高三第一轮复习数学---曲线方程
一、教学目标：了解解析几何的基本思想，了解坐标法研究几何问题的方法；掌握用定
义法和直接法求曲线的方程的方法和步骤。
二、教学重点：注意动点应满足的某些隐含条件；2、注意方程化简时的等价性，主要是
在去分母和两边平方时的变形。3、注意图形可能的不同位置或字母系数取不同值的讨论。
三、教学过程：
（一）主要知识：
1、 曲线方程的意义：正如一个关于y x ,的一元二次方程0=++c By Ax 一定表示一条直
线，一条直线必定可以用个关于y x ,的一元二次方程0=++c By Ax 表示一样，直角
坐标系内的曲线可以用一个关于y x ,的二元方程()0,=y x f 来表示，一个关于y x ,的二
元方程()0,=y x f 表示着坐标平面内的一条曲线。而函数()x f y =亦为方程
()0=-y x f 是()0,=y x f 的特殊形式。
2、 方程()0,=y x f 恰为曲线C 的方程即曲线C 恰为方程()0,=y x f 的曲线的充要条件为：
（1） 曲线C 上的点的坐标都是方程()0,=y x f 的解；否则曲线C 比比方程()0,=y x f 所
表示的曲线多点（纯粹性）
且（2）以方程()0,=y x f 的解为坐标的点都在曲线C 上；否则曲线C 比方程()0
,=y x f 所表示的曲线少点（完备性）
即曲线C=()(){}0,|,=y x f y x
3、 已知曲线求方程：求动点的轨迹方程， 文字语言的几何条件
数学符号语言的等式
数学符号语言中含动点坐标，的代数方程简化了的，的代数方程最后除掉多余的点（加上遗漏的点）。
4、 已知曲线方程求曲线：要做到不多不少刚刚好。
5、 曲线()0,:1=y x f C 与曲线()0,:2=y x g C 的交点坐标为：方程组()()⎩
⎨
⎧==0,0,y x g y x f 的解（特别注意大括号的意义为交点坐标）
（二）例题分析：
（一）曲线方程的意义： 例1：（1）如果命题“坐标满足方程
的点都在曲线上”不正确，那么以下正确
的命题是
（A ）曲线上的点的坐标都满足方程
． （B ）坐标满足方程的点有些在上，有些不在
上． （C ）坐标满足方程的点都不在曲线上．
（D ）一定有不在曲线上的点，其坐标满足方程
． 分析：举例，若方程为
，曲线为第一、三象限角平分线，易知答案为D ． （2）求曲线分别关于①直线2=x ②3-=y ③点()3,2-④直线
03=+-y x 对称的曲线方程．
解：①0821022=++-+y x y x ；②04812222=++-+y x y x ；
③056121022=++-+y x y x ；④062422=++++y x y x
（二）已知曲线方程求曲线：
例2 （1）()0112=--++y x x 表示什么曲线？
（2）方程()011=--+x y x 表示什么曲线？
解：（1）原方程等价于：⇒=--++011y x x 当1≥x 时为2=y x ；当1-≤x 时为
x y 2-=；当11<<-x 时为2=y （画图）
（2）原方程等价于：⎩⎨⎧=-+≥-0101y x x 或⎩⎨⎧=-≥-0
101x x 即：()101≥=-+x y x 或1=x
所以表示直线1=x 和射线()101≥=-+x y x （画图0
点评：这多条图形为曲线C ；
思考：()04122=-+-+y x y x 表示什么曲线？（曲线C 为圆：42
2=+y x 和直线1-+y x 在此圆外面部份）
（三）已知曲线求方程：求动点的轨迹方程：
例3 过定点()b a A ,任作互相垂直的两直线1l 与2l ，且1l 与x 轴交于点M ，2l 与y 轴交于
点N ，求线段MN 的中点P 的轨迹方程。
解：法一（直译法）由21l l ⊥，()()2222
224422y x b a x b y a +=+-+-+ 化简得：0222
2=--+b a by ax 法二（代入法）设()()11,0,0,y N x M ，()y x P ,，则⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x y y x x 222
21
111① 因为21l l ⊥，所以()()2121221212y x b a x b y a +=+-+-+②
由①代入②可得：()()2222
224422y x b a x b y a +=+-+-+ 例4 （2000年春季高考）已知抛物线(),042>=p px y O 为顶点，A ，B 为抛物线上的
两动点，且满足OB OA ⊥，如果AB OM ⊥于点
M ，求点M 的轨迹方程。
解：（参数法）设OA 的方程为()0≠=k kx y ，点M 的坐
标为()y x ,()0≠x ，则OB 的方程为.1x k
y -= 由⎩⎨⎧==kx y px y 42得,4,42⎪⎭⎫ ⎝⎛k p k p A 由⎪⎩⎪⎨⎧-==x k y px y 142得(),4,42pk pk B -21k k k AB -=∴则k
k k OM 21--=∴ 所以，x k k y l k
kp x k k y l OM AB 2221:,141:--=---=，消去参数得轨迹方程为()()042222≠=+-x p y p x
即所求轨迹是以点()0,2p 为圆心，p 2长为半径的圆除去原点()0,0O 。
点评：直译法、代入法和参数法是求轨迹方程的三大基本方法。
（四）曲线的交点：
例5、已知曲线1C ()0,=y x F ，点()1,C b a P ∉，曲线2C ()()()00,,≠=+λλb a F y x F ，求21,C C 的交点个数。
