椭圆的几何性质
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椭圆的简单几何性质ppt课件
由 e 1 ，得 1 k 1 ，即 k 5 ．
2
94
4
∴满足条件的 k 4 或 k 5 ．
4
例3：酒泉卫星发射中心将一颗人造卫星送入到 距地球表面近地点(离地面 近的点)高度约200km, 远地点(离地面最远的点)高度约350km的椭圆轨 道(将地球看作一个球，其半径约为6371km),求 椭圆轨道的标准方程。(注:地心(地球的中心)位
2.椭圆的标准方程
标准方程 图形
焦点在x轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
y P
F1 O F2
x
焦点在y轴上
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
y
F2
P
O
x
F1
焦点坐标 a、b、c 的关系 焦点位置的判断
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
分别叫做椭圆的长轴和短轴。 A1
o
A2 x
B2(0,-b)
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？ 焦点落在椭圆的长轴上
椭圆的简单几何性质
长轴：线段A1A2； 长轴长
短轴：线段B1B2； 短轴长
注意
焦距
|A1A2|=2a |B1B2|=2b |F1F2| =2c
y
B2(0,b)
①a和b分别叫做椭圆的 A1 (-a, 0)
b
a
A2 (a, 0)
长半轴长和短半轴长；
F1 a
o c F2 x
② a2=b2+c2，|B2F2|=a；
B1(0,-b)
椭圆的几何性质ppt课件
的对称轴，坐标原点是对称中心. 椭圆的对称中
（3）顶点
在方程①中，令
= 0，得
轴有两个交点，可以记作
=−
作
或
1 (0,
− )，
交点，即
的顶点.
= ，可知椭圆
2 (0,
1， 2
和
=−
1(
或
− ,0)，
与
). 因此，椭圆
= ，可知椭圆
2(
,0)；令
与
= 0 ，得
轴也有两个交点，可以记
与它的对称轴共有 4 个
=− ， = ， =− ， =
x
a 且 b
y
b ，这说明，椭圆
所围成的矩形内，如图所示.
（2）对称性
如果 ( , ) 是方程①的一组解，则不难看出，( − , )，( , − )，( − , − )
都是方程的解，这说明椭圆
因此，
轴、
心也称为椭圆的中心.
关于
轴是椭圆
轴、
轴、坐标原点对称，如图所示.
1 ， 2 ，如图所示，这四个点都称为椭圆
注意到
1 2
椭圆的长轴，线段
=2 ，
1
而且椭圆的长轴长为 2
2
1 2
=2
，而且
>
> 0 ，所以线段
1 2
称为
称为椭圆的短轴. 显然，椭圆的两个焦点在它的长轴上，
，短轴长为 2 .
于是， ，
距为 2 ，则
分别是椭圆的半长轴长和半短轴长，如果设椭圆的焦
是椭圆的半焦距，由
轴上的椭圆是一致的，如图所示.
例 1 求下列方程表示的椭圆的长轴长、半短轴长、焦点坐标以及离心率：
椭圆的几何性质(简单性质)
3
则 C 的离心率为 3
.
y
BF 2FD
B
(c, b) 2( x c, y)
x
3 2
c,
y
b 2
.
OF
x
D
(
3 2
c
a2
)2
(
b 2
)2
b2
1,
c2 a2
1 3
,
e
3 3
.
