复变函数第三章学习指导一. 知识结构1.⎧⎪⎨⎪⎩定义复变函数积分的一般概念性质计算2.33393103113193193.8⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩/定理.柯西积分定理定理.定理.柯西积分公式：定理.公式（.）解析函数的性质高阶导数公式公式（.）刘维尔定理最大模原理牛顿—莱布尼兹公式：定理莫勒拉定理3.18⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩调和函数、共轭调和函数的定义3.解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系：定理线积分法偏积分法已知解析函数的实（虚）部求其虚（实）部不定积分法全微分法二. 学习要求⒈理解积分基本定理.积分基本公式.高阶导数公式；⒉了解刘维尔定理.最大模原理，掌握证明它们的方法；⒊掌握利用积分基本定理和莫瑞拉定理判别解析函数的方法；⒋熟练掌握利用积分基本定理.积分基本公式和高阶导数公式计算函数沿闭曲线的积分；5.掌握关于调和函数的定义及关于共轭调和函数的定义，理解调和函数与解析函数的关系，掌握从已知解析函数的实部（或虚部）求出它的虚部（或实部）的方法．三. 内容提要1.积分基本定理定理3.3 设G为复平面上的单连通区域，c为G内的任意一条围线，若)(zf在G 内解析，则0d )(=⎰cz z f定理3.10 设有围线n c c c c ,,,,210 ，其中n c c c ,,,21 中的每一条均在其余各条的外部，而它们又全都在0c 的内部；又设G 为由0c 的内部与n c c c ,,,21 的外部相交的部分组成的复连通区域（图4-4），若)(z f 在G 内解析，且在闭区域G 上连续，则0d )(10=⎰--+++nc c c z z f2.积分基本公式定理4.5 设G 是以围线c 为边界的单连通区域，若)(z f 在G 内解析，且在G 上连续，则G z z z z z f z f c ∈-=⎰000d )(i π21)(3.高阶导数公式定理3.13 设G 是以围线c 为边界的单连通区域，若)(z f 在G 内解析，且在G 上连续，则)(z f 在区域G 内有各阶导数，并且有G z z z z z f n z fcn n ∈-=⎰+0100)(d )()(i π2!)(4.刘维尔定理若)(z f 在复平面上解析，且有界，则)(z f 必为常数. 最大模原理设G 为区域，c G G +=为有界闭区域，函数)(z f 在G 内不是常数，若)(z f 在G 内解析，且在G 上连续，则G z M z f ∈<,)(其中的M 为)(z f 在G 上的最大值.最大模原理为我们提供了一种证明在区域G 内解析的函数)(z f 为常数的方法：只须证对G 内某点0z 有M z f =)(0即可，其中的M 为)(z f 在G 上的最大值.莫瑞拉定理定理4.15 设)(z f 在单连通区域G 内连续，c 为G 内任意一条围线，若0)d (=⎰cz z f则)(z f 在G 内解析.莫瑞拉定理不仅给出了一个函数为解析函数的充分条件，而且它与定理4.2（积分基本定理）一起可得解析函数的又一等价定义.四. 疑难解析1.在复变函数积分的定义中，为什么要强调曲线的起点和终点？ 答：因为复变函数的积分定义是由积分和1()nk k f ζ=∑k z 的极限给出的，而将曲线C=AB 细分时，是从A 点开始取分点⋅⋅⋅，，，01n z z z 的. 积分和式中的k k k -1z =z -z 与起点和终点有关.所以，积分值与起点和终点有关.有公式()f d ⎰⎰_cc f(z)dz =-z z . 但是，一般不能把起点为α.终点为β的曲线C 上()f z 的积分记作()f d αβ⎰z z . 因为复变函数 的积分⎰cf(z)dz 实际上是曲线积分，z 的变化受曲线积分C （积分路线）的限制.2.为什么当()(,)(,)f u x y iv x y =+z 在D 内处处连续且C 为光滑曲线时，复变函数的积分⎰cf(z)dz 存在？答：因为一个复变函数的积分可以化为两个实二元函数的积分，即ccudx vdy i vdx udy -++⎰⎰⎰cf(z)dz =而当)(z f 连续时，(,)u x y 和(,)v x y 必连续，此时两个实二元函数的积分存在，所以积分⎰cf(z)dz 存在.3.柯西—古萨定理是否何以推广？应用柯西—古萨定理时，要注意什么问题？答： 柯西—古萨定理成立的条件之一是，曲线C 应该在B 内.