(完整版)八年级数学《分式方程》知识点
- 格式:doc
- 大小:122.50 KB
- 文档页数:2
分式方程是中学数学的重要内容,它是求解方程的一类特殊方法。
因此,分式方程的知识点有以下几方面:
一、分式方程的概念
分式方程是指用一个分式的方式表示方程的一种方法,它是一种由分式组成的等式,它的左右两端都是分式,从而把求根的问题转换成分式的比较,并设法确定方程的根。
二、求解分式方程的步骤
1.将分式方程中的项相同的分式化简,并且把等式的左右两端分别化简成分数或最简分式。
2.将分式方程中间,求解未知数的方法就是将分式的左右两端乘以分母,使之成为整式,然后使整式等于0,再解出未知数。
3.有时会出现分式方程中的未知数不能解出的情况,此时可以将此分式方程化为一元一次不等式来求解。
三、分式方程的应用
分式方程在解决一些实际问题时有着重要作用,如求解收益、组成比例、比较等。
由此可见,掌握分式方程的方法对解决实际问题有着重要意义。
四、注意事项
1.求解分式方程时需要注意把等式的左右两端分别化简成分数或最简分式。
2.使用分式方程时,要注意看清题干的字眼,要分清求解的是方程还是不等式,然后采取不同的方法
3.求解分式方程时还要注意确保所求解的方程或不等式有解。
4.分式方程的解可以使用数学软件得出。
八年级数学上册第十五章分式基础知识点归纳总结单选题1、若数a使关于x的分式方程2x−1+a1−x=4的解为正数,则a的取值正确的是()A.a<6且a≠2B.a>6且a≠1C.a<6D.a>6答案:A分析:表示出分式方程的解,由解为正数确定出a的范围即可.解:分式方程整理得:2x−1−ax−1=4,去分母得:2−a=4x−4,解得:x=6−a4,由分式方程的解为正数,得到6−a4>0,且6−a4≠1,解得:a<6且a≠2.故选:A.小提示:此题考查了分式方程的解,始终注意分母不为0这个条件.2、若关于x的分式方程m+4x−3=3xx−3+2有增根,则m的值为()A.2B.3C.4D.5答案:D分析:根据分式方程有增根可求出x=3,方程去分母后将x=3代入求解即可.解:∵分式方程m+4x−3=3xx−3+2有增根,∴x=3,去分母,得m+4=3x+2(x−3),将x=3代入,得m+4=9,解得m=5.故选:D.小提示:本题考查了分式方程的无解问题,掌握分式方程中增根的定义及增根产生的原因是解题的关键.3、若把分式2x x+y 中的x 和y 同时扩大为原来的3倍,则分式的值( )A .扩大到原来的3倍B .扩大到原来的6倍C .缩小为原来的13D .不变 答案:D分析:根据分式的基本性质即可求出答案.解:∵2×3x 3x+3y =2×3x 3(x+y )=2xy x+y ,∴把分式2x x+y 中的x 和y 同时扩大为原来的3倍,则分式的值不变,故选:D .小提示:本题考查分式的基本性质,解题的关键是熟练运用分式的基本性质,本题属于基础题型.4、计算x x+1+1x+1的结果是( )A .x x+1B .1x+1C .1D .−1答案:C分析:根据同分母分式的加法法则,即可求解.解:原式=x+1x+1=1, 故选C .小提示:本题主要考查同分母分式的加法法则,掌握”同分母分式相加,分母不变,分子相加“是解题的关键.5、若a +b =5,则代数式(b 2a ﹣a )÷(a−b a )的值为( )A .5B .﹣5C .﹣15D .15 答案:B分析:原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,约分得到最简结果,把已知等式代入计算即可求出值.∵a +b =5,∴原式=b 2−a 2a ⋅a a−b =−(a+b )(a−b )a ⋅a a−b =−(a +b )=−5, 故选:B .小提示:考查分式的化简求值,掌握减法法则以及除法法师是解题的关键,注意整体代入法在解题中的应用.6、某工厂新引进一批电子产品,甲工人比乙工人每小时多搬运30件电子产品,已知甲工人搬运300件电子产品所用的时间与乙工人搬运200件电子产品所用的时间相同.若设乙工人每小时搬运x件电子产品,可列方程为()A.300x =200x+30B.300x−30=200xC.300x+30=200xD.300x=200x−30答案:C分析:乙工人每小时搬运x件电子产品,则甲工人每小时搬运(x+30)件电子产品,根据300÷甲的工效= 200÷乙的工效,列出方程即可.乙工人每小时搬运x件电子产品,则甲工人每小时搬运(x+30)件电子产品,依题意得:300x+30=200x,故选C.小提示:本题考查了分式方程的应用,弄清题意,根据关键描述语句找到合适的等量关系是解决问题的关键..7、若关于x的分式方程2x−a −3x=0的解为x=3,则常数a的值为()A.a=2B.a=−2C.a=−1D.a=1答案:D分析:根据题意将原分式方程的解x=3代入原方程求出a的值即可.解:∵关于x的分式方程2x−a −3x=0解为x=3,∴23−a−1=0,∴2=3−a,∴a=1,经检验,a=1是方程23−a−1=0的解,故选:D.小提示:本题主要考查了利用分式方程的解求参数,熟练掌握相关方法是解题关键.8、解方程2x−13=x+a2−1时,小刚在去分母的过程中,右边的“-1”漏乘了公分母6,因而求得方程的解为x=2,则方程正确的解是( )A .x =−3B .x =−2C .x =13D .x =−13答案:A分析:先按此方法去分母,再将x=-2代入方程,求得a 的值,然后把a 的值代入原方程并解方程.解:把x =2代入方程2(2x -1)=3(x +a )-1中得:6=6+3a -1,解得:a =13,正确去分母结果为2(2x -1)=3(x +13)-6, 去括号得:4x -2=3x +1-6,解得:x =-3.故选:A小提示:本题考查了一元一次方程的解的定义以及解一元一次方程.使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解.