正态总体的参数检验

数理统计17：正态总体参数假设检验现在，我们对正态分布的参数假设检验进⾏讨论，这也是本系列的最后⼀部分内容。

由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！⽬录Part 1：基本步骤正态总体N (µ,σ2)参数的假设检验不外乎遵循以下的步骤：找到合适的统计量，⽤统计量的取值范围设计拒绝域。

假定原假设为真，考虑这个条件下统计量的分布。

根据统计量的分布，根据检验的⽔平要求设置拒绝域的边界值。

设计检验的核⼼在于假定原假设为真，这是因为检验的⽔平是基于弃真概率定义的，也就是说，要在第三步中写出检验的⽔平，就必须在H 0成⽴的情况下找出⼩概率事件的发⽣条件。

⽐如，对于均值的检验⼀共有三种：1.H 0:µ=µ0↔H 1:µ≠µ0;2.H 0:µ≥µ0↔H 1:µ<µ0;3.H 0:µ≤µ0↔H 1:µ>µ0.每⼀种⼜可以细分为⽅差σ2已知和⽅差σ2未知两种情况，但显然不论⽅差是否已知，最核⼼的统计量都应该是¯X，如果⽅差未知可能还要⽤到⽅差的替代：S 2。

以下，对于这三种问题，拒绝域分别应该是这样的：如果H 0被接受，则¯X 既不应该太⼤，也不应该太⼩，拒绝域的基础形式应该是{¯X >c 1}∪{¯X <c 2}.如果H 0被接受，则¯X 不应该太⼩，⽆论多⼤都可以，拒绝域的基础形式应该是{¯X <c }.如果H 0被接受，则¯X 不应该太⼤，⽆论多⼩都可以，拒绝域的基础形式应该是{¯X>c }.当然，这只是拒绝域的基础形式，实际情况下可能不⽌使⽤¯X，但基本思想应该是这样的。

对于⽅差的检验，则将检验统计量换成了S 2，或者均值已知情况下的离差平⽅和Q 2，步骤也和上⾯的差不多。

正态总体参数的检验1 总体标准差已知时的单个正态总体均值的U检验某切割机正常工作时，切割的金属棒的长度服从正态分布N(100,4)。

从该切割机切割的一批金属棒中随机抽取15根，测得长度为：97 102 105 112 99 103 102 94 100 95 105 98 102 100 103假设总体的方差不变，试检验该切割机工作是否正常，即检验总体均值是否等于100？，取显著性水平a=0.05。

分析：这是总体标准差已知时的单个正态总体均值的检验，根据题目要求可写出如下假设：H0：u=u0=100，H1=u /=u0(u不等于u0)H0称为原假设，H1称为被择假设（或对立假设）MATLAB统计工具箱中的ztest函数用来做总体标准差已知时的单个正态总体均值的检验调用格式ztest[h,p,muci,zval]=ztest(x,mu0,Sigma,Alpha,Tail)x:是输入的观测向量mu0：假设的均值Sigma：总体标准差Alpha：显著性水平，默认0.05Tail：尾部类型变量,‘both’双侧检验（默认），u不等于uo；‘right’右侧检验，u>u0; ‘left’左侧检验,u<u0；返回值：h：假设的结果（0,1），h=0时，接受假设H0；h=1,拒绝假设H0p：检验的p值，p>Alpha时，接受原假设H0；p<=Alpha 时，拒绝原假设H0.muci：总体均值u的置信水平为1-Alpha的置信区间zval：检验统计量的观测值%定义样本观测值向量x=[97 102 105 112 99 103 102 94 100 95 105 98 102 100 103];mu0=100; %原假设中的mu0sigma=2; %总体标准差Alpha=0.05; %显著性水平%调用ztest函数做总体均值的双侧检验（默认）,%返回变量h，检验的p值，均值的置信区间muci，检验统计量的观测值zval[h,p,muci,zval]=ztest(x,mu0,sigma,Alpha)h =1p =0.0282muci =100.1212 102.1455zval =2.1947由ztest函数返回值可以看到，h=1，且p=0.0282<0.05，所以在显著性水平=0.05下拒绝的原假设H0:u=u0=100，因此认为该切割机不能正常工作，同时还返回了总体均值的置信水平为95%（1-0.05）的置信区间为[100.1212 102.1455]。

