第四章 平稳随机过程的谱分析

1 2
S
X
(
)e
j
d
自相关函数和功率谱密度皆为偶函数
若随机过程X t是平稳的，自相关函数绝对可积，则自相关函数
jt
ddt
1
2
XX
()
x(t)e jt dtd
1
2
X
X
()X
* X
()d
1
2
X
X
()
2d
4.1、平稳随机过程的功率谱密度 ❖功率谱
功率型信号：能量无限、平均功率有限的信号
P lim 1 T s(t) 2 dt T 2T T 其能谱不存在，而功率谱存在
持续时间无限长的信号一般能量无限
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖如何计算随机信号的平均功率？
2）时域计算方法
任一样本函数的平均功率为
W
lim
T
1 2T
T x2(t, )dt
T
随机过程的平均功率为
W
E[W
]
lim
T
1 2T
T E{X 2(t)}dt
T
若为各态历经过程：
W =W
4.1、平稳随机过程的功率谱密度 ❖如何计算随机信号的平均功率？
2020/5/20
6
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖傅立叶变换
则 x(t)的傅立叶变换为：
X () x(t)e jt dt
其反变换为：
x(t) 1 X ()e jt d
2
频谱密度存在的条件为：
频谱密度
x(t)dt
2020/5/即20 信号为绝对可积信号
包含：振幅谱 相位谱
求各样本函数功率谱密度的统计平均
S
X
()
E[S
X
(,
)]
E lim T
1 2T
X
T
(,
)
2
若为各态历经过程，则有：
S
X
()
lim
T
1 2T
E
XT
(,
)
2
lim T
1 2T
XT (, ) 2
即：样本函数的功率谱密度代表随机过程的功率谱密度
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
随机性信号功率谱分析的一个例子
Jean Baptiste Joseph Fourier约瑟夫·路易斯·拉格朗日
Joseph-Louis Lagrange
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖Parseval定理
信号在时域的总能量等于其在频域的总能量
即
[x(t)]2 dt 1
2
Xห้องสมุดไป่ตู้
X
()
2d
能量谱密度
能量谱密度存在的条件为：
，RX ( ) 0 。因此，通常情
34
况下，第二项为0)
4.2、功率谱密度与自相关函数的关系
Theorem 4.1 (Wiener-Khintchine Theorem)
若随机过程X t是平稳的，自相关函数绝对可积，则自相关函数
与功率谱密度构成一对傅氏变换，即：
SX ()
RX
(
)e
j
d
RX ( )
利用截取函数的性质
2020/5/20
12
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖功率谱
定义截取函数为：xT
(t
)
x(t 0
)
t T t T
2020/5/20
13
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖随机信号是否也可以应用频域分析方法？ ❖如何定义随机信号的功率谱？ ❖如何计算随机信号的平均功率？
2020/5/20
•绝对可积条件，即
x(t)dt
•能量有限条件，即
2
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x(t) dt
5
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖傅立叶变换 对于确定信号x(t)，既可以通过时域分析，也可 以通过频域分析，时域和频域之间存在确定的关 系，周期信号可以表示成傅立叶级数，非周期信 号可以表示傅立叶积分
Jean Baptiste Joseph Fourier约瑟夫·路易斯·拉格朗日
Joseph-Louis Lagrange
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖傅立叶变换
狄利克雷， 勒贝格杨 一同仰望莱布尼茨的肖像， 拉贝、泰勒，无穷小量， 是长廊里麦克劳林的吟唱。
打破了确界， 你来我身旁， 温柔抹去我， 阿贝尔的伤， 我的心已成自变量， 函数因你波起波荡。 低阶的有限阶的， 一致的不一致的， 是我想你的皮亚诺余项。
确定信号： x(t) X ( j) 随机信号：平稳随机过程的自相关函数
功率谱密度。
2020/5/20
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4.2、功率谱密度与自相关函数的关系
Theorem 4.1 (Wiener-Khintchine Theorem)
若随机过程X t是平稳的，自相关函数绝对可积，则自相关函数
与功率谱密度构成一对傅氏变换，即：
