指数函数总复习
【知识点回顾】
一、指数与指数幂的运算 (1)根式的概念
①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时,a 的n 次
方根用符号n 是偶数时,正数a 的正的n n 次方根用
符号0的n 次方根是0;负数a 没有n 次方根.
n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数时,0a ≥.
n a =;
当n a =;当n 为偶数时, (0)
|| (0) a a a a a ≥?==?-. (2)分数指数幂的概念
①正数的正分数指数幂的意义是:0,,,m n
a a m n N +=>∈且1)n >.0的正分数指数幂等于
0.②正数的负分数指数幂的意义是: 1()0,,,m m n
n a
a m n N a -+==>∈且1)n >.0的负分数指数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质
①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 二、指数函数及其性质 (4)指数函数
定义域R
值域(0,+∞)
过定点图象过定点(0,1),即当x=0时,y=1.
奇偶性非奇非偶
单调性在R上是增函数在R上是减函数函数值
的变化情况y>1(x>0), y=1(x=0), 0<y<1(x
<0)
y>1(x<0), y=1(x=0), 0<y<1(x>
0)
a变化对
图象的影
响在第一象限内,a越大图象越高,越
靠近y轴;
在第二象限内,a越大图象越低,越
靠近x轴.
在第一象限内,a越小图象越高,越靠
近y轴;
在第二象限内,a越小图象越低,越靠
近x轴.
【考点链接】
考点一、指数的运算
x
a
y=
x
y
(0,1)
O
1
y=
x
a
y=
x
y
(0,1)
O
1
y=
例1.化简:111442
4111244
()a b b a a b --=- .
例2. 根据下列条件求值:已知32
12
1
=+-x
x ,求
2
3
2
22
32
3-+-+--
x x x x 的值;
练习1:计算:
(1)102
0.5231(2)2(2)(0.01)54
--+?-
(2)1
20.7503
11
(0.064)()16()2322
----
÷+-.
(3) 243322
1
)(---?÷?a b b a
(4)21
151133
6622263a b a b a b ??????-÷- ??? ???????
考点二、定义域
例3. 求下列函数的定义域:
2
1(1).2-=x y 31(2).3-??= ?
??
x
y
练习2.求下列函数的定义域:
(1)1
x 21y ()2
-= (2)2x 3
y 5
-=
考点三、值域
例4. 函数1
1
x x e y e -=+的值域
练习3、(1)求函数2(0)21
x
x
y x =>+的值域.
(2)求下列函数的定义域、值域: (1)121
8x y -= (2)1
1()2
x y =-(3)3x y -=
考点四、指数型函数
例5. 已知函数3234+?-=x x y 的定义域为[0,1],则值域为 。
练习4.若方程0)2
1
()41(=++a x x 有正数解,则实数a 的取值范围是
考点五、函数的奇偶性与解析式
例6.(1)函数()f x 是奇函数,且当0x ≥时,()1x f x e =-,则x R ∈ 时,()f x =_____.
(2)设0,()x x e a
a f x a e
>=+是R 上的偶函数,则a =________________.
练习5.(1)定义在R 上的函数()f x 是奇函数,且当0x >时,()1x f x e =+,则x R ∈ 时,()f x =__________. (2)已知函数1
()21
x
f x a =-
+,若()f x 为奇函数,则a =________________. (3)已知)1,0(1
)
1()(≠>+-=a a a a x x f x
x ,试判定)(x f 的奇偶性。
考点五、函数的单调性
例7.(1)比较下列各组数的大小:
(1)0.1-和 0.24
-; (2)163()4和154()3-; (3)2
(0.8)-和1
25()3- .
(2)试比较8.08.0=a ,8.09.02.1,8.0==c b 三者之间的大小关系。
例8. 已知函数521322
2)2
1()(,)21()(-++-==x x x x x g x f ,
(1)求使)()(x g x f >成立的x 值;
(2)求使)(x f 、)(x g 均为增函数的单调区间; (3)求)(x f 和)(x g 的值域。
练习6.(1)比较下列各组数的大小:
(1
)0.73-和
0.3
3-; (2)133()2和1
42()3-; (3)5
(0.6)-和154()3- .
(2)设10<>n m ,试确定a
a n m n m a a ,,,的大小关系。
考点六、综合应用
例9.已知函数1
()(1,0)1
x x
a f x a a a -=>≠+且. (1)求()f x 的定义域和值域;(2)讨论()f x 单调性.
例10.已知函数)(2
)(2
x
x a a a a x f ---=,其中1,0≠>a a ,是R 上的增函数,求a 的取值范围。
练习7. 已知函数31
()(1,0)31
+=>≠-x x
f x a a . (1)求()f x 的定义域和值域;(2)讨论()f x 单调性.
练习8. 设)2()(,1
1
1)(||x f x g x x f =-+
=。 (1)写出函数)(x f 与)(x g 的定义域。
(2)函数)(x f 与)(x g 是否具有奇偶性,并说明理由。 (3)求出函数)(x g 的单调递减区间。
【课后练习】 一、选择题:
1.某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)。经过3个小时,这种细菌由1个可繁殖成( )
511.A 个 512.B 个 1023.C 个 1024.D 个
2.在统一平面直角坐标系中,函数ax x f =)(与x a x g =)(的图像可能是( )
3.设d c
b a ,,,都是不等于1的正数,
x x x x d y c y b y
a y ====,,,在同一坐标系中的图像如图所
示,则d c b a ,,,的大小顺序是( )
d c b a A <<<. c d b a B <<<. c d a b C <<<. d c a b D <<<.
