必修四平面向量知识点梳理.ppt

|a|cosθ=
ab |b|
2 (4) 3 7 13 65 .
(4)2 72
65 5
例
15．已知
a
b
1，且
ab
( 3 , 5
4) 5
求：① a 与 b 的夹角θ；② a b
a
b
(
3
,
4)
a b
1
解：
即（a
b）2＝5 a52
2a
b
b 2＝1
a
b＝
1
2
cos
a
OP (1 t)OA tOB.
说明：(1) 本题是个重要题型：设O为 平面上任一点，则：
A、P、B三点共线 OP (1 t)OA tOB.
或令 = 1 t， = t，则
A、P、B三点共线 OP OA OB.
(其中 + = 1)
(2) 当t =
1 时，
2
OP 1 (OA OB) 常称
(
7 2
,
3) 2
例13、已知△ABC中，A(2,4),B(-1,-2), C(4,3),BC边上的高为AD。 （1）求证：AB⊥AC； （2）求点D和向量AD的坐标； （3）求证：AD2=BD·DC
解：（1）A(2,4) B(-1,-2) C(4,3) AB=(-3,-6) AC=(2,-1) AB·AC=(-3)×2+(-6)×(-1)=0 AB⊥AC
例8． 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐 标分别为（－2，1）、（ －1，3）、（3，4），求 顶点D的坐标．
解：设顶点D的坐标为（x，y） AB (1 （ 2），3 1）（1，2）
DC (3 x,4 y)
由AB DC，得
(1,2) (3 x,4 y)
2 1
3 4
BA BC __C__A__; BC CA __B_A___; OD OA __A_D___;
OA OB __B_A___ .
C
O
D b
`
120o
a
B
A
解：以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD，
由于 | AD || AB | 3，故此四边形为菱形
由向量的加减法知
AC 故|
a AC
（3）已知a (3,0),b (k,5)，且a与b的夹角为3 ，
4 求k的值.
例 12、以原点 O 和 A（5，2）为两个顶点作等腰直角三角形 OAB，∠B=90°，求点 B 和 AB 的坐标。
解：设点 B 的坐标为（x,y），
则 OB (x, y), AB (x 5, y 2)
OB AB
a b，当a，b反向时
2
(3)a a a , a a a x12 y12
4cos a b x1x2 y1 y2
ab
x12 y12
x22
y
2 2
(a, b是两个非零向量)
5a b a b
例1. 证明对任意a、b有：a b a b a b
证明: (1)若a，b有一个为0,结论显然成立。
B
(2)若a，b都不为0,作OA a, AB b,则OB a b
① 当a，b不共线时，由三角形一边小于 其 他 两 边 之 和 ， 大 于 其他 两 边 之 差 ，O
b aA
OA AB OB OA AB a b a b a b
②若a，b同向，则OB OA AB 若a，b反向，则OB OA AB
（3）AD=(
3 2
,-
3 2
)
BD=(
9 2
,
9 2
)
D|ACD=|2(=12
,
9
4
1 2
)
+
9 4
=
9 2
BD·DC=
9 4
+
9 4
=
9 2
∴AD 2=BD·DC
例14.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b上的投影为（ C ）
A. 13 B. 13 5
C. 65 D. 65 5
解析 设a和b的夹角为θ，
∴x（x-5）+y（y-2）=0
即 x2+y2 – 5x – 2y=0
①
又 OB AB
∴x2+y2=（x-5）2+（y-2）2 即 10x+4y=29 ②
由①、②解得：
x1
y1
7 2
3 2
或x2
y
2
3 2 7 2
∴点
B
的坐标为(
7 2
,
3) 2
或(
3 2
,
7) 2
AB
(
3 2
,
7) 2
或
AB
B
a b x1x2 y1 y2
θ
4、运算律: （1） ab ba O
B
A
（2）（ a）b （a b） a（ b）1
（3）（a b）c ac b c
5、数量积的主要性质及其坐标表示：
1a b a b 0 x1x2 y1y2 0
2.当a
//
b时，a
b
a
b，当a，b同向时
x y
x y
2 2
顶点D的坐标为（2，2）
例9. 已知A(－2，1)，B(1，3)，求线段AB中 点M和三等分点坐标P，Q的坐标 .