主页
【4】(09·江苏)如图，在平面直角坐标系
xOy中, A1, A2, B1, B2为椭圆
x2 a2
y2 b2
1 (a>b>0)的四
PF1 PF2 ，求离心率的取值范围．
y
P
解：当点 P 在椭圆短轴端点时， F1PF2 最大．
F1
o
F2
x
≥ 45 sin ≥
2 2
c a
sin
≥
2 2
又0e1
2 2
≤
e
1
主页
例 3.已知 P 是椭圆上一点, F1, F2 分别是椭圆的左右焦点，且 PF1 PF2 ，求离心率的取值范围．
(Ⅱ)设 PF1 m, PF2 n ， 构造方程、不等式
解解解解:::易:易易易知知知知aaa＝a解＝＝＝2:22，易，2，，b知bb＝＝＝ba1＝1＝1，，，12cc，＝c，＝＝cb＝＝333，，，1，3，c＝ 3， 所所所所以以以以FFFF11(1(1－(－(－所－3以33，，3，F0，00)1)，()，0－，)FF，F22(23(F(，3233，(，0，)03，00)，)．)．F．02()．3，0)． 设设设设PPP((x((xx，x，，，yy)y设)y，)，，)，P(x，y)，
3.1.2椭圆的简单几何性质课件(人教版)
x2 a2
y2 b2
1，
（4）
由此可知，点M的轨迹是椭圆，方程（1）是椭圆
的参数方程，在椭圆的参数方程（1）中，常数a、
b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.
6、椭圆的参数方程
椭圆 x2 a2
y2 b2
1 （a
b
0），的参数方程是
x
y
a cos b sin
（为参数）
7、椭圆的焦半径公式
P（x0，y0）是椭圆
c2
b2，就可化
成：x a
2 2
y2 b2
（1 a
b 0）.
这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴、 短轴长分别为2a、2b的椭圆.
5、椭圆的第二定义
平面内点M与一个定点的距离和它到一定直线的
距离的比是常数：e c （0＜e＜1）时，这个 a
点M的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线 叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率．
长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法
画出它的图形．
解：把已知方程化成标准方程： x 2 52
y2 42
1，
这里，a 5，b 4，所以：c 25 16 3，
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是：2a 10
和 2b 8，离心率 e c 3，两个焦点分别是 a5
F1 （ 3，0）和F2 （3，0），椭圆的四个顶点是 A（1 5，0）、A（2 5，0），B（1 0， 4）和B（2 0，4）.
练习
一、选择题
1、椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆
的中心到其准线的距离是（D ）
A、8 5 5
B、 4 5 5
C、8 3 3
D、 4 3 3
2、椭圆 9x2 25 y 2 225 上有一点P，它到右准
《椭圆的简单几何性质》课件
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
3、椭圆的顶点
x2 a2
b y2 2
1(ab0)
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？
令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？ y
*顶点：椭圆与它的对称轴
B2 (0,b)
的四个交点，叫做椭圆的
顶点。
A1
*长轴、短轴：线段A1A2、 (-a，0)F1 B1B2分别叫做椭圆的长轴 和短轴。
x
找出a、b、c所表示的线段。B1
△B2F2O叫椭圆的特征三角形。
二、椭圆 x2 y2 1简单的几何性质
a2 b2
1、范围：
问题1：指出A1 、A2 、B1、B2 的坐标？ 问题2：指出椭圆上点的横坐标的范围？ 问题3：指出椭圆上点的纵坐标的范围？ 结论：椭圆中 -a ≤ x ≤a, -b ≤ y ≤b. 椭圆落在x=± a, y= ± b组y 成的矩形中
b
a
oc
F2
B1 (0,-b)
A2(a，0)
a、b分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长。
根据前面所学有关知识画出下列图形
（1）
x2 y2 1
25 16
（2） x2 y2 1 25 4
y
4 B2
3
