第六章统计学

㈡置信区间与置信度之间的关系 P（^Q1<Q<^Q2）=1-α ^Q1，^Q2是统计量，是随着样本而变的随机变量。 对于不同的样本，区间是会变化的。对于一次抽样所 形成的样本，它的区间估计可能包含待估参数，也可 能不包含。1-α正是指出包含待估参数这个随机事件 的概率是多少。对于置信度，一般是根据实际情况预 先给定的。如置信度1-α取0.90，它表示如果独立重 复抽取很多样本，每次样本容量n保持不变，那么平 均而言，每100个样本，其中有90个样本算出的区间 估计是包含待估参数的。 在样本容量一定的情况下，置信区间和置信度是相互 制约的。置信度越大，则相应的置信区间也越宽。



㈡σ2为未知 X-μ ~t（0，1） s/√n P(-Tα/2 <T<Tα/2)=1- α P(-Tα/2 < X-μ <Tα/2 )=1- α S/√n 整理：（Ｘ－Tα/2 S，Ｘ＋Tα/2 S） √n √n
第六节 大样本区间估计



中心极限定理：对于随机变量分布的任何形式， 只要n足够大， n个独立同分布的随机变量之 和或均值的分布都将近似服从正态分布。 由于中心极限定理，使我们在不知道总体分布 的情况下，可通过增加样本容量的办法，对总 体均值进行区间估计。 大样本一般取n≥50




三、统计量 从总体中抽取容量为n的样本，可看作n个独立同总体 分布的随机变量ξ1ξ2……ξn，那么随机变量的任何函 数f（ξ1ξ2……ξn）也是随机变量,我们把f（ξ1ξ2……ξn） 叫统计量。根据随机变量ξ1ξ2……ξn的观测值X1 X2……Xn计算得到的统计数字就是相应统计量的观测 值。统计量的分布又叫抽样分布。 参数值：总体值，是关于总体中某一变量的综合描述。 参数值是确定不变、唯一的，但通常是未知。 统计值：样本值，是关于样本中某一变量的综合描述。 统计值是变化的。 按习惯参数值常以希腊字母表示，统计值常以罗马字 母表示。
第二节 名词解释


一、总体 研究对象的全体。 二、样本与简单随机样本 从总体中按一定方式抽出的一部分称为样本。 如果要求抽样的数据，不但是随机变量，而且相互独 立，遵从同一分布（即同总体所遵从的分布），这样 的样本就叫简单随机样本。一般在无限总体中的随机 抽样或有限总体中的回置抽样所得样本都是简单随机 样本。在社会调查中，有限总体，不回置抽样，严格 来说这样不满足简单随机抽样，但当样本容量比总体 小很多时，可以近似看作简单随机样本。 随机样本的两重性。调查前，各个调查尚未进行，因 此要获得的数据ξ1ξ2ξ3……ξn具有不确定性，随机性， 即他们都是随机变量。但调查后，所得结果是一组具 体、确定的数值X1 X2……Xn ，就不再随机了，它称 为ξ1ξ2……ξn的观测值，即样本观测值。


1、从任意分布的总体中反复不断抽取规模相 同且足够大量的样本，样本分布的 平均值会 （ ）（中大，2008） A大于总体均值 B小于总体均值 C等于总体 均值 D因总体分布形态未知，故无法判断 2、参数值用于（ ） A描述样本特征 B总体特征 C用于点估计或 区间估计 D描述样本和总体的关系 3、关于抽样分布的说法，哪个是错误的（ ） A抽样分布的标准差等于总体标准差 B若样本 相当大，则抽样分布接近正态分布 C抽样分 布的均值等于总体均值 D 抽样分布是建立在 概率基础上的一种理论分布



㈡大样本总体成数p的区间估计 样本成数^ p可看成n个满足二点分布（0，1） ξ i的均值。在大样本情况下np≥5和n（1-p） ≥5， ^ p 的分布可近似看成正态分布。 P(^ p -zα/2σ^ p <μ < ^ p +zα/2σ^ p )=1-α σ ^ p= √p (1-p)/n 当p未知时,可用^ p代替。zα/2是正态分布双侧 区间的分位点。




