此时θ＝2.圆心角为60°的扇形，它的弧长为2π，则它的内切圆的半径为__________．答案：2解析：如图．设内切圆半径为r ，则OO ′＝2r ，R ＝3r .由弧长公式得2π＝π3·3r ，解得r ＝2.弧度制下涉及扇形问题的解题思想：(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．1．72°对应的弧度数为__________，4π5化为角度是__________． 答案：2π5144° 解析：72°＝72×π180＝2π5；4π5＝4π5×180°π＝144°. 2．下列各命题中，正确命题的个数是__________．①用弧度来表示的角都是正角；②“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位；③1°的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12π； ④根据弧度的定义，180°一定等于π弧度；⑤不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关．答案：3解析：①⑤不正确．②③④正确．3．把角－570°化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式为______．答案：－4π＋5π6解析：方法一：－570°＝－⎝⎛⎭⎪⎫570×π180＝－196π， ∴－196π＝－4π＋5π6. 方法二：－570°＝－2×360°＋150°，∴－570°＝－4π＋5π6. 4．如图，公路弯道处AB 的长度l (精确到1 m ，图中长度单位：m)为__________m. 答案：47解析：∵60°＝π3，∴l ＝|α|r ＝π3×45＝15π≈47(m)． 5．把下列各角化成2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式，写出终边相同的角的集合，并指出它们是第几象限角：(1)－46π3；(2)－1 485°. 解：(1)－46π3＝－8×2π＋2π3，是第二象限角， 终边相同的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋2π3，k ∈Z . (2)－1 485°＝－5×360°＋315°＝－10π＋7π4，是第四象限角， 终边相同的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋7π4，k ∈Z .。

