线段的和差倍分问题的证明
一、运用定理法
即直接或间接运用某些涉及线段和差倍分关系的定理或推论进行证明。此类定理和推论有：三角形中位线定理；梯形中位线定理；直角三角形30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
例1 如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 中点.
求证：DM = 2
1AB
对应练习
1、已知：如图所示，点D 、E 分别是等边ABC ∆的边AC 、BC 上的点，AD=CE ，BD 、AE 交于点P ，AE BQ ⊥于Q ．求证：PB PQ 2
1
=
．
2、如图所示，在ABC ∆中，AB=AC ，︒=∠90BAC ，BE 平分ABC ∠，交AC 于D ，BE CE ⊥于E 点，求证：BD CE 2
1
=．
3、如图所示，在ABC ∆中，BC AB 2
1
=，D 是BC 的中点，M 是BD 的中点．求证：AC=2AM ．
4、已知：如图所示，D 是ABC ∆的边BC 上一点，且CD=AB ，BAD BDA ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线．求证：AC=2AE ．
Q A D
P C B E M
A
D
B
C A
B E
D A
5、已知：如图所示，锐角ABC ∆中，C B ∠=∠2，BE 是角平分线，BE AD ⊥，垂足是D ．求证：AC=2BD ．
二、割补线段法
这是证明线段的和差倍分问题的一种重要方法。即通过“分割”或“添补”的形式，在相关线段或其延长线上构造一线段，使之能够表示几条线段的和差倍分关系，从而将多线段问题转化为两线段问题。在证明线段的和差倍分关系时，往往通过添辅助线，构造出能表示线段的和差倍分关系的线段，促使问题的转化。但在添加辅助线之前一定要结合题意和图形深入分析，想一想，图形中是否已经存在能表示有关线段和差倍分关系的线段，否则乱添加辅助线只能把图形复杂化，使思路步人歧途。下面请看一个例子。
例2、P 是正方形ABCD 的边BC 上的任意一点，AQ 平分∠PAD . 求证：AP =BP +DQ .
例3、 如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AE 是经过点A 的一条直线，交BC 于F ，且B 、C 在AE 在的异侧，BD ⊥AE 于D ，求证：DB =DE +CE 。
对应练习
1、如图所示，已知ABC ∆中，︒=∠60A ，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ．求证：BE+CD=BC ．
A
D
E B
C
A O
E
B
C
D
2、如图所示，已知ABC ∆中，B A ∠=∠2，CD 是ACB ∠的平分线，求证：BC=AC+AD ．
3、如图所示，若E 为正方形ABCD 的边BC 上一点，AF 为DAE ∠的平分线，AF 与CD 相交于F 点．求证：AE=BE+DF ．
4、如图所示，等边ABC ∆和等边BDE ∆，点A 在DE 的延长线上，求证：BD+DC=AD ．
三、比例线段法
即找出与所证明有关的比例式，通过对比例式进行变形或重新组合，从而得
出线段之间的和差倍分关系。
例5 如图，在△ABC 中，BD 是∠B 的平分线，△ABD 的外接园交BC 于E ，若AB =
2
1
AC ， 求证：CE =2AD 。
A
D B A B C D E
F
A
E B
D C
证明线段的和差倍分问题作业
1、如图所示，在等腰三角形ABC 中，P 是底边BC 上的任意一点．（1）求证：P 点到两腰的距离之和等于腰上的高．（2）若P 点在BC 的延长线上，那么点P 到两腰的距离与腰上的高三者之间存在什么关系？
2、如图所示，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，︒=∠108A ，BD 平分ABC ∠．求证：BC=AB+DC ．
3、如图所示，已知ABC ∆是等腰三角形，AB=AC ，︒=∠45BAC ，AD 和CE 是高，它们相交于H ，求证：AH=2BD ．
M P B C
F D
A
E A B D
C A E H
B D C
线段的和差倍分问题的证明
一、运用定理法
即直接或间接运用某些涉及线段和差倍分关系的定理或推论进行证明。此类定理和推论有：三角形中位线定理；梯形中位线定理；直角三角形30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
例1 如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 中点.
求证：DM = 21AB
分析：如图，因为
2
1
AB 等于△ABC 的 中位线NM 的长，所以原命题就转化为证明DM ＝NM 。∵DN 为Rt △ADC 斜边上的中线，∴DN =NC ；∴∠2=∠C ，又∵2∠C =∠B =∠1=∠2+∠3,∴∠2=∠3=∠C ，∴DM =MN ，问题得证。
说明：证明线段的和差倍分问题，大都是采取间接的方法进行，即把线段的和差倍分问题转化为证明两条线段相等的问题。“转化”是证明线段的和差倍分问题的指导思想，它通过对原问题进行变形，促使矛盾的转移，从而达到化未知
为已知，化难为易，化繁为简的目的，一般说来，运用定理法证明线段的和差倍分问题，就是根据有关定理将原命题转化后再证明。
1、已知：如图所示，点D 、E 分别是等边ABC ∆的边AC 、BC 上的点，AD=CE ，BD 、AE 交于点P ，AE BQ ⊥于Q ．求证：PB PQ 2
1
=
．
2、已知：如图所示，在ABC ∆中，AB=AC ，︒=∠120A ，AB 的垂直平分线MN 分别交BC 、AB 于点M 、N ．求证：CM=2BM ．
能力挑战1、如图所示，在ABC ∆中，BC AB 2
1
=，D 是BC 的中点，M 是BD 的中点．求证：AC=2AM ．
能力挑战2、已知：如图所示，在ABC ∆中，BD 是AC 边上的中线，BH 平分BH AF CBD ⊥∠,，分别交BD 、BH 、BC 于E 、G 、F ．求证：2DE=CF ．
【经典练习】
1、如图所示，已知ABC ∆中，21∠=∠，AD=DB ，AC DC ⊥．求证：AB AC 21=．
Q A D
P C B E M
A
D
B
C
A
E
G B D
H F
A
C 1 2
