内蒙古包头市北重三中2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理科）试题 解析版一、选择题：每小题只有一个选项符合题意.1. 向量()()2,4,,2,,2a x b y ==，若6a =，且a b ⊥，则x y +的值为（ ） A. 3- B. 1C. 3或1D. 3-或1【答案】D 【解析】22422440a b y x x y ⋅=⨯+⨯+⨯=++=，又2246a =+== ，所以解得43x y =⎧⎨=-⎩或41x y =-⎧⎨=⎩ ，所以1x y +=或3x y +=-，故选D. 2. 抛物线2y ax =的焦点是直线x y 10+-=与坐标轴交点，则抛物线准线方程是( )A. 1x 4=-B. x 1=-C. 1y 4=-D. y 1=-【答案】D 【解析】 【分析】先求得直线和坐标轴的焦点，由此求得a 的值，并求得准线方程.【详解】抛物线开口向上或者向下，焦点在y 轴上，直线10x y +-=与y 轴交点为()0,1，故111,44a a ==，即抛物线的方程为24x y =，故准线方程为1y =-，故选D. 【点睛】本小题主要考查直线和坐标轴交点坐标的求法，考查已知抛物线的焦点求准线方程，属于基础题. 3. 3sin 20cos 20x t y t ⎧=+⎨=⎩（t 为参数）的倾斜角为（ ）.A. 20︒B. 70︒C. 110︒D. 80︒【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意得到3cos 70sin 70x t y t ⎧=+⎨=⎩（t 为参数），消去参数t 得到()tan703=-y x ，再根据直线方程的斜率即可得到直线的倾斜角.【详解】因为3sin 20cos 20x t y t ⎧=+⎨=⎩（t 为参数），所以3cos 70sin 70x t y t ⎧=+⎨=⎩（t 为参数），即3cos 70sin 70x t y t ⎧-=⎨=⎩（t 为参数），tan 703=-yx ， ()3tan70y x =-︒，tan 70=k ，倾斜角为70.故选：B【点睛】本题主要考查直线的参数方程，属于简单题.4. 过抛物线22(0)y px p =>焦点的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，以AB 为直径的圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=，则p =（ ）A. 2B. 1C. 2或4D. 4【答案】A 【解析】【详解】过抛物线()220y px p =>焦点的直线l 与抛物线交于,A B 两点，以AB 为直径的圆的方程为()()223216x y -+-=，可得弦的中点横坐标为3，圆的半径为4可得弦长为8，设直线与抛物线的交横坐标为12,x x 则12126,8x x x x p +=++=， 可得2p =， 故选A.5. 已知直线1y x =-+与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>相交于A 、B 两点，若椭圆的离心率为2，焦距为2，则线段AB 的长是（ ）D. 2【答案】B【解析】试题分析：因为22,1e c c ===，所以1a c ==，则1b ==，椭圆的方程为2212x y +=，联立221{21xy y x +==-+，化简得：2340x x -=，解得0x =或43x =，代入直线得出1y =或13y =-，则41(0,1),(,)33A B -，所以AB =，故选B ． 考点：椭圆的标准方程及其几何性质．6. 已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(1,)M m （0m >），那么k 的取值范围是（ ） A. 12k <- B. 1122k -<< C. 12k >D. 12k <-，或12k >【答案】A 【解析】 【分析】先设11(,)A x y ，22(,)B x y ，再由点差法求出34k m=-，再由点(1,)M m ，0m >在椭圆内，求出m 的范围即可得解.【详解】解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，又点A ，B 在椭圆22:143x y C +=上，则2211143x y +=，2222143x y +=，两式相减可得：12121212()()()()043x x x x y y y y -+-++=，又1212y y k x x -=-，12122,2x x y y m +=+=则12123344x x k y y m+=-⋅=-+，又点(1,)M m ，0m >在椭圆内，则21143m +<， 则302m <<， 所以12k <-，故选：A.【点睛】本题考查了椭圆中的中点弦问题，重点考查了点差法，属基础题. 7. 椭圆2242x y +=上的点到直线280x y --=的距离的最小值为（ ）A.B. C. 3 D. 6【答案】A 【解析】 【分析】设P θ)θ，02θπ<，求出P 到直线280x y --= 的距离d ，由此能求出点P 到直线的距离的最小值． 【详解】解：椭圆2242x y +=，P 为椭圆上一点，∴设P θ)θ，02θπ<，P ∴到直线280x y --= 的距离：cos()4|6545d πθ+-==，当且仅当cos()14πθ+=时取得最小值．∴点P 到直线280x y --=的距离的最小值为min d =．故选：A ．【点睛】本题考查点到直线的距离公式的最小值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的参数方程的合理运用，属于中档题．8. 