课堂导学三点剖析1.理解弧度的意义，角度与弧度的换算【例1】设角α1=-570°，2α=750°，β1=35π弧度，β2=π37-弧度. （1）将α1，2α用弧度表示出来，并指出它们各自所在的象限； （2）将β1、β2用角度制表示出来，并在-720°—0°之间找出与它们有相同终边的所有角. 思路分析：涉及到角度与弧度的互化关系和终边相同的角的概念，其基本公式360°=2π弧度在解题中起关键作用.解：(1)∵180°=π弧度,∴-570°=-ππ619180570-=. ∴α1=-2×2π+65π, 同理2α=2×2π+6π, ∴α1在第二象限，2α在第一象限. （2）∵5353=π×180°=108°, 设θ=k·360°+β1(k ∈Z ),由-720°≤θ＜0°,∴-720°≤k·360°+108°＜0°,∴k=-2或k=-1，∴在-720°—0°之间与β1有相同终边的角是-612°和-252°.同理 β2=-360°-60°=-420°，且在-720°—0°间与β2有相同的终边的角是-420°和-60°.温馨提示迅速进行角度与弧度的互化，准确判明角所在的象限是学习三角函数知识的必备基本功.若需要在某一指定范围内求具有某种特性的角，通常可象上例一样化为解不等式去求对应的k 值.2.弧度制的概念及与角度的关系【例2】一条弦的长度等于半径r,求：(1)这条弦所对的劣弧长；（2）这条弦和劣弧所组成的弓形的面积.思路分析：由已知可知圆心角的大小为3π，然后用公式求解. 解：（1）如下图所示，半径为r 的⊙O 中弦AB=r,则△OAB 为等边三角形，所以∠AOB=3π，则弦AB 所对的劣弧长为3πr.(2)∵S △AOB =21×|AB|×|OD|=21×r×43232r r = S 扇形OAB =21lr=21×3r π×r=62r π ∴S 弓形=S 扇形OAB -S △AOB =6πr 2-243r =(6π-43)r 2. 3.弧度制表示角及终边相同的角 【例3】 集合M={x|x=2πk +4π,k ∈Z },N={x|x=4πk +2π,k ∈Z },则有（ ） A.M=N B.M N C.M N D.M∩N=∅思路分析：本题是考查用弧度制表示角的集合之间的关系.可以用取特殊值法分别找到集合M 、N 所表示的角的终边的位置.解：对集合M 中的整数k 依次取0,1,2,3,得角4π,43π,45π,47π.于是集合M 中的角与上面4个角的终边相同，如图（1）所示.同理，集合N 中的角与0,4π,2π,43π,π,45π,23π,47π,2π角的终边相同，如下图（2）所示.故M N.∴选C.答案：C温馨提示在今后表示角时，常常使用弧度制.但要注意，弧度制与角度制不能混用，例如α=2kπ+30°(k ∈Z),β=k·360°+π23（k ∈Z ）都不正确.各个击破类题演练1（1）把112°30′化成弧度（精确到0.001）；（2）把112°30′化成弧度（用π表示）；（3）把-125π化成度. 解：(1)①n=112°30′,π=3.141 6; ②n=6030112=112.5 ③α=180π≈0.017 5④α=na=1.968 75α≈1.969 rad (2)112°30′=(2252)°=2252×180π=85π (3)-125π=-(125π×π180)°=-75° 变式提升1判断下列各角所在的象限:（1）9；（2）-4；（3）51999π-. 解：（1）因为9=2π+(9-2π),而2π＜9-2π＜π，所以9为第二象限角. (2)因为-4=-2π+（2π-4），而2π＜2π-4＜π,所以-4为第二象限角. (3) 51999π-=-200×2π+π5,所以51999π-为第一象限角. 温馨提示(1)角度数的单位不能省略、弧度数的单位可以省略.(2)一般情况下没有精确度要求，保留π即可，不必将π化成小数.(3)判断α所在的象限时，一般是把α表示成α=2kπ+α′,k ∈Z ,α′∈［0,2π)的形式，根据α和α′角终边相同作出判断.类题演练2一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形的面积是多少？解：设扇形的圆心角是θ弧度，则扇形的弧长是rθ，扇形的周长是2r+rθ.由题意可知2r+rθ=πr.∴θ=π-2（弧度）.扇形的面积为S=21r 2θ=21r 2(π-2). 变式提升2一扇形周长为20 cm ，问扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？ 解：设扇形中心角为θ，半径为r ，则 2r+θr=20,θ=r r 220-. S 扇形=21θr 2 =12·rr 220-·r 2 =(10-r)r=10r-r 2.当r=)1(210-⨯- =5时，S 扇形最大=25，此时θ=2.答：扇形的半径为5 cm ，圆心角为2 rad 时，扇形面积最大，最大值为25 cm 2.类题演练3已知α角的终边与3π的终边相同，在［0，2π）内哪些角的终边与3α角的终边相同？ 解：∵α角的终边与3π的终边相同， ∴α=2kπ+3π(k ∈Z ). ∴3α=2k 3π+π9(k ∈Z ). 又0≤3α＜2π, ∴0≤32πk +9π＜2π(k ∈Z ). 当k=0、1、2时，有3α=9π、97π、913π，它们满足条件. ∴9π、97π、913π为所求. 变式提升3若α是第四象限角，则π-α是（ ）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解法1：∵α为第四象限角.∴2kπ-2π＜α＜2kπ,k ∈Z . ∴-2kπ＜-α＜-2kπ+2π,k ∈Z . ∴-2kπ+π＜π-α＜-2kπ+23π,k ∈Z . ∴π-α是第三象限角.解法2：∵角α与角-α的终边关于x 轴对称，又∵角α的终边在第四象限， ∴角-α终边在第一象限，又角-α与π-α的终边关于原点对称，∴角π-α的终边在第三象限.答案：C。

