线段的和差倍分问题的证明2017

证题技巧之三一一证明线段或角的和差倍分一、证明线段或角的倍分1、方法：①长（或大）折半 ②短（或小）加倍2、判断：两种方法有时对同一个题都能使用，但存在易繁的问题，因此，究竟是折半还是加倍要以有利于利用已知条件为准。

3、添线：①为折半或加倍而添；②为折半或加倍后创造条件或利于利用已知条件而添。

4、传递：在加倍或折半后，还不易或不能证明结论，则要找与被证二量有等量关系的量来传递，或者添加这个量来传递。

此时，添 线从两方面考虑：①造等量②为证等量与被证二量相等而添。

参考例4、例5、例6。

例1 AD 是^ ABC 的中线，ABEF 和ACGH 是分别以AB 和AC 为边向形外作的正方形。

求证：FH=2AD/ BAC+ / ACN=180证明：延长AD 至N 使AD=DN则ABNC 是平行四边形CN=AB=FA AC=AH又/ FAH+ / BAC=180 •••△ FAHY NCA ••• FH=AN例 2、△ ABC 中，/ B=2 / C ,AD 是高，M 是BC 边上的中点。

$•••1求证：DM=2 AB/ 2=Z B •••/ 2=2Z 1•••/ 1 = / DNM 又 AN=DN=ND • DM=2 A B1贝J BFAC••• BF=AE•••△ AEC 心 BFD •DF 二CE 二 CD=2CE作业:1、在△ABC 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，BE 的延长 1线交AC 于F ,求证：AF=2 FC2、AB 和AC 分别切© O 于B 和C, BD 是直径。

求证/ BAC 二Z CBD3、圆内接△ ABC 的AB=AC ,过C 作切线交AB 的延长线于D , DE 垂直于AC 的延长线于E 。

求证：BD=2CE例4从平行四边形的钝角顶点 A 向BC 边作垂线，垂足为E ,证明：取AB 的中点N ，连接MN 、DN贝J MN // AC / 1 = / C••• DM=DN例 3 △ ABC 中，AB=AC , E 是AB 的中点，D 在AB 的延长线上，且 DB=AC 。

有关线段的和差倍分的证明及其和方法
1、如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于E，
F在AC上，BD=DF. 求证：（1）CF=EB．（2）AB=AF+2EB．
2、在平行四边形ABCD中，E在AD上，AE=CD,F是平行四边形外一点，连接AF、BF，连接EF交AB于G，且∠EFB=∠C=60°，求证：EF=AF+BF
3、在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，D是AC上任一点，CE⊥BD交BD的延长线于E,①求∠AEB的度数，②求证：AE=BE-CE
4．在△ABC中，AB=AC，△A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB 相交于点E，DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F.
2
第22题图
（1）如图1，若DF ⊥AC ，垂足为F ，AB=4，求BE 的长；
（2）如图2，将（1）中的∠EDF 绕点D 顺时针旋转一定的角度，DF 扔与线段AC 相交于点F.求证：1CF 2
BE AB +=；
（3）如图3，将（2）中的∠EDF 继续绕点D 顺时针旋转一定的角度，使DF 与线段AC 的延长线交与点F ，作DN ⊥AC 于点N ，若DN=FN
，求证：)BE CF BE CF +=-.
25题图2
25题图1。

线段的和差倍分问题的证明一、运用定理法即直接或间接运用某些涉及线段和差倍分关系的定理或推论进行证明。

此类定理和推论有：三角形中位线定理；梯形中位线定理；直角三角形30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

例1 如图，在△ABC 中，∠B =2∠C ，AD ⊥BC 于D ，M 为BC 中点.求证：DM = 21AB对应练习1、已知：如图所示，点D 、E 分别是等边ABC ∆的边AC 、BC 上的点，AD=CE ，BD 、AE 交于点P ，AE BQ ⊥于Q ．求证：PB PQ 21=．2、如图所示，在ABC ∆中，AB=AC ，︒=∠90BAC ，BE 平分ABC ∠，交AC 于D ，BE CE ⊥于E 点，求证：BD CE 21=．3、如图所示，在ABC ∆中，BC AB 21=，D 是BC 的中点，M 是BD 的中点．求证：AC=2AM ．4、已知：如图所示，D 是ABC ∆的边BC 上一点，且CD=AB ，BAD BDA ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线．求证：AC=2AE ．Q A DP C B E M ADB AB ED CA5、已知：如图所示，锐角ABC ∆中，C B ∠=∠2，BE 是角平分线，BE AD ⊥，垂足是D ．求证：AC=2BD ．二、割补线段法这是证明线段的和差倍分问题的一种重要方法。

即通过“分割”或“添补”的形式，在相关线段或其延长线上构造一线段，使之能够表示几条线段的和差倍分关系，从而将多线段问题转化为两线段问题。

在证明线段的和差倍分关系时，往往通过添辅助线，构造出能表示线段的和差倍分关系的线段，促使问题的转化。

但在添加辅助线之前一定要结合题意和图形深入分析，想一想，图形中是否已经存在能表示有关线段和差倍分关系的线段，否则乱添加辅助线只能把图形复杂化，使思路步人歧途。

下面请看一个例子。

例2、P 是正方形ABCD 的边BC 上的任意一点，AQ 平分∠PAD . 求证：AP =BP +DQ .例3、 如图，△ABC 中，∠BAC =90°，AE 是经过点A 的一条直线，交BC 于F ，且B 、C 在AE 在的异侧，BD ⊥AE 于D ，求证：DB =DE +CE 。