4. 函数c bx x x f +-=2)(满足)2()(x f x f -=且3)0(=f ,则)(x b f 与)(x c f 的大小关系是( )
A. )()(x x c f b f ≤
B. )()(x x c f b f ≥
C. )()(x x c f b f >
D. 不能确定
5.若01<<-x ,那么下列各不等式成立的是( )
x x x A 2.022.<<- x x x B -<<22.02. x x x C 222.0.<<- x x x D 2.022.<<-
6.函数x a x f )1()(2-=在R 上是减函数,则a 的取值范围是( )
1.>a A
2. 21 -= x y 的值域是( ) )1,.(-∞A ),0()0,.(+∞-∞ B ),1.(+∞-C ),0()1,.(+∞--∞ D 8.当1>a 时,函数1 1 -+=x x a a y 是( ) .A 奇函数 .B 偶函数 .C 既奇又偶函数 .D 非奇非偶函数 9.函数0.(12>+=-a a y x 且)1≠a 的图像必经过点( ) )1,0.(A )1,1.(B )0,2.(C )2,2.(D 10.某厂1998年的产值为a 万元,预计产值每年以n %递增,则该厂到2010年的产值(单位:万元)是( ) n a A +1(.%13) n a B +1(.%12) n a C +1(.%11) n D -1(9 10 . %12) 二、填空题: 1.已知)(x f 是指数函数,且25 5 )23(=-f ,则=)3(f 2.设10< 31 22 2 +-+->x x x x a a 成立的x 的集合是 3.函数x x y 28)13(0-+-=的定义域为 4.函数x x y -=2 2的单调递增区间为 三、解答题: 1.设20≤≤x ,求函数52342 1+?-=-x x y 的最大值和最小值。 2函数0()(>=a a x f x 且)1≠a 在区间]2,1[上的最大值比最小值大2 a ,求a 的值。 3.设R a ∈,)(,1 22 2)(R x a a x f x x ∈+-+?=试确定a 的值,使)(x f 为奇函数。 4.已知函数1762 )2 1(+-=x x y (1)求函数的定义域及值域; (2)确定函数的单调区间。 5.已知函数3 )2 1121( )(x x f x +-= (1)求函数的定义域; (2)讨论函数的奇偶性; (3)证明:0)(>x f 对数函数总复习 【知识点回顾】 一、对数与对数运算 (1)对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且,则x 叫做以a 为底N 的对数,记作log a x N =,其中a 叫做底数, N 叫做真数. ②负数和零没有对数.③对数式与指数式的互化:log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>. (2)几个重要的对数恒等式: log 10a =,log 1a a =,log b a a b =. (3)常用对数与自然对数:常用对数:lg N ,即10log N ;自然对数:ln N ,即log e N (其中2.71828e =…) . (4)对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>,那么 ①加法:log log log ()a a a M N MN += ②减法:log log log a a a M M N N -= ③数乘:log log ()n a a n M M n R =∈ ④ log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b =≠∈ ⑥换底公式:log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且 二、对数函数及其性质 (5)对数函数 (6)反函数的概念 设函数()y f x =的定义域为A ,值域为C ,从式子()y f x =中解出x ,得式子()x y ?=.如果对于y 在C 中的任何一个值,通过式子()x y ?=,x 在A 中都有唯一确定的值和它对应,那么式子()x y ?=表示x 是y 的函数,函数()x y ?=叫做函数()y f x =的反函数,记作1()x f y -=,习惯上改写成1()y f x -=. (7)反函数的求法 ①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=; ③将1()x f y -=改写成1()y f x -=,并注明反函数的定义域. (8)反函数的性质 ①原函数()y f x =与反函数1()y f x -=的图象关于直线y x =对称. ②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y f x -=的值域、定义域. ③若(,)P a b 在原函数()y f x = 的图象上,则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上. ④一般地,函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数. 【考点链接】 考点一、对数的运算 例1、(1)计算: 9log 27, 625. (2)求 x 的值:①33 log 4x =-; ②()2221log 3211x x x ?? ???-+-=. (3)求底数:①已知48log 2=x ,求x 的值 ②7 log 28 x = ,求x 的值 (4)已知0)](lg [log log 25=x ,求x 的值 例2、计算: (1)lg14-21g 18lg 7lg 37-+; (2) 9lg 243lg ; (3)2 .1lg 10 lg 38lg 27lg -+. 练习1、计算:(1) 0.21log 3 5-; (2)492log 3log 2log ?+ 练习2、已知18log 9a =,185b =,求36log 45(用 a , b 表示). 练习3、设1643>===t z y x ,求证:y x z 2111=-. 练习4、若8log 3p =,3log 5q =,求lg 5. 考点二、函数的定义域 例3、求下列函数的定义域: (1)2log x y a =; (2))4(log 2x y -=; (3))9(log 2x y a -=. 练习5、求下列函数的定义域: (1))1,0(1log ≠>-=a a x y a (2))12(log 2+=x y (3)11 lg -=x y (4))1(log )(3 1-=x x f (5))3(log )()1(x x f x -=- 考点三、函数的值域 例4、求下列函数的值域: (1)2log (3)y x =+;(2)22log (3)y x =-;(3)2log (47)a y x x =-+(0a >且1a ≠). 练习6、求下列函数的值域 (1) )1lg(2+=x y (2))8(log 25.0+-=x y 考点五、对数函数的单调性 例5、比较下列各组数中两个值的大小: (1)2log 3.4,2log 8.5; (2)0.3log 1.8,0.3log 2.7; (3)log 5.1a ,log 5.9a . 例6、已知log 4log 4m n <,比较m ,n 的大小。 例7、求函数213 2log (32)y x x =-+的单调区间。 练习7、比较下列比较下列各组数中两个值的大小: (1)6log 7,7log 6; (2)3log π,2log 0.8; (3)0.91.1, 1.1log 0.9,0.7log 0.8; (4)5log 3,6log 3,7log 3. 练习8、若函数22log ()y x ax a =---在区间(,1-∞上是增函数,a 的取值范围。 考点六、函数的奇偶性 例8、判断函数2()log )f x x =的奇偶性。 练习9、(1)函数1lg 1lg )(++-=x x x f 的奇偶性是 。 (2)函数()1()log (0,1)111a x f x a a x x +=>≠-<<-的奇偶性为 【课后练习】 一、选择题: 1、已知32a =,那么33log 82log 6-用a 表示是( ) A 、2a - B 、52a - C 、23(1)a a -+ D 、 23a a - 2、2log (2)log log a a a M N M N -=+,则N M 的值为( ) A 、 4 1 B 、4 C 、1 D 、4或1 3、若???