单个正态总体参数的假设检验1.提出假设：首先，我们需要提出关于总体参数的假设。

在单个正态总体参数的情况下，我们通常对总体的均值（μ）或标准差（σ）进行假设。

2.确定显著性水平：显著性水平（α）是一个事先设定的临界值。

根据显著性水平，我们可以决定接受还是拒绝原假设。

3.构建统计量：接下来，我们需要构建一个适当的统计量来判断总体参数的假设。

在单个正态总体参数的情况下，通常使用t统计量或z统计量。

4.计算统计量的值：根据样本数据，计算所选统计量的值。

如果使用t统计量，则需要计算样本均值和标准差；如果使用z统计量，则只需计算样本均值。

5.确定拒绝域：拒绝域是根据显著性水平和统计量的分布确定的。

根据统计量的值和拒绝域的临界值，我们可以决定是否拒绝原假设。

6.做出决策：根据统计量的值和拒绝域，我们可以做出决策：接受原假设或拒绝原假设。

下面以一个具体的例子来说明单个正态总体参数的假设检验。

假设我们要检验一些公司员工的平均工资是否等于5000元。

我们从公司中随机抽取了50个员工的工资数据，假设工资数据服从正态分布。

现在我们要进行假设检验。

1.假设提出：原假设（H0）：员工的平均工资等于5000元；备择假设（H1）：员工的平均工资不等于5000元。

2.显著性水平：我们设定显著性水平为0.053.构建统计量：由于样本量较大（n=50），我们可以使用z统计量。

z统计量的计算方法为（样本均值-总体均值）/（总体标准差/根号n）。

4.计算统计量的值：假设我们计算出样本均值为4950元，总体标准差为100元。

5.确定拒绝域：由于显著性水平为0.05，我们需要找出z值对应的临界值。

在标准正态分布表中查找z=1.96对应的值，并根据原假设的双侧检验找出拒绝域的范围。

6.做出决策：根据统计量的值和拒绝域的范围，我们可以判断是否拒绝原假设。

如果统计量的值落在拒绝域之外，我们将拒绝原假设，即认为员工的平均工资不等于5000元。

概率论与数理统计第7章假设检验第3讲正态总体参数的假设检验(2)01 两个正态总体参数的假设检验02单侧检验03 p 值检验法—简介本讲内容*21μμ-2221σσ检验目的本节将讨论两个相互独立的正态总体，211(,)X N μσ222(,)Y N μσ的参数检验问题.设是来自总体X 的简单随机样本；112,,,n X X X 是来自总体Y 的简单随机样本；212,,,n Y Y Y 样本均值.X Y 、为两为两样本方差. 显著性水平为α .2212S S 、(3) μ1 , μ2 未知，检验.2222012112::H H σσσσ=≠，(1)σ12,σ22已知，检验.012112::H H μμμμ=≠，这些假设检验可细分为许多种情形，这里只介绍3种最常见的类型：(2)σ12,σ22未知但σ12 =σ22，检验.012112::H H μμμμ=≠，两个正态总体的参数检验，主要有比较两个均值μ1与μ2的大小，比较两个方差σ12与σ22的大小.根据已知条件的不同，由样本观测值求出统计量的观测值u ，然后作判断.确定拒绝域2{}U u α>选取检验统计量221212~(0,1)X YU N n n σσ-=+U 检验法建立假设012112::.H H μμμμ=≠，借鉴上一章区间估计(1) 已知，检验.12μμ-2212,σσ1212~(2)11w X Y T t n n S n n -=+-+122{(2)}T t n n α>+-(2) 未知但σ12 =σ22，检验.2212,σσ12μμ-T 检验法建立假设012112::.H H μμμμ=≠，由样本观测值求出统计量的观测值t ，然后作判断.确定拒绝域选取检验统计量211222~(1,1)S F F n n S =--2212121{(1,1)(1,1) 或}F F n n F F n n αα-<-->--2222012112::H H σσσσ=≠，(3) μ1 , μ2 未知，检验.2212/σσF 检验法建立假设由样本观测值求出统计量的观测值，然后作判断.确定拒绝域选取检验统计量在某种制造过程中需要比较两种钢板的强度，一种是冷轧钢板，另一种双面镀锌钢板。

