中考复习专题《规律探究问题》

中考冲刺数学专题7——探究规律问题【备考点睛】近年来，探索规律的题目成为数学中考的一个热点，从填空、选择到解答题中都可见到这类探究规律问题,。

这类问题题目分为题设和结论两部分，通常题设部分给出一些数量关系或图形变换关系，通过观察分析，要求学生找出这些关系中存在的规律。

这种数学题目本身存在一种数学探索的思想，体现了数学思想从特殊到一般的发现规律，是中考的一个难点，往往出现在填空选择的最后一两道题、或解答题的最后几题，应引起考生的重视。

规律探索型问题涉及的基础知识非常广泛，题目没有固定的形式，因此没有固定的解题方法。

它既能充分地考察学生对基础知识掌握的熟悉程度，又能较好地考察学生的观察、分析、比较、概括及发散思维的能力及创新意识。

【经典例题】类型一、借助以归纳为指导的思想方法，得到表示变化规律的代数式例题1 如图，在ABC Rt ∆中，2,1,90==︒=∠AC BC C ，把边长分别为321,,x x x ,……，n x 的n 个正方形依次放入ABC ∆中，请回答下列问题：（1）按要求填表：（2）第n 个正方形的边长=n x ；解答：如图，设0x BC =，则10=x ，——相当于搞清楚第一项； 由11C AB Rt ∆∽ABC Rt ∆,得21111==AC BC AC C B ，而,111x C B =11x AC AC -=， ,21211=-∴x x 解得,321=x 即3201⋅=x x ； 完全类似地可得2123232⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=x x 。

——搞清楚了递推关系。

把这些都搞清楚了，本题的解就很容易得到了。

n 1 2 3 n xABC1x2x 3xABC1x2x 3x1B 2B3B1C 2C 3C（1）依次应填94,32；278； （2）n⎪⎭⎫⎝⎛32例题2．（2010山东济宁）观察下面的变形规律：211⨯ ＝1－12； 321⨯＝12－31；431⨯＝31－41；…… 解答下面的问题：（1）若n 为正整数，请你猜想)1(1+n n ＝ ；（2）证明你猜想的结论； （3）求和：211⨯＋321⨯＋431⨯＋…＋201020091⨯ . 解答： （1）111n n -+ （2）证明：n 1－11+n ＝)1(1++n n n －)1(+n n n ＝1(1)n nn n +-+＝)1(1+n n .（3）原式＝1－12＋12－31＋31－41＋…＋20091－20101＝12009120102010-=. 例题3 如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则第n 个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有 。

专题13 数字图形规律探索问题1. 数学问题：计算+++…+（其中m，n都是正整数，且m≥2，n≥1）．探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．探究一：计算+++…+．第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为+；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…；…第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为+++…+，最后空白部分的面积是．根据第n次分割图可得等式：+++…+=1-．探究二：计算+++…+．第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为+；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…；…第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为+++…+，最后空白部分的面积是．根据第n次分割图可得等式：+++…+=1﹣，两边同除以2，得+++…+=﹣．探究三：计算+++…+．（仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）解决问题：计算+++…+．（只需画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空）根据第n次分割图可得等式：，所以，+++…+=．拓广应用：计算+++…+．【答案】见解析【解析】探究三：第1次分割，把正方形的面积四等分，其中阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，阴影部分的面积之和为；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分，…，第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分，所有阴影部分的面积之和为：+++…+，最后的空白部分的面积是，根据第n次分割图可得等式：+++…+=1﹣，两边同除以3，得+++…+=﹣；解决问题：+++…+=1﹣，+++…+=﹣；故答案为：+++…+=1﹣，﹣；拓广应用：+++…+，=1﹣+1﹣+1﹣+…+1﹣，=n ﹣（+++…+），=n ﹣（﹣），=n ﹣+．2．如图1，抛物线2(0)yax bx c a 的顶点为M ，直线y=m 与x 轴平行，且与抛物线交于点A ，B ，若三角形AMB 为等腰直角三角形，我们把抛物线上A 、B 两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段AB 称为碟宽，顶点M 称为碟顶，点M 到线段AB 的距离称为碟高。

重难点02 规律探究型问题【命题趋势】规律探究型问题是中考数学中的常考问题，题目数量一般是一个题，各种题型都有可能出现，一般以选择题或者填空题中的压轴题形式出现，主要命题方式有数式规律、图形变化规律、点的坐标规律等。

基本解题思路：从简单的、局部的、特殊的情形出发，通过分析、比较、提炼，发现其中规律，进而归纳或猜想出一般结论，最后验证结论的正确性。

探索规律题可以说是每年中考的必考题，预计2020年中考数学中仍会作为选择题或填空题的压轴题来考察。

所以掌握其基本的考试题型及解题技巧是非常有必要的。

【满分技巧】一．从简单的情况入手﹕从简单的情况入手﹕求出前三到四个结果，探究其规律，通过归纳猜想总结正确答案二．新定义型问题一般与代数知识结合较多，多关注初中数学中以下几个部分的代数知识﹕二．关注问题中的不变量和变量﹕在探究规律的问题中，一般都会存在变量和不变量（也就是常量），我们要多关注变量，看看这些变量是如何变化的，仔细观察变量的变化与序号（一般为n）之间的关系，我们找到这个关系就找到了规律所在．三．掌握一些数学思想方法规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律.它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力.题型可涉及填空、选择或解答.【限时检测】（建议用时：30分钟）一、选择题1. (2019 贵州省毕节地区)下面摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2019个图案中箭头的指向是（）A．上方B．右方C．下方D．左方【答案】C【解析】如图所示：每旋转4次一周，2019÷4＝504…3，则第2019个图案中箭头的指向与第3个图案方向一致，箭头的指向是下方．故选：C．2. (2019 河北省)对于题目：“如图1，平面上，正方形内有一长为12、宽为6的矩形，它可以在正方形的内部及边界通过移转（即平移或旋转）的方式，自由地从横放移转到竖放，求正方形边长的最小整数n．”甲、乙、丙作了自认为边长最小的正方形，先求出该边长x，再取最小整数n．甲：如图2，思路是当x为矩形对角线长时就可移转过去；结果取n＝13．乙：如图3，思路是当x为矩形外接圆直径长时就可移转过去；结果取n＝14．丙：如图4，思路是当x为矩形的长与宽之和的倍时就可移转过去；结果取n＝13．下列正确的是（）A．甲的思路错，他的n值对B．乙的思路和他的n值都对C．甲和丙的n值都对D．甲、乙的思路都错，而丙的思路对【答案】B【解析】甲的思路正确，长方形对角线最长，只要对角线能通过就可以，但是计算错误，应为n＝14；乙的思路与计算都正确；乙的思路与计算都错误，图示情况不是最长；故选：B．3. (2019 湖北省鄂州市)如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…A n在x轴上，B1、B2、B3…B n在直线y＝x上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…S n．则S n可表示为（）A．22n B．22n﹣1C．22n﹣2D．22n﹣3【答案】D【解析】△△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，△A1B1△A2B2△A3B3△…△A n B n，B1A2△B2A3△B3A4△…△B n A n+1，△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，△直线y＝x与x轴的成角△B1OA1＝30°，△OA1B1＝120°，△△OB1A1＝30°，△OA1＝A1B1，△A1（1，0），△A 1B 1＝1，同理△OB 2A 2＝30°，…，△OB n A n ＝30°， △B 2A 2＝OA 2＝2，B 3A 3＝4，…，B n A n ＝2n ﹣1， 易得△OB 1A 2＝90°，…，△OB n A n +1＝90°， △B 1B 2＝，B 2B 3＝2，…，B n B n +1＝2n ， △S 1＝×1×＝，S 2＝×2×2＝2，…，S n ＝×2n ﹣1×2n＝；故选：D ．4. (2019 湖南省娄底市)如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120︒的¶AB 多次复制并首尾连接而成．现有一点P 从(A A 为坐标原点）出发，以每秒23π米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点P 的纵坐标为( )A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】B【解析】点运动一个¶AB 用时为1202221803ππ⨯÷=秒． 如图，作CD AB ⊥于D ，与¶AB 交于点E ．在Rt ACD ∆中，90ADC ∠=︒Q ，1602ACD ACB ∠=∠=︒，30CAD ∴∠=︒，112122CD AC ∴==⨯=，211DE CE CD ∴=-=-=，∴第1秒时点P 运动到点E ，纵坐标为1；第2秒时点P 运动到点B ，纵坐标为0； 第3秒时点P 运动到点F ，纵坐标为1-； 第4秒时点P 运动到点G ，纵坐标为0； 第5秒时点P 运动到点H ，纵坐标为1；⋯，∴点P 的纵坐标以1，0，1-，0四个数为一个周期依次循环，201945043÷=⋯Q ，∴第2019秒时点P 的纵坐标为是1-．故选：B ．5. (2019 湖南省张家界市)如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC 绕点O 顺时针旋转45°后得到正方形OA 1B 1C 1，依此方式，绕点O 连续旋转2019次得到正方形OA 2019B 2019C 2019，那么点A 2019的坐标是（ ）A ．（，﹣）B ．（1，0）C ．（﹣，﹣） D ．（0，﹣1）【答案】A【解析】△四边形OABC 是正方形，且OA ＝1， △A （0，1），△将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，△A1（，），A2（1，0），A3（，﹣），…，发现是8次一循环，所以2019÷8＝252 (3)△点A2019的坐标为（，﹣）故选：A．6. (2019 山东省菏泽市)在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2……第n次移动到点A n，则点A2019的坐标是（）A．（1010，0）B．（1010，1）C．（1009，0）D．（1009，1）【答案】C【解析】A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），…，2019÷4＝504…3，所以A2019的坐标为（504×2+1，0），则A2019的坐标是（1009，0）．故选：C．7. (2019 云南省)按一定规律排列的单项式：x3，﹣x5，x7，﹣x9，x11，……，第n个单项式是（）A．（﹣1）n﹣1x2n﹣1B．（﹣1）n x2n﹣1C．（﹣1）n﹣1x2n+1D．（﹣1）n x2n+1【答案】A【解析】△x3＝（﹣1）1﹣1x2×1+1，﹣x5＝（﹣1）2﹣1x2×2+1，x7＝（﹣1）3﹣1x2×3+1，﹣x9＝（﹣1）4﹣1x2×4+1，x11＝（﹣1）5﹣1x2×5+1，……由上可知，第n个单项式是：（﹣1）n﹣1x2n+1，故选：A．8. (2019 四川省广元市)如图，过点A0（0，1）作y轴的垂线交直线l：y＝x于点A1，过点A1作直线l 的垂线，交y轴于点A2，过点A2作y轴的垂线交直线l于点A3，…，这样依次下去，得到△A0A1A2，△A2A3A4，△A4A546，…，其面积分别记为S1，S2，S3，…，则S100为（）A．（）100B．（3）100C．3×4199D．3×2395【答案】D【解析】△点A0的坐标是（0，1），△OA0＝1，△点A1在直线y＝x上，△OA1＝2，A0A1＝，△OA2＝4，△OA3＝8，△OA4＝16，得出OA n＝2n，△A n A n+1＝2n•，△OA198＝2198，A198A199＝2198•，△S1＝（4﹣1）•＝，△A2A1△A200A199，△△A0A1A2△△A198A199A200，△＝（）2，△S＝2396•＝3×2395故选：D．9. (2019 河南省)如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（）A．（10，3）B．（﹣3，10）C．（10，﹣3）D．（3，﹣10）【答案】D【解析】△A（﹣3，4），B（3，4），△AB＝3+3＝6，△四边形ABCD为正方形，△AD＝AB＝6，△D（﹣3，10），△70＝4×17+2，△每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，△点D的坐标为（3，﹣10）．故选：D．10. (2019 内蒙古赤峰市)如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：△将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；△在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为（）A．22019B．C．D．【答案】C【解析】正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，第一次：余下面积，第二次：余下面积，第三次：余下面积，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为，故选：C．二、填空题11. (2019 山东省泰安市)在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l 上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是．【答案】（2n﹣1）【解析】由题意可得，点A1的坐标为（0，1），点A2的坐标为（1，2），点A3的坐标为（3，4），点A4的坐标为（7，8），……，△OA1＝1，C1A2＝2，C2A3＝4，C3A4＝8，……，△前n个正方形对角线长的和是：（OA1+C1A2+C2A3+C3A4+…+C n﹣1A n）＝（1+2+4+8+…+2n﹣1），设S＝1+2+4+8+…+2n﹣1，则2S＝2+4+8+…+2n﹣1+2n，则2S﹣S＝2n﹣1，△S＝2n﹣1，△1+2+4+8+…+2n﹣1＝2n﹣1，△前n个正方形对角线长的和是：×（2n﹣1），故答案为：（2n﹣1），12. (2019 山东省潍坊市)如图所示，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为l，其中l0与y轴重合若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2，…，半径为n+1的圆与l n在第一象限内交于点P n，则点P n的坐标为．（n为正整数）【答案】（n,2n+1 ）【解析】连接OP 1，OP 2，OP 3，l 1、l 2、l 3与x 轴分别交于A 1、A 2、A 3，如图所示： 在Rt△OA 1P 1中，OA 1＝1，OP 1＝2， △A 1P 1＝＝＝，同理：A 2P 2＝＝，A 3P 3＝＝，……，△P 1的坐标为（ 1，），P 2的坐标为（ 2，），P 3的坐标为（3，），……，…按照此规律可得点P n 的坐标是（n ，），即（n ，2n+1 ）故答案为：（n ，2n+1 ）．13. (2019 浙江省衢州市)如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形。