习题1：在某农村随机抽取300户，发现123户 是亦工亦农家庭。试估计其95%的置信区间， 并提出研究结论。 0.41+0.056，有95%的信心，全村的亦工亦农 家庭是介于35.4%与46.6%之间。 习题2：从某城市随机选取122名老年人，发 现他们平均每天看电视5.2小时，标准差是2.1 小时。如要求99%置信度，估计全市老年人平 均每天看几小时电视。 5.2+0.49，有99%的信心，全市老年人平均每 天看电视介于4.71小时与5.69小时之间。




Ｅ（ ^ P1-^ P2 ）＝ P1- P2 σ（ ^ P1-^ P2 ）＝ √ Ｐ1（１－P1 ） ＋Ｐ２（１－P1２） n1 n2 大样本总体成数差 P1- P2 的区间估计公式： Ｐ〔 (^ P1-^ P2 ) - zα/2σ(^ P1-^ P2 ) ﹤ μ1 -μ2 ﹤ (^ P1-^ P2 ) ＋zα/2σ(^ P1-^ P2 ) 〕= 1-α 当P1，P2未知时，可用样本成数^ P1，^ P2代 替





二、正态总体均值的区间估计 ㈠ σ2为已知 X-μ ~N（0，1） σ/√n 对于μ的双侧置信区间 P(-Zα/2 <Z <zα/2)=1- α P(-Zα/2 < X-μ <zα/2 )=1- α σ/√n 整理：（Ｘ－Ｚα/2 σ，Ｘ＋Ｚα/2 σ） √n √n



在一项社会学研究中，研究者运用随机抽样方 法抽取了1000个样本进行问卷调查，其中回 答“有乱扔垃圾习惯”的人数为560人，请在 95%的置信度下对研究总体中“有乱扔垃圾习 惯”的人数比例进行区间估计。（ z0.05/2=1.96） （武大考研2005，17分） 从一所大学随机调查400名学生，得出他们的 平均年龄为20岁，标准差是2岁，求在95%的 置信度下全校学生平均年龄的置信区间。 （ z0.05/2=1.96） （南京大学2003年考研，10 分）
第六章 参数估计 第一节 统计推论


所谓统计推论就是根据局部资料（样本资料） 对总体的特征进行推断。 统计推论有两个方面的特点，一是由于局部来 源于总体，因此局部资料的特性在某种程度上 能反映总体的特性。另一方面由于社会资料的 随机性，即抽样的结果不是唯一的，使得一次 抽样结果不能恰好等于总体的结果，更何况总 体参数不知道。 统计推论的内容大致分两个部分：一是通过样 本对总体的未知参数进行估计，简称参数估计； 二是通过样本对总体的某种假设进行检验，简 称假设检验。





㈡总体分布为正态分布N（μ，σ2），但方差 σ2为未知： 这时我们用样本方差S2作为总体方差σ2的估计 值。根据数学推算，统计量 X-μ ~t（n-1） S/√n t分布图形是对称的，与正态分布图形相同， 但离散程度比标准正态分布要大， σt2=K/K-2。当K很大时（>30），就可用标准 正态分布来近似t分布。



4、样本量既定，可信度越高，可信区间也越 大。 5、一般情况下，用统计量描述总体特征。 6、抽样分布的标准差等于总体标准差。 7、显著度实际是否定域在整个抽样分布中所 占的比例。 8、标准差实际上是标准误差。




三、大样本二总体均值差的区间估计 第一总体的参数为μ1 ，σ12 第二总体的参数为μ2 ，σ22 现从两总体中独立的各抽取一个随机样本： 来自第一总体的样本：X1,S12 来自第二总体的样本：X2,S22 于是样本均值差X1-X2可作为总体均值差μ1 -μ2的点估计 值 若n1 ≥50,n2 ≥50,x1，x2趋向正态分布， X1-X2也趋向正 态分布 Ｅ（ X1-X2）＝ μ1 -μ2 σ（ X1-X2）＝ √σ12＋ σ22 n1 n2
第五节 正态总体的区间估计