如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．（3）解：BE+DF=EF；理由如下：延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，如图3所示：∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°，∴∠NBC=∠D，在△NBC和△FDC中，，∴△NBC≌△FDC（SAS），∴CN=CF，∠NCB=∠FCD，∵∠BCD=140°，∠ECF=70°，∴∠BCE+∠FCD=70°，∴∠ECN=70°=∠ECF，在△NCE和△FCE中，，∴△NCE≌△FCE（SAS），∴EN=EF，∵BE+BN=EN，∴BE+DF=EF．26．已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C 向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．（1）当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF（不需证明）（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．【考点】四边形综合题．【分析】（1）由△AOE≌△COF即可得出结论．（2）图2中的结论为：CF=OE+AE，延长EO交CF于点G，只要证明△EOA≌△GOC，△OFG是等边三角形，即可解决问题．图3中的结论为：CF=OE﹣AE，延长EO交FC的延长线于点G，证明方法类似．【解答】解：（1）∵AE⊥PB，CF⊥BP，∴∠AEO=∠CFO=90°，在△AEO和△CFO中，，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF．（2）图2中的结论为：CF=OE+AE．图3中的结论为：CF=OE﹣AE．选图2中的结论证明如下：延长EO交CF于点G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠EAO=∠GCO，在△EOA和△GOC中，，∴△EOA≌△GOC，∴EO=GO，AE=CG，在RT△EFG中，∵EO=OG，∴OE=OF=GO，∵∠OFE=30°，∴∠OFG=90°﹣30°=60°，∴△OFG是等边三角形，∴OF=GF，∵OE=OF，∴OE=FG，∵CF=FG+CG，∴CF=OE+AE．选图3的结论证明如下：延长EO交FC的延长线于点G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠AEO=∠G，在△AOE和△COG中，，∴△AOE≌△COG，∴OE=OG，AE=CG，在RT△EFG中，∵OE=OG，∴OE=OF=OG，∵∠OFE=30°，∴∠OFG=90°﹣30°=60°，∴△OFG是等边三角形，∴OF=FG，∵OE=OF，∴OE=FG，∵CF=FG﹣CG，∴CF=OE﹣AE．26．如图，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．【解答】解：（1）①由旋转的性质可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG．∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD=90°．又∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°．∴∠BAG+∠BAE=45°．∴∠GAE=∠FAE．在△GAE和△FAE中，∴△GAE≌△FAE．②∵△GAE≌△FAE，AB⊥GE，AH⊥EF，∴AB=AH，GE=EF=5．设正方形的边长为x，则EC=x﹣2，FC=x﹣3．在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2=FC2+EC2，即（x﹣2）2+（x﹣3）2=25．解得：x=6．∴AB=6．∴AH=6．（3）如图所示：将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′．∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABD=∠ADB=45°．由旋转的性质可知：∠ABM=∠ADM′=45°，BE=DM′．∴∠NDM′=90°．∴NM′2=ND2+DM′2．∵∠EAM′=90°，∠EAF=45°，∴∠EAF=∠FAM′=45°．在△AMN和△ANM′中，，∴△AMN≌△ANM′．∴MN=NM′．又∵BM=DM′，∴MN2=ND2+BM2．25．已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E，点P是线段DE上一定点（其中EP＜PD）（1）如图1，若点F在CD边上（不与D重合），将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD、PF分别交射线DA于点H、G．①求证：PG=PF；②探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．（2）拓展：如图2，若点F在CD的延长线上（不与D重合），过点P作PG⊥PF，交射线DA于点G，你认为（1）中DE、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．【考点】四边形综合题．【分析】（1）①若证PG=PF，可证△HPG≌△DPF，已知∠DPH=∠HPG，由旋转可知∠GPF=∠HPD=90°及DE平分∠ADC 得△HPD为等腰直角三角形，即∠DHP=∠PDF=45°、PD=PH，即可得证；②由△HPD为等腰直角三角形，△HPG≌△DPF知HD=DP，HG=DF，根据DG+DF=DG+GH=DH即可得；（2）过点P作PH⊥PD交射线DA于点H，先证△HPD为等腰直角三角形可得PH=PD，HD=DP，再证△HPG≌△DPF 可得HG=DF，根据DH=DG﹣HG=DG﹣DF可得DG﹣DF=DP．【解答】解：（1）①∵∠GPF=∠HPD=90°，∠ADC=90°，∴∠GPH=∠FPD，∵DE平分∠ADC，∴∠PDF=∠ADP=45°，∴△HPD为等腰直角三角形，∴∠DHP=∠PDF=45°，在△HPG和△DPF中，∵，∴△HPG≌△DPF（ASA），∴PG=PF；②结论：DG+DF=DP，由①知，△HPD为等腰直角三角形，△HPG≌△DPF，∴HD=DP，HG=DF，∴HD=HG+DG=DF+DG，∴DG+DF=DP；（2）不成立，数量关系式应为：DG﹣DF=DP，如图，过点P作PH⊥PD交射线DA于点H，∵PF⊥PG，∴∠GPF=∠HPD=90°，∴∠GPH=∠FPD，∵DE平分∠ADC，且在矩形ABCD中，∠ADC=90°，∴∠HDP=∠EDC=45°，得到△HPD为等腰直角三角形，∴∠DHP=∠EDC=45°，且PH=PD，HD=DP，∴∠GHP=∠FDP=180°﹣45°=135°，在△HPG和△DPF中，∵∴△HPG≌△DPF，∴HG=DF，∴DH=DG﹣HG=DG﹣DF，∴DG﹣DF=DP．【点评】本题主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质的综合运用，灵活运用全等三角形的判定与性质将待求证线段关系转移至其他两线段间关系是解题的关键．例4 （2013•黑龙江）正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明）（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．思路分析：（1）过点B 作BG ⊥OE 于G ，可得四边形BGEF 是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG ，BF=GE ，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB ，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG ，然后利用“角角边”证明△AOE 和△OBG 全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE ，OE=BG ，再根据AF-EF=AE ，整理即可得证；（2）选择图2，过点B 作BG ⊥OE 交OE 的延长线于G ，可得四边形BGEF 是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG ，BF=GE ，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB ，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG ，然后利用“角角边”证明△AOE 和△OBG 全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE ，OE=BG ，再根据AF-EF=AE ，整理即可得证；选择图3同理可证．解：（1）证明：如图，过点B 作BG ⊥OE 于G ，则四边形BGEF 是矩形，∴EF=BG ，BF=GE ，在正方形ABCD 中，OA=OB ，∠AOB=90°，∵BG ⊥OE ，∴∠OBG+∠BOE=90°，又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG ，∵在△AOE 和△OBG 中，90AOE OBG AEO OGB OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△OBG （AAS ），∴OG=AE ，OE=BG ，∵AF-EF=AE ，EF=BG=OE ，AE=OG=OE-GE=OE-BF ，∴AF-OE=OE-BF ，∴AF+BF=2OE ；（2）图2结论：AF-BF=2OE ，图3结论：AF-BF=2OE ．对图2证明：过点B 作BG ⊥OE 交OE 的延长线于G ，则四边形BGEF 是矩形，∴EF=BG ，BF=GE ，在正方形ABCD 中，OA=OB ，∠AOB=90°，∵BG ⊥OE ，∴∠OBG+∠BOE=90°，又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG ，∵在△AOE 和△OBG 中，90AOE OBG AEO OGB OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△AOE ≌△OBG （AAS ），∴OG=AE ，OE=BG ，∵AF-EF=AE ，EF=BG=OE ，AE=OG=OE+GE=OE+BF ，∴AF-OE=OE+BF ，∴AF-BF=2OE ；若选图3，其证明方法同上．点评：本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键，也是本题的难点．2.（2015•随州）问题：如图（1），点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，∠EAF=45°，试判断BE 、EF 、FD 之间的数量关系．【类比引申】如图（2），四边形ABCD 中，∠BAD ≠90°，AB=AD ，∠B+∠D=180°，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，则当∠EAF 与∠BAD 满足 关系时，仍有EF=BE+FD ．26．已知二次函数y=x 2﹣（2k +1）x +k 2+k （k ＞0），若该二次函数与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左侧），与y 轴交于C 点，P 是y 轴负半轴上一点，且OP=1，直线AP 交BC 于点Q ，求证：．（3）由题意可得：点P的坐标为（0，1），则0=x2﹣（2k+1）x+k2+k0=（x﹣k﹣1）（x﹣k），故A（k，0），B（k+1，0），当x=0，则y=k2+k，故C（0，k2+k）则AB=k+1﹣k=1，OA=k，可得，y BC=﹣kx+k2+k，当x﹣1=﹣kx+k2+k，解得：x=k+，则代入原式可得：y=，则点Q坐标为运用距离公式得：AQ2=（）2+（）2=，则OA2=k2，AB2=1，故+=+1==，则．。