已知动点P 在椭圆2213627x y +=上，若点A 的坐标为()3,0，点M 满足1AM =，0PM AM ⋅=，则PM 的最小值是（ ）A. 2B. 3C. 22D. 3【答案】C 【解析】0PM AM PM AM ⋅=∴⊥ ，2222211PM AP AMAM PM AP ，∴=-=∴=-1AM =∴点M 的轨迹为以为以点A 为圆心，1为半径的圆，221PM AP =-，AP 越小，PM 越小，结合图形知，当P 点为椭圆的右顶点时，AP取最小值633a c -=-=， PM ∴23122-= 故选C ．点睛：本题考查椭圆上的线段长的最小值的求法，属中档题.解题时要认真审题，要熟练掌握椭圆的性质，．9. 设2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，过2F 的直线交双曲线的右支于点P ，N ，直线PO 交双曲线C 于另一点M ，若223MF PF =，且260MF N ∠=︒，则双曲线C 的离心率为（ ） A. 3 B. 2 57【答案】D 【解析】【分析】设双曲线的左焦点为F 1，则MF 2PF 1为平行四边形，根据双曲线定义可得12,3MF a MF a ==，在△MF 1F 2中利用余弦定理得出a ，c 的关系即可求出离心率．【详解】设双曲线的左焦点为F 1，由双曲线的对称性可知四边形MF 2PF 1为平行四边形． ∴121,//MF PF MF PN =．设2||PF m =，则2||3MF m =，∴2122a MF MF m =-=，即12,3MF a MF a ==．∵21260,60MF N F MF ︒︒∠=∴∠=，又122F F c =，在△MF 1F 2中，由余弦定理可得：2224923cos60c a a a a ︒=+-⋅⋅⋅，即2222747,4c c a a =∴=，∴双曲线的离心率e 7c a ==． 故选D ．【点睛】本题考查了双曲线的性质，离心率计算，利用双曲线的对称性是解题的关键，属于中档题．10. 已知双曲线22221x y a b-=5x 轴的正半轴上的圆M 与双曲线的渐近线相切，且圆M 的半径为2，则以圆M 的圆心为焦点的抛物线的标准方程为（ ） A. 285y x =B. 25y x =C. 25y x =D.2y =【答案】B 【解析】设双曲线渐近线的方程为by x a=，圆心坐标为(),0c ，因为圆与直线相切由点到直线距离公式可得2= ，即2b = ，又因为离心率为= ，可得1,2pa c p =∴=∴==，所以抛物线的方程为2y = ，故选B. 【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质、双曲线的离心率双曲线的渐近线及抛物线的标准方程与性质，属于难题.求解与双曲线、抛物线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.11. 已知 12,F F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且| PF 2 |>| PF 1 |，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，112||||PF F F =，则2133e e +的最小值为（ ） A. 4 B. 6C. D. 8【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得112||||2PF F F c ==，再设椭圆和双曲线得方程，再利用椭圆和双曲线的定义和离心率可得2133e e +的表达式，化简后再用均值不等式即可求解.【详解】由题意得：112||||2PF F F c ==，设椭圆方程为221122111(0)x y a b a b +=>>，双曲线方程为222222221(0,0)x y a b a b -=>>，又∵121212||||2,||||2PF PF a PF PF a +=-=.∴2122||+22,||22PF c a PF c a =-=，∴122a a c -=，则 22112122393333e a a a c c e a c ca ++=+= 2222229(2)3633c a a c a c ca c a ++==++2236683a cc a =++≥=，当且仅当2233a c c a =， 即23e =时等号成立. 则2133e e +的最小值为8. 故答案为：8.【点睛】考查椭圆和双曲的定义,焦半径公式以及离心率，其中将2133e e +化为22911(18)18)833a c c a ++≥=为解题关键，注意取等号. 12. 已知过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点且斜率为b a 的直线l 与椭圆交于,A B 两点.若椭圆上存在一点P ，满足0OA OB OP ++=（其中点O 为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ）A.2B.3C.2D.12【答案】A 【解析】分析：根据平方差法得到直线OM 的方程为by x a=-，联立方程组，解得点P 的坐标，再根据0OA OB OP ++=，得2OP OM =-，把点(,)bcP c a-代入椭圆的方程，即可求解离心率的值.详解：设1122(,),(,),A x y B x y AB 的中点00(,)M x y ，由题意知2222112222221,1x y x y a b a b+=+=，两式相减得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=，则1212220AB x x y y k a b +++⋅=，而AB bk a =，所以00220x y a b+=， 所以直线OM 的方程为b y x a =-，联立()b y x ab y xc a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得,22P P c bc x y a =-=， 又因为0OA OB OP ++=，所以2OP OM =-, 所以点(,)bc P c a -代入椭圆的方程，得222a c =，所以22c e a ==，故选A. 