6.2 线性子空间的和与直和-文档资料

5.5 子空间的和与直和授课题目：子空间的和与直和. 教学目标：1．理解并掌握子空间的概念.2．掌握子空间的判别方法，熟悉几种常见的子空间. 3．掌握子空间的交与和的概念. 授课时数：3学时教学重点：子空间的判别. 教学难点：子空间的交与和． 教学过程：一 子空间的的和 回忆:令W 是数域F 上向量空间V 的一个非空子集.如果W 对于V 的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的，那么就称W 是V 的一个子空间. 一个向量空间V 本身和零空间叫做V 的平凡子空间。

V 的非平凡子空间叫做V 的真子空间。

1. 定义：设12,W W V ⊆，则称V 的子集{}121122/,W W αααα+∈∈ 为1212w w W W +与的和，记为即12W W +={}121122/,W W αααα+∈∈定理5.5.1：若12,W W 均为V 的两个子空间，则12W W +仍然是子空间.证明：12,W W θθθθθ∈∈∴=+∈ 12W W +故12W W +≠φ 对121212,,,,a b F W W αβαααβββ∀∈∉+=+=+有，111222,,,W W αβαβ∈∈ 12W W +均为v 子空间.∴111222,a b W a b W αβαβ+∈+∈于是()()()()1212112212a b a b a b a b W W αβααββαβαβ+=+++=+++∈+ ∴12W W +是V 的子空间。

推广：12,,,n W W W V n 为的个子空间，则{}12121122/,,,n n n n W W W W W W αααααα+++=+++∈∈∈仍然是V 的子空间.补充：若1W =L ()r ααα,,,21 ，()212,,,t W L βββ= 则12W W +=L ()t r βββααα,,,,,,,2121证明：∈γ12W W +，有βαγ+=，12,W W αβ∈∈ 设r r k k k αααα+++= 2211t t l l l ββββ+++= 2211∴ =+=βαγr r k k k ααα+++ 2211+βββt l l l +++ 2211 ∴12W W +=L ()t r βββααα,,,,,,,2121定理5.5.2 维数定理。

矩阵理论第⼆讲线性⼦空间第⼆讲线性⼦空间⼀、线性⼦空间的定义及其性质1. 定义：设V1是数域K上的线性空间V的⼀个⾮空⼦集合，且对V已有的线性运算满⾜以下条件1. 如果x、yV1，则x＋yV1；2. 如果xV1，kK，则kxV1，则称V1是V的⼀个线性⼦空间或⼦空间。

2. 性质：（1）线性⼦空间V1与线性空间V享有共同的零元素；（2）V1中元素的负元素仍在V1中。

[证明]（1）0V中的零元素也在V1中，V1与V享有共同的零元素。

（2）（－1）x=(－x) 封闭性V1中元素的负元素仍在V1中1. 分类：⼦空间可分为平凡⼦空间和⾮平凡⼦空间平凡⼦空间：{0}和V本⾝⾮平凡⼦空间：除以上两类⼦空间4. ⽣成⼦空间：设x1、x2、···、x m为V中的元素，它们的所有线性组合的集合也是V的线性⼦空间，称为由x1、x2、···、x m⽣（张）成的⼦空间，记为L(x1、x2、···、x m)或者Span(x1、x2、···、x m)。

若x1、x2、···、x m线性⽆关，则dim{L(x1、x2、···、x m)}=m5. 基扩定理：设V1是数域K上的线性空间V n的⼀个m维⼦空间，x1、x2、···、x m是V1的⼀个基，则这m个基向量必可扩充为V n的⼀个基；换⾔之，在V n中必可找到n-m个元素x m+1、x m+2、···、x n，使得x1、x2、···、x n成为V n的⼀个基。

这n-m个元素必不在V1中。

⼆、⼦空间的交与和1.定义：设V1、V2是线性空间V的两个⼦空间，则分别称为V1和V2的交与和。

2.定理：若V1和V2是线性空间V的两个⼦空间，则，V1＋V2均为V的⼦空间[证明]（1）是V的⼀个线性⼦空间。

子空间的直和与因子空间子空间是线性代数中的重要概念，它在研究向量空间时起着关键的作用。

子空间的直和和因子空间是子空间的重要衍生概念，它们在向量空间的分割和表示上发挥着重要的作用。

一、子空间的直和子空间的直和是指由两个或多个子空间组成的全新子空间。

设V是向量空间，W1和W2是V的两个子空间。

如果V中的任意一个向量既可以表示为W1中的一个向量和W2中的一个向量之和，又可以唯一地这样表示，那么我们就称V是W1和W2的直和，记作V=W1⊕W2。

例如，若V=R3，W1是R3中所有满足x1+x2+x3=0的向量构成的子空间，W2是R3中所有满足2x1-3x2+x3=0的向量构成的子空间。

则V是W1和W2的直和。

直和的概念可以推广到多个子空间的情况。

设V是向量空间，W1、W2、...、Wn是V的n个子空间。

如果V中的任意一个向量既可以表示为W1、W2、...、Wn中的向量之和，又可以唯一地这样表示，那么我们就称V是W1、W2、...、Wn的直和，记作V=W1⊕W2⊕...⊕Wn。