高一数学 编号:SX--01--002§1.1.2《弧度制》导学案撰稿:梁倩 审核:尹德荣 时间:2009.11.10 姓名: 班级: 组别: 组名: 【学习目标】 1﹑能说出弧度、弧度制的定义. 2﹑学会弧度与角度的互化. 3﹑知道弧度公式与扇形面积公式之间的区别和联系. 【重点难点】 ▲重点：弧度的意义，角度与弧度的计算. ▲难点：弧度的概念及其与角度的关系. 【知识链接】 1﹑我们已经学习了任意角的概念，所谓的角实质上是 ， 按照旋转方向不同，角可以分为 . 2﹑初中我们已经学过角度制，在角度制中，︒1角的规定为 .【学习过程】 阅读课本2页到3页的内容，尝试回答以下问题： 知识点1:弧度制的概念 问题1﹑怎样把角度表示的角转化为实数？把角度的有关运算转化为我们较为常用的实数运算呢？ 问题2﹑弧度的定义是什么？弧度制如何表示？ 问题3﹑rad 2可以写为2吗？︒2可以写为2吗？问题4﹑弧度的大小与所作圆的半径大小有关系吗？问题5﹑完成课本第6页表格的内容.问题6﹑角α的弧度数是如何定义的？问题7﹑α的正负如何决定？知识点2:弧度与角度的换算关系问题1﹑在半径为r的圆中，当圆心角为周角时，怎样用两种不同制进行换算呢？问题2﹑角度与弧度应如何进行转化？问题3﹑填写下列特殊角的度数与弧度的对问题4﹑与︒30终边相同的角该如何表示？分别用角度制与弧度值表示.阅读课本第8页例3的内容，尝试回答以下问题：知识点3:弧长公式与扇形面积问题1﹑若已知扇形半径、圆心角，能否求出该圆心角所对弧长和扇形面积？问题2﹑根据弧度的定义能否求出弧长和扇形面积？问题3﹑扇形面积与弧长有什么关系？问题4﹑已知扇形OAB 的圆心角为︒120，半径为6，求扇形弧长及面积.【基础达标】A1﹑⑴将下列角度转化为弧度.①︒36 ②︒-150 ③︒1095 ④︒1440⑵将下列弧度转化为角度. ①6π- ②π310-③32B2﹑已知弧长为cm 50的弧所对的圆心角为︒300，求这条弧所在的圆的半径.B3﹑①已知α为锐角，那么α2是（ ）. A 第一象限角 B 第二象限角 C 小于︒180的正角 D 第一或第二象限角 ②已知α是第一象限的角，那么2α是（ ）. A 第一象限角 B 第二象限角C 第一或第二象限角D 第一或第三象限角【小结】【当堂检测】 将rad π125-化为角度.【课后反思】本节课我最大的收获是 我还存在的疑惑是 我对导学案的建议是。