点睛：本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范围)．二、填空题：13. 在正方体1111ABCD A B C D -中，点M N ，分别是11AA BB ，的中点，则CM 和1D N 所成角的余弦值为__________．【答案】19【解析】 【分析】以D 为原点建立空间直角坐标系，设棱长为2，根据异面直线所成角空间向量求法可求得结果.【详解】以D 为原点可建立如下图所示的空间直角坐标系设正方体棱长为2，则()0,2,0C ，()2,0,1M ，()10,0,2D ，()2,2,1N()2,2,1CM ∴=-，()12,2,1D N =-1114411cos ,339CM D N CM D N CM D N--⋅∴<>===⨯⋅ 即异面直线CM 与1D N 所成角的余弦值为19故答案为：19【点睛】本题考查空间向量法求解异面直线所成角的问题，易错点是忽略异面直线所成角的范围为0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，造成求解余弦值时符号错误.14. 曲线C :x 2+y 2=1经过伸缩变换2x xy y=''⎧⎨=⎩得到曲线C '，则曲线C '的方程为______________.【答案】2214x y ''+=【解析】 【分析】由2x x y y =''⎧⎨=⎩得2x x y y ''⎧=⎪⎨⎪=⎩，代入x 2+y 2=1，即可得曲线C '的方程. 【详解】由2x x y y =''⎧⎨=⎩得2x x y y ''⎧=⎪⎨⎪=⎩，代入x 2+y 2=1，得2214x y ''+=.故答案为：2214x y ''+=【点睛】本题主要考查利用伸缩变换求曲线的方程，考查学生的基本运算能力. 15. 已知x ，y R +∈且24x y =，则x y +的最小值______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据条件便可得到24y x=，从而根据三个数的均值不等式计算可得； 【详解】解：x ，y R +∈，24x y =；∴24y x =； 所以32244332222x x x x x y x x +=++=，当且仅当1y =，2x =时取“=”； x y ∴+的最小值为3．故答案为：3【点睛】考查基本不等式用于求最值的方法，注意在应用33a b c abc ++求a b c ++最小值时，应使得abc 为常数，且a ，b ，0c >，并会判断“=”成立的条件，属于基础题． 16. 在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，−1），P 是曲线上一个动点，则BP BA⋅的取值范围是_____________. 【答案】[0,1+2] 【解析】 试题分析：由题意设(cos ,sin )P αα, [0,π]α∈，则(cos ,1sin )BP αα=+，又(1,1)BA =，所以=cos sin 1=2sin()+1[0,12]4BP BA πααα⋅+++∈+，所以BP BA ⋅的取值范围为[0,12]+.【考点】平面向量的数量积、三角函数的图象和性质、数形结合的思想【名师点睛】本题解答时利用数形结合思想，将问题转化到单位圆中，从而转化成平面向量的坐标运算，利用三角函数的图象和性质，得到的取值范围.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想等.三、解答题：应写出文字说明、证明过程、演算步骤.17. 在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程是23cos 3sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为：(cos sin )t ρθθ+= （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）设直线θ＝()6R πρ∈与直线l 交于点M ，与曲线C 交于P ，Q 两点，已知｜OM ｜•｜OP ｜•｜OQ ）＝10，求t 的值．【答案】（1）24cos 50ρρθ--=；（2）1--1. 【解析】 【分析】（1）由曲线C 的参数方程，可得曲线C 的普通方程，再将其化为极坐标方程． （2）将6πθ=代入()cos sin t ρθθ+=中，求得|OM |，将6πθ=代入24cos 50ρρθ--=中，得250ρ--=，得到|OP |⋅|OQ |=5．再根据|OM |⋅|OP |⋅|OQ |=10，解得t 值即可. 【详解】（1）由曲线C 的参数方程，可得曲线C 的普通方程为()2229x y -+=，即22450x y x +--=． ∵ cos x ρθ=，sin y ρθ=，故曲线C 的极坐标方程为24cos 50ρρθ--=．（2）将6πθ=代入()cos sin t ρθθ+=中，得12t ρ=，则)1t ρ=．∴ |OM |=)1t ．将6πθ=代入24cos 50ρρθ--=中，得250ρ--=．设点P 的极径为1ρ，点Q 的极径为2ρ，则125ρρ=-． 所以|OP |⋅|OQ |=5．又|OM |⋅|OP |⋅|OQ |=10，则5)1t =10．∴ t =1-1【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，考查了利用极坐标解决长度问题，考查了学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 18. 如图，菱形ABCD 与正BCE ∆所在平面互相垂直，FD ⊥平面ABCD ，2BC =，3FD =.