第四章
平稳随机过程的谱分析
第四章 平稳随机过程的功率谱密度
4.1、平稳随机过程的功率谱密度 4.2、功率谱密度与自相关函数的关系
4.3、互功率谱密度
4.4、平稳过程的谱分解
4.5、随机过程的采样定理
4.6、白噪声
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2
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
关键点
➢确定信号的频域分析 ➢随机信号是否也可以应用频域分析方法? ➢随机信号的频域分析
Frequency (Hz)
22
22
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖如何计算随机信号的平均功率？
1）频域计算方法
任一样本函数的平均功率为
W
1
2
SX (, )d
随机过程的平均功率为
W
E[W
]
1 2
E[SX (, )]d
若为各态历经过程：
W =W
随机过程的平均功率：不同的频率成分对随机信号的平均功 率的贡献。
3）频域计算与时域计算的关系
对于平稳随机过程，有
E[ X
2 (t)]
1
2
SX
( )d
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
Exercise 4.1
已知随机过程X (t) a cos[ t ]，其中a, 为常量，为
0
0
均匀分布在0,0.5 中的随机变量,求X (t)的平均功率
E[X 2(t)]
E[a2 cos2(0t
2T
d
2T
2T 2T
1 2
RX
(
)e
j
du}
1
lim T 2T
2T 2T
(2T
)RX
(
)e jd
lim T
2T 2T
(1
2T
)RX
(
)e
j d
RX
(
)e
j
d
lim T
2T 2T
2T
RX
( )e j d
RX
(
)e
j
d
(注意T ， 0 且
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2T
E[ X
X
(T ,)X
*
X
(T ,)]
lim 1 T 2T
E[
T T
X (t1)e jt1 dt1
T T
X (t2 )e jt2 dt2 ]
lim 1 T 2T
T T
T T
E[ X
(t1)
X
(t2
)]e
j(t2 t1)dt1dt2
1
lim T 2T
T T
T T
RX
(t2
t1 )e
u 2T
4.2、功率谱密度与自相关函数的关系
Theorem 4.1 (Wiener-Khintchine Theorem)
Proof of Theorem 4.1
则
SX
()
lim
T
1 2T
{
2T 0
d
2T 2T
1 2RX
(
)e
j
du
0
d
2T
2T 2T
1 2RX
(
)e
j
du}
lim{ 1 T 2T
T
x2 (t, )dt
T
lim 1 { 1 T 2T 2
XT
(, )
2 d}
1 2
lim 1 T 2T
XT (, ) 2d
功
率 谱
S
X
(,
)
lim
T
1 2T
XT19(, ) 2
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖如何定义随机信号的功率谱？
2）对样本空间中所有样本函数的功率谱求统计平均
s2 (t)dt
即信号总能量有限，s(t)也称为有限能量信号
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10
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖Parseval定理
信号在时域的总能量等于其在频域的总能量
即
[x(t)]2 dt 1
2
X
X
()
2d
证明： [x(t)]2 dt
1
x(t)
2
X
X
()e
14
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖随机信号是否也可以应用频域分析方法？
对于随机过程，一般不满足绝对可积和能量有限 的这两个条件，这是因为一个随机过程的持续时间 是无限长的，所以其总能量不是有限的。这说明随 机过程的幅度频谱是不存在的，因此其频谱密度 和能量密度都不存在
2020/5/20
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4.1、平稳随机过程的功率谱密度 ❖如何定义随机信号的功率谱？
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
0
100 200 300 400 500
n
随机信号：
2
1
0
-1
-2
0
2020/5/20
100 200 300 400 500 n
Power
10-1 10-2 10-3 1x10-4 1x10-5 10-6 10-7 10-8 10-9
0
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
