人教版七年级数学下册平行线
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一、相交线与平行线1. 相交线•邻补角:两条直线相交所构成的四个角中,有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。
邻补角互补。
•对顶角:一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,像这样的两个角互为对顶角。
对顶角相等。
•垂线:两条直线相交成直角时,叫做互相垂直,其中一条叫做另一条的垂线。
垂线的性质包括:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。
2. 平行线•定义:在同一平面内,永不相交的两条直线叫做平行线。
•平行公理:经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论是,如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
•平行线的性质:o两直线平行,同位角相等。
o两直线平行,内错角相等。
o两直线平行,同旁内角互补。
•平行线的判定:o同位角相等,两直线平行。
o内错角相等,两直线平行。
o同旁内角互补,两直线平行。
3. 平移•定义:在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,图形的这种移动叫做平移变换,简称平移。
平移不改变物体的形状和大小。
•对应点:平移后得到的新图形中每一点,都是由原图形中的某一点移动后得到的,这样的两个点叫做对应点。
连接各组对应点的线段平行且相等。
二、平面直角坐标系•有序数对:有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对,记做(a,b)。
•平面直角坐标系:在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴,竖直的数轴称为y轴或纵轴,两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
•坐标:对于平面内任一点P,过P分别向x轴、y轴作垂线,垂足分别在x 轴、y轴上,对应的数a、b分别叫点P的横坐标和纵坐标。
三、三角形•三边关系:三角形任意两边的和大于第三边,任意两边的差小于第三边。
•高:从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
•中线:在三角形中,连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
第五章《相交线与平行线》期末复习讲义5.2平行线及其判定【知识回顾】一.平行线1.定义:在同一平面内,__________的两条直线叫做平行线2.要点剖析(1):平行线的特征:在同一平面内;是直线;没有公共点。
(2)在同一平面内,不重合的两条直线的位置关系只有相交和平行两种,重合的直线视为一条直线。
(3)平行线是指的两条直线的位置关系,两条射线或线段平行,是指的它们所在的直线平行。
二.平行线的画法1.“一落”把三角尺的一边落在已知直线上2.“二靠”用直尺紧靠三角尺的另一边3.“三推”把三角尺沿着直尺推到三角尺的一边刚好过已知点的位置4.“四画”沿三角尺过已知点的边画直线三.平行公理及其推论1.平行公理:经过直线外一点,_________一条直线与这条直线平行2.平行公理的推论:如果两条直线都与_________直线平行,那么这两条直线也互相平行四.平行线的判定1.同位角相等,两直线_________2.内错角相等,两直线_________3.同旁内角互补,两直线___________4.在同一平面内,垂直于_______________的两条直线互相平行题型拓展题型1 平行公理及其推论的应用例1:1.如图,取一张长方形的硬纸板ABCD,将硬纸板ABCD对折使CD与AB重合,EF 为折痕.把长方形ABEF平放在桌面上,另一个面CDEF无论怎么改变位置,总有CD∥AB存在,你知道为什么吗?例2:2.如图,取一张长方形的硬纸片ABCD对折,MN是折痕,把ABNM平摊在桌面上,另一个面CDMN不论怎样改变位置,总有MN∥∥.因此∥.题型2 综合运用各种判定方法判定两条直线平行例1:3.