（1）证明：EF 平面ABCD ；（2）若60CBA ∠=︒，求直线EF 与平面AFB 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明过程详见解析（2）4228【解析】 【分析】（1）过点E 作EH BC ⊥于H ，由面面垂直的性质可知EH ⊥平面ABCD ，又FD ⊥平面ABCD ，可得//FD EH ，即四边形EHDF 为平行四边形，得到线线平行，从而得到线面平行；（2）分别以HB ，HA ，HE 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系H xyz -，求出平面ABF 的法向量，利用线面角的向量公式进行计算即可得到答案.【详解】解：（1）如图，过点E 作EH BC ⊥于H ，连接EH ，∴3EH =. ∵平面ABCD ⊥平面BCE ，EH ⊆平面BCE ， 平面ABCD ⋂平面BCE 于BC ，∴ EH ⊥平面ABCD . 又∵FD ⊥平面ABCD ，3FD =∴//FD EH ，∴四边形EHDF 为平行四边形. ∴//EF HD ， ∵EF ⊄平面ABCD ，HD ⊆平面ABCD ，∴//EF 平面ABCD . （2）连接HA .由（1）得H 为BC 中点，又60CBA ∠=︒，ABC ∆为等边三角形， ∴HA BC ⊥.分别以HB ，HA ，HE 为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -.则()1,0,0B ，(3,3F -，(0,03E ，()3,0A .(3,3BF =-，()3,0BA =-，=(2,3,0)EF - =(-2,3,0)EF ，设平面ABF 的法向量为()2222,,n x y z =.由2200n BF n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22222333030x y z x y ⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩令21y =，得)23,1,2n =. 42sin cos ,EF n α==， 直线EF 与平面AFB 42. 【点睛】本题考查线面平行的判定定理和利用空间向量求线面角，利用空间向量解题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 19. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()220y px p =>及点()2,0M ，动直线l 过点M交抛物线于A ，B 两点，当l 垂直于x 轴时，4AB =. （1）求p 的值；（2）若l 与x 轴不垂直，设线段AB 中点为C ，直线1l 经过点C 且垂直于y 轴，直线2l 经过点M 且垂直于直线l ，记1l ，2l 相交于点P ，求证：点P 在定直线上. 【答案】（1）1；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）当直线l 过点M 且垂直于x 轴时，由4AB =知抛物线所过的点，代入抛物线方程求得p的值；（2）设直线l 的方程，与抛物线方程联立，消去x 化简得关于y 的方程，利用根与系数的关系以及中点坐标求出直线1l 的方程，再根据垂直关系求出直线2l 的方程，由此求得两直线的交点坐标P ，并判断点P 在定直线1x =上．【详解】（1）因为l 过()2,0M ，且当l 垂直于x 轴时，4AB =，所以抛物线经过点()2,2，代入抛物线方程，得422p =⨯，解得1p =.（2）由题意，直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 方程为：()()20y k x k =-≠，()11,A x y ，()22,B x y .联立()222y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去x ，得2240ky y k --=，则122y y k+=，124y y =-. 因为C 为AB 中点，所以1212C y y y k+==， 则直线1l 方程为：1y k=. 因为直线2l 过点M 且与l 垂直，则直线2l 方程为：()12y x k=--， 联立()112y ky x k ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得11x y k =⎧⎪⎨=⎪⎩即11,P k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以，点P 在定直线1x =上.【点睛】本题考查了抛物线的标准方程与简单几何性质应用问题，也考查了直线与方程的应用问题，属于中档题．20. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为4x aty ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（其中t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点A 的极坐标为2,6π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 经过点A ．曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=．（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）过点)P 作直线l 的垂线交曲线C 于D ，E 两点（D 在x 轴上方），求11PD PE-的值．【答案】（1）直线l的普通方程为2y =-，曲线C 的直角坐标方程为24y x =；（2）12． 【解析】 【分析】（1）将点A 的直角坐标代入直线的参数方程，求出a 的值，再转化成普通方程；在曲线方程两边同时乘以ρ，即可得到答案；（2）设直线DE的参数方程为212x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），再利用参数的几何意义，即可得到答案；【详解】解：（1）由题意得点A的直角坐标为)，将点A代入4x at y ⎧=⎪⎨=⎪⎩得1a t =⎧⎪⎨=⎪⎩则直线l的普通方程为2y =-．