这个条件可以放宽，得到两个推广定理：（1）如果函数)(z f 在以简单闭曲线C 为边界的有界闭域上解析，则 ()f d ⎰cz z =0（2）如果)(z f 在单连通域B 内解析，在闭域B 上连续，则()f d ⎰cz z =0（C是B 的边界），在应用时，要注意)(z f 是否在单连通域内.因为B 不是单连通域时，定理的结论不成立.如1()f =z z ，在圆环域1322<<z 内解析，C 为域内以原点为圆心的正向圆周，但d π≠⎰c1z =2i 0z .同时，定理不能反过来用，即不能因为有某个()f d ⎰cz z =0而说)(z f 在C 所包围区域D 解析.如11()f d d =⎰⎰2cz z z =z =0z ，但1()f =2z z 在1≤z 内并不处处解析.4 应用复合闭路问题时要注意些什么问题？答： 首先要搞清楚复合闭路Γ的含义，复合闭路 是由一条正向简单闭曲线C 与在C 内的若干条互不包容.互不相交的负向简单闭曲线12,,,n C C C ---⋅⋅⋅所组成.一是注意曲线的不同方向，二是曲线必须是简单闭曲线（柯西—古萨定理只要求闭曲线），三是内部若干条曲线必须互不相交.互不包容，四是全部曲线构成区域边界.仅当这些条件完全符合时，才可以应用复合闭路定理把沿区域外边界线的回路积分，化为沿区域内边界线的回路积分，利用一些已知结果使积分易于计算.5.复变函数积分的牛顿-莱布尼兹公式与实一元函数的牛顿-莱布尼兹公式有何不同？答： 两者在形式和结果上几乎完全一致但实一元函数积分对函数的要求比复变函数积分对函数的要求低的多.对实一元函数()f x 而言，只要()f x 在[],a b 上连续，积分()baf x dx ⎰就存在，就有牛顿-莱布尼兹公式成立，即()()().baf x dx F b F a =-⎰而对复变函数来说，)(z f 连续，积分⎰cf(z)dz 存在，不一定有牛顿-莱布尼兹公式成立.因为复变函数积分实际上是线积分，所以牛顿-莱布尼兹公式成立与沿闭曲线的复变函数积分为零联系在一起，于是要求)(z f 必须在单连通域B 内处处解析，才有()()()f d F F -⎰10z 10z z z =z z .6.复变函数的积分法中是否有与实一元函数积分类似的分步积分公式.即 若)(z f 与()g z 在单连通域B 内处处解析，1z 与0z 为B 内两个定点，则因为[]()()()()()()f g f g f g ''=+'z z z z z z ，所以()()f g z z 是()()()()f g f g ''+z z z z 的原函数.而()f 'z ，()g 'z 仍为解析函数（见下节 ）.所以由[]()()()(),f g f g d ''+⎰110z z z z z z z z z =f(z)g(z)得()()()()()()f g d f g f g d ''-⎰⎰1110z z z z z z z z z =z z z z z 上式即复积分的分步积分公式.例如：计算11i d +⎰z ze z 因为z 和z e (视作ze 的原函数)在包含1和1i +的单连通域B内连续，所以可使用分步积分公式.于是11111111iii i d d ++++-⎰⎰zz z zze z =zee z =(z -1)e 1(c o s 1s i n 1).ii e i e i +==+ 6.柯西积分公式的意义是什么？柯西积分公式的条件是否可以放宽？ 答： 在偏微分方程中，常常遇到求解方程的边值问题，例如已知函数(,)u x y 在某一区域边界上的值，并知其在此区域内满足拉普拉斯方程，则在一定条件下边值问题有唯一解.显然(,)u x y 为一调和函数（见下节），可以由调和函数在区域边界上的值来确定其在区域内部的值.调和函数是解析函数的全部，因此自然会有问题：解析函数在区域边界上的值是否可以确定其在区域的值呢？柯西积分公式圆满的回答了这个问题，它表示函数)(z f 在边界上的值完全决定了它在区域D 内任一点上的值.柯西积分公式的条件可以适当放宽，放宽后有以下三种形式： （1）若)(z f 在简单闭曲线所围成的区域内以及C 上解析，则 1()()2C f f d iπ=⎰00z z z z -z（2）若0C 的内部为复连通域，12,,,nC C C ⋅⋅⋅为全部内边界曲线，当)(z f 在01C C CC n---=++⋅⋅⋅+所围成区域和C 上解析时，有1()()2C f f d iπ=⎰00z z z z -z 011()().22i n C C i f f d d ii ππ==∑⎰⎰00z 1z z -z z -z z -z （3）设D 为复平面上包含无穷远点的区域，C 为D 内一条简单闭曲线，函数)(z f 在C 外以及C 上解析（除无穷远点），且lim ()f A →∞=≠∞z z ，则1()()2Cf f d iξξπξ=∈⎰z +A ,z D.