把方程的解代入原方程,等式左右两边相等.9、下列运算正确的是( )A .2a +3b =5abB .(−ab)2=a 2bC .a 2⋅a 4=a 8D .2a 6a 3=2a 3答案:D分析:根据合并同类项法则,同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方以及单项式除以单项式法则解答. 解:A 、2a 与3b 不是同类项,不能合并,故本选项错误;B 、原式=a 2b 2,故本选项错误;C 、原式=a 6,故本选项错误;D 、原式=2a 3,故本选项正确.故选D .小提示:本题考查了同底数幂的乘法的性质与同类项合并同类项法则,熟练掌握性质和法则是解题的关键.10、下列分式中是最简分式的是( )A .2x 2B .42xC .x−1x 2−1D .x−1(x−1)2答案:A分析:一个分式的分子分母无公因式或公因数叫最简分式,四个选项逐个分析排除,只有选项A是最简分式,选项B、C、D中分子分母分别有公因数2、公因式x−1、公因式x−1,都不是最简分式.选项A不能约分,是最简分式;选项B中分子分母有公因数2,可约分,不是最简分式;选项C中x−1x2−1=x−1(x+1)(x−1),分子分母有公因式x−1,可约分,不是最简分式;选项D中分子分母有公因式x−1,可约分,不是最简分式;故选:A.小提示:本题主要考查了最简分式的概念,最简分式指的是分子分母无无公因式或公因数的分式,有时需要将分子分母进行因式分解再判断.填空题11、计算2m−2−mm−2的结果是 ____.答案:−1分析:根据分式的减法法则即可得.解:原式=2−mm−2=−(m−2) m−2=−1,所以答案是:−1.小提示:本题考查了分式的减法,熟练掌握运算法则是解题关键.12、若实数m使得关于x的不等式组{2x>23x<m+1无解,则关于y的分式方程yy−1=4−m2y−2的最小整数解是_________.答案:2分析:先求出每个不等式的解集,然后根据不等式组无解求出m的取值范围,再解分式方程从而确定y的取值范围即可得到答案.解:解不等式2x>2得:x>1,解不等式3x <m +1得:x <m+13, ∵不等式组无解,∴m+13≤1,∴m ≤2;y y −1=4−m 2y −2去分母得2y =4−m ,解得y =4−m 2,∵m ≤2,∴4−m ≥2∴y =4−m 2≥1,又∵y −1≠0,∴y >1,∴y 的最小整数解为2,所以答案是:2小提示:本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数,解分式方程,熟知相关计算法则是解题的关键.13、方程22x−1+x 1−2x =1的解是________.答案:x =1分析:原方程去分母得到整式方程,求解整式方程,最后检验即可.解:22x−1+x 1−2x =1, 22x−1﹣x 2x−1=1, 方程两边都乘2x ﹣1,得2﹣x =2x ﹣1,解得:x =1,检验:当x =1时,2x ﹣1≠0,所以x =1是原方程的解,即原方程的解是x=1,所以答案是:x=1.小提示:本题考查了解分式方程,把分式方程转化为整式方程是解答本题的关键,注意解分式方程不一定要检验.14、若|a|=2,且(a−2)0=1,则2a的值为_______.##0.25答案:14分析:根据绝对值的意义得出a=±2,根据(a−2)0=1,得出a−2≠0,求出a的值,即可得出答案.解:∵|a|=2,∴a=±2,∵(a−2)0=1,∴a−2≠0,即a≠2,∴a=−2,∴2a=2−2=1.4所以答案是:1.4小提示:本题主要考查了绝对值的意义,零指数幂有意义的条件,根据题意求出a=−2,是解题的关键.15、用科学记数法将﹣0.03896保留两位有效数字为____.答案:﹣3.9×10﹣2分析:先根据科学记数法表示该数,再保留两个有效数字即可.解:﹣0.03896=﹣3.896×10﹣2≈﹣3.9×10﹣2,所以答案是:﹣3.9×10﹣2.小提示:此题考查了科学记数法的表示方法,有效数字的概念,正确理解各知识点是解题的关键.解答题16、为推动家乡学校篮球运动的发展,某公司计划出资12000元购买一批篮球赠送给家乡的学校.实际购买时,每个篮球的价格比原价降低了20元,结果该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球,每个篮球的原价是多少元?答案:每个篮球的原价是120元.分析:设每个篮球的原价是x 元,则每个篮球的实际价格是(x ﹣20)元,根据“该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球”列出方程并解答.解:设每个篮球的原价是x 元,则每个篮球的实际价格是(x ﹣20)元,根据题意,得12000x =10000x−20.解得x =120.经检验x =120是原方程的解.答:每个篮球的原价是120元.小提示:本题考查了分式方程的应用,根据题意列出方程是解题的关键.17、若a ,b 为实数,且(a−2)2+|b 2−16|b+4=0,求3a ﹣b 的值. 答案:2分析:根据题意可得{a −2=0b 2−16=0b +4≠0,解方程组可得a,b,再代入求值.解:∵(a−2)2+|b 2−16|b+4=0,∴{a −2=0b 2−16=0b +4≠0,解得{a =2b =4, ∴3a ﹣b=6﹣4=2.故3a ﹣b 的值是2.小提示:本题考核知识点:分式性质,非负数性质.解题关键点:理解分式性质和非负数性质.18、阅读材料:对于非零实数a ,b ,若关于x 的分式(x−a)(x−b)x 的值为零,则解得x 1=a ,x 2=b .