线段的和、差、倍、分计算1.线段上有1个点。

如线段AB上有一点M和：AB= + 差：AM= — BM= —特别：当M是线段的中点时。

倍：AB= AM= BM 分：AM= AB BM= AB2.线段上有2个点。

如点M、N是线段AB上的两个点。

和：AB= + + ；AN= + ；MB= +差：AM=AB— ; AM=AN— ; MN=AB—— ; MN=AN—MN=MB— ; NB=AB— ; NB=MB—。

一、填空题1.如图，点M、N是线段AB上的两个点，则不同的线段有：。

2. 如图，点C把线段AB分成两条线段，分别是。

3.如图，M把线段AB分成两条线段，且线段AM=MB，则点M是线段AB的，AB= AM,BM= AB.4.如图，P为线段MN上一点，且线段MP=5cm,PN=3cm。

求线段MN的长。

解：因为MP=5,PN=3所以MN= += +=3..如图，P为线段MN的中点，且线段MN=10cm。

求线段NP的长。

解：因为P为线段MN的中点1所以NP=2= =4.如图，P是线段MN的中点，且线段MN=4cm，则线段MP=PN= cm。

5.如图，点C是线段AB上一点，线段AC=2cm，CB=3cm，则线段AB= cm。

6. 如图，已经线段MN=10cm，线段PN=3cm，则线段MP= 。

7.如图一，已知线段AB=8cm，点C在线段AB上，且线段BC=2cm，，则线段AC= ；如图二，点C在线段AB的延长线，且线段BC=2cm，则线段AC= cm。

(已知线段AB=8cm，点C在直线AB上则线段AC= ）8. 如图，在线段AB上有两点M、N，且线段AM=2cm，MN=4cm，NB=3cm，则线段AB= 。

9.如图，已经线段AB=12cm，AM=4cm，MN=2cm，则线段AB= cm。

10.如图，已经线段AB=12cm,AM=3cm，NB=5cm，则线段MN= 。

11.如图，已知线段AB=14cm ，点M 为中点，线段MN=3cm ，，则线段NB= 。

探究线段的和、差、倍、分是平面几何中常见的问题，“截长补短法”是解决这一类问题的常用方法，“截长”就是将题中的某条线段截成题中的几条线段之和；“补短”就是将题中某条线段延长（补上某线段），然后，证明它与题中某条线段相等。

例1.如图Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分线交AC于D.求证：AD+AB=BC.分析：要证明AD+AB=BC.根据BD是∠ABC的平分线，可借助角平分线的性质，在BC 上构造一条线段等于AB，另一条线段等于AD即可。

为此，可作DE⊥BC.证法1：DE⊥BC，垂足于E.∵DB是∠ABC的平分线，DA⊥AB，∴DA=DE，AB=EB，又∵AB=AC，∴∠C=45°，∴ED=CE，∴BC=BE+CE=AB+AD.补短法也可以证明。