-z7．解析函数的高阶导数公式说明解析函数的导数与实一元函数的导数有何不同？答： 解析函数的高阶导数给我们一个利用导数来求积分的公式，使求沿闭曲线的积分更加简捷.而尤为重要的是，高阶导数公式告诉我们：只要函数)(z f在D 内处处可导（解析），则它的各阶导数在区域D 内存在（即()()n f z 仍解析）.也就是说，只要)(z f 在D 内有一阶导数，必有任意阶导数.而对实一元函数来讲，若()f x 在(a,b)内可导，则()f x '不一定可导，甚至不连续.例如，()f x =(1,2)-内可导，()f x '=，但()f x '在(1,2)-不连续，所以()f x '在(1,2)-内不可导.这就说明解析函数的导数与实一元函数的导数存在根本上不同.8.试解释解析函数与调和函数的关系.答： 首先，调和函数(,)x y ϕ是实二元函数.它是实平面上的连续函数，具有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程.而解析函数是复函数，其实部与虚部是调和函数，且其虚部是实部的共轭调和函数，都满足拉普拉斯方程.由于解析函数的任何阶导数仍是解析函数，因此()f u iv =+z ，的实部u 和v 的任意阶导数仍是调和函数.9.若v 是u 的调和函数，问：u 是否为v 的共轭调和函数？答： 若v 是u 的共轭调和函数，则u iv +构成一个解析函数，且有,.u v u v x y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂但要u 是v 的共轭调和函数，则u iv +要构成一个解析函数这时应该有,.v u v ux y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂显然，两者是不可能同时满足的.因此，两者的位置不能颠倒.当v 是u 的共轭调和函数时，从满足的C-R 条件可以看出：u 的共轭调和函数应为v -如222x y ixy -+是一个解析函数，所以2xy 是22x y +的共轭调和函数但222()xy i y x +-却不是解析函数，因为不满足C-R 条件，所以22x y -不是2xy 的共轭调和函数.222()xy i x y +-是解析函数，22y x -是2xy 的共轭调和函数. 10 简述共轭调和函数的几种求法.答： 求共轭调和函数常用以下四种方法：（1）C-R 条件法（偏积分法）设(,)u x y 已知，求(,)v x y .因为v u y x∂∂=∂∂，所以 ()(,)()uv dy g x x y g x xϕ∂=+=+∂⎰（()g x 未知）.再由()v u u g x x y y ∂∂∂'=-+=-∂∂∂，求出()()g x g x '⇒，于是(,)()v x y g x ϕ=+（见以下例11（4），（5））.（2）线积分法 设(,)u x y 已知，求(,)v x y ，则00(,)(,)x y x y u uv dx dy y x∂∂=-+∂∂⎰，可取(0,0)或依函数条件确定（见以下例11（1），（2），（3））. （3）凑微分法（4）不定积分法 因为，若(,)u x y 已知，则由()x x x y y x f u iv u iu v iv '=+=-=+z 得()()f U '=z z ，两边积分，得 ()()f f d '=⎰z z z ，具体用哪种方法，要根据具体问题或自己习惯来定.如果已知(,)v x y ，要求出(,)u x y ，方法是类似的.第四种方法要将x y u iu -化为()f 'z ，方法见疑难解析4.11.已求得(,)(,)u x y iv x y +，如何化为)(z f ？答： 常用方法有以下三种：（1）代入法，将1()2x +_=z z ，1y -2i _=(z z )代入，化为z 的函数)(z f（2）凑微分法，将(,)(,)u x y iv x y +的各项通过分解，拼凑成x iy +的因式，化为z 的函数)(z f（3）归零法，设(,)(,)u x y iv x y +中的0y =，得到()f x 再写成z 的函数)(z f . 三种方法中一归零法最为简便易行.疑难解析3中的确定也可按本题方法进行.五．典型例题例1沿第一象限中线路()2,1=ℑC ，计算积分xydy dx y x ic 222-+⎰，起点和终点分别为（1，0）和（0，1），11c x y +=：，222:1c x y +=. 