1.1.2 弧度制学习目标1.了解弧度制的意义．2.能正确的将弧度与角度互化．3.掌握弧长公式和扇形面积公式．新知初探1．角度制规定周角的 为1度的角，记作1°.用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． 2．弧度制(1)长度等于 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作 ．用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制． (2)弧度数①正角的弧度数是 数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0．②角α的弧度数的绝对值|α|＝lr (其中l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的弧长，r 为圆半径)．3．角度与弧度之间的互化及关系(1)度化弧度：360°＝ rad ，180°＝ rad ，1°＝ rad ≈0.017 45 rad. (2)弧度化度：2π rad ＝ ，π rad ＝ ，1 rad ＝ ≈57.30°. 4．扇形的弧长及面积公式(1)弧长公式：l ＝|α|·r ，(r 为圆半径，|α|为圆心角的弧度数)，两个变形：|α|＝l r ，r ＝l|α|.(2)面积公式：S 扇形＝12l ·r (r 为扇形半径，l 为扇形的弧长)，两个变形：S 扇形＝12|α|·r 2，S 扇形＝12l 2|α|(α为扇形圆心角的弧度数)． 自我尝试1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1弧度指的是1度的角．( )(2)弧长为π，半径为2的扇形的圆心角是直角．( ) 2.8π5弧度化为角度是( ) A ．278° B ．280° C ．288°D ．318°3．半径为2，圆心角为π3的扇形的面积是( )A ．4π3B ．πC ．2π3D ．π34．(1)18°＝________rad ；(2)310π＝________．题型探究题型一 角度与弧度的互化 例1 (1)将下列各角度化成弧度： ①1 080°，②－750°； (2)将下列各弧度化成角度： ①－7π9，②512.方法归纳角度制与弧度制的互化原则(1)角度与弧度的换算关系式是角度与弧度互化的重要依据，其中应记住关系式：π＝180°，它能够帮助我们更快、更准确地进行运算．(2)如果角度以度、分、秒的形式给出时，应先将它化为度，再转化为弧度；如果弧度给出的是实数，如2弧度，化为度应是2×180°π＝360°π.跟踪训练 1.将下列角度与弧度进行互化． ①20°＝________； ②－15°＝________； ③－115π＝________．题型二 终边相同的角和区域角的弧度制表示例2 (1)设角α1＝－570°，α2＝750°，将α1，α2用弧度制表示出来 ，并指出它们各自所在的象限；(2)用弧度制表示第二象限角的集合，并判断－10π3 是不是第二象限角．规律方法熟练掌握角度与弧度的互化，准确判断角所在的象限是学习三角函数知识的必备基本功．若需要在某一指定范围内求具有某种特性的角时，通常转化为解不等式去求对应的k 值． [注意] 用弧度制表示角时，不能与角度制混用，如β＝2k π－60°(k ∈Z )这种写法是不正确的．跟踪训练 2.(1)在区间(0，2π)内，与－34π5终边相同的角是( )A ．π5B ．2π5C ．4π5D ．6π5(2)①把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α＜2π；②在[0，4π]中找出与2π5角终边相同的角．题型三 弧长与扇形面积公式的应用 例3 已知一扇形的圆心角是α，半径是r .(1)若α＝60°，r ＝10 cm ，求扇形的弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c (c >0)，则当α为多少弧度时，该扇形的面积最大？ 方法归纳(1)求扇形的弧长和面积①记公式：弧度制下扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12αr 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形圆心角的弧度数，0＜α＜2π)．②找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解． (2)扇形周长及面积的最值问题①当扇形周长一定时，扇形的面积有最大值．其求法是把面积S 转化为关于r 的二次函数，但要注意r的取值范围．特别注意一个扇形的弧长必须满足0＜l＜2πr.②当扇形面积一定时，扇形的周长有最小值，其求法是把周长C转化为关于r的函数，用基本不等式可求得扇形周长的最小值．特别注意一个扇形的弧长必须满足0＜l＜2πr.跟踪训练 3.(1)在半径为12 cm的圆上，有一条弧的长是18 cm，求该弧所对的圆心角的弧度数和该扇形的面积．(2)已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？课堂小结“度”与“弧度”的区别与联系区别(1)定义不同(2)单位不同．弧度制是以“弧度”为单位，单位可以省略，而角度制是以“度”为单位，单位不能省略(3)弧度制是十进制，而角度制是六十进制联系(1)不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的值，仅和半径与所含的弧这两者的比值有关(2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．有关扇形的弧长l ，圆心角α，面积S 的题目，一般是知二求一的题目，解此类题目的关键在于灵活运用l ＝|α|r ，S ＝12lr ＝12|α|r 2两组公式，采用消元思想或二次函数思想加以解决．当堂小结1．1 920°转化为弧度数为( ) A ．163B ．323C ．163πD ．323π2．在半径为8 cm 的圆中，5π3的圆心角所对的弧长为( ) A ．403π cmB ．203π cmC ．2003π cmD ．4003π cm3．一钟表的分针长为5 cm ，经过40分钟后，分针外端点转过的弧长是________cm.参考答案新知初探1．13602． (1)半径 1 rad (2)①正 负 0． 3．(1) 2π ππ180 (2) 360° 180°180°π自我尝试1．(1)× (2)√【解析】(1)错误.1弧度指的是长度等于半径长的弧所对的圆心角． (2) C 3．C4．(1)π10(2)54°题型探究例1 【解】 (1)①1 080°＝1 080×π180 rad ＝6π rad ，②－750°＝－750×π180 rad ＝－25π6 rad.(2)①－7π9 rad ＝－7π9×180°π＝－140°，②512 rad ＝512×180°π＝75°π. 跟踪训练 1. π9 －π12 －396°【解析】①20°＝20×π180＝π9.②－15°＝－15×π180＝－π12.③－115π＝－115π×180°π＝－396°.例2 【解】 (1)因为－570°＝－19π6＝－4π＋5π6，750°＝25π6＝4π＋π6.所以α1在第二象限，α2在第一象限．(2)在[0，2π)范围内，第二象限角α∈⎝⎛⎭⎫π2，π.所以终边落在第二象限的所有角可表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z ， 而－10π3＝－4π＋2π3∈⎝⎛⎭⎫－4π＋π2，－4π＋π，所以－10π3是第二象限角． 跟踪训练 2. 解：(1)选D ．因为－34π5＝－8π＋6π5，则－34π5与6π5终边相同，选D ．(2)①因为－1 480°＝－1 480×π180 rad ＝－749π rad ，又－749π＝－10π＋169π，其中α＝169π，所以－1 480°＝169π－10π.②终边与2π5角相同的角为θ＝2π5＋2k π(k ∈Z )，当k ＝0时，θ＝2π5；当k ＝1时，θ＝12π5，所以在[0，4π]中与2π5角终边相同的角为2π5，12π5.例3 【解】 (1)设弧长为l ，弓形的面积为S 弓． 因为α＝60°＝π3，r ＝10 cm ，所以l ＝αr ＝103π(cm)，所以S 弓＝S 扇－S △＝12×103π×10－34×102＝50⎝⎛⎭⎫π3－32(cm 2)．(2)由已知2r ＋l ＝c ，所以r ＝c －l2(l <c )， 所以S ＝12rl ＝12·c －l 2·l ＝14(cl －l 2)＝－14⎝⎛⎭⎫l －c 22＋c 216，所以当l ＝c 2时，S max ＝c 216，此时α＝lr ＝c2c －c22＝2，所以当扇形圆心角为2弧度时，扇形的面积有最大值c 216.跟踪训练 3. 解：(1)设该弧所对的圆心角为α，则α＝l r ＝1812＝32(rad)，该扇形面积为S ＝12lr ＝12×18×12＝108(cm 2)． (2)设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，所以l ＝40－2r ，所以S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝－(r －10)2＋100.所以当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，这个最大值为100 cm 2，这时θ＝l r ＝40－2×1010＝2 rad.【解】 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l ，半径为r ， 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝10，①12lr ＝4，②①代入②得r 2－5r ＋4＝0，解得r 1＝1，r 2＝4. 当r ＝1 cm 时，l ＝8 cm ，此时θ＝8 rad>2π rad(舍去)； 当r ＝4 cm 时，l ＝2 cm ，此时θ＝24＝12(rad)．当堂小结1．D【解析】因为1°＝π180，所以1 920°＝1 920·π180＝32π3.2．A【解析】根据弧长公式，得l ＝5π3×8＝40π3 (cm)．3．203π【解析】经过40分钟，分针转过的角是α＝－4×π3＝－43π，则l ＝|α|r ＝5×43π＝203π(cm)．。