一、有关区间估计的几个概念 ㈠名词解释 对于参数的区间估计，在给出区间估计的同时，还必 须指出所给区间包含未知参数的概率是多少。 如：我们用^ Q作为未知参数Q的估计值，那么区间 （^Q-ε，^Q+ε）包含参数Q的概率为1-α，其中 （^Q-ε，^Q+ε）称为置信区间。区间的大小，反映 估计的准确性或精确性。1-α称为置信概率、置信度 或置信系数。它表示用置信区间估计的可靠性。α称 为显著性水平，表示用置信区间估计不可靠的概率。 显然，置信度与显著性水平之和为1。


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因此大样本二总体均值差μ1 -μ2的区间估计公 式： p〔 (X1-X2) - zα/2σ(X1-X2) ﹤ μ1 -μ2 ﹤ (X1-X2) +zα/2σ(X1-X2) 〕= 1-α 当σ12和σ22未知时，可用样本方差S12和S22代 替






四、大样本二总体成数差的区间估计 如两个总体都属于定类变量， 设第一个总体的成数为P1，第二个总体的成数 为P2，现从两总体中独立各抽取一个随机样本： ∧ 第一总体的样本容量为n1，样本成数P1 ∧ 第二总体的样本容量为n2，样本成数 P2 ∧ ∧ 于是样本成数差P1- P2可作为总体间成数差P1P2的点估计值 当n1 P1 ≥5，n1 （１－P1 ）≥ 5， n ２P２≥5，n ∧ ∧ P ∧）≥5， P1， P2趋向正态分布 ， ２（１－ ∧ ２ P1-P2也趋向正态分布





一、大样本总体均值的区间估计 P(x-zα/2σ<μ <x+zα/2σ)=1-α √n √n σ是总体标准差，当σ未知时，用样本标准差s 代替。zα/2是正态分布双侧区间的分位点。 二、总体成数（二项总体参数p）的估计 二项分布中随机事件A发生的概率就是总体成 数。 ㈠总体成数p的点估计 用样本成数作为总体成数的点估计值： ^ p=m (n次独立实验中，A出现m次） n



随机抽样

抽样方法
简单随机抽样 系统抽样 分层抽样 整群抽样 多段抽样



偶遇抽样 非随机抽样 定额抽样 判断抽样 雪球抽样 只有随机抽样可做统计推论。
第三节 参数的点估计




参数估计分两类：一是点估计，就是用样本计算出来 的一个数来估计未知参数。二是区间估计，是通过样 本计算出一个范围来对未知参数进行估计。 一、总体参数（均值与方差）的点估计公式 用样本均值作为总体均值的点估计值 X= 1∑Xi n 用样本方差作为总体方差的点估计值 S2= 1 ∑(Xi-X) 2= 1 [ ∑Xi2-(∑Xi) 2 ] n-1 n-1 n 其中X1 X2……X n是样本ξ1ξ2……ξn的观测值。 二、评价估计值的标准（无偏性、有效性、一致性）
第四节 抽样分布


样本均值和样本方差都是统计量，是随机变量， 对随机变量要研究它的数字特征（均值和方差） 和分布（抽样分布） F

-3se -2se
-se
m
se
2se 3se xi


一、样本均值的分布 ㈠总体分布为正态分布N（μ，σ2），且方差σ2为已知： X= 1∑ξi ~ N（μ，σ2） n n 两者分布形式和μ都是一样，只是方差不同。随着样本 容量n的增加，可以有效减少抽样分布的分散程度。正 如σ反映了总体随机变量ξ围绕μ的平均分散程度一样。 σx反映了统计量X围绕μ的分散程度，或说反映了抽样 均值与μ的平均误差水平。σx称做抽样均值的平均误差 或标准误差，σx与σ不同之处在于σ是总体的参数，是 唯一不变的数，而σx除了与总体σ有关外，还随着样本 容量而变化。 如果将X标准化 X-μ ~N（0，1） σ/√n




㈢任意总体，大样本情况 根据中心极限定理，只要样本容量足够大，即 在大样本情况下，X的分布将接近正态分布。 若总体均值为μ，方差为σ2，当n ∞时， X-μ ~N（0，1） X-μ ~ N（0，1） S/√n σ/√n

这样，我们在社会现象的研究中，可以不考虑 总体的原分布如何，只要n足够大（n>50）时， X的分布将确定为一个近似的正态分布。 二、样本方差的分布