解：（1）在t y t x c =-=,11上，, 则10,,≤≤=-=t dt dy dt dx .()(){}1112222()21211.c x y dx xydy t t dx t tdt dt ⎡⎤∴+-=--++-=-=-⎣⎦⎰⎰⎰（2）在)20(,sin ,cos 2πθθθ≤≤==y x c 上，,22222222005()2(cos sin )sin 2sin cos 3c x y dx xydyd d ππθθθθθθθ+-=-+-=-⎰⎰⎰. 例2 dz iz c 2)2(+⎰，其中c 为从1到i +2的简单曲线. 解：2)2(iz +在复平面上解析（连续），且有原函数3)2(31)(iz iz F +=[]{}323113(2)(2)(1)2(2)(2)(1)33c iz dz F i F i i i i i ∴+=+-=++-+=-+⎰. 例3.计算积分dz z i c )(-⎰，这里c 为 （1）自0到i +1的直线段；（2）自0到i +1的抛物线2x y =的弧段.解：（1）从0到i +1的直线段的方程为ti t t i t z +=++⋅-=)1(0)1(，10≤≤t ，则()111()()(1)(1)(1)(21)112ci z dz i t ti i t t i i dt t i dt i i-=-++=-+++=--+=--+=-+⎰⎰⎰⎰ （2）设弧段的方程为 10,2≤≤+=t i t t z则dt ti i t t i dz z i c )21()()(102++-=-⎰⎰[]i dt t t t 322)1()32(1023+-=+-+--=⎰.例4.计算dz z z e zz ⎰-=)1(23. 解：（一）积分闭路内有三个奇点z=0，-1，1，为此被积函数分解为部分分式，化为三个积分之和，使每个积分的被积函数只有一个奇点，再应用柯西公式，因为121121)1(2++-+-=-z e z e z e z z e zz z z . )2(2212212121121)1(1133323-+=⋅⋅+⋅⋅+⋅-=++-+-=---====⎰⎰⎰⎰e e i e i e i e i dz z e dz z e dz z e dz z z e zz z z z z zz ππππ 故（二）作互不相交的互不包含的三个小圆周321,,c c c 分别包含0，1，-1，且都在3=z 内，应用复合围线积分定理，有12332222(1)(1)(1)(1)z z z zc c c z e e e e dz dz dz dz z z z z z z z z ==++----⎰⎰⎰⎰123211(1)1(1)1z z c c c dz e dz e dzz z z z z z z z =⋅+⋅+⋅-+--+⎰⎰⎰ 112()22e e i e π-=++1(2)i e e π-=+-.例5.计算：232)1(-⎰=z z dzz .解 被积函数22)1(1-z z 有两个奇点：01=z 积12=z ，都在2=z 内，利用复合围线积分定理，作圆周4114121=-=z c z c ：，：,23411324123412341222)1(1)0()1(1)1()1()1(1-+--=-+-=-⎰⎰⎰⎰⎰=-====z z dz z z z z dzz z dz dz z z z z z z z 由高阶导数公式，得 ()0"11!22)1(02222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-==⎰z z z i z z dz π.例6，证明22()1,0cx iy dz z Rez π+≤=≥⎰，若c 为有半单位圆. 证明：因为在C 上，122=+y x ,ππ≤+≤+≤++≤+=+⎰⎰dy iy x dz iy x C iy x C y x y x iy x c c 222222224422)(1有，由积分估值公式，的长度为，又上，故在而 例7 通过计算)21(1121，，=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰=n dz zz z nz 证明⎰⋅⋅-⋅⋅⋅=ππθθ2022642)12(5312cos nn d n .