1）定义每个样本函数的功率谱（处理方法适用于确定性信号） 2）对样本空间中所有样本函数的功率谱求统计平均
T
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x(t)
0
xT (t)
T
t
x(t)
xT (t)
0
2T
随机过程的样本函数及其截断函数
t T t T
16
16
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖如何定义随机信号的功率谱？
1）定义每个样本函数的功率谱（处理方法适用于确定性信号）
① 样本函数的截断函数的傅立叶变换：
XT ()
xT
(t)e
jt dt
Tx(t)e jtdt
T
(t, ) XT (, ) xT
1 xT (t) 2
XT
()e
jt
d
17
4.1、平稳随机过程的功率谱密度 ❖如何定义随机信号的功率谱？
1）定义每个样本函数的功率谱（处理方法适用于确定性信号）
( , u)
2 1
2 1
1 2
22
2020/5/20
4.2、功率谱密度与自相关函数的关系 Theorem 4.1 (Wiener-Khintchine Theorem)
Proof of Theorem 4.1
t2 T
-T t1
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u 2T
u
2T
u 2T
-2T
2T
u 2T
求各样本函数功率谱密度的统计平均
S
X
(
)
E[S
X
(,
)]
E
lim
T
1 2T
X
T
(,
)
2
是的确
定函数
物理意义：功率谱密度表示单位频带内信号在单位
电阻上消耗的功率的统计平均值.
缺陷:不含 相位信息
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖如何定义随机信号的功率谱？
2）对样本空间中所有样本函数的功率谱求统计平均
2020/5/20
3
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖确定信号分析
时域分析
信号特征分析
关键词
频域分析
傅立叶变换
Parseval定理 频谱
能谱
2020/5/20
功率谱
4
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖关于确定信号的一些假设
设x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t) 满足
•狄利赫利条件
有限个极值；有限个断点；断点为有限值
j(t2 t1)dt1dt2
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31
4.2、功率谱密度与自相关函数的关系 Theorem 4.1 (Wiener-Khintchine Theorem)
Proof of Theorem 4.1
设 则 所以：
t2 t1 u t2 t1
t1
u
2
t2
2
u
11
J
(t1 , t2 )
4.1、平稳随机过程的功率谱密度 4.2、功率谱密度与自相关函数的关系
4.3、互功率谱密度
4.4、平稳过程的谱分解
4.5、随机过程的采样定理
4.6、白噪声
2020/5/20
27
4.2、功率谱密度与自相关函数的关系
关键点
维纳—辛钦定理 利用维纳-辛钦定理求功率谱密度函数
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28
4.2、功率谱密度与自相关函数的关系 傅立叶变换对：
SX ()
RX
(
)e
j
d
RX ( )
1 2
S
X
(
)e
j
d
2020/5/20
4.2、功率谱密度与自相关函数的关系
Theorem 4.1 (Wiener-Khintchine Theorem)
Proof of Theorem 4.1
SX
(
)
lim
T
E[
X
X (T 2T
,
)
2
]
lim
T
1 2T
② 样本函数的截断函数的能量：
E
xT2
(t
,
)dt
1
2
X
T
(,
)
2
d
XT (, ) 2 截断函数的 能量谱
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4.1、平稳随机过程的功率谱密度 ❖如何定义随机信号的功率谱？
1）定义每个样本函数的功率谱（处理方法适用于确定性信号）
③ 样本函数的（时间）平均功率：
W
lim 1 T 2T
7
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖傅立叶变换
拉格朗日， 傅立叶旁， 我凝视你凹函数般的脸庞。 微分了忧伤， 积分了希望， 我要和你追逐黎曼最初的梦想。
感情已发散， 收敛难挡， 没有你的极限， 柯西抓狂， 我的心已成自变量， 函数因你波起波荡。 低阶的有限阶的， 一致的不一致的， 是我想你的皮亚诺余项。
)]
a2 E[