由2sin 4cos ρθθ=得22sin 4cos ρθρθ=，即24y x =． 故曲线C 的直角坐标方程为24y x =．（2）设直线DE的参数方程为212x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入24y x =得2831630t t +-=． 设D 对应参数为1t ，E 对应参数为2t ．则1283t t +=-，12163t t =-，且10t >，20t <．∴1212121211111112t t PD PE t t t t t t +-=-=+==． 【点睛】本题考查参数方程和普通方程、极坐标方程的互化、直线方程中参数的几何意义，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 21. 如图,四棱锥P ABCD -中，//AB DC ，2ADC π∠=，122AB AD CD ===，6PD PB ==，PD BC ⊥．（1）求证：平面PBD ⊥平面PBC ；（2）在线段PC 上是否存在点M ，使得平面ABM 与平面PBD 所成锐二面角为3π？若存在，求CMCP的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）见证明；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理计算BC ，根据勾股定理可得BC ⊥BD ，结合BC ⊥PD 得出BC ⊥平面PBD ，于是平面PBD ⊥平面PBC ；（2）建立空间坐标系，设CMCP=λ，计算平面ABM 和平面PBD 的法向量，令法向量的夹角的余弦值的绝对值等于12，解方程得出λ的值,即可得解． 【详解】（1）证明：因为四边形ABCD 为直角梯形， 且//AB DC , 2AB AD ==,2ADC π∠=,所以22BD =，又因为4,4CDBDC π=∠=．根据余弦定理得22,BC =所以222CD BD BC =+，故BC BD ⊥.又因为BC PD ⊥, PD BD D ⋂=,且BD ,PD ⊂平面PBD ，所以BC ⊥平面PBD ， 又因为BC ⊂平面PBC ，所以PBC PBD ⊥平面平面 （2）由（1）得平面ABCD ⊥平面PBD , 设E 为BD 的中点，连结PE ，因为6PB PD ==,所以PE BD ⊥,2PE =,又平面ABCD ⊥平面PBD ， 平面ABCD平面PBD BD =，PE ⊥平面ABCD .如图，以A 为原点分别以AD ，AB 和垂直平面ABCD 的方向为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,4,0)C ，(2,0,0)D ，(1,1,2)P ， 假设存在(,,)M a b c 满足要求，设(01)CMCPλλ=≤≤，即CM CP λ=， 所以(2-,4-3,2)λλλM ,易得平面PBD 的一个法向量为(2,2,0)BC =.设(,,)n x y z =为平面ABM 的一个法向量，(0,2,0)AB =， =(2-,4-3,2)λλλAM由00n AB n AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩得20(2)(43)20y x y z λλλ=⎧⎨-+-+=⎩，不妨取(2,0,2)n λλ=-.因为平面PBD 与平面ABM 所成的锐二面角为3π22412224(2)λλλ=+-，解得2,23λλ==-，（不合题意舍去）. 故存在M 点满足条件，且23CM CP =. 【点睛】本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做．22. 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率12e =，椭圆上的点到左焦点1F 的距离的最大值为3.（1）求椭圆C 的方程；（2）求椭圆C 的外切矩形ABCD 的面积S 的取值范围.【答案】（1）22143x y +=（2）[83,14]【解析】 【分析】（1）根据题意求出b a c ，，，进而可求出结果；（2）当矩形ABCD 的一组对边斜率不存在时，可求出矩形ABCD 的面积；当矩形ABCD 四边斜率都存在时，不防设AB ，CD 所在直线斜率为k ，则BC ，AD 斜率为1k-，设出直线AB 的方程为y kx m =+，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理以及弦长公式等，即可求解.【详解】解：（1）由题设条件可得12c a =，3a c +=，解得2a =，1c = ∴2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=（2）当矩形ABCD 的一组对边斜率不存在时，得矩形ABCD 的面积 83S =当矩形ABCD 四边斜率都存在时，不防设AB ，CD 所在直线斜率为k ，则BC ，AD 斜率为1k-， 设直线AB 的方程为y kx m =+，与椭圆联立22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2224384120kx kmx m +++-=，由()()()22284434120km k m ∆=-+-=，得2243m k =+显然直线CD 的直线方程为y kx m =-，直线AB ，CD 间的距离1d === 同理可求得BC ，AD间的距离为1d ==所以四边形ABCD 面积为12ABCDS d d =====14≤=（等号当且仅当1k =±时成立）又ABCD S >=故由以上可得外切矩形面积的取值范围是⎡⎤⎣⎦【点睛】本题主要考查椭圆方程以及直线与椭圆的综合，灵活运用弦长公式，韦达定理等即可求解，属于常考题型.。
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