证明：因为()θθθππθθd i id e e z dz z z n nni i nz ⎰⎰⎰=+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=20202221cos 2110121k z k z dk i k π=≠-⎧=⎨=-⎩⎰而，于是211nz z z ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭ 22112(21)(21)2!n n n n n n z nz z n ---+⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦， 所以2111nz z dz z z =⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰ 12(21)(21)!z n n n n dzn z=--+=⋅⎰2(21)(21)2!n n n n in π--+=22(2)!(!)i n n π=⋅.从而20(2)!cos 2(!2)(!2)nn n n n d n n θθπ=⎰2(21)(22)!222(1)2(2)!!n n n n n n π--=⋅-⋅(21)!!2(2)!!n n π-=.0cos 2012=⎰-θθπd n 同理.例8 计算221-⎰=z dzz .解：因为，2=z 所以2,02,2i i z e dz ie d θθθπθ=≤=<2222222202222222112(1)(1)54341124(02)33254cos i i z z z z z ie dzdz d i d ie zdz i dz dz z i i dz dz z z z z z z z i i d θθπθθππθθ=======-=--⎡⎤∴===-⎢⎥---+--⎣⎦-=-====+⎰⎰⎰⎰⎰⎰或原式例9 设()f z 及()g z 在单连通区域D 内解析，证明：()'()d ()()|'()()d f z g z z f z g z f z g z z βββααα=-⎰⎰,在这里从α到β的积分是沿内连接α及β的一条简单曲线取的.证明：()(),f z g z 因为在单连通区域D 内解析，βα，是D 内两点，所()()()()f z g z dz f z g z dz ββαα''+⎰⎰()()()()[]dz z g z f z g z f '+'=⎰βα()()f z g z dz βα'=⎡⎤⎣⎦⎰()()/f z g z βα=所以()()()()()()/f z g z dz f z g z f z g z dz βββααα''=-⎰⎰.例10如果积分路径不经过点i ±，那么120d (0,1,2,)14z k k z ππ=+=±±+⎰.证明：如果积分路径不经过点i ±，且不饶过i ±，则由柯西定理，得1110022|114dz dx arctgx z x π===++⎰⎰； 若积分路径绕z i =转1k 圈，则积分值为1k π，若积分路径绕z i =-转2k 圈，则积分值为2k π-，在一般情况下，则积分值为12,44k k k k πππππ+-=+∈，即102,14dz k k z ππ=+∈+⎰. 例11若)(z f 在00r z z >-内解析，且()l i m z z f z A →∞=，则对任意正数001()2r r K r r f z dz A K z z r iπ>=-=⎰，，其中：，积分是按反时针方向取的.证明：因)(z f 在区域0r z >内解析， r z z f >∴在)(内连续，故对dz z f i r r kr )(210⎰>∀π，积分存在，又对21,r r∀，只要021r r r >>，由复围线积分公式，dz z f i dz z f ir z r z )(21)(2121⎰⎰===ππ，即对0r r >∀，积分dz z f ir z )(21⎰=π取常值. 另一方面，lim ()00z zf z A R ε→∞=∴∀>∃>，，，当R z >时，{}00(),max zf z A r R z r ε-<>+则当，时，00z z r z r z R -=⇒>->，11()()22kr kr zf z Af z dz A dz i i zππ--=⎰⎰于是()1120()22krkrzf z A r dz dz r z r z r z επεππ-⋅≤≤=⋅→→∞--⎰⎰例12.如果函数)(z f 在简单闭曲线C 的外区域D 内及C 上每一点解析，并且α=∞→)(lim z f z ，那么(),;1(),2cf z z D f d z C i αζζαπζ-+∈⎧=⎨∈⎩⎰的内区域. 这里沿C 的积分是按反时针方向取的.证明：1.