又因为(x−a)(x−b)x =x 2−(a+b)x+ab x=x +ab x ﹣(a +b ),所以关于x 的方程x +ab x =a +b 的解为x 1=a ,x 2=b . (1)理解应用:方程x 2+2x =3+23的解为:x 1= ,x 2= ;(2)知识迁移:若关于x 的方程x +3x =5的解为x 1=a ,x 2=b ,求a 2+b 2的值;(3)拓展提升:若关于x 的方程4x−1=k ﹣x 的解为x 1=t +1,x 2=t 2+2,求k 2﹣4k +2t 3的值. 答案:(1)3,23;(2)19;(3)12. 分析:(1)根据题意可得x =3或x =23;(2)由题意可得a +b =5,ab =3,再由完全平方公式可得a 2+b 2=(a +b )2-2ab =19;(3)方程变形为x -1+4x−1=k -1,则方程的解为x -1=t 或x -1=t 2+1,则有t (t 2+1)=4,t +t 2+1=k -1,整理得k =t +t 2+2,t 3+t =4,再将所求代数式化为k 2-4k +2t 3=t (t 3+t )+4t 3-4=4(t 3+t )-4=12.(1)解:∵x +ab x =a +b 的解为x 1=a ,x 2=b ,∴x 2+2x =x +2x =3+23的解为x =3或x =23,所以答案是:3,23;(2)解:∵x +3x =5,∴a +b =5,ab =3,∴a 2+b 2=(a +b )2-2ab =25-6=19; (3)解:4x−1=k -x 可化为x -1+4x−1=k -1,∵方程4x−1=k -x 的解为x 1=t +1,x 2=t 2+2,则有x -1=t 或x -1=t 2+1,∴t (t 2+1)=4,t +t 2+1=k -1, ∴k =t +t 2+2,t 3+t =4, k 2-4k +2t 3=k (k -4)+2t 3=(t+t2+2)(t+t2-2)+2t3=t4+4t3+t2-4=t(t3+t)+4t3-4=4t+4t3-4=4(t3+t)-4=4×4-4=12.小提示:本题考查了分式方程的解,理解题意,灵活求分式方程的解,并结合完全平方公式对代数式求值是解题的关键.。
八年级分式方程数学知识点一、基本概念分式方程是指未知量中包含分数表达式的方程,可用一组数值解求出未知量的值。
如:\frac{x+1}{2}=3,其中x为未知量。
二、分式方程的解法1. 化简分式,使其成为整式方程。
如:\frac{x+1}{2}=3化简为x+1=6。
2. 通分,消去分母。
如:\frac{3}{x-2}=\frac{1}{x+1}通分后为3(x+1)=x-2。
3. 变形化简后求解。
如:\frac{2}{2x+3}-\frac{3}{x-1}=\frac{4}{x^2-x-3}变形化简后得到x=-1或x=\frac{5}{2}。
三、分式方程的注意事项1. 化简前应检查分母是否有值为0的情况。
如:\frac{x}{x^2-4x+4}=1化简前需考虑x^2-4x+4=0的情况,即x=2。
2. 通分时应注意分母因式分解。
如:\frac{x}{2x-4}-\frac{2}{x+1}=\frac{3x}{x^2-3x+2}通分前需分解(x-1)(x-2)。
3. 将解代回原分式方程检验。
如:\frac{4}{x+3}-\frac{5}{x-1}=\frac{1}{x-2}解得x=5/2,代入原式验证是否成立。
四、分式方程的应用例题1. 甲、乙两地的距离为480km,两地之间有一辆车和一辆自行车相向而行,行至中途时,车停下了,自行车继续前进,最后到达乙地时,车和自行车的距离为40km。
已知车行驶的速度比自行车快20km/h,求车和自行车的速度各是多少。
设自行车的速度为x km/h,车的速度为x+20 km/h,时间为t,车行驶的距离为(x+20)×t,自行车行驶的距离为x×(t+2)。
由题意可得(x+20)t+x(t+2)=480及(x+20)t-x(t+2)=40,解得x=20,车速为40km/h,自行车速度为20km/h。
2. 一条河流的宽度为200m,在河岸的A、B两处浅滩的位置分别离河口12km、18km处。
数学八年级上册【分式方程】知识点梳理知识点汇总一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释:(1)分式方程的重要特征:①是等式;②方程里含有分母;③分母中含有未知数.(2)分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数(不是一般的字母系数).分母中含有未知数的方程是分式方程,分母中不含有未知数的方程是整式方程.(3)分式方程和整式方程的联系:分式方程可以转化为整式方程.二、分式方程的解法解分式方程的基本思想:将分式方程转化为整式方程,转化方法是方程两边都乘以最简公分母,去掉分母。
在去分母这一步变形时,有时可能产生使最简公分母为零的根,这种根叫做原方程的增根。
因为解分式方程时可能产生增根,所以解分式方程时必须验根。
三、解分式方程的一般步骤:(1)方程两边都乘以最简公分母,去掉分母,化成整式方程(注意:当分母是多项式时,先分解因式,再找出最简公分母);(2)解这个整式方程,求出整式方程的解;(3)检验:将求得的解代入最简公分母,若最简公分母不等于0,则这个解是原分式方程的解,若最简公分母等于0,则这个解不是原分式方程的解,原分式方程无解.今日练习1.校运动会上,初二(3)班啦啦队买了两种价格的雪糕,其中甲种雪糕共花费40元,乙种雪糕共花费30元,甲种雪糕比乙种雪糕多20根.乙种雪糕价格是甲种雪糕价格的1.5倍,若设甲种雪糕的价格为x元,根据题意可列方程为:A.B.C. D .2.以下是解分式方程,去分母后的结果,其中正确的是:A.B.C. D .【参考答案】1.B若设甲种雪糕的价格为x元,根据等量关系“甲种雪糕比乙种雪糕多20根”可列方程求解解:设甲种雪糕的价格为x元,则甲种雪糕的根数:;乙种雪糕的根数:.可得方程:故选B考点:由实际问题抽象出分式方程2.B。
八年级数学分式方程一、分式方程的概念。
1. 定义。
- 分式方程是方程中的一种,是指分母里含有未知数(字母)的方程。