子空间的直和具有以下性质：1. 若V=W1⊕W2，则V中的任意一个向量都可以唯一地表示为W1中的一个向量和W2中的一个向量之和。

2. 若V=W1⊕W2⊕...⊕Wn，则V中的任意一个向量都可以唯一地表示为W1、W2、...、Wn中的向量之和。

二、因子空间因子空间（也称为商空间）是指用一个向量空间V的子空间W对V进行分割而得到的新的向量空间。

设V是向量空间，W是V的子空间，我们记为V/W。

在V/W中，等价类[x]代表了所有形如x+w的向量的集合，其中x属于V，w属于W。

换言之，[x]是由W平移x得到的平行于W的子空间。

因子空间的概念可以理解为对子空间的一种降维运算。

通过因子空间，我们可以将原始向量空间V映射到一个低维的向量空间，而这个低维空间的维度就是原始向量空间V中子空间W的维度。

因子空间在理论研究和实际计算中都有广泛的应用和意义。

三、子空间的直和与因子空间的关系子空间的直和与因子空间之间存在着密切的关系。

子空间直和的判定与证明一、直和的定义：设V1，V2是线性空间V的子空间，如果和V1+V2中每个向量α的分解式α=α1+α2，α1∊V1，α2∊V2，是惟一的，这个和就称为直和，记为V1⊕V2.二、判定定理：1.定理：和V1+V2是直和的充分必要条件是等式α1+α2=0，αi∊Vi （i=1,2）只有在αi全为零向量时才成立.证明：要证明零向量的分解式是唯一的即可。

必要性：显然成立；充分性：设α∊V1+V2，它有两个分解式α=α1+α2=β1+β2，αi,βi∊Vi （i=1,2）于是（α1-β1）+（α2-β2）=0.其中αi-βi∊Vi （i=1,2）.由定理的条件，应有α1-β1=0，αi=βi （i=1,2）.这就是说，向量α的分解式是唯一的。

2.定理：和V1+V2为直和的充分必要条件是 V1∩V2={0}.证明：充分性：假设α1+α2=0，αi∊Vi （i=1,2）那么α1=-α2∊ V1∩V2.由假设α1=α2=0.这就是证明了V1+V2是直和。

必要性：任取向量α∊V1∩V2，于是零向量可以表成0=α+（-α），α∊V1，—α∊V2.因为是直和，所以α=-α=0，这就证明了V1∩V2={0}.3.定理：设V1，V2是线性空间V的子空间，令W= V1+V2，则W= V1⊕V2的充分必要条件是维（W）=维（V1）+维（V2）.证明：充分性：维（W）=维（V1）+维（V2），由维数公式知，维（V1∩V2）=0，则 V1∩V2={0}，由定理2得，V1+V2是直和。

必要性：因为维（W）+维（V1∩V2）=维（V1）+维（V2），由定理2得，V1+V2是直和的充分必要条件是V1∩V2={0}，这与维（V1∩V2）=0等价，则维（W）=维（V1）+维（V2）.4.定理：设U是线性空间V的一个子空间，那么一定存在一个子空间W，使V=U⊕W.证明：取U得一组基α1，……，αm，把它扩充为V的一组基α1，……，αm，αm+1，……，αn，令W=L（αm+1，……，αn）.W即满足条件。

子空间的直和的充要条件子空间的直和是线性代数中一个重要的概念。

在研究向量空间时，我们常常遇到将一个向量空间分解成若干个子空间的情况，而子空间的直和就是一种特殊的分解方式。

本文将介绍子空间的直和的充要条件。

假设V是一个向量空间，U和W是V的两个子空间。

我们称V是U和W的直和，记作V=U⊕W，如果满足以下两个条件：1. V=U+W：任意向量v∈V都可以写成v=u+w的形式，其中u∈U，w∈W。

2. U∩W={0}：U和W的交集只包含零向量。

我们来证明V=U⊕W的充分性。

假设V=U⊕W，我们需要证明满足上述两个条件。

对于第一个条件，我们可以将任意向量v∈V表示为v=u+w的形式，其中u∈U，w∈W。

由于V=U⊕W，所以v的表示是唯一的。

对于第二个条件，假设存在一个非零向量x∈U∩W。

由于x∈U，所以x也属于V。

那么我们可以找到另外两个向量u'∈U和w'∈W，使得x=u'+w'。

因为x∈W，所以w'∈W；因为x∈U，所以u'∈U。

因此，x=u'+w'既是U和W的一个表示，也是V的一个表示。

但由于v的表示是唯一的，所以u'+w'=u+w。

因此，我们可以得到u-u'=w'-w。

由于u-u'∈U，w'-w∈W，所以u-u'∈U∩W。

但由于U∩W={0}，所以u-u'=0，即u=u'，w=w'。

因此，x=u'+w'=u+w=0。

这与x是一个非零向量矛盾。

因此，U∩W={0}。

接下来，我们来证明V=U⊕W的必要性。

假设V=U⊕W，我们需要证明满足上述两个条件。

对于第一个条件，任意向量v∈V都可以写成v=u+w的形式，其中u∈U，w∈W。

因此，V=U+W。

对于第二个条件，假设存在一个非零向量x∈U∩W。

那么x既属于U 也属于W，所以x可以写成x=0+0的形式。