2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2
-3
-4 B1
y
4
3 2
B2
A1
长半轴长为a,短半轴长为b. a>b e c a
c2 a2b2
标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
3、椭圆的顶点
x2 a2
b y2 2
1(ab0)
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？
令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？ y
*顶点：椭圆与它的对称轴
B2 (0,b)
的四个交点，叫做椭圆的
顶点。
A1
*长轴、短轴：线段A1A2、 (-a，0)F1 B1B2分别叫做椭圆的长轴 和短轴。
x
找出a、b、c所表示的线段。B1
△B2F2O叫椭圆的特征三角形。
二、椭圆 x2 y2 1简单的几何性质
a2 b2
1、范围：
问题1：指出A1 、A2 、B1、B2 的坐标？ 问题2：指出椭圆上点的横坐标的范围？ 问题3：指出椭圆上点的纵坐标的范围？ 结论：椭圆中 -a ≤ x ≤a, -b ≤ y ≤b. 椭圆落在x=± a, y= ± b组y 成的矩形中
b
a
oc
F2
B1 (0,-b)
A2(a，0)
a、b分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长。
根据前面所学有关知识画出下列图形
（1）
x2 y2 1
25 16
（2） x2 y2 1 25 4
y
4 B2
3
2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 1 2 3 4 5 x
-2
-3
-4 B1
y
4
3 2
B2
A1
长半轴长为a,短半轴长为b. a>b e c a
c2 a2b2
标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率
椭圆的几何性质
设M(x,y)是椭圆上任一点，椭圆的焦距为2c (c>0)，M与
F1和F2的距离的和等于正常数2a，则F1、F2的坐标分别
是(c,0)、(c,0)椭圆就是集合P={M||MF1|+|MF 揭示椭圆的 2|=2a}．
| MF1 | ( x c ) 2 y 2 | MF 2 | ( x c ) 2 本质属性 y2
椭圆的标准 方程
a cx a ( x c ) y
2 2
2
( 2)
③
x y 2 1 ( a b ) 2 a b22
( 5)
a cx a ( x c ) y
2 2
2
( 2)
点(x,y)到点 (c,0)的距离
c 2 2 a x ( x c) y a
对称性
关于x轴、y轴、原点对称
焦
顶
点
点
(c,0)、(c,0)
(a,0)、(0,b)
(0,c)、(0,c) (b,0)、(0,a)
离心率
c e a
一个框，四个点，注意光滑和圆扁，莫忘对称要体现
例：点M(x,y)与定点(c,0)的距离和它到定直线 c a2 l: x 的距离的比等于常数 e ( a c 0) c a 的点的轨迹。 点(x,y)到点
定
义
|MF1|+|MF2|=2a (2a>|F1F2|)
y M F2 x
y
F1
O F2
M x
图
形
F1
2 2
O
方
程
范
围
2 2 x y x y 2 1 a b 0 2 2 1 a b 0 2 b a a b |x| a |y| b |x| b |y| a
椭圆的几何性质优秀课件公开课
切线斜率与法线斜率互为相反数的倒数。
3
切线、法线与椭圆关系
切线、法线都与椭圆在切点处有且仅有一个公共 点。
应用举例：求解相关问题
求给定点的切线方程
给定椭圆上一点，求该点的切线方程。
求给定斜率的切线方程
给定椭圆的方程和切线的斜率，求切线的 方程。
求椭圆与直线的交点
利用切线、法线解决最值问题
给定椭圆和直线的方程，求它们的交点坐 标。
加空间的变化和美感。
椭圆在物理学中的应用
天体运动轨道
椭圆是描述天体运动轨道的重要几何形状之一， 如行星绕太阳的轨道就是椭圆形的。
光学性质
椭圆的光学性质也被广泛应用于物理学中，如椭 圆形的透镜、反射镜等。
电磁学
在电磁学中，椭圆也被用于描述电场和磁场的分 布。
椭圆在工程学中的应用
机械工程
01
椭圆在机械工程中应用广泛，如椭圆形的齿轮、轴承等机械零
工程学
在工程学中，椭圆也经常被用来描述一些物体的形状或运动轨迹。例如，一些机械零件的 截面形状就是椭圆形的；在航空航天领域，飞行器的轨道也可能是椭圆形的。
数学及其他领域
在数学领域，椭圆作为一种重要的几何图形，经常被用来研究一些数学问题。此外，在物 理学、经济学等其他领域，椭圆也有着广泛的应用。
