均值不等式练习题

均值不等式

一、 知识点：

二、习题讲解：

例1：（1）求y =x +1x (x >0)的最小值

（2）求y =x +1x (x ≥2)的最小值

（3）已知2>x ，求21-+

=x x y 的最小值

变式训练：

1. 已知0>x ，求x x y 42-

-=的最大值

2.当1->x 时，求()11++

=x x x f 的最小值

3.已知45<

x ，求函数54124-+-=x x y 的最大值

4.已知R c b a ∈、、，求证：ac bc ab c b a ++≥++222

5.

423(0)y x x x =-->的最大值是2- 6. 12,33

y

x x x =+>- 7.12sin ,(0,)sin y x x x

π=+∈

例2：（1）已知210<

1-=的最大值

（2）已知：a 、b 都是正数，且1a b +=，1a a α=+，1b b β=+，求αβ+的最小值

变式训练：

1.已知310<

2.当

时，求(82)y x x =-的最大值。

3.设230<

4.已知01x <<

，求函数y =

.；

5.

203x <<

，求函数y =

6.若21x y +=，则24x y +的最小值是______

7.已知,x y R +∈，且满足

134

x y +=，则xy 的最大值为 ________。

例3：求函数()11

332->+++=x x x x y 的最小值

变式训练： 1.

231,(0)x x y x x ++=>

2.设⎪⎭

⎫ ⎝⎛∈2,0πx ，则函数x x y 2sin 1sin 22+=的最小值为

3. 已知2

5≥x ，则()42542-+-=x x x x f 的最小值

4.

2y =

的最小值是

5.

求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

6.

求函数2y =

的值域。

7.设z y x ,,为正实数，且满足032=+-z y x ，则xz y 2

的最小值

例4：已知+∈R c b a ,,，且1=++c b a ，求证：

9111≥++c b a

变式训练：

1.已知2,0,0=+>>b a b a ，则b

a y 41+=

的最小值是

2.正数y x ,满足12=+y x ，求y x /1/1+的最小值。

3.设0,0.a b >>

若1133a b a b

+与的等比中项，则

的最小值为（ ）． A ．8 B ．4 C ． 1 D ． 14 4.已知0,0x y >>，且

191x y +=，求x y +的最小值。

5.已知+∈R y x b a ,,,且1=+y b x a ，求y x +的最小值

例6：若0,0>>b a ，则ab C b a B b a A =+=+=,2,222,b

a D 112+=的大小顺序为：

1.若函数y x ,满足122=++xy y x ，则y x +的最大值是：

2.函数x x y 313-+=

的最大值是

3.若正数b a ,满足()1=+-b a ab ，则ab 的最小值为 综合练习： 已知+

∈R c b a ,,，求证：3≥-++-++-+c

c b a b b a c a a c b 已知+∈R c b a ,,，求证：c b a c ab b ac a bc ++≥++ 已知+

∈R c b a ,,，求证：c b a a c c b b a ++≥++2

22 判断下列命题: (1)22,,=•≥+∴

∈+b a a b b a a b R b a (2)y x y x R y x lg lg 2lg lg ,,•≥+∴∈+ (3)4424,0,=•≥+∴≠∈a a

a a a R a (4)22,0,,-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛--=+∴<∈x y y x x y y x x y y x xy R y x