正态总体中参数的假设检验正态总体参数的假设检验是统计推断中的一种方法，用于判断总体参数是否符合我们的假设。

下面将详细介绍正态总体参数的假设检验原理和步骤。

一、假设检验原理正态总体参数的假设检验是通过收集样本数据，计算样本统计量来推断总体参数的方法，其中包括均值和标准差。

在进行正态总体参数的假设检验时，我们首先假设总体参数的值，并设立一个零假设和一个备择假设。

其中零假设（H0）是我们希望证伪的假设，备择假设（H1）是我们希望证明的假设。

然后，我们根据样本数据计算得到样本统计量，比如样本均值和样本标准差，并将其与假设中的总体参数进行比较。

通过计算假设检验统计量的值，我们可以判断是否拒绝零假设，即总体参数是否符合我们的假设。

二、假设检验步骤1.确定假设：我们首先需要确定我们要研究的总体参数是均值还是标准差，并设立零假设和备择假设。

通常情况下，零假设是总体参数等于一些特定值，备择假设可以是总体参数大于、小于或者不等于该特定值。

2.收集样本数据：我们需要从总体中取得一个样本，并记录相应的观测值。

3.计算样本统计量：根据样本数据，我们可以计算得到样本均值和样本标准差。

4.计算假设检验统计量：根据样本数据和零假设中的总体参数值，我们可以计算得到假设检验统计量的值，该值用于判断是否拒绝零假设。

5.设定显著性水平：我们需要设定一个显著性水平，通常为0.05或0.01、显著性水平表示拒绝零假设的程度，如果得到的结果小于显著性水平，则可以拒绝零假设。

6.判断拒绝或接受零假设：根据计算得到的假设检验统计量的值与临界值进行比较，如果假设检验统计量的值小于临界值，则拒绝零假设；如果假设检验统计量的值大于等于临界值，则接受零假设。

7.得出结论：根据拒绝或接受零假设的结果，我们可以得出总体参数是否符合我们的假设。

三、举例说明假设我们要研究厂生产的产品的重量是否符合标准，假设标准重量为500克。

我们收集了一个包含30个产品的样本，并计算得到样本的平均重量为495克，标准差为10克。

正态总体参数假设检验公式正态总体参数假设检验，这可是统计学里挺重要的一块知识呢！咱先来说说啥是正态总体。

简单来讲，就是一堆数据形成的分布，长得像个“钟形”，两边低中间高，挺对称的那种。

那为啥要对正态总体的参数进行假设检验呢？比如说，咱们想知道某个班级学生的考试成绩是不是符合某种预期，或者工厂生产的零件尺寸是不是在规定的范围内。

这时候，就需要用假设检验的公式来判断啦。

假设检验的公式有好几个，咱先来说说关于均值的。

比如说，有一个总体的均值我们假设是μ0，然后从这个总体里抽了个样本，算出样本均值是x，样本标准差是 s 。

这时候，就可以用 t 检验的公式：t = (x - μ0) / (s / √n) 。

这里的 n 是样本的数量。

我给您讲个我遇到的真事儿吧。

有一次，我去一个工厂，他们生产一种零件，标准的长度应该是10 厘米。

我随机抽了50 个零件来测量，算出来样本均值是 9.8 厘米，样本标准差是 0.5 厘米。

然后我就用这个t 检验的公式来算算，看这批零件的长度是不是跟标准的有显著差别。

再来说说关于方差的假设检验。

比如说，我们想知道一个总体的方差是不是等于某个值σ0² ，这时候就要用到卡方检验的公式啦。

假设检验可不是随便乱用的哦，得先搞清楚一些条件。

比如说，样本是不是独立的呀，是不是来自正态总体呀等等。

而且，在实际应用中，可不能光套公式，得理解背后的原理。

就像刚才说的工厂零件的例子，如果不理解为啥要这么做，就算算出结果来，也不知道到底意味着啥。

总之，正态总体参数假设检验公式是个很有用的工具，但要用好它，得下点功夫，多练习，多琢磨。

希望您在学习和使用这些公式的时候，能顺顺利利的，别被它们给难住啦！。