若D z ∈，则圆P ：R z =-ζ，使P 在C 的外部，则)(z f 在P 的内部，C 的外部解析，由柯西积分公式有 1()1()1()()222p c c pf f f f z d d d i z i z i zζζζζζζπζπζπζ-+==----⎰⎰⎰ lim ()(),1()1()2221()lim21()()21()()2i ppppR ppf R f z ke f f d d d i z i z R f d i zf f z d i zf d f z z D i zθζζαζαεζζζαεζαζζεπζπζπζζαπζζαζπζζζαπζ→∞→∞=∴-<=+--=≤=--∴=-=--=-+∈-⎰⎰⎰⎰⎰⎰充分大时，有于是故即，()21()1(),22c p f z D P C zf f d d R i z i zζζζζζζπζπζ∉-=→∞--⎰⎰、时，则在的外部，的内部解析，由复合围线定理有令，域两边取极限D d zf i c ∉=-⎰ααζζζπ，)(21 注：条件可减弱为)(z f 在D 内解析，在D+C 上连续. 六.单元检测一.单项选择题：1．如果曲线C 为 则27C dzi z π=-⎰A ）1z =B ）2z =C ）3z =D ）4z =2．函数()f z 沿曲线C 有界是()f z 沿曲线C 可积的 条件 A ）充分 B ）必要 C ）充要 D ）以上都不对3．函数()f z 沿曲线C 连续，则()Cf z dz =⎰A ）()C f z dz ±⎰B ）()Cf z dz ⎰ C ）(),Cf z ds ds ⎰为弧微分 D ）以上都不对4．函数()f z 沿曲线C 连续是()f z 沿曲线C 可积的 条件 A ）充分 B ）必要 C ）充要 D ）以上都不是5．对下列的定义的表达式正确的论断是A ）若()()f z g z ≠，则()()CCf z dzg z dz ≠⎰⎰B ）若12c c ≠，则()()12C C f z dz f z dz ≠⎰⎰C ）()()CCf z dz f z dz -=-⎰⎰D ）C 为围线，则()0Cf z dz =⎰6．设单位圆:1,()C z f z == ，则()0Cf z dz ≠⎰A ）1cos zB ）256z e z z ++C ）2cos z zD ）141z -7．设C 为上半单位圆，则Cz dz =⎰ （C 为正方向）A ）0B ）i πC ）2-D ）2i8．设区域D 的边界是围线C ，()f z 在D 内解析，在D D C =+上连续，()00,5z D f z π∈=，则()C f d z ςςς=-⎰A ）5πB ）225i πC ）225πD ）110i9．设:2C z =，则()22211Cz z dz z -+=-⎰ A ）3 B ）6i π C ）0 D ）4i π10．设1:12C z +=，则2sin41C zdz z π=-⎰A）2i B）2i - Ci D ）2i π 11．若方程()0f z z -=有实根1，且()f z 是有界整函数，则(1)f i += A ）1 B ）2 C ）1i + D ）2i +12．设函数()f z u iv =+在区域D 内解析，则在区域D 内 A ）u 必为v 的共轭调和函数 B ）u 与v 互为共轭调和函数 C ）v 必为u 的共轭调和函数 D ）A.B.C 皆不对13．如果u .v 是区域D 内任意的两个调和函数，则函数()f z u iv =+在D 内 A ）解析 B ）不解析 C ）不一定解析 D ）以上皆不对14．在下列个式中可作为某区域D 内解析函数()f z u iv =+的实部(,)u x y 有A ）2u x =B ）22u x y =-C ）22u x y =+D ）2u y =1．15．设()f z 为有界整函数，C 为1z =，则()Cf z dz z⎰()2Cf z dz zA ）>B ）≥C ）≤D ）不能确定 二.多项选择题2．设C 是绕i 一周的围线，则cos i = A ）cos 2C i d i ςςπς-⎰ B ）cos 2C id i ςςπς--⎰ C ）()31cos C d i i ςςπς-⎰ D ）()31cos Cd i ςςπς-⎰ E ）()21cos 2C d i i ςςπς-⎰2．设围线:1C z =，则当()f z = 时，()0Cf z dz =⎰A ）1cos z B ）1sin z C ）2126z z -- D ）318z + E ）2121z + 3．