例如:(1)/(x)+1 = 2,(x)/(x - 1)-(1)/(x)=1等都是分式方程。
2. 与整式方程的区别。
- 整式方程的分母中不含有未知数,如2x+3 = 5是整式方程。
而分式方程的分母含有未知数,这是两者最本质的区别。
二、分式方程的解法。
1. 基本思想。
- 分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程来求解。
这一转化过程通常是通过去分母来实现的。
2. 去分母的方法。
- 给分式方程两边同时乘以各分母的最简公分母。
例如,对于方程(2)/(x)+(x)/(x - 1)=1,分母x和x - 1的最简公分母是x(x - 1),方程两边同时乘以x(x - 1)得到:2(x - 1)+x· x=x(x - 1)。
- 找最简公分母的方法:- 取各分母系数的最小公倍数。
- 凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式。
- 同底数幂取次数最高的。
例如,对于分式(1)/(3x),(1)/(2x^2),最简公分母是6x^2。
3. 求解整式方程。
- 按照整式方程的解法求解去分母后的整式方程。
如上面得到的整式方程2(x - 1)+x^2=x(x - 1),展开式子得2x-2 + x^2=x^2-x,移项合并同类项得2x+x = 2,解得x=(2)/(3)。
4. 检验。
- 分式方程可能会产生增根,所以必须检验。
把求得的整式方程的解代入原分式方程的最简公分母中,如果最简公分母不等于0,则这个解是原分式方程的解;如果最简公分母等于0,则这个解是增根,原分式方程无解。
例如,对于上面解得的x = (2)/(3),代入最简公分母x(x - 1)=(2)/(3)×((2)/(3)-1)=(2)/(3)×(-(1)/(3))=-(2)/(9)≠0,所以x=(2)/(3)是原分式方程的解。
第五章分式与分式方程知识点1:分式的概念1、分式的定义:一般地,用A,B表示两个正式,A÷B可以表示成AB的形式。
如果B中含有字母,那么称AB为分式,其中A称为分式的分子,B称为分式的分母。
分式需要满足的三个条件:(1)是形如AB的式子;(2)A,B都整式;(3)分母B中必须含有字母。
分式有意义的条件:分母不能为0.分式无意义的条件:分母等于0.分式的值为0的条件:分子等于0且分母不等于0.知识点2:分式的性质2、分式的基本性质分式的基本性质:分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变。
字母表示:AB =A·CB·C,AB=A÷CB÷C(C≠0,其中A,B,C均是整式)运用条件:(1)分子和分母要同时做“乘法(或除法)”运算;(2)“乘(或除以)”的对象必须是同一个不等于0的整式。
3、分式的符号法则法则内容:分式的分子、分母与分式本身的符号同时改变其中两个,分式的值不变。
字母表示:AB =−A−B=−−AB=−A−B知识点3:分式的约分与通分4、分式的约分约分:根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分,即A·CB·C =AB(C为整式且C≠0).约分的方法:如果分式的分子、分母都是单项式,那么直接约去分子、分母的公因式;如果分式的分子、分母中至少有一个多项式,那么先分解因式,再约去分子、分母的公因式。
最简分式:分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式。
5、分式的通分通分:根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分。
用字母表示:将AB 和CD通分,AB=A·DB·D,CD=B·CB·D(分母都为B·D)。
通分的步骤:(1)将所有分式的分母化为乘积的形式,当分母为多项式时,应进行因式分解;(2)确定最简公分母,即各分母的所有因式的最高次幂的积;(3)将分子、分母同乘一个因式,使分母变为最简公分母。
第十六章 分式知识点及典型例子一、分式的定义:如果A 、B 表示两个整式,且B 中含有未知数,那么式子BA 叫做分式。
二、在分式中,如果________,则分式AB 有意义;如果________,则分式A B无意义;如果________且_________不为零时,则分式A B的值为零;如果__________,则分式0A B > 如果____________,则分式0A B <; 例1.下列各式aπ,11x +,15x+y ,22a b a b --,-3x 2,0•中,是分式的有( )个。
例2.下列分式,当x 取何值时有意义。
(1)2132x x ++; (2)2323x x +-。
例3. 当x________时,分式2134x x +-的值为正数,当x________时,分式2134x x +-的值为负数 例4.当x______时,分式2134x x +-无意义。
当x_______时,分式2212x x x -+-的值为零。
当x_________时,分式2361x x -+的值为负数。
三、分式的基本性质:分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式,分式的值不变,用字母表示为_________________________________.分式的分子、分母和分式本身的符号改变其中任何____个,分式的值不变.四、约分:把分式的分子与分母的公因式约去,这样的分式变形叫做分式的约分,约分的理论依据是分式的___________________。
约分的方法:分式的分子与分母同除以他们的公因式,如果分式的分子、分母都是单项式,就直接约去分子、分母的__________;如果分式的分子或分母是多项式,就先__________,再判断公因式进行约分。
最简分式:分子与分母没有____________的分式,叫做最简分式。