如图,∠1=47°,∠2=133°,∠D=47°,那么BC与DE平行吗?AB与CD呢?为什么?例2:4.阅读下面的推理过程,在括号内填上推理的依据,如图:因为∠1+∠2=180°,∠2+∠4=180°(已知)所以∠1=∠4,()所以a∥c.()又因为∠2+∠3=180°(已知)∠3=∠6()所以∠2+∠6=180°,()所以a∥b.()所以b∥c.()题型3 平行线判定的开放探究题例1:5.如图,∠A=60°,∠1=60°,∠2=120°,猜想图中哪些直线平行,并证明.例2:6.如图,直线a,b被c所截,∠1=50°,若要a∥b,则需增加条件(填图中某角的度数);依据是.题型4 平行线的判定在实际生活中的应用例1:7.如图所示,给你两块同样的三角板和一根直尺(直尺比桌子长),请你设计一个方案,检验桌子的相对边缘线是否平行?例2:8.在铺设铁轨时,两条直轨必须是互相平行的,如图,已经知道∠2是直角,那么再度量图中已标出的哪个角,就可以判断两条直线是否平行?为什么?课后提高训练9.下列说法错误的是()A.平行于同一条直线的两直线平行B.两直线平行,同旁内角互补C.对顶角相等D.同位角相等10.如图,下面哪个条件不能判断AC∥EF的是()A.∠1=∠2B.∠4=∠C C.∠1+∠3=180°D.∠3+∠C=180°11.如图,平面内有五条直线l1、l2、l3、l4、l5,根据所标角度,下列说法正确的是()A.l1∥l2B.l2∥l3C.l1∥l3D.l4∥l512.如图,在下列条件中,能判断AB∥CD的是()A.∠1=∠4B.∠BAD=∠BCDC.∠BAD+∠ADC=180°D.∠2=∠313.如图所示,下列推理正确的是()A.∵∠1=∠4(已知)∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行)B.∵∠2=∠3(已知)∴AE∥DF(内错角相等,两直线平行)C.∵∠1=∠3(已知)∴AB∥DF(内错角相等,两直线平行)D.∵∠2=∠2(已知)∴AE∥DC(内错角相等,两直线平行)14.下列说法中正确的个数为()①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直②两条直线被第三条直线所截,同位角相等③经过两点有一条直线,并且只有一条直线④在同一平面内,不重合的两条直线不是平行就是相交A.1个B.2个C.3个D.4个15.如图,下列能判定AB∥CD的条件有(填序号)①∠B+∠BCD=180°;②∠2=∠3;③∠1=∠4;④∠B=∠5;⑤∠D=∠5.16.如图,要使BE∥DF,需补充一个条件,你认为这个条件应该是(填一个条件即可).17.一副三角板按如图所示叠放在一起,其中点C、D重合,若固三角板定ABC,改变三角板AED的位置(其中A点位置始终不变),当∠CAD=时,ED∥AC.18.如图,直线a、b被直线c所截,现给出的下列四个条件:①∠4=∠7;②∠2=∠5;③∠2+∠3=180°;④∠2=∠7.其中能判定a∥b的条件的序号是.19.已知:∠A=∠C=120°,∠AEF=∠CEF=60°,求证:AB∥CD.20.如图,若∠1=42°,∠2=53°,∠3=85°,则直线l1与l2平行吗?判断并说明理由.21.如图,已知CD⊥AD于点D,DA⊥AB于点A,∠1=∠2,试说明DF∥AE.解:因为CD⊥AD(已知),所以∠CDA=90°().同理∠DAB=90°.所以∠CDA=∠DAB=90°().即∠1+∠3=∠2+∠4=90°.因为∠1=∠2(已知),所以∠3=∠4().所以DF∥AE().22.完成下列证明过程,并在括号内填上依据.如图,点E在AB上,点F在CD上,∠1=∠2,∠B=∠C,求证AB∥CD.证明:∵∠1=∠2(已知),∠1=∠4(),∴∠2=∠4(等量代换),∴().∴∠3=∠C().又∵∠B=∠C(已知),∴∠3=∠B(等量代换),∴AB∥CD().参考答案与解析1.解:∵四边形FECD是矩形,∴CD∥EF;又∵四边形ABEF是矩形,∴AB∥EF,∴CD∥AB.2.解:∵长方形的硬纸片ABCD对折,MN是折痕,∴MN∥AB,MN∥CD,即MN∥AB∥CD,∴AB∥CD(平行于同一直线的两条直线互相平行).故各空依次填AB、CD、AB、CD.3.解:BC∥DE,AB∥CD.理由如下:∵∠1=47°,∠2=133°,而∠ABC=∠1=47°,∴∠ABC+∠2=180°,∴AB∥CD;∵∠2=133°,∴∠BCD=180°﹣133°=47°,而∠D=47°,∴∠BCD=∠D,∴BC∥DE.4.