2020年复旦附中高二上学期期中数学试卷

绝密★启用前上海市复旦大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．设,a b r 是两个非零向量，则下列命题为真命题的是A.若a b a b a b +=-⊥r r r r r r ，则B.若,a b a b a b ⊥+=-r r r r r r 则 C.若a b a b +=-r r r r ，则存在实数λ，使得a b λ=r r D.若存在实数λ，使得a b λ=r r ，则a b a b +=-r r r r【答案】C 【解析】试题分析：对于A 若a b a b +=-r r r r ，则2222a b ab a b a b r r r rr r r r ++=+-，得0ab a b =-≠r r r r ，则a b ⊥r r 不成立，所以A 不正确．对于B ，由A 解析可知，0ab a b =-≠r r r r ，所以B 不正确．对于C a b a b +=-r rr r ，则2222a b ab a b a b r r r r r r r r ++=+-，得0ab a b =-≠r r r r ，则cos 1θ=-，则a r 与b r 反向，因此 存在实数λ，使得a b λ=rr，所以C 正确．对于D ，若存在实数λ,使得a b λ=rr，则22,a b a a b a r r r r r r λλ⋅=-⋅=-，由于λ不能等于0，因此ab a b r rr r ≠-，则a b a b +≠-r rr r ，所以D 不正确．故选C ．试卷第2页，总23页考点：平面向量的综合题2．设()12,A a a ，()12,B b b ，()12,C c c 点均非原点，则“OC u u u r 能表示成OA u u u r 和OB uuu r的线性组合”是“方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩有唯一解”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据向量坐标公式，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：若OC u u u r 能表示成OA u u u r 和OB uuu r的线性组合，则OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，即()()()121212,,,c c x a a y b b =+， 即111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩，则方程有解即可，不一定是唯一解，若111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩有唯一解，则OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ，即OC u u u r 能表示成OA u u u r 和OB uuu r的线性组合，即必要性成立，则“OC u u u r 能表示成OA u u u r 和OB uuu r 的线性组合”是“方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩有唯一解”的必要不充分条件， 故选：B . 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合平面向量基本定理进行判断是解决本题的关键．3．已知点(,)M a b 与点(0,1)N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450a b -+>；② 当0a >时，2+a b 有最小值，无最大值；③ 221a b +>；④ 当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93(,)(,)44-∞-+∞U ；正确的个数是（ ） A.1B.2C.3D.4…装…………○………__姓名：___________班级：_______…装…………○………【答案】B 【解析】 【分析】先由题意得到()()3450450a b -+++<，推出3450a b -+<，根据题意，作出不等式所表示的平面区域，分别由2+a b ，22a b +，11b a +-的几何意义，结合图像，即可得出结果. 【详解】因为点(,)M a b 与点(0,1)N -在直线3450x y -+=的两侧， 所以()()3450450a b -+++<，即3450a b -+<，故①错误； 当0a >时，3450a b -+<表示的平面区域如下： 令2t a b =+，则22a t b =-+，显然t 表示直线22a tb =-+在b 轴截距的2倍， 截距越大，t 越大；由图像可得，t 无最大值和最小值；故②错误. 设坐标原点到直线3450x y -+=的距离为d ，则1==d ，又22a b +表示3450-+<x y 对应的平面区域内的点与原点距离的平方， 因此221a b +>；故③正确；因为11b a +-表示345001a b a a -+<⎧⎪>⎨⎪≠⎩对应平面区域内的点(,)M a b 与定点(1,1)P -连线斜率，作出345001a b a a -+<⎧⎪>⎨⎪≠⎩对应的平面区域如下：试卷第4页，总23页○…………线…………○……○…………线…………○……由图像可得：5194104--<==--PM PA k k 或34>PM k ， 即11b a +-的取值范围是93(,)(,)44-∞-+∞U ，故④正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，会分析目标函数所表示的几何意义，作出不等式所表示平面区域，即可求解，属于常考题型.4．已知A 、B 为平面上的两个定点，且||2AB =u u u r，该平面上的动线段PQ 的端点P 、Q ，满足||5AP ≤uu u r ，6AP AB ⋅=uu u r uu u r，2AQ PA =u u u r u u u r ，则动线段PQ 所形成图形的面积为（ ）A.36B.60C.72D.108【答案】B 【解析】 【分析】先由题意，以A 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴，以AB 的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，得到(0,0)A ，(2,0)B ，设(,)P x y ，根据向量数量积的运算，得到动点P 的轨迹，求出AP 扫过的三角形的面积；再推出动点Q 轨迹，求出AQ 扫过的三角形的面积，进而可求出结果. 【详解】根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,0)A ，(2,0)B ，设(,)P x y ，所以(,)=AP x y uu u r ，(2,0)AB =u u u r，由||5AP ≤uu u r 得2225+≤x y ；又6AP AB ⋅=uu u r uu u r ，所以26x =，即3x =，………装…………○…………订…________姓名：___________班级：___________考号：………装…………○…………订…所以216≤y ，解得44y -≤≤；因此，动点P 在直线3x =且44y -≤≤上，即8=PC ，则AP 扫过的三角形的面积为：183122⨯⨯=； 设点00(,)Q x y ，因为2AQ PA =u u u r u u u r，所以00(,)2(,)=--x y x y ，所以026=-=-x x ，02=-y y ，因此，动点Q 在直线6x =-且088-≤≤y 上，所以16=QD ， 则AQ 扫过的三角形的面积为：1166482⨯⨯=； 所以动线段PQ 所形成图形的面积为124860+=. 故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，以及轨迹问题，熟记向量数量积的坐标表示，以及向量模的计算公式即可，属于常考题型.试卷第6页，总23页第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题5．已知向量(,1)a k=与(2,1)b k=+r垂直，则实数k=________.【答案】13-【解析】【分析】根据向量垂直，得到数量积为0，列出方程求解，即可得出结果.【详解】因为向量(,1)a k=r与(2,1)b k=+r垂直，所以21310⋅=++=+=r ra b k k k，解得13k=-.故答案为：13-【点睛】本题主要考查由向量垂直求参数，熟记向量数量积的坐标表示即可，属于基础题型. 6．若矩阵()20210A x=，1By⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，则AB=________.【答案】()2021【解析】【分析】根据矩阵乘积的概念，可直接得出结果.【详解】因为()20210A x=，1By⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，所以()()20211002021=⨯+⨯+⨯=AB x y.故答案为：()2021【点睛】本题主要考查矩阵的乘积，熟记概念与运算法则即可，属于基础题型.7．行列式42354112k---的元素3-的代数余子式的值为10，则(,8)a k =r的模为________.【答案】10 【解析】 【分析】先由题意，结合代数余子式的概念，得到212(1)2(2)11012+-=-⨯-+⨯=-kk ，求出6k =，再由向量模的计算公式，即可得出结果.【详解】因为行列式42354112k---的元素3-的代数余子式的值为10，所以212(1)2(2)141012+-=-⨯-+⨯=+=-kk k ，解得6k =，因此10===a r .故答案为：10 【点睛】本题主要考查求向量的模，熟记代数余子式的概念，以及向量模的坐标表示即可，属于常考题型.8．若(2,1)n =r是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角是________. 【答案】arctan 2π- 【解析】 【分析】先由题意求出直线斜率，再记l 的倾斜角为α，进而可求出结果. 【详解】因为(2,1)n =r是直线l 的一个法向量，所以直线l 的斜率为：2k =-，记l 的倾斜角为α，则tan 2α=-，则arctan 2απ-=. 故答案为：arctan 2π- 【点睛】本题主要考查由直线的法向量求直线倾斜角，熟记法向量的概念，以及斜率的定义即可，属于基础题型.试卷第8页，总23页9．关于x 、y 的二元线性方程组252x my nx y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为103011⎛⎫⎪⎝⎭，则mn =________.【答案】1- 【解析】 【分析】先由题意得到31x y =⎧⎨=⎩是方程组252x my nx y +=⎧⎨-=⎩的解，求出11m n =-⎧⎨=⎩，进而可得出结果.【详解】因为关于x 、y 的二元线性方程组252x my nx y +=⎧⎨-=⎩的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为103011⎛⎫⎪⎝⎭，所以31x y =⎧⎨=⎩是方程组252x my nx y +=⎧⎨-=⎩的解， 因此65312m n +=⎧⎨-=⎩，解得11m n =-⎧⎨=⎩，所以1mn =-. 故答案为：1- 【点睛】本题主要考查系数矩阵的逆矩阵解方程组，熟记线性方程组与矩阵之间关系即可，属于常考题型.10．若直线330ax y ++=与直线(2)10x a y +-+=平行，则a 的值为________. 【答案】1- 【解析】 【分析】由直线平行，得到(2)3101310a a a ⨯--⨯=⎧⎨⨯-⨯≠⎩，求解，即可得出结果.【详解】因为直线330ax y ++=与直线(2)10x a y +-+=平行，所以有(2)3101310a a a ⨯--⨯=⎧⎨⨯-⨯≠⎩，即(3)(1)030a a a -+=⎧⎨-≠⎩，解得1a =-.故答案为：1- 【点睛】本题主要考查由两直线平行求参数的问题，熟记两直线平行的充要条件即可，属于常考题型.11．直线l 与圆22(5)4x y -+=相切，且l 在两坐标轴上截距的绝对值相等，这样的直线l 共有________条. 【答案】6 【解析】 【分析】先由题意得到圆心坐标与半径，根据l 在两坐标轴上截距的绝对值相等，分别讨论：截距相等（不为0），截距互为相反数，直线过原点，三种情况，根据直线与圆相切，列出等式，分别求解，即可得出结果.【详解】因为圆22(5)4x y -+=的圆心坐标为()5,0，半径2r = 由l 在两坐标轴上截距的绝对值相等，（1）若截距相等（不为0），可设:l x y a +=，因为直线l 与圆22(5)4x y -+=相切，2r ==，解得5a =?，此时直线有两条；（2）若截距互为相反数，可设:l x y a -=，2r ==，解得5a =?，此时直线有两条；（3）若直线过原点，可设：:0l kx y -=，2r ==，解得21k =?，此时直线有两条；综上，满足条件的直线共有6条. 故答案为：6 【点睛】本题主要考查判断圆的切线条数，熟记点到直线距离公式，会用几何法判断直线与圆位置关系即可，属于常考题型.12．直线l 过点(4,7)-， 且被圆22(1)(2)25x y -+-=截得的弦长为8，则l 的方程试卷第10页，总23页为_____.【答案】4x=或4350x y ++= 【解析】 【分析】先由题意得到圆心坐标与半径，根据弦长求出圆心到直线的距离；分别讨论直线斜率存在与不存在两种情况，结合点到直线距离公式，列出方程求解，即可得出结果. 【详解】因为圆22(1)(2)25x y -+-=的圆心坐标为(1,2)，半径=5r ，又直线l 被圆截得的弦长为8，所以圆心到直线的距离为：3==d 当直线l 斜率不存在时，由l 过点(4,7)-，得:4l x =，满足题意；当直线l 斜率存在时，可设:(7)(4)l y k x --=-，即470kx y k ---=，3=1=，解得43k =-，因此4:(4)73l y x =---，即4350x y ++=. 故答案为：4x =或4350x y ++= 【点睛】本题主要考查已知弦长求直线方程，熟记直线与圆的位置关系，以及点到直线距离公式即可，属于常考题型.13．在平面直角坐标系中，设点()0,0O ，(A ，点(),P x y 的坐标满足0200y x y -≤-+≥⎨⎪≥⎪⎩，则OA u u u v 在OP uuu v 上的投影的取值范围是__________ 【答案】[]3,3- 【解析】 【分析】根据不等式组画出可行域，可知5,66AOP ππ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦；根据向量投影公式可知所求投影为cos OA AOP ∠u u u v，利用AOP ∠的范围可求得cos AOP ∠的范围，代入求得所求的结外…………○……………线………学校内…………○……………线………果. 【详解】由不等式组可得可行域如下图阴影部分所示：由题意可知：6AOB π∠=，56AOC π∠=OA u u u v 在OP uuu v上的投影为：cos OA AOP AOP AOP ∠=∠=∠u u u vAOB AOP AOC ∠≤∠≤∠Q 5,66AOP ππ⎡⎤∴∠∈⎢⎥⎣⎦cos AOP ⎡∴∠∈⎢⎣⎦[]cos 3,3OA AOP ∴∠∈-u u u v 本题正确结果：[]3,3- 【点睛】本题考查线性规划中的求解取值范围类问题，涉及到平面向量投影公式的应用；关键是能够根据可行域确定向量夹角的取值范围，从而利用三角函数知识来求解.14．如图，光线从(,0)P a (0)a >出发，经过直线:30l x y -=反射到(,0)Q b ，该光线又在Q 点被x 轴反射，若反射光线恰与直线l 平行，且13b >，则实数a 的取值范围是________.【答案】(5,)+∞ 【解析】 【分析】先记经过点P 的入射光线与直线l 的交点为M ，由题意得到直线MQ 的斜率为：试卷第12页，总23页......外............○...※※......内............○ (1)3MQ k =-，与直线:30l x y -=垂直的直线斜率为：3k =-；设直线PM 斜率为PM k ，由到角公式求出139PM k =，再由直线MQ 与直线l 联立求出点M 坐标，表示出PM k ，求出a b 、关系，进而可得出结果. 【详解】记经过点P 的入射光线与直线l 的交点为M ， 由题意可得：直线MQ 的斜率为：13MQ k =-， 与直线:30l x y -=垂直的直线斜率为：3k =-；设直线PM 斜率为PM k ，由到角公式可得：11MQ PM PM MQ k k k k k k k k --=+⋅+⋅，即133431133133PM PMk k -+--==-+⋅，解得139PM k =， 又直线MQ 的方程为：1()3y x b =--，由1()330y x b x y ⎧=--⎪⎨⎪-=⎩解得,26b b M ⎛⎫⎪⎝⎭， 因此013692PMbk b a -==-，解得513a b =， 又13b >，所以5513a b =>. 故答案为：(5,)+∞【点睛】本题主要考查直线的应用，熟记直线方程，以及直线的斜率公式即可，属于常考题型. 15．当实数x 、y 满足221x y +=时，|2||62|x y a a x y +-++--的取值与x 、y 均无关，则实数a 的取值范围是________.【答案】6, 【解析】 【分析】先由题意，设cos x θ=、sin y θ=，得到2x y ≤+≤|2||62|x y a a x y +-++--的取值与x 、y 均无关得到6a a ⎧+≥⎪⎨≤⎪⎩出结果. 【详解】因为实数x 、y 满足221x y +=，可设cosx θ=、siny θ=，则()2cos 2sinx y θθθϕ+=+=+，其中1tan 2ϕ=， 所以2x y +≤因为|2||62|x y a a x y +-++--的取值与x 、y 均无关，所以只需|2||62|(2)(62)6x y a a x y x y a a x y +-++--=+-++--=，即6a a ⎧+≥⎪⎨≤⎪⎩6a ≤≤故答案为：6, 【点睛】本题主要考查圆的参数方程的应用，熟记圆的参数方程即可，属于常考题型. 16．已知(1,1)A a -，(1,1)B a +，若在曲线|||1|143x a y --+=上恰有4个不同的点P ，使PA PB λ⋅=u u u r u u u r，则λ的取值范围是________.【答案】119{}(8,15)25U 【解析】 【分析】 先由|||1|143x a y --+=得24y -≤≤，设(,)P x y ，得到(1,1)PA a x y =---u u u r ，试卷第14页，总23页(1,1)PB a x y =+--u u u r ，进而得到222523119,21925252573119,1492525y y PA PB y y ⎧⎛⎫++-≤<⎪ ⎪⎪⎝⎭⋅=⎨⎛⎫⎪-+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩u u u v u u u v ，令222523119,21925252573119,1492525y y t y y ⎧⎛⎫++-≤<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，由题意得到，函数222523119,21925252573119,1492525y y t y y ⎧⎛⎫++-≤<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩与t λ=只需有两个交点，结合函数图像，即可得出结果. 