(注意约分一定要彻底)五、通分:利用分式的基本性质把几个异分母的分式化为_________的分式,这样的分式变形叫做分式的通分。
分式方程知识点的总结分式方程知识点的总结关于分式方程知识点的总结,列分式方程解应用题的关键是列出分式方程,难点是找出等量关系,易错点是检验。
下面由小编为您整理出的相关内容,一起来看看吧。
(一)分式方程知识点的总结分式方程同前面讲到的分式知识是完全不同的两个概念,同学们不要弄混淆了。
分式方程分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
分式方程的解法①去分母{方程两边同时乘以最简公分母(最简公分母:①系数取最小公倍数②出现的字母取最高次幂③出现的因式取最高次幂),将分式方程化为整式方程;若遇到互为相反数时。
不要忘了改变符号};②按解整式方程的步骤(移项,若有括号应去括号,注意变号,合并同类项,系数化为1)求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根)。
一般地验根,只需把整式方程的根代入最简公分母,如果最简公分母等于0,这个根就是增根,否则这个根就是原分式方程的根。
若解出的根是增根,则原方程无解。
在分式方程中,如果分式本身约分了,也要代进去检验。
分式方程的解法:(1)解分式方程的基本思想方法是:分式方程→整式方程。
(2)解分式方程的一般方法和步骤:①去分母:即在方程的两边都同时乘以最简公分母,把分式方程化为整式方程,依据是等式的基本性质;②解这个整式方程;③检验:把整式方程的解代入最简公分母,使最简公分母不等于0的解是原方程的解,使最简公分母等于0的解不是原方程的解,即说明原分式方程无解。
注意:①去分母时,方程两边的每一项都乘以最简公分母,不要漏乘不含分母的项;②解分式方程必须要验根,千万不要忘了!上面对分式方程的解法知识的讲解,希望同学们都能很好的掌握,并在考试中很好的备战考试工作。
(二)初中数学知识点总结:平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习,希望同学们很好的`掌握下面的内容。
平面直角坐标系平面直角坐标系:在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴,组成平面直角坐标系。
分式方程知识点总结
一、定义与性质
定义:分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程,称为分式方程。
基本性质:分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变。
二、运算与变形
乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母。
乘方法则:分式乘方时,要将分子、分母各自乘方。
加减法则:同分母的分式相加减时,分母不变,把分子相加减;异分母的分式相加减时,先通分,转化为同分母分式,然后再加减。
约分与通分:分式可以约分,即根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的公因式约去;分式也可以通分,即把分子、分母同时乘以适当的整式,将异分母的分式转化为同分母的分式。
三、分式方程的解法
去分母:方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程。
注意,当分母是多项式时,先分解因式,再找出最简公分母。
解整式方程:通过移项、合并同类项、系数化为1等步骤,求出整式方程的解。
验根:将求得的解代入最简公分母,若最简公分母不等于0,则这个解是原分式方程的解;若最简公分母等于0,则这个解不是原分式方程的解,原分式方程无解。
注意,解分式方程一定要检验根,这种检验与整式方程不同,不是检查解方程过程中是否有错误,而是检验是否出现增根。
四、分式方程的应用
分式方程在多个领域都有广泛的应用,如金融和经济领域中的运输和速率问题、货币兑换、利润和成本计算;科学领域中的浓度计算问题、反应速率计算;数学领域中的比例问题等。
通过掌握这些知识点,可以更好地理解和应用分式方程,解决各种实际问题。
如需更深入的学习,建议查阅数学教材或咨询数学老师。
八年级分式知识点总结分式知识是比较容易拿分的题目,那么相关的分式知识点我们又要掌握什么呢?以下是小编为大家精心整理的八年级分式知识点总结,欢迎大家阅读。
八年级分式知识点总结1.分式的定义:如果A、B表示两个整式,并且B中含有字母,那么式子叫做分式。
2.分式有意义、无意义的条件:分式有意义的条件:分式的分母不等于0;分式无意义的条件:分式的分母等于0。
3.分式值为零的条件:分式AB =0的条件是A=0,且B≠0.(首先求出使分子为0的字母的值,再检验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时,就是所要求的字母的值。
)4.分式的基本性质:分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变。
用式子表示为 (其中A、B、C是整式 ),5.分式的通分:和分数类似,利用分式的基本性质,使分子和分母同乘适当的整式,不改变分式的值,把几个异分母分式化成相同分母的分式,这样的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个式子的最简公分母。
几个分式通分时,通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母,这样的分母就叫做最简公分母。