证法2：如图2，延长BA到F，使AF=AD，连结DF.∵DA⊥AB，∴∠FAC=90°，∵AF=AD，∴∠F=45°，同理∠C=45°，∴∠F=∠C，∵∠FBD=∠CBD，BD=BD，∴△FBD≌△CBD，∴FB=BC，∵FB=BA+FA=BA+AD，∴AD+AB=BC评注：证明一条线段等于两条线段之和，一般有截长法或补短法两种变式1：△ABC中，∠A=108°，AB=AC，∠ABC的平分线交AC于D.求证：BC=AB+CD变式2: △ABC中，∠A=100°，AB=AC，∠ABC的平分线交AC于D.求证：BC=BD+AD(同学们仿照例题,中、课后思考完成)“一题多解”有利于锻炼学生思维的灵活性，活跃思路，让学生能根据题目给出的已知条件，并结合自身情况，灵活地选择解题切入点．“一题多解”有利于培养学生的创新思维，使学生不满足仅仅得出一道习题的答案，而去追求更独特、更快捷的解题方法。

“一题多解”有利于学生积累解题经验，丰富解题方法，学会如何综合运用已有的知识不断提高解题能力。

四、利用全等三角形证线段之间的和差倍分问题证一条线段等于其它两条线段的和或差，常将其转化成证明线段的相等问题，常用的方法如下：(1)利用图形中已有的线段和差关系进行证明。

(2)延长一条线段，作出两条线段的和，然后证明这条线段等于第三条线段。

(3)在第三条线段上截取一段等于第一条线段，然后证余下的线段等于第二条线段。

后两种方法，就是通常所说的截长补短。

例1.已知：如图在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB相邻外角∠ACG的平分线相交于D，DE∥BC交AB于E，交AC于F，求证：EF=BE-CF分析：要证EF=BE-CF，而图中EF=ED-FD，若证出BE=ED，CF=FD，则此题可证出。

（证明略）例2.已知：如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB 于E，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE分析：要证AE=AD+BE，则可转化为证AE-BE=AD，则需找到一条线段使它等于AE-BE，再证其与AD相等，在EA上截取EF=BE，连结CF，问题转化为证AF=AD，即要证出△AFC≌△ADC证明：在EA上截取EF=BE，连结CF∵CE⊥AB于E（已知）∴CF=CB（在线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等）∴∠1=∠B（等边对等角）∵∠1+∠2=180°（平角定义）∠B+∠D=180°（已知）∴∠2=∠D（等角的补角相等）（再往下证明略）3.如图，△ABC是等边三角形，∠BDC=120°，且BD=CD,∠MDN=60°，AB=12cm. (1)证明MN=BM＋NC.（2）求△AMN的周长。

（3）若点M、N分别是AB、CA延长线上的点，，请说明BM、MN、NC之间的关系。

分析：（1）证明MN=BM＋NC.是典型的三条线段之间的关系的题型，这种题型一般是采用“截长补短法”来证明。

“截长法”是在最长的线段MN上找一点F，将MN截为两部分(如图4)，比如截为MN=MF＋NF,且使MF=BM（或NF=NC）.再求证剩余的线段NF=NC，从而得到MN=BM＋NC。