【详解】由|||1|143x a y --+=得|1|13y -≤，解得24y -≤≤； 因为点P 在曲线|||1|143x a y --+=上，可设(,)P x y ，又(1,1)A a -，(1,1)B a +， 则(1,1)PA a x y =---u u u r ，(1,1)PB a x y =+--u u u r，所以()22221241()1(1)(1)19y PA PB a x y y --⋅=--+-=+--u u u r u u u r 2222523119,2125(1)96192525192573119,1492525y y y y y y ⎧⎛⎫++-≤<⎪ ⎪---⎪⎝⎭=-=⎨⎛⎫⎪-+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩， 令222523119,21925252573119,1492525y y t y y ⎧⎛⎫++-≤<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩， 因为在曲线|||1|143x a y --+=上恰有4个不同的点P ，使PA PB λ⋅=u u u r u u u r ， 则函数222523119,21925252573119,1492525y y t y y ⎧⎛⎫++-≤<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩与t λ=只需有两个交点； 作出函数大致图像如下：…………○…………线…………○……考号：___________…………○…………线…………○……由图像可得：11925λ=或815λ<<. 故答案为：119{}(8,15)25U 【点睛】本题主要考查平面向量与曲线方程的综合，利用转化与化归思想，先将问题转化为函数图像交点问题，熟记向量数量积的坐标运算，二次函数的图像与性质，以及数形结合的思想即可，属于常考题型. 三、解答题17．已知ABC ∆的三个顶点(,)A m n 、(2,1)B 、(2,3)C -. （1）求BC 边所在直线的点方向式方程；（2）BC 边上中线AD 的方程为230x y c -+=，且7ABC S =△，求点A 的坐标. 【答案】（1）2142x y --=-；（2）(3,0)-或(3,4). 【解析】 【分析】（1）根据题意求出直线的方向向量，进而可求出结果；（2）先由（1）得到直线BC 的一般式方程，根据题意求出中线AD 的方程，根据三角形面积求出三角形的高为：2△===ABC S h BC试卷第16页，总23页及直线AD 的方程，即可求出结果. 【详解】（1）因为(2,1)B 、(2,3)C -，所以BC 边所在直线的方向向量为：(4,2)=-u u u rBC ，因此，BC 边所在直线的点方向式方程为：2142x y --=-； （2）由（1）得，直线BC 的一般式方程为：240x y +-=； 因为D 点为(2,1)B 、(2,3)C -的中点，则(0,2)D ，由中线AD 的方程为230x y c -+=，所以6c =，因此2360-+=m n 又==BC 7ABC S =△， 所以三角形的高为：2△===ABC S h BC 即点(,)A m n 到直线BC =所以211+=m n 或23+=-m n ， 由2112360m n m n +=⎧⎨-+=⎩得34m n =⎧⎨=⎩；由232360m n m n +=-⎧⎨-+=⎩得3m n =-⎧⎨=⎩，即点A 的坐标为(3,4)或(3,0)-. 【点睛】本题主要考查求直线的方程，以及由直线方程求点的坐标问题，熟记直线方程的几种形式，以及两直线交点坐标的求法即可，属于常考题型.18．已知()()4,3,23261.a b a b a b ==-⋅+=r r rr r r（1）求向量a r 与b r的夹角θ；（2）若()1c ta t b =+-r r r，且0b c r r ⋅=，求t 及c r .【答案】(1)23π. (2) 35T =,c =v 【解析】分析：（1）要求向量a r 与b r的夹角θ，根据夹角公式应先求cos a b a b θ⋅=⋅rr r 。

2020-2021上海复旦大学第二附属中学高二数学上期中一模试卷(及答案)一、选择题1．如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 （ ）A ．18π-B ．4π C ．14π-D ．与a 的值有关联2．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为 A ．k ＞4? B ．k ＞5? C ．k ＞6? D ．k ＞7?3．在区间上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“12x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则 （ ） A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p <<D ．321p p p <<4．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为A．45B．35C．25D．155．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，86．为计算11111123499100S=-+-++-…，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A．1i i=+B．2i i=+C．3i i=+D．4i i=+7．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．5B．7C．9D．118．我国古代名著《庄子g天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是( )A．17?,,+1i s s i ii≤=-=B．1128?,,2i s s i ii≤=-=C．17?,,+12i s s i ii≤=-=D．1128?,,22i s s i ii≤=-=9．某高校大一新生中,来自东部地区的学生有2400人、中部地区学生有1600人、西部地区学生有1000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯,为保证调研结果相对准确,下列判断正确的有（）①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人；②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人；③西部地区学生小刘被选中的概率为1 50；④中部地区学生小张被选中的概率为1 5000A．①④B．①③C．②④D．②③10．《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m的值为67，则输入a的值为()A ．7B ．4C ．5D ．1111．已知平面区域()20,4y x y y x ⎧⎫≥⎧⎪⎪Ω=⎨⎨⎬≤-⎪⎪⎩⎩，直线2y mx m =+和曲线24y x =-两个不的交点，它们围成的平面区域为M ，向区域Ω上随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为()P M ．若01m ≤≤，则()P M 的取值范围为（ ）A ．202,π-⎛⎤⎥π⎝⎦B ．202,π+⎛⎤⎥π⎝⎦C ．212,π+⎡⎤⎢⎥π⎣⎦D ．212,π-⎡⎤⎢⎥π⎣⎦12．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x （万元）8.28.610.011.311.9支出y （万元）6.27.58.0 8.59.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元二、填空题13．已知一组数据4.8，4.9，5.2，5.5，5.6，则该组数据的方差是______． 14．某人向边长分别为5,12,13的三角形区域内随机丢一粒芝麻，假设芝麻落在区域内的任意一点是等可能的，则其恰落在离三个顶点距离都大于2的地方的概率为__ . 15．为了防止职业病，某企业采用系统抽样方法，从该企业全体1200名员工中抽80名员工做体检，现从1200名员工从1到1200进行编号，在115~中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从4660~这15个数中应抽取的数是__________．16．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为98、63，则输出的a =_______．17．以下说法正确的是_____________ . ①类比推理属于演绎推理.②设有一个回归方程ˆ23yx =- ，当变量每增加1个单位，y 平均增加3个单位. ③样本相关系数r 满足以下性质：1r ≤，并且r 越接近1，线性相关程度越强；r 越接近0，线性相关程度越弱.④对复数12,z z 和自然数n 有()1212nn n z z z z ⋅=⋅.18．执行如图所示的程序框图，若输入的A ，S 分别为0,1，则输出的S =____________．19．为了在运行下面的程序之后得到输出y ＝25，键盘输入x 应该是____________. INPUT x IF x<0 THEN y=(x+1)*(x+1)ELSE y=(x-1)*(x-1) END IF PRINT y END20．如果执行下面的程序框图，那么输出的s ＝______________.三、解答题21．画出解关于x 的不等式0ax b +<的程序框图，并用语句描述.22．“大众创业，万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号.共生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(),(1,2,,6)i i x y i =L ，如表所示： 试销单价x （元） 456789产品销量y （件）90 84 83 80 75 68已知611806i i y y ===∑，613050i i i x y ==∑.（1）已知变量,x y ，只有线性相关关系，求产品销量y （件）关于试销单价x （元）的线性回方程y bx a =+$$$；（2）用µi y 表示用（Ⅱ）中所求的线性回归方程得到的与i x 对应的产品销量的估计值.当销售数据(),i i x y 对应的差的绝对值µ||1i i y y -≤时，则将售数数(),i i x y 称为一个“好数据”.现从6小销售数据中任取2个；求“好数据”至少有一个的概率.（参考公式：线性回归方程中,b a的最小二乘估计分别为1221ni iiniix y nx ybx nx==-=-∑∑$，a y bx=-$$）23．已知关于x的一元二次函数2()4 1.f x ax bx=-+（1）若,a b分别表示将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次时第一次、第二次正面朝上出现的点数，求满足函数()y f x=在区间[1,)+∞上是增函数的概率；（2）设点(,)a b是区域280x yxy+-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的随机点，求函数()y f x=在区间[1,)+∞上是增函数的概率.24．设ABC∆的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tana b A=，且B为钝角.（1）证明：2B Aπ-=；（2）求sin sinA C+的取值范围.25．某学校随机抽取部分学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据制成频率分布直方图（如图），若上学路上所需时间的范围为[]0,100，样本数据分组为[)0,20，[)20,40，[)40,60，[)60,80，[]80,100.（1）求直方图中a的值；（2）如果上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿，若招收学生1200人，请估计所招学生中有多少人可以申请住宿；（3）求该校学生上学路上所需的平均时间.26．某校举行书法比赛，下图为甲乙两人近期8次参加比赛的成绩的茎叶图。

2024学年复旦大学附中高二数学上学期期中考试卷一、填空题1．若角α的终边经过点)，则tan α=.2．已知()tan +2πα=，则sin cos sin cos αααα+=-.3．已知向量()383,366,179a =-- ，()500,0,0b = ，则a 在b 方向上的数量投影为.4．已知圆锥的底面周长为2π，其侧面展开图的圆心角为2π3，则该圆锥的高为.5．已知点A 到平面α的距离是2，动点B 、C 在平面α内，且4AB =，则ABC ∠的最小值为.6．设()sin()f x A x ωϕ=+，其中A ＞0，0ω>，||π≤ϕ.函数()y f x =，∈的部分图象如图所示，则该函数的表达式为()f x =.7．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则点1A 到平面1BC D 的距离为.8．已知向量(2,1,3),(1,2,2),(7,6,)a b c λ==--= ，若向量a 、b 、c共面，则实数λ等于．9．如图，某几何体的形状类似胶囊，两头都是半球，中间是圆柱，其中圆柱的底面半径与半球的半径都为1，若该几何体的表面积为12π，则其体积为.10．在空间四边形ABCD 中，对角线,AC BD 的长分别为6和8，异面直线AC 与BD 所成的角为60°，则连接各边中点所得四边形的面积为.11．水管或煤气管的外部经常需要包扎，以便对管道起保护作用，包扎时用很长的带子缠绕在管道外部.若需要使带子全部包住管道且没有重叠的部分（不考虑管子两端的情况，如图所示），这就要精确计算带子的“缠绕角度α”(α指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD 时的ABC ∠，其中AB 为管道侧面母线的一部分）.若带子宽度为1，水管直径为2，则“缠绕角度”α的余弦值为.12．光线沿直线l 以30︒的入射角（指入射光线与入射表面法线的夹角）照射到镜面α上的点A ，反射光线为射线AB ，l 在平面α上的射影为l '，现将镜面以l '为轴旋转45︒，反射光线变为射线AC ，则BAC ∠的大小为.二、单选题13．函数2sin cos (R)y x x x =-∈的最小正周期为（）A ．2πB ．πC ．3π2D ．π214．已知三条直线1l ，2l ，3l 满足12l l ∥且23l l ⊥，则1l 与3l （）A ．平行B ．垂直C ．共面D ．异面15．设A 、B 为夹在两个平行平面间的两个几何体，p ：A 、B 的体积相等，q ：A 、B 在同一高处的截面面积总相等，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻转成△A 1DE (A 1∉平面ABCD )，若M ，O 分别为线段A 1C ，DE 的中点，则在△ADE 翻转过程中，下列说法错误的是（）A ．与平面A 1DE 垂直的直线必与直线MB 垂直B ．异面直线BM 与A 1E 所成角是定值C ．一定存在某个位置，使DE ⊥MOD ．三棱锥A 1­ADE 外接球半径与棱AD 的长之比为定值三、解答题17．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 2B B =.(1)求角B 的大小；(2)若ABC V 的面积为6，4a =，求b 的长.18．已知正四棱锥P ABCD －的高为8，各个顶点均在表面积为100π的球O 的表面上，,AC BD 相交于O '，点E 为线段PC 上一点，使得直线//O E '平面PAD .(1)确定点E 的位置，并证明你的结论；(2)求异面直线O E '与PD 所成角的大小.19．一块边长为12cm 的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形（每个四边形中有且只有一组对角为直角），然后用余下的部分加工制作成一个底面边长为x cm 的“无盖”正三棱柱形容器，容积记为V cm 3.(1)若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”，求出此时x 的值；(2)将V 表示为x 的函数，并求V 的最大值.20．已知四棱锥S ABCD －的底面ABCD 为平行四边形.(1)若,AC BD 交于,O SO ⊥平面ABCD SA BD ⊥,，判断ABCD 是否为菱形，并说明理由；(2)在射线,,SA SB SC 上有点111,,A B C （均与S 不重合），三棱锥S ABC －和111S A B C -的体积分别为S ABC V -和111S A B C V -，求证：111111S ABC S A B C V SA SB SCV SA SB SC --⋅⋅=⋅⋅；(3)设K 为SC 中点，过AK 的平面分别与棱,SB SD 交于点,M N ，设四棱锥S AMKN －和S ABCD －的体积分别为12,V V ，求12V V 的最小值.21．如图，在四面体ABCD 中，ABC V 是正三角形，ACD 是直角三角形，ABD CBD ∠=∠，并且2AB BD ==，点E 在棱BD 上.(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；(2)若二面角D AC E --的正切值为43DEDB的值；(3)点M 、N 分别是线段AB 、BC 上的动点，求DMN 周长的最小值.参考答案：题号13141516答案ABBC1．【分析】根据三角函数的定义，即可求解.【详解】由三角函数的定义可知，tany x α==.故答案为：2．3【分析】利用诱导公式求出tan α，再将所求值的式子弦化切，代值计算即得.【详解】因tan +tan =2παα=（），所以sin cos tan 1213sin cos tan 121αααααα+++===---.故答案为：3.3．383-【分析】利用关系式求出向量的投影向量的长度．【详解】a在b 方向上的数量投影的长度为：cos ,383||||||a b a ba ab a a b b ⋅⋅=⋅==- ．故答案为：383-．4．【分析】求出圆锥的底面圆半径r ，母线长l ，再计算圆锥的高．【详解】设圆锥的底面圆半径为r ，母线长为l ，则底面圆周长为2π2πr =，解得1r =；所以圆锥侧面展开图的圆心角为2π2π2π3r l l α===，解得3l =；所以该圆锥的高为h ===．故答案为：5．6π/30 【分析】根据图形，比较线面角和线和平面内其他角的正弦值，即可求解.【详解】如图，AD α⊥，2AD =，4AB =，过点A 作AE BC ⊥，垂足为点E ，因为AE AD ≥，sin ADABD AB ∠=，sin AE ABE AB∠=，所以sin sin ABD ABE ∠≤∠，ABD ABE∠≤∠当点,E D 重合时，等号成立，所以1sin 2AD ABD AB ∠==，π6ABD ∠=，所以ABC ∠的最小值为π6故答案为：π66．π2sin(2)3x +【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数解析式.【详解】观察图象，得2A =，函数()f x 的最小正周期ππ2π4()312T ω=-=，解得2ω=，由π(212f =，得ππ22π,Z 122k k ϕ⨯+=+∈，而||π≤ϕ，则π0,3k ϕ==，所以函数的表达式为π()2sin(2)3f x x =+.故答案为：π2sin(2)3x +7233【分析】以D 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离即可．【详解】以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则1(1A ,0,1)，(1B ,1,0)，1(0C ,1,1)，(0D ,0,0)，所以(1DB =,1,0)，1(0DC = ,1,1)，1(1DA = ,0,1)，设平面1BC D 的法向量为(n x = ,y ,)z ，则100n DB x y n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1y =-，则1x z ==，所以(1n =,1-,1)，所以点1A 到平面1BC D 的距离为1||23||33DA n n ⋅==2338．10【分析】根据向量共面得到c ma nb =+，代入数据计算得到答案.【详解】因为向量a 、b 、c 共面，所以存在实数m 、n 使得c ma nb =+．