解：(1) 求中点M的坐标，由中点公式可知 M(－ 1 ，2)
2
(2) 因为 AB OB OA =(1，3)－(－2，1) =(3，2)
OP OA 1 AB 3
一、平面向量概念
1.向量的加法运算 三角形法则
平行四边形法则
CB
C
AB+BC= AC
OA+OB= OC
A
BO
A
重要结论：AB+BC+CA= 0
坐标运算: 设 a = (x1, y1), b = (x2, y2)
则a + b = ( x1 + x2 , y1 + y2 )
一、平面向量概念
2.向量的减法运算
若 A(x1,y1), B(x2,y2) 则 AB = (x2 － x1 , y2 － y1)
一、平面向量概念
向量的模（长度） 1. 设 a = ( x , y ), 则
x2 y2
2. 若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别 为A(x1,y1)、B (x2,y2) ，则
x1 x2 2 y1 y2 2
b
ab
1 2
[0 ,180 ] 120
a
b
2
a
2
2a
b
b2
3
ab
3
2
2
2
2
2
解：∵ a 2e1 e2 2e1 e2 4e1 4e1e 2 e 2
4
e1
2
e2
2
4
e1
e2
cos 60
41 411
1 2
1
7
∴ a 7 同理可得 b 7
ab
2e1 e2
2
为△OAB的中线公式(向量式)．
例5. 设AB=2(a+5b)，BC= 2a + 8b，CD=3(a b)， 求证：A、B、D 三点共线。
分析 要证A、B、D三点共线，可证 AB=λBD关键是找到λ
解： ∵BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b
∴AB=2 BD
AB∥ BD
且AB与BD有公共点B
∴ A、B、D 三点共线
例6.设非零向量a, b不共线，c ka b, d a kb (k R), 若c // d,试求 k.
解：∵ ∴由向量共线的充要条件得：
即
又∵ 不共线 ∴由平面向量的基本定理
例7.已知向量a 1, 2,b x,1,分别求出当
a 2b与2a b平行和垂直时实数x的值.
重要概念：
（1）零向量： 长度为0的向量，记作0. （2）单位向量：长度为1个单位长度的向量. （3）平行向量：也叫共线向量，方向相同或相反
的非零向量. （4）相等向量：长度相等且方向相同的向量. （5）相反向量：长度相等且方向相反的向量.
一、平面向量概念
向 量 几何表示 : 有向线段 的 字母表示 表 示 坐标表示 : (x，y)
= (λ x , λ y)
一、平面向量概念
定理1:两个非零向量 平行 (方向相同或相反)
存在唯一实数，使得
结论: 设
表示与非零向量
a
同向的单位向量.
则
二、平面向量之间关系
向量平行(共线)充要条件的两种形式:
(1)a // b(b 0) a b;
(2)a // b(a (x1, y1),b (x2, y2 ),b 0) x1 y2 x2 y1 0
知 识
向量的概念
零向量、单位向量、 共线向量、相等向量
解决
网
图形
络
平 面
加法、减法
向量平行的充要条件
的平 行和 比例
向 量
数乘向量
平面向量基本定理
问题 的
初
向 量
坐标表示
两向量的夹角公式
解决 步 图形 应
的垂 用
两向量数量积
向量垂直的充要条件 直和 角度,
两点的距离公式
长度 问题
一、平面向量概念
向量定义：既有大小又有方向的量叫向量。
(2,1) 1 (3, 2) 3
(1, 5) 3
OQ OA 2 AB 3
(2,1) 2 (3, 2) 3
(0, 7) 3
例10.设A(2, 3)，B(5, 4)，C(7, 10) 满足
AP AB AC
(1) λ为何值时,点P在直线y=x上? (2)设点P在第三象限, 求λ的范围.