02
从椭圆外一点向椭圆引切线，切线长 相等。这个定理在解决与椭圆切线有 关的问题时非常有用。
03
椭圆上点与焦点关系
点到两焦点距离之和为定值
椭圆上任意一点到两 个焦点的距离之和等 于椭圆的长轴长。
通过该性质，可以推 导出椭圆的其他几何 性质。
这是椭圆定义的基础 ，也是椭圆最基本的 几何性质之一。
点到两焦点距离差与长轴关系
3
切线、法线与椭圆关系
切线、法线都与椭圆在切点处有且仅有一个公共 点。
应用举例：求解相关问题
求给定点的切线方程
给定椭圆上一点，求该点的切线方程。
求给定斜率的切线方程
给定椭圆的方程和切线的斜率，求切线的 方程。
求椭圆与直线的交点
利用切线、法线解决最值问题
给定椭圆和直线的方程，求它们的交点坐 标。
加空间的变化和美感。
椭圆在物理学中的应用
天体运动轨道
椭圆是描述天体运动轨道的重要几何形状之一， 如行星绕太阳的轨道就是椭圆形的。
光学性质
椭圆的光学性质也被广泛应用于物理学中，如椭 圆形的透镜、反射镜等。
电磁学
在电磁学中，椭圆也被用于描述电场和磁场的分 布。
椭圆在工程学中的应用
机械工程
01
椭圆在机械工程中应用广泛，如椭圆形的齿轮、轴承等机械零
工程学
在工程学中，椭圆也经常被用来描述一些物体的形状或运动轨迹。例如，一些机械零件的 截面形状就是椭圆形的；在航空航天领域，飞行器的轨道也可能是椭圆形的。
数学及其他领域
在数学领域，椭圆作为一种重要的几何图形，经常被用来研究一些数学问题。此外，在物 理学、经济学等其他领域，椭圆也有着广泛的应用。
02
从椭圆外一点向椭圆引切线，切线长 相等。这个定理在解决与椭圆切线有 关的问题时非常有用。
03
椭圆上点与焦点关系
点到两焦点距离之和为定值
椭圆上任意一点到两 个焦点的距离之和等 于椭圆的长轴长。
通过该性质，可以推 导出椭圆的其他几何 性质。
这是椭圆定义的基础 ，也是椭圆最基本的 几何性质之一。
点到两焦点距离差与长轴关系
椭圆的几何性质第二定义课件
椭圆的几何性质证明
01
02
03
04
椭圆的性质证明
通过椭圆的定义和标准方程， 可以推导出椭圆的性质，如范
围、对称性、顶点等。
椭圆的范围
由椭圆的标准方程可知，椭圆 位于x轴和y轴之间，其边界
是x=±a和y=±b。
椭圆的对称性
椭圆关于坐标轴和原点对称。
椭圆பைடு நூலகம்顶点
椭圆的顶点是x轴与椭圆的交 点，即A1(-a,0)和A2(a,0)。
以参数t为变量，将椭圆的一般方程化为参数方程的表达式。
参数t的几何意义
参数t表示椭圆上任意一点P(x,y)在椭圆上的运动时间。
椭圆的参数方程的特点
椭圆的参数方程将椭圆的几何性质转化为函数关系，便于研究椭圆 的性质。
椭圆的参数方程推导
从椭圆的一般方程出发，通过 三角代换，得到椭圆的参数方 程。
三角代换的原理：利用三角函 数的性质，将一般方程中的x和 y用参数t表示。
连。
位置
焦点到椭圆中心的距离等于半长轴 的长度。
与椭圆的关系
椭圆上的任意一点到两个焦点的距 离之和等于常数（即半长轴的长度 ）。
椭圆的离心率
01
02
03
定义
椭圆的离心率是椭圆中心 与焦点的距离与半长轴的 比值。
公式
离心率 = 焦点到椭圆中心 的距离 / 半长轴的长度。
与椭圆形状的关系
离心率越大，椭圆的形状 越扁平；离心率越小，椭 圆的形状越接近于圆形。
椭圆的几何性质第 二定义课件
目录
• 椭圆的基本性质 • 椭圆的焦点和离心率 • 椭圆的切线性质 • 椭圆的参数方程 • 椭圆的几何性质总结
01
椭圆的基本性质
文档：椭圆的几何性质
椭圆的简单几何性质1、范围：-a≤x≤a,-b≤y≤b,即椭圆位于直线x=±a,y=±b 所围成的矩形里.2、对称性：椭圆关于x 轴、y 轴及原点都是对称的，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心.3、顶点：在椭圆的标准方程里，令x =0得y =±b ,所以得到：（0,b ）、（0,-b ）是椭圆与y 轴的两个交点，同理令y =0，得x =±a ，可得（a ,0）、(-a ,0)是椭圆与x 轴的两个交点.因为x 轴、y 轴是椭圆的对称轴，所以，椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点，即椭圆与它的对称轴的交点叫做椭圆的顶点.线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别是2a 和2b ,其中a 和b 分别叫椭圆的长半轴长和短半轴长.4、离心率：椭圆的焦距与长轴长的比aca c =22=e ,叫做椭圆的离心率.0＜e ＜1，e 越接近于1，则c 就越接近于a ,从而b =22c a -越小，椭圆就越扁，反之，e 越接近于0，则c 就越接近于0，从而b 就越接近于a ，椭圆就越接近于圆. 