怎样 证 明 线 段 倍 分 题在题设条件或结论中含有一条线段是另一条线段的2倍的问题， 我们可以称之为线段倍分问题. 本文介绍几种证明这类问题的方法.一、利用 直角三角形的相关性质直接证明 ：1. 利用含30°角的直角三角形的性质证明例1.已知：如图1，△ABC 是等边三角形，在AC 、BC 上分别取点 D 、E ，且AD=CE ，连结AE 、BD 交于点N ，过B 作BM ⊥AE ，垂 足为M ，求证：MN = 21BN.（提示：先证 ∠BNE = 60 °） 略证：由条件易证 △ABD ≌△CAE ，∴∠1=∠2 ， 那么 ∠BNE=∠1+∠3=∠2+∠3 =60°，∵BM ⊥AE ， ∴ MN = 21BN. 2.利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边之半”证明例2. 已知:如图2，在△ABC 中 , ∠C = 2∠B , AD ⊥BC 于D ,M 是BC 的 中点 .求证: AC = 2DM证明：取AC 的中点E ，连结DE 、ME ，则在Rt △ACD 中，AC = 2DE ，及 ED= EC ， ∴ ∠EDC =∠C =2∠B ，又 M 是BC 的 中点, ∴ EM ∥AB ，∴ ∠EMC =∠B ， ∴ ∠EDC = 2∠EMC ，又∠EDC =∠EMC + ∠MED ，∴ ∠EMC =∠MED ， ∴ED = MD ，∴ AC = 2DM .3. 利用 三角形中位线性质证明例3.题同例2 ( 如图3)，取AB 的中点G ，连结GM 、GD ，仿例2易证二、利用等线段代换例4. 如图4，在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC = 90°，AB = AC ，BD 是AC 边上的中线，AF ⊥BD ，F 为垂足. 过C 作AB 的平行线交AF 的延长线于点E ，求证：AB = 2CE ；（吉林中招 ）分析： 由于AB = AC=2AD=2CD ，所以，要证 AB = 2CE, 只要证明CE = AD ，或CE = CD∵ CE ∥AB ， ∠BAC = 90°， ∴∠ACE= 90° ，∴ ∠E+∠EAC= 90°，由 AF ⊥BD 知∠ADB+∠EAC = 90°，∴∠E =∠ADB ，又AB = AC ， ∴△AEC ≌△BDA ， ∴CE = AD从而 AB = AC=2AD=2CE .这里，实际是取长线段AB 的等线段AC ，取其一半AD ，再证AD 与CE 相等，是常用的等量代换.三、 取半法: 即 取倍（长）线段的 一半等于分（短）线段，简称“取半法”例5.已知：如图5，四边形ABCD 中, ∠D = 90 °,对角线 AC 平分∠BAD , AC= BC,求证：AD = 21 AB ； 证明：作CE ⊥AB 于E ，由 AC = BC 知，AE =21AB ，所以只要证 AE= AD 即可， ∵∠1=∠2，AC = AC ， ∠AEC =∠D=90° ∴ △AEC ≌△ADC ， ∴ AD = AE =21AB. 四、倍半法:延长分（短）线段，使延长部分等于该线段， 再证这条“加长线段”等于倍（长）线段. 简称“加倍法”.例6. 如图6，已知△ABC 中，AC = BC ，∠ACB = 90°，BD 平分∠ABC ，AE ⊥BD 交BD 的延长线于E.求证: AE =21BD (江苏15届初中竞赛第2试改编） 证明：延长AE ，交BC 的延长线于M ，∵∠ACB = 90°，AE ⊥BD ，∴ ∠ACM = ∠ACB = 90°, ∴ ∠1=∠2，又 AC = BC ，∴ △AMC ≌△BDC ,∴ AM = BD ，又 BD 平分∠ABC ， AE ⊥BD∴△ABE ≌△MBE ，∴ AE = EM =21AM =21BD 附 练习题1. 如图7,在△ABC 中 , AB =AC, AD 和BE 是高, 它们相交于点H ,且AE =BE . 求证: AH = 2BD.(湖北黄冈中招)2.如图8-1，图8-2中，在△ABC 中, 已知∠C = 2∠B ，BC = 2AC ，求证：∠BAC =90°.3. 如图10，已知：△ABC 中，AD 是∠A 的平分线，且AB=AD ，CM ⊥AD ，交AD 的延长线于点M. 求证：AM =21(AB+AC ） 4. 如图11，在△ABC 中, AB = AC ，∠BAC = 120°, AB 边的 垂直平分线交AB 于点D ，交 CA 的延长线于点E. 求证：DE =21BC 5. 如图12， 已知MN ∥PQ ，AC ⊥PQ 于C ， DE=2AB ， 求证：∠ABC = 3∠DBC.（例题的变式：）6. 如图2，在例2中，求证：⑴ ∠ABD =∠FAD ； （吉林中招题）7 .如图3，已知：四边形ABCD 中, 对角线 AC 平分∠BAD , AC = BC, AB = 2 AD.求证： AD ⊥CD. （例3之逆）8 .如图6，已知△ABC 中，AC= BC ，∠ACB = 90°，D 是AC 上 一点，AE ⊥BE 交BD 的延长线于E ，且，AE =21BD ， 求证:BD 是∠ABC 的平分 线.(江苏15届初中竞赛第2 试）证明： 延长AE ，交BC 于M ，则△AMC ≌△BDC …部分解答2. 证法1：如图6，作∠C 的平分线CE 交AB 于E ，再作EF ⊥BC 于F ， 则 ∠ACB = 2∠1 = 2∠2，∠EFC = 90°，∵∠ACB=2∠B ， ∴∠B=∠2，EB= EC ，∵EF ⊥BC ， ∴BC=2CF ，又BC= 2AC ， ∴AC = CF .从而△ACE ≌△FCE ， ∴∠A =∠EFC = 90°证法2：分析如图7，延长BC 到E ，使CE = AC ，连结AE ，取BC 的中点D ，连结AD ， 只要证明△ACD 是等边三角形，则 ∠BAC =∠DAE = 90°.3.证明：常用倍半法，将短线段CE 加倍 ：延长CE 与BA 的延长线交于点M ，由 AB = AC ， BD 平分∠ABC ， BE ⊥CE ，知 △BME ≌△BCE ， ∴ CM = 2CE ，类似例2 ，易证△BDA ≌△CMA得 BD=CM=2CE.。

１、如图所示，已知线段AB=80厘米，点P 在线段AB上，N为PB的中点，且NB=14厘米，求PA的长．解：∵N是BP中点，且NB＝14cm∴PB=2NB=2×14=28cm又∵AB=80cm∴AP=AB﹣BP=80﹣28=52cm．２、如图，已知点M是线段AB的中点，点N 在线段MB上，MN=AM，若MN=3cm，求线段AB和线段NB的长．解：∵MN=AM，且MN=3cm，∴AM=5cm．又∵点M为线段AB的中点∴AB＝２AM＝2×５=10cm又∵NB=BM﹣MN∴NB=2cm．３、如图，已知线段AB=10cm，点N在线段AB上，NB=2cm，M是AB中点，求线段MN 的长。

解：∵线段AB=10cm，M是AB中点，∴BM=AB=5cm．∵NB=2cm，∴MN=BM﹣NB=5﹣2=3cm．４、已知线段AC和BC在同一条直线上，如果AC=5.6cm，BC=2.4cm，点M为AC的中点点N为BC的中点，求MN的长。

解：①如图1，∵AC=5.6cm，BC=2.4cm，点M为AC的中点，点N为BC的中点，∴MN=（AB+BC）=（5.6+2.4）=4cm，②如图2AC=5.6cm，BC=2.4cm，点M为AC的中点，点N为BC的中点，∴MN=（AB﹣BC）=1.6cm，故答案为：4cm或1.6cm．５、如图点B为线段AC上的点，AB=4cm，BC=3cm，M、N分别是AB、BC的中点，求：线段MN的长．解：∵M、N分别是AB、BC的中点，∴MB=AB，BN=BC，而AB=4cm，BC=3cm，∴MB=2cm，BN=1.5cm，∴MN=MB+BN=2cm+1.5cm=3.5cm，即线段MN的长为3.5cm．。

怎样证明线段倍分题在题设条件或结论中含有一条线段是另一条线段的几倍或几分之几的问题，我们可以称之为线段的倍分问题。

本文介绍几种证明这类问题的方法。

一. 利用直角三角形的相关性质直接证明1. 利用含角的直角三角形的性质证明例1. 已知，如图1，是等边三角形，在AC、BC上分别取点D、E，且AD＝CE，连结AE、BD交于点N，过B作，垂足为M，求证：（提示：先证）图1略证：由条件易证，那么，2. 利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边之半”证明例2. 已知：如图2，在中，，于D，M是BC的中点。