求最简公分母时应注意以下几点:(1)“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母(或含字母的式子)为底数的幂选取指数最大的;(2)如果各分母的系数都是整数时,取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数;(3)如果分母是多项式,一般应先分解因式。
6.分式的约分:和分数一样,根据分式的基本性质,约去分式的分子和分母中的公因式,不改变分式的值,这样的分式变形叫做分式的约分。
约分后分式的分子、分母中不再含有公因式,这样的分式叫最简公因式。
约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。
(1)约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分;分子、分母是多项式时,通常将分子、分母分解因式,然后再约分;(2)找公因式的方法:① 当分子、分母都是单项式时,先找分子、分母系数的最大公约数,再找相同字母的最低次幂,它们的积就是公因式;②当分子、分母都是多项式时,先把多项式因式分解。
分式方程知识点归纳总结分式方程(fractional equations)是含有一个或多个分式的方程。
解分式方程的方法与解普通方程的方法相似,但在处理分式时需要额外注意。
以下是分式方程的一些常用知识点的归纳总结。
1.分式方程的定义:分式方程是含有一个或多个分式的方程,其中分式可以是单个分式,也可以是多个分式的组合。
2.分式方程的定义域:在求解分式方程之前,首先需要确定方程的定义域。
分式方程中的分母不能为0,因此需要排除使得分母为0的数值。
3.清除分母的方法:当分式方程中存在分母时,可以通过乘以分母的公倍数来清除分母。
要注意在清除分母后所得到的方程仍然保持等价关系。
4.分式方程的乘除法原则:分式方程中的分式可以通过乘除法原则进行运算。
即可以通过乘以一个数或除以一个数来改变方程两边的比例关系。
5.分式方程的加减法原则:分式方程中的分式可以通过加减法原则进行运算。
即可以通过加上一个数或减去一个数来改变方程两边的比例关系。
6.分式方程的倒数原理:分式方程中的分式的倒数可以用来求解方程。
当一个分式与它的倒数相加时,结果为17.分式方程的转化:有时候,可以通过将分式方程转化为普通方程来求解。
这可以通过清除分母或将分式转化为分数来实现。
8.分式方程的校验:在解分式方程时,需要对所得到的解进行校验,以确定是否满足原始方程。
9.解分式方程的常见步骤:解分式方程的一般步骤是先对方程进行整理,然后通过乘法、除法、加法、减法等原则对方程进行运算,最后校验所得到的解是否满足原始方程。
10.特殊类型的分式方程:-线性分式方程:分子和分母都是一次函数的分式方程。
-二次分式方程:分子或分母含有二次函数的分式方程。
-变比分式方程:分子和分母是由未知数构成的变比或常数的乘积的分式方程。
总结:分式方程是含有一个或多个分式的方程,解分式方程的方法包括清除分母、乘除法原则、加减法原则、倒数原理、转化为普通方程、校验等。
解分式方程的一般步骤是整理方程、运用原则对方程进行运算,最后校验解答是否正确。
八年级数学《分式方程》知识点一、理解定义1、分式方程:含分式,并且分母中含未知数的方程——分式方程。
2、解分式方程的思路是:(1) 在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化成整式方程。
(2) 解这个整式方程。
(3) 把整式方程的根带入最简公分母,看结果是不是为零,使最简公分母为零的根是原方程的增根,必须舍去。
(4) 写出原方程的根。
“一化二解三检验四总结”3、 增根:分式方程的增根必须满足两个条件:(1)增根是最简公分母为0;(2)增根是分式方程化成的整式方程的根。
4、分式方程的解法:(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母,化为整式方程;(3)解整式方程; (4)验根.注:解分式方程时,方程两边同乘以最简公分母时,最简公分母有可能为0,这样就产生了增根,因此分式方程一定要验根。
分式方程检验方法:将整式方程的解带入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解。
5、分式方程解实际问题(1)步骤:审题—设未知数—列方程—解方程—检验—写出答案,检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行检验。
(2)应用题基本类型;二、例题讲析例1:解方程214111x x x +-=-- (1) 增根是使最简公分母值为零的未知数的值。
(2) 增根是整式方程的根但不是原分式方程的,所以解分式方程一定要验根。
例2:解关于x 的方程223242ax x x x +=--+有增根,则常数a 的值。
解:化整式方程的(1)10a x -=-由题意知增根2,x =或2x =-是整式方程的根,把2,x =代入得2210a -=-,解得4a =-,把2x =-代入得-2a+2=-10,解得6a = 所以4a =-或6a =时,原方程产生增根。
方法总结:1.化为整式方程。
2.把增根代入整式方程求出字母的值。
例3:解关于x 的方程223242ax x x x +=--+无解,则常数a 的值。
一、基本概念
1.分式:分子和分母都是多项式的数叫做分式。
2.分式方程:含有一个或多个未知数的分式等式叫做分式方程。
二、分式方程的解
1.分式方程的解:使得方程两边分式等价的数叫做分式方程的解。
2.适合分式方程的解:使得分式方程的任意代入都可以使分式方程成立的解叫做适合分式方程的解。
三、分式方程的解的判定
1.分式方程的解的判定方法:将找到的解代入方程,若等式两边可以变成同一个数,则该解为分式方程的解。
2.分式方程的解的验证方法:将方程两边合并,并对两边进行化简,最后验证等式是否成立。
四、分式方程的解的性质
1.分式方程的根的性质:若一个数是分式方程的根,则这个数的相反数也是该方程的根。