所以726232m n m n m n λ=-⎧⎪=+⎨⎪=-⎩4110m n λ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以10λ=．故答案为：109．16π3【分析】根据给定条件，求出中间圆柱的高，再利用球和圆柱的体积公式求解作答.【详解】依题意，几何体可视为半径为1的球和底面圆半径为1，高为h 的圆柱组合而成，于是几何体的表面积24π12π14π2π12πS h h =⨯+⨯⨯=+=，解得4h =，所以该几何体的体积324π16π1π1433V =⨯+⨯⨯=.故答案为：16π310．【分析】根据中位线可证得四边形EFGH 为平行四边形，求可得四边形边长和内角的大小，进而可得四边形的面积．【详解】设,,,AB BC CD AD 的中点分别为,,,H E F G ，连接EF ,FG ,GH ,HE ，由题意可得132HE FG AC ===，142GH EF BD ===，且//HE GF ，所以四边形EFGH 为平行四边形，因为异面直线AC 与BD 所成的角为60︒，所以直线HG 与HE 所成的角等于60︒，所以sin6043EFGH S GH HE =⋅︒=⨯=四边形．故答案为：11．12π【分析】使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况），即斜边长为水管的周长为2π.利用展开图解决.【详解】其展开图如下图所示.水管直径为2，则水管的周长为2π，1cos 2απ∴∠=故答案为：12π.12．1arccos4【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求角.【详解】如图：在长方体中，DA 表示入射线，平面EFA 为平面α，DA 在平面α的射影为FA ，因为直线DA 照射到平面α的入射角为30︒，所以60DAF ∠=︒.不妨令FD FM =1FA =，将平面α绕FA 轴旋转45︒得平面EFGH .则()0,1,0A，可取(0,B ，则反射光线AB的方向向量为：(AB = .因为点D 关于平面EFGH的对称点为)M ，所以反射线AC的方向向量为：()MA =.所以11cos 224AB MA BAC AB MA ⋅∠===⨯⋅.所以1arccos4BAC ∠=.故答案为：1arccos 413．A【分析】利用辅助角公式将函数化成()sin y A ωx φ=+的形式，代入周期公式可得结论.【详解】易知()2sin cos y x x x ϕ=-=+，其中1tan 2ϕ=-，由周期公式可得其最小正周期为2π2πT ω==.故选：A 14．B【分析】根据空间直线平行垂直的定义，结合等角定理进行判定.【详解】若12l l ∥且23l l ⊥，根据空间直线垂直的定义，可得13l l ⊥，不平行，有可能共面，也有可能异面.故选：B.15．B【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合祖暅原理判断即可.【详解】夹在两个平行平面间的两个几何体A 、B 在同一高处的截面面积总相等，则A 、B 的体积相等，即q p ⇒，令A 是棱长为a 的正方体，B 是高为a ，底面积为23a 的三棱锥，则A 、B 的体积都为3a ，相等，而A 、B 在同一高处的截面面积不全相等，因此p 不能推q ，所以p 是q 的必要不充分条件.故选：B 16．C【分析】取DC 中点N ，连接MN ，NB ，证明//MB 平面1A DE ，然后判断A ．取1A D 的中点为F ，连接MF ，EF ，说明1A EF ∠为异面直线BM 与1A E 所成的角．求解即可判断B ；连接1AO ．推出1DE A C ⊥．判断1DE A E ⊥，判断C ．推出22OA AD =为定值，判断D 正确．【详解】解：取DC 中点N ，连接MN ，NB ．M 为1AC 的中点，1//MN A D ∴，又E 为AB 的中点，//DN EB ∴且DN EB =，∴四边形BNDE 为平行四边形，//NB DE ∴．1A D DE D = ，MN NB N = ，∴平面//MNB 平面1A DE ，//MB ∴平面1A DE ，∴与平面1A DE 垂直的直线必与直线BM 垂直，A 正确；取1A D 的中点为F ，连接MF ，EF ，则//MF EB 且MF EB =，∴四边形BEFM 是平行四边形，//BM EF ∴，1A EF ∴∠为异面直线BM 与1A E 所成的角．设1AD =，则22AB AD ==，111A D A E ==，∴112A F =，∴11tan 2A EF ∠=，故异面直线BM 与1A E 所成的角为定值，B 正确；连接1AO ．△1A DE 为等腰直角三角形且O 为斜边DE 中点，1DE AO ∴⊥．若DE MO ⊥，则DE ⊥平面1AMO ，1DE A C ∴⊥．又 DE EC ==2DC =，222DE EC DC ∴+=，DE EC ∴⊥，又1EC A C C = ，DE ∴⊥平面1A EC ，1DE A E ∴⊥，与已知矛盾，C 错误；1OD OE OA OA ===Q ，O ∴为三棱锥1A ADE -的外接球球心．又 22OA AD =为定值，D ∴正确；故选：C ．【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．17．(1)π4B =(2)b =【分析】（1）利用二倍角公式化简得cos B =.（2）利用三角形面积公式求解c ，然后利用余弦定理求解b 即可.【详解】（1）因为sin 2B B =，所以2sin cos B B B =.因为sin 0B ≠，所以cos B =0πB <<，所以π4B =.（2）因为11sin 4622ABC S ac B c ==⨯⨯=△，所以c =由余弦定理可得2222cos 161824102b a c ac B =+-=+-⨯⨯=，所以b =18．(1)E 为线段PC 的中点，证明见解析(2)4arccos 5【分析】（1）根据线面平行的性质可得//O E PA '，结合O '是AC 的中点即可判断E 点位置,（2）根据正四棱锥的几何性质，结合球的表面积公式，可得四棱锥的底面边长，即可根据平行得APD ∠是异面直线O E '与PD 成的角或其补角，利用余弦定理即可求解.【详解】（1）E 为线段PC 的中点，证明如下：由于,AC BD 相交于O '，四边形ABCD 为正方形，故O '是,AC BD 的中点，由于//O E '平面PAD ，O E '⊂平面PAC ，且平面PAC ⋂PAD PA =,故//O E PA ',由于O '是AC 的中点，故E 为线段PC 的中点.（2）由球的表面积公式24π100πS R ==，得球的半径5R =，设球心为O ，在正四棱锥P ABCD -中，高为PO '，则O 必在PO '上，连BO ，则8O P '=,5BO OP R ===，故853O O O P OP ''=-=-=,则在Rt O OB ' ，有4O B '==，即BC B '==，可得正方形ABCD 的边长为侧棱PB =由（1）知//O E PA '，故APD ∠是异面直线O E '与PD 成的角或其补角，由于PAD △为等腰三角形，且45,2PA PD AD ===,故(((()222222245524cos 2525PD PA AD APD PD PA +-+-∠===⋅⨯，∴异面直线O E '与PD 所成的角为4arccos 5；19．(1)6cm (2)32382x V x =-+,(0,12)x ∈,最大值为332cm 【分析】（1）由剪下的三个四边形是全等四边形组成与底面三角形全等的图形，即可得出x 的值；（2）结合平面图形数据及三棱柱直观图求得三棱柱的高和底面积，计算三棱柱容器的容积，求出最大值即可．【详解】（1）由题意知，剪下的三个四边形是全等四边形，且这三个全等的四边形组成与底面三角形全等三角形，所以212x =，解得6x =，即x 的值为6cm ；（2）结合平面图形数据及三棱柱直观图，求得三棱柱的高为32x h -，其底面积为223cm S x =，所以三棱柱容器的容积为2322333)(6)24282x x x x V Sh x x =-=-=-+，(0,12)x ∈；求导数得2338V x x '=-+，令0V '=，解得8x =或0x =（舍去），所以(0,8)x ∈时，()0V x '>，(x)V 单调递增，(8,12)x ∈时，()0V x '<，(x)V 单调递减；所以8x =时，(x)V 取得最大值，为()3283883282V =-+⨯=，所以V 的最大值为332cm ．20．(1)四边形ABCD 为菱形，理由见解析，(2)证明见解析(3)13【分析】（1）根据线线垂直可证明BD ⊥平面AOS ，进而可得BD AO ⊥，即可结合平行四边形求证，（2）利用体积公式，结合相似即可求解，（3）利用体积公式，结合等体积法即可得()1214V V λμ=+，进而利用向量的线性运算，根据共面定理可得113λμ+=，利用基本不等式即可求解最值.【详解】（1）由于SO ⊥平面,ABCD BD ⊂平面,ABCD 故SO BD ⊥,又SA BD ⊥，,,SA AO O SA AO ⋂=⊂平面AOS ，故BD ⊥平面AOS ，又AO ⊂平面AOS ，故BD AO ⊥,因此BD AC ⊥，结合四边形ABCD 为平行四边形，故四边形ABCD 为菱形，（2）111111111111111111sin 332111sin 332SAB C C S ABC C SAB C S A B C SA B CSA B C C C S h SA SB ASB h VV SA SB h V V SA SB h S h SA SB ASB h ----⨯⋅⋅∠⋅⋅⋅====⋅⋅⨯⋅⋅∠⋅ ，其中1C h ,C h 分别表示点1,C C 到平面SAB 的距离，根据相似可得11C C h SCh SC =,故111111111S ABC C C S A B C V SA SB h SA SB SCV SA SB h SA SB SC --⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅（3）设,SM SB SN SD λμ== ,故111111sin sin sin 222222SMK SBC S SM SK BSA SB SC BSA SB SC BSA S λλλ⎛⎫=⋅⋅∠=⋅⋅∠=⋅⋅∠= ⎪⎝⎭ 同理111111sin sin sin 222222SNK SDC S SN SK CSD SD SC CSD SD SC CSD S μμμ⎛⎫=⋅⋅∠=⋅⋅∠=⋅⋅∠= ⎪⎝⎭ ,由于底面ABCD 为平行四边形，故S ACD S ABC V V --=，故121122A SBC A SCDS AMK S ANK A SMK A SNK S ABCD S ABCD S ABCDV V V V V V V V V V V λμ---------+++===()11111222224S ACD S ABC S ACD S ABCD S ACD V V V V V λμλμλμ-----⎛⎫++ ⎪⎝⎭===+，()()1111111122222222AK AS AC AS AS AB AD AB AD AS =+=+=++=++,()()1AM AS SM AS SB AS AB AS AS SB λλλλ=+=+=+-=-+ ,()()1AN AS SN AS SD AS AD AS AS AD μμμμ=+=+=+-=-+ ,由于,,AK AM AN 共面，所以存在,R a b ∈，使得AK a AM bAN =+ ，故()()11111222AB AD AS a AS SB b AS AD λλμμ⎡⎤⎡⎤++=-++-+⎣⎦⎣⎦ ()()11a SB b AD a b AS λμλμ=++-+-⎡⎤⎣⎦ ，因此()()12121112a b a b λμλμ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎡⎤=-+-⎣⎦⎪⎩，化简可得32a b +=，进而113λμ+=，因此()()1211111112241212123V V μλλμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当μλλμ=，即23λμ==时等号成立，故最小值为13，【点睛】关键点点睛：根据等体积法得()1214V V λμ=+，利用共面定理可得113λμ+=，由基本不等式求解最值.21．(1)见解析(2)45(3)32【分析】（1）根据面面垂直的判断定理，构造辅助线，转化为证明线面垂直；（2）根据（1）的结果，建立空间直角坐标系，设DE DB λ= ，并分别求平面DAC 和平面ECA 的法向量，根据二面角的余弦值，即可求解；（3）利用展开图，将三角形周长的最小值转化为两点间距离，即可求解.【详解】（1）由条件可知，AB BC =，BD BD =，ABD CBD ∠=∠，所以ABD CBD ≅ ，所以AD DC =，又因为ACD 是直角三角形，所以90ADC ∠= ，取AC 的中点O ，连结OB OD =，则OD AC ⊥，所以OB AB =，11122OD AC AB ===，且2BD =，所以222OB OD BD +=，则OB OD ⊥，且AC OB O = ，,AC OB ⊂平面ABC ，所以OD ⊥平面ABC ，OD ⊂平面ADC ，所以平面ADC ⊥平面ABC；（2）以点O 为原点，,,OA OB OD 的方向为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，1,0,0，()1,0,0C -，()0,0,1D，()B ，设DE DB λ= ，()2,0,0CA = ，()()()1,0,10,11,,1CE CD DE CD DB λλλ=+=+=+=- ，设平面ACE 的法向量为(),,m x y z = ，则00m CA m CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()2010x x y z λ=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，0x =，令1y =，则z =，即平面ACE的法向量为0,1,1m λ⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭，平面ACD 的法向量为()0,1,0n = ，因为二面角D AC E --的正切值为17，则1cos ,7m n m n m n ⋅==，[]0,1λ∈，解得：45λ=，所以45DE DB =；（3）如图，以,AB BC 为轴，将ABD △和CBD △展开，与ABC V 在同一平面，点D 分成D 和D ¢，当,,,D N M D '四点共线时，DD '为DMN 的周长的最小值，设CBD α∠=，2BC BD ==，DC =，则222223cos 2224α+-==⨯⨯，所以21cos 22cos 18αα=-=，3sin 22sin cos 24ααα==⨯⨯()11cos cos 602cos 22216DBD ααα-∠=+='= ，22211522222162DD -+'=+-⨯⨯⨯=，所以32DD '=，所以DMN 周长的最小值为32+.【点睛】关键点点睛：本题的关键是垂直关系的证明，从而为建立坐标系作准备，建立坐标系中，向量CE的表示是关键.。

复旦附中高二期中数学试卷2020.05一. 填空题1. 若31010x C C =（x *∈N ），则x 的值为2. 已知平面α的一个法向量为(1,2,2)n =r ，(2,1,0)AB =-uu u r，则直线AB 与平面α的位置关系为3. 若6260126(1)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则0126a a a a +++⋅⋅⋅+=4. 从总体中抽取一个样本是5，6，7，8，9，则总体方差的点估计值是5. 已知球O 的半径R ，A 、B 是球面上两点，若线段AB 的长为R ，则A 、B 两点间的球 面距离为6. 古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，若球的表面积等于圆柱的侧面积，则球的体积与圆柱的体积之比为7. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，“赵爽弦图”如图所示，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成，现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有 种（用数字作答）第7题 第8题 第9题8. 微信中有个“微信运动”，记录一天行走的步数，小王的“微信步数排行榜”里有120 个人，今天，他发现步数最少的有0.85万步，最多的有1.79万步，于是，他做了个统计， 作表如下，则这天大家平均步数为 万步9. 如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP 与BD 所成角的大小为10. 盒子里有2020个质地均匀的小球，2019个黑球，1个白球，每次从中随机取一个球， 然后放回一个黑球，则第m （m *∈R ）次恰好取到黑球的概率为11. 在正方体1AC 中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的序号为① 点F 的轨迹是一条线段 ② 1A F 与BE 是异面直线 ③ 1A F 与1D E 不可能平行 ④ 三棱锥1F ABD -的体积为定值12. 已知正三棱锥P ABC -的侧棱长为2020，过其底面中心O 作动平面α交线段PC 于 点S ，交PA 、PB 的延长线于M 、N两点，则111PS PM PN++的取值范围为二. 选择题13. 已知l 是平面α的一条斜线，直线m α⊄，则（ ） A. 存在唯一的一条直线m ，使得l m ⊥ B. 存在无限多条直线m ，使得l m ⊥ C. 存在唯一的一条直线m ，使得l ∥m D. 存在无限多条直线m ，使得l ∥m14. 如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，用过A 、E 、1C 的平面截去 该正方体的下半部分，则剩余几何体的主视图是（ ）A. B. C. D.15. 一个盒子里装有相同大小的红球、白球共30个，其中白球4个，从中任取两个，则概率为1102264264230C C C C C ⋅+⋅的事件是（ ） A. 没有白球 B. 至少有一个白球 C. 至少有一个红球 D. 至多有一个白球 16. 如果空间三条直线a 、b 、c 两两成异面直线，那么与a 、b 、c 都相交的直线有（ ） A. 0条 B. 1条 C. 多于1的有限条 D. 无穷多条三. 解答题17. 已知二项式31()2nx x+（n *∈N ）的二项展开式中所有奇数项的二项式系数之和为128. （1）求31()nx x+（n *∈N ）的展开式中的常数项； （2）在232(1)(1)(1)(1)n x x x x +++++++⋅⋅⋅++的展开式中，求3x 项的系数. （结果用数字作答）18. 已知圆柱1OO ，底面半径为1，高为π，ABCD 是圆柱的一个轴截面，动点M 从点B 出发沿着圆柱的侧面到达点D ，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示，将轴截面ABCD 绕着轴1OO 逆时针旋转2π后，边11B C 与曲线Γ相交于点P . （1）求曲线Γ的长度；（2）求点1C 到平面APB 的距离.19. 如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，△ACD 是边长为2的等边三角形，且2AB BC ==，2PA =，点M 是棱PC 上的动点. （1）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；（2）当线段BM 最小时，求直线MB 与平面PBD 所成角的正弦值.20. 疫情期间，有一批货物需要用汽车从城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响，据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如下表：（1）为进行某项研究，从所用时间为12的60辆汽车中随机抽取6辆，若用分层随机抽样 的方法抽取，求从通过公路1和公路2的汽车中抽取几辆；（2）若从（1）的条件下抽取的6辆汽车中，再任意抽取2辆汽车，求这2辆汽车至少有1辆通过公路1的概率；（3）假设汽车A 只能在约定时间的前11h 出发，汽车B 只能在约定时间的前12h 出发，为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物从城市甲运到城市乙，汽车A 和汽车B 应如何选择各自的道路？21. 定义：对棱相等的四面体为等腰四面体.（1）若等腰四面体的每条棱长都是2，求该等腰四面体的体积； （2）求证：等腰四面体每个面的三角形均为锐角三角形；（3）设等腰四面体ABCD 的三个侧面与底面所成的角分别为α、β、γ，请判断cos cos cos αβγ++是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由.参考答案一. 填空题1. 3或72. 直线AB 在平面α上或直线AB 与平面α平行3. 644. 2.55.53R 6. 23 7. 420 8. 1.269. 3π10. 1201912020m m-- 11. ③ 12. 3{}2020二. 选择题13. B 14. C 15. B 16. D三. 解答题17.（1）常数项为238617216T C =⋅=；（2）330.18.（1；（2）24π+.19.（1）证明略；（220.（1）2，4；（2）93155=；（3）汽车A 应选择公路1，汽车B 应选择公路2.21.（1）3；（2）证明略；（3）定值为1.。

