行列式计算证明题
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1-513
113 4
112 3
1•设 2 2…
2.计算元素为a” = |i —j
1
的n阶行列式
01A n -1
1 A冋一］
1^1 =
1
TH
0 A n ?3
—2
由最后一和起，每行减刖一行1-1 A
c
-1
解.IvJ
n - J
1 M -
2 A 0
lw
J_
1
1 A-1
1 A A
粕一
1
0-2 A A -1
每列力口錦鬥列M O0 A A =1-1严严0?・1) M M 0-2
00A0-1
X] +1Xj 2A
D x=
x2 + 1+ 2A总+麗
A A A A
3.计算n阶行列式心+1召+ 2A
(n 2)
是| A|中元素a ij的代数余子式
: -5 1 3 1-60
: 1 3 4 1 02
: 123 1 0 1 解.A41 + A42 + A3 + A44[ 1 1 1 0 0-6
计算Al l + Al2 + A43 + Al4 =, 其中A j 1,2, 3, 4)
十1严
2
解.当<■ >;
Xj + 2 A 丑+用
1 齐+ 2
A 巧+肚
D n 二 % + 2 A
:
冷亠2 A
巧+ w
A A
A A
上 A
A A
心+2
A 忌+用 +
-. 每+ 2
A
珂 Xj + 3
A 耳i 十挖
工！ 2 +3 A
盖i +
曲
% 心十？
A 兀2 +超
总2
^ + 3 A 工2 +
用
M
M M
M M
M M M
M M
% 珀+3
A
+ 珀2
兀+ 3 A
心+用
1咼
x : + 3
A 卞1十
肚
1 2
+ 3 A 简十抡
1 x
2 屯十H A x 2 + w
1 2 z 2 +3 A x 2 + ?s
M M
M M M
M M M M M
+ 1為
心+孑 A 码* + 1 2
4+3 A 心+冲
1可
©十3 A H ］十
圧
1 r a 亏+3 A Jt 3 + W M M M
M M
1 0
心+了 A
可十1 画十2
4.设a , b , c 是互异的实数,证明:
1
A 咼十肚 1
A 工2十肚
M M M M
M
1
A
X, +w
1 7]
3 A 雄i 十耳
1 x
2
3 A 心+血 M M M M M
1 x #
3 A
兀 j *
冲
=0
的充要条件是a + b + c =0.
证明：考察范德蒙行列式：
=(a 一对o —
=-i ■.■:•■ ：i J■ i . ■■■ ■ ； i .
行列式即为y2前的系数•于是
=:...■:二一:.. - •-
=0
所以的充要条件是a + b + c = 0.
5.证明：奇数阶反对称矩阵的行列式为零
证明：丨’1I （n为奇数）.所以| A = 0.
111111
/(0) =353=0/(!) =2 2 2二0
证明：-1-1-1 512
证明：可以找出数(0 < < 1), 使'(提示：使用罗尔定理).
由罗尔定理，存在数(0 < < 1), 使■' ■- ■-.
7.试证：如果n次多项式■'- 1■ 一： ' 丁「对n+ 1个不同的x值都是零，则此多项式恒等于零.(提示：用范德蒙行列式证明)
证明：假设多项式的n + 1个不同的零点为x o, X i,…,x n.将它们代入多项式，得关于C方程组
= 0
q斗=o
系数行列式为X0, X1,…,X n的范德蒙行列式，不为0.所以
= Cj = A = = 0
刊力=1
8•设°
3x2\t求F®
K 2 X1凤＞）
二
12x3x a2x1解.026J=p
3
X 孟
1 X『 1 7 F 2r 弓J?2z0 x 2x22?0 1 2x
1 3J0 1 3J0 1 3x
1 X X3I 2??0 1 2r =
0 0 x