5、列表整理椭圆的简单几何性质曲线 椭圆定义平面内与两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数（大于|F 1F 2|）的点的轨迹标准方程)0(12222>>=+b a by a x )0(12222>>=+b a bx a y 图形顶点坐标 （±a ,0）(0,±b )(±b ,0),(0,±a )对称轴x 轴长轴长2a y 轴短轴长2bx 轴短轴长2b y 轴长轴长2a6、椭圆草图的画法①以椭圆的长轴长、短轴长为邻边画矩形.②由矩形的四边中点即可得椭圆的四个顶点.③用光滑曲线将四个顶点连成一个椭圆.在画图时应注意图形的对称性及顶点附近的平滑性。
第8讲：椭圆的简单几何性质
第8讲：椭圆的简单几何性质基本知识点1 椭圆的范围 以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>为例．由标准方程可知，椭圆上点的坐标(,)x y 都适合不等式22221,1x y a b≤≤，即2222,x a y b ≤≤，所以||,||.x a y b ≤≤ 这说明椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框内(如图2.2－8)．2 椭圆的对称性以椭圆与22221(0)x y a b a b+=>>为例． （1）．椭圆的对称轴：坐标轴．（2）．椭圆的对称中心：原点O (0，0)．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．通过观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．3 椭圆的顶点与长轴、短轴以椭圆22221(0)x y a b a b+=>>为例． （1）．椭圆的顶点令0x =，得y b =±；令0y =，得x a =±.这说明12(,0),(,0)A a A a -是椭圆与x 轴的两个交点，12(0,),(0,)B b B b -是椭圆与y 轴的两个交点．因为x 轴、y 轴是椭圆的对称轴，所以椭圆和它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点．（2）．椭圆的长轴、短轴线段A 1A 2叫做椭圆的长轴，它的长为2a ，a 叫做椭圆的长半轴长．线段B 1B 2叫做椭圆的短轴，它的长为2b ，b 叫做椭圆的短半轴长．4 椭圆的离心率（1）．定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，记作2.2c c e a a == （2）．范围：因为0a c >>．所以01,c a<<即(0,1)e ∈. 5 直线与椭圆的位置关系（1）．直线与椭圆的三种位置关系：(1)相交；(2)相切；(3)相离．（2）．直线与椭圆的位置关系的判断：直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定．通常用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判别式△来判定：△0>⇔直线与椭圆相交；△0=⇔直线与椭圆相切；△0<⇔直线与椭圆相离．（3）．弦长公式一条直线被椭圆所截得的线段叫做椭圆的弦．若直线y kx b =+与椭圆相交于不同的两点1122(,),(,),A x y B x y 则直线被椭圆所截得的弦长公式为212||1||AB k x x =+-或 1221||1||AB y y k =+-.性质的应用应用点一 由方程求椭圆的几何性质例1. 求椭圆 22925225x y +=的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆．应用点二 由椭圆的几何性质求方程例2（1）已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍。
2.2.2椭圆的简单几何性质
e
(b,0)、(0,a)
(0<e<1)
离心率
例题精析 例１求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、 离心率、焦点和顶点坐标并画出简图．
解：把已知方程化成标准方程 这里， 5 , b 4 , c a 离心率 e
c a 3 5 0 .6
x 5
2 2
y 4
2 2
B1(0,-b)
③焦点必在长轴上；
小试身手：
2
2.说出 9 1 6 1 下列椭圆的范围,长轴 长,短轴长,焦点坐标,顶点坐标:
x
y
2
3 x 3, 4 y 4
2a 8, 2b 6
(0,
7)
(0, 4), (3, 0)
椭圆的焦距与长轴长的比e
∵a>c>0， ∴0 < e <1.