≥<+=) 6(log ) 6)(3()(2x x x x f x f ,则)1(-f 的值为 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 4、如果方程2lg (lg5lg 7)lg lg5lg 70x x +++=的两根是,αβ,则αβ的值是( ) A 、lg5lg7 B 、lg35 C 、35 D 、35 1 5、已知732log [log (log )]0x =,那么12 x -等于( ) A 、1 3 B C D 6、函数2lg 11y x ?? =- ?+?? 的图像关于( ) A 、x 轴对称 B 、y 轴对称 C 、原点对称 D 、直线y x =对称 7、函数(21)log x y -= ) A 、()2,11,3??+∞ ? ?? B 、()1,11,2?? +∞ ??? C 、2,3??+∞ ??? D 、1,2??+∞ ??? 8、函数212 log (617)y x x =-+的值域是( ) A 、R B 、[)8,+∞ C 、(),3-∞- D 、[)3,+∞ 9、若log 9log 90m n <<,那么,m n 满足的条件是( ) A 、 1 m n >> B 、1n m >> C 、01n m <<< D 、01m n <<< 10、2 log 13 a <,则a 的取值范围是( ) A 、()20,1,3??+∞ ? ?? B 、2,3??+∞ ??? C 、2,13?? ??? D 、220,,33???? +∞ ? ????? 11、下列函数中,在()0,2上为增函数的是( ) A 、12 log (1)y x =+ B 、2log y =C 、2 1log y x = D 、2 log (45)y x x =-+ 12、已知()log x+1 (01)a g x a a =>≠且在()10-,上有()0g x >,则1 ()x f x a +=是( ) A 、在(),0-∞上是增加的 B 、在(),0-∞上是减少的 C 、在(),1-∞-上是增加的 D 、在(),0-∞上是减少的 二、填空题 13、若2log 2,log 3,m n a a m n a +=== 。 14、函数(-1)log (3-)x y x =的定义域是 。 15、2lg 25lg 2lg 50(lg 2)++= 。 16、函数) ()lg f x x =是 (奇、偶)函数。 三、解答题:(本题共3小题,共36分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17、已知函数1010()1010 x x x x f x ---=+,判断()f x 的奇偶性和单调性。 18、已知函数2 2 2(3)lg 6 x f x x -=-, (1)求()f x 的定义域; (2)判断()f x 的奇偶性。 19、设函数)(log )(2x x b a x f -=且12log )2(,1)1(2==f f (1) 求a,b 的值; (2) 当[]2,1∈x 时,求)(x f 最大值 20、已知函数)(x f 在定义域()1,1-上是减函数,且)1()1(2a f a f ->- (1) 求a 的取值范围; (2) 解不等式:() .1log 1log a x a a >- 幂函数总复习 【知识点回顾】 (1)幂函数的定义 一般地,函数y x α=叫做幂函数,其中x 为自变量,α是常数. (2)幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限. ②过定点:所有的幂函数在(0,)+∞都有定义,并且图象都通过点(1,1). ③单调性:如果0α>,则幂函数的图象过原点,并且在[0,)+∞上为增函数.如果0α<,则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x 轴与y 轴. ④奇偶性:当α为奇数时,幂函数为奇函数,当α为偶数时,幂函数为偶函数.当q p α= (其 中,p q 互质,p 和q Z ∈),若p 为奇数q 为奇数时,则q p y x =是奇函数,若p 为奇数q 为偶数时,则q p y x =是偶函数,若p 为偶数q 为奇数时,则q p y x =是非奇非偶函数. ⑤图象特征:幂函数,(0,)y x x α=∈+∞,当1α>时,若01x <<,其图象在直线y x =下方,若1x >,其图象在直线y x =上方,当1α<时,若01x <<,其图象在直线y x =上方,若1x >,其图象在直线y x =下方. 【课后练习】 1、下列函数中,是幂函数的是( ) A 、x y 2= B 、2 x y -= C 、x y 2log = D 、2 1- =x y 2、写出下列函数的定义域,判断其奇偶性 (1)2x y =的定义域 ,奇偶性为 (2)3x y =的定义域 ,奇偶性为 (3)2 1x y =的定义域 ,奇偶性为 (4)31x y =的定义域 ,奇偶性为 (5)1-=x y 的定义域 ,奇偶性为 3、若一个幂函数)(x f 的图象过点)4 1 ,2(,则)(x f 的解析式为 4、函数y =(x 2 -2x ) 2 1- 的定义域是( ) A .{x |x ≠0或x ≠2} B .(-∞,0)(2,+∞) C .(-∞,0)[2,+∞ ) D .(0,2) 5、函数y =5 2 x 的单调递减区间为( ) A .(-∞,1) B .(-∞,0) C .[0,+∞ ] D .(-∞,+∞) 6、比较下列各组数的大小 (1)7.17.14.3____5.3 (2)3.03.03.1___2.1 (3)6.16.15.2___4.2-- 7、已知函数12+=m x y 在区间()+∞,0上是增函数,求实数m 的取值范围为 。 8、9 42 --=a a x y 是偶函数,且在),0(+∞是减函数,则整数a 的值是 . 9、已知函数2 221()(1)m m f x m m x --=++是幂函数,求实数m 的值为 。 一次函数的基本知识点 2、函数:一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定 的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就把x称为自变量,把y称为因变量,y 是x的函数。 *判断A是否为B的函数,只要看B取值确定的时候,A是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域:一般的,一个函数的自变量允许取值的范围,叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法: (1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数; (2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零; (3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零; (4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零; (5)实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义。 5、函数的图像 一般来说,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象. 6、函数解析式:用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。 7、描点法画函数图形的一般步骤 第一步:列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值); 第二步:描点(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点); 第三步:连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来)。8、函数的表示方法 列表法:一目了然,使用起来方便,但列出的对应值是有限的,不易看出自变量与函数之间的对应规律。 解析式法:简单明了,能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系,但有些实际问题中的函数关系,不能用解析式表示。 