中考数学真题《规律探究题》专项测试卷(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________（26题）一 、单选题1．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案 其中第①个图案用了9根木棍 第①个图案用了14根木棍 第①个图案用了19根木棍 第①个图案用了24根木棍 …… 按此规律排列下去，则第①个图案用的木棍根数是（ ）A ．39B ．44C ．49D ．542．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案 其中第①个图案中有2个圆圈 第①个图案中有5个圆圈 第①个图案中有8个圆圈 第①个图案中有11个圆圈 … 按此规律排列下去，则第①个图案中圆圈的个数为（ ）A ．14B ．20C ．23D ．263．（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：23452345,a a a a a 第n 个单项式是（ ）A nB 11n n a --C n naD 1n na -4．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中 每个网格小正方形的边长均为1个单位长度 以点P 为位似中心作正方形123PA A A 正方形456,PA A A ⋯ 按此规律作下去 所作正方形的顶点均在格点上 其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A --- ()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（ ）A ．()31.34B ．()31,34-C ．()32,35D ．()32,05．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数123n a a a a ，，，，满足如下关系：1223121111a a a a a a ++==--， 34131111nn na a a a a a +++==--，， 若12a =，则2023a 的值是（ ） A ．12-B ．13C ．3-D ．26．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，四边形ABCD 是边长为12的正方形 曲线11112DA B C D A 是由多段90︒的圆心角的圆心为C 半径为1CB 11C D 的圆心为D 半径为11111111,DC DA A B B C C D 、、、的圆心依次为A B C D 、、、循环，则20232023A B 的长是（ ）A ．40452πB ．2023πC ．20234πD ．2022π7．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行 竖排为列） 按数表中的规律 分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为( ) 11122113 22 31 1423 32 41…… A ．2003 B ．2004C ．2022D ．20238．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x 规定2()1x f x x =+ 例如：224(2)213f ⨯==+ 1212212312f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+ 233(3)312f ⨯==+ 1211313213f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+ 计算：11111(1)1011009932f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)(3)(99)(100)(101)f f f f f +++++=（ ）A ．199B ．200C ．201D ．2029．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展 被数学界誉为“数学王子” 据传 他在计算1234100+++++时 用到了一种方法 将首尾两个数相加 进而得到100(1100)12341002⨯++++++=．人们借助于这样的方法 得到(1)12342n n n ++++++=（n 是正整数）．有下列问题 如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y 其中1,2,3,,,i n = 且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+ 如1(0,0)A 即120,(1,0)a A = 即231,(1,1)a A =- 即30,a =以此类推．则下列结论正确的是（ ）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-二 填空题10．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m n 的平方差 且1m n ->，则称这个正整数为“智慧优数”．例如 221653=- 16就是一个智慧优数 可以利用22()()m n m n m n -=+-进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 第23个智慧优数是 ．11．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳 氢元素组成的有机化合物 在生产生活中可作为燃料 润滑剂等原料 也可用于动 植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷 乙烷 丙烷 …… 癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示 如十一烷 十二烷……）等 甲烷的化学式为4CH 乙烷的化学式为26C H 丙烷的化学式为38C H …… 其分子结构模型如图所示 按照此规律 十二烷的化学式为 ．12．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）观察下列式子：21110-=⨯ 22221-=⨯ 23332-=⨯ 24443-=⨯ 25554-=⨯ …依此规律，则第n （n 为正整数）个等式是 ．13．（2023·湖北随州·统考中考真题）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：设有编号为1-100的100盏灯 分别对应着编号为1-100的100个开关 灯分为“亮”和“不亮”两种状态 每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态 所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人 第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次 第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次 第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次 …… 第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？几位同学对该问题展开了讨论：甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：乙：1号开关只被第1个人按了1次 2号开关被第1个人和第2个人共按了2次 3号开关被第1个人和第3个人共按了2次 ……丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．根据以上同学的思维过程 可以得出最终状态为“亮”的灯共有 盏．14．（2023·湖北十堰·统考中考真题）用火柴棍拼成如下图案 其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形 第①个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形 …… 若按此规律拼下去，则第n 个图案需要火柴棍的根数为 （用含n 的式子表示）．15．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案 它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片 第2个图案中有6个白色圆片 第3个图案中有8个白色圆片 第4个图案中有10个白色圆片 …依此规律 第n 个图案中有 个白色圆片（用含n 的代数式表示）16．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++的值时 发现：1100101+= 299101+=从而得到123100++++=101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形 记作11a =分别连接这个三角形三边中点得到图（2） 有5个三角形 记作25a = 再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3） 有9个三角形 记作39a = 按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）17．（2023·湖南怀化·统考中考真题）在平面直角坐标系中 AOB 为等边三角形 点A 的坐标为()1,0．把AOB 按如图所示的方式放置 并将AOB 进行变换：第一次变换将AOB 绕着原点O 顺时针旋转60︒ 同时边长扩大为AOB 边长的2倍 得到11A OB △ 第二次旋转将11A OB △绕着原点O 顺时针旋转60︒ 同时边长扩大为11A OB △ 边长的2倍 得到22A OB △ …．依次类推 得到20332033A OB ，则20232033A OB △的边长为点2023A 的坐标为 ．18．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子 21312⨯+=22413⨯+= 23514⨯+=……按照上述规律 2n =．19．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在反比例函数8(0)y x x=>的图象上有1232024,,,P P P P 等点 它们的横坐标依次为1 2 3 … 2024 分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线 图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1232023,,,,S S S S ，则1232023S S S S ++++= ．20．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始 把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：()3,5 ()7,10 ()13,17 ()21,26 ()31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究 就会发现其中的规律．请写出第n 个数对： ．21．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 四边形ABOC 是正方形 点A 的坐标为(1,1) 1AA 是以点B 为圆心 BA 为半径的圆弧 12A A 是以点O 为圆心 1OA 为半径的圆弧 23A A 是以点C 为圆心 2CA 为半径的圆弧 34A A 是以点A 为圆心 3AA 为半径的圆弧 继续以点B O C A 为圆心按上述作法得到的曲线12345AA A A A A 称为正方形的“渐开线”，则点2023A 的坐标是 ．22．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 直线l ：33y x =x 轴交于点1A 以1OA 为边作正方形111A B C O 点1C 在y 轴上 延长11C B 交直线l 于点2A 以12C A 为边作正方形2221A B C C 点2C 在y 轴上 以同样的方式依次作正方形3332A B C C … 正方形2023202320232022A B C C ，则点2023B 的横坐标是 ．23．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数 探究第①行数与第①行数的关系：2- 4 8- 16 32- 64 ……①0 7 4- 21 26- 71 ……①根据你的发现 完成填空：第①行数的第10个数为 取每行数的第2023个数，则这两个数的和为 ．24．（2023·山东泰安·统考中考真题）已知 12345678,,,OA A A A A A A A △△△都是边长为2的等边三角形 按下图所示摆放．点235,,,A A A 都在x 轴正半轴上 且2356891A A A A A A ====，则点2023A 的坐标是 ．25．（2023·四川广安·统考中考真题）在平面直角坐标系中 点1234A A A A 、、、在x 轴的正半轴上 点123B B B 、、在直线()0y x =≥上 若点1A 的坐标为()2,0 且112223334A B A A B A A B A △、△、△均为等边三角形．则点2023B 的纵坐标为 ．26．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 ABC 的顶点A 在直线13:l y x =上 顶点B 在x 轴上 AB 垂直x 轴 且22OB = 顶点C 在直线2:3l y x 上 2BC l ⊥ 过点A 作直线2l 的垂线 垂足为1C 交x 轴于1B 过点1B 作11A B 垂直x 轴 交1l 于点1A 连接11A C 得到第一个111A B C △ 过点1A 作直线2l 的垂线 垂足为2C 交x 轴于2B 过点2B 作22A B 垂直x 轴 交1l 于点2A 连接22A C 得到第二个222A B C △ 如此下去 ……，则202320232023A B C 的面积是 ．参考答案一 单选题1．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案 其中第①个图案用了9根木棍 第①个图案用了14根木棍 第①个图案用了19根木棍 第①个图案用了24根木棍 …… 按此规律排列下去，则第①个图案用的木棍根数是（ ）A ．39B ．44C ．49D ．54【答案】B【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律 由此即可得到答案． 【详解】解：第①个图案用了459+=根木棍 第①个图案用了45214+⨯=根木棍 第①个图案用了45319+⨯=根木棍 第①个图案用了45424+⨯=根木棍 ……第①个图案用的木棍根数是45844+⨯=根 故选：B ．【点睛】此题考查了图形类规律的探究正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．2．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案其中第①个图案中有2个圆圈第①个图案中有5个圆圈第①个图案中有8个圆圈第①个图案中有11个圆圈… 按此规律排列下去，则第①个图案中圆圈的个数为（）A．14B．20C．23D．26【答案】B【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律即可求解.=⨯-【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈2311=⨯-第①个图案中有5个圆圈5321=⨯-第①个图案中有8个圆圈8331=⨯-第①个图案中有11个圆圈11341…⨯-=所以第①个图案中圆圈的个数为37120故选：B.n-是解题的【点睛】本题考查了图形类规律探究根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为31关键.3．（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：2345,a第n个单项式是（）B1n-C n D1n-A【答案】C字母为a指数为1开始的自然数据此即可求解．【分析】根据单项式的规律可得【详解】解：按一定规律排列的单项式：2345,a第n n故选：C．【点睛】本题考查了单项式规律题找到单项式的变化规律是解题的关键．4．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中每个网格小正方形的边长均为1个单位长度以点P 为位似中心作正方形123PA A A 正方形456,PA A A ⋯ 按此规律作下去 所作正方形的顶点均在格点上 其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A --- ()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（ ）A ．()31.34B ．()31,34-C ．()32,35D ．()32,0【答案】A【分析】根据图象可得移动3次完成一个循环 从而可得出点坐标的规律()323n A n n --，．【详解】解：①()121A -， ()412A -， ()703A ， ()1014A ，①()323n A n n --，①1003342=⨯-，则34n =①()1003134A ， 故选：A ．【点睛】本题考查了点的规律变化 解答本题的关键是仔细观察图象 得到点的变化规律． 5．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数123n a a a a ，，，，满足如下关系：1223121111a a a a a a ++==--， 34131111nn na a a a a a +++==--，， 若12a =，则2023a 的值是（ ） A ．12-B ．13C ．3-D ．2【答案】A【分析】根据题意可把12a =代入求解23a =-，则可得312a =- 413a = 52a =…… 由此可得规律求解．【详解】解：①12a =①212312a +==-- 3131132a -==-+ 411121312a -==+51132113a +==- ……. 由此可得规律为按2 3- 12- 13四个数字一循环①20234505.....3÷= ①2023312a a ==- 故选A ．【点睛】本题主要考查数字规律 解题的关键是得到数字的一般规律．6．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，四边形ABCD 是边长为12的正方形 曲线11112DA B C D A 是由多段90︒的圆心角的圆心为C 半径为1CB 11C D 的圆心为D 半径为11111111,DC DA A B B C C D 、、、的圆心依次为A B C D 、、、循环，则20232023A B 的长是（ ）A ．40452πB ．2023πC ．20234πD ．2022π【答案】A【分析】曲线11112DA B C D A …是由一段段90度的弧组成的 半径每次比前一段弧半径12+ 得到1114(1)22n n AD AA n -==⨯-+ 14(1)12n n BA BB n ==⨯-+ 得出半径 再计算弧长即可．【详解】解：由图可知 曲线11112DA B C D A …是由一段段90度的弧组成的 半径每次比前一段弧半径12+∴112AD AA ==111BA BB == 1132CB CC == 112DC DD ==12122AD AA ==+2221BA BB ==+ 22322CB CC ==+ 2222DC DD ==+ ⋯⋯1114(1)22n n AD AA n -==⨯-+ 14(1)12n n BA BB n ==⨯-+故20232023A B 的半径为()202320231420231140452BA BB ==⨯⨯-+=∴20232023A B 的弧长90404540451802ππ=⨯=． 故选A【点睛】此题主要考查了弧长的计算 弧长的计算公式：180n rl π= 找到每段弧的半径变化规律是解题关键． 7．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行 竖排为列） 按数表中的规律 分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为( ) 11122113 22 31 1423 32 41…… A ．2003 B ．2004 C ．2022 D ．2023【答案】C【分析】观察表中的规律发现 分数的分子是几，则必在第几列 只有第一列的分数 分母与其所在行数一致．【详解】观察表中的规律发现 分数的分子是几，则必在第几列 只有第一列的分数 分母与其所在行数一致 故202023在第20列 即20b = 向前递推到第1列时 分数为201912023192042-=+ 故分数202023与分数12042在同一行．即在第2042行，则2042a =． ①2042202022.a b -=-= 故选：C ．【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点 解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性．8．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x 规定2()1x f x x =+ 例如：224(2)213f ⨯==+ 1212212312f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+ 233(3)312f ⨯==+ 1211313213f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+ 计算：11111(1)1011009932f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)(3)(99)(100)(101)f f f f f +++++=（ ）A ．199B ．200C ．201D ．202【答案】C【分析】通过计算11(1)1,(2)2,(3)223f f f f f ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋯可以推出11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭结果． 