当e b c a a
2
椭圆的简单几何性质 4.离心率： c
a
叫做椭圆的离心率.
1, c a , c
2
0 , 椭圆 扁
当e b
c a a
2
0, c 0, c
2
a , 椭圆 圆
离心率越大，椭圆越扁 当且仅当a=b时，c=0，这时两个 焦点重合，图形变为圆． 离心率越小，椭圆越圆
y a
2 2
x
x b
2 2
1( a b 0 )
焦点为 F1(－c，0)、F2(c，0)
焦点为 F1(0 ,－c)、F2(0，c)
椭圆的简单几何性质
1.范围
x a
2 2
x a
2 2
y b
(b,0)、(0,a)
(0<e<1)
离心率
例题精析 例１求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、 离心率、焦点和顶点坐标并画出简图．
解：把已知方程化成标准方程 这里， 5 , b 4 , c a 离心率 e
c a 3 5 0 .6
x 5
2 2
y 4
2 2
B1(0,-b)
③焦点必在长轴上；
小试身手：
2
2.说出 9 1 6 1 下列椭圆的范围,长轴 长,短轴长,焦点坐标,顶点坐标:
x
y
2
3 x 3, 4 y 4
2a 8, 2b 6
(0,
7)
(0, 4), (3, 0)
椭圆的焦距与长轴长的比e
∵a>c>0， ∴0 < e <1.
当e b c a a
2
椭圆的简单几何性质 4.离心率： c
a
叫做椭圆的离心率.
1, c a , c
2
0 , 椭圆 扁
当e b
c a a
2
0, c 0, c
2
a , 椭圆 圆
离心率越大，椭圆越扁 当且仅当a=b时，c=0，这时两个 焦点重合，图形变为圆． 离心率越小，椭圆越圆
y a
2 2
x
x b
2 2
1( a b 0 )
焦点为 F1(－c，0)、F2(c，0)
焦点为 F1(0 ,－c)、F2(0，c)
椭圆的简单几何性质
1.范围
x a
2 2
x a
2 2
y b
椭圆的简单几何性质
不 同 点
焦点
顶点 准线
F1 (c,0) F2 (c,0)
A1 (a,0) A2 (a,0) B1 (0,b) B(0, b)
F1 (0,c) F2 (0, c)
A1 (0,a) A2 (0, a ) B1 (b,0) B(b,0)
a2 x c
a2 y c
例题讲解
练习１: 求下列椭圆的焦点坐标和准线
(1)
+ =1 100 36
25 __ x= ±
x2 __
2 y __
焦点坐标:(-8,0),(8,0). 准线方程:
2
(2) 2x2+y2=8
焦点坐标:(0,-2),(0,2). 准线方程:y= ±4
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例题讲解
例2：求中心在原点，一条准线方程是x=3， 离心率为 5 的椭圆标准方程。
c [3]e与a,b的关系: e a
a b b 1 a a
2 2 2
2
2
两种标准方程的椭圆性质的比较
方程
x y 2 1(a b 0) 2 a b
B2 y A1 F1 O B1 F2 A2 x
2
2
y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
A2 F2 B1 O F1 A1 y B2
F (c,0) 0
F (c,0)
2 a x 方程是 x c
a x c
2
a x c
2
由椭圆的对称性,相应与焦点 F (c,0) 的准线方程是
a2 x c
知识归纳
图 形 相同点
方程
长轴长 2a, 短轴长 2b
c 离心率e (0 e 1) a 2 b2 c2 a 2 2 2 2 y x x y 2 1(a b 0) 2 1(a b 0) 2 2 a b a b
3.1.2椭圆的简单几何性质课件(人教版)
y2 x2 1(a b 0)
a2 b2
-b≤x≤b，-a≤y≤a
关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称
(a，0)、(-a，0)、 (0，b)、(0，-b)
(b，0)、(-b，0)、 (0，a)、(0，-a)
(c，0)、(-c，0)
(0，c)、(0，-c)
长半轴长为a，短半轴长为b. a>b
cos B 7 18
则AC 2 AB 2 BC 2 2AB BC cos B 25 9
5 AC
3
2a 1 5 8 33
2c 1 e 2c 3 2a 8
随堂练习 8、与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦距，且离心率0.8.