求证：AC＝2DM图2证明：取AC的中点E，连结DE、ME。

则在中，及又M是BC的中点，又，3. 利用三角形中位线性质证明例3. 题同例2（如图3），取AB的中点G，连结GM、GD，仿例2易证。

图3二. 利用等线段代换例4. 如图4，在等腰直角三角形ABC中，，AB＝AC，BD是AC边上的中线，，F为垂足。

过C作AB的平行线交AF的延长线于点E。

求证：图4分析：由于所以要证，只要证明，或证明：CE//AB，，由知，又，，CE＝AD从而这里，实际是取长线段AB的等线段AC，取其一半AD，再证AD与CE相等，是常用的等量代换。

三. 取半法［即取倍（长）线段的一半等于分（短）线段，简称“取半法”］例5. 已知：如图5，四边形ABCD中，，对角线AC平分，，求证：图5证明：作于E，由AC＝BC知，四. 倍半法［延长分（短）线段，使延长部分等于该线段再证这条“加长线段”等于倍（长）线段。

简称“加倍法”］例6. 如图6，已知中，AC＝CB，，BD平分，交BD的延长线于E。

求证：图6证明：延长AE，交BC的延长线于M。

又AC＝BC，又BD平分，练习题：1. 如图7，在中，AB＝AC，AD和BE是高，它们相交于点H，且AE＝BE，求证：AH＝2BD（2000，湖北黄冈中招）图72. 如图8－1，图8－2中，在中，已知，，求证：图8－1 图8－23. 如图9，在等腰直角三角形ABC中，，AB＝AC，BD是的平分线，从C向BD作垂线，垂足为E。

中考数冲刺几何题型专项突破专题一截长补短证明线段和差倍分问题【知识总结】1、补短法：通过添加辅助线构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，在证所构造的线段和求证中那一条线段相等；2、截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，在证明截剩部分与线段中的另一段相等。

3、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明，这种做法一般遇到证明三条线段之间关系是常用.如图1，若证明线段AB,CD,EF之间存在EF=AB+CD,可以考虑截长补短法截长法：如图2,在EF上截取EG=AB,在证明GF = CD即可；补短法：如图3,延长AB至H点，使BH=CD,再证明AH = EF即可.【类型】一、截长截长”是指在较长的线段上截取另外两条较短的线段，截取的作法不同，涉及四种方法。

方法一：如图2所示，在BF上截取BM=DF，易证△BM OA DFC ( SAS),则MC=FC=FG , △ BCM^ DCF ,可得△ MCF为等腰直角三角形，又可证△ CFE=45 , △ CFG=90 ,△ CFGS MCF, Fg CM,可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF , 于是BF=BM+MF=DF+CG.图2方法二：如图2所示，在BF上截取FM=GC，可证四边形GCFM为平行四边形，可得CM=FG=CF ；可得△ BFC=\ BDC=45 ，得△ MCF=90 ；于是△ BM OA DFC (AAS ), BM=DF ,又得△ BMC^DFC=135于是BF=FM+BM=CG+DF.上述两种方法中都利用了两个共顶点的等腰Rt△ BCD和厶MCF。

方法三：如图3所示，在BF上截取FK=FD，得等腰Rt△ DFK，可证得△ DFC=\ KFG=135 ，所以△ DFCX A KFG（SAS），所以KG=DC=BC ，△FKG=A FDC=A CBF，KGA BC，得四边形BCGK 为平行四边形，BK=CG ，于是BF=BK+KF=CG+DF.方法四:如图3所示，在BF上截取BK=CG ,可得四边形BCGK为平行四边形,BC=GK=DC , BC A KG ,△GKF=A CBF=A CDF,根据四边形BCFD为圆的内接四边形,可证得△ BFC=45，△ DFC=\ KFG，于是△ DCFX A KGF （AAS），DF=KF，于是BF=BK+KF=CG+DF.上述两种方法中都利用了两个共顶点的等腰Rt△ BDC 和^ KDF。

2017年中考数学线段和差倍分关系
证明线段之和或差的题目相对一般直接的证明题目是有一定难度的，一般情况下我们需要作辅助线将需要求和的两个线段拼接到一条线段上，然后证明他们之间的和或者差的关系，所以辅助线的选择是非常重要下面举出实例，大家在看解析方法的时候希望能够举一反三，能够有所收获。

实例1.如图正三角形ABC有外接圆，D为圆上任意一点，则有D到三角形三顶点的距离中最大的值等于到其他两个顶点的距离之和。

这是一道证明题，但是也是一道带有普遍结论的题目，一旦熟知这个结论，对我们解答填空题，选择题甚至解答题都有帮助，可以快速得出结论。

那怎么证明呢？既然是求证两线段之和等于第三条线段，那么我们就直接将两线段作辅助线拼接起来，看看有没有什么结论。

按上图延长BD到E，使得DE=DC,连接CE所以需要证明BE=AD，看看有没有包含有全等三角形。

证明步骤：延长BD到E，使得DE=DC,连接CE∵?ABC是正三角形∴AC=BC∵∠BAC 与∠BDC为圆内四边形对角，而∠BAC=60°∴∠BDC=120°∴∠CDE=60°又CD=DE∴?CDE是正三角形,即有∠DCE=60°∴∠ACD=∠BCE根据边角边性质就有ACD全等于?BCE∴AD=BE而BE=BD+CD∴AD=BD+CD 当然也可以延长CD到E，使得DE=BD，但是全等的三角形
就不是上面证明中提到的三角形了，大家感兴趣的可以尝试一下。