【详解】解：2(1)1,11f ==+ 12441212(2),,(2)2,112323212f f f f ⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+ 122331113(3),,(3)2,113232313f f f f ⨯⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+ …2100200(100)1100101f ⨯==+ 1212100()11001011100f ⨯==+1(100)()2100f f += 11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21001=⨯+ 201=故选：C ．【点睛】此题考查了有理数的混合运算 熟练掌握运算法则 找到数字变化规律是解本题的关键． 9．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展 被数学界誉为“数学王子” 据传 他在计算1234100+++++时 用到了一种方法 将首尾两个数相加 进而得到100(1100)12341002⨯++++++=．人们借助于这样的方法 得到(1)12342n n n ++++++=（n 是正整数）．有下列问题 如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y 其中1,2,3,,,i n = 且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+ 如1(0,0)A 即120,(1,0)a A = 即231,(1,1)a A =- 即30,a = 以此类推．则下列结论正确的是（ ）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-【答案】B【分析】利用图形寻找规律()211,1n A n n --- 再利用规律解题即可． 【详解】解：第1圈有1个点 即1(0,0)A 这时10a = 第2圈有8个点 即2A 到()91,1A 第3圈有16个点 即10A 到()252,2A 依次类推 第n 圈 ()211,1n A n n ---由规律可知：2023A 是在第23圈上 且()202522,22A ，则()202320,22A 即2023202242a =+= 故A 选项不正确 2024A 是在第23圈上 且()202421,22A 即2024212243a =+= 故B 选项正确第n 圈 ()211,1n A n n --- 所以2122n a n -=- 故C D 选项不正确 故选B ．【点睛】本题考查图形与规律 利用所给的图形找到规律是解题的关键．二 填空题10．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m n 的平方差 且1m n ->，则称这个正整数为“智慧优数”．例如 221653=- 16就是一个智慧优数 可以利用22()()m n m n m n -=+-进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 第23个智慧优数是 ． 【答案】 15 45【分析】根据新定义 列举出前几个智慧优数 找到规律 进而即可求解．【详解】解：依题意 当3m = 1n =，则第1个一个智慧优数为22318-= 当4m = 2n =，则第2个智慧优数为224214-= 当4m = 1n =，则第3个智慧优数为224115-= 当5m = 3n =，则第5个智慧优数为225316-= 当5m = 2n =，则第6个智慧优数为225221-= 当5m = 1n =，则第7个智慧优数为225324-= ……6m =时有4个智慧优数 同理7m =时有5个 8m =时有6个12345621+++++=第22个智慧优数 当9m =时 7n = 第22个智慧优数为2297814932-=-= 第23个智慧优数为9,6m n ==时 2296813645-=-= 故答案为：15 45．【点睛】本题考查了新定义 平方差公式的应用 找到规律是解题的关键．11．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳 氢元素组成的有机化合物 在生产生活中可作为燃料 润滑剂等原料 也可用于动 植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷 乙烷 丙烷 …… 癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示 如十一烷 十二烷……）等 甲烷的化学式为4CH 乙烷的化学式为26C H 丙烷的化学式为38C H …… 其分子结构模型如图所示 按照此规律 十二烷的化学式为 ．【答案】1226C H【分析】根据碳原子的个数 氢原子的个数 找到规律 即可求解． 【详解】解：甲烷的化学式为4CH 乙烷的化学式为26C H 丙烷的化学式为38C H ……碳原子的个数为序数 氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个十二烷的化学式为1226C H 故答案为：1226C H ．【点睛】本题考查了规律题 找到规律是解题的关键． 12．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）观察下列式子：21110-=⨯ 22221-=⨯ 23332-=⨯ 24443-=⨯ 25554-=⨯ …依此规律，则第n （n 为正整数）个等式是 ．【答案】()21n n n n -=-【分析】根据等式的左边为正整数的平方减去这个数 等式的右边为这个数乘以这个数减1 即可求解． 【详解】解：①21110-=⨯ 22221-=⨯ 23332-=⨯ 24443-=⨯ 25554-=⨯ …①第n （n 为正整数）个等式是()21n n n n -=-故答案为：()21n n n n -=-．【点睛】本题考查了数字类规律 找到规律是解题的关键．13．（2023·湖北随州·统考中考真题）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：设有编号为1-100的100盏灯 分别对应着编号为1-100的100个开关 灯分为“亮”和“不亮”两种状态 每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态 所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人 第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次 第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次 第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次 …… 第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？几位同学对该问题展开了讨论：甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：乙：1号开关只被第1个人按了1次 2号开关被第1个人和第2个人共按了2次 3号开关被第1个人和第3个人共按了2次 ……丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．根据以上同学的思维过程 可以得出最终状态为“亮”的灯共有 盏． 【答案】10【分析】灯的初始状态为“不亮” 按奇数次，则状态为“亮” 按偶数次，则状态为“不亮” 确定1-100中 各个数因数的个数 完全平方数的因数为奇数个 从而求解．【详解】所有灯的初始状态为“不亮” 按奇数次，则状态为“亮” 按偶数次，则状态为“不亮”因数的个数为奇数的自然数只有完全平方数 1-100中 完全平方数为1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 有10个数 故有10盏灯被按奇数次 为“亮”的状态 故答案为：10．【点睛】本题考查因数分解 完全平方数 理解因数的意义 完全平方数的概念是解题的关键． 14．（2023·湖北十堰·统考中考真题）用火柴棍拼成如下图案 其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形 第①个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形 …… 若按此规律拼下去，则第n 个图案需要火柴棍的根数为 （用含n 的式子表示）．【答案】66n +/66n +【分析】当1n =时 有()2114+=个三角形 当2n =时 有()2216+=个三角形 当3n =时 有()2318+=个三角形 第n 个图案有()2122n n +=+个三角形 每个三角形用三根计算即可．【详解】解：当1n =时 有()2114+=个三角形 当2n =时 有()2216+=个三角形 当3n =时 有()2318+=个三角形 第n 个图案有()2122n n +=+个三角形 每个三角形用三根故第n 个图案需要火柴棍的根数为66n +． 故答案为：66n +．【点睛】本题考查了整式的加减的数字规律问题 熟练掌握规律的探索方法是解题的关键．15．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案 它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片 第2个图案中有6个白色圆片 第3个图案中有8个白色圆片 第4个图案中有10个白色圆片 …依此规律 第n 个图案中有 个白色圆片（用含n 的代数式表示）【答案】()22n +【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯ 第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯ 第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯ 第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯ ⋯ 可得第(1)n n >个图案中有白色圆片的总数为22n +．【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯ 第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯ 第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯ 第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯⋯①第(1)n n >个图案中有()22n +个白色圆片． 故答案为：()22n +．【点睛】此题考查图形的变化规律 通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素 然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律． 16．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++的值时 发现：1100101+= 299101+=从而得到123100++++=101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形 记作11a =分别连接这个三角形三边中点得到图（2） 有5个三角形 记作25a = 再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3） 有9个三角形 记作39a = 按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）【答案】22n n -/22n n -+【分析】根据题意得出()14143n a n n =+-=- 进而即可求解． 【详解】解：依题意 ()1231,5,9,14143n a a a a n n ===⋅⋅⋅=+-=-， ①123n a a a a ++++=()21432122n n n n n n +-==-=- 故答案为：22n n -．【点睛】本题考查了图形类规律 找到规律是解题的关键．17．（2023·湖南怀化·统考中考真题）在平面直角坐标系中 AOB 为等边三角形 点A 的坐标为()1,0．把AOB 按如图所示的方式放置 并将AOB 进行变换：第一次变换将AOB 绕着原点O 顺时针旋转60︒ 同时边长扩大为AOB 边长的2倍 得到11A OB △ 第二次旋转将11A OB △绕着原点O 顺时针旋转60︒ 同时边长扩大为11A OB △ 边长的2倍 得到22A OB △ …．依次类推 得到20332033A OB ，则20232033A OB △的边长为 点2023A 的坐标为 ．【答案】 20232 ()202220222,2【分析】根据旋转角度为60︒ 可知每旋转6次后点A 又回到x 轴的正半轴上 故点2023A 在第四象限 且202320232OA = 即可求解．【详解】解：①AOB 为等边三角形 点A 的坐标为()1,0 ①1OA =①每次旋转角度为60︒ ①6次旋转360︒第一次旋转后 1A 在第四象限 12OA =第二次旋转后 2A 在第三象限 222OA =第三次旋转后 3A 在x 轴负半轴 332OA =第四次旋转后 4A 在第二象限 442OA =第五次旋转后 5A 在第一象限 552OA =第六次旋转后 6A 在x 轴正半轴 662OA =……如此循环 每旋转6次 点A 的对应点又回到x 轴正半轴①202363371÷=点2023A 在第四象限 且202320232OA =如图，过点2023A 作2023A H x ⊥轴于H在2023Rt OHA 中 202360HOA ∠=︒①202320232022202320231cos 2cos60222OH OA HOA =⋅∠=⨯︒=⨯=202320222023202320233sin 232A H OA HOA =⋅∠= ①点2023A 的坐标为()202220222,32．故答案为：20232 ()202220222,32．【点睛】本题考查图形的旋转 解直角三角形的应用．熟练掌握图形旋转的性质 根据旋转角度找到点的坐标规律是解题的关键．18．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子 21312⨯+=22413⨯+= 23514⨯+=……按照上述规律 2n =． 【答案】()()111n n -++【分析】根据已有的式子 抽象出相应的数字规律 进行作答即可． 【详解】解：①21312⨯+= 22413⨯+=23514⨯+=……①()()2211n n n ++=+①()()2111n n n -++=．故答案为：()()111n n -++【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是从已有的式子中抽象出相应的数字规律． 19．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在反比例函数8(0)y x x=>的图象上有1232024,,,P P P P 等点 它们的横坐标依次为1 2 3 … 2024 分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线 图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1232023,,,,S S S S ，则1232023S S S S ++++= ．【答案】2023253【分析】求出1234,,,P P P P …的纵坐标 从而可计算出1234,,,S S S S …的高 进而求出1234,,,S S S S … 从而得出123n S S S S +++⋯+的值．【详解】当1x =时 1P 的纵坐标为8 当2x =时 2P 的纵坐标为4 当3x =时 3P 的纵坐标为83当4x =时 4P 的纵坐标为2当5x =时 5P 的纵坐标为85…则11(84)84S =⨯-=- 2881(4)433S =⨯-=-3881(2)233S =⨯-=-481(2)2558S =⨯-=- (881)n S n n =-+ 1238888888844228335111n n S S S S n n n n +++⋯+=-+-+-+-++-=-=+++ ①12320238202320242532023S S S S ⨯+++⋯+==． 故答案为：2023253． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合应用 解题的关键是求出881n S n n =-+． 20．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始 把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：()3,5 ()7,10 ()13,17 ()21,26 ()31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究 就会发现其中的规律．请写出第n 个数对： ．【答案】()221,22n n n n ++++【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究 可发现第n 个数对的第一个数为：()11n n ++ 第n 个数对的第二个位：()211n ++ 即可求解．【详解】解：每个数对的第一个数分别为3 7 13 21 31 … 即：121⨯+ 231⨯+ 341⨯+ 451⨯+ 561⨯+ … 则第n 个数对的第一个数为：()2111n n n n ++=++ 每个数对的第二个数分别为5 10 17 26 37 … 即：221+ 231+ 241+ 251+ 261+… 则第n 个数对的第二个位：()221122n n n ++=++①第n 个数对为：()221,22n n n n ++++ 故答案为：()221,22n n n n ++++．【点睛】此题考查数字的变化规律 找出数字之间的排列规律 利用拐弯出数字的差的规律解决问题． 21．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 四边形ABOC 是正方形 点A 的坐标为(1,1) 1AA 是以点B 为圆心 BA 为半径的圆弧 12A A 是以点O 为圆心 1OA 为半径的圆弧 23A A 是以点C 为圆心 2CA 为半径的圆弧 34A A 是以点A 为圆心 3AA 为半径的圆弧 继续以点B O C A 为圆心按上述作法得到的曲线12345AA A A A A 称为正方形的“渐开线”，则点2023A 的坐标是 ．【答案】()2023,1-【分析】将四分之一圆弧对应的A 点坐标看作顺时针旋转90︒ 再根据A 1A 2A 3A 4A 的坐标找到规律即可．【详解】①A 点坐标为()1,1 且1A 为A 点绕B 点顺时针旋转90︒所得 ①1A 点坐标为()2,0又①2A 为1A 点绕O 点顺时针旋转90︒所得 ①2A 点坐标为()0.2-又①3A 为2A 点绕C 点顺时针旋转90︒所得 ①3A 点坐标为()3,1-又①4A 为3A 点绕A 点顺时针旋转90︒所得 ①4A 点坐标为()1,5由此可得出规律：n A 为绕B O C A 四点作为圆心依次循环顺时针旋转90︒ 且半径为1 2 3 n每次增加1． ①202355053÷=故2023A 为以点C 为圆心 半径为2022的2022A 顺时针旋转90︒所得 故2023A 点坐标为()2023,1-． 故答案为：()2023,1-．【点睛】本题考查了点坐标规律探索 通过点的变化探索出坐标变化的规律是解题的关键．22．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 直线l ：33y x =x 轴交于点1A 以1OA 为边作正方形111A B C O 点1C 在y 轴上 延长11C B 交直线l 于点2A 以12C A 为边作正方形2221A B C C 点2C 在y 轴上 以同样的方式依次作正方形3332A B C C … 正方形2023202320232022A B C C ，则点2023B 的横坐标是 ．【答案】20221⎛ ⎝⎭【分析】分别求出点点1B 的横坐标是1 点2B 的横坐标是1 点3B 2413⎛+= ⎝⎭找到规律 得到答案见即可．【详解】解：当0y = 0= 解得1x = ①点()11,0A ,①111A B C O 是正方形 ①11111OA A B OC === ①点()11,1B ①点1B 的横坐标是1当1y =时 1 解得1x =+①点21A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭①2221A B C C 是正方形①2212211A B C C A C ===①点212B ⎛ ⎝⎭即点2B 的横坐标是1当2y =时 2= 解得)223x =①点34,23A ⎝⎭①3332A B C C 是正方形①33233243A B C C A C ===①点3B 2413⎛= ⎝⎭……以此类推，则点2023B 的横坐标是202231⎛ ⎝⎭故答案为：202231⎛ ⎝⎭【点睛】此题是点的坐标规律题 考查了二次函数的图象和性质 正方形的性质等知识 数形结合是是解题的关键．23．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数 探究第①行数与第①行数的关系：2- 4 8- 16 32- 64 ……①0 7 4- 21 26- 71 ……①根据你的发现 完成填空：第①行数的第10个数为 取每行数的第2023个数，则这两个数的和为 ．【答案】 1024 202422024-+【分析】通过观察第一行数的规律为(2)n - 第二行数的规律为(2)1n n -++ 代入数据即可. 【详解】第一行数的规律为(2)n - ①第①行数的第10个数为10(2)1024-= 第二行数的规律为(2)1n n -++①第①行数的第2023个数为2023(2)- 第①行数的第2023个数为2023(2)2024-+ ①202422024-+故答案为：1024 202422024-+．【点睛】本题主要考查数字的变化 找其中的规律 是今年考试中常见的题型. 24．（2023·山东泰安·统考中考真题）已知 12345678,,,OA A A A A A A A △△△都是边长为2的等边三角形 按下图所示摆放．点235,,,A A A 都在x 轴正半轴上 且2356891A A A A A A ====，则点2023A 的坐标是 ．。