复旦大学附属中学2020学年第一学期高二年级数学 期中考试一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 若直线l 过点()()1,0,2,3A B ，则它的点法向式方程为 . 2. 若行列式36125894 t的元素6的代数余子式的值为18-，则实数t = ． 3. 在直角坐标平面内的△ABC 中，(2,0)A -、(2,0)C ，若sin sin 2sin A C B +=，则△ABC 面积的最大值为 .4. 直线1210111xy =的倾斜角是____________.5. 设点(,)P x y 位于线性约束条件32102x y x y y x +≤⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩所表示的区域内（含边界），则目标函数4z x y =+的最大值是 ．6. 已知点P 和点Q 的坐标分别为()1,1-和()1,2，若直线:0l x my m ++=与线段PQ 相交，则m 的取值范围是_____________.7. 已知方程221410x y k k+=--表示椭圆，则实数k 的取值范围为 .8. 已知△ABC 的顶点()()3,06,0A B -、，若顶点C 在抛物线2y x =上移动，则△ABC 的重心的轨迹方程为 .9. 若实数,x y 满足条件111y x y x ⎧≥--⎪⎨≤-+⎪⎩，则25x y +-的最大值是 .10. 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的半焦距为c ，且b c 3=，若椭圆E 经过B A ,两点，且AB 是圆222:(2)(1)M x y r ++-=的一条直径，则直线AB 的方程为 . 11. 设y x ,满足22220x y x y +--=______________.12. 已知在面积为2的△ABC 中, O 、E 、F 分别是三条边AB 、AC 、BC 的中点,点P 在直线EF 上，若90COP ∠=︒，则2AC BP OB +的取值范围是 .二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. “1m =”是“直线1:60l x my ++=和直线2:20l x my -+=垂直”的（ ）.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件14. 若椭圆()22:1111122n x y C n N n n*+=∈+-，n C 的面积记作n S ，则lim =n n S →+∞（ ）. A. 2π B. π C. 2 D. 115. 已知直线:210l kx y k +--=与两坐标轴分别交于,A B 两点，如果△AOB 的面积为4，那么满足要求的直线l 的条数是（ ）.A. 1B. 2C. 3D. 416. 已知圆22:1O x y +=上有三个不同的点,,A B C ，其中0OA OB =，若存在实数,a b 满足0OC aOA bOB ++=，则直线:10l ax by +-=与圆O 的位置关系为（ ）. A. 相切 B. 相离 C. 相交 D. 不能确定 三. 解答题（本大题共5题，共76分）17.（本题14分）,m n 为已知实数， 直线1l 的方程为(1)+280m x my m --=，直线2l 的方程为(21)+440n x ny n --=. （1）讨论直线1l 与2l 的位置关系；（2）当直线1l 与2l 平行时，求这两条平行线的距离的最大值.18.（本题14分）直线BC 经过定点)2,0(N ，点M 在直线BC 上，且OM BC ⊥. （1）当直线BC 绕着点N 转动时，求点M 的轨迹E 的方程．（2）已知点()3,1T -，Q 是轨迹E 上一个动点，P 是直线:20l x y --=上的一个动点，求+TP PQ 的最小值.19. （本题14分） 折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长. 某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，按如下步骤折纸（如下图），步骤1：设圆心是O ，在圆内不是圆心处取一点，标记为F ； 步骤2：把纸片对折，使圆周正好通过F ；步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕．所有这些折痕围成的图形是一个椭圆.若取半径为4的圆形纸片，设定点F 到圆心O 的距离为2，按上述方法折纸. （1）建立适当的坐标系，求折痕围成椭圆的标准方程；（2）求经过F ，且与直线FO 夹角为4的直线被椭圆截得的弦长.20.（本题16分）如图，已知半圆()2221:0C x y b y +=≤与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于E 点.半椭圆2C ：()222210y x y a b+=≥的上焦点为F ，并且△ABF 是面积为2的等腰直角三角形. 将满足22222221,0,0y x y a b x y b y ⎧+=≥⎪⎨⎪+=≤⎩的曲线记为Γ. （1）求实数,a b 的值；（2）点P 在曲线Γ上，且3PE =，求EPF ∠；以下（3）选做一题（两题都做则以得分低者计入总分．．．．．．．．） （3）直线:2l y x =与曲线Γ交于,M N 两点，在曲线Γ上再取两点,S T （,S T 分别在直线l 两侧），使得这四个点形成的四边形面积最大，求此最大面积. （3）设()()0,T t t R ∈，M 是曲线Γ上任意一点，求MT 的最小值.21.（本题18分）如图，已知双曲线C 的方程为12222=-by a x （0a b >>），两条渐近线的夹角为3arccos5，焦点到渐近线的距离为1．M 、N 两动点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一象限和第四象限，P 是直线MN 与双曲线右支的一个公共点，MP PN λ=. （1）求双曲线C 的方程；（2）当=1λ时，求PM PN 的取值范围；（3）试用λ表示△MON 的面积S ，设双曲线C 上的点到其焦点的距离的取值范围为集合Ω，若5λ∈Ω，求S 的取值范围.复旦大学附属中学2020学年第一学期高二年级数学 期中考试一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 若直线l 过点()()1,0,2,3A B ，则它的点法向式方程为 . 【答案】3(1)0x y --+= 2. 若行列式36125894 t的元素6的代数余子式的值为18-，则实数t = ． 【答案】453. 在直角坐标平面内的△ABC 中，(2,0)A -、(2,0)C ，若sin sin 2sin A C B +=，则△ABC 面积的最大值为 .【答案】434. 直线1210111xy =的倾斜角是____________.PNM y xO【答案】34π 5. 设点(,)P x y 位于线性约束条件32102x y x y y x +≤⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩所表示的【公众号魔都Maths 】区域内（含边界），则目标函数4z x y =+的最大值是 ． 【答案】86. 已知点P 和点Q 的坐标分别为()1,1-和()1,2，若直线:0l x my m ++=与线段PQ 相交，则m 的取值范围是_____________.【答案】11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7. 已知方程221410x y k k+=--表示椭圆，则实数k 的取值范围为 .【答案】(4,7)(7,10)8. 已知△ABC 的顶点()()3,06,0A B -、，若顶点C 在抛物线2y x =上移动，则△ABC 的重心的轨迹方程为 . 【答案】()()2311y x x =-≠9. 若实数,x y 满足条件111y x y x ⎧≥--⎪⎨≤-+⎪⎩，则25x y +-的最大值【公众号魔都Maths 】是 .【答案】11210. 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的半焦距为c ，且b c 3=，若椭圆E 经过B A ,两点，且AB 是圆222:(2)(1)M x y r ++-=的一条直径，则直线AB 的方程为 .【解析】由点差法，得2222214AB OMb b k k a bc ⋅=-=-=-+，而(2,1)M -，所以12OM k =-，所以12AB k =， 所以直线AB 的方程为11(2)2y x -=+，即240x y -+=. 11. 设y x ,满足22220x y x y +--=______________.【解析】由22220x y x y +--=可得22(||1)(||1)2x y -+-=，根据对称性，作出此方程图象，(,)x y与点(51--连线的斜率，由图形得取值范围为[0,1].12. 已知在面积为2的△ABC 中, O 、E 、F 分别是三条边AB 、AC 、BC 的中点,点P 在直线EF 上，若90COP ∠=︒，则2AC BP OB +的取值范围是 .【解析】如图建系，因为△ABC 面积为2， 【公众号魔都Maths 】所以12222m t mt ⋅=⇒=，设点,2t P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由90COP ∠=︒得225t x =-，所以2,252t t P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2(02,,),2t t AO m CP s s ⎛⎫==--- ⎪⎝⎭，()22()AC BP OB BO OP AO OC OB =+⋅+++222t t s AO OB AO OP OC BO C O s B m t s s P ⎛⎫⎛⎫=⋅=-+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+⋅+⋅+， 所以2AC BP OB +的取值范围是(),2222,⎡-∞-+∞⎦⎣.二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. “1m =”是“直线1:60l x my ++=和直线2:20l x my -+=垂直”的（ A ）.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件14. 若椭圆()22:1111122n x y C n N n n*+=∈+-，n C 的面积记作n S ，则lim =n n S →+∞（ B ）. A. 2π B. π C. 2 D. 115. 已知直线:210l kx y k +--=与两坐标轴分别交于,A B 两点，如果△AOB 的面积为4，那么满足要求的直线l 的条数是（ C ）.A. 1B. 2C. 3D. 416. 已知圆22:1O x y +=上有三个不同的点,,A B C ，其中0OA OB =，若存在实数,a b 满足0OC aOA bOB ++=，则直线:10l ax by +-=与圆O 的位置关系为（ A ）. A. 相切 B. 相离 C. 相交 D. 不能确定 【解析】由题意得22()()1aOA bOB OC +=-=，即221a b +=，所以圆心到直线l 的距离1d r ===，故相切，选A .三. 解答题（本大题共5题，共76分）17.（本题14分）,m n 为已知实数， 直线1l 的方程为(1)+280m x my m --=，直线2l 的方程为(21)+440n x ny n --=. （1）讨论直线1l 与2l 的位置关系；（2）当直线1l 与2l 平行时，求这两条平行线的距离的最大值.【解析】（1）(1)28(21)44m x my mn x ny n-+=⎧⎨-+=⎩12444+22(2)214m m D mn n mn m m n n n-==--=--（2分）12,,l l ≠⇔≠（a)当D 0m 2n 时相交（4分）D=⇒当0m=2n 时，(21)416(21)44n x ny nn x ny n -+=⎧⎨-+=⎩=（b ）m=2n 0，12,l l 重合 （6分） ≠（c ）m=2n 0，12l l （8分）（2）法一： 1220l l m n =≠当时，，此时1:(21)4160l n x ny n -+-=恒过点()0,4A ；2:(21)440l n x ny n -+-= 恒过点()0,1B ，（12分）根据斜边总是大于直角边，所以当12,l l 与线段AB 垂直时，12,l l 这两条平行线的 距离最大，最大值为3. （14分）法二：两者之间的距离，（10分）所以1234≤= （12分）当且仅当1,12m =n=时，max 3.d = （14分） 18.（本题14分）直线BC 经过定点)2,0(N ，点M 在直线BC 上，且OM BC ⊥. （1）当直线BC 绕着点N 转动时，求点M 的轨迹E 的方程．（2）已知点()3,1T -，Q 是轨迹E 上一个动点，P 是直线:20l x y --=上的一个动点，求+TP PQ 的最小值.【解析】（1）(,)M x y 设，因为0OM BC OM MN OM MN ⊥⇒⊥⇒⋅=（2分）()()2,0,20(2)0x y x y x y y ⇒⋅--=⇒+-=2220M x y y +-=即点的轨迹方程为：（6分） （2） 22'E (1)1,O 0,1x y +-=圆方程：圆心为 （）'00T -3,1T (,)l x y 设（）关于的对称点为000000111335312022y x x y x y -⎧⋅=-⎪=⎧+⎪⇒⎨⎨=--+⎩⎪--=⎪⎩则 ，所以(3,5)T '- （9分） '''O T O Q l P 联结线段交圆于，交直线于'''''TP +PQ +Q PQ +QO O T P T O =+≥===则（12分）''00O ,,,Q P T 当且仅当共线时，达到最小值因为'QO =1，所以()minTP +PQ1=（14分）19. （本题14分） 折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长. 某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，按如下步骤折纸（如下图），步骤1：设圆心是O ，在圆内不是圆心处取一点，标记为F ； 步骤2：把纸片对折，使圆周正好通过F ；步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕．所有这些折痕围成的图形是一个椭圆.若取半径为4的圆形纸片，设定点F 到圆心O 的距离为2，按上述方法折纸. （1）建立适当的坐标系，求折痕围成椭圆的标准方程；（2）求经过F ，且与直线FO 夹角为4π的直线被椭圆截得的弦长. 【解析】（1）如图，以FO 所在的直线为x 轴，FO 的中点M 为原点建立平面直角坐标P 设（x,y)为椭圆上一点，由图可知PF +PO =AO =4FO =2⇒（2分）所以P 点轨迹以F ，O 为左右焦点，长轴长24a =的椭圆（4分） 因为22,24c a ==，所以2221,23c a b a c ==⇒=-=（6分）所以22143x y +=椭圆标准方程为（7分） （2）如图，不妨令过()F 1,0-的直线交椭圆于A ，B 且倾斜角45︒所以1AB y x =+直线方程为（9分）222341278801x y x x y x ⎧+=⇒+-=⎨=+⎩联立（11分）所以12224277AB ==（14分） 20.（本题16分）如图，已知半圆()2221:0C x y b y +=≤与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于E 点.半椭圆2C ：()222210y x y a b+=≥的上焦点为F ，并且△ABF 是面积为2的等腰直角三角形. 将满足22222221,0,0y x y a b x y b y ⎧+=≥⎪⎨⎪+=≤⎩的曲线记为Γ. （1）求实数,a b 的值；（2）点P 在曲线Γ上，且3PE =，求EPF ∠；以下（3）选做一题（两题都做则以得分低者计入总分．．．．．．．．） （3）直线:2l y x =与曲线Γ交于,M N 两点，在曲线Γ上再取两点,S T （,S T 分别在直线l 两侧），使得这四个点形成的四边形面积最大，求此最大面积. （3）设()()0,T t t R ∈，M 是曲线Γ上任意一点，求MT 的最小值.21.（本题18分）如图，已知双曲线C 的方程为12222=-by a x （0a b >>【解析】（1）由2222c a b b cbc ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩（2分）得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ （4分）（2）设组成Γ的上半个椭圆为2C ，下半个圆为1C因为2,PE =3BE =由>1BE P Γ知，只能在上（5分）注意到E为椭圆的下焦点，所以PE =2a-1,PE EF ==又（7分）所以1PEF cos EPF=3∆∠在中，由余弦定理可得（9分） 所以1arccos3EPF ∠= （10分） （3）<1>设与MN 平行的直线l 与1C 的切点为0S ，与2C 的切点为0T则当S ，T 恰好取0S ，0T 两点时，四边形MSNT 面积最大令:l y λ=+，得22142y y x λ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，可得22440x x ++-=λ0=λλ∆=-据得l y =+： （12分）所以003MN S MN T d d →→===13分）22M 142y y x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩再由得（，所以OM =所以MN =15分）所以max112MSNTS==+.（16分）（3）<2> (]min,0MTt TE t∈-∞==据圆的性质：当时（11分）[)minC2,MT2TC t∈+∞==-设为椭圆的上顶点，则当t时，（12分）()20,2M MTt C∈当时，必在上，可取最小值[]22M1(0,2)24x yy+=∈设（x,y)则MT==由（13分）(](]min20,20,12,t y t MT∈∈==知即t时，只需可得（14分）()()min22,41,22, 2.t t y MT t∈∈==-即时，只需可得（15分）所以，(]()(]min0,1=2,1,,0tMT t tt t∈-∈+∞⎨⎪∈-∞⎪⎩（16分）），两条渐近线的夹角为3arccos5，焦点到渐近线的距离为1．M、N两动点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一象限和第四象限，P是直线MN与双曲线右支的一个公共点，MP PNλ=.（1）求双曲线C的方程；（2）当=1λ时，求PM PN的取值范围；（3）试用λ表示△MON 的面积S ，设双曲线C 上的点到其焦点的距离的取值范围为集合Ω，若5λ∈Ω，求S 的取值范围.【解析】（1）由题意双曲线渐近线为0bx ay ±=.根据夹角公式2222222222345b aa b a b a b a b --==⇒=++.（2分）又222114bc b a b a =⇒=⇒=+.所以2214x y -=. （4分） （2）设2,),(2,),0,0m m N n n m n ->>（， =1PM=PN ,2m n P m n λ-⎛⎫⇒+ ⎪⎝⎭，， ()22()1 1.44m n m n mn -+-=⇒= （6分）所以(,),22m n n m PM PN m n n m +--⎛⎫⋅=-⋅- ⎪⎝⎭ ()22253())442m n m n m n mn +=---=-++（（8分）532 1.42mn mn mn ≤-⋅+=-=-所以(],1PM PN ⋅∈-∞-.（10分）（3）根据条件得22,11m n m n P λλλλ+-⎛⎫⎪++⎝⎭. （11分）PNMyxO把点P 的坐标代入双曲线的方程得22221141m n m n λλλλ+⎛⎫⎪-+⎛⎫⎝⎭-= ⎪+⎝⎭.222()()(1)m n m n λλλ+--=+ 所以2(1)4mn +=λλ（13分）所以21211S=212.222001m m mmn n mn n n-==-（14分） 212111()122S λλλλλ++=⋅=++.（15分）设(),P x y 是双曲线上一点，[)222,.2d x x x ====-=-∈+∞，所以))2,10+d λ⎡∈+∞⇒∈∞⎣，. （17分）因为S 在)10+⎡∞⎣，上关于λ单调递增， 所以当10λ时， min S =所以19S +.5⎡⎫∈∞⎪⎢⎪⎣⎭，（18分）。