解:因为∠1+∠2=180°,∠2+∠4=180°(已知),所以∠1=∠4,(同角的补角相等)所以a∥c.(内错角相等,两直线平行)又因为∠2+∠3=180°(已知)∠3=∠6(对顶角相等)所以∠2+∠6=180°,(等量代换)所以a∥b.(同旁内角互补,两直线平行)所以b∥c.(平行于同一条直线的两条直线平行).故答案为:同角的补角相等;内错角相等,两直线平行;对顶角相等;等量代换;同旁内角互补,两直线平行;平行于同一条直线的两条直线平行.5.解:如图,∵∠A=60°,∠1=60°,∴∠A=∠1,∴DE∥AC.又∵∠A=60°,∠2=120°,∴∠A+∠2=180°,∴EF∥AB.6.解:∵∠3=50°,1=50°,∴∠1=∠3,∴a∥b(同位角相等,两直线平行).故答案为:∠3=50°;同位角相等;两直线平行.7.解:(1)将直尺放在桌面上,使其与桌面一组对边相交;(2)将三角板一边贴近直尺,斜边贴近桌面边缘;(3)使另一个三角形同样方法放置,如果相符合说明对边平行,原理如图所示,若∠1=∠2则a∥b,再检查另一组对边是否平行.8.解:①通过度量∠3的度数,若满足∠2+∠3=180°,根据同旁内角互补,两直线平行,就可以验证这个结论;②通过度量∠4的度数,若满足∠2=∠4,根据同位角相等,两直线平行,就可以验证这个结论;③通过度量∠5的度数,若满足∠2=∠5,根据内错角相等,两直线平行,就可以验证这个结论.9. D10.C11.D12.C13.B14.B15.解:选项①中∵∠B+∠BCD=180°,∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行),所以正确;选项②中,∵∠2=∠3,∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行),所以错误;选项③中,∵∠1=∠4,∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行),所以正确;选项④中,∵∠B=∠5,∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行),所以正确;选项⑤中,∠D=∠5,∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行),所以错误;故答案为:①③④.16.解:添加条件为:∠D=∠COE.理由如下:∵∠D=∠COE,∴BE∥DE(同位角相等,两直线平行).故答案为:∠D=∠COE(答案不唯一).17.解:如图所示:当ED∥AC时,∠CAD=∠D=30°;如图所示,当ED∥AC时,∠E=∠EAC=60°,∴∠CAD=60°+90°=150°;故答案为:30°或150°.18.解:当∠4=∠7时,a∥b,故①正确;当∠2=∠5时,无法证明a∥b,故②错误;当∠2+∠3=180°时,无法证明a∥b,故③错误;当∠2=∠7时,a∥b,故④正确;故答案为:①④.19.证明:∵∠A=∠C=120°,∠AEF=∠CEF=60°,∴∠A+∠AEF=180°,∠C+∠CEF=180°,∴AB∥EF,CD∥EF,∴AB∥CD.20.解:直线l1与l2平行,理由:∵∠1=∠4,∠2=∠5,∠1=42°,∠2=53°,∴∠4=42°,∠5=53°,又∵∠3=85°,∴∠3+∠5=85°+53°=138°,∴∠3+∠5+∠4=138°+42°=180°,∴l1∥l2(同旁内角互补,两直线平行).21.解:因为CD⊥AD(已知),所以∠CDA=90°(垂直的定义),同理∠DAB=90°.所以∠CDA=∠DAB=90°(等量代换),即∠1+∠3=∠2+∠4=90°.因为∠1=∠2(已知),所以∠3=∠4(等式的性质1),所以DF∥AE(内错角相等,两直线平行).22.证明:∵∠1=∠2(已知),∠1=∠4(对顶角相等),∴∠2=∠4(等量代换),∴CE∥BF(同位角相等,两直线平行).∴∠3=∠C(两直线平行,同位角相等).又∵∠B=∠C(已知),∴∠3=∠B(等量代换),∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行).故答案为:对顶角相等;CE∥BF;同位角相等,两直线平行;C;两直线平行,同位角相等;内错角相等,两直线平行.。