x2
y2
1或
y2
x2
1
125 45
扁
圆
随着学习的深入，可以体会到，虽然 b 也能刻画椭圆的扁平程度，但
c a
a
中a，c是确定圆锥曲线的基本量，不仅能有效刻画两个焦点离开中心的
程度，而且还蕴含着圆锥曲线几何特征的统一性
总结
标准方程 范围
对称性 顶点坐标 焦点坐标
半轴长 离心率
椭圆的几何性质
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
-a≤x≤a，-b≤y≤b
25 16
x2 y2 (2) 1
25 4
y
4 B2
3
2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3
-4
B1
y
4
3 2
B2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
椭圆的几何性质
点，如果
是焦点，则∠F1PF2的最大值是
.
x2 y 2 （6）已知椭圆 2 2 1(a b 0), F1 , F2分别是左右 a b 焦点，P是椭圆上非长轴端点的任一点，F1PF2 , 试用 表示 F1PF2的面积。
唐洋中学高二数学组
• 已知M(x0,y0)是椭圆x2/a2+y2/b2=1 上一 点,求M到椭圆两焦点F1(-c,0),F2(c,0)的距 离. • 焦半径公式: • MF1=a+ex0 • MF2=a-ex0
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c) 长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b
c e a
c e a
a2=b2+c2
a2=b2+c2
例 2 已知椭圆方程为16x2+25y2=400,
它的长轴长是：10 焦距是： 。短轴长是： 8
3 离心率等于： 5
椭圆的几何性质
知识回顾 1.椭圆的定义:
平面内到两定点F1、F2的距离之和为常数2a（大 于|F1F2 |=2c>0）的动点的轨迹叫做椭圆。
| MF1 | | MF2 | 2a(2a | F1F2 | 2c)
2.椭圆的标准方程是：
当焦点在X轴上时 当焦点在Y轴上时
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
的左 3 焦点为F,离心率为 , 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆 3 截得的 4 3 线段长为 3 . (1)求椭圆的方程. (2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的 直线与 椭圆交于C,D两点.若 AC DB AD CB =8,求k的值.
c 3 【解析】(1)设F(－c,0),由 , 知a 3c. 过点F且 a 3 2 与 x轴 －c y2 1, 垂直的直线为x=－c,代入椭圆方程有 a 2 b 2 解得 6b 2 6b 4 3 y , 于是 , b 2. 2-c2=b2， 解得 又 a 3 3 3
是焦点，则∠F1PF2的最大值是
.