2.分式方程的根的性质的应用:利用分式方程的根的性质,可以通过已知根推出其他根。
五、分式方程的解的求解
1.解分式方程的一般步骤:先合并同类项,再化简,最后通过代数运算求解未知数。
2.解分式方程的具体方法:可以通过交叉相乘、通分和消分的方法来解决不同类型的分式方程。
六、分式方程的应用
1.代入法解分式方程:利用推导和分项代入法,将问题转化为分式方程,然后再用分式方程的解来解决问题。
2.混合运算解分式方程:先利用等式性质将分子展开,再通过合并同类项化简,最后求解分式方程得到解。
总结:。
分式方程知识点复习总结大全 重点:1理解分式的概念、有意义的条件,分式的值为零的条件。
2理解分式的基本性质.3会用分式乘除的法则进行运算. 4熟练地进行分式乘除法的混合运算. 5熟练地进行分式乘方的运算.6熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 7熟练地进行分式的混合运算. 8掌握整数指数幂的运算性质.9会解可化为一元一次方程的分式方程,会检验一个数是不是原方程的增根.10利用分式方程组解决实际问题.难点: 1能熟练地求出分式有意义的条件,分式的值为零的条件.2灵活应用分式的基本性质将分式变形. 3灵活运用分式乘除的法则进行运算 4熟练地进行分式乘除法的混合运算. 5熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算. 6熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 7熟练地进行分式的混合运算. 8会用科学计数法表示小于1的数.9会解可化为一元一次方程的分式方程,会检验一个数是不是原方程的增根.10会列分式方程表示实际问题中的等量关系.16.1 分式及其基本性质1.分式的概念:形如BA(A 、B 是整式,且B 中含有字母,B ≠0)的式子,叫做分式。
其中 A叫做分式的分子,B 叫做分式的分母。
分母0 B ,分式BA才有意义 整式和分式统称有理式, 即有有理式=整式+分式.分式值为0的条件:分子等于0,分母不等于0(两者必须同时满足,缺一不可) 例1: ( 2011重庆江津)下列式子是分式的是( )A.2x B.1+x x C. y x +2 D. 3x 【答案】B.注意:1π 不是分式例2:已知242x x -+ ,当x 为何值时,分式无意义? 当x 为何值时,分式有意义?例3:(2011四川南充市) 当分式21+-x x 的值为0时,x 的值是( ) (A )0(B )1 (C )-1 (D )-2 【答案】B2.分式的基本性质(1)分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.MB M A M B M A B A ÷÷=••=,0,0≠≠B M ,且M B A ,,均表示的是整式。
《分式方程》知识全解课标要求1.会解一元一次分式方程(方程中的分式不超过两个)2.能根据具体问题中的数量关系,列出上述类型的方程,并进一步体会这类重要的刻画现实世界的数学模型的作用.知识结构1. 分式方程概念,和产生增根的原因.2. 分式方程的解法3.列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题.内容解析(1)分式方程的概念:含分式,并且分母中含未知数的方程——分式方程(2)分式方程的解法: ①能化简的先化简.②方程两边同乘以最简公分母,化为整式方程③解整式方程;④)验根.(3)分式方程的应用: 以工程问题为例,能将此类问题中的相等关系用分式方程表示;建立数学模型,会解含字母系数的分式方程.重点难点本节的重点是:分式方程的概念,,解分式方程和列分式方程解应用题.教学重点的解决方法:分式方程是一种有效描述现实世界的模型,把分式方程转化为整式方程来解分式方程,把未知化已知,从而渗透数学转化思想.本节内容的难点是:分式方程产生增根的原因和列分式方程解应用题教学难点的解决方法:强化用数学的意识,增进同学之间的配合,体验在数学活动中运用知识解决问题的成功体验.教法导引(1)注重渗透化归思想,实际问题紧紧扣住等量关系解分式方程注意转化的思想,而实际问题由于背景的多变性,其数量关系也是动态多变,难以把握,只能以不变应万变,紧紧扣住“等量关系”这一主线,有意识的培养学生对例题、习题的阅读理解能力.教给学生一些避免产生增根的方法,例:解方程: 22+-x x - 4162-x = 1 解:移项,得22+-x x - )2)(2(16-+x x - 1 = 0整理,得 )2)(2()2(4-+-x x x = 0 ① 化简,得24+x = 0 ② 因为 24+x ≠ 0 所以 原方程无解.(2)注重启发式设问和同学讨论相结合,使同学在讨论中解决问题,掌握分式方程解法与应用,避免负迁移.....分式方程的解法理论中,我们一直采用了在分式方程两边同乘以最简公分母从而转化为整式方程的解法.这种方法充分体现了转化思想的理论精髓,而转化思想恰好是整个方程解法理论的核心思想,使各种方程(组)最终转化为一元一次方程,让人们看到一个和谐统一的体系,生动的数学展现于眼前.不过这种变形不属于方程的同解变形原理,它的恶果之一是产生增根的现象.增根并不是方程的根,它跟随非同解变形进来之后,还要用检验的方式把它清除出去,这是一种迂回的,有点费力的处理方法.是一个容易引发讨论和思考的知识点.分式方程两边同乘以最简公分母从而转化为整式方程的解法,在实践中经常对分式的四则运算产生强烈的负迁移...,如化简2222x y x y x y x y+-+++时经常有学生这样运算:22222x y x y x y x y x x y x y+-+=++-=++这肯定是受分式方程解法的影响所致,而且有时这种影响极其顽固,很难改正.分式的四则运算不能支持分式方程的解决,分式方程的解决又影响分式的四则运算,这种内耗和对抗大大削弱了分式理论的和谐性.