下列论断中，有 是不正确的（其中D 为围线C 围成的区域） A ）()f z 在D 内有奇点，则()0Cf z dz ≠⎰B ）()f z 在C 上有奇点，则()0Cf z dz ≠⎰C ）()f z 在D 内解析，则()0Cf z dz =⎰D ）()f z 在D 内解析，在D D C =+上连续，则()0Cf z dz =⎰E ）()f z 在D D C =+内解析，则()0Cf z dz =⎰4．设函数()f z 在D 内解析，则()f z '在D 内A ）存在但不一定连续B ）不一定存在C ）存在且连续D ）可微E ）解析 5．设,u v 为调和函数，且u 是v 的共轭调和函数，则 A ）u v x y ∂∂=∂∂ B ）u v x y ∂∂=-∂∂ C ）u v y x∂∂=∂∂ D ） u v y x ∂∂=-∂∂ E ）u vy y ∂∂=-∂∂ 三.填空题：1．若()(,)(,)f z u x y iv x y =+沿曲线C 连续，则()Cf z dz =⎰ .2．设a 为围线C 内部一点，n 为整数，则()nCdzz a -------⎧=⎨--------⎩⎰.3．（积分估值）沿曲线C ，()f z 连续，则()Cf z dz ≤⎰其中 . .4．设C 是一条围线，D 为C 之间内部区域，()f z 在D 内 ，在D D C =+上 ，则()Cf z dz =⎰ .5．设()f z 在单连通区域D 内解析，则函数0()()zz F z f d ςς=⎰，在D内 ，且 .6．设区域D 的边界是围线C ，()f z 在D 内解析，在D D C =+上连接，则函数()f z 在D 内有各阶导数且有()()n f z = .7．如果二元函数(,)H x y 在区域D 内有二阶连续偏导数，且满足 则称(,)H x y 为区域D 内的调和函数.8．设是(,)u x y 是在单连通区域D 内的调和函数，则存在由积分确定的(,)v x y = ，使()u vi f z +=是D 内的解析函数. 9．设:C z =2371()C f z d zςςςς++=-⎰，则(1)f i '+= . 10．设()f z 在D 内解析，a D ∈，圆周:r a R ς-=，只要 则有柯西不等式()()n f a ≤ ，其中： 四.计算题： 1．求积分220(281)a z z dz π++⎰之值，其中积分路径是连续0到2a π的摆线(sin ),(1cos )x a y a θθθ=-=- (0)a .3．计算积分2sin41Czdz z π-⎰，其C 为一条围线，讨论之. 4．求满足下列条件的解析函数22(),,()1f z u iv u x xy y f i i =+=+-=-+. 5．设()f z 在1z内解析，在闭圆1z ≤上连续，有(0)1f =，求积分：1112()22z dzz f z i z z π=⎡⎤⎛⎫±+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰. 6．计算积分4cos ()C zdz z i -⎰，其中C 绕i 一周的围线.五.证明题 综合题：1．由积分2C dzz +⎰之值（其中C :1C z =），证明：012cos 054cos d πθθθ+=+⎰.2．设()f z 在区域D 内解析，试证：222222()4()f z f z x y ⎡⎤∂∂'+=⎢⎥∂∂⎣⎦.3．设（1）()f z 在1z ≤上连续 （2）对任意的(01),()0z rr rf z dz ==⎰.试证：1()0z f z dz ==⎰.4．设在区域arg 2D z zπ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭内的单位圆周1z =上任何一点z ，用D 内曲线C 连接0与z ，求：2Re 1C dzz +⎰. 5．已知22()(2)2()u v x y x xy y x y +=-++-+，试确定解析函数：()f z u iv =+.单元检测答案一.1D 2B 3C 4A 5C 6D 7C 8B 9B 10A 11A 12C 13C 14B 15B二.1BD 2ACDE 3ABC 4CDE 5BC 三.1.CCudx vdy i vdx udy -++⎰⎰.2.2101i n n π=⎧⎨≠⎩.3.ML ,0M >使得[]()f z M ≤，L 为C 之长.4.解析， 连续， 0.5.解析，()()F z f z '=.6.1!()()2()n c n f d z D i z ξξπξ+∈-⎰. 7.22220H Hx y∂∂+=∂∂.8.00(,)(,)x y x udx dy C y x y x∂∂--+∂∂⎰，其中00(,)C x y 为D 内的定点. 9.2(613)i π-+.10.r 及其内部均含于D ，!