x2 y 2 （6）已知椭圆 2 2 1(a b 0), F1 , F2分别是左右 a b 焦点，P是椭圆上非长轴端点的任一点，F1PF2 , 试用 表示 F1PF2的面积。
唐洋中学高二数学组
• 已知M(x0,y0)是椭圆x2/a2+y2/b2=1 上一 点,求M到椭圆两焦点F1(-c,0),F2(c,0)的距 离. • 焦半径公式: • MF1=a+ex0 • MF2=a-ex0
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c) 长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b
c e a
c e a
a2=b2+c2
a2=b2+c2
例 2 已知椭圆方程为16x2+25y2=400,
它的长轴长是：10 焦距是： 。短轴长是： 8
3 离心率等于： 5
椭圆的几何性质
知识回顾 1.椭圆的定义:
平面内到两定点F1、F2的距离之和为常数2a（大 于|F1F2 |=2c>0）的动点的轨迹叫做椭圆。
| MF1 | | MF2 | 2a(2a | F1F2 | 2c)
2.椭圆的标准方程是：
当焦点在X轴上时 当焦点在Y轴上时
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
的左 3 焦点为F,离心率为 , 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆 3 截得的 4 3 线段长为 3 . (1)求椭圆的方程. (2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的 直线与 椭圆交于C,D两点.若 AC DB AD CB =8,求k的值.
c 3 【解析】(1)设F(－c,0),由 , 知a 3c. 过点F且 a 3 2 与 x轴 －c y2 1, 垂直的直线为x=－c,代入椭圆方程有 a 2 b 2 解得 6b 2 6b 4 3 y , 于是 , b 2. 2-c2=b2， 解得 又 a 3 3 3
椭圆的简单几何性质ppt课件
研究直线与椭圆的位置关系的思路方法
1．研究直线与椭圆的位置关系，可联立直线与椭圆的方程，消元后用 判别式讨论． 2．求直线被椭圆截得的弦长，一般利用弦长公式，对于与坐标轴平行 的直线，直接求交点 坐标即可求解． 3．有关弦长的最值问题，可以运用二次函数性质、一元二次方程的判 别式、基本不等式等来求解.
m
4
4.已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的左､右焦点分别为 F1 ，F2
，A
15 2
,
1 2
在椭圆
B C 上，且 AF1 AF2 ，则椭圆 C 的长轴长为( )
A. 5
B. 2 5
C. 5 或 3
D.2 5 或2 3
解析：由 AF1
AF2 ，得
OA
1 2
F1F2
，所以c
3.1.2 椭圆的简单几何性质
学习目标
01 掌握椭圆的范围、对称点、顶点、离心率等简单性质 02 能 利 用 椭 圆 的 简 单 性 质 求 椭 圆 方 程 03 能 用 椭 圆 的 简 单 性 质 分 析 解 决 有 关 问 题 04 理 解 数 形 结 合 思 想
学习重点
椭圆的几何性质
学习重点
y2 b2
1 (a
b
0) 的长半轴长为
a，半焦距为
c.利
y
用信息技术，保持长半轴长 a 不变，改变椭圆的半焦距
c，可以发现，c 越接近 a，椭圆越扁平.类似地，保持 c
O
x
不变，改变 a 的大小，则 a 越接近 c，椭圆越扁平；而
当 a，c 扩大或缩小相同倍数时，椭圆的形状不变.
这样，利用c和a这两个量，可以刻画椭圆的扁平程度.
椭圆几何性质
椭圆是平面上的一个几何图形，具有一些特殊的性质。
以下是一些椭圆的几何性质：
1.定义性质：椭圆是一个点到两个焦点距离之和等于常数的点
集合。
这个常数称为椭圆的长轴长度，长轴的中点称为椭圆
的中心。
2.对称性质：椭圆具有两个对称轴，即横轴和纵轴。
横轴和纵
轴互相垂直，并交于椭圆的中心。
3.焦点性质：椭圆的焦点是椭圆的两个特殊点，对于椭圆上的
每一个点，它到两个焦点的距离之和是恒定的，等于椭圆的
长轴长度。
4.直径性质：椭圆的任意一条直径的长度等于椭圆的长轴长度。
5.切线性质：椭圆上的每一条切线与椭圆的两个焦点之间的线
段的长度是相等的。
6.圆锥截面性质：椭圆是一个旋转椭圆曲线，可以通过将一个
圆沿一个不在圆心处的直线截成椭圆来得到。
这些性质为椭圆的研究和应用提供了基础，例如在数学、物理、工程等领域中，椭圆的性质被广泛应用于解决实际问题。