图象法:形象直观,但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 9、正比例函数及性质 一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数叫做正比例函数,其中k叫做比例系数. 注:正比例函数一般形式y=kx (k不为零) ①k不为零②x指数为1 ③b取零当k>0时,直线y=kx经过三、一象限,从左向右上升,即随x的增大y也增大;当k<0时,?直线y=kx经过二、四象限,从左向右下降,即随x增大y反而减小. (1)解析式:y=kx(k是常数,k≠0) (2)必过点:(0,0)、(1,k) (3)走向:k>0时,图像经过一、三象限;k<0时,?图像经过二、四象限 (4)增减性:k>0,y随x的增大而增大;k<0,y随x增大而减小 (5)倾斜度:|k|越大,越接近y轴;|k|越小,越接近x轴 10、一次函数及性质 一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0),那么y叫做x的一次函数.当b=0时,y=kx+b即y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 注:一次函数一般形式y=kx+b (k不为零) ①k不为零②x指数为1 ③b取任意实数 第二章 基本初等函数指数和指数函数 考点回顾: 1.幂的有关概念 (1)正整数指数幂 )(*∈????=N n a a a a a n n 个 (2)零指数幂 )0(10 ≠=a a (3)负整数指数幂 ()10,n n a a n N a -* = ≠∈ (4) 正分数指数幂 ) 0,,,1m n a a m n N n *=>∈>; (5) 负分数指数幂 ) 10,,,1m n m n a a m n N n a -* = = >∈> (6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的性质 ()() 10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈ ()()() 20,,s r rs a a a r s Q =>∈ ()()() 30,0,r r r ab a b a b r Q =>>∈ 3.根式的内容 (1)根式的定义:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中() *∈>N n n ,1,n a 叫做根式, n 叫做根指数,a 叫被开方数。 (2)根式的性质: ①当n 是奇数,则a a n n =;当n 是偶数,则 ???<-≥==00a a a a a a n n ②负数没有偶次方根, ③零的任何次方根都是零 课堂练习: 1.下列四类函数中,具有性质“对任意的x >0,y >0,函数f (x )满足f (x +y )=f (x )f (y )”的是( ) A .幂函数 B .对数函数 C .指数函数 D .余弦函数 2. (2010·山东理,4)设f (x )为定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=2x +2x +b (b 为常数),则f (-1)=( ) A .3 B .1 C .-1 D .-3 3. (2010·重庆南开中学)已知f (x )=a x ,g (x )=b x ,当f (x 1)=g (x 2)=3时,x 1>x 2,则a 与b 的大小关系不可能成立..... 的是( ) A .b >a >1 B .a >1>b >0 C .01>a >0 4. (2010·辽宁,10)设2a =5b =m ,且1a +1b =2,则m =( ) B .10 C .20 D .100 5.(2010·深圳市调研)已知所有的点A n (n ,a n )(n ∈N * )都在函数y =a x (a >0,a ≠1)的图象上,则a 3+a 7与2a 5的大小关系是( ) A .a 3+a 7>2a 5 B .a 3+a 7<2a 5 C .a 3+a 7=2a 5 D .a 3+a 7与2a 5的大小关系与a 的值有关 6. (2010·青岛市质检)过原点的直线与函数y =2x 的图象交于A ,B 两点,过B 作y 轴的垂线交函数y =4x 的图象于点C ,若直线AC 平行于y 轴,则点A 的坐标是( ) A .(1,2) B .(2,4) C .(1 2,2) D .(0,1) 7. (2010·北京东城区)定义在 R 上的函数f (x )满足f (x )= ????? 21-x x ≤0 f x -1-f x -2 x >0 ,则f (-1)=______,f (33)=________. 8.已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x ∈(0,1)时,f (x )=2x 4x +1. (1)求f (x )在(-1,1)上的解析式; (2)证明:f (x )在(0,1)上是减函数. 9.已知关于x 的方程9x -2×3x +(3k -1)=0有两个实数根,求实数k 的取值范围. 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.(6分)某海域有A ,B 两个港口,B 港口在A 港口北偏西30°方向上,距A 港口60海里,有一艘船从A 港口出发,沿东北方向行驶一段距离后,到达位于B 港口南偏东75°方向的C 处,求该船与B 港口之间的距离即CB 的长(结果保留根号). 【答案】. 【解析】 试题分析:作AD ⊥BC 于D ,于是有∠ABD=45°,得到AD=BD=,求出∠C=60°,根据 正切的定义求出CD 的长,得到答案. 试题解析:作AD ⊥BC 于D ,∵∠EAB=30°,AE ∥BF ,∴∠FBA=30°,又∠FBC=75°,∴∠ABD=45°,又AB=60,∴AD=BD= ,∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°,∠ABC=45°, ∴∠C=60°,在Rt △ACD 中,∠C=60°,AD=,则tanC= ,∴CD= =, ∴BC= .故该船与B 港口之间的距离CB 的长为 海里. 考点:解直角三角形的应用-方向角问题. 2.如图(9)所示(左图为实景侧视图,右图为安装示意图),在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器:先安装支架AB 和CD (均与水平面垂直),再将集热板安装在AD 上.为使集热板吸热率更高,公司规定:AD 与水平面夹角为1θ,且在水平线上的射影AF 为 1.4m .现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2θ,并已知1tan 1.082θ=, 2tan 0.412θ=.如果安装工人确定支架AB 高为25cm ,求支架CD 的高(结果精确到 1cm)? 【答案】 【解析】 于F,根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF、EF的值,又可证过A作AF CD 四边形ABCE为平行四边形,故有EC=AB=25cm,再再根据DC=DE+EC进行解答即可. 3.如图,将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD,其中∠BAC=45°,∠ACD=30°,点E为CD边上的中点,连接AE,将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E,D′E交AC于F 点.若AB=6cm. (1)AE的长为 cm; (2)试在线段AC上确定一点P,使得DP+EP的值最小,并求出这个最小值; (3)求点D′到BC的距离. 【答案】(1);(2)12cm;(3)cm. 【解析】 试题分析:(1)首先利用勾股定理得出AC的长,进而求出CD的长,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案: ∵∠BAC=45°,∠B=90°,∴AB=BC=6cm,∴AC=12cm. 第二章 基本初等函数 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1,且n ∈N * . ◆ 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作00=n 。 当n 是奇数时,a a n n =,当n 是偶数时,???