1.4.1 空间向量应用（一）考法一 平面的法向量【例1】（2020年广东潮州）如图已知ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，试建立适当的坐标系． (1)求平面ABCD 的一个法向量； (2)求平面SAB 的一个法向量； (3)求平面SCD 的一个法向量．【答案】见解析【解析】以点A 为原点，AD 、AB 、AS 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (0,1,0)，C (1,1,0)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0，S (0,0,1)． (1)∵SA ⊥平面ABCD ，∴AS →＝(0,0,1)是平面ABCD 的一个法向量．(2)∵AD ⊥AB ，AD ⊥SA ，∴AD ⊥平面SAB ，∴AD →＝⎝⎛⎭⎫12，0，0是平面SAB 的一个法向量． (3)在平面SCD 中，DC →＝⎝⎛⎭⎫12，1，0，SC →＝(1,1，－1)．设平面SCD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )， 则n ⊥DC →，n ⊥SC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DC →＝0，n ·SC →＝0，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋y ＝0，x ＋y －z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ，z ＝－y ，令y＝－1，得x＝2，z＝1，∴n＝(2，－1,1)．【一隅三反】1．（2020年广东惠州）正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面BDD1B1的一个法向量；(2)平面BDEF的一个法向量．【答案】见解析【解析】设正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则D (0,0,0)，B (2,2,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，E (1,0,2)． (1)连接AC (图略)，因为AC ⊥平面BDD 1B 1，所以AC →＝(－2,2,0)为平面BDD 1B 1的一个法向量． (2)DB →＝(2,2,0)，DE →＝(1,0,2)．设平面BDEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·DB →＝0，n ·DE →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，x ＋2z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，z ＝－12x . 令x ＝2，得y ＝－2，z ＝－1.∴n ＝(2，－2，－1)即为平面BDEF 的一个法向量.2．（2019·涟水县第一中学高二月考）四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，,AC BD 为正方形ABCD 的对角线，给出下列命题：①BC 为平面P AD 的法向量； ②BD 为平面P AC 的法向量； ③CD 为直线AB 的方向向量；④直线BC 的方向向量一定是平面P AB 的法向量． 其中正确命题的序号是______________ 【答案】②，③，④【解析】①因为底面ABCD 是正方形，所以//BC AD ，由AD ⊂平面P AD 知BC 不是平面P AD 的法向量； ②由底面ABCD 是正方形知BD AC ⊥，因为PA ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥，又PA AC A =，PA ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ，所以BD ⊥平面P AC ，BD 为平面P AC 的法向量，②正确；③因为底面ABCD 是正方形，所以//AB CD ，则CD 为直线AB 的方向向量，③正确； ④易知BC AB ⊥，因为PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥，又PA AB A =，PA ⊂平面P AB ，AB平面P AB ，所以BC ⊥平面P AB ，故④正确.故答案为：②，③，④考点二 空间向量证明平行【例2】（2019年广东湛江二中周测）如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点．（1）求证：PB ∥平面EFG . （2）证明平面EFG ∥平面PBC 【答案】见解析 【解析】证明 ∵平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A ＝AD ，∴AB ，AP ，AD 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)， D (0，2，0)，P (0，0，2)，E (0，0，1)，F (0，1，1)，G (1，2，0)．∴PB →＝(2，0，－2)，FE →＝(0，－1，0)，FG →＝(1，1，－1)，设PB →＝sFE →＋tFG →， 即(2，0，－2)＝s (0，－1，0)＋t (1，1，－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2，∴PB →＝2FE →＋2FG →，又∵FE →与FG →不共线，∴PB →，FE →与FG →共面．∵PB ⊄平面EFG ，∴PB ∥平面EFG . （2）证明 ∵EF →＝(0，1，0)，BC →＝(0，2，0)，∴BC →＝2EF →，∴BC ∥EF .又∵EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴EF ∥平面PBC ，同理可证GF ∥PC ，从而得出GF ∥平面PBC .又EF ∩GF ＝F ，EF ，GF ⊂平面EFG ， ∴平面EFG ∥平面PBC .【一隅三反】1.在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CC 1，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD ． 【答案】见解析【解析】 法一 如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，M ⎝⎛⎭⎫0，1，12，N ⎝⎛⎭⎫12，1，1，于是DA 1→＝(1,0,1)，DB →＝(1,1,0)，MN →＝⎝⎛⎭⎫12，0，12.设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥DA 1→，n ⊥DB →，即⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→＝x ＋z ＝0，n ·DB →＝x ＋y ＝0，取x ＝1，则y ＝－1，z ＝－1，∴平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(1，－1，－1)．又MN →·n ＝⎝⎛⎭⎫12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN →⊥n .∴MN ∥平面A 1BD ． 法二 MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12(D 1A 1→－D 1D →)＝12DA 1→，∴MN →∥DA 1→，∴MN ∥平面A 1BD ．法三 MN →＝C 1N →－C 1M →＝12C 1B 1→－12C 1C →＝12DA →－12A 1A →＝12()DB →＋BA →－12()A 1B →＋BA →＝12DB →－12A 1B →. 即MN →可用A 1B →与DB →线性表示，故MN →与A 1B →，DB →是共面向量，故MN ∥平面A 1BD ．2．（2020·上海杨浦.复旦附中高二期中）已知平面α的一个法向量为(1,2,2),(2,1,0)n AB ==-，则直线AB 与平面α的位置关系为_______.【答案】直线AB 在平面α上或直线AB 与平面α平行【解析】由()12+21+200n AB ⋅=⨯-⨯⨯=，所以n AB ⊥.又向量n 为平面α的一个法向量. 所以直线AB 在平面α上或直线AB 与平面α平行. 故答案为：直线AB 在平面α上或直线AB 与平面α平行.3．（2019·江苏海陵.泰州中学高二月考）已知直线//l 平面α，且l 的一个方向向量为()2,,1a m =，平面α的一个法向量为11,,22n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则m =______. 【答案】8-【解析】由题意，知a n ⊥，∴0a n ⋅=，即()12,,11,,202m ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，∴8m =-. 故答案为：8-考法三 空间向量证垂直【例3】（2020.广东.田家炳中学）如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD .【答案】见解析【解析】方法一 设平面A 1BD 内的任意一条直线m 的方向向量为m .由共面向量定理，则存在实数λ，μ，使m ＝λBA 1→＋μBD →.令BB 1→＝a ，BC →＝b ，BA →＝c ，显然它们不共面，并且|a |＝|b |＝|c |＝2，a ·b ＝a·c ＝0，b·c ＝2，以它们为空间的一个基底，则BA 1→＝a ＋c ，BD →＝12a ＋b ，AB 1→＝a －c ，m ＝λBA 1→＋μBD →＝⎝⎛⎭⎫λ＋12μa ＋μb ＋λc ， AB 1→·m ＝(a －c )·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫λ＋12μa ＋μb ＋λc ＝4⎝⎛⎭⎫λ＋12μ－2μ－4λ＝0.故AB 1→⊥m ，结论得证． 方法二 取BC 的中点O ，连接AO . 因为△ABC 为正三角形，所以AO ⊥BC .因为在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，且平面ABC ∩平面BCC 1B 1＝BC ，AO ⊂平面ABC ，所以AO ⊥平面BCC 1B 1.取B 1C 1的中点O 1，以O 为原点，分别以OB ，OO 1，OA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则B (1，0，0)，D (－1，1，0)，A 1(0，2，3)，A (0，0，3)，B 1(1，2，0)． 设平面A 1BD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，BA 1→＝(－1，2，3)，BD →＝(－2，1，0)． 因为n ⊥BA 1→，n ⊥BD →，故⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA 1→＝0，n ·BD →＝0，即⎩⎨⎧－x ＋2y ＋3z ＝0，－2x ＋y ＝0，令x ＝1，则y ＝2，z ＝－3，故n ＝(1，2，－3)为平面A 1BD 的一个法向量， 而AB 1→＝(1，2，－3)，所以AB 1→＝n ，所以AB 1→∥n ，故AB 1⊥平面A 1BD .【一隅三反】1．（2018·浙江高三其他）已知平面α的法向量为(2,2,4)n =-，(1,1,2)AB =--，则直线AB 与平面α的位置关系为（ ） A ．AB α⊥ B ．AB α⊂C ．AB 与α相交但不垂直D ．//AB α【答案】A 【解析】()()1,1,2,2,2,4,2,//,AB n n AB n AB AB α=--=-∴=-∴∴⊥.本题选择A 选项.2．（2020·安徽池州。

2020学年高二（上）期中数学试卷一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）数列{n+2n}中的第4项是．2．（5分）抛物线x2=4y的准线方程为．3．（5分）若原点（0，0）和点（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是．4．（5分）已知等差数列{a n}，其中a1=，a2+a5=4，a n=33，则n的值为．5．（5分）若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为．6．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若27a3﹣a6=0，则=．7．（5分）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是．8．（5分）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为x+y=0，则a=．9．（5分）已知数列{a n}是等比数列，S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，求S5．10．（5分）已知椭圆：的焦距为4，则m为．11．（5分）若数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的取值范围是．12．（5分）椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y=x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是．13．（5分）将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第100项，即a100=．14．（5分）若实数a，b满足a=+2，则a的最大值是．二.解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）求适合下列条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点（2，﹣6）；（2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6．16．（14分）已知数列{a n}的通项公式是a n=n2+kn+4（1）若k=﹣5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，a n有最小值．并求出最小值，（2）对于n∈N*，都有a n＞a n，求实数k的取值范围．+117．（14分）某厂家计划在2016年举行商品促销活动，经调查测算，该商品的年销售量m万件与年促销费用x万元满足：m=3﹣，已知2016年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家的产量等于销售量，而销售收入为生产成本的1.5倍（生产成本由固定投入和再投入两部分资金组成）．（1）将2016年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数；（2）该厂2016年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？18．（16分）（1）解关于x的不等式：（a2+a﹣1）x＞a2（1+x）+a﹣2（a∈R）；（2）如果x=a2﹣4在上述不等式的解集中，求实数a的取值范围．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为2．（1）若椭圆C经过点（，1），求椭圆C的标准方程；（2）设A（﹣2，0），F为椭圆C的左焦点，若椭圆C上存在点P，满足=，求椭圆C的离心率的取值范围．20．（16分）已知递增数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，4S n﹣4n+1=a n2．设b n=，n∈N*，且数列{b n}的前n项和为T n．（1）求证：数列{a n}为等差数列；（2）试求所有的正整数m，使得为整数；（3）若对任意的n∈N*，不等式λT n＜n+18（﹣1）n+1恒成立，求实数λ的取值范围．二.高二数学试题（第二卷）21．（5分）为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40，80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40，60）内的汽车有辆．22．（5分）若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天的概率为．23．（5分）已知命题甲是“{x|≥0}”，命题乙是“{x|log3（2x+1）≤0}”，则甲是乙的条件．（从充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要中选填）24．（5分）下列四个命题：①命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a=0，则ab≠0”；②若命题P：∃x∈R，x2+x+1＜0，则﹁p：∀x∈R，x2+x+1≥0；③若命题“﹁p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；④命题“若0＜a＜1则log a（a+1）＜”是真命题．其中正确命题的序号是．（把所有正确命题序号都填上）25．（10分）设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：∃x∈R，x2+（2k﹣3）x+1=0，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．26．（10分）将扑克牌4种花色的A，K，Q共12张洗匀．（1）甲从中任意抽取2张，求抽出的2张都为A的概率；（2）若甲已抽到了2张K后未放回，求乙抽到2张A的概率．参考答案与试题解析一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）数列{n+2n}中的第4项是20．