中考数学复习考点题型专题讲解中考数学复习考点题型专题讲解）专题24 新定义与数字类规律探究问题（重难点培优重难点培优）小题））解答题（（共24小题一．解答题1．（2023秋•北京期中）对于有理数a，b，n，d，若|a﹣n|+|b﹣n|＝d，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如，|2﹣1|+|3﹣1|＝3，则2和3关于1的“相对关系值”为3．（1）﹣3和5关于1的“相对关系值”为8；（2）若a和2关于1的“相对关系值”为4，求a的值．【分析】（1）根据“相对关系值”的定义直接列式计算即可；（2）根据“相对关系值”的定义列出关于a的方程，解方程即可．【解析】（1）由题意得，|﹣3﹣1|+|5﹣1|＝8．故答案为8；（2）由题意得，|a﹣1|+|2﹣1|＝4，解得，a＝4或﹣2．2．（2023春•梁溪区校级期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果a c＝b，那么（a，b）＝c．例如因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空①（3，81）＝4，（﹣2，﹣32）＝5；②若（x，ଵ଼）＝﹣3，则x＝2．（2）若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，探究a，b，c之间的数量关系并说明理由．【分析】（1）①根据有理数的乘方及新定义计算；②根据新定义和负整数指数幂计算；（2）根据题意得4a＝5，4b＝6，4c＝30，根据5×6＝30列出等式即可得出答案．【解析】（1）①∵34＝81，∴（3，81）＝4，∵（﹣2）5＝﹣32，∴（﹣2，﹣32）＝5，故答案为4，5；（2）根据题意得x﹣3=18，∴ଵ௫య=ଵ଼，∴x＝2，故答案为2；（3）a+b＝c，理由如下根据题意得4a＝5，4b＝6，4c＝30，∵5×6＝30，∴4a•4b＝4c，∴4a+b＝4c，∴a+b＝c．3．（2023春•洪泽区期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）如果a c＝b，那么（a，b）＝c．例如因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空（3，9）＝2，（4，1）＝0，（2，ଵ଼）＝ ﹣3．（2）小明在研究这种运算时发现一个现象（3n，4n）＝（3，4），小明给出了如下的证明设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4，即（3，4）＝x，所以（3n，4n）＝（3，4）．请你用这种方法证明下面这个等式（3，4）+（3，5）＝（3，20）．【分析】（1）根据定义直接可得（3，9）＝2，（4，1）＝0，（2，ଵ଼）＝﹣3；（2）设（3，4）＝x，（3，5）＝y，则3x＝4，3y＝5，所以3x+y＝3x•3y，＝20，从而求解．【解答】（1）解因为32＝9，所以（3，9）＝2；因为40＝1，所以（4，1）＝0；因为2﹣3=18，所以（2，ଵ଼）＝﹣3．故答案为2，0，﹣3；（2）证明设（3，4）＝x，（3，5）＝y，则3x＝4，3y＝5，所以3x+y＝3x•3y＝4×5＝20，所以（3，20）＝x+y，所以（3，4）+（3，5）＝（3，20）．4．（2023春•东台市期中）对于任意有理数a、b、c、d，我们规定符号（a，b）⊗（c，d）＝ad﹣bc+2，例如（1，3）⊗（2，4）＝1×4﹣2×3+2＝0．（1）求（﹣2，1）⊗（3，5）的值；（2）求（2a+1，a﹣2）⊗（3a+2，a﹣3）的值，其中a2+a+5＝0．【分析】（1）根据（a，b）⊗（c，d）＝ad﹣bc+2，可以求得所求式子的值；（2）根据（a，b）⊗（c，d）＝ad﹣bc+2，先将所求式子化简，然后再根据a2+a+5＝0，可以得到a2+a＝﹣5，再代入化简后的式子计算即可．【解析】（1）∵（a，b）⊗（c，d）＝ad﹣bc+2，∴（﹣2，1）⊗（3，5）＝（﹣2）×5﹣1×3+2＝（﹣10）﹣3+2＝﹣11；（2）∵（a，b）⊗（c，d）＝ad﹣bc+2，∴（2a+1，a﹣2）⊗（3a+2，a﹣3）＝（2a+1）（a﹣3）﹣（a﹣2）（3a+2）+2＝2a2﹣5a﹣3﹣3a2+4a+4+2＝﹣a2﹣a+3，∵a2+a+5＝0，∴a2+a＝﹣5，∴原式＝﹣（a2+a）+3＝﹣（﹣5）+3＝5+3＝8．5．（2023春•罗山县期中）观察下列两个等式2−13=2×13+1，5−23=5×23+1，给出定义如下我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为（a，b）．如数对(2，13)，(5，23)都是“共生有理数对”．（1）判断数对（﹣2，1），(3，12)中，(3，12)是“共生有理数对”；（2）若（a，3）是“共生有理数对”，求a的值；（3）若（m，n）是“共生有理数对”，则（﹣n，﹣m） 是 （填写“是”或“不是”）“共生有理数对”，说明你的理由．【分析】（1）先判断，然后根据题目中的新定义，可以判断（﹣2，1），(3，12)是否为“共生有理数对“；（2）根据新定义可得关于a的一元一次方程，再解方程即可；（3）根据共生有理数对的定义对（﹣n，﹣m）变形即可判断．【解析】（1）（﹣2，1）不是“共生有理数对“，（3，ଵଶ）是“共生有理数对“，理由∵﹣2﹣1＝﹣3，﹣2×1+1＝﹣2+1＝﹣1，∴（﹣2，1）不是“共生有理数对“，∵3−12=52，3×12+1=52，∴（3，ଵଶ）是“共生有理数对”；故答案为(3，12)；（2）由题意，得a﹣3＝3a+1，解得a＝﹣2；（3）是，理由∵m﹣n＝mn+1，∴﹣n﹣（﹣m）＝﹣n+m＝mn+1＝（﹣n）（﹣m）+1，∴（﹣n，﹣m）是共生有理数对．故答案为是．6．（2023秋•成武县期中）【概念学习】现规定求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地，把ܽ÷ܽ÷ܽ⋯÷ܽ௡个௔（a≠0）写作aⓝ，读作“a的圈n次方”．︸【初步探究】（1）直接写出计算结果2③＝ଵଶ，（−12）④＝4；（2）下列关于除方说法中，错误的是C．A任何非零数的圈2次方都等于1B对于任何正整数n，1ⓝ＝1C 3④＝4③D负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（3）试一试 仿照上面的算3，（ଵହ）⑥＝54．（4）想一想 请把有理数﹣2． ．（5）算一算 12ଶൊሺെ13ሻ【分析】（1）根据规定运算（2）根据圈n 次方的意义（3）根据题例的规定，直接（4）根据圈n 次方的规定和（5）先把圈n 次方转化成幂【解析】（1）2③＝2÷2（−12）④＝（െ12）÷（故答案为 ଵଶ，4；（2）∵3④＝3÷3÷3÷3∴3④≠4③． 故选 C ．（3）（﹣3）⑤＝（﹣3）÷×（−13）＝（െ13）3，（ଵହ）⑥＝（ଵହ）÷（ଵହ）÷面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式 （﹣理数a （a ≠0）的圈n （n ≥3）次方写成幂的形式为)④×(−2ሻ⑥െሺെ13ሻ⑥ൊ3ଷൌ ﹣2．定运算，直接计算即可；意义，计算判断得结论； 直接写成幂的形式即可；规定和（3）的结果，综合可得结论；化成幂的形式，利用有理数的混合运算，计算求值即÷2＝1÷2ൌ12，െ12）÷（െ12）÷（െ12）＝1×2×2＝4； ൌ19，4③＝4÷4÷4ൌ14， ÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝1×（÷（ଵହ）÷（ଵହ）÷（ଵହ）÷（ଵହ）＝1×5×5×53）⑤＝ （െ13）式为a ⓝ＝ （ଵ௔）n求值即可． （−13）×（െ13）×5＝54；故答案为 （െ13）3，54；（4）（4）a ÷a ÷a ÷…÷a ＝a ×1ܽ×1ܽ×⋯×1ܽ=（ଵ௔）n ﹣2．故答案为 （ଵ௔）n ﹣2．（5）原式＝＝122÷32×（ଵଶ）4﹣34÷33＝24×32÷32×（ଵଶ）4﹣3 ＝1﹣3 ＝﹣2． 故答案为 ﹣2．7．（2018秋•长葛市期中）材料一般地，n 个相同的因数a 相乘 ܽ⋅ܽ⋯ܽ︸௡个记为ܽ௡．如23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log 28（即log 28＝3）．一般地，若a n＝b （a ＞0且a ≠1，b ＞0），则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b （即log a b ＝n ）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log 381（即log 381＝4）．问题（1）计算以下各对数的值 log 24＝2，log 216＝4，log 264＝6．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式为4×16＝64log 24、log 216、log 264之间又满足怎样的关系式 log 24+log 216＝log 264（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？log a M +log a N ＝MN （a ＞o 且a ≠1，M ＞0，N ＞0）．【分析】（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察，不难找到规律 4×16＝64，log 24+log 216＝log 264； （3）由特殊到一般，得出结论 log a M +log a N ＝log a MN ． 【解析】（1）log 24＝2，log 216＝4，log 264＝6，故答案为2、4、6；（2）4×16＝64，log24+log216＝log264，故答案为4×16＝64，log24+log216＝log264；（3）log a M+log a N＝log a MN，故答案为MN．8．（2023春•邗江区校级月考）概念学习规定求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把a÷a÷a……÷a（n个a，a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．（1）直接写出计算结果2③＝ଵଶ，(−12)⑤=﹣8；（2）将下列运算结果直接写成幂的形式5⑥＝ଵହర；(−12)⑩=28；（3）想一想将一个非零有理数a的圈n（n≥3）次方写成幂的形式为ଵ௔೙షమ；（4）算一算42×(−13)④．【分析】根据新定义内容列出算式，然后将除法转化为乘法，再根据乘法和乘方的运算法则进行化简计算．【解析】（1）2③＝2÷2÷2=12；(−12)③=（−12）÷（−12）÷（−12）÷（−12）÷（−12）＝﹣8；（2）5⑥＝5÷5÷5÷5÷5÷5=154；(−12)⑩=28；（3）aⓝ＝a÷a÷a……÷a=1ܽ݊−2；（4）原式＝16×9＝144．9．（2023秋•滕州市期末）如果x n＝y，那么我们记为（x，y）＝n．例如32＝9，则（3，9）＝2．（1）根据上述规定，填空（2，8）＝3，（2，ଵସ）＝ ﹣2；（2）若（4，a）＝2，（b，8）＝3，求（b，a）的值．【分析】（1）这个定义括号内第一个数为底数，第二个数为幂，结果为指数，根据有理数的乘方及负整数指数幂的计算即可；（2）根据定义先求出a，b的值，再求（b，a）的值．【解析】（1）因为23＝8，所以（2，8）＝3；因为2﹣2=14，所以（2，ଵସ）＝﹣2．故答案为3，﹣2；（2）根据题意得a＝42＝16，b3＝8，所以b＝2，所以（b，a）＝（2，16），因为24＝16，所以（2，16）＝4．答（b，a）的值为4．10．（2023秋•六合区期中）类比有理数的乘方，我们把求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．如2÷2÷2，记作2③，读作“2的圈3次方；（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”．（1）直接写出计算结果2③＝ଵଶ，（−12）④＝4；（2）除方也可以转化为幂的形式，如2④＝2÷2÷2÷2＝2×12×12×12=（ଵଶ）2．试将下列运算结果直接写成幂的形式（﹣3）④＝ （ଵଷ）2；（ଵଶ）⑩＝28；a ⓝ＝ （ଵ௔）n ﹣2；（3）计算 22×（−13）④÷（﹣2）③﹣（﹣3）②．【分析】（1）根据除方的定义计算即可； （2）把除法转化为乘法即可得出答案； （3）根据除方的定义计算即可． 【解析】（1）2÷2÷2=12，（−12）÷（−12）÷（−12）÷（−12）＝1×（﹣2）×（﹣2）＝4， 故答案为 ଵଶ，4；（2）（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝1×（−13）×（−13）＝（ଵଷ）2，ଵଶ÷ଵଶ÷ଵଶ÷ଵଶ÷ଵଶ÷ଵଶ÷ଵଶ÷ଵଶ÷ଵଶ÷ଵଶ=1×2×2×2×2×2×2×2×2＝28，ܽ÷ܽ÷ܽ÷⋯÷ܽ︸௡个௔=1×1ܽ⋅1ܽ⋅⋯⋅1ܽ︸(௡ିଶ)个1ܽ=（ଵ௔）n ﹣2，故答案为 (13)ଶ，28，(1ܽ)௡ିଶ；（3）原式=2ଶ×(−3)ଶ÷(−12)−[(−3)÷(−3)] ＝4×9×（﹣2）﹣1 ＝﹣72﹣1 ＝﹣73．11．（2023秋•海安市月考）已知M （1）＝﹣2，M （2）＝（﹣2）×（﹣2），M （3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…，ܯ(௡)=(−2)×(−2)×⋯×(−2)︸௡个(ିଶ)相乘（n 为正整数）．（1）求2M （2018）+M （2019）的值．（2）猜想2M （n ）与M （n +1）的关系并说明理由． 【分析】（1）根据已知算式即可进行计算；（2）结合（1）将算式变形即可说明2M （n ）与M （n +1）互为相反数． 【解析】（1）2M （2018）+M （2019） ＝2×（﹣2）2018+（﹣2）2019＝2×22018+（﹣2）2019＝22019+（﹣2）2019＝0；（2）2M （n ）与M （n +1）互为相反数，理由如下因为2M （n ）＝2×（﹣2）n＝﹣（﹣2）×（﹣2）n＝﹣（﹣2）n +1，M （n +1）＝（﹣2）n +1，所以2M （n ）＝﹣M （n +1），所以2M （n ）与M （n +1）互为相反数．12．（2019秋•崇川区校级期中）如果2b＝n ，那么称b 为n 的布谷数，记为b ＝g （n ），如g（8）＝g （23）＝3．（1）根据布谷数的定义填空 g （2）＝1，g （32）＝5． （2）布谷数有如下运算性质若m ，n 为正数，则g （mn ）＝g （m ）+g （n ），g （௠௡）＝g （m ）﹣g （n ）．根据运算性质填空௚(௔ర)௚(௔)=4，（a 为正数）．若g （7）＝2.807，则g （14）＝3.807，g （଻ସ）＝0.807．（3）下表中与数x 对应的布谷数g （x ）有且仅有两个是错误的，请指出错误的布谷数，要求说明你这样找的理由，并求出正确的答案（用含a ，b 的代数式表示）x316 233 6 9 27g （x ） 1﹣4a +2b 1﹣2a +b2a ﹣b 3a ﹣2b4a ﹣2b 6a ﹣3b【分析】（1）g （32）＝g （25）＝5；g （32）＝g （25）＝5； （2）௚(௔ర)௚(௔)=௚(௔⋅௔⋅௔⋅௔)௚(௔)=ସ௚(௔)௚(௔)=4，g （14）＝g （2×7）＝g （2）+g （7），g （଻ସ）＝g （7）﹣g （4）； （3）g （ଷଵ଺）＝g （3）﹣4，g （ଶଷ）＝1﹣g （3），g （6）＝g （2）+g （3）＝1+g （3），g（9）＝2g （3），g （27）＝3g （3），当g （3）正确时，有且仅有两个是错误； 【解析】（1）g （2）＝g （21）＝1， g （32）＝g （25）＝5；故答案为1，5； （2）௚(௔ర)௚(௔)=௚(௔⋅௔⋅௔⋅௔)௚(௔)=ସ௚(௔)௚(௔)=4，g （14）＝g （2×7）＝g （2）+g （7），∵g （7）＝2.807，g （2）＝1， ∴g （14）＝3.807； g （଻ସ）＝g （7）﹣g （4）， g （4）＝g （22）＝2，∴g （଻ସ）＝g （7）﹣g （4）＝2.807﹣2＝0.807； 故答案为4，3.807，0.807； （3）g （ଷଵ଺）＝g （3）﹣4，g （ଶଷ）＝1﹣g （3），g （6）＝g （2）+g （3）＝1+g （3）， g （9）＝2g （3）， g （27）＝3g （3），从表中可以得到g（3）＝2a﹣b，∴g（ଷଵ଺）和g（6）错误，∴g（ଷଵ଺）＝2a﹣b﹣4，g（6）＝1+2a﹣b；13．（2023秋•凌河区校级期中）阅读计算阅读下列各式（ab）2＝a2b2，（ab）3＝a3b3，（ab）4＝a4b4…回答下列三个问题（1）验证（4×0.25）100＝1；4100×0.25100＝1．（2）通过上述验证，归纳得出（ab）n＝a n b n；（abc）n＝a n b n c n．（3）请应用上述性质计算（﹣0.125）2015×22014×42014．【分析】①先算括号内的，再算乘方；先乘方，再算乘法．②根据有理数乘方的定义求出即可；③根据同底数幂的乘法计算，再根据积的乘方计算，即可得出答案．【解析】①（4×0.25）100＝1100＝1；4100×0.25100＝1，故答案为1，1．②（a•b）n＝a n b n，（abc）n＝a n b n c n，故答案为a n b n，（abc）n＝a n b n c n．③原式＝（﹣0.125）2014×22014×42014×（﹣0.125）＝（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125）＝（﹣1）2014×（﹣0.125）＝1×（﹣0.125）＝﹣0.125．14．