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定: ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m , )1,,,0(1 1* >∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>; (3) s r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈>. (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1. 2 注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:(1)在[a ,b]上, )1a 0 a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [; (2)若0x ≠,则1)x (f ≠;)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈; (3)对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且,总有a )1(f =; 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果N a x =)1,0(≠>a a ,那么数x 叫做以.a 为.底.N 的对数,记作:N x a log =(a — 底数,N — 真数,N a log —对数式) 说明:○1 注意底数的限制0>a ,且1≠a ; ○ 2 x N N a a x =?=log ; ○ 3 注意对数的书写格式. 两个重要对数: ○ 1 常用对数:以10为底的对数N lg ; ○ 2 自然对数:以无理数Λ71828.2=e 为底的对数的对数N ln . ◆ 指数式与对数式的互化 幂值 真数 = b 初中数学一次函数知识点训练及答案 一、选择题 1.如图:图中的两条射线分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象,图中s和t分别表示运动路程和时间,已知甲的速度比乙快,下列说法: ①射线AB表示甲的路程与时间的函数关系; ②甲的速度比乙快1.5米/秒; ③甲让乙先跑了12米; ④8秒钟后,甲超过了乙 其中正确的说法是() A.①②B.②③④C.②③D.①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数图象上特殊点的坐标和实际意义即可作出判断. 【详解】 根据函数图象的意义,①已知甲的速度比乙快,故射线OB表示甲的路程与时间的函数关系;错误; ②甲的速度为:64÷8=8米/秒,乙的速度为:52÷8=6.5米/秒,故甲的速度比乙快1.5米/秒,正确; ③甲让乙先跑了12米,正确; ④8秒钟后,甲超过了乙,正确; 故选B. 【点睛】 正确理解函数图象横纵坐标表示的意义,理解问题的过程,能够通过图象得到随着自变量的增大,知道函数值是增大还是减小,通过图象得到函数是随自变量的增大或减小的快慢. 2.如图,直线l是一次函数y=kx+b的图象,若点A(3,m)在直线l上,则m的值是() A .﹣5 B .32 C .52 D .7 【答案】C 【解析】 【分析】 把(-2,0)和(0,1)代入y=kx+b ,求出解析式,再将A (3,m )代入,可求得m. 【详解】 把(-2,0)和(0,1)代入y=kx+b ,得 201 k b b -+=??=?, 解得121 k b ?=???=? 所以,一次函数解析式y= 12 x+1, 再将A (3,m )代入,得 m= 12×3+1=52 . 故选C. 【点睛】 本题考核知识点:考查了待定系数法求一次函数的解析式,根据解析式再求函数值. 3.已知过点()2?3, -的直线()0y ax b a =+≠不经过第一象限.设s a 2b =+,则s 的取值范围是( ) A .352s -≤≤- B .362s -<≤- C .362s -≤≤- D .372 s -<≤- 【答案】B 【解析】 试题分析:∵过点()2?3, -的直线()0y ax b a =+≠不经过第一象限, ∴0 {0 23 a b a b <≤+=-.∴23b a =--. ∵s a 2b =+,∴4636s a a a =--=--. 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.(6分)某海域有A,B两个港口,B港口在A港口北偏西30°方向上,距A港口60海里,有一艘船从A港口出发,沿东北方向行驶一段距离后,到达位于B港口南偏东75°方向的C处,求该船与B港口之间的距离即CB的长(结果保留根号). 【答案】. 【解析】 试题分析:作AD⊥BC于D,于是有∠ABD=45°,得到AD=BD=,求出∠C=60°,根据正切的定义求出CD的长,得到答案. 试题解析:作AD⊥BC于D,∵∠EAB=30°,AE∥BF,∴∠FBA=30°,又∠FBC=75°, ∴∠ABD=45°,又AB=60,∴AD=BD=,∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°,∠ABC=45°, ∴∠C=60°,在Rt△ACD中,∠C=60°,AD=,则tanC=,∴CD==, ∴BC=.故该船与B港口之间的距离CB的长为海里. 考点:解直角三角形的应用-方向角问题. 2.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,BC=16cm,AD是斜边BC上的高,垂足为D,BE=1cm.点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动,点N从点E出发,与点M 同时同方向以相同的速度运动,以MN为边在BC的上方作正方形MNGH.点M到达点D 时停止运动,点N到达点C时停止运动.设运动时间为t(s). (1)当t为何值时,点G刚好落在线段AD上? (2)设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S,当重叠部分的图形是正方形时,求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围. (3)设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P,连接DP,当t为何值时, △CPD是等腰三角形? 【答案】(1)3;(2);(3)t=9s或t=(15﹣6)s. 【解析】 试题分析:(1)求出ED的距离即可求出相对应的时间t. (2)先求出t的取值范围,分为H在AB上时,此时BM的距离,进而求出相应的时间.同样当G在AC上时,求出MN的长度,继而算出EN的长度即可求出时间,再通过正方形的面积公式求出正方形的面积. (3)分DP=PC和DC=PC两种情况,分别由EN的长度便可求出t的值. 试题解析:∵∠BAC=90°,∠B=60°,BC=16cm ∴AB=8cm,BD=4cm,AC=8cm,DC=12cm,AD=4cm. (1)∵当G刚好落在线段AD上时,ED=BD﹣BE=3cm ∴t=s=3s. (2)∵当MH没有到达AD时,此时正方形MNGH是边长为1的正方形,令H点在AB 上, 则∠HMB=90°,∠B=60°,MH=1 ∴BM=cm.∴t=s. 当MH到达AD时,那么此时的正方形MNGH的边长随着N点的继续运动而增大,令G点在AC上, 设MN=xcm,则GH=DH=x,AH=x, ∵AD=AH+DH=x+x=x=4, ∴x=3. 当≤t≤4时,S MNGN=1cm2. 当4<t≤6时,S MNGH=(t﹣3)2cm2 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数 【2.1.1】指数与指数幂的运算 (1)根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇 数时,a 的n n 是偶数时,正数a 的正的n 表示,负的n 次方根用符号0的n 次方根是0;负数a 没有n 次方根. n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数时,0a ≥. ③根式的性质:n a =;当n 为奇数时, a =;当n 为偶数时, (0) || (0) a a a a a ≥?