- 1 -第一章 三角函数1.1.2 弧度制一、课标要求了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。

二、考纲要求了解弧度的概念，会进行弧度与角度的换算。

三、学习目标叙写：1、理解匀速圆周运动的特点，掌握描述匀速圆周运动快慢的几个物理量：线速度、角速度、周期、转速的定义，理解它们的物理意义并能灵活的运用它们解决问题。

2、理解并掌握描写圆周运动的各个物理量之间的关系3、理解匀速圆周运动的周期性的确切含义。

4、理解向心加速度产生的原因和计算方法。

四．使用说明与学法指导认真阅读教材的6-9页内容，理解弧度制的定义是基础，掌握角度与弧度的换算关系是关键。

理解弧度作为角的度量单位的可靠性和可行性，运算时要熟练使用弧度制【预习案】一、复习：（1）1度角是指把圆周 等份，其中每一份所对的圆心角的度数。

这种用 来度量角的制度叫角度制。

（2）设圆心角为0n 的圆弧长为l ，圆的半径为r ，则l = ；r l= 。

（3）写出终边在下列位置的角的集合。

（1）x 轴： ； （2）y 轴： 。

二、自主学习：自学课本7P -9P 回答：问题1：什么叫角度制？问题2：角度制下扇形弧长公式是什么？扇形面积公式是什么？问题3：什么是1弧度的角？弧度制的定义是什么？【探究按】探究：如图所示，半径为r 的圆的圆心与原点重合，角α始边与x 轴的非负半轴重合，交圆与点A ，终边交与点B.请在下列表格中填空，并思考：如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l,那么α的弧度数是多少？既然角度制，弧度制都是角的度量制，那么它们之间如何换算？新知： ① 正角的弧度数是 数，负角的弧度数是 数，零角的弧度数是 。