线段的和差倍分教案篇一：三角形专题线段的和差倍分专题：三角形之线段的和差倍分1、在△ABC中，∠ACB= 900，AC=BC，直线MN经过点C，且AD ⊥MN于D，BE⊥MN于E。

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE=AD+BE。

（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，问DE 、AD、BE 有何关系，并说明理由。

A2、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D. 求证：DE?AD?BE.3、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD4、如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：?BD=CF?BD=2CE．5、?如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D 点作EF∥BC交AB于E，交AC于F，求证：EF=BE+CF．?在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，过D点作EF∥BC 交AB于E，交AC于F，试探究BE、EF与CF的数量关系．篇二：【教案】2.4线段的和与差2.4线段的和与差教学目标1．理解线段可以相加减，掌握用直尺、圆规作线段的和、差. 2．利用线段的和与差进行简单的计算。

教学重点和难点重点：用直尺、圆规作线段的和、差。

难点：进行简单的计算。

教学时间：1课时教学类型：新授教学过程：一、复习旧知，作好铺垫1．已知线段AB，用圆规、直尺画出线段CD，使线段CD=AB. 2．两点间的距离是指（）A.连结两点的直线的长度；B.连结两点的线段的长度；C.连结两点的直线；D.连结两点的线段.二、创设情景，激趣导入1．我们知道数（如有理数）可以相加减，那么作为几何图形的线段是否可以相加减呢？12．观察：如图所示，A、B、C三点在一条直线上，1）图中有几条线段？2）这几条线段之间有怎样的等量关系？A B C学生讨论三、尝试探讨，学习新知1．显然，图中有三条线段：AB、AC、BC,它们有如下的关系AB+ BC= AC，AC- BC= AB，AC- AB= BC2．由此，你可以得到怎样的结论两条线段可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一条线段，其长度等于这两条线段的和（或差）3．例题1：如图,已知线段a、b,1）画出一条线段, 使它等于a+b2）画出一条线段, 使它等于a-b※学生尝试画图※教师示范，（注意画图语句的叙述）解：（1）①画射线OP;②在射线OP上顺次截取OA=a,AB=b线段OB就是所要画的线段.（2）①画射线OP;②在射线OP上截取OC=a，在射线OC上截取CD=b线段OD就是所要画的线段.2 b4.在例题1中为什么CD要“倒回”截？不“倒回”截行吗？5．思考：你会作一条线段使它等于2a吗？1）学生讨论2）2a是什么意思？（a+a）3）那么na（n为正整数，且n1）具有什么意义？6．尝试：例题2 如图,已知线段a、b,画出一条线段，使它等于2a-b1）学生独立完成2）反馈，纠正这两个例题是线段的和、差、倍的具体画法，教师在画图的过程中，要边画边讲．注意讲清以下问题：(1)先画的图形是已知的线段a，b．(2)画射线的目的是确定整个图形的起点，由于在没有画完的情况下，终点不能确定，而这种只有起点而没有终点的状态，只有用射线描述最为合适．(3)什么叫“顺次截取”？就是要沿着射线的方向，从起点开始，依照计算的顺序截取．(4)线段的和、差在画图中的区别是什么？“和”是在截取时不改变方向．而“差”在截取时的方向是变化的．3通过这两个例题．使学生能够掌握线段的和、差、倍的画图．(5)两个例题讲完后可以安排一个练习：已知线段a，b，c(a＞b ＞c)，画一条线段，使它等于2a+3b-c．7．将一条线段分成两条相等线段的点叫做这条线段的中点.若已知点M是线段AB的中点，你能得到哪些等量关系.AM?MB，AM?MB，BM?ABAB?2AM，AB?2MB8．已知线段AB，你会画出它的中点C吗？除了用尺测量，你还有其他方法吗？9．介绍用尺规作线段AB 的中点C.注意语言的叙述：解：（1）以点A为圆心，以大于AB的长a为半径作弧，以点B 为圆心，以a为半径作弧，两弧分别相交于点E、点F；（2）作直线EF，交线段AB于点C.点C就是所求的线段AB的中点. 1212四、反馈小结、深化理解1．学生自己总结本节课的学习内容，应回答出线段的和、差、倍、分的画法；线段中点的定义． 4a2．线段的和、差、倍的画法中应注意的问题．如步骤、方向等．3．一些关键词的用法，如“连结”、“顺次”等．五、学习训练与学习评价建议一、判断题（每题4分，共20分）(1)连接A、B两点，那么线段AB叫做A、B两点的距离.（）(2)连接A、B两点的线段的长度，叫做A、B两点的距离.（）(3)若AB＝BC，则B是线段AC的中点.（）(4)若AB=AM+BM，则点M在线段AB上.（）(5)若点M在线段AB外，则必有ABAM+MB.（）二、填空题（每题5分，共20分）(1)点M把线段PQ分成两条相等的线段，点M叫做线段PQ的______，这时有PQ=_______=_______.(2)延长线段AB到C，使BC=AB，反向延长AC到D使AD=AC，则CD=_______AB.(3)如图1.3-4，如果A、B两点将MN三等分，C为BN的中点，BC=5cm，则MN=________.(4)如图1.3-5，在直线PQ上要找一点A，使PA=3AQ，则A点应在________.图1.3-4图1.3-5 5篇三：线段和差倍分怎样证明线段的和差倍分问题怎样证明线段的倍分问题【典型例题】常规题型1、已知：如图所示，点D、E分别是等边?ABC的边AC、BC上的点，AD=CE，BD、AE交于点P，BQ?AE于Q．求证：PQ? 12PB．B C常规题型2、已知：如图所示，在?ABC中，AB=AC，?A?120?，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N．求证：CM=2BM．C N A能力挑战1、如图所示，在?ABC中，AB?12BC，D是BC的中点，M是BD的中点．求证：AC=2AM． ABD能力挑战2、已知：如图所示，在?ABC中，BD是AC边上的中线，BH平分?CBD,AF?BH，分别交BD、BH、BC于E、G、F．求证：2DE=CF．AD EBQ【经典练习】1、如图所示，已知?ABC中，?1??2，AD=DB，DC?AC．求证：AC? 1AB．21 2CD 2、已知：如图所示，D是?ABC的边BC上一点，且CD=AB，?BDA??BAD，AE是?ABD的中线．求证：AC=2AE． A E?AB于3、已知：如图所示，在?ABC中，AB=AC，?BAC?120?，D 是BC的中点，DEEE．求证：EB=3EA．AED?BAC?120?，4、已知：如图所示，在?ABC中，AB=AC，P是BC 上一点，且?BAP?90?．求证：PB=2PC．B P5、已知：如图所示，锐角?ABC中，?B?2?C，BE是角平分线，AD?BE，垂足是D．求证：AC=2BD．C6、如图所示，在?ABC中，AB=AC，?BAC?90?，BE平分?ABC，交AC于D，CE?BE于E点，求证：CE?1BD．2B C怎样证明线段的和差问题【典型例题】常规题型1、如图所示，已知?ABC中，?A?60?，BD、CE分别平分?ABC和?ACB，BD、CE交于点O．求证：BE+CD=BC． AEDB C能力挑战1、如图所示，在等腰直角三角形ABC中，?BAC?90?，AD=AE，AF?BE交BC于F，过点F作FG?CD于M，交BE延长线于点G，求证：BG=AF+FG．G AEB C能力挑战2、如图所示，在?ABC中，AB=AC，?A?100?，BE平分?ABC，求证：AE+BE=BC．AC B【练习】1、如图所示，已知?ABC中，?A?2?B，CD是?ACB的平分线，求证：BC=AC+AD．BC2、如图所示，若E为正方形ABCD的边BC上一点，AF为?DAE 的平分线，AF与CD相交于F点．求证：AE=BE+DF． A DFB3、如图所示，已知?ABC和?ADE均为等边三角形，B、C、D 在一直线上，求证：CE=AC+CD．ED?C?90?，4、如图所示，已知在?ABC中，AC=BC，AD是?BAC的平分线，求证：AB=AC+CD．CDB A5、如图所示，等边?ABC和等边?BDE，点A在DE的延长线上，求证：BD+DC=AD．CA B证明线段的和差倍分问题作业1、如图所示，在等腰三角形ABC中，P是底边BC上的任意一点．（1）求证：P点(本文来自： 千叶帆文摘:线段的和差倍分教案)到两腰的距离之和等于腰上的高．（2）若P点在BC的延长线上，那么点P到两腰的距离与腰上的高三者之间存在什么关系？AFE BC2、如图所示，等腰三角形ABC中，AB=AC，?A?108?，BD平分?ABC．求证：BC=AB+DC．ADC B3、如图所示，已知?ABC是等腰三角形，AB=AC，?BAC?45?，AD 和CE是高，它们相交于H，求证：AH=2BD．E H4、如图所示，在?ABC中，?ACB?90?，P是AC的中点，过A过BP的垂线交BC延长线于点D，E是垂足．若?DBE?30?，求证：BP=4PE．D。