==? -. (2)分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是:0,,,m n a a m n N +=>∈且1)n >.0的正分 数指数幂等于0. ②正数的负分数指数幂的意义是: 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >.0的负分数指数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 【2.1.2】指数函数及其性质(4)指数函数 〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算 (1)对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且,则x 叫做以a 为底N 的对数,记作log a x N =,其中a 叫 做底数,N 叫做真数. ②负数和零没有对数. ③对数式与指数式的互化:log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>. (2)几个重要的对数恒等式:log 10a =,log 1a a =,log b a a b =. (3)常用对数与自然对数 常用对数:lg N ,即10log N ;自然对数:ln N ,即log e N (其中 2.71828e =…). (4)对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>,那么 ①加法:log log log ()a a a M N MN += ②减法:log log log a a a M M N N -= ③数乘:log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b = ≠∈ ⑥换底公式:log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且 初中数学一次函数知识点总结 基本概念: 1、变量:在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量:在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数:一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值,y 都有唯一确定的值与其对应,那么我们就把x称为自变量,把y称为因变量,y是x的函数。 3、定义域:一般的,一个函数的自变量允许取值的范围,叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法: (1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数; (2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零; (3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零; (4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零; (5)实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义。 函数性质: 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k.即:y=kx+b(k,b为常数,k≠0)。 2.当x=0时,b为函数在y轴上的点,坐标为(0,b)。 3当b=0时(即y=kx),一次函数图像变为正比例函数,正比例函数是特殊的一次函数。 4.在两个一次函数表达式中: 当两一次函数表达式中的k相同,b也相同时,两一次函数图像重合; 当两一次函数表达式中的k相同,b不相同时,两一次函数图像平行; 当两一次函数表达式中的k不相同,b不相同时,两一次函数图像相交; 当两一次函数表达式中的k不相同,b相同时,两一次函数图像交于y轴上的同一点(0,b)。 图像性质 1.作法与图形: (1)列表. (2)描点;一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理,也可叫“两点法”。一般的y=kx+b(k≠0)的图象过(0,b)和(-b/k,0)两点画直线即可。 高考数学备考复习易错题二:基本初等函数 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共15题;共30分) 2. (2分)(2017·山东) 已知命题p:?x>0,ln(x+1)>0;命题q:若a>b,则a2>b2 ,下列命题为真命题的是() A . p∧q B . p∧¬q C . ¬p∧q D . ¬p∧¬q 3. (2分)在等差数列中,若是方程的两个根,那么的值为() A . -6 B . -12 C . 12 D . 6 4. (2分)关于x的不等式ax-b>0的解集是(-),则关于x的不等式≤0的解集是() A . (-∞,-1]∪[2,+∞) B . [-1,2] C . [1,2] D . (,1]∪[2,) 5. (2分) (2017高一上·正定期末) 若集合,则M∩N=() A . {y|y≥1} B . {y|y>1} C . {y|y>0} D . {y|y≥0} 6. (2分)若函数,函数,则的最小值为() A . B . C . D . 7. (2分)气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第n天的维修保养费为元,使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)为止,一共使用了(). A . 600天 B . 800天 C . 1000天 D . 1200天 8. (2分) (2017高三上·连城开学考) 若二次函数y=f(x)的图象过原点,且它的导数y=f′(x)的图象是经过第一、二、三象限的一条直线,则y=f(x)的图象顶点在() A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限 n a n a n ? (1)根式的概念 高一必修一函数知识点(12.1) 〖1.1〗指数函数 ① 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数. ②当 n 为奇数时, a 为任意实数;当 n 为偶数时, a ≥ 0 . ?a (a ≥ 0) ③根式的性质: ( n a )n = a ;当 n 为奇数时, = a ;当 n 为偶数时, =| a |= ?-a . (a < 0) (2) 分数指数幂的概念 m ①正数的正分数指数幂的意义是: a n = (a > 0, m , n ∈ N + , 且 n > 1) .0 的正分数指数幂等于 0. a - m = ( )1 m ( ) 1(a > 0, m , n ∈ N , n > 1) ②正数的负分数指数幂的意义是: n n = n m + 且 .0 的负分数指数幂没有意 a a 义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3) 分数指数幂的运算性质 ① a r ? a s = a r +s (a > 0, r , s ∈ R ) ② (a r )s = a rs (a > 0, r , s ∈ R ) ③ (ab )r = a r b r (a > 0, b > 0, r ∈ R ) (4) 指数函数 函数名称 指数函数 定义 函数 y = a (a > 0 且 a ≠ 1)叫做指数函数 a > 1 0 < a < 1 图象 y 1 y O y a x (0,1) x y a x y 1 O y (0,1) x 定义域 R 值域 (0,+∞) 过定点 图象过定点(0,1),即当 x=0 时,y=1. 奇偶性 非奇非偶 单调性 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数 函数值的变化情况 y >1(x >0), y=1(x=0), 0<y <1(x <0) y >1(x <0), y=1(x=0), 0<y <1(x >0) a 变化对 图象的影响 在第一象限内, a 越大图象越高,越靠近 y 轴; 在第二象限内, a 越大图象越低,越靠近 x 轴. 在第一象限内, a 越小图象越高,越靠近 y 轴; 在第二象限内, a 越小图象越低,越靠近 x 轴. 