【分析】根据题意，可得数列的通项a n=n+2n，将n=4代入通项计算可得答案．【解答】解：根据题意，数列{n+2n}的通项a n=n+2n，则其第4项a4=4+24=20；故答案为：20．【点评】本题考查数列的通项公式，涉及数列的表示方法，关键是理解数列通项公式的定义．2．（5分）抛物线x2=4y的准线方程为y=﹣1．【分析】由抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为y=﹣即可求得抛物线x2=4y的准线方程．【解答】解：∵抛物线方程为x2=4y，∴其准线方程为：y=﹣1．故答案为：y=﹣1．【点评】本题考查抛物线的简单性质，掌握其几何性质是关键，属于基础题．3．（5分）若原点（0，0）和点（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是（0，2）．【分析】因为原点O和点P（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，所以（﹣a）•（1+1﹣a）＜0，由此能求出a的取值范围．【解答】解：因为原点O和点P（1，1）在直线x+y﹣a=0的两侧，所以（﹣a）•（1+1﹣a）＜0，解得0＜a＜2，故答案为：（0，2）．【点评】本题考查二元一次不等式的几何意义，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．4．（5分）已知等差数列{a n}，其中a1=，a2+a5=4，a n=33，则n的值为50．【分析】由已知求得等差数列的公差，代入a n=33可求n的值．【解答】解：在等差数列{a n}，由a1=，a2+a5=4，得2a1+5d=4，即，．∴，由a n=33，得，解得：n=50．故答案为：50．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，是基础的计算题．5．（5分）若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为3．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+2y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（1，1），代入目标函数z=x+2y得z=2×1+1=3故答案为：3．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．6．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若27a3﹣a6=0，则=28．【分析】设出等比数列的首项和公比，由已知求出公比，代入等比数列的前n 项和得答案．【解答】解：设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，由27a3﹣a6=0，得27a3﹣a3q3=0，即q=3，∴=．故答案为：28．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．7．（5分）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是5．【分析】将方程变形，代入可得3x+4y=（3x+4y）（）=×3，然后利用基本不等式即可求解．【解答】解：∵x+3y=5xy，x＞0，y＞0∴∴3x+4y=（3x+4y）（）=×3=5当且仅当即x=2y=1时取等号故答案为：5【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值问题，解题的关键是基本不等式的应用条件的配凑8．（5分）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为x+y=0，则a=．【分析】运用双曲线的渐近线方程为y=±，结合条件可得=，即可得到a 的值．【解答】解：双曲线﹣y2=1的渐近线方程为y=±，由题意可得=，解得a=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．9．（5分）已知数列{a n}是等比数列，S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，求S5．【分析】由a2•a3=2a1=a1•a4，可得a4=2，再由a4与2a7的等差中项为，得a4 +2a7 =，故有a7 =．求出首项和公比，再利用等比数列的前n项和公式求出s5．【解答】解：数列{a n}是等比数列，S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1=a1•a4，可得a4=2．再由a4与2a7的等差中项为，可得a4 +2a7 =，故有a7 =．∴q3==，∴q=，∴a1=16．∴s5==31．【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，属于中档题．10．（5分）已知椭圆：的焦距为4，则m为4或8．【分析】分焦点在x，y轴上讨论，结合焦距为4，可求m的值．【解答】解：由题意，焦点在x轴上，10﹣m﹣m+2=4，所以m=4；焦点在y轴上，m﹣2﹣10+m=4，所以m=8，综上，m=4或8．故答案为：m=4或8．【点评】本题考查椭圆的性质，考查学生对椭圆方程的理解，属于基础题．11．（5分）若数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的取值范围是[4，+∞）或（﹣∞，0] ．【分析】由题意可知===++2．由此可知的取值范围．【解答】解：在等差数列中，a1+a2=x+y；在等比数列中，xy=b1•b2．∴===++2．当x•y＞0时，+≥2，故≥4；当x•y＜0时，+≤﹣2，故≤0．答案：[4，+∞）或（﹣∞，0]【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细思考．12．（5分）椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）关于直线y=x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是．【分析】设出Q的坐标，利用对称知识，集合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系，然后求解离心率即可．【解答】解：设Q（m，n），由题意可得，由①②可得：m=，n=，代入③可得：，可得，4e6+e2﹣1=0．即4e6﹣2e4+2e4﹣e2+2e2﹣1=0，可得（2e2﹣1）（2e4+e2+1）=0解得e=．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的方程简单性质的应用，考查对称知识以及计算能力．13．（5分）将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第100项，即a100=5252．【分析】根据题意，分析所给的图形可得a n﹣a n﹣1=n+2（n≥2），结合a1的值，可得a100=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a100﹣a99），代入数据计算可得答案．【解答】解：根据题意，分析相邻两个图形的点数之间的关系：a2﹣a1=4，a3﹣a2=5，…由此我们可以推断：a n﹣a n﹣1=n+2（n≥2），又由a1=5，所以a100=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a100﹣a99）=5+4+5+…+102=5+=5252；即a100=5252；故答案为：5252．【点评】本题考查数列的表示方法，涉及归纳推理的运用，关键是依据图形，发现变化的规律．14．（5分）若实数a，b满足a=+2，则a的最大值是20．【分析】用换元法，设=x，=y，则x≥0，y≥0；求出b与a的解析式，由a=+2得出y与x的关系式，再根据其几何意义求出a的最大值．【解答】解：设=x，=y，且x≥0，y≥0；∴b=x2，4a﹣b=y2，即a==；∴a=+2可化为=y+2x，即（x﹣4）2+（y﹣2）2=20，其中x≥0，y≥0；又（x﹣4）2+（y﹣2）2=20表示以（4，2）为圆心，以2为半径的圆的一部分；∴a==表示圆上点到原点距离平方的，如图所示；∴a的最大值是×（2r）2=r2=20故答案为：20．【点评】本题考查了给出条件求最值的应用问题，主要考查了换元法和圆的方程的运用问题，考查了数形结合和运算能力，属于中档题．二.解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）求适合下列条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点（2，﹣6）；（2）在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6．【分析】（1）设椭圆的标准方程为=1，或，a＞b＞0，由已知得a=2b，且椭圆过点（2，﹣6），由此能求出椭圆的标准的方程．（2）设椭圆的标准方程为=1，a＞b＞0，由已知条件推导出c=b=3，由此能求出椭圆的标准方程．【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为=1，或，a＞b＞0，∵长轴长是短轴长的2倍，∴a=2b，①∵椭圆过点（2，﹣6），∴=1，或=1，②由①②，得a2=148，b2=37或a2=52，b2=13，故所求的方程为或．（2）设椭圆的标准方程为=1，a＞b＞0，∵在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6，如图所示，∴△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线（高），且OF=c，A1A2=2b，∴c=b=3．∴a2=b2+c2=18．故所求椭圆的方程为．【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．16．（14分）已知数列{a n}的通项公式是a n=n2+kn+4（1）若k=﹣5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，a n有最小值．并求出最小值，＞a n，求实数k的取值范围．（2）对于n∈N*，都有a n+1【分析】（1）将k=﹣5代入可知a n=（n﹣1）（n﹣4），进而令a n＜0可得负数项，通过配方可得最小值；＞a n化简得k＞﹣2n﹣1，进而可知k＞﹣2﹣1=﹣3．（2）通过a n+1【解答】解：（1）若k=﹣5，则a n=n2﹣5n+4=（n﹣1）（n﹣4），令a n＜0，则1＜n＜4，∴数列中第2、3项共2项为负数，∵f（x）=x2﹣5x+4是开口向上，对称轴x=的抛物线，∴当n=2或3时，a n有最小值22﹣5×2+4=﹣2；（2）依题意，a n＞a n，即（n+1）2+k（n+1）+4＞n2+kn+4，+1整理得：k＞﹣2n﹣1，＞a n，又∵对于n∈N*，都有a n+1∴k大于﹣2n﹣1的最大值，∴k＞﹣2﹣1=﹣3．【点评】本题考查数列的递推式，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于基础题．17．（14分）某厂家计划在2016年举行商品促销活动，经调查测算，该商品的年销售量m万件与年促销费用x万元满足：m=3﹣，已知2016年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家的产量等于销售量，而销售收入为生产成本的1.5倍（生产成本由固定投入和再投入两部分资金组成）．（1）将2016年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数；（2）该厂2016年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【分析】（1）由题目中，每件产品的销售价格为 1.5×（万元），则利润y=m[1.5×]﹣（8+16m+x），整理即可．（2）对（1）利润函数y=﹣[+（x+1）]+29（x≥0），利用基本不等式求最大值即可．【解答】解：（1）由题意知，每件产品的销售价格为1.5×（万元），∴利润函数y=m[1.5×]﹣（8+16m+x）=4+8m﹣x=﹣[+（x+1）]+29（x≥0）．（2）因为利润函数y=﹣[+（x+1）]+29（x≥0），所以，当x≥0时，+（x+1）≥8，∴y≤﹣8+29=21，当且仅当=x+1，即x=3（万元）时，y max=21（万元）．所以，该厂家2016年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．【点评】本题考查了商品利润函数模型的应用，也考查了基本不等式a+b≥2（a＞0，b＞0）的灵活运用，是中档题．目．18．（16分）（1）解关于x的不等式：（a2+a﹣1）x＞a2（1+x）+a﹣2（a∈R）；（2）如果x=a2﹣4在上述不等式的解集中，求实数a的取值范围．【分析】（1）把原不等式右边的未知项移项到左边进行合并，同时右边的式子分解因式，然后根据a﹣1大于0，a﹣1等于0及a﹣1小于0三种情况，根据不等式的基本性质把x的系数化为1，分别求出原不等式相应的解集即可；（2）解法一：分两种情况：a大于1时，根据相应的解集列出关于a的不等式组；同理a小于1时列出相应的不等式组，求出两不等式组解集的并集即可得到a的范围；解法二：把x=a2﹣4代入原不等式中化简，得到关于a的不等式，画出相应的图形，根据图形即可得到满足题意的a的取值范围．【解答】解：（1）（a2+a﹣1）x＞a2（1+x）+a﹣2，（a2+a﹣1）x﹣a2x＞a2+a﹣2，（a﹣1）x＞a2+a﹣2，（a﹣1）x＞（a﹣1）（a+2），当a＞1时，解集为{x|x＞a+2}；当a=1时，解集为∅；当a＜1时，解集为{x|x＜a+2}；（2）解法一：由题意，或，分别化为：或，解得：a＞3或﹣2＜a＜1，则实数a的取值范围为（﹣2，1）∪（3，+∞）；解法二：将x=a2﹣4代入原不等式，并整理得：（a+2）（a﹣1）（a﹣3）＞0，根据题意画出图形，如图所示：根据图形得：实数a的取值范围为（﹣2，1）∪（3，+∞）．【点评】此题考查了其他不等式的解法，利用了分类讨论及数形结合的思想，第二小题有两种解法：一种是利用转化的思想，讨论a大于1和a小于1，根据第一问求出的解集列出相应的不等式组；另一种是直接把x的值代入原不等式，借助图形来求解．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为2．（1）若椭圆C经过点（，1），求椭圆C的标准方程；（2）设A（﹣2，0），F为椭圆C的左焦点，若椭圆C上存在点P，满足=，求椭圆C的离心率的取值范围．【分析】（1）由题意可得a2﹣b2=1，代入已知点，可得a，b的方程，解方程即可得到所求椭圆方程；（2）设P（x，y），运用两点的距离公式，化简整理，即可得到P的轨迹方程，由题意和圆相交的条件，结合离心率公式，即可得到所求范围．【解答】解：（1）由题意可得c=1，即a2﹣b2=1，又代入点（，1），可得+=1，解方程可得a=，b=，即有椭圆的方程为+=1；（2）由题意方程可得F（﹣1，0），设P（x，y），由PA=PF，可得=•，化简可得x2+y2=2，由c=1，即a2﹣b2=1，由椭圆+=1和圆x2+y2=2有交点，可得b2≤2≤a2，又b=，可得≤a≤，即有离心率e=∈[，]．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用方程的思想，考查轨迹方程的求法，以及椭圆和圆相交的关系，考查运算能力，属于中档题．20．（16分）已知递增数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=1，4S n﹣4n+1=a n2．设b n=，n∈N*，且数列{b n}的前n项和为T n．（1）求证：数列{a n}为等差数列；（2）试求所有的正整数m，使得为整数；（3）若对任意的n∈N*，不等式λT n＜n+18（﹣1）n+1恒成立，求实数λ的取值范围．【分析】（1）由已知条件推导出a n﹣2=a n﹣1（n≥2）或a n﹣2=﹣a n﹣1（n≥2），由此能证明数列{a n}为等差数列．（2）由a n=2n﹣1，知=1﹣，由此能求出所有的正整数m，使得为整数．（3）由a n=2n﹣1，知，由此利用裂项求和法结合已知条件能求出实数λ的取值范围．【解答】（1）证明：由，得，…（2分）所以，即，即（n≥2），所以a n﹣2=a n﹣1（n≥2）或a n﹣2=﹣a n﹣1（n≥2），即a n﹣a n﹣1=2（n≥2）或a n+a n﹣1=2（n≥2），…（4分）若a n+a n﹣1=2（n≥2），则有a2+a1=2，又a1=1，所以a2=1，则a1=a2，这与数列{a n}递增矛盾，所以a n﹣a n﹣1=2（n≥2），故数列{a n}为等差数列．…（6分）（2）解：由（1）知a n=2n﹣1，所以==，…（8分）因为，所以，又2m﹣1≥1且2m﹣1为奇数，所以2m﹣1=1或2m﹣1=3，故m的值为1或2．…（10分）（3）解：由（1）知a n=2n﹣1，则，所以T n=b1+b2+…+b n==，…（12分）从而对任意n∈N*恒成立等价于：当n为奇数时，恒成立，记，则≥49，当n=3时取等号，所以λ＜49，当n为偶数时，恒成立．记，因为递增，所以g（n）min=g（2）=﹣40，所以λ＜﹣40．综上，实数λ的取值范围为λ＜﹣40．…（16分）【点评】本题考查等差数列的证明，考查满足条件的所有的正整数的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要注意裂项求和法的合理运用．二.高二数学试题（第二卷）21．（5分）为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40，80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40，60）内的汽车有80辆．【分析】由频率分布直方图先求出时速在区间[40，60）内的汽车的频率，由此能求出时速在区间[40，60）内的汽车数量．【解答】解：由频率分布直方图得：时速在区间[40，60）内的汽车的频率为（0.01+0.03）×10=0.4．∴时速在区间[40，60）内的汽车有0.4×200=80（辆）．故答案为：80．【点评】本题考查频数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用．22．（5分）若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天的概率为．【分析】由甲与丙都不在第一天值班，得乙在第一天值班，由此能求出甲与丙都不在第一天值班的概率．【解答】解：随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，∵甲与丙都不在第一天值班，∴乙在第一天值班，∵第一天值班一共有3种不同安排，∴甲与丙都不在第一天值班的概率p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．23．（5分）已知命题甲是“{x|≥0}”，命题乙是“{x|log3（2x+1）≤0}”，则甲是乙的必要不充分条件．（从充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要中选填）【分析】利用不等式的解法分别化简甲乙命题，进而判断出结论．【解答】解：命题甲：≥0，化为x（x﹣1）（x+1）≥0，且x≠1，解得：﹣1≤x≤0，或x＞1．命题乙：log3（2x+1）≤0，化为0＜2x+1≤1，解得：0．则甲是乙的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．24．（5分）下列四个命题：①命题“若a=0，则ab=0”的否命题是“若a=0，则ab≠0”；②若命题P：∃x∈R，x2+x+1＜0，则﹁p：∀x∈R，x2+x+1≥0；③若命题“﹁p”与命题“p或q”都是真命题，则命题q一定是真命题；④命题“若0＜a＜1则log a（a+1）＜”是真命题．其中正确命题的序号是②、③．（把所有正确命题序号都填上）【分析】利用命题的否定的形式判断出①错；利用含量词的命题的否定形式判断出②对；利用复合命题的真假与构成其简单命题的真假的关系判断出③对；利用对数函数的单调性判断出④错．【解答】解：对于①，由于否命题是对命题的条件、结论同时否定，①只否定了结论，条件没否定，故①错；对于②，由于含量词的命题有否定公式是：量词交换，结论否定，故②对；对于③，因为”￢p“为真，故p假；因为“p或q”为真，所以p，q有真，所以q 一定为真，故③对；对于④，因为0＜a＜1，y=log a x是减函数，∵∴，故④错．故答案为：②③【点评】本题考查命题的否定与命题的否命题的区别：命题的否定是将命题全盘否定，一般只将结论否定即可；二否命题是条件、结论同时否定．注意对数函数的单调性与底数的范围有关．25．（10分）设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：∃x∈R，x2+（2k ﹣3）x+1=0，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．【分析】分别求出p，q为真时的k的范围，根据p，q一真一假，得到关于k 的不等式组，解出即可．【解答】解：∵y=kx+1在R递增，∴k＞0，由∃x∈R，x2+（2k﹣3）x+1=0，得方程x2+（2k﹣3）x+1=0有根，∴△=（2k﹣3）2﹣4≥0，解得：k≤或k≥，∵p∧q是假命题，p∨q是真命题，∴命题p，q一真一假，①若p真q假，则，∴＜k＜；②若p假q真，则，∴k≤0；综上k的范围是（﹣∞，0]∪（，）．【点评】本题考查了复合命题的判断，考查一次函数以及二次函数的性质，是一道中档题．26．（10分）将扑克牌4种花色的A，K，Q共12张洗匀．（1）甲从中任意抽取2张，求抽出的2张都为A的概率；（2）若甲已抽到了2张K后未放回，求乙抽到2张A的概率．【分析】（1）甲从中任意抽取2张，基本事件总数n==66，抽出的2张都为A包含的基本事件个数m=，由此能求出抽出的2张都为A的概率．（2）甲已抽到了2张K后未放回，余下10张中抽出2张的方法有=45，抽出的两张都是A的方法有，由此能求出乙抽到2张A的概率．【解答】解：（1）将扑克牌4种花色的A，K，Q共12张洗匀．甲从中任意抽取2张，基本事件总数n==66，抽出的2张都为A包含的基本事件个数m=，∴抽出的2张都为A的概率p==．（2）甲已抽到了2张K后未放回，余下10张中抽出2张的方法有=45，抽出的两长都是A的方法有，∴乙抽到2张A的概率p==．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．。