（2017秋•高邮市校级月考）回答下列问题（1）填空①（2×3）2＝36；22×32＝36②（−12×8）2＝16；（−12）2×82＝16③（−12×2）3＝ ﹣1；（−12）3×23＝ ﹣1（2）想一想（1）中每组中的两个算式的结果是否相等？ 是 （填“是”或“不是”）．（3）猜一猜当n为正整数时，（ab）n＝a n b n．（4）试一试（1ଵଶ）2017×（−23）2017＝ ﹣1．【分析】根据已知条件进行计算，然后归纳结论即可．【解析】（1）①（2×3）2＝62＝36；22×32＝4×9＝36．故答案为36，36；②（−12×8）2＝（﹣4）2＝16，（−12）2×82=14×64＝16．故答案为16，16；③（−12×2）3＝（﹣1）3＝﹣1，（−12）3×23=−18×8＝﹣1．故答案为﹣1，﹣1；（2）答案为是．（3）答案为a n b n；（4）（1ଵଶ）2017×（−23）2017＝[ଷଶ×（−23）]2017＝（﹣1）2017＝﹣1．故答案为﹣1．15．（2017秋•兴化市月考）定义 如果10b＝n ，那么称b 为n 的劳格数，记为b ＝d （n ）． （1）根据劳格数的定义，可知 d （10）＝1，d （102）＝2 那么 d （103）＝3．（2）劳格数有如下运算性质若m ，n 为正数，则d （mn ）＝d （m ）+d （n ）； d （௠௡）＝d （m ）﹣d （n ）．根据运算性质，填空ௗ(ଶఱ)ௗ(ଶ)=5，若d （3）＝0.48，则d （9）＝0.96，d （0.3）＝ ﹣0.52． 【分析】（1）根据劳格数的定义，可知d （10b）＝b ，即可得解；（2）根据劳格数的运算性质，d （mn ）＝d （m ）+d （n ），计算d （25）＝d （2）+d （2）+d （2）+d （2）+d （2），再求约分即可；根据劳格数的运算性质，d （9）＝d （3×3）＝d （3）+d （3），再将d （3）的值代入即可；根据劳格数的运算性质，d （0.3）＝d （ଷଵ଴）＝d （3）﹣d （10），再代入d （3）和d （10）的值即可． 【解析】（1）根据劳格数的定义，可知d （103）＝3， 故答案为 3；（2）根据题意，得 d （25）＝d （2）+d （2）+d （2）+d （2）+d （2）， ∴ௗ(ଶఱ)ௗ(ଶ)=ହ×ௗ(ଶ)ௗ(ଶ)=5，d （9）＝d （3×3）＝d （3）+d （3）＝0.48+0.48＝0.96； d （0.3）＝d （ଷଵ଴）＝d （3）﹣d （10）＝0.48﹣1＝﹣0.52．故答案为 5；0.96；﹣0.52．16．（2023春•阜宁县校级月考）规定 M （1）＝﹣2，M （2）＝（﹣2）×（﹣2），M （3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…M （n ）=(−2)×(−2)×(−2)×⋯(−2)︸௡(ିଶ)．（1）计算M（5）+M（6）；（2）求2×M（2023）+M（2023）的值；（3）试说明2×M（n）与M（n+1）互为相反数．【分析】（1）根据新定义的法则及有理数乘法的法则进行计算即可；（2）根据新定义的法则进行计算，即可得出结果；（3）根据新定义的法则分别计算2×M（n）与M（n+1），即可得出结果．【解析】（1）M（5）+M（6）＝（﹣2）5+（﹣2）6＝﹣32+64＝32；（2）2M（2023）+M（2023）＝2×（﹣2）202l+（﹣2）2023＝2×（﹣22023）+22023＝﹣22023+22023＝0；（3）2M（n）＝2×（﹣2）n＝﹣（﹣2）×（﹣2）n＝﹣（﹣2）n+1，M（n+1）＝（﹣2）n+1，∵﹣（﹣2）n+1与（﹣2）n+1互为相反数，∴2M（n）与M（n+1）互为相反数．17．（2023秋•高邮市期中）小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，类比有理数的乘方．小聪把5÷5÷5记作f（3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作f（4，﹣2）．（1）直接写出计算结果，f （4，ଵଶ）＝4，f （5，3）＝ଵଶ଻；（2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是②．（填序号） ①f （6，3）＝f （3，6）； ②f （2，a ）＝1（a ≠0）；③对于任何正整数n ，都有f （n ，﹣1）＝1； ④对于任何正整数n ，都有f （2n ，a ）＜0（a ＜0）．（3）小明深入思考后发现 “除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式f （n ，a ）（n 为正整数，a ≠0，n ≥2），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结果用含a ，n 的式子表示）（4）请利用（3）问的推导公式计算 f （5，3）×f （4，ଵଷ）×f （5，﹣2）×f （6，ଵଶ）． 【分析】（1）根据题意计算即可；（2）①分别计算f （6，3）和f （3，6）的结果进行比较即可； ②根据题意计算即可判断；③分为n 为偶数和奇数两种情况分别计算即可判断； ④2n 为偶数，偶数个a 相除，结果应为正；（3）推导f （n ，a ）（n 为正整数，a ≠0，n ≥2），按照题目中的做法推到即可； （4）按照上题的推导式可以将算式中的每一部分表示出来再计算． 【解析】（1）f （4，ଵଶ）=12÷12÷12÷12=4， f （5，3）＝3÷3÷3÷3÷3=127；故答案为 4；ଵଶ଻．（2）①f （6，3）＝3÷3÷3÷3÷3÷3=181，f （3，6）＝6÷6÷6=16， ∴f （6，3）≠f （3，6），故错误； ②f （2，a ）＝a ÷a ＝1（a ≠0），故正确；③对于任何正整数n ，当n 为奇数时，f （n ，﹣1）＝﹣1；当n 为偶数时，f （n ，﹣1）＝1．故错误；④对于任何正整数n ，2n 为偶数，所以都有f （2n ，a ）＞0，而不是f （2n ，a ）＜0（a ＜0），故错误； 故答案为 ②．（3）公式f （n ，a ）＝a ÷a ÷a ÷a ÷…÷a ÷a ＝1÷（a n ﹣2）＝（ଵ௔）n ﹣2（n 为正整数，a≠0，n ≥2）．（4）f （5，3）×f （4，ଵଷ）×f （5，﹣2）×f （6，ଵଶ） =127×9×（−18）×16=−23．18．（2023秋•诸暨市期中）阅读下列材料 |x |=൞ݔ，ݔ＞00，ݔ=0−ݔ，ݔ＜0，即当x ＜0时，௫|௫|=௫ି௫=−1．用这个结论可以解决下面问题（1）已知a ，b 是有理数，当ab ≠0时，求௔|௔|+௕|௕|的值；（2）已知a ，b ，c 是有理数，当abc ≠0时，求௔|௔|+௕|௕|+௖|௖|的值；（3）已知a ，b ，c 是有理数，a +b +c ＝0，abc ＜0，求௕ା௖|௔|+௔ା௖|௕|+௔ା௕|௖|的值．【分析】（1）对a 、b 进行讨论，即a 、b 同正，a 、b 同负，a 、b 异号，根据绝对值的意义计算௔|௔|+௕|௕|得到结果；（2）对a 、b 、c 进行讨论，即a 、b 、c 同正、同负、两正一负、两负一正，然后计算௔|௔|+௕|௕|+௖|௖|得结果；（3）根据a ，b ，c 是有理数，a +b +c ＝0，把求௕ା௖|௔|+௔ା௖|௕|+௔ା௕|௖|转化为求ି௔|௔|+ି௕|௕|+ି௖|௖|的值，根据abc＜0得结果．【解析】（1）已知a，b是有理数，当ab≠0时，①a＜0，b＜0，௔|௔|+௕|௕|=−1﹣1＝﹣2；②a＞0，b＞0，௔|௔|+௕|௕|=1+1＝2；③a，b异号，௔|௔|+௕|௕|=0．故௔|௔|+௕|௕|的值为±2或0．（2）已知a，b，c是有理数，当abc≠0时，①a＜0，b＜0，c＜0，௔|௔|+௕|௕|+௖|௖|=−1﹣1﹣1＝﹣3；②a＞0，b＞0，c＞0，௔|௔|+௕|௕|+௖|௖|=1+1+1＝3；③a，b，c两负一正，௔|௔|+௕|௕|+௖|௖|=−1﹣1+1＝﹣1；④a，b，c两正一负，௔|௔|+௕|௕|+௖|௖|=−1+1+1＝1．故௔|௔|+௕|௕|+௖|௖|的值为±1，或±3．（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0．所以b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，a，b，c两正一负，所以௕ା௖|௔|+௔ା௖|௕|+௔ା௕|௖|=−ܽ|ܽ|+−ܾ|ܾ|+−ܿ|ܿ|＝﹣[௔|௔|+௕|௕|+௖|௖|]＝﹣1．19．（2023秋•泗洪县校级月考）用符号M表示一种运算，它对整数和分数的运算结果分别如下M （1）＝﹣2，M （2）＝﹣1，M （3）＝0，M （4）＝1… M （ଵଶ）=−14，M （ଵଷ）=−19，M （ଵସ）=−116，… 利用以上规律计算（1）M （28）×M （ଵହ）；（2）﹣1÷M （39）÷[﹣M （ଵ଺）]．【分析】（1）根据M （1）＝﹣2，M （2）＝﹣1，M （3）＝0，M （4）＝1…，可得M （n ）＝n ﹣3，根据M （ଵଶ）=−14，M （ଵଷ）=−19，M （ଵସ）=−116，…，可得M （ଵ௡）＝﹣（ଵ௡）2，再根据有理数的乘法，可得答案；（2）根据M （1）＝﹣2，M （2）＝﹣1，M （3）＝0，M （4）＝1…，可得M （n ）＝n ﹣3，根据M （ଵଶ）=−14，M （ଵଷ）=−19，M （ଵସ）=−116，…，可得M （ଵ௡）＝﹣（ଵ௡）2，再根据有理数的除法，可得答案．【解析】（1）原式＝（28﹣3）×[﹣（ଵହ）2]＝25×（−125）＝﹣1；（2）原式＝﹣1÷（39﹣3）÷{﹣[﹣（ଵ଺）2]} ＝﹣1×136×36 ＝﹣1．20．（2019秋•曲靖期末）阅读理解 李华是一个勤奋好学的学生，他常常通过书籍、网络等渠道主动学习各种知识．下面是他从网络搜到的两位数乘11的速算法，其口诀是 “头尾一拉，中间相加，满十进一”例如 ①24×11＝264．计算过程 24两数拉开，中间相加，即2+4＝6，最后结果264；②68×11＝748．计算过程 68两数分开，中间相加，即6+8＝14，满十进一，最后结果748．（1）计算 ①32×11＝352，②78×11＝858；（2）若某个两位数十位数字是a，个位数字是b（a+b＜10），将这个两位数乘11，得到一个三位数，则根据上述的方法可得，该三位数百位数字是a，十位数字是a+b，个位数字是b；（用含a、b的代数式表示）（3）请你结合（2）利用所学的知识解释其中原理．【分析】（1）根据口诀“头尾一拉，中间相加，满十进一”即可求解；（2）由（1）两位数十位数字是a，个位数字是b，将这个两位数乘11，得到一个三位数即可得结果；（3）结合（2）可得11（10a+b）＝10（10a+b）+（10a+b）＝100a+10b+10a+b＝100a+10（a+b）+b．【解析】（1）①∵3+2＝5∴32×11＝352②∵7+8＝15∴78×11＝858故答案为352，858．（2）两位数十位数字是a，个位数字是b，这个两位数乘11，∴三位数百位数字是a，十位数字是a+b，个位数字是b．故答案为a，a+b，b．（3）两位数乘以11可以看成这个两位数乘以10再加上这个两位数，若两位数十位数为a，个位数为b，则11（10a+b）＝10（10a+b）+（10a+b）＝100a+10b+10a+b＝100a+10（a+b）+b根据上述代数式，可以总结出规律口诀为“头尾一拉，中间相加，满十进一”．21．（2023秋•魏都区校级期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示知道|2|＝|2﹣0|，它在数轴上|5﹣2|可理解为5与2两数在表示5与﹣2两数在数轴上（1）数轴上表示3和﹣（2）探索①若|x ﹣4|＝3，则x ＝1②若使x 所表示的点到表示2、1、0、﹣1．（3）进一步探究 |x +1|+|（4）能力提升 当|x +1+|【分析】（1）根据材料可得（2）①根据材料判断式子的②根据距离可直接得到（3）通过材料及前两问的解（4）通过材料及前几问的解式子有最小值时，x ＝4【解析】（1）根据材料可得|；故答案为 |3﹣（﹣1）|（2）①根据材料可知|x ∴x ＝1或7； 故答案为 1或7；②由题意可知x所表示的整揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合数轴上的意义是表示数2的点与原点（即表示0的点两数在数轴上所对应的两点之间的距离 |5+2|可以看作数轴上所对应的两点之间的距离．1的两点之间的距离的式子是|3﹣（﹣1）|． 或7．到表示4和﹣1的点的距离之和为5．所有符合条件的1|+|x ﹣6|的最小值为7．x ﹣4+|x ﹣9|的值最小时，x 的值为4．料可得结果；式子的意义，然后得出x 的值； x 的取值；问的解答可知|x +1|+|x ﹣6|的最小值就是|﹣1﹣6|；问的解答可知|x +1+|x ﹣4+|x ﹣9|中x 表示到﹣1、4．料可得 数轴上表示3和﹣1的两点之间的距离的式子；﹣4|＝3中x 表示到﹣4的距离等于3的点对应的数示的整数为4、3、2、1、0、﹣1；结合”的基础，我们的点）之间的距离，以看作|5﹣（﹣2）|，条件的整数为4、3、、9的距离之和，的式子是|3﹣（﹣1）应的数，故答案为4、3、2、1、0、﹣1；（3）根据材料可知|x+1|+|x﹣6|中x表示到﹣1和6的距离之和，∴|x+1|+|x﹣6|的最小值为7；故答案为7；（4）根据材料可知|x+1+|x﹣4+|x﹣9|中x表示到﹣1、4、9的距离之和，∴当x＝4时，式子有最小值；故答案为4．22．（2018秋•雄县期中）已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b．（1）对照数轴填写下表a 4 ﹣6 ﹣6 ﹣10 ﹣1.5b 6 0 ﹣4 2 ﹣1.5A、B两点的距离 2 6 2 12 0（2）若A，B两点间的距离记为d，试问d和a，b（a≤b）有何数量关系；（3）写出数轴上到﹣1和1的距离之和为2的所有整数；（4）若x表示一个有理数，求|x﹣1|+|x+3|的最小值．【分析】（1）由AB＝|a﹣b|即可求解；（2）由d＝|a﹣b|，又知b＞a，化简可得d＝b﹣a；（3）设数轴上一点为x，由﹣1与1的距离为2，可确定﹣1≤x≤1，求出符合条件的整数x即可；（4）由1与﹣3的距离为4，即可求|x﹣1|+|x+3|的最小值为4．【解析】（1）a＝﹣6，b＝0，则AB＝|﹣6﹣0|＝6，a＝﹣6，b＝﹣4，则AB＝|﹣6﹣（﹣4）|＝2，a＝﹣10，b＝2，则AB＝|﹣10﹣2|＝12，故答案为6，2，12；（2）∵a≤b，∴d＝|a﹣b|＝b﹣a；（3）设数轴上一点为x，∵数轴上点x到﹣1和1的距离之和为2，∴|x+1|+|x﹣1|＝2，∵﹣1与1的距离为2，∴﹣1≤x≤1，∵x是整数，∴x＝﹣1，0，1，∴数轴上到﹣1和1的距离之和为2的整数有﹣1，0，1；（4）|x﹣1|+|x+3|表示数轴上点x到1和﹣3的距离和最小，∵1与﹣3的距离为4，∴|x﹣1|+|x+3|的最小值为4．23．（2023秋•攀枝花期中）我们知道|4﹣（﹣1）|表示4与﹣1的差的绝对值，实际上也可以理解为4与﹣1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可以理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．类似地，|5+3|＝|5﹣（﹣3）|表示5、﹣3之间的距离．一般地，A，B两点在数轴上表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可以表示为|a﹣b|．试探索．（1）若|x﹣3|＝7，则x＝ ﹣4或10；（2）若A，B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣2，B点对应的数为4．折叠数轴，使得A点与B点重合，则表示﹣4的点与表示6的点重合；（3）计算|x﹣4|+|x+1|＝7．【分析】（1）根据题意给出的定义即可求出答案．（2）设表示﹣4的点与表示x的点重合，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到所求；（3）分类讨论x的范围，利用绝对值的代数意义化简，计算即可求出x的值．【解析】（1）∵|x﹣3|＝7，∴x﹣3＝7或x﹣3＝﹣7，解得x＝10或x＝﹣4；故答案为﹣4或10；（2）设表示﹣4的点与表示x的点重合，根据题意得ିଶାସଶ=1，∴ିସା௫ଶ=1，解得x＝6；故答案为6；（3）①当x＜﹣1时；（﹣x+4）+（﹣x﹣1）＝7，则x＝﹣2；②当﹣1≤x≤4时；（x﹣4）+（﹣x﹣1）＝7，则﹣5＝7，无解；③当x≥4时；（x﹣4）+（x+1）＝7，则x＝5，综上，x＝﹣2或5．24．（2023秋•玄武区校级月考）已知数轴上A、B两点表示的数分别为a、b，请回答问题（1）①若a＝3，b＝2，则A、B两点之间的距离是1；②若a＝﹣3，b＝﹣2，则A、B两点之间的距离是1；③若a＝﹣3，b＝2，则A、B两点之间的距离是5；（2）若数轴上A、B两点之间的距离为d，则d与a、b满足的关系式是d＝|a﹣b|；（3）若|3﹣2|的几何意义是数轴上表示数3的点与表示数2的点之间的距离，则|2+5|的几何意义数轴上表示数2的点与表示数﹣5的点之间的距离；（4）若|a|＜b，化简|a﹣b|+|a+b|＝2b．【分析】（1）计算出两数差的绝对值即可；（2）两点间的距离等于两数差的绝对值；（3）根据|2+5|＝|2﹣（﹣5）|，即可判断；（4）先化简每一个绝对值，然后再进行计算．【解析】（1）①|3﹣2|＝1，②|﹣3﹣（﹣2）|＝1，③|﹣3﹣2|＝5；（2）d＝|a﹣b|；（3）∵|2+5|＝|2﹣（﹣5）|，∴|2+5|的几何意义数轴上表示数2的点与表示数﹣5的点之间的距离；（4）∵|a|＜b，∴a﹣b＜0，a+b＞0，∴|a﹣b|+|a+b|＝b﹣a+a+b＝2b；故答案为（1）①1，②1，③5；（2）d＝|a﹣b|；（3）数轴上表示数2的点与表示数﹣5的点之间的距离；（4）2b．。