例:比较 n a n n a m 一次函数知识点总结 基本概念 1、变量:在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量:在一个变化过程中只能取同一数值的量。 例题:在匀速运动公式vt s =中,v 表示速度,t 表示时间,s 表示在时间t 内所走的路程,则变量是________,常量是_______。在圆的周长公式C=2πr 中,变量是________,常量是_________. 2、函数:一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量x 和y ,并且对于x 的每一个确定的值,y 都有唯一确定 的值与其对应,那么我们就把x 称为自变量,把y 称为因变量,y 是x 的函数。 *判断Y 是否为X 的函数,只要看X 取值确定的时候,Y 是否有唯一确定的值与之对应 例题:下列函数(1)y=πx (2)y=2x-1 (3)y=1x (4)y=2-1-3x (5)y=x 2 -1中,是一次函数的有( ) (A )4个 (B )3个 (C )2个 (D 3、定义域: 4、确定函数定义域的方法: (1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数;(2 (3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零;(4 (5例题:下列函数中,自变量x 的取值范围是x ≥2的是( ) A .. . D . 函数y =x 的取值范围是___________. 已知函数221+-=x y ,当11≤<-x 时,y 的取值范围是 ( ) A.2 325≤ <- y B. 2 52 3< 1.1 初等函数图象及性质 1.1.1 幂函数 1函数(μ是常数)叫做幂函数。 2幂函数的定义域,要看μ是什么数而定。 但不论μ取什么值,幂函数在(0,+ ∞ )内总有定义。 3最常见的幂函数图象如下图所示:[如图] 4 2 -551015 -2 -4 -6 4①α>0时,图像都过(0,0)、(1,1 注意α>1与0<α<1的图像与性质的区别. ②α<0时,图像都过(1,1)点,在区间(0 上无限接近y轴,向右无限接近x轴. ③当x>1时,指数大的图像在上方. 1.1.2 指数函数与对数函数 1.指数函数 1函数 (a 是常数且a>0,a ≠ 1)叫做指数函数,它的定义域是区间(-∞ ,+∞ )。 2因为对于任何实数值x ,总有,又,所以指数函数的图形,总在x 轴的上方, 且通过点(0,1)。 若a>1,指数函数是单调增加的。若0 2.对数函数 由此可知,今后常用关系式,如: 指数函数的反函数,记作(a是常数且a>0,≠ a1),叫做对数函数。它的定义域是区间(0,+∞ )。 对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y = x对称(图1-22)。 的图形总在y轴上方,且通过点(1,0)。 若a>1,对数函数是单调增加的,在开区间(0,1)内函数值为负,而在区间(1,+∞ )内函数值为正。 若01 0 1.(2013?鄂州)甲、乙两地相距300千米,一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地,如图,线段OA表示货车离甲地距离y(千米)与时间x(小时)之间的函数关系;折线BCD表示轿车离甲地距离y(千米)与x(小时)之间的函数关系.请根据图象解答下列问题: (1)轿车到达乙地后,货车距乙地多少千米? (2)求线段CD对应的函数解析式. (3)轿车到达乙地后,马上沿原路以CD段速度返回,求轿车从甲地出发后多长时间再与货车相遇(结果精确到0.01). 一次函数的应用 知识点一:一次函数与坐标轴交点和面积问题 1:交点问题 一次函数b kx y +=的图象是经过(0,b )和(- k b ,0)两点。 【典型例题】 1.直线y=-x+2与x 轴的交点坐标是 ,与y 轴的交点坐标是 2.直线y=-x -1与x 轴的交点坐标是 ,与y 轴的交点坐标是 3.函数y=x+1与x 轴交点为( ) A .(0,-1) B .(1,0) C .(0,1) D .(-1,0) 4.直线y=-3 2 x+3与x 轴、y 轴所围成的三角形的面积为( ) A .3 B .6 C .34 D .3 2 5.直线y=-2x-4交x 轴、y 轴于点A 、B ,O 为坐标原点,则S △AOB = 。 6.若直线y=3x+b 与两坐标轴所围成的三角形的面积是6个单位,则b 的值是 。 7.如图所示,已知直线y=kx-2经过M 点,求此直线与x 轴交点坐标和直线与两坐标轴围成三角形的面积. 2:面积问题 面积:一次函数y=kx+b 与x 、y 轴所交的两点与原点组成的三角形的面积为2 b k (1):两直线交点坐标必满足两直线解析式,求交点就是联立两直线解析式求方程组的解。 (2):复杂图形“外补内割”即:往外补成规则图形,或分割成规则图形(三角形)。 (3):往往选择坐标轴上的线段作为底,底所对的顶点的坐标确定高。 1. 直线经过(1,2)、(-3,4)两点,求直线与坐标轴围成的图形的面积。 2. 已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A (4,3),且OA=OB (1)求两个函数的解析式;(2)求△AOB 的面积; 3. 已知:m x y l +=2:1经过点(-3,-2),它与x 轴,y 轴分别交于点B 、A ,直线b kx l +=:2经过点(2,-2),且与y 轴交于点C (0,-3),它与x 轴交于点D (1)求直线21,l l 的解析式; 易错点03 基本初等函数 【典例分析】 (2020年普通高等学校招生全国统一考试数学)基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染 所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型:(e )rt I t =描述累计感染病例 数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律,指数增长率r 与R 0,T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28,T =6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) ( ) A. 1.2天 B. 1.8天 C. 2.5天 D. 3.5天 【易错警示】 易错点1.函数定义域理解不透 【例1】已知函数()f x 的定义域为[0,1],求函数(1)f x +的定义域 易错点2.没有理解分段函数的意义 【例2】已知:* ,x N ∈5 (6)()(2) (6) x x f x f x x -≥?=? +,求(3)f . 易错点3.忽略函数的定义域 【例3】判断函数()(1f x x =+的奇偶性. 易错点4.奇偶性的判别方法不灵活 【例4】判断2()log (f x x =+ 的奇偶性. 易错点5.不理解定义域和单调性的联系 【例5】已知奇函数f (x )是定义在(-3,3)上的减函数,且满足不等式f (x -3)+f (x 2-3)<0,求x 的取值范围. 易错点6.不理解符合函数的单调性 【例6】已知)2(log ax y a -=在[0,1]上是x 的减函数,则a 的取值范围是 易错点7.公式运用不熟练没有得到最终解 【例7】已知18log 9,185,b a ==求36log 45 易错点8.关于方程根考虑不全面 【例8】已知2 10mx x ++=有且只有一根在区间(0,1)内,求m 的取值范围. 易错点9.应用题理解题意有误 【例9】将进价为8元的商品,按每件10元售出,每天可销售200件,若每件售价涨价0.5元,其销售量就减少10件,问应将售价定为多少时,才能使所赚利润最大,并求出这个最大利润. 易错点10.不理解二次函数在闭区间上恒成立 【例10】已知函数2 ()3f x x ax a =++-若[2,2]x ∈-时,()f x ≥0恒成立, 求a 的取值范围. 【变式练习】 1.函数2 232 y x x =--的定义域为( ) A .(],1-∞- B .[]1,1- C .[)() 1,22,?