向量，那么对于这一平面内的任一向
量a，有且只有一对实数1, 2 ,使
a 1e1 2 e2
(四) 数量积
1、平面向量数量积的定义：a b | a | | b | cos
2、数量积的几何意义： 等于 a 的长度 | a | 与 b 在 a 方向上的投影 | b | cos 的乘积.
3、数量积的坐标运算
（2）D(x,y)
AD=(x-2,y-4) BC=(5,5)
BD=(x+1,y+2) AD⊥BC
∴AD·BC=0
5(x-2)+5(y-4)=0 又B、D、C共线
∴5×(x+1)-5(y+2)=0
x+y-6=0 x-y-1=0
x=
7 2
y=
5 2
AD=(
3 2
,-
3 2
)
D(
7 2
,
52)
例13、已知△ABC中，A(2,4),B(-1,-2), C(4,3),BC边上的高为AD。 （1）求证：AB⊥AC； （2）求点D和向量AD的坐标； （3）求证：AD2=BD·DC
cos a b
2
3e172e2
2
6e1
1
e1e 2
2
e2
2
7 2
a b 7 7 2
∴θ=120°
[解] [答案] C
例18(06陕西)已知非零向量 AB与 AC满足
(
AB AB
+
AC AC
) BC=0且
b，DB || a b
ab |，| DB ||
a
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b
|
D
因为DAB 120O，所以DAC 60O b
C
O
12`0o
a
B
A
所以ADC是正三角形，则 | AC | 3
由于菱形对角线互相垂直平分,所以AOD是直角三角形，
| OD || AD | sin 60o 3 3 3 3
所以
|
a
B
1）减法法则： OA－OB = BA
2）坐标运算:
O
A
若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 ) 则a － b= (x1 － x2 , y1 － y2)
3.加法减法运算律
1）交换律： a+b=b+a 2）结合律： （a+b)+c=a+(b+c)
练习
填空：
AB BD __A_D__;
b
|
3，| a
b
2 |
3
2 3
一、平面向量概念 4.实数λ与向量 a 的积
定义：λa是一个 向量.
它的长度 |λa| = |λ| |a|；
它的方向 (1) 当λ≥0时,λa 的方向 与a方向相同； (2) 当λ＜0时,λa 的方向 与a方向相反.
其实质就是向量的伸长或缩短！ 坐标运算： 若a = (x , y), 则λa = λ (x , y)
解: (1) 设P(x, y)，则
(x－2, y－3)=(3, 1)+λ(5, 7),
所以x=5λ+5，y=7λ+4.
解得λ =
1 2
(2) 由已知 5λ+5<0,7λ+4<0 , 所以λ<－1.
例11（1）已知 a =（4，3），向量 b 是
垂直于 a 的单位向量，求 b .
（2）已知 a 10 ,b (1,2)，且a // b，求a的坐标.
向量垂直充要条件的两种形式:
(1)a b a • b 0
(2)a b a • b x1x2 y1 y2 0
（3）两个向量相等的充要条件是两个向量的
坐标相等 .
即: a 那么 a
(x1, b
y1),
x1
b
(x2, y2 )
x2且y1
y2
三、平面向量的基本定理
如果 e1, e2是同一平面内的两个不共线
a、b共线时，a b a b 或 a b a b
综上所述：原命题成立
解:
B
D
MN
C
O
A
B
D
MN C
O
A
例3、 已知a=(3,-2) ， b=(-2,1)， c=(7,-4)， 用a、b表示c。
解：c = m a+n b (7,-4)=m(3,-2)+n(-2,1) 3m-2n=7 m=1 -2m+n=-4 n=-2 c = a-2b
例4.如图,OA,OB不共线, AP t AB(t R),
用OA, OB表示OP .
解 : AP t AB,
OP OA AP
P
B A
OA t AB
O
OA t(OB OA) (1 t )OA tOB.
另解:可以试着将 AP t AB 用OA,OB，OP表示出来.
AP t AB OP OA t(OB OA)