()nn M R R ，|max |()|,0,1...z a R f z n -==. 四.1.220(281)az z dz π++⎰=2320243|a z z z π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦=3322281623a a a πππ++.2.解①若C 不含±z=1，则201zdzz π=-⎰csin4. ②若C 含z=1但不含有z=-1,则222122zdzi i z ππ=⋅=-⎰csin4.③若C 含有z=-1,但不含 z=1,则：21zdzi z π=-⎰csin4. ④若C 含有1z =±,则：2111sin ()12411c zdz z dz z z z ππ=---+⎰⎰csin422i i π=+=. 3.解22u x xy y =+-,22x y u x y v x y ∴=+⇒=+22()2y v xy c x ⇒=++2()2x y v y c x u y x '⇒=+=-=-2()()2x x x c x D '⇒=-⇒=-+c2222()()(2)22y x f z x xy y xy D i ⇒=+-++-+由已知12Di D ⇒+⇒=i f(i)=-1+i -1+i=-1+222221()()(2)222y x f z x xy y i xy ⇒=+-++-+.4 .||111[2()]()2z dz z f z i z z π=±+⎰=2||112()()()]2z f z f z f z dz i z z π=±±⎰ =2(0)(0)2(0)f f f ''±=±.5. 解：(3)4cos (cos )2()3!|z i c z z i z i π==-⎰=11sin (3326i i e e i e i e πππ--==-）. 五．1．证明：||1||1,02z dzz z ==∴=+⎰,设,i i z e dz ie d θθθ==⇒22220(cos sin )[(cos 2)sin ]0(cos 2)sin 2i i i d i i d e eθππθθθθθθθθθ-+-==+++⎰⎰=202sin (12cos )54cos i d πθθθθ-+++⎰.于是2012cos 0,54cos d πθθθ+=+⎰故012cos 054cos d πθθθ+=+⎰.2．证明：设222()4()4()x y f z u iv f z u v '=+⇒=+,2()f z =22u v +，2()22y x f z uu vv x∂=+∂,2222222()2222x x x x f z u uu v vv x ∂=+++∂,同理可得：2222222()2222y y y y f z u uu v vv y ∂=+++∂, 于是结合C R -条件及,u v 为调和函数可得：22222222222()()4()2()2()x x x y x y f z u v u u u v v v x y∂∂+=+++++∂∂=4（22x x u v +）=42()f z '.3．证明：()f z 在||1z ≤上连续，()f z ∴在||1z ≤一致连续，因此0ε∀>，0δ∃>，使当11r δ-<<时均有|()()|,2i i f e f re θθεπ-<(02)θπ<< 于是：||1||1||1|()||()()|z z z r f z dz f z dz f z dz r ====-⎰⎰⎰=22001|()()|i i i i f e ie d f re rie d r ππθθθθθθ-⎰⎰ 20|()()|i i f e f re d πθθθε≤-<⎰.||1()0z f z dz =∴=⎰.4．解：设i z e α=， 1c 为0到1的直线段，2c 为1到z 的圆弧，则由柯西积分定理,122221()1()1()C dz dz dz c c z z z =++++⎰⎰⎰=1220011i i dx ie d x e θαθθ+++⎰⎰=214C dz RE z π=+⎰.5．解：由22()(4)2(),v x y x xy y x y μ+=-++-+得22(4)()(24)2x x v x xy y x y x y μ+=+++-+-=223362x y xy -+-,两式相加并结合C R -条件得：22332x x y μ=--,从而323232,32x y x x v yx y y μ=--=-+-,故322332(32)f x y x x i x y y y =--+--.。