+∞ 指数函数及其性质 一、指数与指数幂的运算 (一)根式的概念 1、如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时,a 的n 次方根用符号n 是偶数时,正数a 的正的n 表示,负的n 次方根用符号0的n 次方根是0;负数a 没有n 次方根. 2 n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数时,0a ≥. 3、根式的性质 :n a =;当n 为奇数时 , a =;当n 为偶数时, (0) || (0) a a a a a ≥?==? - . (二)分数指数幂的概念 1、 正数的正分数指数幂的意义是:0,,,m n a a m n N +>∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0. 2 、正数的负分数指数幂的意义是: 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >.0的负分数指数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. 3、a 0=1 (a ≠0) a -p = 1/a p (a ≠0;p ∈N *) 4、指数幂的运算性质 (0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 5、0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义。 二、指数函数的概念 一般地,函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 注意:○ 1 指数函数的定义是一个形式定义; ○ 2 注意指数函数的底数的取值范围不能是负数、零和1. 三、指数函数的图象和性质 一次函数解读考点 知识整理 一、知识点 二、图像与性质 三、1.正比例函数是一次函数,反之不一定成立,只有当b=0时,它才是正比例函数 2.一次函数y=kx+b的同象是经过点(0,b)(-b k,0)的一条直线 正比例函数y= kx的同象是经过点(0,0)和(1,k)的一条直线 3.若直线l1:y= k1x+ b1与l2:y= k2x+ b2平行,则k1 k2,若k1≠k2,则l1与l2位置关系是 4.用待定系数法求一次函数解析式: 关键:确定一次函数y= kx+ b中的字母k与b的值 步骤:(1)设一次函数表达式y= kx+ b (2)将x,y的对应值或点的坐标代入表达式 (3)解关于系数的方程或方程组,求出系数k、b (4)将所求的系数k、b代入等设函数表达式中 5.一次函数与一元一次方程,一元一次不等式和二元一次方程组 (1)一次函数与一元一次方程:一般地将x=0或y=0代入解一元一次方程求直线与坐标轴的交点坐标,代入y= kx+ b中 (2)一次函数与一元一次不等式:kx+ b>0或kx+ b<0即一次函数同象位于x轴上方或下方时相应的x 的取值范围,反之也成立 (3)一次函数与二元一次方程组:两条直线的交点坐标即为两个一次函数列二元一次方程组的解,反之根据方程组的解可求两条直线的交点坐标 典型例题 知识点1、函数的概念 1. 2 3、(湘乡市)测得一弹簧的长度L(cm)与悬挂物的质量x(kg)有下面一组对应值: 试根据表中各对应值解答下列问题. (1)用代数式表示悬挂质量为x kg的物体时的弹簧长度L; (2)求所挂物体质量为10kg时,弹簧长度是多少? (3)若测得弹簧长度为19cm,判断所挂物体质量是多少千克? 第二章《基本初等函数》小结与复习 (一)教学目标 1.知识与技能 掌握指数函数、对数函数、幂函数的概念和性质.对复合函数、抽象函数有一个新的认识. 2.过程与方法 归纳、总结、提高. 3.情感、态度、价值观 培养学生分析问题、解决问题和交流的能力及分类讨论、抽象理解能力. (二)教学重点、难点 重点:指数函数、对数函数的性质的运用. 难点:分类讨论的标准、抽象函数的理解. (三)教学方法 讲授法、讨论法. (四)教学过程 教学环节教学内容师生互动设计意 图 复习引入(多媒体投影) 1.本章知识结构 学生总结,老师完善. 师:请同学们总结本章知识结构. 生:(1)指数式和对数式:①整数指 数幂;②方根和根式的概念;③分数指数 幂;④有理指数幂的运算性质;⑤无理数 指数幂;⑥对数概念;⑦对数的运算性质; ⑧指数式与对数式的互化关系. (2)指数函数:①指数函数的概念; ②指数函数的定义域、值域;③指数函数 的图象(恒过定点(0,1),分a>1,0 对本章 知识、 方法形 成体 系. 2.方法总结<a<1两种情况);④不同底的指数函数图象的比较;⑤指数函数的单调性(分a >1,0<a<1两种情况);⑥图象和性质的应用. (3)对数函数:①对数函数的概念; ②对数函数的定义域、值域;③对数函数的图象(恒过定点(0,1),分a>1和0<a<1两种情况);④不同底的对数函数图象的比较; ⑤对数函数的单调性(分a>1,0<a<1两种情况);⑥图象和性质的应用;⑦反函数的有关知识. (4)幂函数:①幂函数的概念;②幂函数的定义域、值域(要结合指数来讲);③幂函数的图象(过定点情况,图象要结合指数来讲);④幂函数的性质(奇偶性、单调性等,同样要结合指数);⑥图象和性质的应用. 师:请同学们归纳本章解题方法. 生:(1)函数的定义域的求法:列出使函数有意义的自变量的不等关系式,求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为:①分母不为0;②偶次根式中被开方数不小于0;③对数的真数大于0,底数大于零且不等于1;④零指数幂的底数不等于零;⑤实际问题要考虑实际意义等. (2)函数值域的求法:①配方法(二 第二章基本初等函数知识点整理 〖2.1〗指数函数 2.1.1指数与指数幂的运算 (1)根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时,a 的n 表示;当n 是偶数时,正数a 的正的n n 次方根用符号0的n 次方根是0;负数 a 没有n 次方根. n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数时,0a ≥. ③根式的性质:n a =;当n a =;当n 为偶数时, (0) || (0) a a a a a ≥?==? - . (2)分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是:0,,,m n a a m n N +=>∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0.②正数的负分数 指数幂的意义是: 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >.0的负分数指数幂没有意义. 注意口诀:底 数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r a b a b a b r R =>>∈ 2.1.2指数函数及其性质 (4)指数函数 〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算 (1)对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且,则x 叫做以a 为底N 的对数,记作log a x N =,其中a 叫做底数,N 叫做真数. ②负数和零没有对数.③对数式与指数式的互化:log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>. (2)几个重要的对数恒等式: log 10a =,log 1a a =,log b a a b =. (3)常用对数与自然对数:常用对数:lg N ,即10log N ;自然对数:ln N ,即log e N (其中 2.71828e =…) . (4)对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>,那么 ①加法:log log log ()a a a M N MN += ②减法:log log log a a a M M N N -= ③数乘: log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b =≠∈ ⑥换底公式:log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且一次函数的基本知识点
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