求数列通项公式及求和的基本方法
1.公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有
1n n n a S S -=-(2)n ≥，等差数列或等比数列的通项公式。
例一 已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且*
1()n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项
公式？ 12n
n a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
.
反思：利用相关数列{}n a 与{}n S 的关系：11a S =,1n n n a S S -=-(2)n ≥与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.
2.累加法：利用1211()()n n n a a a a a a -=+-+⋅⋅⋅-求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如1()n n a a f n +=+的递推数列通项公式的基本方法（()f n 可求前n 项和）.
已知112a =,112n
n n a a +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
*
()n N ∈,求数列{}n a 通项公式.
3. 累乘法:利用恒等式3
21
121
(0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=⋅⋅⋅≠≥求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 1()n n a g n a +=的递推数列通项公式的基本方法(数列()g n 可求前n 项积).
已知11a =,1()n n n a n a a +=-*
()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. n a n =.
反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为1()n n a g n a +=.
4.构造新数列:
类型1
)(1n f a a n n +=+
解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
例1:已知数列{}n a 满足211=a ，n
n a a n n ++
=+2
11
，求n a 1131122n a n n =+-=- 解： 类型2
n n a n f a )(1=+
解法：把原递推公式转化为
)(1
n f a a n
n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例2:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n
a 11+=
+，求n a 。23n a n
=
解：
变式:（全国I,）已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的
通项1
___n a ⎧=⎨
⎩ 12
n n =≥ 2!n a n =)2(≥n 解
类型3
q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p
q
t -=
1，再利用换元法转化为等比数列求解。 例4:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 321-=+n n a .
解： 类型4
n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）
。 （或1n
n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1
+n q
，得：
q q a q p q
a n n n n 1
1
1+•=++引入辅助数列{}n b （其中n
n
n
q a b =
），得：q
b q p b n n 1
1
+=
+再待定系数法解决。 例5:已知数列{}n a 中，6
51=a ,11)2
1(3
1+++=n n n a a ，求n a 。
解：
在11
)21(31+++=n n n a a 两边乘以12+n 得：1)2(3
2
211+•=•++n n n n a a 令n n
n a b •=2，则1321+=+n n b b ,解之得：n n b )3
2(23-=
所以n
n n n n b a )31(2)21(32
-==
类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12
（其中p ，q 均为常数）。
解 (特征根法)：对于由递推公式
n n n qa pa a +=++12，β
α==21,a a 给出的数列
{}n a ，方程
02=--q px x ，叫做数列{}n a 的特征方程。
若21,x x 是特征方程的两个根， 当21
x x ≠时，数列{}n a 的通项为1
211--+=n n n Bx Ax a ，其中
A ，
B 由βα==21,a a 决定（即把
2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1
211--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；
当21
x x =时，数列{}n a 的通项为11)(-+=n n x Bn A a ，其中
A ，
B 由β
α==21,a a 决定（即把
2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入11)(-+=n n x Bn A a ，得到关于A 、B 的方程组）。
例6: 数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n
n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,,求n a
解