2020-2021学年上海市复旦附中高二下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共16.0分）1.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB//CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m+n=()．A. 8B. 9C. 10D. 112.i是虚数单位，复数=()A. B. C. D.3.已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若S n=S9−n(n∈N∗且n<9)，有以下结论：①S2=0；②a5=0；③{a n}为递增数列；④a9=0．则正确的结论的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 44.命题“∀x∈R，sinx>1”的否定是()A. ∀x∈R，sinx≤1B. ∀x∈R，sinx>1C. ∃x0∈R，sinx0≤1D. ∃x0∈R，sinx0>1二、单空题（本大题共12小题，共48.0分）5.直三棱柱ABC−A1B1C1中，底面为正三角形，AB=2，D是AB的中点，异面直线AC1与CD所，则三棱柱ABC−A1B1C1的表面积等于______．成角的余弦值是√34=0，则|z|=．6.已知复数z满足z+3z7.．8.已知长方体ABCD−A1B1C1D1各个顶点都在球面上，AB=3，AD=2，A1A=2，过棱AD作该球的截面，则当截面面积最小时，球心到截面的距离为______．9.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若平面A1B1CD⊥平面AEP，则线段AP长度的取值范围是______．10.正四棱锥S−ABCD中，SA=AB，则直线AC与平面SBC所成角的正弦值为．11.已知为虚数单位，复数的虚部是______．12.直线(为实常数)与曲线的两个交点A、B的横坐标分别为、，且，曲线E在点A、B处的切线PA、PB与y轴分别交于点M、N.下列结论：①；②三角形PAB可能为等腰三角形；③若点P到直线的距离为，则的取值范围为；④当是函数的零点时，(为坐标原点)取得最小值．其中正确结论的序号为．13.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=1，AD=2，AA1=2，则二面角A−DD1−B的大小是______．14. 若实数x ，y 满足{x +y ≥−2x ≤0y ≤0，则x −y 的最大值是______ ． 15. 已知复数z =1+2i i(i 是虚数单位)，则复数z 的模为______16. 从集合{0,1，2，3，4，5}中任取两个互不相等的数组成复数，其中虚数有 个(用数字作答)三、解答题（本大题共5小题，共56.0分）17. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AC ⊥AB ，A 1A =AB =AC =2，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，B 1B 的中点． (1)证明：A 1F ⊥平面B 1DE ；(2)求直线BE 与平面B 1DE 所成角的正弦值．18. 如图，若OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别表示复数Z 1=1+2√3i ，Z 2=7+√3i ，求∠Z 2OZ 1，并判断△OZ 1Z 2的形状．19.如图，AO为圆锥的高，B、C为圆锥底面圆周上两个点，∠OAB=π，6∠BOC=π，AB=4，D是AB的中点．2(1)求该圆锥的全面积；(2)求异面直线AO与CD所成角的大小．(结果用反三角函数值表示)20.已知复数z0=lg(a2−4a+4)+(a2−3a+2)i(i为虚数单位，a∈R)为纯虚数，z0和b是关于x的方程x2−(3+2i)x+6i=0的两个根．(1)求a，b的值；(2)若复数z满足1≤|z|≤|a+bi|，说明在复平面内z对应的点Z的集合是什么图形？并求该图形的面积．21.设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|=m|DA|(m>0且m≠1)，当点A在单位圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标．【答案与解析】1.答案：A解析：由CE与AB共面，且与正方体的上底面平行，则与CE相交的平面个数m=4.作FO⊥底面CED，一定有面EOF平行于正方体的左、右侧面，即FE平行于正方体的左、右侧面，所以n=4，m+n=8.故选A．2.答案：B解析：试题分析：考点：复数代数形式的乘除运算点评：本题是基础题，考查复数代数形式的乘除运算，注意复数分母实数化，考查计算能力．3.答案：A解析：解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S n=S9−n(n∈N∗且n<9)，∴na1+n(n−1)2d=(9−n)a1+(9−n)(8−n)2d，化为：(9−2n)a1+(36−8n)d=0．n=1时，可得：a1+4d=0.∴a5=0．a1<0时，d>0.a1=0时，d=0.a1>0时，d<0．因此①③④不正确．则正确的结论的个数为1．故选：A．设等差数列{a n}的公差为d，S n=S9−n(n∈N∗且n<9)，利用求和公式可得：a1+4d=0.进而判断出正误．本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.答案：C解析：解：∵全称命题否定是特称命题，∴命题“∀x ∈R ，sinx >1”的否定是：∃x 0∈R ，sinx 0≤1． 故选：C ．通过全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．5.答案：解析：解：设三棱柱高为h ，以A 为坐标原点，建立如图坐标系， 则A(0,0，0)，B(1,√3,0)，C(2,0，0)，D(12,√32,0)，C 1，(2,0，ℎ)，∴AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，ℎ)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12−2,√32,0)=(−32,√32,0)， 异面直线AC 1与CD 所成角的余弦值是√34，∴AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 所成角的余弦值的绝对值为√34，∴√34=|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC 1|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ×|CD⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4+ℎ2×√94+34，解得ℎ=2√3，∴三棱柱的表面积为：S =2×√34×22+(2+2+2)×2√3=14√3．故填：14√3．设三棱柱的高为h ，建立坐标系后，根据异面直线AC 1与CD 所成角的余弦值是√34，求出h ，即可求出表面积．本题适合用坐标法处理，但是要注意向量夹角与直线夹角的区别，属于基础题．6.答案：√3解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题． 设z =a +bi(a,b ∈R)，代入z 2=−3，由复数相等的条件列式求得a ，b 的值得答案．解：由z +3z =0， 得z 2=−3，设z =a +bi(a,b ∈R)，由z 2=−3，得(a +bi)2=a 2−b 2+2abi =−3，即{a 2−b 2=−32ab =0，解得：{a =0b =±√3． ∴z =±√3i ． 则|z|=√3． 故答案为：√3．7.答案：2解析：试题分析：根据题意结合复数的乘法运算可知，，可知结论为2，答案为2．考点：复数的乘法运算点评：解决的关键是根据复数的乘法运算来得到，属于基础题。

上海市复旦大学附中高二（上）期末数学试卷一、填空题（共48分，每空4分）1．抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，且C过点（﹣2，3），则C的方程是．2．若过点P（2，2）可以向圆x2+y2﹣2kx﹣2y+k2﹣k=0作两条切线，则实数k的取值范围是．3．参数方程（θ∈R）化为普通方程是．4．M是椭圆上动点，F1，F2是椭圆的两焦点，则∠F1MF2的最大值为．5．圆x2+（y﹣a）2=9与椭圆有公共点，则实数a的取值范围是．6．与圆x2+y2﹣4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是．7．双曲线2x2﹣3y2=k（k＜0）的焦点坐标是（用k表示）．8．已知P（x，y）是圆（x+1）2+y2=1上一点，则2x+3y的最大值为．9．若直线与圆x2+y2=1在第一象限有两个不同的交点，则实数a的取值范围是．10．椭圆E：的右顶点为B，过E的右焦点作斜率为1的直线L与E交于M，N两点，则△MBN 的面积为．11．设实数x，y满足x2=4y，则的最小值是．12．椭圆C：向右平移一个单位、向上平移两个单位可以得到椭圆C′：．设直线l：（2a+1）x+（1﹣a）y﹣3=0，当实数a变化时，l被C′截得的最大弦长是．二、选择题（共20分，每题5分）13．圆x2+y2+2x+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个14．“ab＜0”是“方程ax2+by2=c表示双曲线”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不必要也不充分条件15．过点（3，0）和双曲线x2﹣ay2=1（a＞0）仅有一交点的直线有（）A．1条 B．2条 C．4条 D．不确定16．双曲线C的左、右焦点为F1，F2，P为C的右支上动点（非顶点），I为△F1PF2的内心．当P变化时，I的轨迹为（）A．双曲线的一部分 B．椭圆的一部分C．直线的一部分D．无法确定三、解答题（共52分，8+10+10+12+12）17．已知抛物线C：y=2x2和直线l：y=kx+1，O为坐标原点．（1）求证：l与C必有两交点；（2）设l与C交于A，B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值．18．斜率为1的动直线L与椭圆交于P，Q两点，M是L上的点，且满足|MP|?|MQ|=2，求点M的轨迹方程．19．已知椭圆x2+2y2=1上存在两点A，B关于直线L：y=4x+b对称，求实数b的取值范围．20．已知双曲线C的渐近线方程为x±2y=0，且点A（5，0）到双曲线上动点P的最小距离为，求C 的方程．21．设定点A（0，1），常数m＞2，动点M（x，y），设，，且．（1）求动点M的轨迹方程；（2）设直线L：与点M的轨迹交于B，C两点，问是否存在实数m使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．上海市复旦大学附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共48分，每空4分）1．抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，且C过点（﹣2，3），则C的方程是y2=﹣x或x2= y．【考点】抛物线的简单性质．【分析】对称轴分为是x轴和y轴两种情况，分别设出标准方程为y2=﹣2px和x2=2py，然后将（﹣2，3），代入即可求出抛物线标准方程．【解答】解：（1）抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是x轴，并且经过点（﹣2，3），设它的标准方程为y2=﹣2px（p＞0），∴9=4p解得：2p=，∴y2=﹣x；（2）对称轴是y轴，并且经过点（﹣2，3），抛物线的方程为x2=2py（p＞0），∴4=6p，得：2p=，∴抛物线的方程为：x2=y．所以所求抛物线的标准方程为：y2=﹣x或x2=y．故答案为：y2=﹣x或x2=y．2．若过点P（2，2）可以向圆x2+y2﹣2kx﹣2y+k2﹣k=0作两条切线，则实数k的取值范围是（﹣1，1）∪（4，+∞）．【考点】圆的切线方程．【分析】将圆化成标准方程，得（x﹣k）2+（y﹣1）2=k+1，根据方程表示圆的条件和点与圆的位置关系，结合题意建立关于k的不等式组，解之即可得到实数k的取值范围．【解答】解：圆x2+y2﹣2kx﹣2y+k2﹣k=0，可化为（x﹣k）2+（y﹣1）2=k+1．∵方程x2+y2﹣2kx﹣2y+k2﹣k=0表示圆，∴k+1＞0，解之得k＞﹣1．又∵过点P（2，2）可以向圆x2+y2﹣2kx﹣2y+k2﹣k=0作两条切线，∴点P（2，2）在圆外，可得（2﹣k）2+（2﹣1）2＞k+1，解之得k＜1或k＞4综上所述，可得k的取值范围是（﹣1，1）∪（4，+∞），故答案为（﹣1，1）∪（4，+∞）．3．参数方程（θ∈R）化为普通方程是x2+（y﹣1）2=1．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】利用同角三角函数平方关系，可得结论．【解答】解：由题意，消去参数θ，可得普通方程是x2+（y﹣1）2=1，故答案为x2+（y﹣1）2=1．4．M是椭圆上动点，F1，F2是椭圆的两焦点，则∠F1MF2的最大值为π﹣arccos．【考点】椭圆的简单性质．【分析】求得椭圆的a，b，c，由椭圆中焦点三角形中，焦距所对角最大，可得∠F1MF2最大，此时M 为短轴端点．再由余弦定理，计算即可得到所求最大角．【解答】解：椭圆的a=3，b=1，c==2，由椭圆中焦点三角形中，焦距所对角最大，可得∠F1MF2最大，此时M为短轴端点．则cos∠F1MF2===﹣，可得∠F1MF2的最大值为π﹣arccos．故答案为：π﹣arccos．5．圆x2+（y﹣a）2=9与椭圆有公共点，则实数a的取值范围是[﹣6，6] ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：椭圆焦点在x轴上，a=5，b=3，圆x2+（y﹣a）2=9的圆心坐标（0，a），半径r=3．若椭圆1与圆x2+（y﹣a）2=9有公共点，根据图象可知数a的取值范围．【解答】解：∵椭圆焦点在x轴上，a=5，b=3，|x|≤5，|y|≤4，圆x2+（y﹣a）2=9的圆心坐标（0，a），半径r=3．∴若椭圆1与圆x2+（y﹣a）2=9有公共点，则实数a的取值范围|a|≤6；故答案为：[﹣6，6]．6．与圆x2+y2﹣4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是y2=8x（x＞0）或y=0（x＜0）．【考点】轨迹方程；抛物线的定义．【分析】分动圆在y轴右侧和动圆在y轴左侧两种情况考虑，若动圆在y轴右侧，则动圆圆心到定点（2，0）与到定直线x=﹣2的距离相等，利用抛物线的定义求轨迹方程，若动圆在y轴左侧，动圆圆心轨迹是x负半轴．【解答】解：若动圆在y轴右侧，则动圆圆心到定点（2，0）与到定直线x=﹣2的距离相等，其轨迹是抛物线；且=2，其方程为y2=8x，若动圆在y轴左侧，则动圆圆心轨迹是x负半轴，方程为y=0，x≤0，故答案为y2=8x，或y=0，x≤0．7．双曲线2x2﹣3y2=k（k＜0）的焦点坐标是（用k表示）（0，±）．【考点】双曲线的简单性质．【分析】双曲线2x2﹣3y2=k（k＜0），化为=1，即可求得c．【解答】解；双曲线2x2﹣3y2=k（k＜0），化为=1，根据双曲线方程可知c==，∴双曲线焦点坐标为（0，±）故答案为（0，±）．8．已知P（x，y）是圆（x+1）2+y2=1上一点，则2x+3y的最大值为﹣2．【考点】圆的标准方程．【分析】假设点P的坐标为（﹣1+cosα，sinα），利用三角函数，可求最值．【解答】解：圆的标准方程为（x+1）2+y2=1，设P（﹣1+cosα，sinα），则2x+3y=2cosα+3sinα﹣2=cos（α+θ）﹣2∴2x+3y的最大值为：﹣2．故答案为：﹣2．9．若直线与圆x2+y2=1在第一象限有两个不同的交点，则实数a的取值范围是（，2）．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】抓住两个关键点，一是直线过（0，1）；一是直线与圆相切，分别求出m的值，即可确定出直线与圆在第一象限内有两个不同的交点时a的范围．【解答】解：分两种情况：当直线过（0，1）时，将x=0，y=1代入得：a=；当直线与圆x2+y2=1相切时，圆心到直线的距离d==r=1，解得：a=2或﹣2（舍去），则直线与圆在第一象限内有两个不同的交点时，实数a的取值范围是（，2）．故答案为（，2）．10．椭圆E：的右顶点为B，过E的右焦点作斜率为1的直线L与E交于M，N两点，则△MBN的面积为，．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆E：右焦点（1，0），右顶点（2，0），设直线L的方程为y=x﹣1，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式求得丨MN丨，则B到直线L的距离d==，△MBN的面积S= ?丨MN丨?d．【解答】解：由题意可知：椭圆E：右焦点（1，0），右顶点（2，0），设直线L的方程为y=x﹣1，M（x1，y1），N（x2，y2），由，整理得：7x2﹣8x﹣8=0，由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=﹣，丨MN丨=?