② 角α的弧度数的绝对值反思：① 1rad 等于 度，②1︒等于 弧度。

试试：完成特殊角的度数与弧度数的对应表：在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立了________对应关系：三．典型例题例1.(A 级）把3730'︒化成弧度- 2 -例2.(B 级）利用弧度制证明下列关于扇形的公式：（1）l=αR; (2)S=221R α; (3)S=lR 21其中R 是半径，l 是弧长，α（0<α<π2）为圆心角，S 是扇形面积。

必修四第一章 三角函数1.1.2 弧度制[自学目标]1．认识并理解弧度的含义2．学会角度与弧度的互化3. 培养观察能力和计算技能．[知识要点]概念：1、角度制：角度制规定60分等于10，60秒等于1分2、弧度制：（1）长度等于半径的长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1rad,这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制.（2）在半径为r 的圆中，弧长为L 的弧所对的圆心角为αrad ，则α=L r .3、角度制与弧度制的换算1800=πrad ，10=π180rad ≈0.01745rad ，1rad=(180π)0=57.2957°. 4、弧度制下扇形的面积公式为 S= 12LR=12∣α∣R 2.[预习自测]例1．终边在第三象限的角平分线上的角α的集合为（ ）A 、{α∣α=2k π+3π4,k ∈Z }；B 、{α∣α=2k π+54π,k ∈Z }；C 、{α∣α=2k π- π4,k ∈Z }；D 、{α∣α=2k π- 54π,k ∈Z }.例2.与角−33π4终边相同的最小正角是[课内练习]1.把112030’化成弧度；（精确到0.001）2. 把-5π12化成度3.已知集合M={x ∣x=12kπ+π4，k ∈Z }，P={x ∣x=k 4π，k ∈Z },则P 与M 之间的关系是（ ）A、P⊃M；B、M⊃P；C、M=P；D、M∩N=∅.[归纳反思]应能够熟练利用1800=πrad与πrad=180°，来实现角度制与弧度制相互之间的转换[巩固提高]1.将105°30‘化成弧度2. 将2.8π rad化成度3..将下列用弧度制表示的角化为2kπ+α(k∈Z，α∈[0，2π])的形式，并指出它们所在的象限.（1）-154π；（2）323π；答案：预习自测：例1． A例2．3/4π课内练习：1. 0.525rad2. -75°3.A巩固提高：1. 0.5861rad2．504°3. -4π+1/4π 第一象限10π+2/3π 第二象限。

§1.1.2 弧度制【学习目标】1．理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换．2．体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系．3．掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．【自学指导】请结合学习目标，认真阅读课本P6-9页内容，并完成以下填空。

