圆锥曲线中的最值问题

圆锥曲线中的最值问题

一、圆锥曲线定义、性质

1.(文)已知F 是椭圆x 225＋y 2

9＝1的一个焦点，AB 为过其中心的一条弦，则△ABF 的面积最大值为( )

A ．6

B ．15

C ．20

D ．12

[答案] D[解析] S ＝12|OF |·|y 1－y 2|≤1

2

|OF |·2b ＝12.

2、若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )

A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2

解析：设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，∴S ＝1

2

×2c ×b ＝bc ＝

1≤

b 2＋

c 22＝a 2

2

.∴a 2

≥2.∴a ≥ 2.∴长轴长2a ≥22，故选D.

3、(文)(2011·XX 省XX 市质检)设P 是椭圆x 225＋y 2

9

＝1上一点，M 、N 分别是两圆：(x ＋4)2

＋y 2

＝1和(x －4)2

＋y 2

＝1上的点，

则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( )

A ．9,12

B ．8,11

C ．8,12

D ．10,12

解析：由已知条件可知两圆的圆心恰是椭圆的左、右焦点，且|PF 1|＋|PF 2|＝10， ∴(|PM |＋|PN |)min ＝10－2＝8，(|PM |＋|PN |)max ＝10＋2＝12，故选C.

点评：∵圆外一点P 到圆上所有点中距离的最大值为|PC |＋r ，最小值为|PC |－r ，其中C 为圆心，r 为半径，故只要连接椭圆上的点P 与两圆心M 、N ，直线PM 、PN 与两圆各交于两点处取得最值，最大值为|PM |＋|PN |＋两圆半径和，最小值为|PM |＋|PN |－两圆半径和．

4、(2010·XX 市质检)已知P 为抛物线y 2

＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2

＋(y －4)2

＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( )

A ．5

B ．8C.17－1 D.5＋2

[答案] C[解析] 抛物线y 2

＝4x 的焦点为F(1,0)，圆x 2

＋(y －4)2

＝1的圆心为C(0,4)，设点P 到抛物线的准线距离为d ，根据抛物线的定义有d ＝|PF|，∴|PQ|＋d ＝|PQ|＋|PF|≥(|PC|－1)＋|PF|≥|CF|－1＝17－1.

5、已知点F 是双曲线x 24－y 2

12＝1的左焦点，定点A 的坐标为(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．

解析 如图所示，根据双曲线定义|PF |－|PF ′|＝4，即|PF |－4＝|PF ′|.又|PA |＋|PF ′|≥|AF ′|＝5， 将|PF |－4＝|PF ′|代入，得|PA |＋|PF |－4≥5，即|PA |＋|PF |≥9，等号当且仅当A ，P ，F ′三点共线， 即P 为图中的点P 0时成立，故|PF |＋|PA |的最小值为9.故填9.答案 9 6、已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和

直线2l 的距离之和的最小值是（ ） A.2 B.3 C.

115D.3716

【解析1】直线2

:1l x =-为抛物线24y x =的准线，由抛物线的定义知，P 到2l 的距离等于P 到抛物线的焦点)0,1(F 的

距离，故本题化为在抛物线

24y x =上找一个点P 使得P 到点)0,1(F 和直线2l 的距离之和最小，最小值为)0,1(F 到直线

1:4360l x y -+=的距离，即25

|

604|min =+-=

d ，故选择A 。

【解析2】如图，由题意可知2

2

234

d =

=+【答案】A

二、目标函数法

1、椭圆x 29＋y 2

25＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，则当m 取最大值时，点P 的坐标

是________．

解析：设椭圆上点P 到两焦点的距离分别为u 、v ，则u ＋v ＝10，uv ＝m ；设∠F 1PF 2＝θ，由余弦

定理可知cos θ＝u 2＋v 2－(2c )22uv ，即u 2＋v 2

－2uv cos θ＝64⇒m ＝181＋cos θ

，显然，当P 与A 或B 重合

时，m 最大．答案：(－3,0)或(3,0)

2、设F 1、F 2分别是椭圆x 2

4

＋y 2

＝1的左、右焦点．

(1)若P 是该椭圆上的一个动点，求PF 1→·PF 2→

的最大值和最小值；

[解析] (1)由已知得：F 1(－3，0)，F 2(3，0)，

设点P(x ，y)，则x 24＋y 2＝1，且－2≤x ≤2.所以PF 1→·PF 2→＝x 2－3＋y 2＝x 2

－3＋1－x 2

4＝34

x 2

－2，

当x ＝0，即P(0，±1)时，(PF 1→·PF 2→

)min ＝－2；当x ＝±2，即P(±2,0)时，(PF 1→·PF 2→

)max ＝1.

3．(2011·长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、XX 中学一模)已知双曲线x 2

－y

2

3

＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P

为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→

的最小值为( )

A ．－2

B ．－81

16

C ．1

D ．0

[答案] A[解析] 由已知得A 1(－1,0)，F 2(2,0)．设P(x ，y)(x ≥1)，则PA 1→·PF 2→

＝(－1－x ，－y)·(2－x ，－y)＝4x 2

－x －5.令f(x)

＝4x 2

－x －5，则f(x)在x ≥1上单调递增，所以当x ＝1时，函数f(x)取最小值，即PA 1→·PF 2→

取最小值，最小值为－2.

4．(2011·XX 模拟)点A 、B 分别为椭圆x 2

36＋y 2

20＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上

方，PA ⊥PF.

(1)求点P 的坐标；

(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．