=?=，则B到直线L的距离d==，△MBN的面积S=?丨MN丨?d=××=，∴△MBN的面积为，故答案为：．11．设实数x，y满足x2=4y，则的最小值是2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线的准线方程为y=﹣1， +1﹣1最小值是（3，1）与焦点（0，1）的距离减去1，可得结论．【解答】解：抛物线的准线方程为y=﹣1， +1﹣1最小值是（3，1）与焦点（0，1）的距离减去1，即的最小值是3﹣1=2，故答案为2．12．椭圆C：向右平移一个单位、向上平移两个单位可以得到椭圆C′：．设直线l：（2a+1）x+（1﹣a）y﹣3=0，当实数a变化时，l被C′截得的最大弦长是8．【考点】椭圆的简单性质．【分析】直线l：（2a+1）x+（1﹣a）y﹣3=0，化为：a（2x﹣y）+（x+y﹣3）=0，利用直线系的性质可得：直线l经过定点M（1，2），为椭圆C′：的中心．因此当实数a变化时，l被C′截得的最大弦长是2a．【解答】解：直线l：（2a+1）x+（1﹣a）y﹣3=0，化为：a（2x﹣y）+（x+y﹣3）=0，令，解得x=1，y=2，因此直线l经过定点M（1，2），为椭圆C′：的中心．因此当实数a变化时，l被C′截得的最大弦长是2a=8．故答案为：8．二、选择题（共20分，每题5分）13．圆x2+y2+2x+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆x2+y2+2x+4y﹣3=0可化为（x+1）2+（y+2）2=8，过圆心平行于直线x+y+1=0的直线与圆有两个交点，另一条与直线x+y+1=0的距离为的平行线与圆相切，只有一个交点．【解答】解：圆x2+y2+2x+4y﹣3=0可化为（x+1）2+（y+2）2=8∴圆心坐标是（﹣1，﹣2），半径是2；∵圆心到直线的距离为d==，∴过圆心平行于直线x+y+1=0的直线与圆有两个交点，另一条与直线x+y+1=0的距离为的平行线与圆相切，只有一个交点所以，共有3个交点．故选：C14．“ab＜0”是“方程ax2+by2=c表示双曲线”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不必要也不充分条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】运用反例，特殊值，结合双曲线的标准方程判断．【解答】解：若a=1，b=﹣1，c=0，则不能表示双曲线，不是充分条件，反之，若方程ax2+by2=c表示双曲线，则a，b异号，是必要条件，故ab＜0是方程ax2+by2=c表示双曲线的必要不充分条件，故选：C．15．过点（3，0）和双曲线x2﹣ay2=1（a＞0）仅有一交点的直线有（）A．1条 B．2条 C．4条 D．不确定【考点】双曲线的简单性质．【分析】直线斜率不存在时，不满足条件，直线斜率存在时，与渐近线平行的直线，满足题意，可得结论．【解答】解：直线斜率不存在时，满不足条件；直线斜率存在时，与渐近线平行的直线，满足题意，∴过点（3，0）和双曲线x2﹣ay2=1（a＞0）仅有一交点的直线有2条．故选：B．16．双曲线C的左、右焦点为F1，F2，P为C的右支上动点（非顶点），I为△F1PF2的内心．当P变化时，I的轨迹为（）A．双曲线的一部分 B．椭圆的一部分C．直线的一部分D．无法确定【考点】轨迹方程．【分析】将内切圆的圆心坐标进行转化成圆与横轴切点Q的横坐标，PF1﹣PF2=F1Q﹣F2Q=2a，F1Q+F2Q=F1F2解出OQ，可得结论．【解答】解：如图设切点分别为M，N，Q，则△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标与Q横坐标相同．由双曲线的定义，PF1﹣PF2=2a=4．由圆的切线性质PF1﹣PF2=F I M﹣F2N=F1Q﹣F2Q=2a，∵F1Q+F2Q=F1F2=2c，∴F1Q=a+c，F2Q=c﹣a，∴OQ=F1F2﹣QF2=c﹣（c﹣a）=a．∴△F1PF2内切圆与x轴的切点坐标为（a，0），∴当P变化时，I的轨迹为直线的一部分．故选C．三、解答题（共52分，8+10+10+12+12）17．已知抛物线C：y=2x2和直线l：y=kx+1，O为坐标原点．（1）求证：l与C必有两交点；（2）设l与C交于A，B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）联立抛物线C：y=2x2和直线l：y=kx+1，可得2x2﹣kx﹣1=0，利用△＞0，即可证明l与C 必有两交点；（2）根据直线OA和OB斜率之和为1，利用韦达定理可得k的值．【解答】（1）证明：联立抛物线C：y=2x2和直线l：y=kx+1，可得2x2﹣kx﹣1=0，∴△=k2+8＞0，∴l与C必有两交点；（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则+=1①因为y1=kx1+1，y2=kx2+1，代入①，得2k+（+）=1②因为x1+x2=k，x1x2=﹣，代入②得k=1．18．斜率为1的动直线L与椭圆交于P，Q两点，M是L上的点，且满足|MP|?|MQ|=2，求点M的轨迹方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设直线L的方程为：y=x+t，P（x1，y1），Q（x2，y2），M（m，n）．可得y1=x1+t，y2=x2+t，t=n ﹣m．直线方程与椭圆方程联立可得：3x2+4tx+2t2﹣4=0，|MP|==，同理可得：|MQ|=．利用|MP|?|MQ|=2，代入化简即可得出．【解答】解：设直线L的方程为：y=x+t，P（x1，y1），Q（x2，y2），M（m，n）．则y1=x1+t，y2=x2+t，t=n﹣m．联立，化为：3x2+4tx+2t2﹣4=0，△=16t2﹣12（2t2﹣4）＞0，解得：t2＜6．∴x1+x2=﹣，．|MP|==，同理可得：|MQ|=．∵|MP|?|MQ|=2，∴1=|（x1﹣m）（x2﹣m）|=，∴m2+2n2=1或7．∴点M的轨迹为椭圆，其方程为m2+2n2=1或7．19．已知椭圆x2+2y2=1上存在两点A，B关于直线L：y=4x+b对称，求实数b的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】将A，B坐标代入椭圆方程，利用作差法，求得直线AB的斜率，由直线AB的斜率为﹣，代入求得AB中点M（x0，y0），横坐标和纵坐标与m的关系，代入x2+2y2＜1，即可求得b的取值范围．【解答】解：∵椭圆x2+2y2=1，焦点在x轴上，设椭圆上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线y=4x+b对称，AB中点为M（x0，y0），直线AB的斜率为﹣则x12+2y12=1，①x22+2y22=1，②①﹣②得：（x1+x2）（x1﹣x2）+2（y1+y2）（y1﹣y2）=0，由中点坐标公式可知：x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，即2x0?（x1﹣x2）+2?2y0?（y1﹣y2）=0，∴=﹣?=﹣．∴y0=x0，代入直线方程y=4x+b得x0=﹣b，y0=﹣b；∵（x0，y0）在椭圆内部，∴+2×＜1，即6b2＜49，解得﹣＜b＜．实数b的取值范围（﹣，）．20．已知双曲线C的渐近线方程为x±2y=0，且点A（5，0）到双曲线上动点P的最小距离为，求C 的方程．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由已知条件，设双曲线方程﹣y2=λ，λ≠0，由定点A（50）到双曲线C上的动点P的最小距离为，运用两点距离公式，结合二次函数最值求法，可得最小值，求得λ，由此能求出双曲线方程．【解答】解：∵双曲线C的一条渐近线L的方程为x±2y=0，∴设双曲线方程为﹣y2=λ，λ≠0设P（m，n），则m2﹣4n2=4λ，点A（5，0）到双曲线上动点P的距离为：===，当m=4时，上式取得最小值，由题意可得=，解得λ＝﹣1．则双曲线C的方程为y2﹣=1．21．设定点A（0，1），常数m＞2，动点M（x，y），设，，且．（1）求动点M的轨迹方程；（2）设直线L：与点M的轨迹交于B，C两点，问是否存在实数m使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【考点】双曲线的简单性质；轨迹方程．【分析】（1）根据向量的表达式，可推断出点M（x，y）到两个定点F1（﹣m，0），F2（m，0）的距离之差4，根据双曲线的定义判断出其轨迹为双曲线，进而根据c和a，求得b，则其方程可得．（2）设将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系利用向量数量积的坐标公式即可求得m值，从而解决问题．【解答】解：（1）由题意，﹣=4＜2m，∴动点M的轨迹是以（﹣m，0），（m，0）为焦点的双曲线的右支，方程为=1（x≥2）；（2）由直线L：与点M的轨迹方程，联立可得（m2﹣5）x2+12x﹣36﹣4（m2﹣4）=0，设B（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，∵，∴x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）=，∴x1x2﹣2（x1+x2）+16=，∴m2=9，m=±3，∵m≥2，∴m=3检验m=3时x1+x2=﹣3＜0，所以不存在m．。

上海复旦附属中学2020-2021学年高二年级第一学期10月份月考数学试卷答案时间：120分钟；满分：150分一、 填空题：54分1.直线2310x y +-=的倾斜角为 【答案】2arctan 3π- 2.方程组3162223x y z x ay z x y z -+=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩有无穷多解，则a =【答案】2-3.直线1:320l x y ++=与直线2:230l x y --=的夹角α= 【答案】4π 4.如图，在ΔABC 中，2,CD DA E =是BD 上一点，且1()7AE AB AC R λλ=+∈, 则λ的值等于 【答案】475.已知1,2,,a b a b ==的夹角为060,则a b +在a 上的投影是【答案】26.已知点P 在直线1:210l x y +-=上，点Q 在直线2:230,l x y PQ ++=的中点为00(,)M x y ,且0017y x ≤-≤,则00y x 的取值范围是 【答案】2,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7.直线1:260l ax y ++=与直线22:(1)(1)0l x a y a +-+-=平行，则a = 【答案】1-8.已知,a b R ∈若直线230x y ++=与直线(1)2a x by -+=互相垂直，则ab 的最大值等于【答案】189.点(5,2)到直线(1)(21)5m x m y m -+-=-的距离的最大值为【答案】1310.定义111011n n n n x x y y ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为向量(,)n n n OP x y =到向量111(,)n n n OP x y +++=的一个矩阵变换，其中n N ,O +∈是坐标原点，已知1(2,0)OP =,则2020OP 的坐标为 【答案】(2,4038) 11.已知直线2(2)0x y y λ++-=与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为()S λ; 当(1,)λ∈+∞时，()S λ的最小值为【答案】812.已知直角ABC ∆中，3,4,5,AB AC BC I ===是ABC ∆的内心（即三个内角平分线所在 直线的交点），P 是C IB ∆内部（不含边界）的动点，若(,)AP AB AC R λμλμ=+∈, 则λμ+的取值范围是【答案】2(,1)3二、 选择题：20分13.设,a b 是非零向量，“a b a b ⋅=”是“//a b ”的（ )条件．A.充分而不必要B.必要而不充分C.充分必要D.既不充分也不必要【答案】A 14.已知数列{}n a 的通项公式2019(1)(12019)1()(2019)2n n n n a n -⎧-≤≤⎪=⎨>⎪⎩，前n 项和为n S , 则关于数列{}n a 的极限，下面判断正确的是（ ）A.数列{}n a 的极限不存在，{S }n 的极限存在；B.数列{}n a 的极限存在，{}n a 的极限不存在；C.数列{},{S },n n a 的极限均存在，但极限值不相等；D.数列{},{S },n n a 的极限均存在，且极限值相等；【答案】C15.过点(1,3)P 作直线,l l 经过点(,0)A a 和(0,)B b ,且,a b N +∈,则这样的直线l 的条数为（ )A. 1B. 2C.3D.4【答案】B16.在某型号的图像计算器中，输入曲线方程28(165)0y x x -+-+--=,计算器显示下图中的线段AB ,则线段CD 的曲线方程为（ ) A. 23(242)0x y x x -++-+--=； B. 23(242)0x y x x +++-+--=； C.23(242)0x y x x -++-+-+= ； D. 23(242)0x y x x +++++--=； 【答案】A三、解答题：76分17.已知函数121()010()132x f x x R x+=∈ （1)求不等式()0f x ≤的解集；（2)若不等式()f x a x ≥-在[]2,3x ∈上恒有解，求实数a 的取值范围．【答案】（1)1(,0),2x ⎡⎫∈-∞+∞⎪⎢⎣⎭；（2）43a ≤ 18.已知向量(3,1),5,(1)a a b c xa x b=-⋅==+-； （1)若a c ⊥，求实数x 的值； （2)若5b =,求c 的最小值．【答案】（1)13x =；（2）1c =19.在平面直角坐标系XOY 中，已知点(2,0),(10,0),C(11,3),D(10,6)A B（1)证明：存在点P 使得PA PB PC PD ==+,并求P 的坐标；（2)过点C 的直线l 将四边形ABCD 分成周长相等的两部分，求该直线l 的方程.【答案】（1)(6,3)；（2）124190x y --=20.如图，平面直角坐标系内，O 为坐标原点，点A 在x 轴正半轴上，点B 在第一象限内，060AOB ∠=.（1)若AB 过点3)M ,当ΔOAB 的面积取最小值时，求直线AB 的斜率；（2)若4AB =,求ΔOAB 的面积的最大值；（3)设,,OA a OB b ==若114a b+=,求证：直线AB 过一定点，并求出此定点坐标. 【答案】（1)3；（2）433）33()8 21.在平面直角坐标系内，对于任意两点1122(,),(,)A x y B x y , 定义它们之间的“曼哈顿距离”为1212AB x x y y =-+-.（1)求线段2(,0)x y x y +=≥上一点(,)M x y 到原点O(0,0)的“曼哈顿距离”；（2)求所有到定点(,)Q a b 的“曼哈顿距离”均为2的动点围成的图形的周长；（3)众所周知，对于“欧几里得距离”221212()(y y )AB x x =-+-有如下三个正确的结论： ①对于平面上任意三点,,A B C ,都有AB AC CB ≤+;②对于平面上不在同一直线上的任意三点,,A B C ,若222AB AC CB =+,则ABC ∆是以C ∠为直角的直角三角形；③对于平面上两个不同的定点,A B ,若动点P 满足PA PB =,则动点P 的轨迹是线段,A B 的垂直平分线；上述结论对于“曼哈顿距离”是否依然正确？说明理由。

上海市2020年高二上学期期中数学试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二上·西华期中) 《九章算术》中有“今有五人分无钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”．其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”这个问题中，甲所得为（）A . 钱B . 钱C . 钱D . 钱2. （2分）已知{an}是等差数列，且a4+4是a2+2和a6+6的等比中项，则{an}的公差d=（）A . 1B . ﹣1C . 2D . ﹣23. （2分）已知Sn是数列{an}的前n项和,那么{an}（）A . 是等比数列B . 当时是等比数列C . 当,时是等比数列D . 不是等比数列4. （2分）已知，函数的定义域为集合B，则=（）A .B .C .D .5. （2分）如果实数x，y满足，目标函数z=kx+y的最大值为12，最小值为3，那么实数k的值为（）A . 2B . －2C .D . 不存在6. （2分） (2017高二下·景德镇期末) 若不等式有解，则实数a的取值范围为（）A . [{，2]B . [ ，，]C . （0，]∪[2，+∞）D .7. （2分）若，则下列不等式一定不成立的是（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高二下·鞍山期中) 数列{an}中，已知，依次计算a2 ， a3 ， a4可猜得an的表达式为（）A .B .C .D .9. （2分）由数列1，10，100，1000，…猜测该数列的第n项可能是（）A .B .C .D .10. （2分）下列关于实数x的不等式关系中，恒成立的是（）A .B . x2+1>2xC .D .11. （2分）不等式﹣x2+4x﹣4＜0的解集为（）A . RB . ΦC . （﹣∞，2）∪（2，+∞）D . {2}12. （2分）设点G是△ABC的重心，若∠A=120°，，则的最小值是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二上·中山月考) 已知，其中，满足，且的最大值是最小值的4倍，则实数的值是________．14. （1分）已知等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若a1=﹣3，S5=S10 ，则当Sn取到最小值时n的值为________15. （1分） (2016高二下·大丰期中) 的最小值是________．16. （1分）(2013·四川理) 已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分） (2018高三上·湖北月考) 已知，不等式成立.（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，对于实数满足且不等式恒成立，求的最小值.18. （5分）在△ABC中，已知AB=2，AC=1，且cos2A+2sin2=1．（1）求角A的大小和BC边的长；（2）若点P在△ABC内运动（包括边界），且点P到三边的距离之和为d，设点P到BC，CA的距离分别为x，y，试用x，y表示d，并求d的取值范围．19. （10分）解答题（1）已知不等式|2x+t|﹣t≤8的解集是{x|﹣5≤x≤4}，求实数t；（2）已知实数x，y，z满足x2+ y2+ z2=2，求x+y+z的最大值．20. （10分）在公差不为0的等差数列{an}中，已知a1=1，且a2 ， a5 ， a14成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=2n•an，求数列{bn}的前n项和Tn．21. （10分） (2015高二下·登封期中) 某同学在独立完成课本上的例题：“求证： + ＜2 ”后，又进行了探究，发现下面的不等式均成立．+ ＜2+ ＜2+ ＜2+ ＜2 ，+ ≤2 ．（1）请根据上述不等式归纳出一个一般性的不等式；（用字母表示）（2）请用合适的方法证明你写出的不等式成立．22. （10分） (2018高一下·重庆期末) 已知数列满足，．（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求数列的前项和．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。