专题6 数学规律探究问题根据一列数或一组图形的特例进行归纳，猜想，找出一般规律，进而列出通用的代数式，称之为规律探究。

解决此类问题的关键是：“细心观察，大胆猜想，精心验证”。

一、数式规律探究通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法。

一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同位置的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。

数式规律探究是规律探究问题中的主要部分，解决此类问题注意以下三点：1.一般地，常用字母n表示正整数，从1开始。

2.在数据中，分清奇偶，记住常用表达式。

正整数…n-1,n,n+1…奇数…2n-3,2n-1,2n+1,2n+3…偶数…2n-2,2n,2n+2…3.熟记常见的规律① 1、4、9、16......n2② 1、3、6、10……(1)2n n+数列的变化规律③ 1、3、7、15……2n -1④ 1+2+3+4+…n=(1)2n n+⑤ 1+3+5+…+(2n-1)= n2 数列的和⑥ 2+4+6+…+2n=n(n+1)数式规律探究反映了由特殊到一般的数学方法，解决此类问题常用的方法有以下两种：1.观察法例1.观察下列等式：①1×12=1-12②2×23=2-23③3×34=3-34④4×45=4-45……猜想第n个等式为（用含n的式子表示）分析：将等式竖排：1×12=1-12n=12×23=2-23n=23×34=3-34n=34×45=4-45n=4观察相应位置上变化的数字与序列号的对应关系（注意分清正整数的奇偶）易观察出结果为：n ×1n n +=n-1n n +例2.探索规律：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729……，那么 32009的个位数字是 。

中考数学备考微专题九 规律探究问题应城市城北初级中学 宋小攀【考点分析】规律探究问题是指给出一定条件(可以是有规律的算式、图形或图表)，让学生认真分析，仔细观察，综合归纳，大胆猜想，得出结论，进而加以验证的数学探究题. 类型有“数字规律”、“数式规律”、“图形规律”等题型，一般出现在选择题或填空题中，属于中档题或难题。

针对此类专题我们在解题过程中要从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论。

当然面对具体问题还需要具体分析，找到切入点进行解答。

例1 （2018·孝感T15）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，从图中取一列数：1，3，6，10，…，记11a =，23a =，36a =，410a =，…，那么11110210a a a +-+的值是 ☆ ．（例1）分析：由已知数列得出(n 1)1232n n a n +=++++=⋯，再求出10a 、11a 的值，代入计算可得． 解：由11a =，2312a ==+，36123a ==++，4101234a ==+++，⋯，知(n 1)1232n n a n +=++++=⋯， ∴ 101011552a ⨯==，111112662a ⨯==，则1111021010662551024a a a +-+=+-⨯+=-，故答案为：24-．【解题总结】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知数列得出(n 1)1232n n a n +=++++=⋯． 例2 （2015· 孝感T15）观察下列等式：，，，，222247531 3531 231 11=+++=++=+=…，则13572015+++++⋯= ☆ ．分析：根据，，，，222247531 3531 231 11=+++=++=+=…，可得2135(2n 1)n ++++-=⋯，据此求出13572015+++++⋯的值是多少即可．解：由，，，，222247531 3531 231 11=+++=++=+=…，知2135(2n 1)n ++++-=⋯，3610C=☆．，…，1n n nA B A+∆，都是等腰直角三角形．其中点1A，…，nB在直线y x=上．已知11OA=，则2020OA的945=，，163n=，264n=-（负舍）故答案为：45，63．2.6101098765210123456C⨯⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯．3.0112OA==，1222OA==，2342OA==，3482OA==，……，∴201920202OA=．。

中考数学《规律(Lv)探索》专题复习试题含解析一(Yi)、选择题1. 如图，将一张等边(Bian)三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按(An)同样方式再剪成4个小三(San)角形，共得到7个小(Xiao)三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得(De)到10个小三角形，称为第三次操(Cao)作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（）A．25 B．33 C．34 D．50【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第一次操作后三角形共有4个、第二次操作后三角形共有（4+3）个、第三次操作后三角形共有（4+3+3）个，可得第n次操作后三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个，根据题意得3n+1=100，求得n的值即可．【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4+3=7个；第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；…∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个；当3n+1=100时，解得：n=33，故选：B．2.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在（）A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角【考点】规律型：点的坐标．【分(Fen)析】根据图形中对应的数字和各个(Ge)数字所在的位置，可以推出数2016在第多少个正方形和它所在的位置，本(Ben)题得以解决．【解(Jie)答】解(Jie)：∵2016÷4=504，又(You)∵由题目中给出的几个(Ge)正方形观察可知，每个正方形对应四个数，而第一个最小的数是0，0在(Zai)右下角，然后按逆时针由小变大，∴第504个正方形中最大的数是2015，∴数2016在第505个正方形的右下角，故选D．3．（2016.山东省临沂市，3分）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（）A．2n+1 B．n2﹣1 C．n2+2n D．5n﹣2【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第1个图形中小正方形的个数是22﹣1、第2个图形中小正方形的个数是32﹣1、第3个图形中小正方形的个数是42﹣1，可知第n个图形中小正方形的个数是（n+1）2﹣1，化简可得答案．【解答】解：∵第1个图形中，小正方形的个数是：22﹣1=3；第2个图形中，小正方形的个数是：32﹣1=8；第3个图形中，小正方形的个数是：42﹣1=15；…∴第n个图形中，小正方形的个数是：（n+1）2﹣1=n2+2n+1﹣1=n2+2n；故选：C．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解决此类题目的方法是：从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点是解题的关键．二、填空题1．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为4n﹣3 ．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】结合题意，总结可知，每(Mei)个图中三角形个数比图形的编号的(De)4倍(Bei)少(Shao)3个三角形，即可(Ke)得出结果．【解(Jie)答】解：第(Di)①是(Shi)1个三角形，1=4×1﹣3；第②是5个三角形，5=4×2﹣3；第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；故答案为：4n﹣3．【点评】此题主要考查了图形的变化，解决此题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之间的关系．2．如图，直线l：y=－x，点A1坐标为（－3，0）. 过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x 轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A 3，…，按此做法进行下去，点A2016的坐标为 .【考点】一次函数图像上点的坐标特征，规律型：图形的变化类．【分析】由直线l：y=－x的解析式求出A1B1的长，再根据勾股定理，求出OB1的长，从而得出A2的坐标；再把A2的横坐标代入y=－x的解析式求出A2B2的长，再根据勾股定理，求出OB2的长，从而得出A3的坐标；…，由此得出一般规律．【解(Jie)答】解(Jie)：∵点(Dian)A1坐(Zuo)标为（－3，0），知(Zhi)O A1=3，把(Ba)x=－3代入(Ru)直线(Xian)y=－x中，得y= 4 ，即A1B1=4.根据勾股定理，OB1===5，∴A2坐标为（－5，0），O A2=5；把x=－5代入直线y=－x中，得y=，即A2B2=.根据勾股定理，OB2====，∴A3坐标为（－3512，0），O A3=3512；把x=－3512代入直线y=－x中，得y=，即A3B3=.根据勾(Gou)股定理，OB 3====，∴A 4坐标(Biao)为（－3523，0），O A 4=3523；……同理(Li)可得(De)A n 坐(Zuo)标为（－，0），O A n =3521--n n ；∴A 2016坐(Zuo)标为（－，0）故(Gu)答案为：（− 3520142015，0）【点(Dian)评】本题是规律型图形的变化类题是全国各地的中考热点题型，考查了一次函数图像上点的坐标特征. 解题时，要注意数形结合思想的运用，总结规律是解题的关键. 解此类题时，要得到两三个结果后再比较、总结归纳，不要只求出一个结果就盲目的匆忙得出结论。

中考数学专题复习规律探究题练习（四）学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________ 评卷人 得分一、解答题1．图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n 层.将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为(1)1232n n n ++++⋯+=. 如果图3、图4中的圆圈均有13层.(1)我们自上往下，在每个圆圈中都图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是________；(2)我们自上往下，在每个圆圈中按图4的方式填上一串连续的整数-23，-22，-21，-20，…，求最底层最右边圆圈内的数是________；(3)求图4中所有圆圈中各数值的绝对值之和.(写出计算过程)2．已知点P （0x ，0y ）和直线y=kx+b ，则点P 到直线y=kx+b 的距离证明可用公式d=002||1kx y b k -++ 计算．例如：求点P （﹣1，2）到直线y=3x+7的距离． 解：因为直线y=3x+7，其中k=3，b=7． 所以点P （﹣1，2）到直线y=3x+7的距离为：d=002||1kx y b k -++=2|3(1)27|1k ⨯--++ =210=105． 根据以上材料，解答下列问题：（1）求点P （1，﹣1）到直线y=x ﹣1的距离；（2）已知⊙Q 的圆心Q 坐标为（0，5），半径r 为2，判断⊙Q 与直线y=3x+9的位置关系并说明理由；（3）已知直线y=﹣2x+4与y=﹣2x ﹣6平行，求这两条直线之间的距离．3．观察以下等式：第1个等式：2222233+=⨯；第2个等式：2333388+=⨯；第3个等式：244441515+=⨯；第4个等式：255552424+=⨯；……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：____________________________________________________________；（2）写出你猜想的第n 个等式：____________________；（用含n 的等式表示），并证明.4．观察下列各式规律：⊙ 52-22=3×7；⊙72-42=3×11；⊙ 92-62=3×11；…；根据上面等式的规律：（1）写出第6个和第n 个等式； （2）证明你写的第n 个等式的正确性．5．观察下列等式： 2111123⎛⎫÷⨯+= ⎪⎝⎭ 21111324⎛⎫÷⨯+= ⎪⎝⎭21111435⎛⎫÷⨯+= ⎪⎝⎭ 21111546⎛⎫÷⨯+= ⎪⎝⎭()1写出第⑥个等式： ；()2写出你猜想的第n 个等式： (用含n 的等式表示)，并证明．6．化简：2334122232+⨯⨯⨯⨯+45342⨯⨯+…+20203201920202⨯⨯．为了能找到复杂计算问题的结果，我们往往会通过将该问题分解，试图找寻算式中每个式子是否存在某种共同规律，然后借助这个规律将问题转化为可以解决的简单问题．下面我们尝试着用这个思路来解决上面的问题．请你按照这个思路继续进行下去，并把相应横线上的空格补充完整． 【分析问题】第1个加数：23122⨯⨯＝112⨯﹣2122⨯；第2个加数：34232⨯⨯＝2122⨯﹣3132⨯；第3个加数：45342⨯⨯＝3132⨯﹣4142⨯；第4个加数： ＝2142⨯﹣5152⨯； 【总结规律】第n 个加数： ＝ ﹣ ．【解决问题】请你利用上面找到的规律，继续化简下面的问题．（结果只需化简，无需求出最后得数）2334122232+⨯⨯⨯⨯+45342⨯⨯+…+20203201920202⨯⨯．7．（1）观察下列图形与等式的关系，并填空： 第一个图形：；第二个图形：；第一个等式：9+4＝13；第二个等式：13+8＝21；第三个图形：；……；第三个等式： + ＝ ；……；（2）根据以上图形与等式的关系，请你猜出第n 个等式（用含有n 的代数式表示），并证明．8．观察以下等式：第1个等式：23-22=13＋2×1＋1； 第2个等式：33-32=23＋3×2＋22； 第3个等式：43-42=33＋4×3＋32； ……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第4个等式：__________________；（2）写出你猜想的第n 个等式（用含n 的等式表示），并证明．参考答案：1．(1)79；(2)6；(3)2554. 【解析】 【详解】【分析】（1）13层时最底层最左边这个圆圈中的数是前12层圆圈的个数和再加1； （2）首先计算圆圈的个数，从而分析出23个负数后，又有多少个正数即可得； （3）将图⊙中的所有数字加起来利用所给的公式进行计算即可得.【详解】（1）当有13层时，前12层共有：1+2+3+…+12=78个圆圈，78+1=79， 故答案为79；（2）图⊙中所有圆圈中共有1+2+3+…+13=()131312⨯+=91个数，其中23个负数，1个0，67个正数， 故答案为67；（3）图⊙中共有91个数，分别为-23，-22，-21，...，66，67， 图⊙中所有圆圈中各数的和为： -23+（-22）+...+（-1）+0+1+2+ (67)()9123672⨯-+=2002.【点睛】本题是一道找规律的题目，通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．注意连续整数相加的时候的这种简便计算方法：1+2+3+…+n=()12n n +.2．(1)22;(2)见解析;(3)25. 【解析】 【分析】（1）根据点P 到直线y=kx+b 的距离公式直接计算即可；（2）先利用点到直线的距离公式计算出圆心Q 到直线y=3x+9，然后根据切线的判定方法可判断⊙Q 与直线y=3x+9相切；（3）利用两平行线间的距离定义，在直线y=-2x+4上任意取一点，然后计算这个点到直线y=-2x-6的距离即可． 【详解】（1）因为直线y=x-1，其中k=1，b=-1， 所以点P （1，-1）到直线y=x-1的距离为：d=002211(1)(1)1222111kx y b k -+⨯--+-===++； （2）⊙Q 与直线y=3x+9的位置关系为相切．理由如下：圆心Q （0，5）到直线y=3x+9的距离为：d=230594221(3)⨯-+==+， 而⊙O 的半径r 为2，即d=r ， 所以⊙Q 与直线y=3x+9相切；（3）当x=0时，y=-2x+4=4，即点（0，4）在直线y=-2x+4， 因为点（0，4）到直线y=-2x-6的距离为：d=20-2-46102551(2)⨯-==+-（）， 因为直线y=-2x+4与y=-2x-6平行， 所以这两条直线之间的距离为25． 【点睛】本题考查了一次函数的综合题：熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征、切线的判定方法和两平行线间的距离的定义． 3．（1）266663535+=⨯；（2）211(1)(1)(2)(2)n n n n n n n n ++++=+⋅++，证明见解析.【解析】 【分析】（1）根据提供的算式写出第5个算式即可； （2）根据规律写出通项公式然后证明即可． 【详解】解：（1）根据已知规律，第5个等式为266663535+=⨯， 故应填：266663535+=⨯； （2）根据题意，第n 个等式为211(1)(1)(2)(2)n n n n n n n n ++++=+⋅++证明：左边[](1)(2)1(1)(2)1(1)(2)(1)(2)(2)(2)(2)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n ++++++++++=+==++++()222(1)21(1)(1)1(1)(2)(2)(2)n n n n n n n n n n n n n ++++++===+⋅=+++右边，⊙等式成立. 【点睛】本题考查规律探索问题，从特殊的、简单的问题推理到普通的、复杂的问题，从中归纳问题的规律，体现了逻辑推理与数学运算的核心素养．4．（1）第6个：221512327-=⨯，第n 个：()()()22232343n n n +-=+；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1仿照⊙⊙⊙写出第6和第n 个等式即可；（2）结合（1）发现的规律，并运用整式的四则混合运算证明即可． 【详解】解：（1）⊙ 52-22=3×7；⊙72-42=3×11；⊙ 92-62=3×11；…； 所以第6个等式为：152-122=3×27：所以第n 个等式为：（2n+3）2-（2n ）2=3（4n+3） （2）证明：左边=（2n+3+2n ）（2n+3-2n ） =3（4n+3） =右边所以第n 个等式正确． 【点睛】本题考查了规律型中的数字的变化类，观察数字的变化、寻找规律是解答本题的关键． 5．（1）21161187⎛⎫⨯ ⎪+⎭=⎝÷；（2）()2121111n n n ⎛⎫⨯ ⎪+⎭=⎝++÷，证明见解析【解析】 【分析】（1）根据所给等式的特点，写出第⊙个等式即可；（2）由所给等式可知：等号左边的被除数是1，括号内的两个分数的分子都是1，第一个分数的分母和序数相同，第二个分数的分母比序数大2，然后再加1，而等号右边是比序数大1的数的平方，据此可写出第n 个等式，然后根据分式的混合运算法则进行证明． 【详解】解：（1）2111123⎛⎫÷⨯+= ⎪⎝⎭21111324⎛⎫÷⨯+= ⎪⎝⎭21111435⎛⎫÷⨯+= ⎪⎝⎭21111546⎛⎫÷⨯+= ⎪⎝⎭∴第⊙个等式为：()2211681161=7⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭÷+=+；（2）由分析可猜想第n 个等式为：()2121111n n n ⎛⎫⨯ ⎪+⎭=⎝++÷， 证明：左边()()221112112n n n n n =÷+=++=+=+右边， 故等式成立． 【点睛】本题考查了数字类规律探索、分式的混合运算，根据所给式子，分析变化的部分与不变的部分，正确得出规律是解题的关键．6．56452⨯⨯；12(1)2n n n n ++⨯+⨯，12n n ⨯，11(1)2n n ++⨯；2020202010102120202⨯-⨯ 【解析】 【分析】（1）观察前3个加数即可写出第4个加数；通过前4个加数即可发现规律写出第n 个加数；（2）根据（1）中的规律进行化简即可计算．【详解】解：（1）因为第1个加数：223111221222=-⨯⨯⨯⨯；第2个加数：3234112322232=-⨯⨯⨯⨯；第3个加数：4345113423242=-⨯⨯⨯⨯；所以第4个加数：5456114524252=-⨯⨯⨯⨯总结规律：所以第n 个加数：()()1121112212n nn n n n n n +++=-⨯+⨯⨯+⨯．解决问题： 原式＝223342019202011111111...1222223232422019220202-+-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =202011220202-⨯ =2020202010102120202⨯-⨯故答案为：56452⨯⨯；12(1)2n n n n ++⨯+⨯，12n n ⨯，11(1)2n n ++⨯；2020202010102120202⨯-⨯ 【点睛】本题考查数的规律，根据已知条件找出数字规律是解题关键． 7．（1）17，12，29；（2）（4n+5）+4n ＝8n+5，证明见解析 【解析】 【分析】（1）观察图形的变化写出前两个个图形与等式的关系，进而可得第三个等式； （2）结合（1）总结规律即可得第n 个等式． 【详解】解：（1）观察图形的变化可知：第一个图形：9+4＝13，即4×1+5+4＝13＝8×1+5， 第二个图形：13+8＝21，即4×2+5+4×2＝21＝8×2+5， 第三个图形：17+12＝29，即4×3+5+4×3＝29＝8×3+5， … 发现规律：第n 个等式为：（4n+5）+4n ＝8n+5； 故答案为：17，12，29； （2）由（1）发现的规律：所以第n 个等式为：（4n+5）+4n ＝8n+5； 证明：左边＝4n+5+4n ＝8n+5＝右边． 所以等式成立． 【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律，总结规律．8．（1）3232554544-=+⨯+；（2）猜想出第n 个等式为3232(1)(1)(1)n n n n n n +-+=+++，证明见解析．【解析】 【分析】（1）根据前三个等式归纳总结出规律即可得；（2）先归纳总结出一般规律，得出第n 个等式，再利用因式分解的方法分别计算等式的两边即可得证． 【详解】（1）由前三个等式可得：第4个等式为3232554544-=+⨯+ 故答案为：3232554544-=+⨯+；（2）猜想出第n 个等式为3232(1)(1)(1)n n n n n n +-+=+++，证明如下：等式的左边[]3222(1)(1)(1)(1)1(1)n n n n n n =+-+=++-=+等式的右边()32222(1)(1)21(1)n n n n n n n n n n n n n ⎡⎤=+++=+++=++=+⎣⎦则等式的左边=等式的右边 所以等式成立． 【点睛】本题考查了因式分解的实际应用，理解题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键．。

