第5讲逆运动学与速度雅可比

q——机器人关节在关节空间中的关节速度。
若把J(q)矩阵的第1列与第2列矢量记为J1、J2,则有 V=J1θ1+J2θ2,说明机器人速度雅可比的每一列表示其它关节不 动而某一关节运动时产生的端点速度。
•
(3.47)
若已知关节上θ1.与θ2是. 时间的函数,θ1=f1.(t),θ2=f2(.t), 则可求出 该机器人手部在某一时刻的速度V=f(t), 即手部瞬时速度。反之, 给定机器人手部速度,可由V=J(q)q解. 出相应的关节速度,q=. J-1V, 式中J-1为机器人逆速度雅可比矩阵。


1
y
1
x
2
y


d1 d2

2
令
x
J


1
y
1
则式(3.41)可简写为
x
2
y

• 1

dX=J dθ
其中,
dX

dx dy
,
d

d1
d
x l1 cos1 l2 cos12

y

l1
sin
1

l2
sin 12
即

x y

x(1,2 ) y(1,2 )
dx

x
1
d 1

x
2
d2
dy

y
1

d 1
• y
2
d2
x
d x
dy

第五讲 机器人逆运动学及速度分析
5.1 工业机器人的运动学方程简介
• 运动方程
–
末端执行器(对多数机器人常
表•现为夹
持型工具)上的坐标
系
(也称标架)相对于基础坐标系的位姿矩阵Te0，就是操作机的
运动方程。
• 正解
– 已知各杆的结构参数和关节变量，求末端执行器的空间位置
和姿态，称作机器人运动学正问题；对于移动关节，取d为
开链操作机位姿逆解实例
解：1）求θ 1
2）求θ 3
3）求θ 2
求逆小结
求逆解：
1) 方法：等号两端的矩阵中对应元素相等； 2) 步骤：利用矩阵方程进行递推，每递推一次可解一个或多于
一个的变量公式； 3) 技巧：利用三角方程进行置换
关于关节角(θ )的多解(多值)问题
• 代数法和几何法进行位姿逆解时，关节角的解都是多解 (多值的)的。
用绕动坐标轴转角为参数的欧拉角表示法 z-y-x欧拉角设定法
•
用绕动坐标轴转角为参数的欧拉角表示法
• 三次旋转变换后的得到 的姿态矩阵如何？
2. 工业机器人速度分析
把式(3.44)两边各除以dt,
dX
dq
dt J (q) d•t
或
V=J(q) q
(3.45) (3.46)
其中: V——机器人末端在操作空间中的广义速度,V=X; J(q)——速度雅可比矩阵;
2

由此可求得
J

l1s1 l2s12

l1c1

l2
c 12
l2s12
•
l2c12

对于n自由度机器人,关节变量q=［q1 q2…qn］T,当关节为转 动关节时,qi=θi; 当关节为移动关节时,qi=di,则dq=dq1 dq2…dqn］ T反映关节空间的微小运动。由X=X(q)可知,
(3.36)
可写成 将其微分, 得
Y=F(X)Biblioteka Baidu
•
dY F dx X
式中, (6×6)矩阵 F 称为雅可比矩阵。 X
(3.37)
对于工业机器人速度分析和静力分析中遇到类似的矩阵, 我 们称为机器人的雅可比矩阵, 简称雅可比。
以二自由度平面关节机器人为例•,如图3.14所示,机器人的手 部坐标(x,y)相对于关节变量(θ1,θ2)有
dX=J(q)dq
其中J(q)是(6×n)的偏导数矩阵. (X=[x,y,z,φx,φy,φz]T dX=[dx,dy,dz,δ φ x,δ φ y,δ φ z]T ), 称为n自由度机器人速 度雅可比矩阵。
3转角表示的姿态矩阵
• 用连杆坐标系之间的变换矩阵A确定的T6建立机器人运动学方 程的方法.其中n,o,a共9个元素表示手部姿态.实际只有三个独 立的.这种方法对坐标变换运算十分方便,但利用它做手部姿态 描述不方便.
逆速度雅可比J-1出现奇异解的情况如下:
① 工作域边界上的奇异: 机器人手臂全部伸开或全部折 回时,叫奇异形位。该位置产生的 解•称为工作域边界上的奇异。
② 工作域内部奇异: 机器人两个或多个关节轴线重合引 起的奇异。当出现奇异形位时,会产生退化现象, 即在某空间 某个方向(或子域)上, 不管机器人关节速度怎样选择, 手部也 不可能动。
关节变量。
• 逆解
– 已知作业要求时，末端执行器的空间位置和姿态以及各杆的
结构求关节变量
5.1.1
• 这两个问题，是机器人应用中
•
极为重要的问题，是对机器人 进行位置控制的关键。
• 由于末端执行器类型复杂，为 了便于研究，下面以末杆的位 姿矩阵T0n取代T0e作为研究对象。
5.1.2 反向运动学及实例
• 如用几何法，这种多值可以方便地由解图直接判定。 • 为达到目标点，操作机的上臂(杆2)和下臂(杆3)可有两
种位形关系。对于下臂，可在基座右面，转到基座的左 面。这样，到达目标点，就可有4种不同的位形。
关于关节角(θ )的多解(多值)问题
5.2
•
1. 数学上, 雅可比矩阵(Jacobian Matrix)是一个多元函数的偏 导矩阵。假设有六个函数, 每个函数有六个变量, 即
• 位姿逆解法可分为3类：
–代数法 –几何法 –数值解法。
若已知末杆某一特定的位姿矩阵T06：
• 方法步骤
• 用qi代替θ i或di表示关节变量(qi称作广义关 节变量)
• 一般的递推解题步骤如下：
例：已知T06，求例PUMA560的位姿逆解。即：已知
以及A1，A2，A3，A4，A5，A6 求： θ 1，θ 2，…θ 6（代数法）
• 如何用3个独立参数描述姿态? 这3个独立变量可以取作绕3个 轴的转角。
• 机器人手部位姿的六维列矢量表示:
X=[x,y,z,φx,φy,φz]T
用绕基础坐标轴的转角为参数的导航角表示法 x-y-zRPY
φ——滚转角(roll)； θ——俯仰角(pith)； ψ ——偏摆角(yaw)
用绕基础坐标轴的转角为参数的导航角表示法 x-y-zRPY