【知识梳理】1．角的单位制(1)角度制：规定周角的________为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．(2)弧度制：把长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作________．(3)角的弧度数求法：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么l，α，r之间存在的关系是：____________；这里α的正负由角α的________________决定．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是________．2．角度制与弧度制的换算3.扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α (0<α<2π)为其圆心角，则【典型例题】例1将下列角度与弧度进行互化．(1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5. 解 (1)20°＝20π180＝π9. (2)－15°＝－15180π＝－π12. (3)7π12＝712×180°＝105°. (4)－11π5＝－115×180°＝－396°. 规律方法 (1)进行角度与弧度换算时，要抓住关系：π rad ＝180°.(2)熟记特殊角的度数与弧度数的对应值．例2 把下列各角化成2kπ＋α (0≤α<2π，k ∈Z)的形式，并指出是第几象限角：(1)－1 500°； (2)23π6； (3)－4. 解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°.∴－1 500°可化成－10π＋5π3，是第四象限角． (2)∵23π6＝2π＋11π6，∴23π6与11π6终边相同，是第四象限角． (3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，π2＜2π－4＜π. ∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角． 规律方法 用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k ∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．例3、已知扇形的周长为a ，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值． 解 设扇形的弧长为l ，半径为r ，圆心角为α，面积为S .由已知，2r ＋l ＝a ，即l ＝a －2r .∴S ＝12l ·r ＝12(a －2r )·r ＝－r 2＋a 2r ＝－⎝⎛⎭⎫r －a 42＋a 216. ∵r >0，l ＝a －2r >0，∴0<r <a 2，∴当r ＝a 4时，S max ＝a 216. 此时，l ＝a －2·a 4＝a 2，∴α＝l r＝2. 故当扇形的圆心角为2 rad 时，扇形的面积最大，为a 216. 规律方法 (1)联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：S ＝12lr ＝12|α|r 2，l ＝|α|r(2)当扇形周长一定时，其面积有最大值，最大值的求法是把面积S 转化为r 的函数．【随堂训练】1.若α=-2弧度,则α的终边在 ( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.在单位圆中,面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为.3.设扇形的面积为4,圆心角为2,则扇形的半径为.4.已知扇形的圆心角为4,其面积为2cm2,求扇形的周长.5.如图,扇形AOB的面积是4cm2,周长是10cm,求扇形的圆心角α的弧度数.。