规律探究问题【题型特征】规律探究性问题的特点是问题的结论不是直接给出,而是通过对问题的观察、分析、归纳、概括、演算、判断等一系列的探究活动,才能得到问题的结论.这类问题,因其独特的规律性和探究性,对分析问题、解决问题的能力具有很高的要求.在近几年全国各地的中考试题中,不仅频频出现规律探究题,而且“花样百出”.常见的类型有:(1)数式规律型;(2)图形变化规律型;(3)坐标变化规律型;(4)数形结合规律型等.【解题策略】解决规律探究性问题常常利用特殊值(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)进行归纳、概括,从特殊到一般,从而得出规律(符合一定的经验与事实的数学结论),然后验证或应用这一规律解题即可.解答时对分析问题、解决问题能力具有很高的要求.(1)数式规律型:数式规律涉及数的变化规律和式的变化规律,式变化规律往往包含数的变化规律.数的变化规律问题是按一定的规律排列的数之间的相互关系或大小变化规律的问题,主要是通过观察、分析、归纳、验证,然后得出一般性的结论,以列代数式为主要内容;式的变化规律通常给定一些代数式,等式或者不等式,猜想其中蕴含的规律,一般解法是先写出代数式的基本结构,然后通过横比(比较同一等式中的不同数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系),找出各部分的特征,写出符合条件的格式.(2)图形变化规律型:图形变化型问题涉及图形排列规律和变化蕴含的规律.主要是观察图形变化过程中的特点,分析其联系和区别,用相应的算式由特殊到一般描述其中的规律.这需要有敏锐的观察能力和计算能力.(3)坐标变化规律型:此类题型主要考查了点的坐标规律,培养学生观察和归纳能力,从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本类问题的关键.(4)数形结合规律型:这类问题主要考查学生综合运用代数知识和几何知识的能力,解决这类问题要求学生不仅要有很好的“数感”,还要有很强的“图形”意识.类型一数式规律型【技法梳理】对于数式规律型问题,关键是根据已知的式子或数得出前后算式或前后数之间的变化关系和规律,然后再利用这个变化规律回到问题中去解决问题.举一反三1. (2015·山东菏泽)下面是一个某种规律排列的数阵:1√2第1行√32√5√6第2行√72√23√10√112√3第3行√13√14√154√173√2√192√5第4行……根据数阵的规律,第n(n是整数,且n≥3)行从左到右数第n-2个数是(用含n的代数式表示).2. (2015·山东临沂)请你计算:(1-x)(1+x),(1-x)(1+x+x2),…,猜想(1-x)(1+x+x2+…+x n)的结果是().A. 1-x n+1B. 1+x n+1C. 1-x nD. 1+x n【小结】此类问题考查的知识点是单项式的知识.找代数式的变化规律,一般是由特殊到一般,得出一般规律.比如典例观察单项式的规律,把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积,分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键.类型二图形变化规律型典例2(2015·四川内江)如图,将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列,那么第2015个图形是.【解析】根据图象规律得出每6个数为一周期,用2015先减2再除以6,根据余数来决定第2015个图形.因为(2015-2)÷6=335……2,故第2015个图形与第2个图象相同,故答案是正方形.【全解】正方形【技法梳理】本题是一道找图形循环排列规律的题目.这类题首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的,解题时对观察能力和归纳总结能力有一定要求.举一反三3. (2015·湖北天门)将相同的矩形卡片,按如图方式摆放在一个直角上,每个矩形卡片长为2,宽为1,依此类推,摆放2015个时,实线部分长为.(1)(2)(3)(第3题)4. (2015·珠海)如图,在等腰Rt△OAA1中,∠OAA1=90°,OA=1,以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2,以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3,…,则OA4的长度为.(第4题)5. (2015·湖北十堰)根据如图中箭头的指向规律,从2013到2015再到2015,箭头的方向是以下图示中的().(第5题)【小结】 (1)图形循环类问题,只要找到所求值在第几个循环,便可找出答案,一般难度不大;(2)图形的变化规律计算问题,关键是根据题目中给出的图形,通过观察思考,归纳总结出规律,再利用规律解决问题,难度一般偏大,属于难题.类型三坐标变化规律型典例3(2015·广东梅州)如图,弹性小球从点P(0,3)出发,沿所示方向运动,每当小球碰到矩形OABC的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1,第2次碰到矩形的边时的点为P2,…,第n次碰到矩形的边时的点为P n,则点P3的坐标是;点P2 014的坐标是.【解析】如图,经过6次反弹后动点回到出发点(0,3),当点P第3次碰到矩形的边时,点P的坐标为(8,3),∵2015÷6=335……4,∴当点P第2015次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹.点P的坐标为(5,0).故答案为(8,3),(5,0).【全解】 (8,3)(5,0)【技法梳理】根据反射角与入射角的定义作出图形,可知每6次反弹为一个循环组依次循环,用2015除以6,根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可.举一反三6. (2015·湖北荆门)如图,在第1个△A1BC中,∠B=30°,A1B=CB;在边A1B上任取一点D,延长CA1到A2,使A1A2=A1D,得到第2个△A1A2D;在边A2D上任取一点E,延长A1A2到A3,使A2A3=A2E,得到第3个△A2A3E,…按此做法继续下去,则第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是().(第6题)7. (2015·山东潍坊)如图,已知正方形ABCD,顶点A(1,3),B(1,1),C(3,1).规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次变换,如此这样,连续经过2015次变换后,正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为().(第7题)A. (-2012,2)B. (-2012,-2)C. (-2013,-2)D. (-2013,2)【小结】此类题型主要考查点的坐标变化规律,解决此类问题的关键是从点的变化中发现横坐标、纵坐标的变化规律.类型四数形结合规律型典例4(2015·山东泰安)如图,在平面直角坐标系中,将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置,点B,O分别落在点B1,C1处,点B1在x轴上,再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置,点C2在x轴上,将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置,点A2在x轴上,依次进行下去…….若点,B(0,4),则点B2015的横坐标为.故答案为10070.【全解】10070【技法梳理】首先利用勾股定理得出AB的长,进而得出三角形的周长,进而求出B2,B4的横坐标,进而得出变化规律,即可得出答案.举一反三8. (2015·四川内江)如图,已知A1,A2,A3,…,A n,A n+1是x轴上的点,且OA1=A1A2=A2A3=…=A n A n+1=1,分别过点A1,A2,A3,…,A n,A n+1作x轴的垂线交直线y=2x于点B1,B2,B3,…,B n,B n+1,连接A1B2,B1A2,B2A3,…,A n B n+1,B n A n+1,依次相交于点P1,P2,P3,…,P n.△A1B1P1,△A2B2P2,△A nB n P n的面积依次记为S1,S2,S3,…,S n,则S n为().(第8题)9. (2015·山东威海)如图,在平面直角坐标系xOy中,Rt△OA1C1,Rt△OA2C2,Rt△OA3C3,Rt△OA4C4…的斜边都在坐标轴上,∠A1OC1=∠A2OC2=∠A3OC3=∠A4OC4=…=30°.若点A1的坐标为(3,0),OA1=OC2,OA2=OC3,OA3=OC4…,则依此规律,点A2015的纵坐标为().(第9题)【小结】此类题主要考查坐标的变化规律.解决此类问题的关键是利用数形结合的思想发现运动的规律.综合其用勾股定理等知识点解出相应的问题.类型一1. (2015·山东烟台)将一组数√3,√6,3,2√3,√15,…,3√10,按下面的方式进行排列:√3,√6,3,2√3,√15;3√2,√21,2√6,3√3,√30;……若2√3的位置记为(1,4),2√6的位置记为(2,3),则这组数中最大的有理数的位置记为().A. (5,2)B. (5,3)C. (6,2)D. (6,5)2. (2015·湖北咸宁)观察分析下列数据:0,-√3,√6,-3,2√3,-√15,3√2,…,根据数据排列的规律得到第16个数据应是.(结果需化简)3. (2015·贵州铜仁)一列数:0,-1,3,-6,10,-15,21,…,按此规律第n个数为.4. (2015·甘肃白银)观察下列各式:13=12,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,……猜想13+23+33+…+103=.类型二5. (2015·湖北武汉)观察下列一组图形中点的个数,其中第1个图中共有4个点,第2个图中共有10个点,第3个图中共有19个点…按此规律第5个图中共有点的个数是().(第5题)A. 31B. 46C. 51D. 666. (2015·湖南娄底)如图是一组有规律的图案,第1个图案由4个▲组成,第2个图案由7个▲组成,第3个图案由10个▲组成,第4个图案由13个▲组成,…,则第n(n为正整数)个图案由个▲组成.(第6题)7. (2015·广东深圳)如图,下列图形是将正三角形按一定规律排列,则第5个图形中所有正三角形的个数有.…(第7题)类型三8. (2015·湖南邵阳)如图,A点的初始位置位于数轴上的原点,现对A点做如下移动:第1次从原点向右移动1个单位长度至B点,第2次从B点向左移动3个单位长度至C点,第3次从C点向右移动6个单位长度至D点,第4次从D点向左移动9个单位长度至E 点,…,依此类推,这样至少移动次后该点到原点的距离不小于41.(第8题)9. (2015·甘肃天水)如图,一段抛物线y=-x(x-1)(0≤x≤1)记为m1,它与x轴交点为O,A1,顶点为P1;将m1绕点A1旋转180°得m2,交x轴于点A2,顶点为P2;将m2绕点A2旋转180°得m3,交x轴于点A3,顶点为P3,…,如此进行下去,直至得m10,顶点为P10,则P10的坐标为().(第9题)类型四10. (2015·四川遂宁)已知:如图,在△ABC中,点A1,B1,C1分别是BC,AC,AB的中点,A2,B2,C2分别是B1C1,A1C1,A1B1的中点,依此类推….若△ABC的周长为1,则△A n B n C n的周长为.(1)(2)(3)(第10题)11. (2015·江苏淮安)如图,顺次连接边长为1的正方形ABCD四边的中点,得到四边形A1B1C1D1,然后顺次连接四边形A1B1C1D1的中点,得到四边形A2B2C2D2,再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点,得到四边形A3B3C3D3,…,按此方法得到的四边形A8B8C8D8的周长为.(第11题)12. (2015·广东佛山)(1)证明三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半;[要求根据图(1)写出已知、求证、证明;在证明过程中,至少有两处写出推理依据(“已知”除外)](2)如图(2),在▱ABCD中,对角线焦点为O,A1,B1,C1,D1分别是OA,OB,OC,OD的中点,A2,B2,C2,D2分别是OA1,OB1,OC1,OD1的中点,…,以此类推.若▱ABCD的周长为1,直接用算式表示各四边形的周长之和l;(3)借助图形(3)反映的规律,猜猜l可能是多少?(1)(2)(3) (第12题)参考答案【真题精讲】2. A解析:(1-x)(1+x)=1-x2,(1-x)(1+x+x2)=1+x+x2-x-x2-x3=1-x3,…,依此类推(1-x)(1+x+x2+…+x n)=1-x n+1.3.方法一:由图形可得出:摆放一个矩形实线长为3,摆放2个矩形实线长为5,摆放3个矩形实线长为8,摆放4个矩形实线长为10,摆放5个矩形实线长为13,即第偶数个矩形实线部分在前一个的基础上加2,第奇数个矩形实线部分在前一个的基础上加3,∵摆放2015个时,相等于在第1个的基础上加1007个2,1006个3,∴摆放2015个时,实线部分长为3+10072+10063=5035.故答案为5035.方法二:第①个图实线部分长 3,第②个图实线部分长 3+2,第③个图实线部分长 3+2+3,第④个图实线部分长 3+2+3+2,第⑤个图实线部分长 3+2+3+2+3,第⑥个图实线部分长 3+2+3+2+3+2,……从上述规律可以看到,对于第n个图形,当n为奇数时,第n个图形实线部分长度为4. 8解析:∵△OAA1为等腰直角三角形,OA=1,∴AA1=OA=1,OA1=√2OA=√2.∵△OA1A2为等腰直角三角形,∴A1A2=OA1=√2,OA2=√2OA1=2.∵△OA2A3为等腰直角三角形,∴A2A3=OA2=2,OA3=√2OA2=2√2.∵△OA3A4为等腰直角三角形,∴A3A4=OA3=2√2,OA4=√2OA3=4.故答案为4.5. D解析:由图可知,每4个数为一个循环组依次循环, 2013÷4=503……1,∴2013是第504个循环组的第2个数.∴从2013到2015再到2015,箭头的方向是.故选D.7. A解析:∵正方形ABCD,点A(1,3),B(1,1),C(3,1),∴M的坐标变为(2,2).∴根据题意得,第1次变换后的点M的对应点的坐标为(2-1,-2),即(1,-2),第2次变换后的点M的对应点的坐标为(2-2,2),即(0,2),第3次变换后的点M的对应点的坐标为(2-3,-2),即(-1,-2),第2015次变换后的点M的对应点的坐标为(2-2015,2),即(-2012,2).故答案为A.8. D解析:本题根据一次函数函数图象上点的坐标性质得出B点坐标变化规律进而得出图形面积变化规律是解题关键.根据图象上点的坐标性质得出点B1,B2,B3,…,B n,B n+1各点坐标,进而利用相似三角形的判定与性质得出S1,S2,S3,…,S n,进而得出答案9. D解析:∵∠A2OC2=30°,OA1=OC2=3,【课后精练】1. C2.-3√54. 552解析:本题的规律为:从1开始,连续n个数的立方和=(1+2+3+…+n)2.5. B6. 3n+17. 485解析:本题考查图形的变化规律.由图可以看出:第一个图形中5个正三角形,第二个图形中53+2=17个正三角形,第三个图形中173+2=53个正三角形,由此得出第四个图形中533+2=161个正三角形,第五个图形中1613+2=485个正三角形.8. 289. (9.5,-0.25)12. (1)已知:在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点, 证明:如图,延长DE至F,使EF=DE,(第12题)∵E是AC的中点,∴AE=CE.在△ADE和△CFE中,∴△ADE≌△CFE(SAS).∴AD=CF(全等三角形对应边相等),∠A=∠ECF(全等三角形对应角相等).∴AD∥CF.∵点D是AB的中点,∴AD=BD.∴BD=CF且BD∥CF.∴四边形BCFD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).∴DF∥BC且DF=BC(平行四边形的对边平行且相等).。