专题：三角形之线段的和差倍分
1、在△ABC 中，∠ACB= 900，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E 。

（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： DE=AD+BE 。

（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时， 问DE 、AD 、BE 有何关系，并说明理由。

2、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，BE ⊥CE 于点E ，AD ⊥CE 于点D . 求证：DE AD BE =-.
3、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连结AE 、BE ，BE ⊥AE ，延长AE 交BC 的延长线于点F .
求证：（1）FC =AD ；
（2）AB =BC +AD
A
4、如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．
求证：①BD=CF
②BD=2CE．
5、①如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D点作EF∥BC交AB于E，
交AC于F，求证：EF=BE+CF．
②在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，过D点作EF∥BC交AB于E，交AC于F，
试探究BE、EF与CF的数量关系．。

初中数学竞赛专题选讲线段、角的和差倍分一、内容提要证明线段、角的和，差，倍，分，常用两种方法：一是转化为证明线段或角的相等关系；一是用代数恒等式的证明方法。

一.转化为证明相等的一般方法㈠通过作图转化1.要证明一线段（角）等于两线段（角）的和（用截长补短法）⑴分解法――把大量分成两部分，证它们分别等于两个小量⑵合成法――作出两个小量的和，证它与大量相等2.要证明一线段（角）等于另一线段（角）的2倍⑴折半法――作出大量的一半，证它与小量相等⑵加倍法――作出小量的2倍，证它与大量相等㈡应用有关定理转化1.三角形中位线等于第三边的一半，梯形中位线等于两底和的一半2.直角三角形斜边中线等于斜边的一半3.直角三角形中，含30度的角所对的直角边等于斜边的一半4.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和5.等腰三角形顶角的外角等于底角的2倍6.三角形的重心（各中线的交点）分中线为2∶17.有关比例线段定理二.用代数恒等式的证明1.由左证到右或由右证到左2.左右两边分别化简为同一个第三式3.证明左边减去右边的差为零4.由已知的等式出发，通过恒等变形，到达求证的结论二、例题例1.已知：△ABC中，∠B＝2∠C，AD是高求证：DC＝AB＋BD分析一：用分解法，把DC分成两部分，分别证与AB，BD相等。

可以高AD为轴作△ADB的对称三角形△ADE，再证EC＝AE。

∵∠AEB＝∠B＝2∠C且∠AEB＝∠C＋∠EAC，∴∠EAC＝∠C辅助线是在DC上取DE＝DB，连结AE。

分析二：用合成法，把AB，BD合成一线段，证它与DC相等。

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------仍然以高AD为轴，作出DC的对称线段DF。