1.1.2 弧度制课标解读：3．掌握并能运用弧长公式和扇形面积公式．(难点) 知识点1 角度制与弧度制 【问题导思】1．在初中学过的角度制中，把圆周角等分成360份，其中的一份是多少度？2．在给定半径的圆中，弧长一定时，圆心角确定吗？1. 角度制与弧度制的定义如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr .知识点2 角度制与弧度制的换算 【问题导思】角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？1．角度与弧度的互化1.理解“1弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算，熟悉特殊角的弧度数．(重点) 2．了解在弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系．(难点)设扇形的半径为R ，弧长为l ，α为其圆心角，则类型1 角度制与弧度制的互化 例1 将下列各角度与弧度互化． (1)67.5°；(2)112°30′；(3)94π；(4)3.[规律方法]1．在进行角度制和弧度制的换算时，应先将角度制下的含分、秒形式的角化为小数形式并以度为单位后再用公式“π rad ＝180°”换算．2．特殊角的弧度数与度数对应值今后常用，应熟记． 变式训练1 将下列各角度与弧度互化： (1)512π；(2)－76π；(3)－157°30′.类型2 用弧度表示终边相同的角例2已知角α＝2 010°.(1)将α改写成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角；(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．[规律方法]用弧度来表示终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的集合用弧度可表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，这里α应为弧度数．变式训练2 在本例中，找出在区间[0,5π)上与α终边相同的角．类型3 扇形的弧长、面积公式的应用例3已知扇形的周长为20 cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？[规律方法]1．弧度制中求扇形弧长和面积的关键在于确定半径r 和扇形圆心角弧度数α，解题时通常要根据已知条件列出方程，运用方程思想求解．2．本例面积的最值问题是通过转化为面积关于r 的二次函数问题解决的，这种方法是此类问题常用的方法．变式训练3 已知扇形周长为5，面积为1，求扇形圆心角的弧度数.易错易误辨析 因角度制与弧度制混用而出错典例 将－1 485°化成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式为________． 【错解】 因为－1 485°＝－4×360°－45° ＝－4×360°＋(－360°＋315°)＝－5×360°＋315°， 所以－1 485°化为2k π＋α形式应为－10π＋315° 【答案】 －10π＋315°【错因分析】 只考虑了将－1 485°写成了“2k π”的组合形式，而忽视了对α的要求，忽视了角度和弧度在同一表达式中必须统一形式，这是初学者极易犯的一个错误．【防范措施】 在同一式子中，两种单位不能混用，如45°＋2k π(k ∈Z )与k ·360°＋π6都是不允许的．表示角时，要么全用角度制，要么全用弧度制． 【正解】 由－1 485°＝－5×360°＋315°， 所以－1 485°可以表示为－10π＋74π.【答案】 －10π＋74π课堂小结1．明确1弧度的含义是掌握本节问题的关键．2．弧度制与角度制的互化是一种比例关系的变形，具体变化时，可牢记以下公式：π180＝弧度角度，只要将已知数值填入相应位置，解出未知的数值，再添上相应的单位即可． 3．弧度制下的扇形面积公式可类比三角形的面积公式来记忆．4．引入弧度制后，就有两种度量角的单位制，不仅使扇形的弧长和面积公式变得更加简洁，也建立了角与实数间的一一对应关系，为后面学习三角函数的定义打下了基础.当堂双基达标1．下列叙述中正确的是( ) A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B ．1弧度是长度为半径的弧 C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位 2.3π5弧度化为角度是( ) A ．110° B ．160° C ．108°D ．218°3．把22°30′化为弧度的结果是________．4．已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20 cm ，求扇形的面积．参考答案知识点1 角度制与弧度制 【问题导思】 1．【提示】 1度． 2．【提示】 确定．1. 度 半径长 圆心角 弧度 弧度 知识点2 角度制与弧度制的换算【问题导思】 【提示】 利用1弧度角的定义进行换算． 1．2π 360° π 180° 0.017 45 57.30° 知识点3 扇形的弧长及面积公式 αR课堂互动探究类型1 角度制与弧度制的互化例1 【解】 (1)67.5°＝π180rad×67.5＝3π8rad.(2)112°30′＝112.5°＝π180rad×112.5＝5π8rad.(3)94π rad ＝94×180°＝405°. (4)3 rad ＝3×(180π)°＝57.30°×3＝171.90°.变式训练1 【解】 (1)512π rad ＝512×180°＝75°；(2)－76π rad ＝－76×180°＝－210°；(3)－157°30′＝－157.5°＝－157.5×π180 rad ＝－78π rad.类型2 用弧度表示终边相同的角例2 【解】 (1)2 010°＝2 010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6，又π＜7π6＜3π2，所以α与7π6终边相同，是第三象限的角．(2)与α终边相同的角可以写为r ＝7π6＋2k π(k ∈Z )，又－5π≤r ＜0，∴当k ＝－3时，r ＝－296π；当k ＝－2时，r ＝－176π；当k ＝－1时，r ＝－56π.变式训练2 【解】 与α终边相同的角可以写为β＝7π6＋2k π(k ∈Z )， 由0≤β＜5π得0≤7π6＋2k π＜5π，∴－712≤k ＜2312，又k ∈Z ，∴k ＝0,1. 当k ＝0时，β＝7π6，当k ＝1时，β＝19π6.类型3 扇形的弧长、面积公式的应用例3 【解】 设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S . 则l ＝20－2r ，∴S ＝12lr ＝12(20－2r )·r ＝－r 2＋10r ＝－(r －5)2＋25(0＜r ＜10)．∴当半径r ＝5 cm 时，扇形的面积最大，为25 cm 2. 此时α＝l r ＝20－2×55＝2(rad)．∴当它的半径为5 cm ，圆心角为2 rad 时， 扇形面积最大，最大值为25 cm 2.变式训练3 【解】 设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l ，半径为r ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ l ＋2r ＝5，12lr ＝1，①②解得⎩⎪⎨⎪⎧r 1＝12，l 1＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝2，l 2＝1.，所以θ＝8 rad ＞2π rad(舍去)或θ＝12 rad.当堂双基达标1．D【解析】 根据弧度制的定义知D 项正确． 2．C 【解析】 3π5＝35×180°＝108°. 3．π8【解析】 22°30′＝22.5°＝22.5180π＝π8. 4．【解】 设扇形弧长为l ，∵72°＝72×π180＝2π5 (rad)，∴l ＝|α|r ＝2π5×20＝8π(cm)． ∴S ＝12lr ＝12×8π×20＝80π(cm 2).。