热点专题11 规律探究问题数学中的所谓归纳，是指从许多个别的事物中概括出一般性概念、原则或结论的思维方法。

探索规律性问题就是根据新课程标准“创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。

学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。

创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终”的要求，近年中考数学经常出现的考题.归纳规律题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律。

它体现了“特殊到一般（再到特殊）”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力.结合2019年全国各地中考的实例，我们从下面八方面探讨归纳规律性问题的解法：（1）根据数的排列或运算规律归纳；（2）根据式的排列或运算规律归纳；（3）根据图的变化规律归纳；（4）根据寻找的循环规律归纳；（5）根据代数式拆分规律归纳；（6）根据一阶递推规律归纳；（7）根据二阶递推规律归纳；（8）根据乘方规律归纳.考向1 数字类规律探究型问题1. (海南)有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两个数的和，如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是______，这2019个数的和是______.【答案】0，2【解析】根据题目的规则，0，1，1，0，－1，－1，0，1，1，0，－1，－1，……，每6个数是一个循环单位，∴前6个数的和是0，2019÷6=336…3，∴这2019个数的和=0+1+1=2.2.（黄石）将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵147101316192225283134374043则第20行第19个数是_____________________． 【答案】625【解析】由图可得，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，…，则前20行的数字有：1+2+3+…+19+20=210个数，∴第20行第20个数是：1+3（210﹣1）=628，∴第20行第19个数是：628﹣3=625．3. (武威）已知一列数a ，b ，a b +，2a b +，23a b +，35a b +，⋯⋯，按照这个规律写下去，第9个数是 ． 【答案】1321a b +【解析】 由题意知第7个数是58a b +，第8个数是813a b +，第9个数是1321a b +，故答案为1321a b +． 4. (云南）按一定规律排列的单项式：x 3，－x 5，x 7，－x 9，x 11，……第n 个单项式是（ ） A.（－1）n －1x 2n －1 B.（－1）n x 2n －1 C.（－1）n －1x 2n ＋1 D.（－1）n x 2n ＋1【答案】C【解析】本题考查了通过探究规律性列代数式的能力，∵x 3=（﹣1）1﹣1x 2×1+1，﹣x 5=（﹣1）2﹣1x 2×2+1，x 7=（﹣1）3﹣1x 2×3+1，﹣x 9=（﹣1）4﹣1x 2×4+1，x 11=（﹣1）5﹣1x 2×5+1，…… 由上可知，第n 个单项式是：（﹣1）n ﹣1x 2n+1，因此本题选C ．5. (聊城) 数轴上O ，A 两点的距离为4，一动点P 从点A 出发，按以下规律跳动:第1次跳动到AO 的中点A 1处，第2次从A 1点跳动到A 1O 的中点A2处，第3次从A 2点跳动到A 2O 的中点A 3处，按照这样的规律继续跳动到点A 4，A 5，A 6，…，A n (n≥3，n 是整数)处，那么线段A n A 的长度为________(n≥3，n 是整数).【答案】4－221-n【解析】∵AO=4，∴OA 1=2，OA 2=1，OA 3=12，OA 4=212，可推测OA n =221-n ，∴A n A=AO －OA n =4－221-n . 6．(安顺）将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第7列的数是 ．【答案】2019【解析】观察图表可知：第n 行第一个数是n 2，∴第45行第一个数是2025，∴第45行、第7列的数是2025﹣6=2019，故答案为2019．7. (永州）我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上数之和；图二是二项和的乘方(a ＋b)n 的展开式(按b 的升幂排列)．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将(s ＋x)15的展开式按x 的升幂排列得：(s ＋x)15=a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 15x 15．依上述规律，解决下列问题： (1)若s=1，则a 2= ．(2)若s=2，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 15= ．【答案】(1)105 (2)315【解析】(1)当s=1时， (1＋x)1=1＋x(1＋x)2=1＋2x ＋x 2 a 2=1(1＋x)3=1＋3x ＋3x 2＋x 3 a 2=3=1＋2 (1＋x)4=1＋4x ＋6x 2＋4x 3＋x4a 2=6=1＋2＋3(1＋x)5=1＋5x ＋10x 2＋10x 3＋5x 4＋x 5 a 2=10=1＋2＋3＋4(1＋x)6=1＋6x ＋15x 2＋20x 3＋15x 4＋6x 5＋x 6 a 2=15=1＋2＋3＋4＋5 当n=15时，a 2=1＋2＋3＋4＋ (14)21×(1＋14)×14=105．(2)若s=2，令x=1，则(2＋1)15= a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 15，即a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 15=315． 考向2 几何图形类规律探究型问题1．(毕节）下面摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2019个图案中箭头的指向是（ ）A ．上方B ．右方C ．下方D ．左方【答案】C【解析】如图所示：每旋转4次一周，2019÷4=504…3，则第2019个图案中箭头的指向与第3个图案方向一致，箭头的指向是下方．故选C ．2.(天水）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有 个〇．【答案】6058【解析】 由图可得，第1个图象中〇的个数为：1+3×1=4，第2个图象中〇的个数为：1+3×2=7，第3个图象中〇的个数为：1+3×3=10， 第4个图象中〇的个数为：1+3×4=13，……∴第2019个图形中共有：1+3×2019=1+6057=6058个〇，故答案为：6058．3. (甘肃）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n 幅图中有2019个菱形，则n =__________．【答案】1010【解析】解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个． 第2幅图中有2213⨯-=个．第3幅图中有2315⨯-=个．第4幅图中有2417⨯-=个．⋯．可以发现，每个图形都比前一个图形多2个． 故第n 幅图中共有(21)n -个．当图中有2019个菱形时，212019n -=，1010n =，故答案为1010．4. (大庆)归纳"T"字形，用棋子摆成的"T"字形如图所示，按照图①，图②的规律摆下去，摆成第n 个"T"字形需要的棋子个数为______. 【答案】3n+2【解析】第1个图形有5个棋子，第2个图形有8个棋子，第3个图形有11个棋子，所以第n 个图形有(3n+2)个棋子5. (龙东地区）如图，四边形OAA 1B 1是边长为1的正方形，以对角线OA 1为边作第二个正方形OA 1A 2B 2，连接AA 2，得到△AA 1A 2；再以对角线OA 2为边作第三个正方形OA 2A 3B 3，连接A 1A 3，得到△A 1A 2A 3，再以对角线OA 3为边作第三个正方形OA 3A 4B 4，连接A 2A 4，得到△A 2A 3A 4，…，记△AA 1A 2，△A 1A 2A 3，△A 2A 3A 4…的面积分别为S 1，S 2，S 3…，如此下去，则S 2019=________．【答案】22017.【解析】△AA 1A 2中，AA 1=1，AA 1边上的高是1，它的面积S 1=12×1×1； △A 1A 2A 3中，A 1A 2A 1A 2边上的高是S 2=12△A 2A 3A 4中，A 2A 3A 2A 3边上的高是S 3=12…如此下去，△A 2018A 2019A 2020中，A 2018A 2019=201822222⨯⨯⨯⨯个相乘…=2018，A 2018A 2019边上的高是2018，它的面积S 2019=12×2018×2018=22017. 6. （扬州）如图，在ABC ∆中，5AB =，4AC =，若进行以下操作，在边BC 上从左到右依次取点1D 、2D 、3D 、4D 、⋯；过点1D 作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点1E 、1F ；过点1D 作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点2E 、2F ；过点3D 作AB 、AC 的平行线分别交AC 、AB 于点3E 、3F ⋯，则A 4AA 11122201920191122201920194()5()D E D E D E D F D F D F ++⋯++++⋯+=__________．【答案】40380【解析】11//D F AC ，11//D E AB ，∴111D F BF AC AB =，即1111D F AB DE AC AB-=， 5AB =，4BC =，11114520D E D F ∴+=，同理22224520D E D F +=，⋯，20192019201920194520D E D F +=，1122201920191122201920194()5()20201940380D E D E D E D F D F D F ∴++⋯++++⋯+=⨯=；故答案为40380．考向3 点的坐标变化的规律探究型问题1.（河南）如图，在△OAB 中，顶点O （0，0），A （－3，4），B （3，4）.将△OAB 与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D 的坐标为（ ） A. （10，3） B. （－3，10） C. （10，－3） D. （3，－10）【答案】D【解题】延长DA 交x 轴于点M ∵A （-3，4），B （3，4），∴AB=6，AB ∥x 轴， ∵四边形ABCD 为正方形，∴AD=AB=6，∠DAB=90°，∴∠DM0=∠DAB=90°， 连结OD ，Rt △DMO 中，MO=3 DM=10 则D 点的坐标为（-3，10）将△OAB 和正方形ABCD 绕点O 每次顺时针旋转90°，Rt △DMO 也同步绕点O 每次顺时针旋转90° 当图形绕点O 顺时针第一次旋转90°后， D 点的坐标为（10，3）， 当图形绕点O 顺时针第二次旋转90°后， D 点的坐标为（3，-10）， 当图形绕点O 顺时针第三次旋转90°后， D 点的坐标为（-10，-3），当图形绕点O 顺时针第四次旋转90°后， D 点的坐标为（-3，10）， 当图形绕点O 顺时针第五次旋转90°后， D 点的坐标为（10，3）， ······每四次为一个循环，∵70÷4=17···2，∴旋转70次后，D 点的坐标为（3，-10）， 故选D.2.(菏泽）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O 出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点A 1，第二次移动到点A 2……第n 次移动到点A n ，则点A 2019的坐标是（ ）A ．（1010，0）B ．（1010，1）C ．（1009，0）D ．（1009，1）【答案】C【解析】A 1（0，1），A 2（1，1），A 3（1，0），A 4（2，0），A 5（2，1），A 6（3，1），…， 2019÷4=504…3，所以A 2019的坐标为（504×2+1，0）， 则A 2019的坐标是（1009，0），故选C ．3. （广安）如图，在平面直角坐标系中，点1A 的坐标为(1,0)，以1OA 为直角边作Rt △12OA A ，并使1260AOA ∠=︒，再以2OA 为直角边作Rt △23OA A ，并使2360A OA ∠=︒，再以3OA 为直角边作Rt △34OA A ，并使3460A OA ∠=︒⋯按此规律进行下去，则点2019A 的坐标为__________．【答案】2017(2-，2．【解析】由题意得，1A 的坐标为(1,0)，2A 的坐标为，3A 的坐标为(2-，，4A 的坐标为(8,0)-，5A 的坐标为(8,--，6A 的坐标为(16,-，7A 的坐标为(64,0)，⋯由上可知，A 点的方位是每6个循环，与第一点方位相同的点在x 正半轴上，其横坐标为12n -，其纵坐标为0，与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为22n -，纵坐标为2n -，与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为22n --，纵坐标为2n -， 与第四点方位相同的点在x 负半轴上，其横坐标为12n --，纵坐标为0，与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为22n --，纵坐标为2n --与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为22n -，纵坐标为2n --201963363÷=⋯，∴点2019A 的方位与点23A 的方位相同，在第二象限内，其横坐标为2201722n --=-，纵坐标为2，故答案为：2017(2-，2．4. (东营)如图，在平面直角坐标系中，函数x y 33=和x y 3-=的图象分别为直线1l ，2l ，过1l 上的点A 1（1，33）作x 轴的垂线交2l 于点A 2，过点A 2作y 轴的垂线交1l 于点A 3，过点A 3作x 轴的垂线交2l 于点A 4…，一次进行下去，则点2019A 的横坐标为 .【答案】：-31009【解析】：本题考查坐标里的点规律探究题，观察发现规律： A 1（1，33），A 2（1，3-）， A 3（-3，3-），A 4（-3，33）， A 5（9，33），A 6（9，39-）， A 7（-27，39-），……A2n+1[(-3)n，3×(-3)n]（n为自然数），2019=1009×2+1，所以A2019的横坐标为：(-3)1009=-31009.5. (本溪）如图，点B1在直线l：12y x=上，点B1的横坐标为2，过点B1作B1A1⊥l，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3，延长B4C3交x轴于点A4；…；按照这个规律进行下去，点C n的横坐标为【答案】1 7322n-⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭.【解题过程】如图，过B1、C1点分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，∵点B1在直线l：12y x=上，且点B1的横坐标为2，∴B1（2，1），∴B1M=1，OM=2，∴A1M=12.∵四边形A1C1B2B1是正方形，∴△A1B1M≌△C1A1N，∴A1N=1，∴C1的横坐标为2+1+12=2+32，在Rt△A1MB1中A1B1=，∴OB2=2，∴B2的坐标为（3，32）同理可得C2的横坐标为3+32×32，B3（92，94），C3的横坐标为92+94×32，…B n（2×132n-⎛⎫⎪⎝⎭，132n-⎛⎫⎪⎝⎭），C n 的横坐标为2×132n -⎛⎫ ⎪⎝⎭+132n -⎛⎫ ⎪⎝⎭×32=17322n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，故答案为17322n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭.6. (齐齐哈尔） 如图，直线l ：y=133+x 分别交x 轴、y 轴于点A 和点A 1，过点A 1作A 1B 1⊥l ，交x 轴于点B 1，过点B 1作B 1A 2⊥x 轴，交直线L 于点A 2；过点A 2作A 2B 2⊥l ，交x 轴于点B 2，过点B 2作B 2A 3⊥x 轴，交直线L 于点A 3；依此规律...若图中阴影△A 1OB 1的面积为S 1，阴影△A 2B 1B 2的面积S 2，阴影△A 3B 2B 3的面积S 3...，则Sn=__________．【答案】191663-n ）（ 【解析】由题意知OA=1，则OB 1=33，∴S 1=63； ∴A 2(33，34)，∴A 2B 1=34，B 1B 2=394，∴S 2=63916⨯； ∴A 3(937，916)，∴A 2B 1=916，B 1B 2=32716，∴S 2=632916）（⨯；...∴Sn=191663-n ）（。