学法建议分式方程的重点是解分式方程和列分式方程解应用题,难点是分式方程产生增根的原因和列分式方程解决实际问题.因而在学习中应注意:(1)分母中含有字母的方程不一定是分式方程,当且仅当字母中有未知数时,才是分式方程,如解关于x 的方程:13x a +=,22m n x m n n-=-等都是整式方程,究其原因在于限定未知数是x ,则字母a 、 m 、 n 是已知数,不满足分式方程定义. (通过观察,从中感知分式方程的特征)(2)严格遵循解分式方程的步骤:化、解、验.在解分式方程应用题时,切不可忘记检验.(3)认真审题,可借助表格、图表来分析题意,找出适合题意的相等关系,建立方程. 例:为改善居住环境,小康村拟在村后荒山上种植720棵树,由于共青团员的支持,实际每日比原计划多种20棵,结果提前4天完成任务,原计算每天种植多少棵?设原计划每天种植x 棵,根据题意得方程______ __.题目设原计划每天种植x 棵,那么可用来列方程的相等关系是实际比原计划提前4天完成任务.由题意,原计划植树720x 天,而实际每天植树(20)x +棵,实际植树天数为72020x +天,所以根据相等关系可列方程720720420x x -=+. (易错点是:已知量不会用未知数表示,找不到等量关系)(4)进行一题多解、一题多问及一题多变的训练,提高思维的敏捷性、解题方法的灵活性.(5)类比整式方程的解法和应用,使所学知识系统化,进而形成技能、技巧,巩固双基. 例 解方程:x 5 = 27-x 解:移项,得 x 5 -27-x = 0 通分,得)2(7)2(5---x x x x = 0 整理,得 )2()5(2-+x x x = 0 ① 分子取0,得 x + 5 = 0 ②即 x = -5说明:从①式到②式是此解法的关键.①式中,如分子与分母没有含未知数的公因式,那就能够做到分子取0时保证分母不得0;然后根据分式值为0的条件,把分式..等于0的式子改写为分子..等于0的式子,即完成了分式方程向整式方程的转化,而且符合方程的同解变形原理的精神,不会有增根或丢根的现象发生.。
八年级数学《分式方程》知识点
一、理解定义
1、分式方程:含分式,并且分母中含未知数的方程——分式方程。
2、解分式方程的思路是:
(1) 在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化成整式方程。
(2) 解这个整式方程。
(3) 把整式方程的根带入最简公分母,看结果是不是为零,使最简公分母为零的根
是原方程的增根,必须舍去。
(4) 写出原方程的根。
“一化二解三检验四总结”
3、 增根:分式方程的增根必须满足两个条件:
(1)增根是最简公分母为0;(2)增根是分式方程化成的整式方程的根。
4、分式方程的解法:
(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母,化为整式方程;
(3)解整式方程; (4)验根.
注:解分式方程时,方程两边同乘以最简公分母时,最简公分母有可能为0,这样就产生了增根,因此分式方程一定要验根。
分式方程检验方法:将整式方程的解带入最简公分母,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解。
5、分式方程解实际问题
(1)步骤:审题—设未知数—列方程—解方程—检验—写出答案,检验时要注意从方程本
身和实际问题两个方面进行检验。
(2)应用题基本类型;
二、例题讲析
例1:解方程214111
x x x +-=-- (1) 增根是使最简公分母值为零的未知数的值。
(2) 增根是整式方程的根但不是原分式方程的,所以解分式方程一定要验根。
例2:解关于x 的方程223242
ax x x x +=--+有增根,则常数a 的值。
解:化整式方程的(1)10a x -=-由题意知增根2,x =或2x =-是整式方程的根,把2,x =代入得2210a -=-,解得4a =-,把2x =-代入得-2a+2=-10,解得6a = 所以4a =-或6a =时,原方程产生增根。
方法总结:1.化为整式方程。
2.把增根代入整式方程求出字母的值。
例3:解关于x 的方程223242
ax x x x +=--+无解,则常数a 的值。
解:化整式方程的(1)10a x -=-
当10a -=时,整式方程无解。
解得1a =原分式方程无解。
当10a -≠时,整式方程有解。
当它的解为增根时原分式方程无解。
把增根2,x =或2x =-代入整式方程解得4a =-或6a =。
综上所述:当1a =或4a =-或6a =时原分式方程无解。
方法总结:1.化为整式方程。
2.把整式方程分为两种情况讨论,整式方程无解和整式方程的解为增根。
例4:若分式方程212x a
x +=--的解是正数,求a 的取值范围。
解:解方程的23a
x -=且2x ≠,由题意得不等式组:2-a 0
3
2-a 2
3>≠解得2a <且4
a ≠- 思考:1.若此方程解为非正数呢?答案是多少? 2.若此方程无解a 的值是多少? 方程总结:1. 化为整式方程求根,但是不能是增根。
2.根据题意列不等式组。
三、反馈练习
1. 解方程1
1322x
x x -=---
2. 关于x 的方程12144a x
x x -+=--有增根,则a =
3. 解关于x 的方程15m
x =-下列说法正确的是( )
A.方程的解为5x m =+
B.当5m >-时,方程的解为正数
C.当5m <-时,方程的解为负数
D.无法确定
4.若分式方程1x a
a x +=-无解, 则a 的值为
5. 若分式方程=11m x
x +-有增根, 则m 的值为
6.分式方程1
21m
x x =-+有增根, 则增根为
7. 关于x 的方程1
122k
x x +=--有增根,则k 的值为
8. 若分式方程x a
a a +=无解, 则a 的值是-
9.若分式方程201m x
m x ++=-无解, 则m 的取值是。